§2.1 导数的概念

一、导数概念的引出二、导数的定义

三、导数与连续的关系

四、单侧导数

五、导函数

六、导数的几何解释

现代仪器测定，女子网球发球速度最快者是美国的维纳斯 · 威廉姆斯 , 1998年 10月 16日，在瑞士苏黎士举行的欧洲室内锦标赛上，她的发球速度为每小时 205千米。

2004年 2 月 6 日，美国的罗迪克在戴维斯杯网球赛中，创下了发球最快球速的世界纪录——时速 241.3千米。

什么叫发球速度？它又是怎样计算出来的呢？

类似这样的问题还有很多：子弹出枪樘的速度，运动员冲刺的速度，两辆汽车同向而行，后一辆超过前一辆时的速度……

一、导数概念的引出

1 、瞬时速度

设有一质点作直线运动，svt

。运动规律为 :s = s(t) ，如果质点

作匀速直线运动，则每一时刻的瞬时速度都是 如果质点作非匀速直线运动，设 Δt = t - t0 , Δs = s(t) - s(t0) , 质点在 t 与 t0 之间的平均速度为：

0

0

( ) ( )s t s t svt t t

0 0 0lim limtt t

sv vt

称为质点在 t0 时刻的

瞬时速度。

以上所提到的速度，我们称之为瞬时速度，即运动的物体在某一时刻 t = t0 时的速度。在数学史上，瞬时速度并不是一个容易被接受的概念。

自由落体运动： 212

s gt

2 20 0

1 1( )2 2g t t gt

st t

20

0

1 ( )122

gt t g tgt g t

t

0 0 0limt t

sv gtt

求物体在 t = t0 时的瞬时速度0tv

0ts0t t

0 0, ( ) ( )t t t s s t s t 记

2 、 曲线的切线在中学，我们接触过圆的切线：

相离 相切 相交

切线 : 与圆只有一个公共点的直线。

实际上，中学里并没有给出一般曲线的切线的定义。

对一般的平面曲线 C ： y = f (x) ，

0P

0x

如图：

0 0 0( , ( ))P x f x

为曲线 C 上的一点， 在曲线 C 上 P0 的附近另取一点 P ，

作割线 PP0 ，

P

如果割线 PP0 的极限位置 T 存在，

0x x

x

y

当点 P 沿曲线 C 趋于 P0 时 ，

O x

yC

对一般的平面曲线 C ： y = f (x) ，

0P

0x

如图：

0 0 0( , ( ))P x f x

为曲线 C 上的一点， 在曲线 C 上 P0 的附近另取一点 P ，

作割线 PP0 ，

P

如果割线 PP0 的极限位置 T 存在，

0x x

x

y

当点 P 沿曲线 C 趋于 P0 时 ，

O x

yC

对一般的平面曲线 C ： y = f (x) ，

0P

0x

如图：

0 0 0( , ( ))P x f x

为曲线 C 上的一点， 在曲线 C 上 P0 的附近另取一点 P ，

作割线 PP0 ，

P

如果割线 PP0 的极限位置 T 存在，

0x x

x

y

当点 P 沿曲线 C 趋于 P0 时 ，

O x

yC

对一般的平面曲线 C ： y = f (x) ，

0P

0x

如图：

0 0 0( , ( ))P x f x

为曲线 C 上的一点， 在曲线 C 上 P0 的附近另取一点 P ，

作割线 PP0 ，

P

如果割线 PP0 的极限位置 T 存在，

0x x

x

y

当点 P 沿曲线 C 趋于 P0 时 ，

O x

yC

T

则称直线 T 为曲线 C ： y = f (x) 在点

P0 处的切线。割线 PP0 的斜率

0

0 0( ) ( ),pp

y f x x f xk

x x

0P

0x

如图：

P

0x x

x

y

O x

yC

T

因为　 0 0,P P x

所以，切线 T 的斜率：

00 0lim limppx x

yk k

x

0 0

0

( ) ( )limx

f x x f x

x

3. 　边际成本设成本为 C ，产量为 q ，成本与产量的函数关系式为

我们来研究当 q ＝ q0 时，产量变化 Δq 对成本的影响 .

)(qCC

)()( 00 qCqqCC

q

C

产量变化 Δq 对成本的影响可用： 来刻划 . 来刻划 .

而极限 而极限 0

limq

C

q

称为 q ＝ q0 时 C=C(q) 的边际成本 .

它表明当产量为 q0 时，增加单位产量需付出成本 : 0limq

C

q

二 导数的定义

0 0

0

( ) ( )limx

f x x f xx

设函数 y = f (x) 在点 的某邻域内有定义， 0x定义1

点的可导，0x

给自变

量以改变量 ,x 函数相应的改变量为 0 0( ) ( )y f x x f x

如果 存在， 则称 y = f (x) 在

并称此极限为函数 y = f (x) 在 点的导数，0x 记作：

0 x xy 或 0( )f x

即 0 00 0

( ) ( )( ) lim ,

x

f x x f xf x

x

则称函数 y = f (x) 在 点的不可导。0x

0 0

0

( ) ( )limx

f x x f xx

如果极限 不存在，

上述引例中 , 如果去掉问题的具体属性（物理的，几何的或经济的），我们可抽象出：

牛顿的“流数术”与“第二次数学危机”牛顿求函数 y = f (x) = x2 在点 x0 处的导数（流数）的方法如下：

2 20 0 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x

202x

02y

x 令 0 得： 0 0( ) 2f x x

1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》 , 矛头指向微积分的基础 --无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他认为 : “无穷小 ε既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬的”“ ε 为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。

求函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数一般分为以下三个步骤：

10 计算函数值的改变量

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f x

20 求比值 0 0( ) ( )f x x f xyx x

30 求极限0

limx

yx

注意：导数定义的其他形式。注意：导数定义的其他形式。

例 1

2(1 ) (1) (1 ) 1y f x f x

求函数

2( )f x x 在 x = 1 点的导数，

并求曲线2y x 在 (1,1) 点的切线方程。

解：

即 y = 2x – 1

(1) 2f

22 ( )x x

2y

xx

0 0lim lim (2 ) 2x x

yx

x

在 (1,1) 点的切线方程为：2( )f x x所以曲线

y – 1 = 2 (x – 1)

三 单侧导数

左导数：定义 20 0

00

( ) ( )( ) lim ,

x

f x x f xf x

x

右导数： 0 00

0

( ) ( )( ) lim .

x

f x x f xf x

x

左导数与右导数统称为单侧导数 .

例 3

( )f x x 在 x = 0 点不可导 .

但

0(0) lim 1,

x

xf

x

0(0) lim 1.

x

xf

x

实质上，网球的发球速度是一个单侧导数。

四 可导与连续的关系

0x若函数 y = f (x) 在定理1

0x可导，则 y = f (x) 在 连续。

证： 0x设函数 y = f (x) 在 可导，则 0 0( ) lim

x

yf x

x

于是

0x故 y = f (x) 在 连续，

注意：定理的逆不成立， 例如，

( )f x x 在 x = 0 点连续，

但在 x = 0 点不可导。

0 0( ) ( )y

f x y f x x xx

其中 0lim 0x

所以 0lim 0x

y

定理 2 0( )f x 存在 0( ),f x 0( )f x0 0( ) ( )f x f x

都存在，且

由单侧极限与极限的关系即知定理成立。

例 4 求其在 x = 0 点的单侧导数。解：

00

( ) (0)( ) lim 1

x

f x ff x

x

00

1 cos( ) lim 0x

xf xx

1 cos 0

0

x x

x x

≥

设 f (x) =

因为左右导数不相等，所以 此函数在 x = 0 点不可导。

五 导函数

若函数 y = f (x) 在区间 I 上每一点都可导，定义 3

, | ( )x I f x y = f (x) 在区间 I 上可导。

则称

与之对应，由此而确定的函数称为导函数，简称为导数，记作：

, ( ) dy

y f xdx

或

即 0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

例 5

求函数

2( )f x x 的导数。

2 2 2

0 0

( ) 2( ) lim lim 2x x

x x x x x xf x xx x

解：

例 6 求函数

( ) nf x x 的导数。

1 1 2 2 2

0

( ( ) ( )lim

nn n nn n n

x

C x x C x x C xx

解：

由此可得：

23y x 则

3y x

y x 则

1 12 21 1( )

2 2y x x

x

0

( )( ) lim

n n

x

x x xf x

x

1 1 1n nnC x nx

推广 :

1( )x x

例 7 求函数

( ) xf x a 的导数。

0 0

1( ) lim limx x x x

x

x x

a a af x ax x

解：

0

11 lim lnlog ( 1) log

x x x x

ta a

tt a a a a at e

由此可得：

则

xy e xy e

例 8 求函数

( ) logaf x x 的导数。

0 0

log (1 )log ( ) log( ) lim lim

aa a

x x

xx x x xf x

x x

解：

0

1 1 1lim log (1 ) logln

xx

a ax

x ex x x x a

由此可得：

则

lny x 1yx

例 9 求函数

( ) sinf x x 的导数。

0

sin( ) sin( ) lim

x

x x xf x

x

解：

cos x

由此可得：

则

siny x cosy x

0 0

2sin cos sin2 2 2lim lim cos2

2x x

x x xx +xx +

x x

则

cosy x siny x

六 导数的几何解释

函数 y = f (x) 在

0x x 可导，则 y = f (x) 在 0x x 点的 切线斜率 0tan ( ),k f x

所以曲线 y = f (x) 在 0x x 点的切线方程为：0 0 0( )( )y y f x x x

法线方程为： 0 0 00

1 ( ) ( ( ) 0).( )

y y x x f xf x

例10

求曲线

3y x0x x在 点的切线方程与法线方程。

解： 23y x 0

2 03xy x

切线方程为： 3 20 0 03 ( )y x x x x

法线方程为： 30 02

0

1 ( )3

y x x xx