17 ejercicios para hacer en clase.pdf

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Curso: Matemática I Ejercicios geometría euclidiana del plano.

IFE Maldonado Departamento de Matemática Año 20 !

"o#re a$iomas% notaci&n% posiciones relati'as de dos rectas(

Ejercicio 1: Traza tres puntos no alineados. Nómbralos A, B, C. Representa (y escribe la notacióncorrespondiente):

i. Con color azul la recta AB.ii. Con color rojo la semirrecta AC

iii. Con color verde la semirrecta opuesta a la semirrecta ACiv. Con color negro el segmento BCv. Con color amarillo el semiplano de borde BC que no contiene a A

Ejercicio 2: Indica con verdadero o falso, considerando los puntos A, B, C del ejercicio anterior yotro punto P alineado con AB. Fundamenta tus respuestas.

i. Por un punto existen al menos dos rectasii. El punto C pertenece a la semirrecta AB

iii. Dos rectas siempre son coplanaresiv. La recta AP es igual (coincidente) a la recta ABv. La semirrecta AP es igual a la semirrecta PA

vi. Si dos rectas no son secantes, entonces se cruzanvii. El segmento BP es igual al segmento PB

viii. El punto si un punto Q (alineado con B y C) precede a B y sigue a C, entonces Q es el puntomedio del segmento BC

ix. Toda recta AB tiene un único punto mediox. Ninguna semirrecta tiene punto medio

xi. Las rectas AC y BP son secantesxii. Las rectas AC y BP se cruzan

xiii. Dados dos puntos diferentes hay más de una recta que contiene a ambos puntos

xiv. Si , φ =∩

m AB entonces A y B están en semiplanos distintos de borde m

Ejercicio 3: Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B ,C ,D ,E de tal manera que:AC + BD + CE = 45, AE = 30 y DE = 2AB. Calcula la medida del segmento AB.

"o#re ángulos(

Ejercicio 4: Construcción de la mediatriz de un segmento.Representa un segmento AB.

i. Traza su mediatriz con regla y escuadra. Justifica esta construcción.ii. Traza su mediatriz solo con regla no graduada y compás. Justifica esta construcción.

iii. Traza su mediatriz considerando que uno de los semiplanos determinados por la recta AB esinaccesible. Justifica esta construcción.

Ejercicio 5: Construcción de ángulos y bisectriz.i. Traza con semicírculo un ángulo cuya amplitud sea 38º. Nombra y representa su vértice concolor azul. Nombra y representa sus lados con color rojo.

ii.Traza con regla no graduada y compás un ángulo de 60º. Construye su bisectriz y nómbrala.iii. Traza con regla no graduada y compás un ángulo de 30º y vértice Tiv. Sea AB un segmento. Traza (con regla y compás) un ángulo cuya amplitud sea 15º tal que

AB esté contenido en un lado de dicho ángulo. Nómbralo.

v. Traza un ángulo de 75º con regla y compás.vi. Escribe al menos 6 amplitudes de ángulos que serías capaz de construir con regla y compás

vii. Traza dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares con regla y compás


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Ejercicio 6: Determinar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Fundamenta.i. Los ángulos opuestos por el vértice son suplementarios.

ii. Dos ángulos complementarios son agudosiii. La bisectriz es una rectaiv. El vértice de un ángulo pertenece al mismov. El vértice de un ángulo es un punto interior del mismo

vi. Dado un segmento, la mediatriz es el segmento que lo divide en dos partes igualesvii. Dos ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios.

viii. Dos ángulos adyacentes son complementarios o suplementarios.ix. Una perpendicular es una recta que va hacia arriba y otra hacia abajo.x. Las bisectrices de dos ángulos suplementarios adyacentes son perpendiculares. Fundamenta

cada una de las afirmacionesxi. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes.

xii. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes.xiii. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice están sobre la misma recta.

xiv. Si la medida de un ángulo es el doble de la de su complemento, ¿Cuál es la medida de cadaángulo?

xv. Si uno de dos ángulos suplementarios tiene una medida de 50° menos que la medida del otro.¿Cuál es la medida de cada uno?

xvi. Dos ángulos adyacentes son suplementarios, si uno de ellos mide X°, ¿cuál será la amplituddel ángulo formado por las bisectrices de ambos?

