2 2 21

2 2 22

2 2 23

d a H

d c H

d b H

= +

= +

= +

ПРАВИЛНА ТРОСТРАНА ПРИЗМА

Деф. Правилна тространа призма је призма чија је база једнакостранични троугао.

O сновни елементи :

база (основа) је једнакостранични троугао 2

базе

a 3B О 3а

4= =

омотач М=3аН основна ивица је а бочна ивица (висина) је Н

висина у бази је h и a 3

h 2

=

дијагонала бочне стране је d: 2 2 2d a H= +Специјално, једнакоивична тространа призма је призма код које су све ивице једнаке, тј. код које је a = H. Тространа призма НЕМА дијагонални пресек!

2

Површина правилне тростране призме је: Запремина правилне тростране призме је:

P 2B M V = B H

a 3P 2 3aH

4

= + ⋅

= ⋅ +2a 3

V H4

= ⋅

ТРОСТРАНА ПРИЗМА ЧИЈА ЈЕ БАЗА ПРАВОУГЛИ ТРОУГАО

O сновни елементи :

база (основа) је правоугли троугао cбазе

c ha bB или B О а b c

2 2

⋅⋅= = = + +

омотач М=(а b c)Н+ + основне ивице су а, b, c бочна ивица (висина) је Н висина у бази је hc

дијагонал e бочних страна су d1, d2, d3

Површина ове тростране призме је: Запремина ове тростране призме је:

P 2B M V = B H

a bP 2 (a b c)H

2

= + ⋅

⋅= ⋅ + + + a b V H

2

⋅= ⋅

******************************************************************************************** ПРАВИЛНА ЧЕТВОРОСТРАНА ПРИЗМА Деф. Правилна четворострана призма је призма чија је база квадрат. O сновни елементи :

база (основа) је квадрат 2базеB a О 4а= =

омотач М=4аНосновна ивица је абочна ивица (висина) је Н

дијагонала основе је d d a 2 =

дијагонала бочне стране је 2 2 2 d d a H = +

дијагонала призме је 2 2 2 D D d H = +

Специјално, једнакоивична четворострана призма је призма код које су све ивице једнаке, тј. код које је a = H. Такву призму још називамо и КОЦКА. Површина правилне четворостране призме је: Запремина правилне четворостране призме је:

P 2B M V= +2 2

= B H

P 2 a 4aH V a H

⋅

= ⋅ + = ⋅ Ако је база квадрат, постоји један дијагонални пресек чија је површина Pdp = d·H = a 2 · H

ЧЕТВОРОСТРАНА ПРИЗМА ЧИЈА ЈЕ БАЗА ПРАВОУГАОНИК

O сновни елементи :

база (основа) је правоугаоник базеB ab О 2а 2b= = +

омотач М=(2а 2b)Н+основне ивице су а и bбочна ивица (висина) је Н

дијагонала основе је d 2 2 2d a b = +дијагонал e бочне стране су

дијагонала призме је 2 2 2 D D d H = + Мрежа ове четворостране призме

Ако је база правоугаоник, постоји један дијагонални пресек чија је површина

DP P d H = ⋅

Површина правилне четворостране призме је: Запремина правилне четворостране призме је:

P 2B M V= + = B H

P 2 ab (2a 2b)H V ab H

⋅

= ⋅ + + = ⋅

2 2 21 1

2 2 22 2

d d a H

d d a H

= +

= +

2 221 2

1 2

d dd и d а

2 2 + =

мања мања већа већа

a 3d d 2h 2 a 3 d d 2 а

2= = ⋅ = =

ЧЕТВОРОСТРАНА ПРИЗМА ЧИЈА ЈЕ БАЗА РОМБ

O сновни елементи :

база (основа) је ромб 1 2базе

d dB или B аh О 4а

2

⋅= = =

омотач М= 4аНосновна ивица је а бочна ивица (висина) је Ндијагонале основе су

дијагонала бочне стране је

дијагонале призме су

Мрежа ове четворостране призме

Ако је база правоугаоник, постоје два дијагонална пресека чије су површине Pdp1 = d1·H Pdp2 = d2·H

1 2

Површина oве призме је: Запремина ове призме је:

P 2B M V = B H

d dP 2 4aH или

2

= + ⋅

⋅= ⋅ + 1 2d d V H или

2

P 2аh 4aH V ahH

⋅= ⋅

= + =

ПРАВИЛНА ШЕСТОСТРАНА ПРИЗМА

Деф. Правилна шестострана призма је призма чија је база правилан шестоугао.

