1.2.10 알고리즘 분석

아꿈사 박민욱

알고리즘 M ( 최대값 찾기 )

n 개의 원소 X[1], X[2], ... ,X[n] 이 주어졌을때 , 이 되는 m 과 j 를 찾고자 한다 .

m : 최대값J : 최대값의 위치 값

1. j = n, k = n - 1, m = X[n] 으로 설정한다 .

2. 만일 k == 0 이면 알고리즘을 종료한다 .3. 만일 X[k] <= m 이면 M5 로 간다 .4. j = k, m = X[k] 로 설정한다 . 5. k 를 1 감소하고 M2 로 돌아간다 .

알고리즘 M 분석 결과

M1 1M2 nM3 n-1M4 AM5 n-1

필요한 값A 의 최소값 ( 낙관적 관점 )최대값 ( 비관적 관점 ) 평균 ( 확률적 관점 ) 표준 편차 ( 평균이 실제 값에 얼마나

근접하는지를 가리키는 수량 )

A 의 최소값은 0 이다 . 최대값은 n-1평균값은 0 과 n-1 사이이다 .

X[1] < X[2] < X[3] 0X[1] < X[3] < X[2] 1X[2] < X[1] < X[3] 0

X[2] < X[3] < X[1] 1X[3] < X[1] < X[2] 1X[3] < X[2] < X[1] 2

따라서 n 이 3 일 때 A 의 평균값은 5/6 이다 .

표준편차는 분산의 제곱근 , 즉 으로 정의 된다 .

분산 ?

표준편차 ?

순열 개수를 = 라고 하자

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

생성함수 자체로부터 평균과 분산을 쉽게 구할 수 있다는 사실 !

(10)

(11)

(12)

(13)

초기조건 으로부터

(14)

정리 A. G 와 H 가 G(1) = H(1) = 1 인 두 생성 함수 라고 하면 수량 mean(G) 와 var(G) 가 식 (12) 와 식 (13) 으로 정의 된다고 할 때 다음이 성립된다 .

mean(GH) = mean(G) + mean(H)

var(GH) = var(G) + var(H)(15)

마지막으로 임으로 다음이 성립한다

최소값 : 0평균 : 최대값 : 표준편차 :