10667-5_ajuste_de_curvas_pelo_método_dos_mínimos_quadrados (1)

Ajuste de curvas 5 - 1

Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue

Ajuste de Curvas Pelo Método dos Mínimos Quadrados

Introdução

Seja um conjunto de dados contendo n pares de valores (x, y) obtidos numérica ouexperimentalmente. De modo a calcular qualquer valor de y distinto dos valores tabelados,ajustamos uma função y = f(x) através do chamado Método dos Mínimos Quadrados.

Considere uma equação relacionando a variável y com a variável independente x, como)x(fy = , onde y indica que este é o valor aproximado de y. Queremos encontrar a função

)x(fy = , cujo desvio em relação aos valores y seja expresso como iii yy −=δ .

Por uma questão de conveniência trabalharemos com o desvio quadrático ( )2ii2i yy −=δ .

A função )x(fy = que melhor ajusta os pontos (x, y) dados é aquela que minimiza o somatóriodos desvios quadráticos S:

S = ( )∑∑==

−=δn

1i

2ii

n

1i

2i yy (1)

A condição de minimização da função S é satisfeita fazendo-se dS = 0, ou seja,necessitamos calcular a derivada da função S em relação aos parâmetros de ajuste da funçãoy = f(x) para que possamos encontrar o sistema de equações denominado equações normais queconduz ao melhor ajuste dos pontos (x,y) pela função y = f(x) escolhida. Para cada tipo de funçãode ajuste existe um sistema de equações normais que minimiza a soma dos desvios quadráticos S.Em seguida, faremos a dedução das equações normais para alguns tipos de funções maiscomumente empregados no ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados.

Ajuste L inear

Se a função de ajuste for a função linear na forma:

xaay 10 += (2)

onde a0 e a1 são os coeficientes a serem determinados pelo Método dos Mínimos Quadrados. A

condição de minimização do somatório dos desvios quadráticos é dada pelas equações:

0a

S

0=

∂∂

(3)

e

0a

S

1=

∂∂

(4)



Substituindo-se (1) na equação (3), resulta:

( )

−

∂∂=

δ

∂∂=

∂∂ ∑∑

==

n

1i

2ii

0

n

1i

2i

00yy

aaa

S

Substituindo (2) na equação acima, resulta:

( ) ( )( ) 01xaay2xaayaa

Sn

1ii10i

n

1i

2i10i

00=−−−=

−−

∂∂=

∂∂ ∑∑

==

de onde vem que:

∑∑==

=

+

n

1ii1

n

1ii0 yaxan (5)

Analogamente, substituindo-se (1) e (2) em (4), resulta:

∑∑∑===

=

+

n

1i

ii1

n

1i

2i0

n

1i

i yxaxax (6)

As equações (5) e (6) constituem-se no sistema de equações normais, contendo duasincógnitas (a0 e a1) e duas equações. Podemos re-arranjá-las de modo a obter as seguintes

expressões para o seu cálculo:

2n

1i

n

1i

2

n

1i

n

1i

n

1i

n

1i

2

0

xxn

xyxyx

a

−

−

=

∑∑

∑∑∑∑

==

==== (7)

2n

1i

n

1i

2

n

1i

n

1i

n

1i1

xxn

yxxyn

a

−

−

=

∑∑

∑∑∑

==

=== (8)



Exemplo:Ajustar uma função linear pelo método dos mínimos quadrados aos seguintes valores numéricos:

x 0 1,2 2,5 3,7

y 0,134 0,275 0,339 0,401

Resolução:Para resolvermos o problema, vamos calcular os coeficientes das equações normais (5) e (6),através do cálculo na tabela seguinte dos valores de Σx, Σx2, Σy e Σxy:

x y x2 xy0 0,134 0 0

1,2 0,275 1,44 0,332,5 0,339 6,25 0,84753,7 0,401 13,69 1,4837

SOMA = 7,4 1,149 21,38 2,6612

Resumindo:

n = 4 ∑=

=4

1ii 4,7x ∑

=

=4

1ii 149,1y ∑

=

=4

1i

2i 38,21x ∑

=

=4

1iii 6612,2yx

Substituindo nas equações (7) e (8):

1584,076,30

8727,4

)4,7()38,21)(4(

)6612,2)(4,7()149,1)(38,21(a

20 ==−

−=

0696,076,30

1422,2

)4,7()38,21)(4(

)149,1)(4,7()6612,2)(4(a

21 ==−

−=

A função linear que melhor ajusta os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados édescrita pela equação:

x0696,01584,0y +=

Ajuste Polinomial

Seja uma função polinomial de grau m da forma:

mm

2210 xaxaxaay ++++= � (9)

