2 matrizes -...
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Nova School of Business and Economics
Prática Álgebra Linear
1
2 – Matrizes
1 Matriz ( )
Conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas.
[
]
Ex.: 0
1 é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas.
2 Elemento da matriz ( )
Elemento de que se encontra na linha e na coluna .
Ex.: 0
1
3 Soma de duas matrizes, e ( )
Matriz cujos elementos são a soma dos elementos análogos de e de .
[
]
[ ]
[
]
Ex.: 0
1 0
1 0
1 0
1
4 Propriedades da soma de matrizes ( )
Associatividade: ( ) ( )
Comutatividade:
Definição
Definição
Definição
Propriedades
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
2
Exs.:
Associatividade: .0
1 0
1/ 0
1 0
1 .0
1 0
1/
0
1
Comutatividade: 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1
5 Produto de um número real, , por uma matriz, ( )
Matriz cujos elementos são o produto de pelos elementos análogos de .
[
]
[
]
Ex.: 0
1 0
1 0
1
6 Propriedades do produto de números reais por matrizes (
)
Associatividade: ( ) ( )
Comutatividade:
Distributividade em : ( )
Distributividade no espaço das matrizes: ( )
Exs.:
Associatividade: , ( )- 0
1 (( ) 0
1) 0
1
Comutatividade: 0
1 0
1 0
1
Distributividade em : ( ) 0
1 0
1 0
1 0
1
Distributividade no espaço das matrizes: .0
1 0
1/ 0
1
0
1 0
1
Definição
Propriedades
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
3
7 Vector linha ( )
Matriz que tem linha.
Ex.: , - é um vector linha porque é uma matriz com linha.
8 Vector coluna ( )
Matriz que tem coluna. Representação matricial de um vector de .
Ex.: 0 1 é um vector coluna porque é uma matriz com linha, e é a representação matricial
do vector de ( ).
9 Matriz quadrada ( )
Matriz cujos números de linhas e de colunas são iguais.
Ex.: 0
1 é uma matriz quadrada porque tem tantas linhas como colunas: .
10 Diagonal principal de uma matriz quadrada
Conjunto de elementos de cujos índices de linha e de coluna são iguais.
{ }
Ex.: 0
1 * +
11 Diagonal secundária de uma matriz quadrada
Conjunto de elementos de cujos índices de linha e de coluna somam .
{ }
Ex.: 0
1 * +
Definição
Definição
Definição
Definição
Definição
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
4
12 Matriz triangular superior
Matriz cujos elementos que estão abaixo da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
superior ao índice de coluna, são .
[
]
Ex.: [
] é uma matriz triangular superior.
13 Matriz triangular inferior
Matriz cujos elementos que estão acima da diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
inferior ao índice de coluna, são .
[
]
Ex.: [
] é uma matriz triangular inferior.
14 Matriz diagonal
Matriz cujos elementos não pertencentes à diagonal principal, ou seja, cujo índice de linha é
diferente do índice de coluna, são . Matriz que é simultaneamente triangular superior e
triangular inferior.
[
]
Ex.: [
] é uma matriz diagonal.
15 Matriz identidade de dimensão ( )
Matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal são . Elemento neutro da
multiplicação de matrizes.
Definição
Definição
Definição
Definição
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
5
[
]
Ex.: 0
1 é a matriz identidade de dimensão .
16 Traço de uma matriz ( ( ))
Soma dos elementos da diagonal principal de .
[
]
( ) ∑ ( )
Ex.: .0
1/
17 Produto de duas matrizes e ( )
Perspectiva do produto interno: Matriz cujo elemento é o produto interno da linha
de e da coluna de .
Perspectiva das colunas: Matriz cujas colunas são combinações lineares das colunas de
, sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada coluna de .
Perspectiva das linhas: Matriz cujas linhas são combinações lineares das linhas de ,
sendo os coeficientes de cada combinação linear os elementos de cada linha de .
Ex.: 0
1 0
1 0
1 porque:
Perspectiva do produto interno: ⟨( ) ( )⟩ ⟨( ) ( )⟩
⟨( ) ( )⟩ ⟨( ) ( )⟩
Perspectiva das colunas: ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
Perspectiva das linhas: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Definição
Definição
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
6
18 Condição suficiente e necessária para a existência do produto de
duas matrizes
O produto de duas matrizes e , , existe se e só se o número de colunas de for igual
ao número de linhas de . A matriz resultante do produto tem tantas linhas como e tantas
colunas como .
Ex. 1: 0 1 , - 0
1
Ex. 2: 0 1 0
1
19 Propriedades do produto de matrizes ( )
Associatividade: ( ) ( )
Distributividade: ( )
Exs.:
Associatividade: .0
1 0
1/ 0
1 0
1 .0
1 0
1/ 0
1
Distributividade: .0
1 0
1/ 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1
0
1
20 Algoritmo para a multiplicação por blocos de duas matrizes e
Identificação de sub-matrizes: Dividir e em sub-matrizes, estabelecendo traços
divisórios verticais e horizontais em cada uma delas.
Divisão vertical de e horizontal de : Escolher o número de traços divisórios verticais
de e o número de colunas que separa cada um deles. Dividir horizontalmente de
maneira análoga, no que diz respeito ao número de traços divisórios e número de linhas
entre eles.
Divisão horizontal de e vertical de : Escolher uma qualquer configuração de traços
divisórios horizontais de e verticais de .
Propriedades
Facto
Algoritmo
1
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
7
Produto de sub-matrizes: Considerar cada sub-matriz criada como um elemento da
matriz a que pertence e efectuar o produto de e nesta perspectiva, multiplicando
matrizes e não números reais.
