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Astronomia2017-18

Parte IProprietà fondamentali delle stelle

righe di emissione

righe di assorbimento

continuo

(non si può parlare di “energia monocromatica”!)

SpettroDistribuzione della densità di flusso spettrale della sorgente

in funzione di frequenza/lunghezza d’onda

Tipico spettro stellare

Il colore delle stelleIl colore delle stelle

• Il colore delle stelle è determinato dallo spettro continuo

• Il colore delle stelle è determinato dallo spettro continuo

• Il colore dipende dalla temperatura

• Il colore dipende dalla temperatura

• Fisica della relazione colore-temperatura:

Legge di corpo nero

• Fisica della relazione colore-temperatura:

Legge di corpo nero

� La misura del continuo consente di determinare T� La misura del continuo consente di determinare T

• Lo spettro della radiazione emessa dal corpo nero dipende solo dalla sua temperatura

Corpo nero: buona approssimazione del continuo degli spettri stellari

K cm 29.0max =Tλ(Wien’s displacement law)

• Per T crescenti:- la potenza irradiata per cm2

aumenta rapidamente:

Il corpo nero

4Sw T∝

(Stefan-Boltzmann)

- la lunghezza d’onda del picco diminuisce:

• Sorgente ideale: equilibrio termodinamico– Tutta l’energia incidente sul corpo nero è assorbita– L’energia è scambiata liberamente con l’ambiente– Il flusso netto di energia è nullo (Ein = Eout)

bb

Tipico spettro stellare vs Blackbody a diverse T

Il corpo nero• Esempio (1)Qual è la temperatura superficiale (approssimativa) di una

stella che ha il picco del suo spettro nel visibile, intorno a 500nm?

• Esempio (2)A quale lunghezza d’onda la Terra emette il massimo della

sua radiazione e.m.?

7

0.29 K 5800 K

500 10−= =⋅ vicino alla temperatura

superficiale del Sole

310 cm 10µm −= =(Infrarosso)

K 300=T

max 500 nm λ =

max

0.29K

[cm]T

λ=

max

0.29 0.29cm cm

300Tλ = =

La legge di PlanckFine 1800: Previsioni teoriche per la radiazione di corpo nero in disaccordo con i dati sperimentali

22

2( )

kTI T

cν ν=

– Deduzione classica (Rayleigh-Jeans):

Proporzionale all’energia cinetica della particella

K erg1038.1 116 -k −×=Costante di Boltzman

Diverge ad alte frequenze!

“catastrofe ultravioletta”

La legge di RJ concorda con i dati sperimentali a basse frequenze

La legge di Planck

3

2 /

2 1( )

e 1h kT

hI T

cν νν=

−

1<< e 1x x≈ +

• Ci aspettiamo che questa si riduca alla legge di Rayleigh-Jeans a basse frequenze:

Max Planck (1858 – 1947)

serg1063.6 27 ⋅×= −hCostante di Planck

Legge di importanza decisiva per la fisica moderna

3

2

2 1( , )

e 1x

hI T

c

νν =−

Legge di Rayleigh-Jeans

2

22

c

kTν=3

2

2 1h

c x

ν≈hν

kT

c

h2

32 ν=

Max Planck, 1900: deduzione legge “empirica” in accordo con i dati sperimentali

xkTh ≡)/( ν

[erg s-1 cm-2 Hz-1 sr-1]

Il corpo nero

Raddoppiando la temperatura, la potenza irraggiata aumenta di un fattore 16

Aumentando T di un fattore 10, la potenza aumenta di 104

Energia totale emessa

Al crescere della temperatura l’energia totale emessa (per unità di tempo e di superficie emittente) aumenta molto rapidamente

1425 sKcm erg107.5 −−−×= -σcostante di Stefan-Boltzman

Potenza irradiata per unità di superficie

Relazione di Stefan-Boltzman (dapprima trovata empiricamente):

0 0Sw I d I dλ νλ ν∞ ∞

= =∫ ∫4 Tσ=

Legge di Planck

22

2( , )

kTI T

cν ν=

1e

12),(

/2

3

−=

kThc

hTI ν

νν

2

2

/2

3 2

1e

12

c

kT

c

hkTh

ννν →

− 1/ <<kThνper

La Temperatura è l’unico parametro libero!