Ejercicio 7: Construye un ángulo obtuso y divídelo en cuatro partes iguales. ¿puedes dividirlo entres partes iguales?

Ejercicio 8: Enunciados para completar:i. Las bisectrices de dos ángulos complementarios adyacentes forman un ángulo de ______

ii. Las rectas que contienen los lados de un ángulo recto son ___________________iii. Las parejas de ángulos no adyacentes que se forman cuando dos rectas se cortan se llaman __iv. Un ángulo______________ tiene una amplitud mayor que su suplemento.v. El ángulo A es el complemento de un ángulo cuya amplitud es 42º. El ángulo B es el

suplemento de A, entonces la amplitud de B es __________vi. Dos ángulos que tienen el mismo complemento son _________________

vii. Dos ángulos que tienen el mismo suplemento son _________________viii. La medida de un ángulo que es congruente a su complemento es _________

ix. La medida de un ángulo que tiene como medida la mitad de la medida de su suplemento es __x. Si los lados no comunes de dos ángulos consecutivos son mutuamente perpendiculares,

entonces los ángulos son _______________

Ejercicio 9: Determina la amplitud del ángulo x,en cada caso:


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Ejercicio 10: Sabiendo que la figura representa un paralelogramo, fundamenta las siguientespropiedades entre los ángulos, según la figura.

"o#re mediatri)% #isectri) * otros lugares geom+tricos(

Ejercicio 11: El siguiente es un recorte de un mapa, donde las ciudades de Agnesi yBolzano se representan por A y B, y la costa está indicada por la curva.a) Representa en este mapa, las posibles ubicaciones de un antiguo tesoro que, según las leyendas, se

encuentra a igual distancia de ambas ciudades.b) Si se sabe que se encuentra sobre la costa, ¿puedes ubicarlo en elmapa?c) El Faro, representado en el mapa con la letra F, está a 10 Km. dela ciudad de Agnesi. Indica en el mapa la región donde se divisará elfaro cuando la visibilidad sea de 7 Km.

Ejercicio 12: Dado un ángulo AOB, hallar un punto P que seencuentre a 1 cm de ambos lados del ángulo.

i. Ubicar un punto Q que se encuentre a 2 cm de ambos lados del ángulo.ii. Ubicar un punto R sobre la recta PQ, tal que OR sea 3cm, ¿R equidista de los lados del

ángulo? Fundamenta.iii. ¿Puedes calcular la distancia de R al lado OA?

Ejercicio 13: Traza tres puntos A, B y C que cumplan:i. d(A,B)=5 cm; d(C, AB)=3 cm; C equidista de A y B. ¿Cuántas soluciones hay?

ii. La longitud del segmento AC es 5 cm; la amplitud del ángulo CAB es 45º, d(B,C)=7 cm.

Ejercicio 14: ¿Dónde ha de perforarse un pozopara que esté a la misma distancia de las trescasas? Explica qué harías para solucionar elproblema.

Ejercicio 15: Señala en tu cuaderno un punto A y traza varias circunferencias de radio 3 cm quepasen por A. ¿Qué figura forman los centros?

Ejercicio 16: Traza tres rectas que se corten dos a dos y dibuja una circunferencia que sea tangentea las tres. ¿Es cierto que existen cuatro posibilidades?