Substituindo (9) na equação para a o somatório do desvio quadrático (1):



S = ( ) ( )∑∑==

−−−−−=−n

1i

2mm

2210i

n

1i

2ii xaxaxaayyy �

As equações normais para o cálculo dos coeficientes da função polinomial são obtidas apartir das condições para a minimização da soma do desvio quadrático:

0a

S

a

S

a

S

a

S

m210=

∂∂==

∂∂=

∂∂=

∂∂ � (10)

Substituindo S em (10) e derivando, resulta:

( )( ) 01xaxaxaay2a

Sn

1i

mim

2i2i10i

0=−−−−−−=

∂∂ ∑

=

�

( )( ) 0xxaxaxaay2a

Sn

1ii

mim

2i2i10i

1=−−−−−−=

∂∂ ∑

=

�

( )( ) 0xxaxaxaay2a

Sn

1i

2i

mim

2i2i10i

2=−−−−−−=

∂∂ ∑

=

�

�

( )( ) 0xxaxaxaay2a

Sn

1i

mi

mim

2i2i10i

n=−−−−−−=

∂∂ ∑

=

�

Rearranjando as equações acima, resulta o seguinte sistema de equações, denominado deequações normais:

∑∑∑∑====

=

++

+

+

n

1iim

n

1i

mi2

n

1i

2i1

n

1ii0 yaxaxaxan �

∑∑∑∑∑==

+

===

=

++

+

+

n

1i

iim

n

1i

1mi2

n

1i

3i1

n

1i

2i0

n

1i

i yxaxaxaxax �



∑∑∑∑∑==

+

===

=

++

+

+

n

1ii

2im

n

1i

2mi2

n

1i

4i1

n

1i

3i0

n

1i

2i yxaxaxaxax �

�

∑∑∑∑∑===

+

=

+

=

=

++

+

+

n

1ii

mim

n

1i

m2i2

n

1i

3mi1

n

1i

2mi0

n

1i

mi yxaxaxaxax �

Na forma matricial, o sistema de equações normais para o ajuste polinomial toma a forma:

[A][x] = [b]

que podem ser escritos omitindo os índices dos somatórios na forma:

=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

++

+

+

m2i

2mi

1mi

mi

2mi

4i

3i

2i

1mi

3i

2ii

mi

2ii

xxxx

xxxx

xxxx

xxxn

]A[

�

��

�

�

�

,

(11)

[ ]

=

m

2

1

0

a

a

a

a

x�

, [ ]

=

∑∑∑∑

imi

i2i

ii

i

yx

yx

yx

y

b�

Observar que a matriz de coeficientes [A] é simétrica, isto é, aij = aji. Deste modo, podemos

determinar o sistema de equações normais para qualquer ajuste polinomial como um subconjuntodo sistema acima.

Ajuste Parabólico

O ajuste parabólico ou de 2a ordem é um caso particular do ajuste polinomial para m = 2:

2210 xaxaay ++= (12)

de modo que o sistema de equações normais pode ser escrito como:



[ ]

=

∑∑∑∑∑∑∑∑

4i

3i

2i

3i

2ii

2ii

xxx

xxx

xxn

A , [ ]

=

2

1

0

a

a

a

x , [ ]

=

∑∑∑

i2i

ii

i

yx

yx

y

b (13)

Exemplo:A tabela seguinte apresenta os valores de calor específico a pressão constante para o ouro na faixade temperatura entre 10 e 100K. Ajustar pelo Método dos Mínimos Quadrados uma curva

parabólica do tipo 2210p TaTaaC ++= , onde Cp é o calor específico e T a temperatura

absoluta.

T(K) 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100

Cp (J/kg.K) 2 7 16 26 37 57 73 84 92 99 104 108

Resolução:Para o cálculo dos coeficientes da matriz [A], por uma questão de compatibili dade com a notaçãode (13), definiremos y = Cp e x = T.