4

0 Sw I d Tν ν σ

∞= =∫

Luminosità totale• Luminosità intrinseca totale di una stella

= potenza totale irradiata da tutta la superficie

))(4( 42 TR σπ=

10 2 5 1 -2 4 3 44 (7 10 cm) (5.7 10 erg s cm K )(5.8 10 K) L π − − −= ⋅ ⋅ ⋅⊙

57 10 km R = ×⊙

5 1 2 45.7 10 erg s cm K-σ − − −= ×5800 KT =

⊙

erg/s104 33×=Unità di misura per la luminosità di altre stelle, sorgenti astronomiche

SwRL )4( 2π=Potenza irradiata per

unità di superficieApprossimazione di black body

• EsempioCalcolare la luminosità del Sole

Approssimazione sferica

Legge di Planck

Nel Radio

)( TI ∝ν

2

2

2( , )

h kT

kTI T

c

ννν

<<

=

• Legge di Planck in funzione della lunghezza d’onda

La legge di Planck

λν /c→1e

12),(

/2

3

−=

kThc

hTI ν

νν

λλνν dTIdTI ),(),( =

λννλ

d

dTITI ),(),( =

2λλν c

d

d =

2/2

3

1e

1)/(2),(

λλλ λ

c

c

chTI

kThc⋅

−=

2

5 /

2 1

e 1hc kT

hcλλ

=−

Energia del fotone

Regione Lunghezza d’onda Frequenza (Hz) Energia per fotone (eV)

Radio > 10 cm < 3 × 109 < 10-5

Microonde 0.1 mm – 10 cm 3 × 109 – 3 × 1012 10-5 – 0.01

Infrarosso 700 nm – 0.1 mm 3 × 1012 – 4.3 × 1014 0.01 – 2

Visibile 400 nm – 700nm 4.3 × 1014 – 7.5 × 1014 2 – 3

Ultravioletto 10 nm – 400nm 7.5 × 1014 – 3 × 1016 3 – 102

Raggi X 0.1 nm – 10 nm 3 × 1016 – 3 × 1018 102 –104 (0.1–10 keV)

Raggi γ < 0.1 nm > 3 × 1018 > 104 (>10 keV)

19 19(1.6 10 C) (1 Volt) 1.6 10 J− −= × × = ×

eV 3≈

• Esempio: energia (in eV) di un fotone di λ = 400 nm

• Elettronvolt (eV):

27 10

5 12

(6.63 10 erg s) (3 10 cm/s) 1

4 10 cm 1.6 10 erg-

−

−

× ⋅ × ×=× ×

erg10J 1 7=erg106.1 12−×=

/

eV eV

E hc λ=

1 eV 1 Volte= ×

• Ogni reale misura di flusso è integrata su un intervallo finito di lunghezze d’onda/frequenze

Filtri fotometrici

Filtro λ (max)

[nm]∆λ (range)

[nm]

U 350 70

B 435 100

V 555 80

R 680 150

I 800 150

• Diversi sistemi fotometrici (“filtri standard”) sono stati sviluppati in diversi osservatori�Trasformazioni da un sistema all’altro necessarie per confrontare

le osservazioni

∫∞

⋅=0

)(~ λλλ dbPb

Pλ

Visibile-IR

Relazione colore – temperatura

La misura del picco di blackbody consente di stimare la temperatura superficiale di una stella

max

0.29[K]

[cm]T

λ=

Problema: Non è agevole misurare l’intero spettro di blackbody

1λ 2λ

Misure di flusso a in 2 bande di frequenza ci danno sufficienti informazioni

• Definiamo indice di colore corrispondente a λ1 e λ2 la differenza di magnitudini

12 1 10

2

( )2.5log

( )

bm m

b

λλ

− =ɶ

ɶ

Indice di colore

11 2

2

( , )( , , )

( , )

I TT

I T

λξ λ λλ

=

• Per un corpo nero basta misurare il rapporto di flusso a 2 lunghezze d’onda per determinare T

Dal colore alla temperatura

1e

12),(

/5

2

−=

kThc

hcTI λλ

λ

2

1

5 /2

/1

e 1

e 1

hc kT

hc kT

λ

λλλ

−= − MisuratoOgni quantità è nota tranne T

� Ricavo la temperatura T

Indici di colore

102.5log [ ( ) / ( )]B VB V b bλ λ− = − ɶ ɶ

Sole

Betelgeuse

Bellatrix

0B Vb b B V> → − <

0B Vb b B V< → − >

Stelle calde

Stelle fredde