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"o#re circun,erencia(

Ejercicio 17: Traza un punto O. Construye la circunferencia de centro O y radio 4.i. Pinta con color amarillo todos los puntos que pertenecen a la circunferencia.

ii. Pinta con color rojo todos los puntos que pertenecen al círculo.iii. ¿El punto O pertenece a la circunferencia? Justifica.iv. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

Ejercicio 18: Traza una )3,(OC y dos puntos A y B de ella, tales que º25ˆ = BO A .i. Representa de color negro la cuerda AB, con color azul el arco menor determinado por A y B

y con color verde el arco mayor AB. Calcula la longitud de cada uno de los arcosii. Representa con color azul un radio, y con color verde otro radio. Nómbralos. ¿Cómo se

denomina la región del plano encerrada por dichos radios y la circunferencia? Calcula el áreade dicha región.

Ejercicio 19: Trazados:i. Traza un segmento y nómbralo AB. Representa una circunferencia que contenga a dichos

puntos. Ana ha encontrado cuatro circunferencias, ¿es esto posible? Justifica.ii. Traza tres puntos no alineados. Encuentra una circunferencia que pase por los tres puntos.

Pedro ha encontrado cuatro circunferencias que cumplen lo pedido, ¿es esto posible? Justifica.iii. Dado un arco de circunferencia, determinar el centro de la misma.iv. Construye una recta y un punto que no pertenezca a ella. Traza una circunferencia que sea

tangente a dicha recta que pase por el punto. Juan encontró cuatro cfas, ¿es posible?v. Construye una recta y un punto perteneciente a ella y otro punto que no pertenezca a ella.

Traza una circunferencia que sea tangente a dicha recta que pase por ambos puntos. Paulaencontró cuatro circunferencias, ¿es posible? Justifica.

Ejercicio 20: Construye una circunferencia tangente a dos rectas coplanarias conociendo el puntode tangencia con una de ellas. Discute según la posición de las rectas.

Ejercicio 21: Construye una circunferencia que pase por dos puntos A y B dados y cuyo centrodiste una longitud d dada de un punto fijo P.

Ejercicio 22: Sean tres rectas coplanares a, b y c secantes dos a dos. Encuentra un punto queequidiste de las tres rectas.

-ngulos en la circun,erencia(

Ejercicio 23: Traza una circunferencia de centro O y marca uno de sus diámetros. Llámale AB.Ubica un punto P sobre la circunferencia. ¿cuál es la amplitud del ángulo APB? ¿cuál es la amplituddel ángulo AOB? Intenta variar la ubicación del punto P ¿varía en algo la amplitud del ángulo APB?.Enuncia esta propiedad como LG. Busca información sobre el nombre de este lugar.

Ejercicio 24: Repite el ejercicio anterior tomando AB como una cuerda no particular. ¿Quéobservas de la amplitud del ángulo APB al variar P?¿Qué relación existe entre los ángulos APB yAOB? Enuncia esta propiedad.


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Ejercicio 25: ¿Cuál es la amplitud de los ángulos P, Q y R?

Ejercicio 26: ¿Cuál es la amplitud de los ángulos interiores del triánguloABC si se sabe que AB=AC?

Ejercicio 27: Determinar el valor del ángulo E DC ˆˆˆ2 ++ , sabiendo que

el arco AB tiene una amplitud de 70º. Fundamenta.

Ejercicio 28: ¿Qué se puede afirmar de un triángulo si uno de los lados coincide conel diámetro de su circunferencia circunscrita?

"o#re longitud de una c,a * área del círculo(

Ejercicio 29: Traza una circunferencia de 5 cm de radio y señala en ella un punto P. ¿Cuántas

cuerdas puedes trazar que tengan un extremo en P? ¿Cuánto mide la de longitud máxima?¿Cuántascuerdas hay que midan 5 cm y que tengan un extremo en P? Halla la distancia de una de esas cuerdasal centro de la circunferencia.

Ejercicio 30:i. ¿Qué longitud de arco corresponden a 30º en una circunferencia de 8 cm., de radio?

ii. Un arco de circunferencia mide 3,49 m. y el radio de la misma es 5 m. ¿Cuál es la amplituddel ángulo?

iii. Calcula la medida, en grados, de un arco de 31,4 cm correspondiente a una circunferencia de471 cm de longitud.