TABELA 1 Coeficientes do sistema de equações

x y x2 x3 x4 xy x2y10 2 100 1000 10000 20 20015 7 225 3375 50625 105 157520 16 400 8000 160000 320 640025 26 625 15625 390625 650 1625030 37 900 27000 810000 1110 3330040 57 1600 64000 2560000 2280 9120050 73 2500 125000 6250000 3650 18250060 84 3600 216000 12960000 5040 30240070 92 4900 343000 24010000 6440 45080080 99 6400 512000 40960000 7920 63360090 104 8100 729000 65610000 9360 842400

100 108 10000 1000000 100000000 10800 1080000SOMA: 590 705 39350 3044000 253771250 47695 3640625

Substituindo-se os valores calculados na tabela nas matrizes do sistema [A][x] = [b], obtém-se:

[ ]A =

12 590 39350

590 39350 3044000

39350 3044000 253771250

[ ]b =

705

47695

3640625

A solução deste sistema de equações obtida por inversão da matriz [A] é:



a0 = -27,1891 a1 = 2,54971 a2 = -0,01202

e a equação ajustada expressa como:

2p T01202,0T54971,21891,27C −+−=

A Fig. 1 mostra os dados experimentais juntamente com a curva parabólica ajustada peloscoeficientes calculados acima, na qual observa-se uma excelente concordância entre a curvaajustada e os pontos experimentais.

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100

Temperatura (K)

Cp

(J/k

g.K

)

Fig. 1 Dados experimentais do calor específico a pressão constante para o ouro (símbolos) e acurva parabólica ajustada (linha).

Ajuste Multivar iável

O ajuste por função polinomial visto anteriormente é um caso particular de um ajustemultivariável, no qual cada um das variáveis x, x2, x3, ..., xm podem ser descritas como variáveisdistintas e independentes entre si: x1, x2, x3, ... , xm. A função dessas múltiplas variáveis pode serescrita como:

y a a x a x a xm m= + + + +0 1 1 2 2 � (14)

Substituindo a função (14) na equação para a soma dos desvios quadráticos resulta:



( ) ( )S y y y a a x a x a xi i

i

n

i m m

i

n

= − = − − − − −= =∑ ∑2

1

0 1 1 2 22

1

�

As equações normais para o cálculo dos coeficientes da função polinomial são obtidas apartir das condições para a minimização da soma do desvio quadrático:

0a

S

a

S

a

S

a

S

m210=

∂∂==

∂∂=

∂∂=

∂∂ � (15)

Calculando as derivadas:

( )( ) 01xaxaxaay2a

S n

1imm22110i

0=−−−−−−=

∂∂ ∑

=�

( )( ) 0xxaxaxaay2a

S n

1i1mm22110i

1=−−−−−−=

∂∂ ∑

=�

(16)

( )( ) 0xxaxaxaay2a

S n

1i2mm22110i

2=−−−−−−=

∂∂ ∑

=�

�

( )( ) 0xxaxaxaay2a

S n

1immm22110i

m=−−−−−−=

∂∂ ∑

=�

Resulta no sistema de equações normais:

na x a x a x a y

i

n

i

n

m

i

n

m i

i

n

0 1

1

1 2

1

2

1 1

+

+

+ +

=

= = = =∑ ∑ ∑ ∑�

x a x a x x a x x a x y

i

n

i

n

i

n

m

i

n

m i

i

n

1

1

0 12

1

1 1 2

1

2 1

1

1

1= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

+

+

+ +

=�

(17)

x a x x a x a x x a x y

i

n

i

n

i

n

m

i

n

m i

i

n

2

1

0 2 1

1

1 22

1

2 2

1

2

1= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

+

+

+ +

=�

�



x a x x a x x a x a x ym

i

n

m

i

n

m

i

n

m

i

n

m m i

i

n

= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

+

+

+ +

=

1

0 1

1

1 2

1

22

1 1

�

Na forma matricial, o sistema de equações normais para o ajuste polinomial toma a forma:

[A][x] = [b] (18)

que podem ser escritos omitindo os índices dos somatórios na forma:

[ ]A

n x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

m

m

m

m m m m

=

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

1 2

1 12

1 2 1

2 2 1 22

2

1 22

��

� � � � �

�

, [ ]x

a

a

a

am

=

0

1

2�, [ ]b

y

x y

x y

x ym

=

∑∑∑

∑

1

2� (19)

Observar que a matriz de coeficientes [A] é simétrica, isto é, aij = aji. Deste modo, podemos

determinar o sistema de equações normais para qualquer ajuste multivariável como umsubconjunto do sistema acima.

Exemplo:Considere os seguintes valores de temperatura (T), pressão (p) e volume (v) específico para o ar.Ajustar uma função multivariável do tipo T = apbvc, na qual a, b e c são constantes a seremdeterminados pelo método dos mínimos quadrados.

