1

Corrente elettrica

(a) Spira di rame in equilibrio elettrostatico: L’intera spira è a un unico potenziale e il campo elettrico è nullo.

(b) Una batteria impone una differenza di potenziale tra i capi della spira connessi ai morsetti della batteria. La differenza di potenziale produce un campo elettrico all’interno della spira, e il campo causa il moto delle cariche attorno alla spira. Questo movimento di cariche è la corrente elettrica i.

dt

dqi

1 ampere = 1 A = 1 coulomb al secondo = 1 C/s

2

Verso della corrente

Convenzione (storica!):

Il verso della corrente è quello nel quale si muoverebbero le cariche positive, anche se gli effettivi portatori di carica sono negativi e si muovono in senso opposto.

Gli elettroni in un filo si muovono in modo casuale ad alte velocità (ca 106 m/s),

un campo esterno impone un movimento di deriva, che tipicamente è molto basso (velocità di deriva vd , ca 10-4 m/s)

Questa deriva produce la corrente elettrica

Se la densità di carica è (C/m3) otteniamo la densità di correnteen dvenJ

E la corrente elettrica risulta come AdJi

spesso AJi

3

In un acceleratore di particelle circolare con un raggio R di 35m, un fascio di 1010 protoni circola con velocità costante pari a c. Calcolare la corrente cosi’ prodotta.

La carica che passa ad ogni giro nell’ acceleratore è:

Tale carica passa in un tempo pari a:

La corrente sarà:

CCq 91910 106,1106,110

sc

RT 7103,7

2

AT

qi 3

7

9

1019,2103,7

106,1

4

Se si applica la stessa differenza di potenziale tra le estremità di bacchette di rame e di legno geometricamente simili, ne risultano correnti assai diverse.

=> Resistenza elettrica

“La resistenza di un conduttore tra due punti si determina applicando una differenza di potenziale V tra quei punti e misurando la corrente i che si stabilisce.

i

VR

1 ohm = 1 = 1 volt/ampere = 1 V/A

Un conduttore la cui funzione in un circuito è quella di fornire una resistenza è detto

resistore

Resistività di un materiale: campo elettrico/densità di correnteJ

E

Unità di : (V/m) / (A/m2) = (V/A)m = m

V diff.di pot.

L

L

VE

A

iJ

A

Ai

LV

J

E

A

LR

i

5

i

VR Definisce la “resistenza”, ma può anche essere visto come descrizione di una

proprietà di un corpo:

Se per un corpo è vero che

si dice, che obbedisce la legge di Ohm. i

VR

Di grande importanza sono I semiconduttori e I superconduttori (devono essere discussi però in una lezione specialistica):

Superconduttori: a temperature basse la resistività può sparire.

Semiconduttori, per esempio silicio: silicio puro ha una alta resistività ( paragonato con per rame), però la sua resistività può essere ridotta in modo controllato (drogaggio).

m 3103

m 8102

6

VdtiVdqdE

Vidt

dEP

Per resistenza R:

Ws

J

s

C

C

JAV 11111

R

VRiP

22

Per correnti alternate: RIP qm 2 2qmI Valore quadratico medio della corrente i

7

a) Quanta corrente è presente in una lampadina da 60 Watt connessa ad una differenza di potenziale di 120 V? b) Quanto à la resistenza della lampadina? a) La potenza è: P = 60 W = I x V = I x 120

cosi’ che I = ½ Amp (A)

b) Vale inoltre: V = I R 120 V = ½ A x R cosi’ che R = 240 , o R = V/I

a) Se una lampadina da 3 V ha una resistenza di 9 ohms, quanta corrente può portare? b) Se una lampadina è attraversata da una corrente di 2 A quando connessa ad un circuito di 120 V, qual’è la sua resistenza?

a) I = V / R = 3 V / 9 = 1/3 Amps b) R = V / I = 120 V / 2 A = 60

8

Resistenze in serie

eqRiV

)( 321321321 RRRiRiRiRiVVVV

B

R1

R2

R3

V

i

ReqB

V

i

321 RRRReq

9

Resistenze in parallelo

V

B

R1 R2 R3

ReqB

i

V

321321

111

RRRViiii

eqR

Vi

321

1111

RRRReq

i3

10

Un resistore di 4e un resistore di 6 sono collegati in parallelo, e ai capi del sistema è applicata una differenza di potenziale di 12 V. Si trovi: a) L’ intensità di corrente in ciascun resistore b) La potenza dissipata in ciascun resistore

a) Per ottenere l’ intensità di corrente in ciascun resistore, si tenga presente che la caduta di potenziale ai capi di ciascun resistore è 12 V. Denotando con I1 la intensità di corrente che nel resistore di 4 e con I2 quella nel resistore di 6 si ha:

b) La potenza dissipata nei resistori è:

