21 จำนวนจริง...
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
จ านวนจรง (เนอหาตอนท 8)
การแกอสมการคาสมบรณ
โดย
ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
1
สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย
1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง
- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง
3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ
4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ
5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามดกรหนง - สมการพหนามดกรสอง - สมการพหนามดกรสง - การประยกตสมการพหนาม
6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรสง
7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ
8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ
10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ
11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ
คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
3
เรอง จ านวนจรง (การแกอสมการคาสมบรณ) หมวด เนอหา ตอนท 8 (8/9) หวขอยอย 1. อสมการคาสมบรณ 2. โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน
1. น านยามและความรพนฐานไปใชในการแกอสมการคาสมบรณได 2. เขาใจความเกยวของของอสมการกบปญหาในชวตประจ าวน และแกปญหานนได
ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ
1. แกอสมการคาสมบรณได 2. อธบายและยกตวอยางการประยกตการแกอสมการคาสมบรณในชวตประจ าวนได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
4
เนอหาในสอการสอน
เนอหาทงหมด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5
1. การแกอสมการคาสมบรณ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6
1. การแกอสมการคาสมบรณ
ในสอตอนน ผเรยนจะไดศกษาการแกอสมการคาสมบรณแบบตาง ๆ ตลอดจนไดเหนตวอยางการ
ประยกตอสมการคาสมบรณ
เพอเปนการน าเรองเขาสอสมการคาสมบรณ ผสอนอาจทบทวนสมบตพนฐานเกยวกบอสมการคา
สมบรณตอไปนกอน
ทฤษฎบท ส าหรบ 0a จะไดวา 1. x a กตอเมอ a x a 2. x a กตอเมอ x a หรอ x a
พสจน
1. สมมตให x a ถา 0x จะไดวา a x x a ถา 0x จะไดวา a x x a จากทง 2 กรณ จะไดวา a x a สมมตให a x a ถา 0x จะไดวา x x a ถา 0x จะไดวา x x a ดงนน จากทง 2 กรณ จะไดวา x a
2. สมมตให x a ถา 0x จะไดวา x x a ถา 0x จะไดวา x x a จากทง 2 กรณ จะไดวา x a หรอ x a
สมมตให x a หรอ x a ถา 0x จะไดวา x x a ถา 0x จะไดวา x x a
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
7
3 3
3 3
2 2
4 4
ดงนน จากทง 2 กรณ จะไดวา x a # ทฤษฎบท ส าหรบ 0a จะไดวา
1. x a กตอเมอ a x a 2. x a กตอเมอ x a หรอ x a
พสจน แบบฝกหด #
ตวอยาง จงเขยนกราฟบนเสนจ านวนแสดงคา x ทสอดคลองอสมการตอไปน
1. 3x 2. 3x 3. 2x 4. 4x 5. 0x วธท า
1. 3x
2. 3x
3. 2x
4. 4x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
8
5. 0x
#
ตอไปจะเปนการศกษาเรอง การแกอสมการคาสมบรณในรปแบบตางๆ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9
11
1
xx
x
เมอ 1x เมอ 1x
22
2
xx
x
เมอ 2x เมอ 2x
1 2
ตวอยาง จงแกอสมการ
1. 31
1
x
x
2. 1 22
2 1
x
x
วธท า
1. 31
1
