MOVIMIENTO CIRCULAR

2

Vista vertical del MCU

Vista horizontal del MCU

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Es el movimiento cuya trayecto-ria es una circunferencia y es recorrida con rapidez constante.

Elementos:

Revolución o Vuelta. Es un recorrido a toda la longitud de la circunferencia.

Período (T). Es el tiempo que demora una revolución. Se mide en segundos.Frecuencia ( f ). Es el número de revoluciones en la unidad de tiempo.

MOVIMIENTO CIRCULAR

Eje de rotación

ro

ro

•

•

t > 0 θ

St = 0

θ t > 0

St = 0

La frecue ncia es el inverso del período.

f = 1 / T

La frecuencia se mide en: rev/s o ciclos/s. Una unidad práctica es la

r.p.m = revolución / minuto

3

Velocidad Angular media. Es la relación entre el ángulo descrito y el tiempo transcurrido.

ωm =θ

t(1)

Unidades: rad / s

MOVIMIENTO CIRCULAR

Vista horizontal del MCU

Eje de rotación

ro

• t > 0 θ

St = 0

Si el movimiento circular es continuo, en cada revolución el ángulo descrito es θ = 2 radianes y el tiempo transcurrido es igual al período ( t = T ).

Entonces:

ωm =2 T

(2)

ó ωm = 2 f

4

Velocidad Angular Instantánea. Es la velocidad angular en cada instante o punto de la trayectoria del móvil. Esta velocidad se define como la derivada

•

ωmLa velocidad angular instantánea es un vector perpendicular al plano de rotación y de un sentido igual al de avance de un tornillo derecho cuando es girado en el sentido del movimiento circular

ω = d θ

d t(3)

o r θ (t)

MOVIMIENTO CIRCULAR

En el movimiento circular uniforma la velocidad angular media y la velocidad angular instantánea son de igual módulo ( ωm = ω )

5

Velocidad tangencial o lineal media. Es la relación entre el arco descrito y el tiempo transcurrido.

Vm =S

t(4)

Unidades: m/s, cm/s, pie/s

MOVIMIENTO CIRCULAR

Si el movimiento es continuo en cada revolución el móvil describe un arco S = 2 r, en un tiempo igual al período ( t = T).

(5)Vm = 2 r T

Vm = 2 r f ó

•

La velocidad tangencial en función de la velocidad angular es:

Vm =2 T

r Vm = ω r (6)

ωm

o rS

θ (t)Vm

Entonces:

6

Velocidad Tangencial Instantánea. Es la velocidad tangente a la curva en cada instante o punto de la trayectoria. Esta velocidad se define como:

V =d s

d t(7)

MOVIMIENTO CIRCULAR

La velocidad tangencial instantá-nea cambia continuamente de dirección con el tiempo en cada punto de la trayectoria.

S

θo

r

V2

Δ V

V1

(t1 )

V2

(t2 )

Δ V = V2 – V1 (8)•

ds El cambio de velocidad tangen-cial se expresa en la forma:

El sentido de ΔV es hacia el centro de la circunferencia.

7

Aceleración Centrípeta. Es la relación entre el cambio de velocidad tangencial y el tiempo transcurrido.

S

•

θo

r

ac

V2

Δ V

V1

(t1 )

V2

(t2 )

Unidades: cm/s2, m/s2, pie/s2

Según esta definición, la aceleración centrípeta es un vector dirigido hacia el centro de la circunferencia.

MOVIMIENTO CIRCULAR

El módulo de la aceleración centrípeta es:

ac = V 2

r

(10)

y usando V = ω r obtenemos:

ac = ω 2 r (11)

=Δ V

Δ t

V2 - V1

t2 - t1

ac = (9)

Tarea: Obtener la Ec. (10)

8

Movimiento Circular Uniformemente Variado. Es el movimiento en el cual el módulo de la velocidad (angular y tangencial) cambia en forma constante con el tiempo

Δ ω

Δ t(12)m =

ω 2 – ω1

t2 – t1=

MOVIMIENTO CIRCULAR

ω2

t2

V2

θ2

ω2ω1

Δ ω m

Según esta definición y el diagrama vectorial, la aceleración angular es un vector paralelo al cambio de velocidad angular.

orθ1 V1

ω1

t1•

Aceleración angular media. Es la relación entre el cambio de velocidad angular ( ω ) y el tiempo transcurrido ( t )

9

Si el tiempo es medido desde t1 = 0 hasta t2 = t , entonces el módulo de la aceleración angular se puede escribir en la forma:

MOVIMIENTO CIRCULAR

m = ω2 – ω1

t(13)

Las unidades de la aceleración angular son: rad / s2

De la ecuación (13) se obtiene la velocidad angular final:

ω2 = ω1 + m t (14)

Esta ecuación es similar a la ecuación que define la velocidad final del movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Comparando estas dos ecuaciones vemos que solamente hemos cambiado los parámetros lineales ( V y am ) por los parámetros angulares ( ω y m ).

V2 = V1 + am t

10

Por lo tanto, deducimos que las otras ecuaciones del movimiento circular uniformemente variado (M.C.U.V) son similares a las del M.R.U.V.