Temperatura (K) Pressão (bar) Volume específico (dm3/kg)90 2,397 100,2

100 5,599 44,67110 11,22 22,15120 20,14 11,45130 33,32 5,425

Resolução:Primeiramente, é necessário linearizar a função de ajuste de modo que as constantes estejamdesacopladas das variáveis T, p e v. Para isso, vamos aplicar o logaritmo sobre a função T =T(p,v) para obter:

vn.cpn.banTn �� ++=

Fazendo a seguinte troca de variáveis, y = � n T, x1 = � n p, x2 = � n v, a0 = � n a, a1 = b e a2 = c, aequação acima pode ser re-escrita como:

22110 xaxaay ++=



As equações normais para esta função de ajuste de duas variáveis (x1 e x2) é um subsistema daequação (17) com três incógnitas (a0, a1 e a2) e três equações:

∑∑∑===

=

+

+

n

1ii2

n

1i21

n

1i10 yaxaxna

∑∑∑∑====

=

+

+

n

1ii12

n

1i211

n

1i

210

n

1i1 yxaxxaxax (20)

∑∑∑∑====

=

+

+

n

1ii22

n

1i

221

n

1i120

n

1i2 yxaxaxxax

Vamos calcular na tabela seguinte os coeficientes do sistema de equações normais.

y =� n T x1 = � n p x2 = � n v x12 x2

2 x1x2 x1y x2y4,49981 0,874218 4,607168 0,764257 21,226 4,027669 3,933814 20,731384,60517 1,722588 3,799302 2,967309 14,4347 6,544632 7,932811 17,496434,70048 2,417698 3,097837 5,845263 9,596597 7,489635 11,36434 14,561324,787492 3,002708 2,43799 9,016255 5,943794 7,320571 14,37544 11,671864,867534 3,506158 1,691018 12,29314 2,859542 5,928976 17,06634 8,231088

SOMA = 23,46049 11,52337 15,63332 30,88623 54,06063 31,31148 54,67275 72,69208

Substituindo os valores dos somatórios em (20), obtemos o seguinte sistema de equações:

46049,23a63332,15a52337,11a5 210 =++67275,54a31148,31a8863332,30a52337,11 210 =++

69208,72a06063,54a31148,31a63332,15 210 =++

cuja solução será: a0 = 4,762418, a1 = 0,063776 e a2 = -0,0695. A partir destas constantes,podemos obter a solução para o ajuste multivariável fazendo:

0285,117eeaana 762418,4a0

0 ===⇒= �0695,0ac063776,0ab 21 −====

de modo que0695,0063776,0 vp0285,117T −=

é a função de ajuste do problema.



Linear ização de Funções

As funções transcendentes de duas constantes devem ser linearizadas antes de aplicarmoso Método dos Mínimos Quadrados, a fim de obtermos o sistema de equações normais lineares. Oprocedimento varia, dependendo do tipo de função. Ilustraremos o procedimento de linearizaçãopara as funções exponencial, logaritmica, potencial e hiperbólica.

Ajuste Exponencial

Um ajuste exponencial geralmente emprega uma função do tipo:

bxe.ay = (21)

onde a e b são as constantes da função de ajuste exponencial.Este tipo de função é não-linear, de modo que precisamos linearizá-lo antes de aplicar o

Método dos Mínimos Quadrados. A linearização consiste em transformarmos a equação (21)numa equivalente à equação (2):

xaay 10aj += (22)

Para tanto, aplicamos o logaritmo em ambos os lados de (21):

bxanyn += �� (23)Se fizermos:

yny �=′ (24)

ana0 �= (25)

a1 = b (26)

A equação (21) poderá ser re-escrita como:

xaay 10aj +=′ (27)

Observe que esta equação é idêntica à equação (2), exceto pelo fato de que a variável y' écalculada pelo logaritmo de base natural da variável y original. Aplicando-se as transformações(25) e (26), obtemos as constantes de ajuste exponencial a e b empregando as equações (7) e (8)do Método dos Mínimos Quadrados para a função linear.

