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Entfernungsbestimmung im Kosmos 10
• 10.1 Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz
• 10.2 Allgemeine Relativitatstheorie
• 10.3 Robertson-Walker - Metrik
• 10.4 Entfernungsdefinitionen
• 10.5 Dynamik der Expansion
• 10.6 Moderne kosmologische Tests
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10.1 Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz
• Hubble-Gesetz: v≈ cz≈ H0D
• 1+z= λobs/λ0
• Relativistischer Dopplereffekt:
1+z=1+v/c√1−v2/c2
≈ 1+v/c
• Hubble-Gesetz kann nur fur z 1 gelten
• Was passiert bei z 1?
? große Entfernungen
? lange Lichtlaufzeiten, fruhes Universum
Universum als ganzes, Kosmologie
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Die Hubble-Zeit
• Hubble-Zeit: 1/H0≈ 14·109y
• Expansion: v≈ H0D
• v =dDdt≈ ∆D
∆t
• Wann waren alle Entfernungen D = 0?
• T = ∆t =Dv
=1
H0(unabhangig von D)
• Beginn des Universums (”Urknall“)
• Konstante Geschwindigkeiten: T ist Alter des Universums
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10.2 Allgemeine Relativitatstheorie
• Expansion wird gebremst durch Gravitation
• Beste Gravitationstheorie: ART
• Beschreibt gekrummte Raumzeit
• SRT: Minkowski-Metrik (Euklidischer Raum)
ds2 = c2dt2− (dx2+dy2+dz2)
• Beschreibung beliebiger Raumzeit durch Metrik:
x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z
ds2 =3
∑α,β=0
gαβ
dxα dxβ
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Metrik
• Euklidischer Raum: x,y,z
dl2 = dx2+dy2+dz2 gαβ
=
1 0 00 1 00 0 1
• Polarkoordinaten: r,θ ,φ
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z= r cosθ
dl2 = dr2+ r2(dθ 2+sin2θ dφ 2) g
αβ=
1 0 00 r2 00 0 r2sinθ 2
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Kugeloberflache
• Polarkoordinaten mit r = R fest
• Metrik:
dl2 = R2(dθ2+sin2
θ dφ2)
• Geraden = Großkreise
• Winkelsumme im Dreieck > 180
• Kreisumfang U < 2πr
• Keine parallelen Großkreise
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Sattelflache
• Winkelsumme im Dreieck < 180
• Kreisumfang U > 2πr
• Viele Parallelen durch einen Punkt
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Gekrummte Raume
• Krummung: K =± 1R2
Krummung Winkelsumme Kreisumfang
spharisch K > 0 > 180 U < 2πrEuklidisch K = 0 = 180 U = 2πr
hyperbolisch K < 0 < 180 U > 2πr
• K kann von Ort zu Ort variieren
• Hoherdimensionale Raume konnen gekrummt sein
• 4-dimensionale Raumzeit ist gekrummt
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Allgemeine Relativitatstheorie
• ART beschreibt Krummung in Abhangigkeit von
Massenverteilung und -bewegung
• Teilchen und Licht bewegen sich auf”Geodaten“
• Einsteinsche Feldgleichungen:
Rαβ− 1
2gαβR−g
αβΛ = κT
αβ
• Nichtlineare partielle Differentialgleichungen fur gαβ
• Nur in Spezialfallen losbar
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Friedmann - Robertson-Walker - Universum
• Kosmologisches Prinzip
? uberall isotrop
homogen
? zeitliche Entwicklung moglich
• Verwende”mitbewegte Koordinaten“
? Teilchen im Hubble-flow haben konstante Koor-
dinaten
• Beschreibe Expansion durch Skalenfaktor R(t)
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10.3 Robertson-Walker - Metrik
• Mitbewegte Polarkoordinaten r,θ ,φ und kosmische Zeit t
• Skaliere Langen dL mit R(t)
ds2 = c2dt2−dL2
dL2 = R2(t)(
dr2
1−kr2+ r2dθ
2+ r2 sin2θ dφ
2
)