x
x
เนองจาก 1 0x ทก x จะไดวา 3 1x x
3 1 ดงนน ทกคา x สอดคลองกบอสมการ ท าใหเซตค าตอบของอสมการทโจทยก าหนดคอ
2. เนองจาก
และ
เราจะแบงการพจารณาเปน 3 กรณคอ กรณท 1 1x หรอ กรณท 2 1 2x หรอ กรณท 3 2x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
10
กรณท 1 1x จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนน
2
2
1 22
2 1
1 22
2 1
32
3
32
3
3 3 2 3
2 3 3 3 0
3 2 3 3 0
3 9 0
3 9
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
x x x
x x
x
แต 1x ดงนน จงไมมคา x ทสอดคลองอสมการ กรณท 2 1 2x
จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนน
1 22
2 1
1 22
2 1
12
3
12
3
x
x
x
x
x
x
x
x
เพราะวา 3 0 x จะไดวา
1 2 3
1 2 6
3 7
7
3
x x
x x
x
x
แต 1 2x ดงนนจงไมมคา x ทสอดคลองกบอสมการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
11
กรณท 3 2x
จะไดวา 1 1x x และ 2 2x x ดงนน
1 22
2 1
1 22
2 1
12
1
1 2
x
x
x
x
x
x
ท าใหเกดขอขดแยง ดงนน จงไมมคา x ทสอดคลองอสมการ
จากกรณท 1 กรณท 2 และกรณท 3 จะไดวา ไมมคา x ทสอดคลองอสมการ 1 22
2 1
x
x
#
ตอไปเปนเทคนคเพมเตมในการแกอสมการคาสมบรณในแบบตางๆ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
12
ตวอยาง จงแกอสมการตอไปน 1. 2 5 1x 2. 2 1 5x
วธท า
1. 2 5 1x
1 2 5 1
6 2 4
3 2
x
x
x
2. 2 1 5x
2 1 5x หรอ 2 1 5x 2 6x หรอ 2 4x
3x หรอ 2x #
ตวอยาง ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 8 5 4x และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 1 3x จงหา
B A วธท า หาเซต A
8 5 4x 8 5 4x หรอ 8 5 4x
8 9x หรอ 8 1x
9
8x หรอ 1
8x
ดงนน 1 9[ , ) ( , ]
8 8A
หาเซต B 2 1 3x
3 2 1 3
4 2 2
2 1
x
x
x
ดงนน 2,1B
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
13
จากเสนจ านวนจะไดวา 9 1,
8 8B A
#
1 1
8
9
8
2
B
A
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
14
ตวอยาง จงแกอสมการ 11
1 2
x
x
วธท า 11
1 2
x
x
1x
1 1
1 2
1 1
1 2
2 1
x x
x
x
x
1 2x หรอ 1 2x 3x หรอ 1x #
ตวอยาง จงแกอสมการ 13 4
2
x
x
วธท า 13 4
2
x
x
2x
2 2
1 3 24
2
2 54
2
2 5 4 2
2 5 16 2
x x
x
x
x
x x
x x
2 22 5 16 2 0
2 5 4 2 2 5 4 2 0
2 3 6 13 0
2 3 6 13 0
x x
x x x x
x x
x x
13 3
6 2 x
แต 2x ดงนนคา x ทสอดคลองอสมการคอ 132
6x หรอ 3
22
x #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
15
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
16
ตวอยาง ถา 1 2x แลว จงแสดงวา 1 4x
วธท า จาก 1 2x จะไดวา 2 1 2x
3 1
4 1 0
x
x
ดงนน 4 1 4x
1 4x #
ตวอยาง จงพจารณาวาขอความตอไปนถกตองหรอไม 1. a b a b 2. ถา a b แลว 2 2 0a b 3. a b a b 4. x y x y x y 5. 2 2 2
x y x y
6. ถา 0a x b แลว 1 1
x b
เฉลย 1. ผด 2. ถก 3. ถก 4. ผด 5. ผด 6. ถก #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
17
แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกอสมการคาสมบรณ
1-15 จงหาค าตอบของอสมการตอไปน 1. 2 3 2 3x x 2. 4 3x x 3. 22 2x 4. 1 2 7 2x x x 5. 2 1x x 6. 3 2 2 1x x
7. 1 5x x 8. 13
2
x
x
9. 2 1 0x 10. 2 4 1x
11. 2 3 1x 12. 11
2x
13. 2
12
4x
14.