Ajuste Logar itmico

Um ajuste logarítmico geralmente emprega uma função do tipo:



xn.bay �+= (28)

onde a e b são as constantes da função de ajuste. Linearizando (21), obtemos as seguintesrelações de transformação:

y' = y x' = xn� aa0 = ba1 = (29)

A relação linearizada toma a forma:

xaay 10aj ′+= (30)

Ajuste Potencial

Um ajuste potencial geralmente emprega uma função do tipo:

bx.ay = (31)


yny �=′ x' = xn� ana0 �= ba1 = (32)

A relação linearizada toma a forma:

xaay 10aj ′+=′ (33)

Ajuste Hiperbólico

Um ajuste hiperbólico geralmente emprega uma função do tipo:

x

bay += (34)


yy =′x

1'x = aa0 = ba1 = (35)

Como sempre, a relação linearizada tem a forma:



xaay 10aj +=′ (36)

Avaliação da Qualidade do Ajuste

Além das funções de ajuste apresentadas neste texto, existem inúmeras outras funçõescom as quais podemos ajustar um conjunto de dados pelo método dos mínimos quadrados. Aquestão fundamental é: qual a função que representa o melhor ajuste entre todas as outrasfunções. Um método pelo qual podemos avaliar a qualidade de um ajuste é através do coeficientede correlação de Pearson. O coeficiente de correlação de Pearson r2 pode ser calculado na formamais geral como:

( )

∑ ∑

∑

= =

=

−

−

−=n

1i

2n

1ii

2i

n

1i

2aji

2

yyn

yyn

1r (37)

O coeficiente de correlação é limitado aos seguintes valores: 0 12≤ ≤r . Quanto maispróximo de 1 for o valor de r2, melhor será o ajuste. Quando r2 ≅ 0 para um ajuste a doiscoeficientes, significa que o coeficiente angular é desprezível. Como um critério neste curso,vamos considerar que um bom ajuste é representado por valores de r2 > 0,99.

Uma outra forma do coeficiente de correlação, válido para ajuste de função do tipo lineary = a0 + a1x, é expressa como:

( )( )[ ]

( ) ( )( ) yx

mm

n

1iaji

n

1i

n

1i

2maj

2mi

n

1imajmi

SS1n

ynxyx

yyxx

yyxx

r−

−

=

−−

−−

=∑

∑ ∑

∑=

= =

= (38)

para a qual n

x

x

n

1ii

m

∑== e

n

y

y

n

1iaj

m

∑== são os valores médios de x e yaj, respectivamente.

As expressões:

( )

1n

xx

S

n

1i

2mi

x −

−

=∑

= e

( )1n

yy

S

n

1i

2maj

y −

−

=∑

=



representam a covariância x e covariância y, respectivamente.A equação (37) tem a vantagem de poder ser usada na avaliação da qualidade do ajuste de

funções polinomiais e multivariáveis. Já a equação (38) somente pode ser utili zada para avaliar aqualidade do ajuste de funções lineares ou linearizadas, como visto com as funções exponencial,logaritmo, potencial e hiperbólica, vistas anteriormente neste texto. Outras funções linearizáveistambém podem empregar a equação (38) para o cálculo do coeficiente de correlação, devendoobservar que os valores de

ExemploAjuste empregando diferentes tipos de funções:

x 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0y 0,525 0,8448 1,2807 1,8634 2,6326 3,6386 4,944 6,6258 8,7768 11,5076 14,9484

Vamos ajustar aos pontos tabelados as seguintes funções: (a) linear y = a0 + a1x, (b) exponencial,do tipo y = aebx, (c) logaritmico, do tipo y = a + b ln x, (d) potencial, do tipo y = axb e (e)hiperbólico, do tipo y = a + b/x. Vamos determinar através do coeficiente de correlação dePearson qual destas funções representa o melhor ajuste e comparar graficamente os ajustesrealizados.

Resolução:

(a) Ajuste linear (regressão linear)

y a a x= +0 1

x y x2 xy

1,0 0,52500 1,000 0,525001,2 0,84478 1,440 1,013741,4 1,28068 1,960 1,792951,6 1,86340 2,560 2,981441,8 2,63260 3,240 4,738682,0 3,63856 4,000 7,277122,2 4,94400 4,840 10,876802,4 6,62580 5,760 15,901922,6 8,77679 6,760 22,819652,8 11,50759 7,840 32,221253,0 14,94844 9,000 44,84532

Soma = 22,0 57,58764 48,400 144,99387

( )a

x y x xy

n x x0

2

2 2 2

4840 5758764 22 14499387

11 4840 228 3187=

−

−=

−−

= −∑ ∑ ∑∑

∑∑( , )( , ) ( )( , )

( )( , ) ( ),

( )a

n xy x y

n x x1

2 2 2

11 14499387 22 57 58764

11 4840 2267770=

−

−=

−−

=∑ ∑ ∑

∑∑( )( , ) ( )( , )

