Батлагдсан хэрчмүүдийн тухай теорeм

[a, b] ,[a2, b2], ….[an, bn] өгөгдсөн байг.

n үед an≤ an+1≤ bn+1≤ bn

Өөрөөр хэлбэл: [a, b] [a2, b2] ….. [ an+1, bn+1 ] биелэгдэхээс гадна,

уг хэрчмүүдийн утгын дараалал {[ bn-an]}→ 0 байвал {[ an, bn]}

батлагдсан хэрчмийн дараалал гэж хэлнэ.

Теором 3.5: Батлагдсан хэрчмийн дараалал {[ an, bn]} –ийн бүх

хэрчмүүдэд харъяалагдах цэг ≠ цорын ганц байна.

Баталгаа: Өгөгдсөн an≤ an+1 ба bn+1≤ bn =>{[ an, bn]} хэрчмүүдийн зүүн

цэгүүд an дараалал нь үл буурах , баруун талын цэгүүдийн дараалал нь

үл өсөх дараалал үүсгэх ба an≤ b1 ба bn≥ а1 нөхцлүүд биелэгдэнэ.Иймд

3.2 теором ѐсоор {an }→c' {bn}→c″ хязгааруудад нийлнэ. 0=

an)= lim - lim →∞an= c'- c″ учир c'= c″ байна.

Иймд {an }, {bn} –дарааллууд ерөнхий c'= c″ = c хязгаар руу нийлэх ба n

утганд an≤ c≤ bn биелэгдэнэ.Иймд с- цэг нь бүх [ an, bn] хэрчимд

харъяаагдана.

Дарааллын хязгаарыг олох чухал жишээ

а >1 бол

Баталгаа: n , n >0 гэе. Тэгэхэд ( Бернулын тэнцэтгэл биш

(1+x)n> 1+nx n≥2, x>-1 , x≠ 0 );

Бернулын тэнцэтгэл биш ѐсоор а= (1+ n )n> 1+n n , 0< n < болох

ба теором 3.1 ѐсоор n=0 байна.Иймд

Функцийн хязгаар

1. f(x)- функцийн x→x0 үеийн хязгаар гэж: f(x) =b

2. f(x)- функцийн x0 цэг баруун хязгаар f(x)= f(x)= b'

=f( )

3. f(x)- функцийн x0 цэг дээрх зүүн хязгаар : f(x)= f(x)= b″

=f( )

4. f(x)- функцийн төгсгөлгүй цэг дээрх буюу x→ үеийн хязгаар гэж :

f(x) = с

5. f(x)- функцийг + цэг дээрх буюу x→ үеийн хязгаар гэж :

f(x) = с'

6. f(x)- функцийг - цэг дээрх буюу x→ үеийн хязгаар гэж :

f(x) = с″

7. f(x)- функцийн x0 цэг дээрх төгсгөлгүй хязгааруудыг : f(x) = ,

f(x) =+ , f(x) =- гэх мэт.

F(X) функцийн x→x0 үеийн хязгаар

Def: (Гейнe). Хэрэв X- олонлогийн {Xn} – цэгүүдийн x0 –руу нийлэх

Жишээ нь: а) =1 в) (1+x)

Критерий Коши: (Зарчим)

f(x)- ийн x=a цэг дээрх төгсөглөг хязгаар оршин байх нь зөвхөн хэрэв

>0 тоо авахад = ( )> 0 олдоод х' , х''є Х (X-f(x)-ийн тодорхойлогдох

муж) хувьд

| х'- а |<

| х''- а |< биелэгдэж байх үед

|f(х') – f(х'') |< биелэх явдал юм.

Жнь: f(x)= counts= с функц нь тоон шулууны Х0 цэг бүр дээр с хязгаартай

байна. Учир нь {Xn}→ Х0 авахад f(x)=c иймд f(x)=с болно.