O сновни елементи :

база (основа) је шестоугао 2

базе

a 3B 6 О 6а

4= ⋅ =

омотач М=6аН основна ивица је а бочна ивица (висина) је Н

2 2 2 d d a H = +

2 2 21 1 1

2 2 22 2 2

D D H d

D D d H

= +

= +

2 2 2 d d a H = +

2

2

2

B a површина основе (базе)

a hM 4 P 4 2ah површина омотача

2

P B M P a 2ah површина пирамиде

B H a HV= V= запрем

3 3

∆

=⋅= ⋅ = ⋅ =

= + ⇒ = +

⋅ ⋅⇒ ина пирамиде

dp

d HP површина дијагоналног пресека

2

⋅=

d a 2=

2

a

2a

2

a 3B површина основе (базе)

4ah

M 3P 3 површина омотача 2

aha 3P B M P 3 површина пирамиде

4 2

B H 1 a 3V= V= H запремина пирамиде

3 3 4

∆

=

= = ⋅

= + ⇒ = + ⋅

⋅ ⇒ ⋅ ⋅

a 3h

2=

дијагонале основе су дијагонала бочне стране је

дијагонале призме су

Површина правилне шестостране призме је: Запремина правилне шестостране призме је:

P 2B M V = = +2 2

B H

a 3 a 3P 2 6 6aH V 6 H

4 4

⋅

= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅

******************************************************************************************** ПРАВИЛНА ЧЕТВОРОСТРАНА ПИРАМИДА

Геометријско тело у чијој се основи налази квадрат, а омотач чине четири једнакокрака троугла, назива се правилна четворострана пирамида.

Ознаке:- а основна ивица- s бочна ивица- d дијагонала основе - Н висина пирамиде- h бочна висина - апотема

******************************************************************************************** ПРАВИЛНА ТРОСТРАНА ПИРАМИДАГеометријско тело у чијој се основи налази једнакостранични троугао, а омотач чине три једнакокрака троугла, назива се правилна тространа пирамида.

Ознаке:

2 2 2мања мања мања

2 2 2већа већа већа

D D H d

D D d H

= +

= +

2

aa

2

a

2

a 3B 6 површина основе (базе)

4ah

M 6P 6 =3ah површина омотача 2

a 3P B M P 6 3ah површина пирамиде

4

B H 1 a 3V= V= 6 H запремина п

3 3 4

∆

=

= = ⋅

= + ⇒ = ⋅ +

⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ирамиде

m

v

a 3d 2h 2 = a 3

2

d 2a

= = ⋅

=

vdpv

d H 2a H P aH

2 2

површина већег дијагоналног

пресека

⋅ ⋅= = =

2

P 2B M површина ваљка

V=B H запремина ваљка

В = r површина базе (основе)

М =2r Н површина омотача

= +

⋅

π

π

opP 2rH површина осног пресека ваљка=

2

P B M површина купе

BHV запремина купе

3

B = r површина основе (базе)

M = r s површина омотача

= +

=

π

π

ор

R H 2r HP r H

2 2површина осног пресека

⋅ ⋅= = = ⋅

- а основна ивица- s бочна ивица- h висина основе- Н висина пирамиде- ha бочна висина - апотема

За разлику од четвоространих пирамида, тространа НЕМА дијагонални пресек, јер нема дијагоналу у основи.Истаћи, правилна једнакоивична тространа пирамида се назива тетраедар и код ње је s = a. ******************************************************************************************** ПРАВИЛНА ШЕСТОСТРАНА ПИРАМИДА

Геометријско тело у чијој се основи налази правилни шестоугао, а омотач чини шест једнакокраких троуглова, назива се правилна шестострана пирамида.

Ознаке:- а основна ивица- s бочна ивица- h висина основе- Н висина пирамиде- ha бочна висина – апотема- dm мања дијагонала основе- dv већа дијагонала основе

Шестострана пирамида има два дијагонална пресека, јер има две дијагонале у основи.

********************************************************************************************ВАЉАК КУПА

ЛОПТА

2

3

P 4r површина лопте

4V= r запремина лопте

3

= π

π