( )( , ) ( ),



Cálculo do coeficiente de corr elação:

Sendo a função de ajuste x7770,63187,8yaj +−= , o coeficiente de correlação:

( )

∑ ∑

∑

= =

=

−

−

−=n

1i

2n

1ii

2i

n

1i

2aji

2

yyn

yyn

1r

requer o cálculo das seguintes quantidades: Σ(y - yaj)2, Σy2 e (Σy)2 que estão apresentadas na

tabela seguinte:

yaj (y - yaj)2 y2

-1,54171 4,27130 0,27563-0,18632 1,06317 0,713651,16907 0,01246 1,640142,52446 0,43700 3,472263,87985 1,55563 6,930585,23524 2,54939 13,239126,59063 2,71139 24,443147,94602 1,74298 43,901239,30141 0,27523 77,0320410,65680 0,72384 132,4246312,01219 8,62155 223,45586

Soma = 57,58764 23,96394 527,52827

Substituindo em r2:

894,0)58764,57(52827,52711

96394,23111r

22 =

−××−=

Para verificação, vamos calcular o coeficiente de correlação pelo segundo método:

sx x

nxm=

−−

= =∑ ( ) ,40

,663322

1

4

100

sy y

nym=

−−

= =∑ ( ) ,

,2

1

22604314

104 75440

r as

sx

y= = =1 6

0

40( ,7770)

,66332

,75440,95 ⇒ r2 = 0,89



Assim, o ajuste linear x7770,63187,8y +−= não representa um bom ajuste porque ovalor de r2 < 0,99.

(b) Ajuste exponencial

bxaey =

Relações para linearização da função exponencial:

′ = = =y ny a na a b� �

0 1

′ = +y a a x0 1

x y' = ln y x2 xy' y’aj (y’ – y’aj)2 y’2

1,0 -0,64436 1,000 -0,64436 -0,44921 0,03808 0,415201,2 -0,16868 1,440 -0,20241 -0,12073 0,00230 0,028451,4 0,24739 1,960 0,34635 0,20775 0,00157 0,061201,6 0,62240 2,560 0,99584 0,53623 0,00743 0,387391,8 0,96797 3,240 1,74235 0,86472 0,01066 0,936972,0 1,29159 4,000 2,58318 1,19320 0,00968 1,668202,2 1,59817 4,840 3,51598 1,52168 0,00585 2,554162,4 1,89097 5,760 4,53833 1,85016 0,00167 3,575772,6 2,17211 6,760 5,64749 2,17865 0,00004 4,718072,8 2,44301 7,840 6,84042 2,50713 0,00411 5,968283,0 2,70461 9,000 8,11382 2,83561 0,01716 7,31490

Soma = 22,0 13,12519 48,400 33,47699 13,12519 0,09855 27,62859

( ) 0916,2)22()40,48)(11(

)47699,33)(22()12519,13)(4,48(

xxn

yxxyxa

222

2

0 −=−

−=−

′−′=

∑ ∑∑ ∑∑∑

( ) 6424,1)22()40,48)(11(

)12519,13)(22()47699,33)(11(

xxn

yxyxna

2221 =

−−=

−

′−′=

∑ ∑∑∑∑

Assim,

6424,1ab

12349,0eea

1

2867,2a0

===== −

de modo que a função de ajuste exponencial tem a forma:

x6424,1e12349,0y ⋅=



Na tabela acima, estão calculados os valores de Σ (y - yaj)2 = 0,09855 e Σy2 = 27,62859,

que substituindo na equação (37) do coeficiente de correlação, resulta:

992,0)12519,13(62859,2711

09855,0111r

22 =

−××−=

Este coeficiente de correlação indica que a função de ajuste exponencial representa umbom ajuste para os dados (x,y).

(c) Ajuste logaritmico

y a b nx= + .�

Relações para linearização da função logaritmica:

′ = = =x nx a a a b� 0 1

y a a x= + ′0 1

x' = ln x y x'2 x'y yaj (y - yaj)2 y2

0,000 0,52500 0,000 0,00000 -2,28673 7,90581 0,275630,182 0,84478 0,033 0,15402 -0,13699 0,96387 0,713650,336 1,28068 0,113 0,43091 1,68059 0,15993 1,640140,470 1,86340 0,221 0,87580 3,25505 1,93669 3,472260,588 2,63260 0,345 1,54741 4,64382 4,04501 6,930580,693 3,63856 0,480 2,52206 5,88612 5,05152 13,239120,788 4,94400 0,622 3,89813 7,00991 4,26800 24,443140,875 6,62580 0,766 5,80068 8,03586 1,98827 43,901230,956 8,77679 0,913 8,38632 8,97964 0,04115 77,032041,030 11,50759 1,060 11,84844 9,85344 2,73622 132,424631,099 14,94844 1,207 16,42254 10,66693 18,33135 223,45586