Ejercicio 31: Dado el siguiente dibujo:a) Calcula la amplitud del arco AB.b) Halla el área de la parte sombreada

Ejercicio 32: El área de una corona circular es 20 π cm2, y lacircunferencia interna mide 8 π cm. Calcula el radio de lacircunferencia externa.

Ejercicio 33: Reproduce con regla y compás las siguientes figuras. Repite lasconstrucciones con Geogebra.


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olígonos(

Ejercicio 34: Calcula los ángulos x, y z en los siguientes polígonos regulares:

Ejercicio 35: Construye con regla y compás un polígono regular de 3 lados (si llamamos n alnúmero de lados, n=3) y nómbralo usando las primeras letras del abecedario ¿Cómo se denominaeste polígono? ¿Qué características tiene? Señala con color rojo sus vértices, con azul los puntos que

pertenecen a sus lados y con amarillo todos los puntos que pertenecen al polígono. ¿Cuántasdiagonales tiene? Fundamenta. Reitera el ejercicio para un polígono regular de 4,5,6,7,8, 9 y 10lados.

Ejercicio 36: Para al menos tres polígonos regulares, traza la circunferencia circunscrita al mismo yla circunferencia inscripta en el.

Ejercicio 37: Un cuadrilátero se dice inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están sobreella. ¿Qué propiedad deben cumplir los ángulos de un cuadrilátero para que sea inscriptible?

Ejercicio 38: Construye un octágono regular inscripto en una circunferencia de 5cm de radio,calcula la apotema de dicha figura y determina su número de diagonales, sabiendo que el lado deloctágono es de 3,8cm.

Ejercicio 39: Probar que en un polígono regular de n lados…i. Cada ángulo interior tiene una amplitud de (n-2).180º/n

ii. Cada ángulo exterior tiene una amplitud de 360º/niii. Cada ángulo central tiene una amplitud de 360º/n

/riángulos(

Ejercicio 40: Construye un triángulo ABC en cada uno de los siguientes casos:i. [AB]=8cm; [BC]=6cm y [AC]= 13 cm.

ii. [AB]=8cm; [BC]=6cm y [AC]= 17 cm.iii. [AB]=8cm; [BC]=6cm y [AC]= 14 cm.iv. [AB]=8cm; [BC]=6cm y [AC]= 2 cm.v. [AB]=8cm; [BC]=6cm y [AC]= 1 cm.

vi. Observando los casos trabajados y formulándote tu mismo otros casos, intenta establecer larelación entre la medida de los lados de un triángulo para que el mismo pueda ser construido.

Ejercicio 41: Construye un triángulo escaleno y representa en él las tres mediatrices de sus lados.¿qué observas? Investiga cómo se nombra este punto y registra en tu cuaderno la propiedad quecumple. Propón un ejercicio contextualizado, para los alumnos de 6to, donde deban aplicar estapropiedad.


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Ejercicio 42: Construye un triángulo escaleno y representa las bisectrices de sus ángulos interiores.¿Qué observas? Investiga cómo se nombra este punto y registra en tu cuaderno la propiedad quecumple. Propón un ejercicio contextualizado, donde deban aplicar esta propiedad.

Ejercicio 43: Construye en Geogebra un triángulo acutángulo ABC. Representa las rectas que

contienen a las tres alturas del triángulo. ¿Qué observas? Investiga cómo se nombra este punto H.Moviendo uno de los vértices del triángulo, modifica el mismo para que sea rectángulo y luegoobtusángulo. Observa lo que sucede con el punto H al tener un triángulo u otro. Registra tusobservaciones y conclusiones en tu cuaderno.