Def: (Гейнe) Хэрэв Х-олонлогийн {Xn} цэгүүдийн Х0 –руу нийлэх

дараалалд харгалзах

у= f(x) функцийн утгуудийн дараалал {yn =f(Xn)} нь ямар нэг b тоо руу

нийлж байвал энэ b – тоо f(x)-ийн функцийн х→x0 үеийн (эсвэл (x= x0)

дээрх хязгаар гэнэ.)

f(x)=b (Xn≠X0)

Функцийн Х= Х0 дээрх хязгаарын дүрмүүд

f(x)=a ба g(x)=b бол:

1) [f(x) ± g(x)] = a ± b= f(x) + g(x)

2) =const, [ = *a= f(x)

3) [f(x) * g(x)] = a * b= [f(x)] [ g(x)]

4) Хэрэв g(x)≠0 ба b≠0 бол = =

5) Хэрэв f(x)= a , g(x)= b ба f(x)≤ g(x) f(x)≤ g(x)

6) x≠x0 үед f(x)= g(x) ба g(x)=b => f(x)= g(x)

7) f(x), g(x), (x) –функцууд Х-олонлог дээр тодорхойлогдсон байг.

f(x)= g(x)=b бөгөөд f(x)≤ (x)≤ g(x), (нь ядаж x≠x0 үед)

биелж байвал:

(x)=b болно.

8) Давхар функцийн хязгаар

Хэрэв у=f(u)- функц u= (x) функцуудын утгын муж дээр

тодорхойлогдсон Давхар функц у=f[ (x)] өгөгдсөн гэж үзээд:

Хэрэв (x)=u0 ба f(u)=f(u0)

(x)]= f(u)=f(u0)

Жнь: Рn (x) =a0xn + a1x

n-1 + ….. + an-1x+an функцийн ямар нэг Х0

дээрх хязгаар :

lim Рn (x) = [a0xn + a1x

n-1 + ….. + an-1x+an ]= a0x

n + a1x

n-1 + ….+

an-1x+an ]= Рn (x0)

Өрөөсгөл хязгаарууд

Хэрэв Х {xn}→ x0 ба xn> x0 байх дараалалд харгалзах y=f(x)

функцийн утгуудын дараалал {y=f(xn)}→ b' хязгаартай байвал b' тоог f(x)-

ийн x=x0 цэг дээрх баруун өрөөсгөл хязгаар гэнэ.

Эндээс f(x)= f(x)= b' =f(x ) гэж бичнэ.

Яг ийм байдлаар f(x)=y –ийг x=x0 цэг дээрх зүүн өрөөсгөл хязгаар

f(x)= f(x)= b″ =f(x ) тодорхойлогдоно.

Жнь: f(x)= (x≠0) (sgnx)

1) x>0 үед f(x)= + 1

2) x<0 үед f(x)= - 1

Иймд f(x)= +1 , (x)= - 1 болно.

Дээр дурдсан хязгаарын дүрмүүдэд зохих өөрчлөлтүүдийг хийж

өрөөсгөл хязгаарын дүрмүүдийг гаргаж авна.

Жнь: f(x)= b' ба g(x)= c' бол f(x) ± g(x)] = b' ± c'=

f(x)± g(x)

f(x)-функцийн x=x0 дээрх хязгаар оршин байх <=> нь x0 цэг дээрх

баруун, зүүн өрөөсгөл хязгаарууд хоѐул оршдог бөгөөд хоорондоо

тэнцүү байх явдал юм.

f(x)= f(x)= f(x)

x→ , x→+ , x→- үеийн хязгаар

(Төгсгөлгүй алсын цэг дээрх хязгаар)

Хэрэв y=f(x) функцийн тодорхойлогдох муж Х-олонлогийн цэгүүдээс

тогтсон төгсгөлгүй их {xn} дараалалд харгалзах функцийн утгуудын

дараалал {yn= f(xn)}→ c хязгаар руу нийлж байвал , y=f(x) функцийн

x→ үеийн хязгаар нь с тоо гэж хэлэх ба энэ нөхцөлд:

f(x)= с гэж бичнэ.