Soma = 7,017 57,58764 5,761 51,88632 57,58764 47,42781 527,52827

( ) 2867,2)017,7()761,5)(11(

)88632,51)(017,7()58764,57)(761,5(

xxn

yxxyxa

222

2

0 −=−

−=′−′

′′−′=

∑ ∑∑ ∑∑∑

( ) 7909,11)017,7()761,5)(11(

)58764,57)(017,7()88632,51)(11(

xxn

yxyxna

2221 =

−−=

′−′

′−′=

∑ ∑∑∑∑

7909,11ab

2867,2aa

1

0

==−==



A função de ajuste logaritmo tem a forma:

xn7909,112866,2y �⋅+−=

Coeficiente de correlação: 790,0)58764,57(52827,52711

42781,47111r

22 =

−××−=

(d) Ajuste potencial

y axb=

Relações para linearização da função potencial:

′ = ′ = = =x nx y ny a na a b� � �0 1

′ = + ′y a a x0 1

x' = ln x y' = ln y x'2 x'y' yaj (y - yaj)2 y2

0,000 -0,64436 0,000 0,00000 -0,75020 0,01120 0,415200,182 -0,16868 0,033 -0,03075 -0,19479 0,00068 0,028450,336 0,24739 0,113 0,08324 0,27481 0,00075 0,061200,470 0,62240 0,221 0,29253 0,68159 0,00350 0,387390,588 0,96797 0,345 0,56896 1,04040 0,00525 0,936970,693 1,29159 0,480 0,89526 1,36136 0,00487 1,668200,788 1,59817 0,622 1,26009 1,65171 0,00287 2,554160,875 1,89097 0,766 1,65549 1,91677 0,00067 3,575770,956 2,17211 0,913 2,07548 2,16061 0,00013 4,718071,030 2,44301 1,060 2,51537 2,38637 0,00321 5,968281,099 2,70461 1,207 2,97131 2,59655 0,01168 7,31490

Soma = 7,017 13,12519 5,761 12,28698 13,12519 0,04480 27,62859

( ) 7502,0)017,7()761,5)(11(

)28698,12)(017,7()12519,13)(761,5(

xxn

yxxyxa

222

2

0 −=−

−=′−′

′′′−′′=

∑ ∑∑ ∑∑∑

( ) 0463,3)017,7()761,5)(11(

)12519,13)(017,7()28698,12)(11(

xxn

yxyxna

2221 =

−−=

′−′

′′−′′=

∑ ∑∑∑∑

0463,3ab

47227,0eea

1

7502,0a0

===== −



0463,3x47227,0y ⋅=

996,0)12519,13(62859,2711

04480,0111r

22 =

−××−=

O coeficiente de correlação do ajuste potencial é o maior dentre todos os ajustesrealizados até aqui, indicando ser esta a melhor função de ajuste.

(e) Ajuste hiperbólico

x

bay +=

Relações para linearização da função logaritmica:

baaax

1x 10 ===′

y a a x= + ′0 1

x' = 1/x y x'2 x'y yaj (y - yaj)2 y2

1,000 0,52500 1,000 0,52500 -2,72875 10,58687 0,275630,833 0,84478 0,694 0,70398 0,29697 0,30010 0,713650,714 1,28068 0,510 0,91477 2,45819 1,38653 1,640140,625 1,86340 0,391 1,16463 4,07911 4,90936 3,472260,556 2,63260 0,309 1,46256 5,33982 7,32904 6,930580,500 3,63856 0,250 1,81928 6,34839 7,34319 13,239120,455 4,94400 0,207 2,24727 7,17359 4,97105 24,443140,417 6,62580 0,174 2,76075 7,86125 1,52633 43,901230,385 8,77679 0,148 3,37569 8,44312 0,11134 77,032040,357 11,50759 0,128 4,10985 8,94186 6,58297 132,424630,333 14,94844 0,111 4,98281 9,37410 31,07322 223,45586

