בגרות לבתי ספר על־יסודיים א. סוג הבחינה: מדינת ישראל בגרות לנבחנים אקסטרניים ב. משרד החינוך

קיץ תשע"ד, מועד ב מועד הבחינה: מספר השאלון: 035802, 312

הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות

ה ק י ט מ ת מ 3 יחידות לימוד — שאלון שני

הוראות לנבחן

משך הבחינה: שעה וחצי א.

בשאלון זה שש שאלות. מבנה השאלון ומפתח ההערכה: ב.

לכל שאלה — 25 נקודות.

מותר לך לענות על מספר שאלות כרצונך,

אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על 100.

חומר עזר מותר בשימוש: ג.

מחשבון לא גרפי. אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות. )1(

שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה.

דפי נוסחאות )מצורפים(. )2(

הוראות מיוחדות: ד.

אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד. )1(

התחל כל שאלה בעמוד חדש. רשום במחברת את שלבי הפתרון, גם כאשר )2(

החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון.

הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת.

חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה.

לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים. )3(

שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה.

ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד.

! ה ח ל צ ה ב

/המשך מעבר לדף/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 2 -

שאלה 1

מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312 + נספח - 2 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

ת ו ל א ש הבשאלון זה שש שאלות. תשובה מלאה לשאלה מזכה ב־25 נקודות. מותר לך לענות, באופן מלא

או חלקי, על מספר שאלות כרצונך, אך סך הנקודות שתוכל לצבור לא יעלה על 100.כתוב את כל החישובים והתשובות בגוף השאלון.

הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה. שים לב!

חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה.

אלגברה

. y x x2 32= + - בציור שלפניך מתואר גרף הפרבולה .1

. C ו־ B , A הפרבולה חותכת את הצירים בנקודות

.C ו־ B , A מצא את שיעורי הנקודות א.

הראה על ידי חישוב כי הנקודות A ו־ B נמצאות ב.

. y x 3=- - גם על הישר שמשוואתו

, 2- עבור הנקודה על הפרבולה ששיעור ה־ x שלה הוא ג.

קבע אם היא נמצאת מעל לישר AB או מתחתיו. נמק.

/המשך בעמוד 3/

y

xA CO

B

תשובה לשאלה 1x בנקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה־ א.

x x2 3 02+ - = y , לכן: 0= מתקיים

0

,x x3 1=- =

0 , x הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה־ C ו־ A

( , ) , ( , )A C3 0 1 0- לכן השיעורים של הנקודות A ו־ C הם:

y בנקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה־

y 0 2 0 32 $= + - x , לכן: 0= מתקיים

0

y 3=-

, y היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה־ B

( , )B 0 3- לכן השיעורים של הנקודה B הם:

/המשך בעמוד 3/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 3 -

המשך תשובה לשאלה 1.

, y x 3=- - ב. כדי להראות שהנקודות A ו־ B נמצאות על הישר

יש להציב את השיעורים של כל אחת מהנקודות במשוואת הישר,

ולבדוק שמתקבל שוויון.

( )0 3 3=- - - בהצבה של שיעורי הנקודה A מתקיים:

0 0 3 3= -

0

0 0=

y x 3=- - לכן הנקודה A נמצאת על הישר

3 0 3- =- - בהצבה של השיעורים של הנקודה B מתקיים:

0 3 3- =-

y x 3=- - לכן הנקודה B נמצאת על הישר

I דרך ג.

שיעור ה־ y של הנקודה על הפרבולה

( ) ( )y 2 2 2 32= - + - - -2 הוא: ששיעור ה־ x שלה הוא

0

y 3=-

שיעור ה־ y של הנקודה על הישר

( )y 2 3=- - - -2 הוא: ששיעור ה־ x שלה הוא

0

y 1=-

3 11- -

לכן גרף הפרבולה נמצא מתחת לגרף הישר

II דרך

x3 גרף הפרבולה 01 1- על פי הציור, בתחום

.AB נמצא מתחת לישר

3 לכן הנקודה על הפרבולה 2 01 1- -

.AB 2 נמצאת מתחת לישר- ששיעור ה־ x שלה הוא

/המשך בעמוד 4/

y

xA CO

B

2-

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 4 -

מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312 + נספחשאלה 2 - 4 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

מפעל, המייצר חלקי חילוף למכוניות, ייצר בחודש הראשון 1,500 פריטים. .2

בגלל דרישות השוק הגביר המפעל את הייצור, וייצר בכל חודש שלאחר מכן 200 פריטים

יותר מבחודש שלפניו.

כמה פריטים ייצר המפעל בחודש ה־ 6 ? א.