Ejercicio 44: Construye en cartón un triángulo ABC y representa las 3 medianas de dicho triángulo.¿Qué observas? Llamémosle G a este punto y M al punto medio del lado AB. Toma la medida delsegmento CG y del segmento GM, ¿Cuál es su relación?Investiga si la relación es la misma para los otros vértices.Intenta ahora, recortando el triángulo ABC, suspender con un hilo el triángulo pendiendo de un solopunto, de forma tal que quede en un plano horizontal. ¿Cuál es el punto elegido? Investiga el nombredado a este punto y sus propiedades.

Ejercicio 45: Construye un triángulo ABC en cada uno de los siguientes casos…i. [AB]=6cm; [BC]=5cm; la altura respecto al vértice C es 4cm. Calcula su área.

ii. [AB]=6cm; [BC]=5cm; la mediana [CC´] trazada desde el vértice C, mide 6cm. Clasifica adicho triángulo según sus ángulos.

iii. un cateto mide 4 cm y la altura correspondiente a la hipotenusa es de 3 cm.

Ejercicio 46: Enunciados para completar:i. Una __________________ de un triángulo es el segmento determinado por un vértice y el

punto medio del lado opuesto.ii. Una _________________ de un triángulo es el segmento de recta trazado desde un vértice, deforma perpendicular al lado opuesto.

iii. El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama______________iv. El ______________________ es el punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo.v. El _______________________ es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo y es

el punto donde se cortan las ___________________ de un triángulo.vi. Al lado desigual en un triángulo isósceles, generalmente se le llama _______________

vii. Un triángulo rectángulo, siempre tiene un ángulo _______________viii. Los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo se llaman ___________

Ejercicio 47: Indica con verdadero o falso, justificando.i. Una altura de un triángulo pasa por el punto medio de un lado.

ii. El punto donde se cortan las medianas de un triangulo se llama baricentro.iii. El lado mayor de un triángulo siempre se llama hipotenusa.iv. La bisectriz de un ángulo, algunas veces lo divide en dos ángulos congruentes.v. La mediana de un triángulo es también altura.

Ejercicio 48: ¿Qué condición ha de cumplir un triángulo para contener a su circuncentro? ¿Y paraque este sea exterior al triángulo?

Ejercicio 49: Se desea dividir un triángulo en dos triángulos de igual área. ¿Se debe usar unamediatriz, una bisectriz o una mediana para realizar tal división?

Ejercicio 50: Demuestra que en todo triángulo las mediatrices de los lados concurren en un punto.


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/eorema de itágoras(

Ejercicio 51: En un triángulo rectángulo, los catetos miden 4,5 m y 6 m; en otro triángulorectángulo, un cateto mide 7,2 m, y la hipotenusa 7,5 m. ¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro?

Ejercicio 52: Calcula si es posible ingresar a un apartamento una placa de madera de formarectangular de 190x180, a través de una ventana cuyas medidas son 140x120. Explica.

Ejercicio 53: Un albañil debe construir una vivienda exteriormente prismática, de base rectangular,de 15x7 m 2. Con ese objetivo ha marcado el terreno, para construir los pilares. Para verificar susmedidas, toma la medida de la diagonal, resultando ésta 17 metros. ¿Son correctas las marcasrealizadas? Explica.

Ejercicio 54: Construye un triángulo ABC, rectángulo en A e isósceles. Llamaremos u a la longitudde cada uno de estos catetos. Calcula la longitud de la hipotenusa en función de u.

Ejercicio 55: La longitud de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero es 20 cm.a) ¿Cuánto mide la circunferencia circunscrita?b) ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

Cuadriláteros(

Ejercicio 56: Utilizando únicamente regla y compás, realiza los siguientescuadriláteros ABCD, registrando brevemente los pasos seguidos.

i. ABCD rombo, tal que la medida de su lado es 4 cm y una de sus diagonales mide 3 cm

ii. ABCD paralelogramo tal que [AB] = 4 cm, [BD]=7cm y la amplitud del ángulo BAD es 60ºiii. ABCD paralelogramo tal que [AB] = 5 cm, [AC]=8cm y [BD]=6cmiv. ABCD rombo, tal que la medida de su lado es 4 cm y la amplitud del ángulo ABC es 45ºv. ABCD rombo, tal que las medidas de sus diagonales son 8 y 6 cm.

