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Astronomia2017-18

Parte IIStruttura stellare

Generazione di energia

In una data shell, l’energia non è solo assorbita e riemessa, ma anche generata (nella regione del nucleo)

=)(rε Energia/sec generata per unità di massa nella shell di raggio rDipende da composizione e temperaturaPer ogni reazione il valore è specificato dalla fisica nucleare

Soluzioni numeriche in funzione di ε(r)

)()(4 2 rrrdr

dL ρεπ=

“Generazione di energia”

Struttura stellare: Equazioni fondamentali

L’aumento di luminosità dovuto alla generazione di energia dell’intera shell “r” sarà dato da:

)(shell rdMdL ε⋅= )()(4 2 rrdrr ερπ ⋅=

La produzione di energia riguarda il solo nucleo della stella:

� Ci aspettiamo che la luminosità osservata alla superficie siaraggiunta già nelle regioni centrali

Struttura stellare: Equazioni fondamentali

4. Trasporto di energia2 3

'

64 ( )( )

3 ( ) ( )

r T r dTL r

r r drλ

π σκ ρ

= −

3. Equazione di stato( )

( ) ( )r

P r kT rm

ρ= ⋅< >

2. Equilibrio idrostatico 2

( ) ( )( )

dP r GM rr

dr rρ= −

2( )4 ( )

dM rr r

drπ ρ=1. Equazione di continuità

5. Generazione di energia 2( )4 ( ) ( )

dL rr r r

drπ ε ρ=

Energia potenziale di un elemento di massa dm in r0

dm0r

0

0

( )GM r dmdU

r= −

Tempo di free-fall

Equazione dell’equilibrio idrostatico

Che cosa avverrebbe in assenza di pressione interna?

Gradiente di pressione negativo:

Per bilanciare la gravità la pressione deve diminuire verso l’esterno della stella

Collasso della stella.

In quanto tempo?

2

( )( )

dP GM rr

dr rρ= −

(dm è inizialmente a riposo)

2

0

0

( ) 1 ( )

2

M r dm dr M r dmG dm G

r dt r − = −

La massa si conserva:

0( ) ( )M r M r M= =2

0

1

2

dr M MG G

dt r r = −

2 2

0

1 1 1

2dr dt GM

r r

= −

1/2

0

1 12dt GM dr

r r

−

= ± −

1/2

0 00

1 1 1

2

ff ff

ff dt drr rGM

τ ττ

−

= = ± −

∫ ∫

Conservazione dell’energia per dmStella in contrazione. r

Tempo di free-fall

0

1/2

0

00

r r rdr

rr

− −

∫0

1/2

001 /

r rdr

r r

= − ∫

0

1/2

00 0 00

0

/( / )

1 /

r r rd r r r r

r r

= − ∫

1/213/2

0 0 1

xr dx

x −

∫0/r r x≡

/ 2π=

3/202

rπ=

1/2

0 00

1 1 1

2

ff ff

ff dt drr rGM

τ ττ

−

= = ± −

∫ ∫

3/20

1

22ff r

GM

πτ =2 2

0

8

r

G M

π= 3 1

32ff G

πτρ

=< >3

04 1

3

r

M

πρ

=< >

Per il Sole abbiamo:1/2

8 2 2 3

31770s

32 (6.67 10 dyn cm g ) (1.4g cm )ff

πτ − − −

= ≈ × × × In assenza di pressione interna il Sole collasserebbe in un «punto» in circa mezz’ora.

(Sceglieremo il segno che dà un tempo positivo)

� Equilibrio idrostatico

)()(

2r

r

rGM

dr

dP ρ−=

∫∫ −=RR

drrrr

rGMdrr

dr

dP

0

2

0

3 4)()(

4 πρπMassa della shell dM a distanza r dal centro

[ ] ∫ ⋅−⋅R

RdrrrPrrP

0

20

3 4)(34)( ππ

(Integrale per parti)

0)( =RP

Alla superficie della stella la pressione va a zero:

∫ ⋅−=R

drrrP0

24)(3 π

0

13 ( )

R

V P r dVV

= − ⋅

∫ ><−= PV3

Energia potenziale gravitazionale

0

( )R

GR

GM rdM U

r− =∫

><−= PVUGR 3

Valor medio della pressione pesato sugli elementi di

volume dV

Relazione tra energia gravitazionale e pressione

drrrr

rGMdrr

dr

dP 32

3 4)()(

4 πρπ −=

GRGR

V

UP ε

3

1

3

1 −=−>=<Relazione tra pressione media e densità di energia gravitazionale

2 2

0 0

24 ( ) ( )4

3

R R

THr drP r r r drπ ε π=∫ ∫

Moltiplichiamo per l’elemento di volume e integriamo:

Energia termica totale della stellaValor medio della

pressione

Contrazione: � UGR più negativa � ETH aumenta

UGR < 0

Teorema del viriale

Risultato appena ottenuto:

� Equilibrio idrostatico + Equazione di stato

v c<<DB /d h pλ>> ≈

1 1

3 3GR

GR

UP

Vε< >= − = −

Per un gas perfetto in condizioni “classiche”

( ) ( ) ( )P r V r NkT r=Energia termica:

3

2THE NkT=

2 2

3 3TH

TH

EP

Vε= =

dV dV2

3 THP V E< > =

1

3 GRP V U< > = − Teorema del viriale

1

2TH GRE U= −

Espressioni per l’energia totale:

Energia totale è negativa (sistema legato)

total TH GRE E U= +1 1

2 2total GR GR GRE U U U= − + =

total THE E= −

(equazione di stato)3

2PV=

La convezione “rimescola” gli elementi all'interno di una stella

1) Un nucleo convettivo viene rifornito di idrogeno “fresco” proveniente dagli strati superiori

La convezione permette all'energia di fuoriuscire facilmente dalla stella (anche se il gas ha alta opacità)

( ) 1 ( ) ( )

( )

dT r T r dP r

dr P r dr

γγ

−>

Condizione per l’innesco della convezione: elevato gradiente di temperatura

Per gas con gradi di libertà interni (non totalmente ionizzato): 1≈γ

Facilita convezione

2) Se la convezione interessa tutta la stella, elementi processati possono giungere alla superficie (“dredge-up” o “dragamento”)

Osservabili negli spettri

Gas ideale non-relativistico senza gradi di libertà (e.g. H ionizzato): 3/5=γ

Indice adiabaticoP γρ∝

Trasporto di energia per convezione

I modelli stellari prevedono zone diverse di trasporto convettivo a seconda della massa della stella

Modelli stellari

Massa iniziale M

Composizione chimica ni(r)

Evoluzione

)()(4 2 rrrdr

dL ρεπ=

2 364 ( )( )

3 ( )

r T r dTL r

r drλ

π σκ ρ

= −ɶ

( )( ) ( )

rP r kT r

m

ρ= ⋅< >

2

( )( )

dP GM rr

dr rρ= −

)(4 2 rrdr

dM ρπ= )(rρDensità

)(rTTemperatura

)(rLLuminosità

)(rPPressione

Opacitàκ(r)

Generazione di energia εi(r)

Fisica nucleare

Esempio di schema concettualeSoluzioni dettagliate richiedono approccio numerico

Nuova composizioneChimica ni(r)’

Trasporto radiativo/convettivo

Variation of mass, luminosity, temperature, density and pressure inside the Sun

• The Luminosity (energy generation) is even more concentrated in radius, with 99% being within 0.25R

M, L � in terms of surface value

T, P, ρ � in terms of central value

• Mass is highly concentrated towards the centre: 90% of mass within 0.5R, or 0.125 of volume). No sharp outer limit.

• Temperature decreases more gradually

Modello del Sole

• The Density and Pressure drop to ∼10% of its central value at ~0.25R and to ∼0.1% at ~0.5R --- They reach zero asymptotically

Element abundances in the interior of the Sun

Calculated assuming:

• Originally: 27% He, 71% H, 2% metals

• Burning H to He according to local temperatures and densities

Modello del Sole

� PP is not “very” sensitive to T� therefore hydrogen is still able to burn in off-core regions

At r < 0.07R abundance of He exceeds that of H

� In the core CNO is operating

� Slowest CNO reaction: 14N+p � 16O+γ (tCNO = 3.2 x 108yr)

� Sun’s age >> tCNO� equilibrium achieved for abundances of 12C and 14N

Element abundances in the interior of the Sun

Calculated assuming:

• Originally: 27% He, 71% H, 2% metals

• Burning H to He according to local temperatures and densities

Modello del Sole

In the core N is 300 times more abundant than C (<1% of H abundance)

Stelle di Sequenza principale

� Stelle G-F• Bruciamento: PP, CNO

• Nelle regioni centrali il trasporto è radiativo, inviluppo convettivo

� Convezione: Interessa solo piccola frazione della massa � Sole: ∼ 30% del raggio, ∼3% della massa

0.5 1.5M M M< <⊙ ⊙

• Bruciamento: PP

� Stelle K-M

• Alto gradiente di T: � Trasporto dominato dalla convezione

� Le stelle più piccole potrebbero essere interamente convettive

0.5M M<⊙

� Stelle F-B• Bruciamento: CNO• Grande energia generata nel nucleo � nucleo convettivo� inviluppo radiativo

1.5M M>⊙

Trasporto di energia

Modelli stellari

Verifiche sperimentali dei modelli di struttura stellare:

2. Elio/astro-sismologia

3. Neutrini (sole)

2 e 3 sondano direttamente le regioni interne

1. Osservazioni della superficie

Eliosismologia

ρddPcs /=La distribuzione statistica delle oscillazioni dipende dalla velocità del suono

Onde sismiche: deviate in corrispondenza di discontinuità (forte gradiente)

Modi a grande scala � onde generate presso il centro del soleModi su piccola scala � onde in superficie

Analisi delle oscillazioni � Misura di precisione della velocità del suono: da R (superficie) a ~0.1 R

Onde sonore (di pressione) mantenute dai moti di convezione (“p-modes”, onde stazionarie)

- Osservazioni da terra

- SOHO � ~107 modi di oscillazione

Test accurati del modello standard della struttura solare

[ ]32-2 cm/g)cmscm(g −− ⋅⋅⋅ [ ]22 scm −⋅=

Oscillazioni di porzioni della superficie solare

Periodo caratteristico ~5 min

Fenomeno studiato sfruttando effetto Doppler

Scoperte nel 1962, spiegate solo negli anni ‘70

Osservazioni della fotosfera

EliosismologiaOscillation speed ~0.1 m/s

Oscillation periods: ~1.5 to ~20 min Horizontal wavelengths: 103 to 106 km

Goal: solve inverse problem� Invert observed oscillation data in order to estimate the internal properties of the Sun� Derive radial profiles of: density, temperature, sound speed

Energy Source: ConvectionThermal energy converted into kinetic energy of pulsation

Millions of oscillation modes (standing waves)

Spherical harmonics

, ( , )mY θ φℓ

Eliosismologia

HelioseismologyJørgen Christensen-Dalsgaard Rev. Mod. Phys. 74, 1073–1129 (2002)

3000 Hz 3mHzµ = 5.5min→

Eliosismologia

Helioseismology, Jørgen Christensen-Dalsgaard , Rev. Mod. Phys. 74, 1073–1129 (2002)

7400nHz 4 10 Hz−= × 28.9d→

Profilo di rotazione interna

Eliosismologia

� Corrisponde a r = 0.711 R

Determinazione del raggio a cui si instaura la convezione

Velocità del suono

Derivata

Cambiamento di pendenza nella curva di velocità� Discontinuità nella derivata dv/dr

� Discrepanze <1% con modello solare standard

Eliosismologia

Attualmente:

Residui della curva misurata di velocità del suono (al quadrato) rispetto alla predizione del modello standard.

I residui sono entro lo 0.4%

Piccole discrepanze ancora non spiegate (e.g. picco vicino alla transizione alla zona di convezione, r/R ~ 0.7)

� Ma: grande confidenza nel modello standard (SSM)

Neutrini solari

Le reazioni nucleari (PP, CNO) nel Sole generano un flusso enorme di neutrini

• Plasma essenzialmente trasparente ai neutrini

• Ci giungono in ∼8.5 min direttamente dalle zone centrali del Sole

Il processo della reazione PP:

νedpp ++→+ +

produce la maggior parte dei neutrini solari.

Poco energetici � difficili da osservare

Misura molto difficile

Unità di misura per flusso di neutrini:

SNU (Solar Neutrino Unit) = 10-36 catture di neutrini per atomo per secondo

Processo PP-III � neutrini più energetici, flusso più basso

Verifica dei modelli di struttura stellare: osservazione alla superficie delle stelle, l’interno è opaco ai fotoni

I fotoni impiegano ∼105 yr per emergere alla superficie

( Borexino 2014 )

Neutrini solariCatena PP

18 MeV (flusso bassissimo!)

Neutrini solariCiclo del Carbonio: energie

Flussi aspettati

Variante molto rara della ppNeutrini solari di max energia: 18 MeV (flusso bassissimo!)

Neutrini solari

Spettro dei neutrini solari

Rivelatori

Problema: Fondo di raggi cosmici

E’ necessario condurre gli esperimenti sotto terra

� lo strato di roccia assorbe i raggi cosmici ma non i neutrini

Rivelatori di neutrini solari: grandi vasche riempite di sostanze liquide, i cui nuclei reagiscano con neutrini di una certa energia.

Percentuali:Incertezze del modello