כמה פריטים סך הכול ייצר המפעל ב־ 12 החודשים הראשונים? ב.

הרווח הנקי של המפעל ממכירת כל פריט הוא 10 ש"ח. ג.

כמה הרוויח המפעל מן הפריטים שייצר ב־ 12 החודשים הראשונים?

/המשך בעמוד 5/

תשובה לשאלה 2

מספר הפריטים שייצר המפעל בכל חודש מהווה סדרה חשבונית. א.

a 15001= בחודש הראשון ייצר המפעל 1500 פריטים:

בכל חודש שלאחר מכן המפעל ייצר

d 200= 200 פריטים יותר מבחודש שלפניו, לכן:

a a d56 1 $= +

0

a 1500 5 2006 $= +

0

a6= 2500 פריטים מספר הפריטים שייצר המפעל בחודש ה־ 6 הוא:

( )S

a d2

2 11 1212

1 $ $=

+ב.

0

( )S 22 1500 11 200 12

12$ $ $

=+

0 מספר הפריטים סך הכול שייצר המפעל

S12= 31,200 פריטים ב־ 12 החודשים הראשונים הוא:

הרווח הנקי של המפעל מן הפריטים ג.

200=,10 31$ 312,000 שקלים שייצר ב־ 12 החודשים הראשונים הוא:

/המשך בעמוד 5/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 5 -

מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312 + נספחשאלה 3 - 6 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

דורון לקח הלוואה מן הבנק בסך 300,000 שקלים. .3

בכל שנה הוא הקטין את חובו לבנק ב־ 12% .

מה היה החוב של דורון לבנק שנתיים לאחר שלקח את ההלוואה? א.

מה היה החוב של דורון לבנק 12 שנים לאחר שלקח את ההלוואה? )1( ב.

12 שנים לאחר שלקח את ההלוואה, קיבל דורון 65,000 שקלים מקרן השתלמות. )2(

האם סכום זה יספיק לדורון כדי להחזיר את יתרת החוב שלו לבנק? נמק.

בתשובותיך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

/המשך בעמוד 7/

תשובה לשאלה 3כל שנה דורון מקטין את החוב שלו לבנק ב־ 12% , א.

. .q 1 0 12 0 88= - = לכן קבוע הדעיכה q הוא:

I דרך

M M qtt

0$= על פי הנוסחה של גדילה ודעיכה:

, .M 300 000 0 8822$=

0 M2= 232,320 שקלים יתרת החוב של דורון לבנק אחרי שנתיים היא:

II דרך

, .300 000 0 88$ = 264,000 שקלים יתרת החוב של דורון לבנק אחרי שנה אחת היא:

, .000 0 88264 $ = 232,320 שקלים יתרת החוב של דורון לבנק אחרי שנתיים היא:

.000 0 88$,M 3001212= יתרת החוב של דורון אחרי 12 שנים היא: )1( ב.

0

M12= 34 .64,701 שקלים

34.701,000 642,65 דורון קיבל 65,000 שקלים מקרן השתלמות: )2(

לכן הסכום שקיבל דורון מקרן השתלמות יספיק להחזיר את יתרת החוב שלו לבנק

/המשך בעמוד 6/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 6 -

מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312 + נספחשאלה 4 - 8 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

טריגונומטריה

,)AB AC= ( ABC במשולש שווה־שוקיים .4

.69o זווית הבסיס

אורך הגובה AD לבסיס BC הוא 12 ס"מ.

. BC חשב את אורך הבסיס א.

. AC הגובה לשוק , BE חשב את האורך ב.

/המשך בעמוד 9/

A

B C

E

D

תשובה לשאלה 4. ACB 69oB = במשולש ABC שווה־שוקיים א.

הגובה AD לבסיס BC הוא גם תיכון,

BD DC= לכן

ADC במשולש ישר־זווית

tan DCAD69o= ADC מתקיים: 90oB = שבו

0

tan DC69 12o=

0

tanDC 6912

o= 4.6 ס"מ = האורך של DC הוא:

BD DC=

0

.BC DC2 2 4 6$ $= = 9.2 ס"מ = לכן אורך הבסיס BC הוא:

BEC במשולש ישר־זווית ב.

sin BCBE69o= BEC מתקיים: 90oB = שבו

0

.sin BE69 9 2o=

0

. sinBE 9 2 69o$=

0

BE= 8.58 ס"מ האורך של BE הוא:

/המשך בעמוד 7/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 7 -

שאלה 5מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312 + נספח - 10 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

הסתברות וסטטיסטיקה

לפניך רשימה של חמישה ציונים: 86 , 83 , 78 , 77 , 76 . .5

חשב את ממוצע הציונים ואת סטיית התקן. א.