Үүнтэй адилаар : Хэрэв y=f(x) функцийн тодорхойлогдох муж Х { xn }→+

(Х { xn }→ - )

байх { xn }дараалалд харгалзах функцийн утгуудын дараалал

{yn= f(xn)}→ c' , (yn= f(xn)}→ c'')

байвал: f(x)= с' , ( f(- )) гэж бичнэ.

Хэрэв f(x)= с => f(x)= с=> f(x)= с

Төгсгөлгүй хязгаар

Хэрэв Х { xn }→ байх дарааллын харгалзах y=f(x) функцийн

утгуудын дараалал

{yn= f(xn)}→

Эсвэл {yn= f(xn)}→ +

{yn= f(xn)}→ - байвал x=x0 цэг дээр f(x) төгсгөлгүй хязгаартай

гэх ба f(x)= , эсвэл f(x)=+ , эсвэл f(x)= - гэж бичнэ.

Хэрэв y=f(x) функцийн x=x0 цэг дээрх хязгаар төгсгөлгүй байна.х→ x0

үед y=f(x) нь төгсгөлгүй хэмжигдэхүүн гэж бас нэрлэдэг.

(Энд x0 =± , x0 = байж болно.)

Хязгаарын тодорхойлолт , хязгаарын дүрмүүдээс:

1) Хэрэв f(x)=b , g(x)= => [f(x) + g(x)] = +

2) Хэрэв f(x)=b , g(x)= => =0

3) Хэрэв lim f(x)= b> 0, lim g(x)= 0 ба Х0-ийн орчинд g(x)>0 бол

= +

Тасралтгүй функц

Хэрэв Х { xn }→ дараалал авахад f(x)=f(x0) байвал f(x) функц

x=x0 цэг дээр

тасралтгүй гэж нэрлэнэ.Х-олонлог дээр y=f(x) тодорхойлогдсон бөгөөд

Х x0 нь Х-олонлогын хязгаарын цэг байг.Хэрэв f(x)=f(x0) байвал

f(x) функц x=x0 дээр тасралтгүй гэж хэлнэ.

Def: = ( )>0 бөгөөд | x- x0 |< байх бүх утгуудад |f(x)- f(x0)|<

бол f(x)- нь x=x0 дээр тасралтгүй гэнэ.

Жнь: 1. y=x2=

y

1

-1 -1 x

2. y= нь х=0 дээр тасралттай учир нь: y =

= +

= - у(+0) ≠ y(-0)

3. y нь 0-дээр тасралттай , хэрэв xn = (n=1,

2, 3…..)

дараалал авбал xn→0 ба энэ дараалалд харгалзах y=y(x) –функцийн

утгууд:

{-1, 1, -1, 1, ….} cална.

y=

x=x0 цэг дээрх функцийн хязгаарын дүрмүүд

Хэрэв f(x)=а , g(x)=b бол

1. [f(x) + g(x)] = a± b = f(x) + g(x)

2. , [ f(x)]= *a = * f(x)

3. [f(x) * g(x)] = a* b = [ f(x)] * [ g(x)]

4. Хэрэв g(x)≠0 ба b≠0=> = =

5. Хэрэв f(x) ≤ g(x) => f(x) ≤ g(x)

6. x=x0 үед f(x)= g(x) ба g(x)= b байвал f(x)= g(x)= b

7. Хэрэв f(x) , g(x), (x) –функцууд Х-дээр тодорхойлогдсон.

f(x)= g(x)= b бөгөөд f(x) ≤ g(x) ≤ (x) ядаж (х≠х0 ) үед биелэж

байвал : (x)=b

байна.

8. Давхар функцийн хязгаар:

Хэрэв y=f(u) Функц u= (x) функцийн утгын муж дээр

тодорхойлогдсон y=f[ (x)] –өгөгдсөн гэж үзье.Тэгэхэд (x) –

u0 ба f(u)= f(u0) биелж байвал :

(x)] = f(u)= f(u0) эдгээр дүрмүүд нь яг ижилхэн арга

зарчмаар батлагдана.

Жнь: Рационоль функц R(x)= , байхад

R(x) = = = R(x)

Өрөөсгөл хязгаарууд

Хэрэв Х {Хn}→X0 ба Хn >X0 байх дурын дараалалд харгалзах y=f(x) –

ийн утгуудын дараалал yn=f(xn)→b' хязгаартай байвал b' –тоон y=f(x)

функцийн x=x0 дээрх баруун өрөөсгөл хязгаар гэж нэрлэх ба :

f(x)= f(x)= b' =f( ) гэж бичнэ.

Яг үүнтэй адилханаар: Зүүн өрөөсгөл хязгаар гэж:

f(x)= f(x)= b″ =f( ) –гэж тодорхойлно.

Төгсгөлгүй алсын цэг дээрх хязгаар

Хэрэв y=f(x) функцийн тодорхойлогдох муж Х-олонлогийн цэгүүдээс

тогтсон төгсгөлгүй их дараалал {Xn} дараалалд харгалзах функцийн

утгуудын дараалал f(Xn)→c хязгаар руу

Жнь: 1. y=x2 функцийн х аргументын бүх утгуудад тасралтгүй

2. y= нь функцийн х=0 дээр тасралттай яагад гэвэл :

= + ; = -

Тасралтгүй функц дээрх үйлдлүүд Функцийн өгөгдсөн цэг дээрх хязгаарын дүрмүүдээс тасралтгүй

функцууд дээрх үйлдлүүдийн үр дүнгийн тухай дараахь дүгнэлтээс шууд

гарна.

1).Хэрэв f(x) , g(x) нь x=x0 дээр тасралтгүй бол

1. [f(x) ± g(x)]

2. хувьд [ ]

3. [f(x) * g(x)]

4. Хэрэв g(x₀)≠0 байвал –функцууд тасралтгүй x=x0 дээр

байна.

2). Хэрэв f(x) функцд x=x0 дээр тасралтгүй байвал давхар функц h(x)=

g[f(x)] нь x=x0 дээр тасралтгүй байна.

Тасралтын цэгүүдийн ангилал , засагдах тасрал

f(x) функц нь x=x0 дээр тасралтгүй байх шалтгаан нь дараах

үзэгдлүүдийн аль нэгэн юм.

1) x0 –цэг дээр өрөөсгөл хязгаарууд f(x0-0) , f(x+0) оршин байхгүй

байх.

2) x0 –цэг дээр өрөөсгөл хязгаарууд төгсгөл биш байх.

3) x0 –цэг дээр өрөөсгөл хязгаарууд хоорондоо тэнцүү биш байх:

f(x0+0) ≠ f(x0-0)

4) x0 –цэг дээр өрөөсгөл хязгаарууд хоорондоо тэнцүү боловч f(x0)

утгатай тэнцүү биш: f(x0+0) = f(x0-0)≠ f(x0)

1. Тодорхой бус цэг

2. Үсрэлтийн цэг (Төгсгөлгүй )

3. Үсрэлтийн цэг

4. Засагдах , засрагдах тасралтын цэг гэж нэрлэнэ.

Мөн 3., 4. тохиолдлуудыг хамтад нь I төрлийн тасралтын цэг, 1., 2.

тохиолдлуудыг нь II төрлийн тасралтын цэг гэж ангилдаг.

Хэрэв x0 –нь f(x)-ийн Үсрэлтийн цэг бол [f(x0+0) - f(x0-0)] –тоон f(x)-

функцийн засагдах тасралтын цэг бол f(x) функцийн x=x0 цэг дээрх

утгыг өөрчлөх замаар f(x)-функцийн x=x0 цэг дээр тасралтгүй функц

байхаар тодорхойлж болно.

