1. leyes de exponentes

Leyes de Exponentes

E.A.P.

INGENIERÍ

A

AMBIENTA

Lic. ROBERTO RUIZ YENGLE

Objetivos

1.Conocer cuáles son y cómo se aplican

las leyes de exponentes

2.Aplicar las leyes de exponentes

Definiciones de Potencias

Definición de una Potencia

an = a . a . a . … . a

n veces

Recuerda que si elevamos un número a (la base) a

una potencia n (el exponente) significa que se

multiplica ese número a tantas veces como indique

el exponente n.

Ejemplos

3 2 = 3 . 3 = 9

(-3) 2 = -3 . -3 = 9

5 3 = 5 . 5 . 5 = 125

(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125

x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

Recuerda que no

se multiplica la base

por el exponente.

Si la base es negativa

hay que encerrarla en

paréntesis.

Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si

tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la

base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo

que sea el resultado de elevar la base a la potencia

indicada.

Ejemplos

3 2 = 3 . 3 = 9

(-3) 2 = -3 . -3 = 9

5 3 = 5 . 5 . 5 = 125

(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125

x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6

(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6

-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6

Recuerda que:

-Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo.

-Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.

-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.

Definición de Potencia Cero

a0 =

Cualquier base que se eleva a la potencia 0, el

resultado es 1, o sea, equivale al número1.

1

Ejemplos

3 0 = 1

(-3) 0 = 1

135 0 = 1

(-275) 0 = 1

x 0 = 1

(-x) 0 = 1

(x2y3) 0 = 1

Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia

cero, el resultado es uno.

Ejemplos

Simplifica la expresión:

3 0 + 8 0 = 1 + 1 = 2

Definición de Potencia Negativa

a - n =

-Un exponente negativo equivale a un

recíproco.

-Observa que el que es negativo es el exponente,

no la base.

-Observa que cuando se convierte al recíproco,

pierde el exponente negativo y se convierte en

exponente positivo.

1

an

Ejemplos

3 -2 =

(-3) -2 =

2 -3 =

(-2) -3 =

x -5 =

(x2y3) -7 =

-Observa bien cuál es la expresión

que se eleva al exponente negativo

y cuál es el resultado que se

obtiene.

-Observa cómo son los signos de

las bases, los signos de los

exponentes y los signos del

resultado.

1 1

=

32 9

1 1

=

(-3)2 9

1 1

=

23 8

1 1

=

(-2)3 - 81

x5 1

(x2y3)7

x -3 =

y

y 3

x

Ejemplos

3 -2 =

(-3) -2 =

2 -3 =

(-2) -3 =

x -5 =

(x2y3) -7 =

1 1

=

32 9

1 1

=

(-3)2 9

1 1

=

23 8

1 1

=

(-2)3 - 81

x5 1

(x2y3)7

x -3 =

y

y 3

x

-En el último ejemplo se obtiene el

recíproco invirtiendo la fracción.

-Para obtener el recíproco de una

fracción se invierte la posición del

numerador y denominador.

-Después de cambiar al recíproco,

se convierte el exponente a

positivo.

Ejercicios de Práctica

Ejercicios 1: Simplifica

(-3)3 x0 y3 =

-42 x2 y0 z3 =

42 x y2 =

3x3 z2 =

2y0

-27y3

16xy2

-16x2z3

3x3 z2

2


2 -1 =

3 -3 =

x -2 =

2 -2 =

3

5 =

y -5

x -2 =

y -5

1

2

1

27

1

x 2

9

4

y 5

x 2

5y5

-Como y-5 está en el denominador,

su recíproco aparece en el

numerador y pierde el exponente

negativo. En este caso

desaparece el denominador ya

que no queda ningún término en

el denominador.

3 2 =

2


-5 2 x 2 y -3 =

(-4) 2 x -2 y 0 z -3 =

4 -2 x -1 y 2 =

8 x -3 z 2 =

y - 4

-25x2

y3

16

x2z3

y2

16x

8y4z2

x3

-Recuerda que solo se cambia

al recíproco los términos que

están elevados a una potencia

negativa.

-En este caso, la base 5 es

positiva ya que no está

encerrada en paréntesis. El

signo de negativo hay que

considerarlo como el opuesto

del resultado de elevar el 5 al

cuadrado.

Leyes de Exponentes

Ley 1: Multiplicación de Potencias con

Bases Igualesa n . a m = a n + m

Ejemplos:

4 5 . 4 2 = 4 7

x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6

x 2 . x . x 4 = x 7

x + x 3 =

Al multiplicar bases iguales se suman los

exponentes

No se puede aplicar esta ley ya que las potencias

no se están multiplicando. La ley aplica cuando

tenemos una multiplicación, no aplica en suma.

Ley 2: Potencia elevada a otra potencia

(a n ) m = a n m

Ejemplos:

(x 2 ) 3 = x 6

(5 3 ) 4 = 5 12

(6 2 ) –1 = 6 -2 = 1 = 1

6 2 36

(y 7 ) 0 = 1

Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se

multiplican los exponentes

Ley 3: Producto elevado a una potencia

(a b) n = a n b n

Ejemplos:

( x y ) 3 = x3y3

( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5

( 3 x 2 y 4 ) -3 = 1 = 1

( 3 x 2 y 4 ) 3 27 x6 y12

(x + y ) 2 =

Cuando hay una multiplicación de dos o más términos

elevados a una potencia, se multiplican los exponentes de

cada uno de los términos.

No se puede aplicar esta ley ya que no

hay una multiplicación, hay una suma.

Ley 4: División de Bases Iguales

7 3 = 1 = 1

7 5 72 49

7 5 = 7 2 = 49

7 3

7 5 = 7 0 = 1

7 5

x 3 = x

x 2

a m = a m - n

a n (si m > n)

Ejemplos:

Al dividir bases iguales se

restan los exponentes. Se

resta el exponente mayor

menos el exponente menor y

se coloca el resultado donde

esté el exponente mayor.

Ley 5: Fracción elevada a una potencia

a n = a n

b b n

2

5

3

y

Se eleva cada término de la

fracción a la misma potencia n.

2

y

x

3

5z

y

3

2

3

y

x2

2

y

x

9

10y

6

9

y

x

3

15

y

z

Práctica de Leyes de Exponentes

Simplifica aplicando leyes de exponentes:

9 15 . 9 3 =

x -2 . x -3 . x -1 . x 5 =

x 3 . x 12 . x =

x 2 + x 5 =

918

x16

No aplican las leyes de

exponentes. Se queda igual.

1

x

Haz clic para ver resultados

(m 4 ) 5 =

(3 12 ) 3 =

(4 3 ) –1 =

(x 9 ) 0 =

Haz clic para ver resultados

m 20

3 36

1

4 -3 = 1 = 1

43 64


( x y ) 3 =

( 2 x ) 5 =

( 3 x 4 y 5 ) -3 =

(x + y ) 2 =

x3y3

25 x5 = 32 x5

1 = 1

( 3 x 4y 5 ) 3 27 x12y15

No aplican las leyes de

exponentes


m 13 =

m 23

x 4 =

x 2

y 19 =

y 18

x 63 =

x 63

x 2

y

1

m10

x 0 = 1


m 5 = x -8 =

n y 4

x 6 3 = x 7 -3 =

2 y 5

m5

n5

x18

8

y32

x8

y15

x21


Fin de la Lección

1. leyes de exponentes

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