הוסף ציון שישי כך שהממוצע של ששת הציונים לא ישתנה. )1( ב.

האם לאחר הוספת הציון השישי סטיית התקן גדלה, קטנה או לא השתנתה? )2(

נמק.

/המשך בעמוד 11/

תשובה לשאלה 5

x5 ציונים 576 77 78 83 86

5400

=+ + + +

= על פי הנוסחה לחישוב הממוצע: א.

0

x 80= הציון הממוצע של 5 ציונים הוא:

74=( )86 80+ -( )83 80-+( )78 80-+( )77 80-+)80-(76 2 2 2 2 2 סכום ריבועי הסטיות מן הממוצע הוא:

0

S25 ציונים745=

0

S5 ציונים .574 3 84= = לכן סטיית התקן של 5 ציונים היא:

אם הציון השישי יהיה שווה לממוצע חמשת הציונים שלפניו, )1( ב.

הממוצע של ששת הציונים לא ישתנה.

x6 ציונים 6400 80

6480 80=

+= = לכן הציון השישי הוא 80 :

הממוצע של 6 הציונים הוא 80 , הסטייה של הציון השישי מן הממוצע היא 0 . )2(

S26 ציונים 674

6740

=+= הממוצע של סכום ריבועי הסטיות מן הממוצע הוא:

S6 ציונים .674 3 51= = לכן סטיית התקן החדשה של 6 ציונים תקטן:

0

. .3 51 3 841

/המשך בעמוד 8/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 8 -

שאלה 6מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312 + נספח - 12 -

ה ז

רזו

אב

ב תו

כל

א ל

طقةمن

ه الهذ

ي ب ف

كتال ت

במחסן יש שני מתקני התרעה נגד שֵרפה. .6

ההסתברות שהמתקן הראשון יפעל במקרה של שרפה היא 0.9 .

ההסתברות שהמתקן השני יפעל במקרה של שרפה היא 0.8 .

מהי ההסתברות שבמקרה של שרפה יפעל המתקן הראשון והמתקן השני לא יפעל? א.

מהי ההסתברות שרק אחד מן המתקנים יפעל במקרה של שרפה? ב.

מהי ההסתברות שלפחות מתקן אחד יפעל במקרה של שרפה? ג.

/המשך בעמוד 13/

תשובה לשאלה 6מרחב המדגם כולל 4 תוצאות. א.

להלן תיאור כל התוצאות האפשריות באמצעות דיאגרמת עץ:

מתקן ראשון

מתקן שני

יפעל

יפעל לא יפעליפעל לא יפעל

לא יפעל

מתקן שני

0.8 0.8

0.90.1

0.2 0.2

ההסתברות שבמקרה של שרפה יפעל המתקן הראשון,

והמתקן השני לא יפעל היא: . . .P 0 9 0 2 0 18$= =c mמתקן ראשון יפעלומתקן שני לא יפעל

/המשך בעמוד 9/

פתרון, מתמטיקה, קיץ תשע"ד, מועד ב, מס' 035802, 312- 9 -

זכות היוצרים שמורה למדינת ישראלאין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך

המשך תשובה לשאלה 6.

ההסתברות שבמקרה של שרפה רק מתקן אחד יפעל ב.

היא סכום ההסתברויות של שתי התוצאות:

P P P= +c c cm m mמתקן ראשון יפעלומתקן שני לא יפעל

רק מתקן אחד יפעל

מתקן ראשון לא יפעלומתקן שני יפעל

0

רק מתקן אחד יפעל

. . . . . . .P 0 9 0 2 0 1 0 8 0 18 0 08 0 26$ $= + = + =e o

I דרך ג.

ההסתברות שבמקרה של שרפה לפחות מתקן אחד יפעל היא סכום ההסתברויות של שלוש התוצאות:

P P P P= + +e c c co m m mמתקן ראשון יפעל

ומתקן שני יפעללפחות מתקן אחד

יפעלמתקן ראשון יפעל

ומתקן שני לא יפעלמתקן ראשון לא יפעל

ומתקן שני יפעל

. . . . . . .P 0 9 0 2 0 1 0 8 0 9 0 8 0 98$ $ $+ + ==e oלפחות מתקן אחדיפעל

II דרך

ההסתברות שבמקרה של שרפה לפחות מתקן אחד יפעל

היא ההסתברות של המאורע המשלים למאורע: "אף מתקן לא יפעל".

לכן ההסתברות שלפחות מתקן אחד יפעל היא:

. . . .P P1 1 0 1 0 2 1 0 02 0 98$= - = - = - =e co mמתקן ראשון לא יפעלומתקן שני לא יפעל

לפחות מתקן אחדיפעל