2 - introducción a la geoestadística minera
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERACuando y donde nace
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERACuando y donde naceEl padre de la Geoestadstica
Prof. George Matheron [1930-2000] fue el que desarroll el cuadro terico y
prctico de la Geoestadstica.
Ingeniero de Minas, dirigi en los aos 50 el servicio geolgico minero en Algeria
antes de volver a Pars, en el BRGM (Bureau des Recherches Gologiques et
Minires) en el comienzo de los 60. En 1968 fundo el Centre de Gostatistique et
Morphologie Mathematique a lEcole des Mines di Parigi, que dirigi hasta suretiro. Desarroll la Teora de las Variables Regionalizadas,
el verdadero nombre de la Geoestadstica, en la
bsqueda de una solucin a los problemas de
evaluacin de las reservas mineras. La Teoria,pronto, se revel un instrumento ideal para tratar una
serie mucho ms amplia de problemas , mineros y
no mineros (Petrleo, Ambiente, Hidrogeologa,Geotecnia, ...)
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAEl Origen y El Papel
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAEl Origen y El Papel
La Geoestadstica naci para estudiar los fenmenos naturalesespaciales, normalmente a partir de muestrasEn particular, la Geoestadstica:
Estudia la variabilidad espacial de las grandezas que
describen los fenmenos no regulares. Extrae las reglas y los parmetros numricos en el interior de
un cuadro modelstico de referencia.
Utiliza estas reglas para resolver problemas concretos y
especficos, como por ej,. La estimacin de los yacimientos.
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes adems de los
modelos
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes adems de los
modelos
Variables Regionalizadas.
Variables de dispersin.
Selectividad y efecto soporte.
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos Conceptos Importantes: Las VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos Conceptos Importantes: Las VR
Los Fenmenos Regionalizados
Distribuciones de elementos en uno dposito
Superficie de contacto entre capas.
Variables Regionalizadas
Contenido (3D, 1D).
Espesor de una capa (2D).
Profundidad de un contacto (2D). Cota topogrfica (2D).
Porosidad (3D, 1D).
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
Una VR es una variable definida en cada punto de un dominioespacial (espacio 1D, 2D, 3D).
Variavel Regionalizada
1
10
100
1000
10000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
x
z(x)
Marcamos la coordenada con x.
La VR se escribe z(x). El trmino regionalizada
especifica que la funcin
numrica depende de la
localizacin.
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
Soporte
Es el volumen v(x), la superficie s(x), el segmento l(x)donde la VR z(x)es medida.
Es caracterizado por la dimensin y forma.
l(x)s1(x)
s2(x)
v1(x)
v2(x)
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Si las dimensiones fueran
pequeas en relacin la escalera
de trabajo, el soporte puede ser
considerado puntual.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
LL
ll
JJll
El mismo testimonio, si referido al
sondeo, tiene soporte no nulo,
normalmente lineal.
Ejem: Un testimonio y el yacimiento
Soporte
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
Variables adictivas
Subdividimos Ven Nelementos iguales vi
Una variable es aditiva se
Valor medio = Meda de los valores
V
vi
( ) ( ) ( ) == Vi dxxzVVzouvz
NVz )(
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : as VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : as VR
Variables aditivas: respuestaVariables aditivas: respuesta
Cuota topografica (m, 2D)
Cuota de un horizonte geologico, acufero
(m, 2D)
Techo o leto de una tarima (m, 2D) Espesor de una tarima (m, 2D)
Densidad de una roca (t/m3, 3D)
Acumulacion metalica de una camada
mineralizada (kg/m2, 2D)
Tenor en metal de una tarima
mineralizado (%, = kg/t ou ppm, 2D)
Concentracin de una sustancia (2-3D)
Tenor de metal (kg/t, 3D)
Tenor metal volumtrico (kg/m3, 3D)
Fraccin granulomtrico (%, 3D)
Variablel indicatriz (0/1) :
de la litofacies (3D)
de corte
Porosidad (%, 3D) Permeabilidad (Darcy, 3D)
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Al cambiar del soporte cambiala variable.
Regolarizzazione oro
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 20 40
Au (g/t)
x(m)
1 m
4 m
Los tenores de Audetestimonios de 1 m constituyen
una VR, z1(x) Los tenores medios de 4
testimonios consecutivosconstituyen una diferente , z4(x)
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
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Las caractersticas de la VR
Una VR z(x)es una funcin puramente determinista, que
toma un valor fijo en cada punto del espacio.
Tiene un movimiento irregular queno permite un estudio matemtico
directo.
Pero tiene tambin unavariabilidad estructurada: cerca
de puntos con elevado tenor
probablemente se encuentran
tenores elevados.
Variavel Regionalizada
1
10
100
1000
10000
100000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
x
z(x)
Variavel Regionalizada
1
10
100
1000
10000
100000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
x
z(x)
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : las VR
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes
adems de los modelos
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantesadems de los modelos
Variables Regionalizadas.
Variable de dispersin.
Selectividad y efecto soporte.
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin Revision estadstica
Datos z1, z2, z3, , zn
Media
Varianza
Desviostandard
=
=n
i
izn
m1
1
( ) == ==n
i
i
n
i
i mzn
mzn 1
22
1
22 11
2 =
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
V
vi
Dispersin de ven V
s2(v|V) = 1/N i[z(vi) Z(V)]2
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
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3
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4
2
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Dispersin de unidades de desmonte de mismovolumen v en un panel V
Z(V) = ?
o s2(v|V) = ?
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
Dispersin de unidades de desmonte de mismovolumen v en un panel:
Z(V)=1/6 (1+3+2+4+2+6)=18/6=3
s2(v|V) = 1/6 (12+32+22+42+22+62) -32 =
= 1/6 70 9 = 8/31
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
Dispersin de bloques 2v en un panel
Z(v2) = ?
o s2(v2|V) = ?
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
Dispersin de bloques 2ven un panel
Z(v2) = {2,3,4}
s2(v2|V) = 1/3 [4+9+16] 9 = 2/3
1
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
Dispersin meda de unidades de desmonte en los bloques
v2
s2(v|v2
) = 1/3 [ (1+9) 22+
+ (4+16) 32+
+ (4+36) 42] =
= 1/3 [1 + 1 + 4 ] = 2 1
3
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
Las dispersiones son adictivas
s2(v|V) = s 2(v|v2) + s2(v2|V)
8/3 = 2 + 2/3
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INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Dispersin
La aditividad de las dispersiones es un resultadogeneral.
Una sub-particin, de una particin v, de un campo V
respetan la regla de aditividad.
s2(o|V) = s2(o|v) + s2(v|V)
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INTRODUCCION A LA GEOESTADSTICA
MINERA
INTRODUCCION A LA GEOESTADSTICA
MINERAUnos conceptos importantes
adems de los modelos
Variables Regionalizadas.
Variables de dispersin.
Selectividad y efecto soporte.
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICAINTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA25
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Selectividad y soporte
Un yacimiento es
perfectamente conocido
Subdividido en 100 elementos,
es visualizado en clases devaloresm=1.54 %; s2=1.63
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICAMINERA
Unos conceptos importantes : la Selectividad
INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICAMINERA
Unos conceptos importantes : la Selectividad
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Dispersin
Reagrupando cuatroelementos, se puede
subdividir el yacimiento en 25
bloques.
m=1.54 %; s2=0.99
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
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La cubicacin de las
reservas cambia?
La superposicin de las dos
curvas evidencia las
diferencias:Para un mismo cut-off las
cubicacin corresponsales
varan.
Para una misma
cubicacin, los cut-off
corresponsales varan.
Cubicagen / Cut-offCubicagen / Cut-off
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
(100)(100)
Bloques
Grandes (25)
Bloques
Grandes (25)
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La cantidad de mineral Q(z)?
Consideramos la cantidad de metal contenido: q=t*v
De cada bloque grande (qi i=1,25)
De cada bloque pequeo (qj j=1,100)
La funcin Q(z) = ? qi : zi>z representa la cantidad de metal
presente en la parte seleccionada del yacimiento, T(z), con
concentracin mayor o igual la z.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
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El metal de las reservascambia?
La superposicin de las dos
curvas evidencia las
diferencias:
Para un mismo cut-off las
cantidadescorrespondientes de metal
varan.
y vice versa.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
Metal / Cut-offMetal / Cut-off
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El Beneficio Convencional
El cut-off, z, representa la concentracin lmite: el valor de la unidadde volumen coincide con el coste propio de la explotacin.
El costo total para extraer las T(z) toneladas seleccionadas, por lotanto ser proporcional: z ?T(z)?
Las recetas totales sern proporcionales a la cantidad de metalseleccionada, Q(z)?
Se puede definir el beneficio convencional como: :
B(z) = Q(z) z T(z)
Quiere decir la cuarta parte de metal que genera el beneficio (a otraparte sirve para cubrir los costos).
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
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El efecto de soporte El beneficio convencional es
mayor en el caso de losbloques pequeos.
El resultado es general:para un mismo cut-of, elbeneficio disminuye al subir
de la dimensin de losbloques de seleccin.
Beneficioconvencional / cut-off
Beneficioconvencional / cut-off
Bloques
Grandes (25)
Bloques
Grandes (25)
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERAUnos conceptos importantes : la Selectividad
INTRODUCCION A LA
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La variabilidad espacial
Variables aleatorias.
Funciones Aleatorias.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la Variable Regionalizada a la Funcin Aleatoria
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la Variable Regionalizada a la Funcin Aleatoria
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Las VR en practica son conocidas slo en los puntos mostrados, pero
los problemas tpicos, por ej. seleccin de las reservas, necesitan de
conocer las VR en todo el campo.
Hay que estimarcantidades que realistamente nunca sernconocidas. Surge el problema de la gestin de la incertidumbre.
Un enfoque correcto tiene que considerar todos esos elementos: tipo
de variabilidad, conocimiento limitado, gestin de la incertidumbre
El enfoque correcto es probabilista, basada en las FuncionesAleatorias (FA).
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
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A correlacin espacial
Antes de enfrentar el abordaje probabilista, caracterizamos
intuitivamente la variabilidad espacial mediante conceptos clsicos
como varianza, co-varianza y correlacin.
z(x): VR de soporte puntual, conocida en todos
puntos.
S : rea extensa cientos de metros. x, x + h: par de puntos alejados de h (vector).
|h| = h1: pequeo en comparacin la S (ej. 1 m).
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: a Variable Espiral
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: a Variable Espiral
Xi
Xi
Xi+hi
Xi+hi
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La correlacin de los pares
El par describe n posiciones xi (i =1,n) en S
La nube de correlacin entre los pares de valores z(xi),z(xi+h) y el coeficiente de correlacin evidencian el gradode semejanza entre par alejados de h1.
Para h pequeos
las diferencias sern
pequeas: la nubeaproxima la rectala 45.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
Xi
Xi
Xi+hi
Xi+hi
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La covarianza y coeficiente de correlacin
Cuantitativamente la covarianza emprica mide la
correlacin entre los pares de valorz(xi) y z(xi+h)
Hasta mejor es el coeficiente de correlacin .
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
Xi
Xi+hi
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La correlacin cambia
Al subir de hla nubequeda ms dispersa.
Covarianza y coeficiente
de correlacin disminuyen. A partir del un valor
grande de hla correlacinqueda nula.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
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GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la Variabilidad Espacial
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La correlacin en funcin de h
Para h=0 los dos puntos del par coinciden y el
coeficiente de correlacin vale 1.
Despus baja:
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La correlacin en funcin de
Para h=0los dos puntos del par coinciden y el
Coeficiente de correlacin vale 0 =1 Depus baha hasta =0
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la variabilidad espacial
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GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la variabilidad espacial
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El crecimiento espacial
Una otra manera de estudiar
la correlacin espacial: elcrecimiento=z(xi+h)-z(xi)
Para cada hel crecimientotiene una distribucin cuya
varianza sube al crecer delalejamiento.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la variabilidad espacial
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GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la variabilidad espacial
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La varianza del incremento
La varianza del crecimiento enfuncin de hes complementarla correlacin.
Para h=0el crecimiento es nuloy consecuentemente suyavarianza.
Al subir de h, normalmente lavarianza del crecimiento sube.
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la variabilidad espacial
INTRODUCCION A LA
GEOESTADISTICA MINERADe la VR a la FA: la variabilidad espacial