(15)ω m = ω2 + ω1

2

MOVIMIENTO CIRCULAR

Esto es:

La velocidad angular media podemos definirla como:

El desplazamiento angular entre los instantes t1 y t2 es:

(2 – 1 ) = ω m ( t2 – t1 )

Si en esta ecuación usamos la velocidad angular media obtenemos:

ω2 + ω1

2 ( 2 – 1 ) = ( ) ( t2 – t1 )

ω2

t2

V2

θ2

orθ1 V1

ω1

t1•

11

Ahora, si t1 = 0 y t2 = t entonces:

MOVIMIENTO CIRCULAR

ω2 + ω1

22 - 1 = ( ) t (16)

Usando la Ec. (14) en la Ec.(16) se obtienen la siguiente ecuación:

θ2 - θ1 = ω1 t + ½ m t2 (17)

Estas ecuaciones son también similares a las del M.R.U.V, pues

solamente hemos cambiado los parámetros lineales (X, V, a) por los parámetros angulares.

2 (θ2 – θ1 ) m = (ω2 ) 2 – (ω1 ) 2 (18)

Despejando “t” en la Ec.(14) y reemplazando en la Ec.(16) obtenemos la ecuación siguiente:

12

Aceleración Angular Instantánea. Es la aceleración angular en un instante o punto determinado de la trayectoria y se define como:

MOVIMIENTO CIRCULAR

En el M.C.U.V la aceleración angular media y la aceleración angular instantánea son iguales: m = .

=d ω

d tó (19) =

d 2 θ

d t2

Aceleración Tangencial Instantánea. Es la aceleración debido al cambio de módulo de la velocidad tangencial.

o r

•at =

d V

d t(20)

Esta aceleración es un vector tangente a la curva y se define como la derivada

Las unidades son: cm/s2, m/s2, pie/s2

V2

ω2

V1

ω1

at

13

Aceleración Lineal Total. Es la aceleración que se obtiene sumando la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial en un instante determinado.

o

ω a = ac + at(21)

El módulo de la aceleración lineal total entonces es:

(22)a = ( ac ) 2 + ( at ) 2

•a

atPac

MOVIMIENTO CIRCULAR

Donde, como ya explicamos, anteriormente, los módulos de las aceleraciones componentes son:

ac = V2 / r y at = d V /dt

óa = ( V2 / r )2 + ( d V / dt )2

14

Movimiento Curvilíneo General. Es el movimiento que realiza una partícula sobre una trayectoria curva cualquiera.

aN = V2

ρ(23)

Donde ρ es el radio de curvatura de la curva en un punto.

La Aceleración Tangencial es definida como:

at = d V

d t(24)

MOVIMIENTO CURVILINEO

aaN

N

No

rmal

La Aceleración Normal o radial es definida como

La aceleración total del móvil en un punto cualquiera de su trayec-toria es igual a la suma de la Aceleración Normal y la Aceleración Tangencial Instantáneas

T

Tangente

at

P

C

15

Ejemplo 1. Una rueda de 60 cm de radio gira a razón de 1200 r.p.m. Calcular: a) La velocidad angular, b) la velocidad tangencial y c) la aceleración centrípeta de un punto en el borde de la rueda. Si luego después la rueda es decelerada en forma constante hasta detenerse en 25 s, calcular: d) La aceleración angular media y e) el número de vueltas que dio hasta detenerse.

a) La velocidad angular se obtiene con:

ω = 2 f1 ω = 2 (20) ω = 40 = rad/s

b) La velocidad tangencial se obtiene con:

V = 2 r f1 V = 2 (0.60) (20) V = 24 = m/s

MOVIMIENTO CURVILINEO

Datos: r = 60 cm = 0.60 m, f1 = 1200 r.p.m = 20 rev/s, t = 25 s, f2 = 0

Solución.

16

c) La aceleración centrípeta se obtiene con:

ac = ω 2 r = ( 2 f1 ) 2 r ac = 4 2 (f1 ) 2 r

ac = 4 2 (20) 2 (0.60) ac = m/s2

MOVIMIENTO CURVILINEO

d) La aceleración angular media se obtiene con:

m = ω2 – ω1

t = m =

m = 2 ( 0 – 20 )

25 = rad/s2

e) El número de vueltas de obtiene con:

Usando valores

17

MOVIMIENTO CURVILINEO

Ejemplo 2. Un auto toma una curva a una velocidad de 100.8 km/h, en un punto donde el radio de curvatura es de 180 m . Calcular: a) La velocidad angular el auto y b) su aceleración centrípeta en el punto de la curva.

ρcV

Solución:

Datos:

ρ = 180 m, es el radio de curvatura

V = 100.8 km/h = 28 m/s, es la velocidad tangencial del automóvil.

18

a) La velocidad angular se obtiene de:

V = ω r

ω = rad/s

28 = ω 180

b) La aceleración centrípeta o radial se obtiene con:

ac = V 2

ρ

= m/s2ac = 28 2

180

MOVIMIENTO CURVILINEO