Жнь:f(x)= нь x=0 цэг дээр тодорхойлогдоогүй , гэвч =1

Ийм f(0)=1 гэж авбал,

f(x) = нь тоон бүх шулуун дээр тасралтгүй болно.

f(x0+0)

f(x0-0) x0 x0 x0

x0

f(x0)

f(x0-0)

f(x0+0)

x0

a) үсрэлт б) төгсгөлгүй үсрэлт в) зааглагдах тасралт

Үндсэн Элементар функцуудийн тасралтгүй чанар

Энд тасралтгүй функцуудын тодорхойлолтыг шалгаж батлана.

1. y=e

2. y=x

3. y=xh

4. y=p(x)=a0+a1x1+…+anxn p(x) =p(x0)

5. Pациональ бутархай функц

R(x)= , энд байгаа P(x), Q(x)-Гишүүнтүүд ба Q(x)≠0 =>

R(x)= = =R(x0)

6. Зэрэгт функц y=xa , a>0 , x≥ 0 мужинд тодорхойлогдсон тасралтгүй.

7. Илтгэгч функц: y=ax (a>0) Үүнийг шалгая. h =

limh =

8. f(x) (a>0 , a≠0 , x>0)

9. Тригонометрийн функцууд:

y=sinx

y=cosx

10. tgx –нь cosx≠0 –ээс бусад бүх цэгүүд дээр тасралттай:

x= , , …, xn=

–ээс бусад дээр

ctg x=± n-ээс бусад бүх цэгүүд дээр тасралтгүй байна.

Хэрчим дээр тасралтгүй функцийн гол чанарууд

Теорема1:.[a, b]-хэрчим дээр тасралтгүй y=f(x) функцийн утгуудын

дотор хамгийн их ба хамгийн бага тоо ямагт оршино.

d

а C b

m

Геометр утга:Энэ нь f(x) нь [a,b] хамгийн их ба хамгийн бага утгуудыг

агуулах нийт с ба d цэгүүд [a, b] хэрчимд оршино гэсэн үг. ( m≤ f(x)≤ M)

Теорема2: [a , b] –дээр тасралтгүй f(x) функц энэ хэрчмийн үзүүрийн

цэгүүд дээр харилцан эсрэг тэмдэгтэй утгуудыг авдаг. (f(a)<0, f(b)>0 )

бол f(x)-нь 0-тэй тэнцүү утгыг хүлээн авдаг цэг [a.b] хэрчим дээр

олдно.Хэрэв [a.b] хэрчим дээр тасралтгүй функцийн хамгийн их утга нь

M хамгийн бага утга бол m бол энэ 2 тооны хооронд орших аливаа L1

(m< L1<M ) тоотой тэнцүү утгыг функц хүлээн авна.

Теорема3: [a.b] хэрчим дээр f(x) тасралтгүй функц бол [a , b] x'x''

цэгүүдийн хувьд | x'x''|→0 бол f(x')- f(x'')→0

Дифференциал тоолох функцийн уламжлал

Def: y=f(x) –функцийн x0 цэгийн орчинд тодорхойлогдсон ба Х-энэ орчны

дурын цэг гэе.

Хэрэв = f '(x0) , (f '(x0)< )

x- x0= X гэе. Мөн X=h гэе.

f(x)-f(x0)= f(x0+ X) – f(x0)

f(x0)= f(x0+ X) – f(x0) эдгээрийг ашиглавал:

f '(x0)= =

уламжлалуудыг бас , , y' гэх мэт тэмдэглэдэг.