vi. ABCD trapecio tal que [AB] = 8cm, [BC]=4cm, [CD]=5cm y [AD]=3cm.vii. ABCD cuadrado tal que [AC] = 8cm

Ejercicio 57: Considera un cuadrado ABCD y un punto E perteneciente al lado AB. Construye elcuadrado EFGH, sabiendo que todos sus vértices pertenecen a los lados del cuadrado ABCD

Ejercicio 58: Dados ABC y BCD triángulos equiláteros con BC común, AO, BN y CR medianas de

ABC y BS, CM y DO medianas del BCD, demuestra:i. ABCD rombo

ii. BMCN rectánguloiii. PBQC es rombo, siendo { } CR BN P ∩= y { } PS CM Q ∩= iv. Demuestra que A, O y D están alineados

Ejercicio 59: Determina el punto de intersección de las diagonales delparalelogramo LUNA, si no puedes acceder a los vértices U y A. Fundamenta laconstrucción.

Ejercicio 60: Calcula los ángulos Aˆ

y Dˆ

del cuadrilátero


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-reas * perímetros

Ejercicio 61: En la figura, BC = 2CD. El perímetro del rectángulo ABEF es 48 cm. El perímetro delrectángulo BCDE es el doble del perímetro del ABEF. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ACDF?

Ejercicio 62: En la figura, ABCD es un cuadrado de 12cm de lado; el cuadradoORCS tiene 25cm 2 de área. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

Ejercicio 63: La superficie del círculo inscrito a un cuadrado es de 12,56cm2. ¿Cuál es la superficie del cuadrado?

Ejercicio 64: Calcula el área del triángulo comprendidoentre tres circunferencias tangentes de radio 5 cm.

Ejercicio 65: Si se duplica uno de los lados de uncuadrado, se obtiene un rectángulo. ¿Se habrá duplicado el área? ¿Y el perímetro?

Ejercicio 66: Si a un cuadrado se le duplican sus lados, se obtiene otrocuadrado. Su área, ¿es el doble del área del cuadrado original? ¿y su perímetro?

Ejercicio 67: Calcula el área de un octógono regular de 8 cm de lado.

Ejercicio 68: Prueba que el área coloreada en azul es igual al área coloreada enrojo.

Ejercicio 69: En la figura, BCDJ y FGHI son cuadrados iguales. El área delcuadrado sombreado es un noveno del área delFGHI. El cuadrado sombreado tiene 49 cm2 de área.¿Cuál es el área del cuadrado ACEG?

Ejercicio 70: Expresar el área del rectángulo enfunción de R y x:

Ejercicio 71: Calcular el área de las siguientes figuras:

Ejercicio 72: Calcula elárea de un rombo cuyadiagonal mayor mide 8 cmy su diagonal menor mide9. Calcula también superímetro.

Ejercicio 73: Calcula el área de unparalelogramo sabiendo que [AB]=8cm y que laaltura relativa al vértice C es 10 cm.


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Ejercicio 74: Calcular el área de la región sombreada, en cada uno de los siguientes casos:

Ejercicio 75: Analiza cada una de las siguientes frases, indicando si la consideras verdadera o falsay justificando tu conclusión:

i. Si dos figuras tienen la misma área deben tener el mismo perímetro.ii. Dos figuras tiene el mismo perímetro deben tener la misma área.

iii. Dos figuras pueden tener diferentes perímetros y la misma área.iv. Si una figura tiene perímetro mayor que otra, entonces su área debe ser mayor.v. Si una figura tiene área menor que otra, entonces su perímetro debe ser menor.

Ejercicio 76: Las dos regiones sombreadas, ¿tienen la misma área?

Construcciones con eoge#ra:

Ejercicio 77: Construye las siguientes figuras, para que se vean y se comporten como los modelosrepresentados:

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