Soma = 6,174 57,58764 3,921 24,06659 57,58764 76,12000 527,52827

( ) 4255,15)174,6()921,3)(11(

)06659,24)(174,6()58764,57)(921,3(

xxn

yxxyxa

222

2

0 =−

−=′−′

′′−′=

∑ ∑∑ ∑∑∑

( ) 1543,18)174,6()921,3)(11(

)58764,57)(174,6()06659,24)(11(

xxn

yxyxna

2221 −=

−−=

′−′

′−′=

∑ ∑∑∑∑



1543,18ab

4255,15aa

1

0

−====

x

1543,184255,15y −=

663,0)58764,57(52827,52711

12,76111r

22 =

−××−=

(f) Comparação entre os valores fornecidos e os valores ajustados

Pelo cálculo do coeficiente de correlação de Pearson, os melhores ajustes foram osobtidos pelas funções exponencial (r2 = 0,992) e potencial (r2 = 0,996). Através do cálculo dosvalores (x,y) usando as expressões obtidas pelas funções de ajuste, podemos comparargraficamente cada uma das funções de ajuste e verificar que os melhores ajustes calculados pelocoeficiente de correlação de Pearson correspondem às curvas que melhor representam ocomportamento dos valores (x,y) do problema.

Tabela – Comparação entre os valores de y fornecido e ajustados,

Dados fornecidos Dados ajustados

x y Linear Exponencial Logaritmo Potencial Hiperbólico

1,0 0,52500 -1,54171 0,63813 -2,28673 0,47227 -2,72875

1,2 0,84478 -0,18632 0,88627 -0,13699 0,82301 0,29697

1,4 1,28068 1,16907 1,23091 1,68059 1,31628 2,45819

1,6 1,86340 2,52446 1,70956 3,25505 1,97702 4,07911

1,8 2,63260 3,87985 2,37433 4,64382 2,83034 5,33982

2,0 3,63856 5,23524 3,29761 5,88612 3,90150 6,34839

2,2 4,94400 6,59063 4,57992 7,00991 5,21589 7,17359

2,4 6,62580 7,94602 6,36086 8,03586 6,79900 7,86125

2,6 8,77679 9,30141 8,83434 8,97964 8,67645 8,44312

2,8 11,50759 10,65680 12,26965 9,85344 10,87395 8,94186

3,0 14,94844 12,01219 17,04081 10,66693 13,41731 9,37410



(g) Gráfico dos pontos fornecidos e das curvas ajustadas

Gráfico comparativo do s ajustes

-2

2

6

10

14

18

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

y

y

Linear

Exponencial

Logaritmo

Potencial

Hiperbólico

Exercícios

1. Considere a seguinte tabela de dados:

x 1,0 1,4 2,0

y 0,340 2,25 5,89

Ajustar uma função linear do tipo y = a0 + a1x e uma função exponencial do tipo y = aebx aosdados acima. Determinar qual delas representa o melhor ajuste através do cálculo docoeficiente de correlação de Pearson. Verificar graficamente os ajustes calculados.

2. Desenvolver as equações normais para a função f(x) = a.x + b.cos x (a e b são os coeficientes

de ajuste), empregando o Método dos Quadrados Mínimos, ajustá-la aos seguintes valores

numéricos e calcular o coeficiente de correlação:

x 1,0 1,2 2,0

y 1,683 2,046 2,512



3. Considere os seguintes valores numéricos:

x 0 0,5 0,8 1,2 1,8 2,0 3,0

y 3,8 2,8 2,5 1,3 0,4 -0,2 1,0

Traçar o gráfico dos pontos tabelados e ajustar uma função linear a eles. Traçar a reta ajustadaao gráfico dos pontos tabelados. Verificar gráfica e numericamente pelo coeficiente decorrelação de Pearson que o ajuste é de má qualidade. Corrigir o problema que estáprejudicando o ajuste linear e verificar novamente pelo gráfico e pelo coeficiente de correlaçãode Pearson a qualidade do ajuste.

4. Linerizar as seguintes funções:

(a) y a xb

x= +. 2 (b) y a bx= .ln (c) y a x b x= +.sen .cos

(d) y a ebx= .2

(e) y ax bx= + 3 (f) y a bx= +

5. A tabela seguinte fornece a população do Brasil (em milhões de habitantes) desde 1872:

ANO 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990Pop. 9,9 14,3 17,4 30,6 41,2 51,9 70,9 93,1 130 150

Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano 2000 empregando diferentes tiposde ajustes de curvas.

10667-5_ajuste_de_curvas_pelo_método_dos_mínimos_quadrados (1)

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