• Krummungsparameter k
? k = +1 spharisch (positive Krummung)
? k = 0 flach (keine Krummung)
? k =−1 hyperbolisch (negative Krummung)
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Skalenfaktor und Rotverschiebung (1)
• Lichtausbreitung (radial): ds2 = 0
cdt =±R(t)dr√
1−kr2
• Lichtsignal von t = te bei r = re nach t = t0, r = 0:
c∫ te
t0
dtR(t)
=∫ re
0
dr√1−kr2
• Zweites Signal: t = te +∆te nach t = t0+∆t0:
c∫ te+∆te
t0+∆t0
dtR(t)
=∫ re
0
dr√1−kr2
• Rechts gleich ⇒ links gleich (nachste Seite)
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Skalenfaktor und Rotverschiebung (2)
c∫ t0+∆t0
t0
dtR(t)
= c∫ te+∆te
te
dtR(t)
∆t0R(t0)
=∆te
R(te)
• ∆t ∝ R(t)
• Alle Zeitintervalle skalieren mit R(t)
• Strahlung mit Frequenz ν und Wellenlange λ :
ν = 1/∆t ∝ 1/R(t) λ = c∆t ∝ R(t)
• Rotverschiebung: 1+z=λobs
λe=
R(tobs)R(te)
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Modell fur Robertson-Walker - Metrik (1)
• Betrachte zunachst nur radiale Raumdimensionen r,setze θ = π/2, φ = const
dL2 = R2(t)dr2
1−kr2
yr
Radius 1
χ
y =√
1− r2
dy =−r dr√1− r2
dχ2 = dr2+dy2 =
dr2
1− r2
dL2 = R2(t)dχ2 k = +1
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Modell fur Robertson-Walker - Metrik (2)
• Jetzt r = const, φ frei (θ = π/2)
dL2 = R2(t) r2dφ2
φr
dl2 = r2dφ2
dL2 = R2(t)dl2
Oberflache der Kugel be-
schreibt”Aquatorebene“ des
Universums
dl2 =dr2
1− r2+ r2dφ
2 (k = +1)
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Kreisumfang in RW-Metrik
r
χ
φr
• Umfang ist R(t)2πr
• Radius ist R(t)χ
• fur k = 0,±1:
dχ =dr√
1−kr2
χ =
arcsinr for k = +1
Arsinhr for k =−1
r for k = 0
• χ ≷ r, U ≶ 2π ·Radius for k =±1
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10.4 Entfernungsdefinitionen:Koordinatenentfernung
• Beobachter bei r = 0
• Objekt bei r = re
• Skalierung der mitbewegten Koordinaten mit R(t)
• Dc = R(t0) re
• Abhangig von der Wahl der Koordinate r(alternativ z.B. χ)
• Physikalisch ohne Bedeutung
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Eigenentfernung
• Lege zwischen Beobachter und Objekt Maßstabe aus
(alle ruhend in mitbewegten Koordinaten)
• Zum Zeitpunkt t0 decken die Maßstabe den Zwischenraum
gerade ab
• Gesamtlange der Maßstabe ist die
? Eigenentfernung (momentane Entfernung) zur Zeit t0? “proper distance”
Dp = R(t0)χ
• Astronomisch nicht von Bedeutung
• Mitbewegte Entfernung: Dcom = χ
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Winkelgroßenentfernung (‘Angular Size Distance’)• Winkel θ gemessen beim Beobachter
• Ausdehnung L gemessen an der Quelle
• DA = L/θ
• Universum expandiert wahrend der Lichtausbreitung
• Betrachte alles in mitbewegten Koordinaten
l
θr
• Blick von oben auf die Kugel
• l = L/R(te)
• r = l/θ
• DA = R(te) r
DA
L
θ
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Eigenschaften der Winkelgroßenentfernung
• Koordinatenentfernung: Dc = R(t0) r
• Winkelgroßenentfernung:
DA = R(te) r =R(te)R(t0)
Dc =Dc
1+z
• Steigt nicht monoton
• Betrachte festen Winkel
• DA = R(te) l/θ
• k = 1: l erreicht Maximum am Aquator
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Helligkeitsentfernung (‘Luminosity Distance’)
• Photonen verteilen sich auf Kugeloberflache
• Intensitat f =L
4πD2L
• Kugeloberflache kosmologisch: 4πDsoA mit Dso
A 6= DosA
• DosA = R(te) r, Dso
A = R(t0) r =R(t0)R(re)
DosA = (1+z)Dos
A
• Zusatzlich: Rotverschiebung!