AV

I

e

AV

I

VIRIV

0,26

12

0,34

12

12)4(

2

1

111

WARIP

WARIP

24)6(0,2

36)4(0,32

2222

21

211

11

Un resistore di 4e un resistore di 6 sono collegati in parallelo, e ai capi del sistema è applicata una differenza di potenziale di 12 V. Si trovino: a) la resistenza equivalente b) l’ intensità di corrente totale

a) Per la resistenza equivalente Req si calcoli:

ossia:

b) Perciò l’ intensità di corrente totale è:

12

5

12

2

12

3

6

1

4

11

eqR

4,25

12eqR

AV

R

VI

eq

54,2

12

12

Per misurare la corrente: amperometro

Per misurare la corrente in un filo, si deve generalmente interrompere il filo e inserire l’amperometro, in modo che la corrente da misurare passi attraverso lo strumento. La resistenza dell’amperometro deve essere piccola

Per misurare la differenza di potenziale: voltmetro

per trovare la differenza di potenziale tra due punti nel circuito, gli elettrodi del voltmetro devono essere collegati ai due punti, senza interrompere il circuito.

La resistenza del voltmetro deve essere grande

13

Circuiti RC

C

qVC

interruttore

Condensatore C

Resistenza R

batteriaVB

iRVR

14

Ci ricordiamo: x

x

edx

ed

bbaba )( x

x

edx

ed

bababa

(I) È un caso particolare di (II), altri soluzioni non esistono

)( x

x

edx

ed

perche0

dt

d

15

0)()(

tfdt

tdf

tetf )(Detto in modo diverso: e’ una soluzione di

)( x

x

edx

ed

0)( tt ee

16

)()(

tfdt

tdf

t

etf 11

)(eè soluzione di

t

edt

tdf )(

ttee 1

1

ttee 1

17

CR VV 0 CR VV

0C

qiR

Scarica di un condensatore:

0C

q

dt

dqR

01

qCRdt

dqo

CRt

eqtq 0)( CRt

eCR

q

dt

dqti

0)(

VB

V

0)()(

tfdt

tdf

tetf )(

18

VB

CR

t

B eCVtq 1)(

BCR VVV

BVC

qiR

BVC

q

dt

dqR

)()(

tfdt

tdf

t

etf 11

)(

CR

t

B eRV

dt

tdqti

)()(

carica di un condensatore:

19

CR

t

B eCVtq 1)(

CRt

B eCVtq )(

CR Costante di tempo 37.01 e

ax lnaex )(log abxa x

b

20

V

C=5nF

R=10k

t1 per q(t1)=0.5*q0 ?

CRt

eqtq 0)(

001 5.0)(1

qeqtq CRt

5.01

CRt

e 5.0ln1

CR

t

ssCRt 661 1035)69.0(105105.0ln

ssCR 66 105010510

21

Quando le ruote di un’auto rotolano sull’asfalto, elettroni si trasferiscono dal terreno dei pneumatici e di qui alla corrozzeria.come se fosse

L’auto = un’armatura di condensatore e

terreno = armatura opposta

Quando si ferma, scarica, t=0.

V0=30 kV,

Capacita’ del condensatoire auto-suolo C=500 pF

Resitenza offerta da ciascun pneumatico Rpn=100G.

Quanto tempo passa prima che l’energia immagazzinata E=50 mJ?

mJkVpFVCE 225)30(500 2212

21

C

qdqq

C

q

2

1 2

0

VqVC 212

21

22

Quando si ferma, scarica, t=0. V0=30 kV,

Capacita’ del condensatoire auto-suolo C=500 pF

Resitenza offerta da ciascun pneumatico Rpn=100G.

