第２回　サブゼミ

今日は“集合”

集合とは？集合：「もの」の集まり　 ex.) ①1 ～ 10 までの自然数の集まり　　 ②竹村ゼミ

要素：集合に含まれている 1 つ 1 つの「もの」 　 ex.) ① 3 （ 1 ～ 10 の集合の要素）　　 ②竹村ゼミという集合における要素は？

集合と要素の表記方法a が集合 A の要素のとき、「 a は集合 A に属する」といいます。

a A または A a

1 から 10 までの自然数のうち、奇数全体の集合を M とすると、 M は 1,3,5,7,9 を要素とする集合。

M={ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

竹村ゼミ ={ 嶌津君 , 田村さん , 潤子ちゃん… }このように、集合の要素が多いときには“ ・・・”を用いて表します。

他にも…1 から 10 までの奇数全体の集合 M は

M={ x|1≦x≦10 , x は奇数 }

• X… 集合 M の要素の代表• | の右側… x の満たす条件

条件を書く方法の例題1 ）自然数のうち、 3 の倍数全体の集合を A とするとA = { 3 , 6 , 9 , 12 …} となります。

⇒A = { 3n | n は自然数 }2 ）自然数のうち、偶数全体の集合を A 、奇数全体の集合を B とすると、 A,B はそれぞれA = { 2n | n は自然数 }B = { 2n + 1 | n = 0 , 1 , 2 , 3 , ・・・ }

もんだい3 で割って 2 余る自然数全体の集合を C

とします。集合 C を例 2 にならって表しましょう。ただし、 3×0 + 2 = 2 も含めます。

正解は、C = {3n + 2 | n = 0 , 1 , 2 , 3 , ・・・ }

部分集合2 つの集合 A,B について、A のどの要素も B の要素になるとき、

A B または B A（ A は B の部分集合である）

例えば、竹村ゼミの学生の集合も早稲田大学の学生の集合の要素竹村ゼミ 早稲田 または 早稲田竹村ゼミ

2 つの集合 A,B において、AB かつ B A が成り立つとき、

A = B （ A と B は等しい）

このように、記号や = などで表される集合の間の関係を包含関係といいます。

A B , B C ⇒ A Cが成り立つ。

共通部分と和集合2 つの集合 A,B において、A と B のどちらにも共通に属する要素全体の集合

A B （ A と B の共通部分）A B = { x | x A かつ x B }

A か B の少なくとも一方に属する要素全体の集合

A B （ A と B の和集合）A B = { x | x A または x B }

空集合2 つの集合 A,B が、共通の要素を 1 つも持たないとき、 A B には要素が全くないですが、これも 1 つの集合と考えます。要素を 1 つも持たない集合

A B = （空集合）

例）自然数のうち、偶数全体の集合 A と奇数全体の集合 B は空集合

3 つの集合(AB)C と A(BC) はいずれも、A,B,C のどれにも共通に属する要素全体の集合です。

A B C （ A,B,C の共通部分）( AB )C と A( BC ) はいずれも、A,B,C の少なくとも 1 つに属する要素全体の集合です。

A B C （ A,B,C の和集合）

全体集合と補集合1 つの集合 U を指定して、 U の要素や、U の部分集合だけを考えるとき、U を全体集合といいます。全体集合 U の部分集合 A に対して、 A に

属さない U の要素全体の集合（補集合）

このとき、　　　　　　　　　　　

A

A

AA , UAA

ド・モルガンの法則一般に、 AB 、 AB の補集合については、

がいえます。これを、ド・モルガンの法則といいます。

BAB A,BABA