Energieverlust und Photonen pro Sekunde mit jeweils 1/(1+z)
f =L
4π(DsoA)2(1+z)2
• DL = (1+z)2DA
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Eigenbewegungsentfernung
• Eigenbewegung ist beobachteter Winkel pro Zeiteinheit
• Winkel geht mit θ =L
DA
• Geschwindigkeit v =dLdte
µ =dθ
dt0=
1DA
dLdt0
=v
DA
dt0dte
=v
(1+z)DA
• “proper motion distance”:
DM = (1+z)DA
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Lichtlaufzeit
• Radiale Lichtausbreitung in Robertson-Walker - Metrik:
cdt =±R(t)dr√
1−kr2
• Aufintegrieren:
T = t0− te =∫ te
t0
dt
=1c
∫ re
0
drR(t)√1−kr2
• Substitution notig! (auch bei anderen Entfernungen)
Dynamik
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10.5 Dynamik der Expansion:Die Friedmann-Gleichungen
• Stelle Einsteinsche Feldgleichungen fur Robertson-
Walker - Metrik auf
• Zustandsgleichung: Staub (p = 0)
(1) R(t) =−4π Gρ(t)3
R(t)+Λ
3R(t)
(2) R(t)2 =8π Gρ(t)
3R2(t)+
Λ
3R2(t)−kc2
• Kombination: Kontinuitatsgleichung ρ ∝ 1/R3
ρ(t) = ρ0R3
0
R3(t)
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Die Friedmann-Gleichungen (2)
R2 =8π G
3ρ0
R30
R3+
Λ
3R2−kc2
• Hubble-Konstante H = R/R
• Kritische Dichte ρc =3H2
8π G, Ω =
ρ
ρc, λ =
Λ
3H2
H2 = H20
(Ω0
R30
R3+λ0
)− kc2
R2
• Aus t = t0: kc2 = R20(Ω0+λ0−1)
• Mit R0/R= 1+z:
H2
H20
= Q(z) = Ω0(1+z)3− (Ω0+λ0−1)(1+z)2+λ0
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Dynamik ohne kosmologische Konstante
• Betrachte λ0 = 0: R = (±)RH0
√Ω0
R30
R3+(1−Ω0)
R20
R2
• Ω0 < 1: R> 0im Limit R= const > 0
• Ω0 = 1: R≥ 0im Limit R= 0(ρ = ρc kritische Dichte)
• Ω0 > 1: R≷ 0maximales R
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Dynamik mit kosmologischer Konstante
R = (±)RH0
√Ω0
R30
R3+(1−Ω0−λ0)
R20
R2+λ0
• Dominiert fur große R
• Beschleunigte Expansion!
• Grenzfall R R0: R∝ R
Exponentielle Expansion
R
t
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Entfernungsparameter
Ω0 = 0.27, λ0 = 0.73, H0 = 71kms−1Mpc−1
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Weltalter und Hubble-Zeit
• Abbremsung:
TU > 1/H0
• Beschleunigung:
TU < 1/H0
• Heutige Werte:
Ω0≈ 0.3, λ ≈ 0.7
TU ≈ 0.95/H0
1/H0 1/H0
R
t
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10.6 Moderne kosmologische Tests:Supernovae Ia als Standardkerzen (1)
(Riess et al. 1998, AJ 116, 1009)
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Supernovae Ia als Standardkerzen (2)
(Riess et al. 1998, AJ 116, 1009)
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Supernovae Ia als Standardkerzen (3)
(Perlmutter et al. 1999, ApJ 517, 565)
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Contents
1 Entfernungsbestimmung im Kosmos 102 10.1 Folgerungen aus dem Hubble-Gesetz3 Die Hubble-Zeit4 10.2 Allgemeine Relativitaetstheorie5 Metrik6 Kugeloberflaeche7 Sattelflaeche8 Gekruemmte Raeume9 Allgemeine Relativitaetstheorie
10 Friedmann - Robertson-Walker - Universum11 10.3 Robertson-Walker - Metrik12 Skalenfaktor und Rotverschiebung (1)13 Skalenfaktor und Rotverschiebung (2)14 Modell fuer Robertson-Walker - Metrik (1)15 Modell fuer Robertson-Walker - Metrik (2)16 Kreisumfang in RW-Metrik
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17 10.4 Entfernungsdefinitionen:Koordinatenentfernung
18 Eigenentfernung19 Winkelgroessenentfernung (‘Angular Size Distance’)20 Eigenschaften der Winkelgroessenentfernung21 Helligkeitsentfernung (‘Luminosity Distance’)22 Eigenbewegungsentfernung23 Lichtlaufzeit24 10.5 Dynamik der Expansion:
Die Friedmann-Gleichungen25 Die Friedmann-Gleichungen (2)26 Dynamik ohne kosmologische Konstante27 Dynamik mit kosmologischer Konstante28 Entfernungsparameter29 Weltalter und Hubble-Zeit30 10.6 Moderne kosmologische Tests:
Supernovae Ia als Standardkerzen (1)31 Supernovae Ia als Standardkerzen (2)32 Supernovae Ia als Standardkerzen (3)33 Contents
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