Quanto tempo passa prima che l’energia immagazzinata E=50 mJ?

mJkVpFVCE 225)30(500 2212

21

C

qdqq

CE

q

2

1 2

0

VqVC 212

21

spFGCR 5.1250025 941 1025

41pn

pn

RRRR

mJ

mJe

C

q

eC

q

tE

tE t

t

225

50

2

2)0(

)( 2

0

20

tt

eC

qe

C

q

C

tqtE

2020

2

2)(

22

)()(

stt

4.9)75

50ln(

2

23

Campi magnetici

Abbiamo visto dalla teoria di relatività: se un elettrone si muove rispetto a un filo nel quale corre una corrente elettrica, il filo sembra carico per l’elettrone in movimento.

Questo effetto può essere calcolato con precisione e descrive in modo perfetto il comportamento di una carica in moto.

24

Se invece si vuole evitare calcoli relativistici, si può in modo sperimentale esplorare la forza che agisce su un elettrone in vicinanza di una corrente elettrica, e si può usare questa forza per definire un così detto “campo magnetico”.

Si trova: BvqFB

Carica della particella

campo magnetico

velocità della particella

forza esercitata sulla particella

q

B

v

BFsin BvqFB

25

non ha mai una componente parallela a

diverso da zero, perciò non può modificare la velocità scalare

BF

v

unità di misura:

1 tesla = 1 T = mA

N

msC

N

smC

N

1

/1

/1

26

Campo magnetico uniforme B, intensita 1.2 mT, orientato verticalmente verso l’alto. Un protone con energia cinetica di 5.3 MeV si muove orizontalmente, da sud a nord.

Quale forza di deflessione magentica agisce sul protone?

Trascurare il campo magnetico terrestre.

M(protone)= 1.67*10-27 kg, 1 MeV=1.60*10-13J

da 22

1 vmEcin

smkg

MeVJMeV

m

Ev cin /102.3

1067.1

/1060.13.522 727

13

N

TsmCBvqFB

15

03719

101.6

90sin102.1/102.31060.1sin

Con accelerazione212

27

15

/107.31067.1

101.6sm

kg

N

m

Fa B

BvqFB

27

Carica in moto circolare

Un corpo in moto circolare viene continuamente accelerato, con una forza che punta verso il centro della circonferenza:

v

v

v

vvv

sin

r

vvmvm

dt

dvm

dt

dvmamF

r

va

2

Accelerazione centripeta

r

vmF

2

forza centripetaoIn un campo magnetico con

r

vmBvqFB

2

vB

Bq

vmr

q

m

BBq

vm

vv

rT

222

Non dipende da v, ma solo di m/q => permette misura diretta di m/q

28

Forza magnetica agente su un filo percorso da corrente

dv

Litiq

090sinsin

Bvv

LiBvqF dd

dB

BLiFB

velocità di deriva vd

BLiFB

angolo compreso tra le direzioni di L e di B

29

Un filo rettilinieo orizzontale di rame e’percorso da un corrente i=28A.

Qual e’ l’intensita’e la direzione del campo magnetico B necessario a “far gallegiare”il

filo, cioe’ a bilanciare la suo forza di gravita’ Fg ?

La massa lineica (massa per unita’di lunghezza) del filo e’46.6 g/m.

gmBLiFB sin

TA

smmkg

i

gLm

Li

gmB

223

106.128

/8.9)/(106.46

sin

(circa 160 volte l’intensita’ del campo magnetico terrestre)

30

Momento torcente su una spira percorsa da corrente

Le due forze F e –F, che costituiscono una coppia di forze, concordano nell’esercitare un momento della forza complessiva sulla spira. Momento torcente

Il modulo ’ del momento torcente dovuto alla coppia di forze F1 e F2 e’:

sinsin

2sin

2bBai

bBai

bBai

31

Se usiamo una serie di N spire, o avvolgimenti => bobina piana

sinsin BAiNBbaiNN

È la area racchiusa dalla bobina baA

La situazione può essere descritta in modo più sintetico, definendo un dipolo magnetico

Direzione di : quella del vettore n

sinBAiN

Barretta magnetica tipicamente

La terra

Un elettroneT

JT

JT

J

24

22

109

108

5

32

Se scegliamo come superficie una sfera con raggio r, e al centro la carica q, otteniamo:

qrEdAEAdE 2000 4

204

1

r

qE

Legge di Coulomb

Visto che il campo magnetico non e’ altro che un campo elettrico “creato” da un effetto relativistico, la sua forma dovrebbe essere quella del campo elettrico – in quanto riguarda il modulo (dopo discutiamo la direzione)