Ex.: [
] [
]
Identificação de sub-matrizes:
[0 1 0
1
, - , -] [
]
[, - , -
0
1 0
1] [
]
Produto de sub-matrizes:
[
] [
] [
]
[0 1 , - 0
1 0
1 0 1 , - 0
1 0
1
, -, - , - 0
1 , -, - , - 0
1] [
0
1 0
1
, - , -]
[
]
21 Matrizes e comutativas entre si
Matrizes cujo produto é igual, independentemente da ordem por que é efectuado.
Ex.: 0
1 0
1 0
1 0
1
0
1 0
1 0
1.
22 Matriz idempotente
Matriz que é igual ao seu quadrado, ou seja, ao produto de por .
Ex.: 0
1 é idempotente porque 0
1
0
1 0
1 0
1.
Definição
Definição
2
1
2
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
8
23 Matriz transposta de uma matriz ( )
Matriz cujas linhas são as colunas de e cujas colunas são as linhas de . Matriz cujo
elemento é o elemento de .
* +
* +
* + * +
Ex.: 0
1
0
1
24 Propriedades da transposição de matrizes (
)
Soma: ( )
Produto de números reais por matrizes: ( )
Produto de matrizes: ( )
Adjunta: , ( )- ( )
Inversa: ( ) ( )
Exs.:
Soma: .0
1 0
1/
0
1
0
1
0
1
Produto de números reais por matrizes: . 0
1/
0
1
0
1
Produto de matrizes: .0
1 0
1/
0
1
0
1
0
1
Adjunta: . 0
1/
(0
1
) 0
1
Inversa: (0
1
)
(0
1
)
0
1
25 Matriz simétrica
Matriz que é igual à sua transposta. Matriz cujo elemento é igual ao seu elemento .
* +
Definição
Definição
Propriedades
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
9
Ex.: 0
1 é simétrica porque 0
1
0
1.
26 Matriz anti–simétrica
Matriz que é igual à simétrica da sua transposta. Matriz cujo elemento é igual ao
simétrico do seu elemento .
* +
Ex.: 0
1 é anti–simétrica porque 0
1
0
1 0
1.
27 Produto interno de vectores e produto de matrizes
O produto interno de vectores de é equivalente ao produto da forma matricial
transposta de um deles e a forma matricial do outro.
( ) [
] ( ) [
]
⟨ ⟩ ⟨( ) ( )⟩ , - [
] , - [
]
Ex.: ⟨( ) ( )⟩ , - 0 1 , - 0
1
28 Matriz inversa de uma matriz ( ) (se existir)
Matriz cujo produto por , por qualquer ordem, resulta na matriz identidade de dimensão .
Ex.: 0
1
0
1 porque 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1.
29 Matriz não singular
Matriz que possui uma matriz inversa.
Definição
Definição
Definição
Facto
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
10
Ex. 1: 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1
Ex. 2: 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1
30 Matriz auto-inversa
Matriz que é igual à sua inversa.
Ex.: 0
1 - 0
1
0
1.
31 Matriz ortogonal
Matriz cuja inversa é igual à sua transposta.
Ex.: [
] [
]
[
]
[
].
32 Propriedades da inversão de matrizes ( )
Produto de números reais por matrizes: ( )
Produto de matrizes: ( )
Transposta: ( ) ( )
Exs.:
Produto de números reais por matrizes: . 0
1/
0
1
[
]
Produto de matrizes: .0
1 0
1/
0
1
0
1
0
1
Transposta: (0
1
)
(0
1
)
0
1
Propriedades
Definição
Definição
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
11
33 Operações elementares sobre filas de matrizes
Troca:
Produto por números reais:
Soma de combinações lineares das restantes filas:
Exs.:
Troca: [
] → [
]
Produto por números reais: [
] → [
]
Soma de combinações lineares das restantes filas: [
] → [
]
34 Operações elementares sobre linhas de uma matriz e matriz
identidade
Realizar uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz é equivalente a
efectuar o produto , sendo a matriz que resulta da realização da mesma operação
sobre a matriz identidade de dimensão .
Ex.: [
] → [
]
[
] → [
] [
] [
] [
]
35 Operações elementares sobre linhas de matrizes e inversão de
matrizes
Realizar operações elementares sobre as linhas da matriz identidade de dimensão e as
mesmas operações sobre as linhas de uma matriz até que se transforme na matriz
identidade de dimensão transforma a matriz identidade em .
Ex.: 0
1
, - 0
1 → 0
1
→
Definição
Facto
Facto
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
12
[
] → [
] , -
[
]
36 Algoritmo de eliminação de Gauss para inversão de uma matriz
Triangulação superior: Aplicar os seguintes passos, substituindo por . Depois,
repeti-los, substituindo por . Continuar a repeti-los, substituindo pelos restantes índices
de linha da matriz, de forma crescente, até
Transformação de num número não nulo: Se for , trocar a linha com outra
linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna não seja . Caso contrário, saltar este passo.
Transformação de em : Se não for , dividir a linha por . Caso contrário,
saltar este passo.
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo
elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha
.
Triangulação inferior: Depois de concluída a triangulação superior, aplicar o
1º passo abaixo indicado. Depois, aplicar o 2º passo, substituindo por . Repeti-lo,
substituindo por . Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices
de linha da matriz, de forma decrescente, até
Transformação de em : Se não for , dividir a linha por . Caso
contrário, saltar este passo.
Anulação da parte superior da coluna : Subtrair a cada linha acima da linha cujo
elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha
.
Ex.: [
]
1
2
Algoritmo
Prática Álgebra Linear
2 – Matrizes
13
Triangulação superior:
, - [
] → [
]
→
[
] →
[
]
[
]
→
[
]
Triangulação inferior:
[
]
→ [
]
[
]
→ [
]
[
] → [
] , -
[
]
1
2