Жнь: y=x2

Энэ тохиолдолд : у = (x+ x)2-x2= 2x· x+( x)2 = x2+2 x2+( x)2-x2= 2 x·x+

x2

Эндээс =

Эндээс y'= = 2x+ x= 2x

1.c=const c'=0

2. y=xn (n>1) функцийн уламжлал : y'= n ·x

n-1

(Уламжлалын тодорхойлолтонд орж байгаа хязгаарын оронд “өрөөсгөл

хязгаар”-ын авч үзэх замаар өрөөсгөл уламжлалын ойлголтонд хүрдэг.)

Тухайлбал: f(x)=y Функцийн x=x0 цэг дээрх зүүн өрөөсгөл уламжлал:

(x0) = ;

Баруун өрөөсгөл:

(x0) = гэж тодорхойлогдоно.

Хязгаар ба өрөөсгөл хязгааруудын холбоог тогтоосон дүгнэлтийн

адилаар

Хэрэв өгөгдсөн цэг дээрх уламжлал оршин байвал өрөөсгөл

уламжллууд 2-уулаа оршин байх ба тэнцүү утгатай байна.Буцаагаад

өрөөсгөл уламжллууд 2-уул оршин байдаг ба тэнцүү бол уламжлал

оршин байдаг гэдгийн тогтоож байна.)

Уламжлалын физик утга

Ямар нэг замын дагуух цэгийн хөдөлгөөнийг авч үзье.

Хөдөлгөөн эхэлсэн цаг мөчөөс хойш t-хугацаанд цэшийн явж өнгөрсөн

замыг S=f(x) , Тэгэхэд цаг хугацааны завсарт явж өнгөрүүлсэн замын

хэмжээ s=f(t+ t)- f(t) байх ба – нь t хугацааны завсарт дахь

дундаж хурд болно.

Иймд – нь t→0 үеийн хязгаар = = S'(t)

нь t-агшин дахь цэгийн хөдөлгөөний хурд байна.

V= S'(t) = хурдатгал нь а =

Уламжлалын дүрмүүд

Уламжлал ба арифметик үйлдлүүд

Хэрэв u(x) ба (x) функцийн Х цэг дээрх уламжлалууд оршиж байвал:

Нийлбэр [u(x) + (x)]

=const бол [u(x)]

[u(x)] · [ (x)]

Хэрэв (x)≠ 0 бол [ ] функцуудийн уламжлал нь бас оршин байх

бөгөөд

1) [u(x) ± (x)]' = u'(x) ± (x)

2) [ u(x)]'= u'(x)

3) [u(x) · (x)]' = u'(x) (x) + u(x)· (x)

4) [ ]' =

Баталгаа:

1. = + ;

тэнцэтгэлд h→0 үед хязгаарыг шилжвэл гарна.

2. = ; = u'(x);

3. = +

= + u(x)

h→0 үед хязгаарыг шилжвэл 3) гарна.

4. [ - ] = [ ] =

= ·

[ - u(x) ; h→0 үед хязгаарыг

шилжвэл 4) гарна.

Давхар функцийн уламжлал

Хэрэв y=f(u) ба u= (x)-ээр y=f( (x)) тодорхойлогдсон бөгөөд

байгуулагч функцуудын уламжлал (u) ба (x) нь тасралтгүй

функцууд бол давхар функцийн уламжлал нь оршиг байх ба

=f(u)· = · эсвэл = [u(u)]· = ·

Жнь: y=(5+2x-3x2)10 , -?

Энд u= 5+2x-3x2 гэж байвал y=u10 ба = 10· u9, = 2-6x=>

=10(5+2x-3x2)9 · (2-6x)

Урвуу функцийн уламжлал

Хэрэв монотон функц y=f(х) нь Х-цэг дээр төгсгөлөг бөгөөд 0-тэй

тэнцүү биш уламжлалтай байвал уруу функц x= (y) нь харгалзах у

дээр уламжлалтай байх ба (y)= , эсвэл = байна.

Баталгаа: f(x)-фугкцийн х≠0 өөрчлөлтөнд түүнд харгалзах

функцийн утгын өөрчлөлт нь ( монотон чанарын үндсэн дээд ) у≠0

байна.

Тэгэхэд: = ба х→0 үед y→0 байх нөхцлийг ашиглаж

хязгаарт шилжвэл:

(y)= = = ;

Жнь: y=f(x)= (x>0)

y2=x учраас уруу функц x= (y) = y2

Иймд (y)=2y байх учраас урвуу функцийн уламжлалын томъѐо

ѐсоор:

= = = болно.

Параметр тэгшитгэлүүдээр өгөгдсөн функцийн уламжлал

f(t), .. (t)- нь t-ээс хамаарах тасралтгүй уламжлалтай функцууд ба х=

{f(t) , y= (t)} системээр тодорхойлогдсон у=y(x) функцийн

уламжлалыг олъѐ.

f '(t) ≠0 , x=f(t) –ийн урвуу функц оршин байдаг гэж t= (t) үзье.

Тэгвэл функц уламжлалын томъѐо ѐсоор: '(х) = ; ба у=f(x)=

(t)]- давхар функцийн уламжлал : '(х) = '(х) (t)] · '(t)=>

'(х) = = ( )

Жнь: x={ a(1-t) , y=a } a

Системээс у=y(x) функцд тодорхойлогдоно гэж үзвэл :

= = = = -1

Үндсэн элементар функцууд

Тригонометрийн функцууд:

1) Y=sinx нь х өөрчлөлт авахад : =sin(x+ х)* sinx=2sin

cos(x+ ) хэлбэртэй болно.

Эндээс: y' = lim = · lim

cos(x+ )= 1·cosx=>sinx=cosx

2) Үүнтэй төстэйгөөр: cos'x=-sinx

3) tg'x= ' = = =

= => tg'x = ( )

4) Мөн ctg'x= ( )

5) y= arcsinx-ийн урвуу функц X=siny ба уруу функцийн уламжлал

томъѐо ѐсоор:

= = = = = => arcsinx=

(-1<x<1)

6) Мөн адилаар:

arccosx=- (-1<x<1)

7) y=arctgx авахад түүний урвуу функц x=tgy' ба урвуу функц томъѐо

ѐсоор: = = = = = ;=> arctg'x =

8) Мөн адилаар: arcctg'x = -

Дээд эрэмбийн уламжлал ба дифференциал

y=f(x) Функцийн I эрэмбийн уламжлал f '(x)-нь х-ээс хамаарсан функц

байх учир энэ f '(x)-ийн уламжлал нь f(x) –ийн II эрэмбийн уламжлал гэж

нэрлэдэг.

Г.м III, IV , n –эрэмбийн уламжлалуудыг тодорхойлно.

y(II), y(III), y(IV), ….y(n) эсвэл f n(x), ….f

(n)(x) мөн , , …… гэж

тэмдэглэнэ.

Дээд эрэмбийн уламжлал нь:

f (n)

(x) [f(n-1)

(x)]' n>1 тодорхойлогдоно.

f (0)

(x)=f(x) Дээд эрэмбийн уламжлалын дэс дараалал

дифференциалчлагдах аргаар бодож гаргана.

Зарим ерөнхий томъѐо:

1) y= , = бол у (n)

= =

2) y(n+m)

(x) [y(n)

(x)](m)

n,m N

3) Хэрэв y=ax+b , a,b=const бол y(n)

=an

* f (n)

( ax+b)

4) Лейбницийн томъѐо: [ ] (n)

= u(n- m)

(x)*

N=2 , [ ]'' =[ ]'= =[ ]' =

Жнь:

1) y= бол у'= xn-1

, y''= ( ) ,…..yn

= ( )… (

)

2) y=cosx , y'=-sinx , y''= -cosx , y'''=sinx ;

yn

= cosx(n)

=cos( x+ n )

хэрэв n=2m =>y(2m)

=cos(2m) x=(-1) m cosx

n=2m+1=> y(2m+1) =cos(2m+1) x=(-1) m+1 sinx