Ci ricordiamo :

33

Simmetria cilindrica (“carica uni-dimensionale”)

Una superficie gaussiana a forma di cilindro avvolge una sezione di una lunghissima bacchetta cilindrica, carica uniformemente (carica positiva)

Carica per lunghezza h

r

E

EA

hrEAdE 200

La carica racchiusa è: h hhrE 20

rrE

1

2 0

34

In corrispondenza:

Per un filo infinitamente lungo

Per una “sorgente” infinitesimale

R

iB

20

20

4 r

dsidB

AmT 7

0 104 Permeabilità magnetica del vuoto

Visto che il campo magnetico non e’ altro che un campo elettrico “creato” da un effetto relativistico, la sua forma dovrebbe essere quella del campo elettrico – in quanto riguarda il modulo (dopo discutiamo la direzione)

204

1

r

qE

02

r

E

dl

dq

dvdl

dq

dt

dl

dl

dq

dt

dq

dvdq dq

35

+

r

E

B

r

sd

dq

dvsd sdrconstB

36

Per un filo infinitamente lungo:

Per una “sorgente” infinitesimale

R

iB

20

con angolo fra ds e r

sin4 2

0

r

dsidB

30

4 r

rsdiBd

Legge di Biot-Savart

AmT 7

0 104

Permeabilità magnetica del vuoto

37

30

4 r

rsdiBd

Regola della mano destra:

Afferrate l’elemento di filo nella mano destra con il pollice puntato nel verso della corrente.

La curvature delle altre dita indica il verso delle linee del campo magnetico generato da quell’elemento

38

Campo magnetico generato da una corrente in un filo piegato ad arco

Per il punto centro di curvatura:

20

2

00

4

90sin

4 R

dsi

R

dsiB

R

id

R

i

R

dRidBB

4440

0

02

0

0

Per spira circolare: 2R

iB

2

0

39

La figura presenta due lunghi fili paralleli percorsi dalle correnti i1 e i2 in versi opposti. Che intensita’ e direzione ha il campo magnetico netto generato nel punto P?

Si assumano i seguenti valori: i1=15 A, i2=32 A, d=5.3 cm

R

iB

210

1R

iB

220

2

045cosdR

010

1 45cos2

d

iB

020

2 45cos2

d

iB

40

Verso di B1, B2: regola della mano destra

T

m

AAAm

Tii

dBBB 4

02

227

22

210

022

21 1089.1

45cos103.52

3215104

45cos2

0

2

1

2

1 2532

15arctanarctanarctan

A

A

i

i

B

B Vettore B forma con asse x angolo di

0000 70452545

41

Forza tra due conduttori paralleli

R

iB

20

d

iB a

a

2

0

campo magnetico prodotto dalla corrente nel filo a:

Forza esercitata sulla lunghezza L del filo b:

abba BLiF

d

iiLBLiF ab

abba

2

0aBL

Direzione:

Correnti parallele e concordi si attraggono e correnti parallele ma discordi si respingono

42

Legge di Ampere

chisdB 0

Elettrostatica: legge di Gauss

Situazione analoga per magnetismo:

Si curvino le dita della mano destra attorno alla linea chiusa nel verso di integrazione. A una corrente passante nel verso indicato dal pollice teso viene assegnato il segno piu’.

43

Per filo rettilineo infinito percorso da corrente:

irBdsBsdB 02

r

iB

20

Corrente i uscente dal piano della figura

44

solenoidi

45

n:= numero di spire per unita’ di lunghezza del solenoide

hnihBdsBsdBb

a

0

niB 0

Solenoide ideale

46

Solenoide di lunghezza L=1.23 cm, diametro interno d=3.55 cm

Il solenoide sia composto da cinque strati di 850 spire l’uno e vi scorra una corrente i=5.57 A.

Si calcoli il campo magnetico B nel centro del solenoide

niB 0 Tm

spireA

A

mTB 27 1042.2

23.1

850557.5104

47

i

VR

V

qC

iLB L=induttanza propria

Esempio: induttanza propria di un solenoide rettilineo:

lAnL 20

n=spire all’unita’ di lunghezza

A*l=volume

48

Equazioni di Maxwell (1861-1864)

SdjSdEdt

drdBc

SdB

dVSdE

0

2

0

1

0

1

SdBdt

drdE