231
x x
x
15. 21
x
x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
18
2. สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
19
2. สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
20
ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
21
แบบฝกหดระคน
1. ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 3
10
2
x
x และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ
3 2 1x แลว A B เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน 1. , 1 2. 3, 1 3. 2,3 4. 1,
2. ให แทนเซตของจ านวนจรง พจารณาขอความตอไปน
ก. 11| 1 | 1
xx
x xx x
ข. 2
2
1| 1 | 1 1
1
xx x x x
x
ขอใดตอไปนถก 1. ก และ ข ถกทงค 2. ก ถก แต ข ผด 3. ก ผด แต ข ถก 4. ก และ ข ผดทงค
3. ก าหนดให | 2 3 4 3A x x x x x | 2 1 3B x x ขอใดตอไปนถก 1. A และ B เปนเซตอนนต
2. A และ B เปนเซตจ ากด 3. 2,3,4A B 4. A B
4. ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 9x และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 3 1 x ดงนน A B คอชวงในขอใดตอไปน
1. , 4 2,2 2. 4,2 3. 2,2 4. 4, 5. ให | 2 7 15A x x
2
15| 0
5
xB x
x
C เซตของจ านวนเฉพาะบวก
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
จ านวนสมาชกของ A B C เปนเทาใด 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6
6. ให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2 3 5 3 x x ขอใดตอไปนถกตอง 1. A เมอ แทนเซตของจ านวนนบ 2. A เมอ แทนเซตของจ านวนเตม 3. A เปนเซตจ ากด 4. 'A เปนเซตจ ากด
7. เซตค าตอบของอสมการ 23 6 10x มสมาชกเปนจ านวนเตมจ านวนเทาใด 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7
8. ก าหนดให 2| 3 2 8 0 A x x x พจารณาขอความตอไปน
ก. 1 5
3 3A x x
ข. 3 40
2
xA x
x
ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด
9. ให 2 2 0A x x x และ 1 B x x x พจารณาขอความตอไปน
ก. B A ( 12,
2 )
ข. 1( , ) (1, )
2A B
1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด
10. ให 1 3A x x x x ขอใดตอไปนถกตอง
ก. A เปนเซตจ ากด ข. A 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
23
ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
24
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การแกอสมการคาสมบรณ
1. 0x 2. 1x 3. 2 2 x
4. 1x 5. 11
3x 6. 1
35
x
7. 2x 8. 52
2x หรอ 7
24
x
9. 1
2x
10. 5 3 x หรอ 3 5 x
11. x
12. 3 2x หรอ 2 1x
13. 32
2x
หรอ 7
22
x หรอ 72
2x หรอ 3
22
x
14. 20
3 x
15. 2 1x หรอ 1 2 x
เฉลยแบบฝกหดละคน 1. 3 2. 4 3. 3 4. 3 5. 2 6. 4 7. 4 8. 2 9. 3 10. 4
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
25
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
26
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
เรอง ตอน
เซต บทน า เรอง เซต
ความหมายของเซต
เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต
เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร
การใหเหตผล
ประพจนและการสมมล
สจนรนดรและการอางเหตผล
ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย
สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง
จ านวนจรง
บทน า เรอง จ านวนจรง
สมบตของจ านวนจรง
การแยกตวประกอบ
ทฤษฏบทตวประกอบ
สมการพหนาม
อสมการ
เทคนคการแกอสมการ
คาสมบรณ
การแกอสมการคาสมบรณ
กราฟคาสมบรณ
สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน
สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม
สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ
ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
27
เรอง ตอน
ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ
อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน
ฟงกชนเบองตน
พชคณตของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส
ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
เลขยกก าลง
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
ลอการทม
อสมการเลขชก าลง
อสมการลอการทม
ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต
อตราสวนตรโกณมต
เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย
ฟงกชนตรโกณมต 1
ฟงกชนตรโกณมต 2
ฟงกชนตรโกณมต 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย
สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน
ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน
การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร
การหาคาสดขด
ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม
ล าดบ
การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต
ลมตของล าดบ
ผลบวกยอย
อนกรม
ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
28
เรอง ตอน
การนบและความนาจะเปน .
บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน
การนบเบองตน
การเรยงสบเปลยน
การจดหม
ทฤษฎบททวนาม
การทดลองสม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เนอหา
แนวโนมเขาสสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสสวนกลาง 3
การกระจายของขอมล
การกระจายสมบรณ 1
การกระจายสมบรณ 2
การกระจายสมบรณ 3
การกระจายสมพทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสมพนธระหวางขอมล 1
ความสมพนธระหวางขอมล 2
โปรแกรมการค านวณทางสถต 1
โปรแกรมการค านวณทางสถต 2
โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย
ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส
การถอดรากทสาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบองทยดหดได