UNIVERZITET U KRAGUJEVCU

TEHNIČKI FAKULTET ČAČAK

SNEŽANA DRAGIĆEVIĆ

TERMOTEHNIKA

Čačak, 2009.

SADRŽAJ

1. UVOD U TERMOTEHNIKU

1.1. OSNOVNI POJMOVI 1

1.2. ISTORIJSKI RAZVOJ 2

1.3. RADNO TELO 4

1.4. OSOBINE IDEALNOG GASA 7

2. VELIČINE STANJA. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA

2.1. OSNOVNE TERMODINAMIČKE VELIČINE STANJA 9

2.1.1. Specifična zapremina 10

2.1.2. Pritisak 11

2.1.3. Temperatura 12

2.2. ZAKONI IDEALNIH GASOVA 13

2.2.1. Bojl – Mariotov zakon 13

2.2.2. Gej – Lisakov zakon 14

2.2.3. Šarlov zakon 15

2.4. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA 16

2.5. MEŠAVINE IDEALNIH GASOVA 18

3. ZAKONI TERMODINAMIKE

3.1. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE 21

3.1.1. Toplotni kapaciteti 24

3.1.2. Entalpija 26

3.2. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE 27

4. PROMENE STANJA IDEALNIH GASOVA

4.1. VRSTE PROMENA STANJA 31

4.2. POLITROPSK A PROMENA STANJA 31

4.3. IZOHORSKA PROMENA STANJA 34

4.4. IZOBARSKA PROMENA STANJA 35

4.5. IZOTERMSKA PROMENA STANJA 36

4.6. ADIJABATSKA PROMENA STANJA 37

5. KRUŽNI PROCESI

5.1. VRSTE KRUŽNIH PROCESA 41

5.2. KARNOTOV KRUŽNI PROCES 44

5.3. PROCESI U MOTORIMA 46

5.3.1. Otov kružni proces 47

5.3.2. Dizelov kružni proces 50

5.4. PROCESI GASNIH TURBINA 52

6. PROSTIRANJE TOPLOTE

6.1. NAČINI PROSTIRANJA TOPLOTE 55

6.2. PROSTIRANJE TOPLOTE PROVOĐENJEM 57

6.2.1. Temperaturno polje 57

6.2.2. Diferencijalna jednačina prostiranja toplote 58

6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz ravan zid 61

6.2.4. Stacionarno provoñenje toplote kroz cilindričan zid 63

6.3. KONVEKTIVNO PROSTIRANJE TOPLOTE 66

6.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRAČENJEM 69

1

1. UVOD U TERMOTEHNIKU

1.1. OSNOVNI POJMOVI

1.2. ISTORIJSKI RAZVOJ

1.3. RADNO TELO

1.4. OSOBINE IDEALNOG GASA

1.1. OSNOVNI POJMOVI

Termodinamika je nauka koja proučava pojave nastale meñusobnim

pretvaranjem toplotne i drugih oblika energije (mehaničke, hemijske, električne).

Termodinamika se razvila iz saznanja koja su dobijena eksperimentima i zasniva se na

eksperimentalno utvrñenim zakonima, tj. prvom i drugom zakonu termodinamike.

Termodinamika se deli na tehničku, hemijsku i fizičku (opštu) termodinamiku.

Tehnička termodinamika ili termotehnika je nauka koja proučava fizičke pojave

vezane za pretvaranje toplotne energije u mehanički rad i obrnuto: procesi u parnim

mašinama, SUS motorima tj. motorima sa unutrašnjim sagorevenjem, kompresorima,

mašinama za hlañenje, itd.

Energija je svuda oko nas. Razni oblici energije mogu da se zapaze u prirodi:

energija kretanja spoljašnjih vidljivih tela-mehanička ili kinetička energija.

Znamo da se radom, npr. trljanjem, mehanička energija pretvara u toplotnu

(dobijanje vatre u staro doba). Ovo pretvaranje je relativno lagano i potpuno, što znači da

se sav utrošeni rad pretvara u toplotnu energiju. Takoñe je poznato da se toplota može

pretvoriti u mehanički rad. Heron Aleksandrijski zapazio je da voda grejanjem provri i

isparava tako da se parom dobijenom iz vode može vršiti rad. Meñutim, ovo pretvaranje

toplote u rad nije jednostavno i nikad nije potpuno. Rešavanje odnosa kod pretvaranja

rada u toplotu, odnosno toplote u mehanički rad, dovelo je do razvoja termodinamike kao

nauke.

Slika 1. Heronov aeolipil se smatra pretečom parne mašine

Termotehnika

2

Pronalazak parne mašine i njena primena u transportu i proizvodnji, dovela je do

naglog razvoja industrije koja je zahtevala sve veće i ekonomičnije mašine. Da bi se tom

zahtevu udovoljilo, bilo je nužno proučiti procese koji se u tim mašinama dešavaju. To je

bio osnovni i prvi zadatak termodinamike. Zato možemo da kažemo da se termodinamika

javila i razvila kao teorijska osnova termotehnike. Naravno, ona je u svom daljem

razvoju izašla vrlo brzo iz tih okvira i uključila se u istraživanja mnogih fizičkih,

hemijskih i drugih procesa. Dakle, termodinamika se razvila, istorijski gledano, kroz

rešavanje problema parne mašine, odnosno proučavanjem mehanizma pretvaranja

toplote u mehanički rad, saznanja dobijenih eksperimentima i zasniva se na

eksperimentalno utvrñenim zakonima, tj. zakonima termodinamike.

1.2. ISTORIJSKI RAZVOJ

Kad je francuski inženjer Sadi Carnot 1824. godine objavio svoj

rad pod naslovom ″Pogled na pokretačku silu toplote i na mašine koje

tu silu mogu iskoristiti″ utemeljio je novu nauku - termodinamiku.

Pre njega su se mnogi bavili toplotnim pojavama i već su bila stečena

praktična iskustva u izgradnji toplotnih mašina, posebno parnih, ali

Sadi Carnot je prvi put uopšteno obradio problem dobijanja korisnog

rada iz toplote. Poslužio se pojmom idealne mašine, koja bi radila sa

idealnim radnim telom bez trenja i to u povratnom procesu. Njegova

razmišljanja dovela su do otkrića prirodnog zakona koji važi sasvim uopšteno, a koji

danas nazivamo drugi zakon termodinamike. Tada se još nije mnogo znalo o značaju

iskorišćenosti toplote u naučne svrhe. U zapisima koji su objavljeni 40 godina nakon

njegove smrti, nalazi se prvi oblikovani princip o ekvivalentnosti toplote i rada po kojem

se rad može pretvoriti u toplotu kao i toplota u rad. On je postavio i uslove koji moraju

biti ispunjeni da bi se ostvarilo optimalno pretvaranje toplote u mehanički rad.

Princip o ekvivalentnosti toplote i rada 1842. godine postavio je

Robert Julius Mayer, a 1845. godine je proširio stav u opšti zakon o

održanju energije koji glasi: ″ Suma svih oblika energije u zatvorenom

sistemu je konstantna″ ili drugim rečima ″Energija može prelaziti iz

jednog oblika u drugi, ali ne može nastati ili nestati″. Ovaj zakon

analogan je zakonu Lavoasiera o održanju materije koji glasi:

"Količina materije u izolovanom sastavu je konstantna". R.J. Mayer je,

prema tome, pronalazač prvog zakona termodinamike, tj. zakona o

održanju energije koji je i danas priznat kao jedan od najvažnijih aksioma.

R.J.Mayer poznat je i po radovima o zakonu o održanju energije koje je objavio

izmeñu 1842. i 1848. godine, ali tada nisu bili dovoljno zapaženi. Tek kasnije, kada je

J.P.Joule objavio svoje radove koji su eksperimentalno podržali Mayerove radove odato

mu je priznanje.

Uvod u termotehniku

3

James Prescott Joule je nezavisno od Mayerovih teoretskih

razmatranja dao izmeñu 1843. i 1848. eksperimentalne osnove za prvi

zakon termodinamike vešto izvedenim eksperimentima. On je 1840.

godine izveo eksperiment u kojem je odredio mehanički ekvivalent

toplote: rad od 427 kpm poveća temperaturu 1kg vode za 1 oC , a ta

količina toplote je 1 kcal = 4.1868 kJ. Ovi eksperimenti posle 60 godina

postali su temelj za jasnu definiciju pojma unutrašnje energije koja je

karakteristična veličina stanja za prvi zakon termodinamike.

Rudolf Clausius je na osnovu razmišljanja i rezultata

Carnota, Mayera i Joulea uspeo 1850. godine jasno oblikovati oba

zakona termodinamike. On je dao prvu kvantitativnu formulaciju

prvog zakona pomoću jednačine koja povezuje toplotu, rad i

unutrašnju energiju. Za oblikovanje drugog zakona termodinamike

uveo je jednu novu veličinu koju je prvo nazvao koeficijent

pretvaranja, a 1865. godine entropija. Pojam entropije ima i danas

važanu ulogu u termodinamici. Pored njegovih poznatih radova o

termodinamici, potrebno je navesti i radove o kinetičkoj teoriji gasa.

Gotovo istovremeno uspelo je W. Thomsonu (lord Kelvin)

nezavisno o R. Clausiusa da postavi druge oblike drugog zakona

termodinamike. Poznat je njegov zakon o rasipanju energije, po kojem

se kod svih prirodnih procesa količina energije, koja može vršiti rad,

smanjuje. 1848. godine W.Thomson je saznao da iz Carnotovih

istraživanja, dakle iz drugog zakona, nužno sledi postojanje jedne

univerzalne temperaturne skale koja je nezavisna od svojstava

pojedinih toplomera. Pored termodinamičkih istraživanja, bavio se i

elektrotehničkim problemima. Konstruisao je veliki broj aparata za

fizička merenja.

Otto je poznat širom sveta po svom prvom četvorotaktnom

motoru sa unutrašnjim sagorevanjem. Prvi svoj motor napravio je

1861. godine, a 1876. za isti na Pariskoj izložbi dobio je Zlatnu

medalju. Neki literaturni podaci beleže da se radi o patentu nekog

drugoga, mada se isti još uvek pripisuje Nikolausu Ottu.

Termotehnika

4

Rudolf Diesel se još za vreme studija zanosio mišlju o motoru

sa unutrašnjim sagorevanjem kod kojeg bi se visokom kompresijom

radnog tela povećala ekonomičnost procesa. Motor je prvi put

proradio 1893. godine. Iste godine Rudolf Diesel je dobio patent za

svoj izum. Diesel je prvi put 1895 godine prikazao svoj motor sa

kompresijskim paljenjem. Profesor Schröter iz Münchena je 1897.

godine na probnom stolu ispitao Dieselov motor, kada je izmerio

snagu od 13,1 kW kod 154 min-1 i specifičnu potrošnju goriva od

324g/kWh, čime je po ekonomičnosti taj motor daleko nadmašio sve

tadašnje motore. 1900 godine na velikoj svetskoj izložbi u Parizu,

Rudolf Diesel je za svoj izum dobio veliku nagradu Grand Prix.

Ovo su samo neki od naučnika čiji je udeo bio bitan u razvoju termodinamike kao

nauke. Osim njih u njenom razvoju, a posebno u primeni termodinamičkih zakonitisti u

tehničkim procesima, učestvovali su i mnogi drugi naučnici.

1.3. RADNO TELO Pretvaranje jednog oblika energije u drugi zahteva primenu materije sposobne da

izvrši rad. Ta materija služi kao posrednik preko koga se vrši promena oblika energije i

naziva se radno telo. U posmatranom sistemu materijalnih tela radno telo je ono telo

koje se pri posmatranju izdvaja kao nosilac energije, pri čemu se ostala tela, u odnosu na

radno telo, smatraju kao okolna srdina tj. okolina. Radno telo može da bude čvrsto, tečno

ili gasovito.

Čvrsto telo je ono telo kod koga nema promene oblika ni zapremine, odnosno kod

koga je dejstvo meñumolekularnih privlačnih sila veliko i treba ga izložiti velikim silama

da bi mu se promenila zapremina ili oblik. Kod tečnih tela je postojana samo zapremina

dok se kod gasovitih tela javlja promena zapremine i lako menjanje oblika.

Radno telo u posmatranim uslovima poseduje veću ili manju sposobnost za

vršenje rada, odnosno ima manju ili veću sposobnost da menja svoje stanje ili da utiče na

promenu stanja drugih tela iz svoje okoline.

Radno telo može da bude ma koja materija ali najpodesnije u tehničkoj

termodinamici je radno telo u gasovitom agregatnom stanju: gasovi i pare. Gasovi kao

proizvod sagorevanja goriva, kao kod motora SUS, ili para koja se dobija u parnim

kotlovima primenjuju se za pogon parnih motora kao najpogodnije radno telo zbog svojih

osobina za lakim zauzimanjem što većeg prostora u svojoj okolini. Oni su najpogodniji

posrednici u pretvaranju toplotne energije u mehaničku energiju.

Pri posmatranju i analizi termodinamičkih procesa na izabranom radnom telu ili

skupu tela neophodno je odrediti prostornu oblast u kojoj se ono nalazi. Izabrani deo

prostora u cilju ispitivanja naziva se termodinamički sistem. Fizički posmatrano,

termodinamički sistem je odreñena količina materije, radno telo ili skup posmatranih

tela ograničenih granicom sistema. Sve što nije uključeno u sistem čini njegovu okolinu.

Granična površina koja razdvaja posmatrani sistem od njegove okoline ili drugih

sistema može biti:

� realna fizička površina i

� imaginarna površina.

Uvod u termotehniku

5

Realna fizička površina je ona površina koja se graniči i poklapa sa fizičkom

graničnom površinom tela. Veoma često se granica sistema ne poklapa sa fizičkim

granicama tela u kome se nalazi materija, pa je tada neophodno izdvojiti deo prostora

zamišljenim, imaginarnim površinama i u takvom termodinamičkom sistemu pratiti

pojave koje se u njemu odvijaju.

Termodinamički sistem sa njegovom okolinom može ostvariti energetsku i

masenu interakciju. Pri takvoj razmeni okolina se javlja kao energetski rezervoar koji

može biti:

� toplotni i

� radni.

Kod toplotnih rezervoara dolazi do razmene energije samo u obliku toplote i pri

tom se ne vrši nikakav rad. U zavisnosti od toga da li se toplotni rezervoar nalazi na

višoj ili nižoj temperaturi od temperature termodinamičkog sistema, rezervoari

predstavljaju izvore ili ponore energije.

Radni rezervoar razmenjuje sa izabranim termodinamičkim sistemom samo

energiju u obliku rada.

Granična površina sistema ne mora biti stalnog oblika i zapremine. Ako se

posmatra cilindar sa gasom kao radnim telom (sl.1.) u kome se klip kreće primećuje se

da se zapremina i položaj granične površine sistema menjaju.

U zavisnosti od osobina granične površine termodinamički sistem može biti:

� zatvoren,

� otvoren i

� izolovan.

Slika 1. Gas u cilindru kao primer promene granične površine sistema

Zatvoreni sistem je onaj kod koga nema razmene maea sa okolinom kroz graničnu

površinu sistema (npr. sistem prikazan na slici 1.). Pokretanjem klipa u cilindru sa

gasom (radnim telom) može se ostvariti razmena energije u vidu toplote ili rada kroz

graničnu površinu sistema. Ovde se može granična površina sistema poklopiti sa

fizičkom graničnom površinom cilindra i klipa.

Otvoren sistem je onaj kod koga se kroz graničnu površinu sistema može

razmenjivati masa sa okolinom. Na slici 2. prikazan je razmenjivač toplote kao primer

otvorenog sistema.

Termotehnika

6

Slika 2. Razmenjivač toplote kao primer otvorenog sistema

Izolovan sistem je takav sistem koji sa okolinom ne razmenjuje ni masu ni

energiju, pa izolovan sistem istovremeno predstavlja i zatvoren sistem.

Za sistem koji sa okolinom razmenjuje toplotnu energiju kažemo da je dijabatski

a ako nema razmene toplote sa okolinom onda je to adijabatski termodinamički sistem.

Često masu sistema nazivamo radno telo i ono je najčešće tečnost ili gas. Tako je

parnoj turbini radno telo vodena para, u vazdušnom kompresoru vazduh, u motorima

SUS produkti sagorevanja, u hidrauličnoj turbini voda i drugo.

Svi sistemi se mogu podeliti na:

� homogene i

� heterogene.

Homogeni sistem je takav sistem kod koga su hemijski sastav i fizičke osobine

iste u svim delovima posmatrnog sistema. Heterogeni sistem je takav sistem koji je

sastavljen iz više homogenih sistema odnosno faza. Na granici homogenih delova sistema

odnosno faza, osobine sistema se naglo menjaju (primer je tekuća voda u kojoj plivaju

jedan ili više komada leda.

Za neki sistem kažemo da je u termodinamičkoj ravnoteži ako u svakom delu toga

sistema vlada mehanička, termička i hemijska ravnoteža. Sve dok je neki sistem u

termodinamičkoj ravnoteži u njemu ne postoji spontana promena stanja.

Mehanička ravnoteža zahteva jednakost pritiska, odnosno da je ispunjen uslov da

je zbir svih sila jednak nuli, 0=ΣF , u svim pravcima. Na slici 3. dat je primer

mehaničke ravnoteže i to:

a. stabilne, gde se i najmanjim pomeranjem kugla vraća u prvobitni položaj,

b. indiferentne, gde se posle svakog pomeranja sistem vraća u stabilan položaj i

c. nestabilne ravnoteže, gde se pomeranjem kugla ne može više vratiti u prvobitan

položaj.

Sistem se nalazi u termičkoj ravnoteži kada svi njegovi delovi imaju istu

temperaturu. Kod heterogenog sistema, kod koga svaki od homogenih sistema ili delova

imaju istu temperaturu, termička ravnoteža se uspostavlja nakon izjednjačavanja

Uvod u termotehniku

7

njihovih temperatura i za tako uspostavljeno stanje gradijent temperature je jednak

nuli.

Hemijska ravnoteža nastaje kada je hemijski potencijal isti u svim delovima

sistema, odnosno kad u sistemu nema hemijskih reakcija.

a. b. c.

Slika 3. Primer mehaničke ravnoteže

1.4. OSOBINE IDEALNOG GASA

1

2

3

1

2

3

Pod pojmom idealnog gasa se podrazumeva gas čija su svojstva:

� molekuli gasa su materijalne tačke beskonačno malog prečnika i konačne

mase;

� kretanje molekula je po pravolinijskim putanjama;

� sudar izmeñu molekula je elastičan i centričan;

� meñumolekularne privlačne sile su zanemarljive;

Ovakav gas ne postoji u prirodi. Meñutim pojedini gasovi na odreñenim uslovima

u graničnom slučaju se ponašaju kao idealan gas. Gasovi se na niskim pritiscima i na

veoma visokim temperaturama približno ponašaju kao idealni gasovi. Što je gas dalje od

tečnog stanja, odnosno od stanja kondenzacije, rastojanje izmeñu molekula je veće pa su

meñumolekularne sile slabije. U tehničkoj praksi se najčešće sreću sledeći gasovi:

� jednoatomni gasovi: helijum, argon, kripton, ksenon, neon i dr.

� dvoatomni gasovi: kiseonik, azot, vodonik, ugljendioksid i dr.

� troatomni i višetomni gasovi: metan,etilen i dr.

� smeše gasova: vazduh, produkti sagorevanja u ložištima i motorima SUS.

Realni gasovi su oni gasovi kod kojih molekuli imaju konačne dimenzije a

meñumolekularne sile se ne smeju zanemariti.

Termotehnika

8

PITANJA

1. Šta je termodinamika i kada je nastala?

2. Šta je energija, koje je njeno bitno svojstvo?

3. Objasniti razliku izmedju unutrašnje, kinetičke i potencijalne energije?

4. Šta je termodinamički sistem i koje vrste termodinamičkih sistema postoje?

5. Šta je to okolina termodinamičkog sistema?

6. Šta se razmenjuje izmeñu sistema i okoline?

7. Šta je to homogeni termodinamički sistem ?

8. Šta je to heterogeni termodinamički sistem?

9. Šta je to otvoren termodinamički sistem?

10. Šta je to zatvoren termodinamički sistem?

11. Šta je to izolovan termodinamički sistem?

12. Šta je to adijabatski izolovan termodinamički sistem?

13. Šta je to adijabatska granična površina?

14. Šta je to dijatermična granična površina?

15. Kada je sistem u termodinamičkoj ravnoteži?

16. Kada postoji mehanička ravnoteža?

17. Kada postoji termička ravnoteža?

18. Kada postoji hemijske ravnoteže?

19. Šta se podrazumeva pod pojmom idealan gas?

20. Kada se gasovi mogu posmatrati kao idealni gasovi?

9

2. VELIČINE STANJA. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA

2.1. OSNOVNE TERMODINAMIČKE VELIČINE STANJA

2.1.1. Specifična zapremina

2.1.2. Pritisak

2.1.3. Temperatura

2.2. ZAKONI IDEALNIH GASOVA

2.2.1. Bojl – Mariotov zakon

2.2.2. Gej – Lisakov zakon

2.2.3. Šarlov zakon

2.4. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA

2.5. MEŠAVINE IDEALNIH GASOVA

2.1. OSNOVNE TERMODINAMIČKE VELIČINE STANJA

Fizičko, a samim tim i energetsko stanje nekog radnog tela definisano je ako su

poznate osnovne veličine stanja a to su:

� specifična zapremina,

� pritisak i

� temperatura.

Osobine odreñene spoljnim uticajem na radno telo nazivaju se veličinama

promene stanja, a to su:

� rad širenja W (specifični rad širenja w) i

� toplota Q (specifična količina toplote q).

Sve veličine stanja se dele na:

� intezivne i

� ekstezivne.

Intezivne veličine stanja ne zavise od mase sistema. Takve veličine su: pritisak,

temperatura, viskozitet i druge. Ekstezivne veličine zavise od mase sistema i njegovih

faza: količina materije, zapremina, energija i dr.

Osnovne veličine stanja se mogu izraziti sledećom analitičkom vezom oblika

f (p,v,T)=0 koja u trodimenzionalnom prostoru predstavlja površinu, kao što je prikazano

na slici 4.

Termotehnika

10

Slika 4. Prostorni dijagram

Tačkama A( 111 ,, Tvp ) i B( 22 ,vp , 2T ) odreñene su veličine stanja u početnom i

krajnjem trenutku vremena. Kriva 1 se naziva kriva promene stanja. Prelaz iz početnog

u krajnje stanje procesa može se ostvariti pomoću krivih ,..,,, 321 lll Za dalja proučavanja

bitne su veličine u krajnim tačkama procesa. Ako jednu od veličina stanja izrazimo u

funkciji od ostale dve veličine dobija se: ),(),,(),,( 321 pvfTTpfvTvfp ===

Slika 5. Ravanski p-V dijagram

2.1.1. Specifična zapremina

Masa nekog sistema je mera količine materije, dok je zapremina mera fizičke

veličine sistema.

Gustina ρ se može definisati kao masa jedinične zapremine: v

m=ρ .

Ova definicija važi za homogenu i neprekidnu sredinu. Meñutim ako je sredina

nehomogena, onda predhodni izraz predstavlja srednju gustinu.

Ako u proizvoljnom telu uoči mala zapremina fluida V∆ , mase m∆ , koja se

nalazi oko tačke M i ako V∆ teži nuli dobijamo:

Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine

11

,lim0 dV

dm

V

mV

=∆∆=

→∆ρ

3m

kg.

Gustina ρ je ovde gustina u tački M pa je: )(Mρρ = i ona zavisi od tačke u

prostoru. Recipročna vrednost gustine se naziva specifična zapremina:

,1

m

Vv ==

ρ

kg

m3

.

Na osnovu predhodno izloženih jednačina sledi da je:

1=⋅=m

V

V

mvρ

Najčešće se gustina i specifična zapremina raznih radnih tela daju pri normalnim

fizičkim uslovima a to su pritisak od pN=101325 Pa i temperaturi tN=0 C0, i te veličine

nose indeks N.

Ako bi se za jedinicu količine materije uveo mol, tada bi molarna gustina bila

definisana izrazom:

,V

nm =ρ

3m

mol

,n

VVm =

mol

m3

gde je n broj molova a Vm molarna zapremina.

Slika 6. Prikaz nehomogenog tela

2.1.2. Pritisak

Pritisak se definiše kao normalna sila koja deluje na jediničnu površinu i dat je

izrazom:

,A

Fp = [Pa].

Termotehnika

12

Jedinica za pritisak je Paskal [Pa=2m

N], a pored nje se za merenje pritska koriste

i druge jedinice kao npr. 1 [bar] = 1⋅ 510 [Pa]

Pritisak kojim vazduh deluje na površinu zemlje je spoljašnji atmosferski

pritisak, a kako se on meri barometrom naziva se još i barometarski pritisak bp . U

zatvorenom sudu prikazanom na slici 7. pritisak može biti veći ili manji od

barometarskog zbog čega se uvode pojmovi natpritiska i potpritiska.

Natpritisak mp u U cevi pokazuje koliko je pritisak u sudu veći od pritiska

spoljašnjeg vazduha, odnosno od barometarskog pritiska, pa važi:

bapsm ppp −=

gde je apsp apsolutni pritisak.

Vakumetarski pritisak ili potpritisak, koji je naziv dobio po priboru za merenje tj.

vakumetru, iznosi:

apsbv ppp −=

Natpritisak i potpritisak sa slike 7. izračunavaju se pomoću obrasca:

,ghp

ghp

v

m

ρρ

=

=

gde su h i ,h razlike nivoa tečnosti u U cevi.

Slika 7. Manometar sa tečnošću za merenje pritiska

2.1.3. Temperatura

Na osnovu molekularno–kinetičke teorije kretanja molekula i atoma u

molekulima može se zaključiti da je temperatura proporcionalna kinetičkoj energiji

translatornog kretanja molekula gasa.

Osnovna jedinica za merenje temperature je Kelvin [K] i definiše se kao: Kelvin je

termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273,16 termodinamičke temperature

trojne tačke vode.

Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine

13

Temperatura trojne tačke je viša od tačke mržnjenja vode i iznosi na Celzijusovoj

skali +0,01 C0, a u Kelvinovoj 273,16 K. Na slici 8. dat je opšti prikaz trojne tačke vode.

Slika 8. Trojna tačka vode

Termodinamičku temperaturu obeležavamo sa T, u stepenima Kelvina, i

nazivamo je apsolutna temperatura, i u odnosu na Celzijevu, koju često nazivamo

relativna temperatura:

T = t + 273,15 [K]

2.2. ZAKONI IDEALNIH GASOVA

Danas se često govori da su idealni gasovi oni gasovi koji se strogo pokoravaju

Bojl-Mariotovom, Gej-Lisakovom i Šarlovom zakonu. U termotehnici se se ovi zakoni

idealnih gasova primenjuju i na realne gasove pri relativno malim pritiscima i relativno

visokim temperaturama.

Stanje gasa je odreñeno veličinama stanja. Ako se pri razmatranju smatra da je

jedna veličina konstantna a ostale dve promenljive, dobijaju se zakoni idealnih gasova

koji se mogu prikazati u ravanskom koordinatnom sistemu. Ako su poznate dve veličine

stanja treća se može izračunati iz odnosa:

p = f1 (T,v)

v = f2 (p, T)

T = f3 (p, v)

2.2.1. Bojl – Mariotov zakon

Posmatra se cilindar sa pokretnim klipom u kome se nalazi idealan gas,

zapremine 1V , temperature 1T i pritiska 1p , kao što je prikazano na slici 9.

Ne menjajući temperaturu, T=const, neka se klip pomeri tako da se smanji

zapremina a poveća pritisak, tako da su nove veličine stanja 2p , 2V i 2T . Može se

napisati da je:

1

2

2

1

V

V

p

p =

....2211 constVpVpVp nn =⋅==⋅=⋅

Termotehnika

14

Slika 9. Cilindar sa klipom

Bojl-Mariotov zakon glasi:

- Pri konstantnoj temperaturi proizvod pritiska i odgovarajuće zapremine

odnosno specifične zapremine, je konstantan ili

- Pri konstantnoj temperaturi pritisci su obrnuto srazmeri odgovarajućim

zapreminama, odnosno specifičnim zapreminama.

Na slici 10. prikazan je Bojl – Mariotov zakon u p – v dijagramu.

Slika 10. p – v dijagram Bojl – Mariotovog zakona

Linija 1 – 2 predstavlja liniju konstantne temperature pa se ova promena stanja

naziva izotermska promena, a kriva promene stanja izoterma.

2.2.2. Gej – Lisakov zakon

Ovaj zakon uspostavlja vezu izmeñu zapremine, odnosno specifične zapremine i

temperature pri konstantnom pritisku p = const.

.

....2

2

1

1

2

1

2

1

constT

V

constT

V

T

V

T

V

T

T

V

V

n

n

=

====

=

Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine

15

Ovaj zakon glasi: pri konstantnom pritisku količnik zapremine, odnosno

specifične zapremine i odgovarajuće apsolutne temperature je konstantan.

Slika 11. p – v dijagram Gej – Lisakovog zakona

Prava linija p = const Gejl – Lisakovog zakona naziva se izobara a sama promena

stanja izobarska promena.

2.2.3. Šarlov zakon

Ovaj zakon uspostavlja vezu izmeñu pritiska i temperature idealnog gasa pri

konstantnoj zapremini V=const, odnosno specifičnoj zapremini v = const.

.

....2

2

1

1

2

1

2

1

constT

p

constT

p

T

p

T

p

T

T

p

p

n

n

=

====

=

Šarlov zakon glasi:

- Pri konstantnoj zapremini, odnosno specifičnoj zapremini, pritisci su direktno

srazmerni odgovarajućim apsolutnim temperaturama, ili

- Količnici pritisaka i odgovarajućih apsolutnih temperatura, pri konstantnoj

zapremini, odnosno specifičnoj zapremini su konstantni.

Šarlov zakon u p – v dijagramu predstavljen je pravom linijom v = const. Prava

linija Šarlovog zakona se naziva izohora, a sama promena izohorska promena stanja.

Slika 12. p – v dijagram Šarlovog zakona

Termotehnika

16

2.4. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA

Zakonima Bojl – Mariota, Gej – Lisaka i Šarla data je zavisnost imeñu dve

veličine stanja pod uslovima da je treća veličina konstantna. Meñutim potrebno je

odrediti oblik jednačine stanja 0),,( =Tvpf .

Za odreñivanje ove jednačine stanja koristi se cilindar sa pokretnim klipom u

kome se nalazi idealan gas čije je stanje odreñeno veličinama stanja ,,, 111 Tvp kao na slici

13 (a).

Slika 13. Cilindar sa pokretnim klipom

Ako se idealnom gasu dovodi toplota pri konstantnom pritisku ,21 pp = tada će

porastom temperature od 1T do ,

2T zapremina linearno rasti od 1V do ,

2V po Gejl –

Lisakovom zakonu, kao što je prikazano na slici 14. promenom stanja 1 - ,2 .

Na osnovu Gej - Lisakovog zakona važi:

1

,2

1

,2

T

T

v

v =

1

,2

1,2 T

Tvv ⋅=

Ako sada iz navedenog meñustanja menjaju veličine stanja pri konstantnoj

temperaturi 2,

2 TT = , dobija se novo tj. krajnje stanje sa veličinama 222 ,, Tvp . Prema Bojl

– Mariotovom zakonu važi:

,2

2

2

,2

v

v

p

p=

,2

22

,2

p

vpv ⋅=

Iz prethodno datih izraza dobija se:

,2

22

1

,2

1 p

vp

T

Tv = .

2,

2 TT =

1,2 pp =

2

22

1

11

T

vp

T

vp = .

Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine

17

Slika 14. Dijagram za izvoñenje jednačine stanja idealnog gasa

Kako je početno i krajnje stanje izabrano proizvoljno može se zaključiti da data

zavisnost važi za bilo koje stanje idealnog gasa:

,RconstT

pv ==

kgK

J.

Dobijena jednačina je jednačina stanja idalnog gasa, tj. Klapejronova jednačina za

1 kg idealnog gasa. Konstanta R se naziva gasna konstanta i njena vrednost je

karakteristična za svaki idealan gas, tj. zavisi od vrste idealnog gasa.

RTpv =

RTp ρ=

Iz navedene jednačine može se izraziti vrednost za R:

T

p

T

pvR

ρ==

Iz datog izraza se vidi da gušći gasovi imaju manju gasnu konstantu i obrnuto. Za

m kg gasa jednačina stanja idealnog gasa glasi:

mRTpV = .

Da bi dobili jednačinu stanja koja će važiti za sve gasove, tj. čija će gasna

konstanta R biti nezavisna od vrste gasa, iskoristiće se Avogadrov zakon koji kaže: u

jednakim zapreminama pri istoj temperaturi i istom pritisku svi gasovi sadrže isti broj

molekula. Prema tome, zapremina koju zauzima 1 kmol nekog gasa, tj. molarna

zapremina Vm, sadrži takoñe jednak broj molekula. Prema tome, jednačina stanja za mol

gasa glasi:

TRMpV

TRMpV

m

m

222

111

==

gde su M1 i M2 molarne mase idealnog gasa 1 i gasa 2. Kako su molarne

zapremine svih gasova pri istim fizičkim uslovima jednake mmm VVV == 21 , važi:

uRMRRMRM === 2211

TRpV um = ....... za 1 kmol gasa

TnRpV u= ....... za n kmol gasa

Termotehnika

18

uR je univerzalna gasna konstanta i njena vrednost je ista za svaki idealan gas:

831415,273

4,221013253

=⋅

==K

kmol

mPa

T

pVR m

u

Kkmol

J

/

Iz univerzalne gasne konstante može se izračunati gasna konstanta svakog

idealnog gasa:

,8314

MM

RR u ==

kgK

J

gde je M molarna masa posmatranog idealnog gasa.

1 Nm3

V=1 m

p=101325 Pa

t=0 C

3

0

1 nm3

V=1 m

p=98066,5 Pa

t=10 C

3

0

1 kmol

6,023 10 molekula26

Slika 15. Količina materije

2.5. MEŠAVINE IDEALNIH GASOVA

U termodinamici se kao radno telo često javljaju mešavine koje se sastoje od

gasova koji hemijski ne reaguju meñu sobom. U ovakve mešavine spadaju atmosferski

vazduh čiji su glavni sastojci azot i kiseonik, zatim prirodni gas koji se uglavnom sastoji

iz različitih ugljovodonika i vodonika, produkti sagorevanja u ložištima parnih kotlova,

kao i u gasnim turbinama i u motorima sa unutrašnjim sagorevanjem.

Ako se u jednoj posudi nalaze dva različita gasa podeljena pregradom koji se pre

mešanja nalaze na istoj temperaturi i na istom pritisku, pri čemu prvi gas zauzima

zapreminu V1, a drugi V2. Kada se ukloni pregrada nakon nekog vremena gasovi će se

izmešati, pri čemu temperatura i pritisak ostaju konstantni. Meñutim, svaki od gasova

će zauzeti ukupnu zapreminu posude i uspostaviće svoj vlastiti pritisak, nezavisno od

drugog gasa. Ovaj pritisak pojedine komponente u mešavini naziva se parcijalni pritisak.

Parcijalni pritisak pojedinog gasa predstavlja onaj pritisak kojim taj gas deluje na

površine suda kada zauzima ukupnu zapreminu suda u kome se nalazi mešavina.

Slika 16. Mešavina gasova

Pritisak gasne smeše je jednak zbiru parcijalnih pritisaka pojedinih gasova u

smeši, što definie Daltonov zakon dat kao:

n

n

i ppppp +++==∑ ...211

Svaki gas u smeši ima svoj parcijalni pritisak a zapreminu i temperaturu smeše.

Zapremina koju bi svaki od gasova imao na pritisku i temperaturi smeše zove se

redukovana zapremina.

Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine

19

Za proučavanje i analiziranje gasne smeše potrebno je znati njen sastav koji može

biti:

- zapreminski sastav, gde je poznata zapremina smeše sV i redukovane

zapremine komponenata ..., 21 VV

- maseni sastav, gde je poznata masa smeše sm i mase svih komponenata

.., 21 mm

Odnos masa pojedinih komponenata prema masi smeše je relativni maseni sastav

komponente dat kao:

s

ii m

mg =

n

n

is mmmmm +++==∑ ...211

Zbir relativnih masenih delova gasne smeše jednak je jedinici:

1...211

=+++=∑ n

n

i gggg

Odnos redukovane zapremine prema zapremini smeše je relativni zapreminski sastav

gasne smeše:

s

ii V

Vr =

Zbir relativnih sastava gasne smeše jednak je jedinici:

1...211

=++=∑ n

n

i rrrr

Ako je dat maseni sastav smeše, molarna masa smeše i parcijalni pritisak

komponente se mogu izračunati iz sledećih izraza:

∑=

= n

i i

is

M

gM

1

1

s

iii R

Rpgp =

∑∑ =⋅==

n

ii

n

i i

is gR

M

gR

11

8315

gde su iR i sR gasne konstante pojedinih komponenata i cele smeše.

Ako je dat zapreminski sastav gasne smeše onda se molarna masa smeše i

parcijalni pritisak komponente mogu izračunati iz sledećih izraza dobija iz izraza

∑=

=n

iiis rMM

1

ii prp =

Prelaz sa relativnog masenog na relativni zapreminski sastav gasne smeše se vrši

korišćenjem sledećih izraza:

s

ii

i

sii R

Rg

M

Mgr ⋅=⋅= ⋅

.i

si

s

iii R

Rr

M

Mrg ⋅=⋅=

Termotehnika

20

PITANJA

1. Koje su osnovne veličine stanja i kako se definišu?

2. Koji se ureñaji koriste za merenje pritiska?

3. Šta je to gustina? Dati njenu oznaku i jedinicu.

4. Šta je to specifična zapremina? Dati njenu oznaku i jedinicu.

5. Šta je to apsolutna temperatura? Dati njenu oznaku i jedinicu.

6. Šta je to apsolutni pritisak? Dati njegovu oznaku.

7. Navesti jedinice za pritisak u meñunarodnom sistemu jedinica.

8. Navesti jedinice za pritisak van SI sistema jedinica.

9. Šta je barometarskog pritisak? Dati njegovu oznaku.

10. Šta je to natpritisak? Dati njegovu oznaku.

11. Šta je to potpritisak? Dati njegovu oznaku.

12. Koji pritisak i koja temperatura se upotrebljavaju u termodinamičkim

jednačinama?

13. Šta su to ekstenzivne veličine stanja?

14. Šta su to intezivne veličine stanja?

15. Kako glasi Šarlov zakon?

16. Kako glasi Gej-Lisakov zakon?

17. Kako glasi Bojl-Mariotov zakon?

18. Napisati jednačinu stanja?

19. Napisati Majerovu relaciju.

20. Šta je smeša idealnih gasova?

21. Objasniti Daltonov zakon.

22. Kako se definiše maseni udeo komponente u mešavini?

23. Šta je to maseni sastav mešavine ?

24. Šta je to parcijalni pritisak komponente?

25. Kako se može definisati sastav smeše?

26. Kako se može dobiti veza izmedju zapreminskog i masenog sastava?

27. Dati vezu izmeñu zapreminskog i masenog sastava preko specijalnih gasnih

konstanti.

28. Dati vezu izmeñu zapreminskog i masenog sastava preko relativnih molekulskih

masa.

29. Kako se može izračunati relativna molkulska masa mešavine?

30. Kako se može izračunati gasna konstanta mešavine?

31. Dati gasnu konstantu mešavine kada se poznaje zapreminski sastav mešavine.

32. Dati gasnu konstantu mešavine kada se zna maseni sastav mešavine.

21

3. ZAKONI TERMODINAMIKE

3.1. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

3.1.1. Toplotni kapaciteti

3.1.2. Entalpija

3.2. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

3.1. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

Ovaj zakon definiše energetsku interakciju sistema sa njegovom okolinom,

odnosno forme pretvaranja jednog oblika energije u drugi. Energija može prelaziti iz

jednog oblika u drugi, ali zbir svih oblika energije u izolovanom sistemu je konstantan.

Ovo je iskustveni zakon koji se stalno dokazuje direktno laboratorijski i indirektno time

što je nemoguće ostvariti “perpetuum mobile” prve vrste. Ovaj zakon se naziva prvi

zakon termodinamike.

Posmatra se neadijabatski sud A, u kome se usled dovoñenja toplote menja

unutrašnja energija gasa. Ako se ta dovedena energija troši na promenu unutrašnje

energije i vršenje rada onda se dobija jednakost:

12122,1 WUUQ

WdUQ

+−=+= δδ

Predhodna jednačina predstavlja analitički izraz prvog zakona termodinamike u

diferencijalnom obliku za m kg gasa. Male promene veličina stanja se označavaju sa "" d ,

a male promene veličina promene stanja sa ""δ . Pošto je unutrašnja energija U veličina

stanja, mala promena ove veličine označena je sa dU , toplota Q i rad W su veličine

promene stanja pa se njihove promene označene sa Qδ i Wδ .

Slika 17. Prikaz neadijabatskog suda

Termotehnika

22

Toplota dovedena sistemu i rad koji se dobija od sistema smatraju se pozitivnim,

a toplota koja se odvodi od sistema i rad koji se u sistemu troši negativnim veličinama.

Slika 18. Toplota i rad koji se dovode/odvode sistemu

Razlika izmeñu unutrašnje energije i toplote je pojmovna. Unutrašnja energija je

zaliha energije nekog sistema, ona karakteriše stanje sistema tj. ona je veličina stanja

tog sistema, da se toplota javlja samo pri prolazu kroz granice sistema. Toplota je, dakle,

energija koja prelazi granice izmeñu dva sistema samo zbog razlike njihovih

temperatura, ako pri tome granica izmeñu njih propušta toplotu.

Kod idealnih gasova unutrašnja energija zavisi isključivo od temperature:

dT

dUcv =

( )12 TTcU

dTcdU

v

v

−⋅=⋅=

Neka se u cilindru nalazi gas pod pritiskom p. Na klip sa spoljašnje strane deluje

pritisak koji je jednak unutrašnjem pritisku, pa je sistem u mehaničkoj ravnoteži. Ako se

gas širi on će potiskivati klip koji će se pomeriti za ds. U tom slučaju gas je izvršio

elementarni rad:

dVpW

dsAdV

dsApW

⋅=⋅=

⋅⋅=

δ

δ

Kod promena kod kojih je V = const → dV = 0 → W = 0.

Slika 19. Prikaz izvršenog rada

Ako se gas u cilindru širi na puno veću zapreminu pritisak će opadati. U tom

slučaju dati izraz za rad se može koristiti samo za male pomeraje klipa, tj. za male

promene zapremine pri kojima se može uzeti da je pritisak konstantan. U slučaju kada je

spoljašnji pritisak manji od unutrašnjeg gas vrši koristan rad samo protiv spoljašnjeg

Zakoni termodinamike

23

pritiska, što je manje od prethodno opisanog rada. Izvršeni rad se može najbolje

ilustrativno prikazati u p-V dijagramu.

Slika 20. Prikaz mehaničkog rada u p-V dijagramu

Neka je sistem koji je već razmatran – gas u cilindru sa pokretnim klipom – u

termodinamičkoj ravnoteži. Dejstvom sile na klip gas se sabija, a ravnoteža se narušava.

Pritisak, temperatura i gustina imaju različite vrednosti u tačkama sistema, pri čemu je

posebno povećan pritisak u blizini klipa. Po zaustavljanju klipa ponovo se uspostavlja

ravnoteža. Ako bi se, meñutim, klip pomerao veoma sporo, tada bi i narušavaje

termodinamičke ravnoteže bilo neznatno. U graničnom slučaju, kada se klip kreće

beskonačno polako, može se smatrati da se sve ovo vreme zadržava ravnoteža, iako se

stanje sistema sve vreme menja. Dakle, pri veoma sporom pomeranju klipa, sistem

prolazi kroz niz ravnotežnih stanja ili kroz stanja koja su beskonačno bliska

ravnotežnim. Takve idealizovane promene stanja nazivaju se kvazistatičke (ravnotežne)

promene stanja.

Procesi u prirodi i tehničkoj praksi (realni procesi) nemaju svojstva ravnotežnih

procesa. Takve promene stanja pri kojima sistem prolazi kroz neravnotežna stanja

nazivaju se nekvazistatičke (neravnotežne) promene stanja. Jednačina stanja može da se

primeni samo za početno i krajnje stanje ovakve promene. Nekvazistatičke promene se

odvijaju veoma brzo. Iako kvazistatičke promene stanja predstavljaju idealizaciju, u

većini praktičnih primera, a naročito kod toplotnih mašina, promene stanja su veoma

bliske kvazistatičkim.

1

2

1

2

p

v

p

v

a) b)

Slika 21. Promene stanja termodinamičkog sistema:

a) kvazistatička i b) nekvazistatička

Toplotne procese karakteriše svojstvo nepovratnosti. Izmeñu dva tela različitih

temperatura koja su u kontaktu nastaje prelaženje toplote sa toplijeg na hladnije telo

sve do uspostavljanja termičke ravnoteže (do izjednačavanja temperatura). Obrnut

proces, to jest prelaženje toplote sa hladnijeg na toplije telo ne može da se ostvari sam po

Termotehnika

24

sebi (spontano). Proces mešanja (difuzije) gasova je očigledno nepovratan proces. Ako se

u nekom sudu nalaze dva različita gasa razdvojena pregradom, posle uklanjanja

pregrade, oni se mešaju. Obrnut proces tj. njihovo razdvajanje zahteva odreñen rad.

Širenje gasa u cilindru je takoñe nepovratan proces. Da bi se klip vratio u početno stanje,

mora gas ponovo da se sabije, pa je potrebno uložiti rad, koji zbog trenja i ostalih

gubitaka mora da bude veći od rada dobijenog širenjem gasa. U toku ovog procesa

razmenjuje se toplota izmeñu gasa i okoline, što takoñe utiče na nepovratnost.

Pri proučavanju toplotnih procesa uveden je idealizovan povratni termodinamički

proces. Po definiciji, ako se sistem posle izvršenog procesa može vratiti u početno stanje,

bez ikakvih promeni u okolini, takav se termodinamički proces naziva povratni. Ukoliko

se početno stanje uspostavlja uz odreñene promene okoline, takav proces je nepovratan.

Uslovi povratnosti praktično ne mogu da se ostvare, pa su povratni procesi idealizovani

procesi kakvih u prirodi nema. Stvarni (realni) procesi su nepovratni. Realni procesi

protiču sa gubicima rada usled trenja, vrtložnog strujanja, otpora vazduha i dr., sa

znatnim temperaturnim razlikama izmeñu sistema i okoline. Zbog toga, vraćanje

sistema u početno stanje, koje je u principu uvek moguće, praćeno je odreñenim

promenama u okolnim telima, kao što se moglo uočiti iz navedenih primera. Iako

povratni procesi ne postoje u prirodi, oni imaju veliki značaj u termotehnici. Suština

termodinamičkog metoda je upravo u tome da se računa rad (snaga) u idealnom

povratnom procesu i na taj način omogućava poreñenje sa kvalitetom realnih procesa.

Na primer, ako proračun pokaže da bi neka mašina u toku povratnog procesa ostvarila

snagu od 100 kW, a u realnom procesu ostvaruje samo 8 kW, onda je jasno da je

nerentabilna.

Ukupan rad širenja jednak je površini ispod krive 1-2:

)( 12

2

1

VVpdVpW

dVpW

−⋅=⋅=

⋅=

∫

δ

Prvi zakon termodinamike može se napisati u sledećem obliku:

∫ ⋅+−=2

1

122,1 dVpUUQ

U slučaju kada pri dovoñenju toplote ne doñe do pomeranja klipa i kada se

celokupna količina toplote koristi za povećanje unutrašnje energije, prvi zakon

termodinamike glasi:

Za slučaj izotermskog procesa idealnog gasa kod koga je T=const kod koga nema

promene unutrašnje energije, prvi zakon glasi:

122,1 WQWQ =→= δδ

Ako je posuda izolovana pa nema razmene energije sa okolinom, utrošeni rad će

se trošiti na povećanje unutrašnje energije. Za ovaj slučaj adijabatske promene prvi

zakon termodinamike glasi:

212,1 UUW

dUW

−=−=δ

što znači da se rad širenja dobija isključivo na račun smanjenja unutrašnje energije.

Iz predhodno navedenih jednačina može se zaključiti da se rad ne može dobiti bez

utroška nekog oblika energije.

122,1 UUQdUQ −=→=δ

Zakoni termodinamike

25

3.1.1. Toplotni kapaciteti

Specifični toplotni kapacitet predstavlja količinu toplote koju je potrebno dovesti

da se jedinici mase poveća temperatura za 1 K (npr. specifični toplotni kapacitet za vodu

je 4.1868 kJ/kgK):

=

kgK

kJ

dT

qc

δ

Ako se u cilindru sa nepokretnim klipom, u kome se nalazi 1 kg nekog gasa,

dovede neka količina toplote temperatura i pritisak gasa će porasti. U ovom slučaju

zapremina sistema je konstantna pa se specifični toplotni kapacitet pri konstantnoj

zapremini izračunava iz izraza:

vv dT

qc

= δ

Meñutim ako se u cilindru sa pokretnim klipom ponovi prethodni eksperiment, sa

porastom temperature i zapremina će rasti, dok će pritisak ostati ne promenjen. U ovom

slučaju specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku iznosi:

pp dT

qc

= δ

Posmatrajmo cilindar sa klipom kome se dovodi odreñena količina toplote pri

konstantnom pritisku, ppp == 21 , dok se zapremina i temperatura menjaju od stanja 1

do stanja 2. U tom slučaju važi:

)( 122,.1 TTcq p −⋅=

Prvi zakon termodinamike za idealan gas kod koga je U = f(T), može se napisati u

obliku:

)()( 12122,1122,1 vvpTTcwuuq v −+−=+−=

Ako se iskoristi jednačinu stanja idealnog gasa za dva stanja dobija se izraz u

obliku:

)()( 1212

22

11

TTRvvp

RTpv

RTpv

−=−==

Zamenom prethodnog izraza u izraz za količinu toplote i nakon sreñivanja dobija se:

Rcc

TTRTTcTTc

vp

vp

+=

−+−=−⋅ )()()( 121212

Jednačina predstavlja Majerovu jednačinu. Kod gasova mogu se definisati čitav

niz specifičnih toplotnih kapaciteta od kojih su ovde nevedena samo dva karakteristična.

Termotehnika

26

Ako se specifični toplotni kapacitet svede na 1 kmol radnog tela dobija se molarni toplotni kapacitet koji je M (molarna masa) puta veći od specifičnog toplotnog kapaciteta:

==kmolK

kJMcCMcC vmvpmp ,, ,,

( )

==⋅=−=−=−kmolK

kJRRMccMMcMcCC uvpvpmvmp 8314,,

Odnos toplotnih kapaciteta se obeležava sa k ili κ i iznosi:

v

p

v

p

C

C

c

c==κ

� Kod jednoatomnih gasova κ = 1.667,

� Kod dvoatomnih gasova κ = 1.4,

� Kod tro i višeatomnih gasova κ = 1.29 (κ se više približava jedinici što je veći broj atoma).

Kada se mora uzeti zavisnost toplotnog kapaciteta od temperature (pogotovu kod

viših temperatura) tada se računa sa srednjim toplotnim kapacitetima [ ] 2

1

ttvc i

[ ] 2

1

ttpc izmeñu temperatura t1 i t2:

[ ]12

2

12

1 tt

dtc

c

t

t

v

ttv −

=∫

[ ]12

2

12

1 tt

dtc

c

t

t

p

ttp −

=∫

3.1.2. Entalpija

Prvi zakon termodinamike u diferencijalnom obliku:

pdvduq +=δ

može se napisati i u sledećem obliku

vdppvudq −+= )(δ

vdpdhq −=δ

Nova veličina stanja pvuh += koja se u termotehnici predstavlja zbir termičkog i

mehaničkog potencijala naziva se entalpija i za idealne gasove iznosi:

pvuh +=

RTuh +=

Za promene kod koje je pritisak stalan constpdp == ,0 važi:

122,1 hhq

dhq

−==δ

Proces kod koga je entalpija konstantna consth = u termodinamici se naziva

prigušivanje.

Zakoni termodinamike

27

3.2. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

Drugi zakon termodinamike definise uslove, mogućnosti i smer odvijanja procesa.

Primenom drugog zakona termodinamike mogu se vršiti kvalitativne i kvantitativne

procene procesa u termodinamičkim sistemima.

Postoji više formulacija drugog zakona termodinamike:

� Toplota nikada ne može da prelazi sama od sebe od toplotnog izvora sa

nižom temperaturom na toplotni izvor sa višom temperaturom;

� Nemoguće je pretvoriti toplotu u mehanički rad, nekog tela, bez izvršenja

neke druge promene sem hlañenja ovog tela;

� Nemoguće je ostvariti ''perpetuum mobile'' druge vrste.

Drugi zakon termodinamike se može objasniti na primeru rada postrojenja sa

slike. U parni kotao se dovodi gorivo, kao izvor toplote, i voda. Toplota dobijena

sagorevanjem goriva se predaje vodi koja isparava. Nastala para kao gasovito radno telo

dolazi u parnu mašinu M gde pokreće klip KL, i ostvaruje se mehaničko kretanje. Para

koja je izvršila svoj zadatak kao istrošena para se pušta u atmosferu ili se odovodi u

kondezator Co gde se hladi pomoću vode, kondezuje i pumpom P vraća u kotao K.

Slika 22. Šema toplotnog postrojenja za dobijanje snage

Na osnovu ovog primera se može drugi zakon termodinamike formulisati na

sledeći način: nemoguće je u mašinama sa periodičnim dejstvom pretvoriti potpuno u

mehanički rad svu onu toplotu koja se radnom telu dovodi od toplijeg izvora toplote, već

se uvek jedan deo te toplote mora odvesti od radnog tela hladnijem izvoru toplote, koji je

neiskorišćen za dobijanje rada.

Da bi se izvela matematička interpretacija drugog zakona termodinamike

koristiće se matematička interpretacija prvog zakona termodinamike u diferencijalnom

obliku:

pdvdTcq v +=δ

Ako se jednačina stanja napisanu u obliku

v

R

T

P =

Termotehnika

28

zameni u predhodnu jednačinu, i podeli sa T dobija se:

v

dvR

T

dTc

T

qv +=δ

Ako se iskoristi preureñena Majerova jednačina u obliku

1−=

k

Rcv

v

p

c

ck =

i nakon zamene u prethodni izraz dobija se:

v

dvR

T

dT

k

R

T

q ⋅+⋅−

=1

δ

Desna strana izraza predstavlja totalni diferencijal neke funkcije koja zavisi od

promenljivih T i v, tj funkcije ds. Veličina s se u termodinamici nazvana entropija.

Entropija je veličina stanja.

dsT

q =δ ...... za 1 kg gasa

dST

Q =δ...... za m kg gasa

Procesi kod kojih se entropija ne menja zovu se adijabatski – izentropski procesi

tj. 0=dS ili 21 SS = .

Posmatra se izolovan sistem sastavljen od tela I i II, pri čemu je temperatura 1T

tela I viša od temperature 2T tela II. Na osnovu drugog zakona termodinamike toplota

može prelaziti samo sa toplijeg na hladnije telo.

Slika 23. Izolovani sistem

Ukupna promena entropije ovog izolovanog sistema je jednaka zbiru promena

entropije pojedinih tela u sistemu, odnosno

III dSdSdS +=

Na osnovu drugog zakona termodinamike važi:

2

1

T

QdS

T

QdS

II

I

δ

δ

=

−=

Zakoni termodinamike

29

QTT

dS δ

−=

12

11

� Ako je 21 TT ⟩ , kao što je predpostavljeno u datom primeru, onda je 0⟩dS i

nepovratnost procesa je više izražena što je razlika temperatura veća;

� Ako temperatura 2T teži temperaturi 1T , tada 0→dS tj. Proces teži povratnom

procesu;

� Ako je 21 TT = onda je dS = 0 što znači da izmeñu posmatranih tela nema razmene

toplote.

Fizička suština entropije objašnjava se njenom statističkom interpretacijom na

osnovu molekulsko-kinetičke teorije gasova. Naime, još ranije je rečeno da se molekuli

idealnog gasa kreću haotično i da nijedan od mogućih pravaca nije privilegovan nad

drugim pravcem kretanja molekula unutar prostora koji oni zauzimaju. Tako se dolazi

do zaključka da se molekuli uvek ravnomerno rasporeñuju u zapremini koju gas

ispunjava. Ako bi se molekuli nekako svi smestili u jedan deo zapremine, odmah po

otklanjanju prepreke bi se isti raspodelili ravnomerno po čitavoj zapremini.

Pretpostavka o ravnomernom ispunjavanju prostora svodi se u suštini na pretpostavku o

najverovatnijem stanju, pri haotičnom kretanju molekula. Ovo stanje je najviše

verovatno, to je stanje MAKSIMALNE VEROVATNOĆE.

Na osnovu analize rasporeda molekula u nekoj zapremini V, došlo se do opšteg

zaključka da se svi procesi u izolovanom sistemu odigravaju (u našim uslovima ) uvek u

smeru kojem se dolazi u stanje sve veće verovatnoće, sve dok se ne dostigne stanje

najveće verovatnoće. Ovaj, kao i zaključak o stalnom porastu entropije u ovozemaljskim

uslovima, omogućili su Bolcanu 1877. godine da traži vezu izmeñu entropije i

verovatnoće stanja. On je pronašao da se ta veza može napisati u obliku izraza:

PkS ln=

gde je P- verovatnoća stanja gasa, S- entropija i k- Bolcmanova konstanta. Ova

konstanta je univerzalna gasna konstanta jednog molekula gasa. Sa ranije uvedenom

univerzalnom gasnom konstantom Ru povezana je relacijom

N

Rk u=

gde je N- Avogadrov broj. Prema tome entropija je proporcionalna logaritmu verovatnoće

stanja. Ona u datim uslovima pokazuje smer najverovatnijeg odvijanja stvarnih procesa.

Termotehnika

30

PITANJA

1. Šta je zapreminski rad i kako se može izračunati?

2. Šta je količina toplote? Napisati izraz za njeno izračunavanje.

3. Kako se odreñuju znaci količine toplote rada?

4. Kako glasi Prvi zakon termodinamike? U čemu je razlika izmeñu energije sistema

i rada, odnosno toplote?

5. Izvesti izraze za promenu unutrašnje energije i entalpije, kao i Majerovu

jednačinu.

6. Kako se definiše entalpija sistema?

7. Formulisati Drugi zakon termodinamike.

8. Šta je entropija i kako se može definisati?

9. Objasnite kvazistatičke i nekvazistatičke promene stanja.

10. Objasnite toplotni dijagram.

11. Objasniti promenu entropije izolovanog sistema.

12. Šta je to specifična toplota.

13. Napisati odnos kapa.

14. Napisati vrednosti za veličinu kapa za jednoatomni, dvoatomni i troatomni.

idealni gas.

31

4. PROMENE STANJA IDEALNIH GASOVA

4.1. VRSTE PROMENA STANJA

4.2. POLITROPSK A PROMENA STANJA

4.3. IZOHORSKA PROMENA STANJA

4.4. IZOBARSKA PROMENA STANJA

4.5. IZOTERMSKA PROMENA STANJA

4.6. ADIJABATSKA PROMENA STANJA

4.1. VRSTE PROMENA STANJA

Promena stanja radnog tela, odnosno idealnog gasa, posledica je delovanja

spoljašnjih uticaja (toplote i rada) i zavisi od načina dovoñenja tj. odvoñenja toplote i

rada. Od svih promena stanja razmatraće se samo one koje se najčešće susreću u

tehničkim procesima. Promena parametara stanja matematički je definisana jednačinom

promene, koja se može dati u različitim koordinatnim sistemima.

Osnovne promene stanja su:

� politropska ili opšta promena stanja,

� izohorska promena stanja – promena pri stalnoj zapremini, v = const.

� izobarska promena stanja – promena pri stalnom pritisku, p=const.

� izotermska promena stanja – promena pri stalnoj temperaturi, T=const.

� adijabatska promena stanja – promena pri kojoj nema dovoñenja i odvoñenja

toplote, 0=q .

Za navedene promene stanja potrebno je znati zakon promene stanja, izvršeni ili

utrošeni rad, promenu unutrašnje energije količinu dovedene i odvedene toplote i

promenu entropije i entalpije.

4.2. POLITROPSKA PROMENA STANJA

Politropska ili opšta promena stanja je takva promena stanja kod koje je

specifična toplota politropske promene stanja =nc const. Jednačina politropske promene

stanja se može dobiti korišćenjemsledećih izraza prvog zakona termodinamike

vdpdTcq

pdvdTcq

p

v

−=+=

δδ

Količina toplota politropske promene stanja iznosi:

dTcq n=δ

Termotehnika

32

Zamenom izraza za količinu toplote u izraze za prvi zakon termodinamike i

sreñivanjem izraza dobija se:

( )( ) vdpdTcc

pdvdTcc

pn

vn

−=−=−

pdv

vdp

cc

cc

vn

pn −=−−

vn

pn

cc

ccn

−−

=

pdv

vdpn −=

gde je n eksponent politropske promene stanja. Razdvajanjem promenljivih u poslednjem

izrazu i integrajenjem dobija se jednačina politropske promene stanja u p – v

koordinatnom sistemu u obliku

.constpv n =

Eksponent politrope n može imati vrednost od minus beskonačno do plus

beskonačno, pa se iz politropske promene stanja mogu dobiti ostale promene stanja:

� za n=0: p0v = p = const - izobarska promena stanja

� za n = 1: pv = const - izotermska promena stanja

� za n = k: =kpv const - adijabatska promena stanja

� za je n :±∞→ vp n/1= vvpvp =⋅=∞ 0/1 . const - izohorska promena stanja.

Iz izraza za eksponent politrope

vn

pn

cc

ccn

−−

= i izraza za

v

p

c

ck = dobija se:

1−−=

n

kncc vn

Iz jednačine stanja idealnog gasa za proizvoljno početno i krajnje stanje procesa

222

111

RTvp

RTvp

==

dobija se

2

1

1

2

1

2

v

v

T

T

p

p ⋅=

Ako se iz jednačine politropske promene stanja

constpv n =

nn vpvp 2211 =

odnos pritisaka

n

v

v

p

p

=

2

1

1

2 uvrsti u jednačinu 2

1

1

2

1

2

v

v

T

T

p

p ⋅= dobija se veza izmeñu

temperatura i zapremina u obliku:

Promene stanja idealnih gasova

33

1

2

1

1

2

−

=

n

v

v

T

T

Slično se može dobiti i veza izmeñu temperatura i pritisaka u obliku:

n

n

p

p

T

T1

1

2

1

2

−

=

Na osnovu navedenog veze izmeñu osnovnih veličina stanja p, v i T kod

politropske promene stanja su date sledećim relacijama:

n

nn

nn

n

nn

p

p

v

v

T

T

T

T

p

p

v

v

T

T

v

v

p

p

1

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

1

2

−−

−

−

=

=

=

=

=

=

Količina toplote koja se dovodi ili odvodi pri politropskoj promeni stanja se

odreñuje iz drugog zakona termodinamike:

dTn

kncq

dTcq

v

n

1−−=

=

δ

δ

)(1 122.1 TT

n

kncq v −

−−= ...... za 1 kg gasa

}(1 122.1 TT

n

knmcQ v −

−−= ...... za m kg gasa

Rad pri politropskoj promeni stanja se dobija iz izraza za prvi zakon

termodinamike

duqw −= δδ

}( 122.12,1 TTcqw v −−=

)(1

)(1

)()(1

21,12

1212122,1

TTn

ccw

TTn

ckcTTcTT

n

kncw

vp

vvvv

−−−

=

−−

+−=−−−

−−=

1)(

12211

212,1 −−=−

−=

n

vpvpTT

n

Rw ...... za 1 kg gasa

1)(

12211

212,1 −−=−

−=

n

VpVpTT

n

mRW ...... za m kg gasa

Promena entropije politropskog procesa se dobija korišćenjem izraza za drugi

zakon termodinamike:

Termotehnika

34

T

dqds =

T

dTcds n=

1

212 ln

T

Tcss n ⋅=− ...... za 1 kg gasa

1

212 ln

T

TcmSS n ⋅⋅=− ...... za m kg gasa

4.3. IZOHORSKA PROMENA STANJA

Izohorska promena stanja je promena kod koje je zapremina konstantna, a

dovoñenjem ili odvoñenjem toplote dolazi do promene pritiska i temperature. Kod

izohorske promene stanja važi Šarlov zakon po kome je:

1

2

1

2

T

T

p

p=

Slika 24. Izohorska promena stanja

Pri izohorskoj promeni stanja nema vršenja rada, što se može pokazati iz izraza

za rad:

pdVW =δ

V = const, dV = 0

0

0

2,1 ==

W

Wδ

Količina toplote se dobija na osnovu prvog zakona termodinamike:

duq =δ

122,1 uuq −=

što znači da se sva toplota troši na promenu unutrašnje energije. Kako je dTcdu v= , to

se iz predhodnog izraza dobija:

Promene stanja idealnih gasova

35

)(

)(

122,1

122,1

TTmcQ

TTcq

v

v

−=−=

gde je vc specifična toplota pri konstantnoj zapremini.

Promena entropije data je izrazom:

T

dTc

T

dqds v==

1

2

1

212 lnln

p

pc

T

Tcss vv ⋅=⋅=− ...... za 1 kg gasa

1

2

1

212 lnln

p

pcm

T

TcmSS vv ⋅⋅=⋅⋅=− ...... za m kg gasa

4.4. IZOBARSKA PROMENA STANJA

Izobarska promena stanja je ona kod koje pritisak ostaje nepromenjen, odnosno

p=const:

1

2

1

2

T

T

v

v=

Slika 25. Izobarska promena stanja

Rad pri izobarskoj promeni stanja za 1 kg gasa se dobija iz izraza

)( 12

2

1

vvppdvwv

v

−== ∫

Ako se iskoristi jednačina stanja idealnog gasa za dve tačke procesa može se rad

izračunati i preko sledećih izraza:

)(

)(

122,1

122,1

TTmRW

TTRw

−=−=

11222,1 VpVpW −=

Ako se iskoristi izraz za prvi zakon termodinamike i Majerova jednačina dobija se

izraz za izračunavanje količine toplote izobarske promene stanja za 1 kg gasa:

Termotehnika

36

)( 12122,1 vvpuuq −+−=

)()(

)(

1212

1212

TTRvvp

TTcuu v

−=−−=−

)()( 12122,1 TTRTTcq v −+−=

Rcc vp +=

)( 122,1 TTcq p −=

odnosno za m kg idealnog gasa

)( 122,1 TTmcQ p −=

gde je pc specifična toplota pri konstantnom pritisku.

Promena entropije se izračunava računa po obrascu:

T

dTc

T

dqds p==

1

2

1

212 lnln

v

vc

T

Tcss vp ⋅=⋅=− ...... za 1 kg gasa

1

2

1

212 lnln

v

vcm

T

TcmSS vp ⋅⋅=⋅⋅=− ...... za m kg gasa

4.5. IZOTERMSKA PROMENA STANJA

Izotermska promena stanja je ona promena kod koje je temperatura konstantna

T=const, pa kod izotermske promene stanja nema promene unutrašnje energije:

constpv =

1

2

2

1

v

v

p

p=

Grafički prikaz izotermske promene stanja u p-v i T-S koordinatnom sistemu je

dat na sledećim dijagramima:

Slika 26. Izotermska promena stanja

Promene stanja idealnih gasova

37

Rad izotermske promene stanja izračunava se iz izraza:

∫=2

1

pdvw

v

RTp =

∫=2

1 v

dvRTw

2

1

1

22,1 lnln

p

pRT

v

vRTw == ..... za 1 kg gasa

2

1

1

22,1 lnln

p

pmRT

v

vmRTW == ..... za m kg gasa

Ako se iskoristi jednačina stanja idealnog gasa pV = mRT tada se prethodni izraz

za rad može napisati u obliku

2

111

1

2112,1 lnln

p

pVp

V

VVpW ==

Količina dovedene i odvedene toplote može se izračunati iz prvog zakona

termodinamike, uzimajući u obzir da je du = 0, tj.

Q1,2 = W1,2

što znači da se sva toplota troši na rad širenja ili sabijanja.

Promena entropije se izračunava iz sledećih izraza:

( )122,1 SSTq −=

2

1

1

22,112 lnln

p

pmR

V

VmR

T

qSS ===−

4.6. ADIJABATSKA PROMENA STANJA

Do sada analizirane promene stanja gasa bile su praćene dovoñenjem ili

odvoñenjem toplote. Proces kod koga nepostoji razmena toplote sa okolinom naziva se

adijabatska promena stanja:

0,0 2,1 == qqδ

Realni procesi se odvijaju uvek uz izvesnu razmenu toplote, jer ne postoje idealni

toplotni izolatori. Meñutim, svi procesi koji se odvijaju dovoljno brzo mogu se smatrati

adijabatskim, jer je razmena toplote u veoma kratkom vremenskom intervalu neznatna i

može se zanemariti (npr. procesi kod brzohodnih motora sa unutrašnjim sagorevanjem).

Ako iskoristimo prvi zakon termodinamike (Q=0) dobija se:

wdu δ−=

što znači da se rad adijabatske promene stanja obavlja isključivo na račun promene

unutrašnje energije. Za idealne gasove važi:

Termotehnika

38

pdvw

dTcdu v

==

δ

pa se može napisati:

pdvdTcv −=

Iz jednačine stanja idelanog gasa pv=RT nakon diferenciranja dobija se:

R

vdppdvdT

+=

pa nakon zamene u prethodni izraz dobija se:

pdvR

vdppdvcv −=+

Ako se iskoriste izraz za specifičnu toplotu pri konstantnoj zapremini 1−

=k

Rcv i

nakon sreñivanja i razdvajanja promenljivih dobija se jednačina adijabatske promene

stanja:

v

dvk

p

dp −=

k

v

v

p

p

=

2

1

1

2

constpvvpvp kkk ==== ...2211

v

p

v

p

C

C

c

ck ==

Slika 27. Adijabatska promena stanja

Kako je kod adijabatske promene stanja 0=qδ znači da je 0=nc pa važi:

κ==−−

=v

p

vn

pn

c

c

cc

ccn

Promene stanja idealnih gasova

39

pa se jednačina adijabate može dobiti direktno iz jednačine politropske promene stanja

( constpvn = ) ako se u njoj n zameni sa κ. Isto se može uraditi i u izrazima za veze

izmeñu veličina stanja kod politropskog procesa, tako da se dobijaju odnosi izeñu veličina

stanja kod adijabatske promene stanja:

k

v

v

p

pconstpv

=⇒=

1

2

2

1κ

1

1

2

2

11

−−

=⇒=⋅

k

v

v

T

TconstvT κ

κκ

κκ −−

=⇒=⋅

1

1

2

2

11

T

T

p

pconstTp

Rad adijabatske promene stanja se izračunava pomoću prvog zakona

termodinamike:

duw −=δ

( ) )( 21122,1 TTcTTcw vv −=−−= ...... za 1 kg gasa

)(1

1)(

1 2211212,1 vpvpk

TTk

Rw −

−=−

−= ...... za 1 kg gasa

)(1

1)(

1 2211212,1 VpVpk

TTk

mRW −

−=−

−= ...... za m kg gasa

Promena entropije se odreñuje iz izraza za količinu toplote:

( ) 0122,1 =−= SSTQ

Kako je 0≠T onda mora biti 21 SS = , što znači da je entropija konstantna pa se ova

promena naziva i izoentropska promena stanja.

Termotehnika

40

PITANJA

1. Koje je osnovno obeležje politropskih promena stanja? Napišite jednačine

politrope i uvežbajte njihovo rešavanje.

2. Objasniti i grafički prikažite posebne slučajeve politropske promene stanja. Za

koje se vrednosti eksponenta n te promene dobijaju?

3. Čemu je jednak zapreminski rad izohorske, izotermske i izentropske promene

stanja?

4. Objasniti adijabatsku promenu stanja.

5. Za politropu dati izraze za specifični rad i količinu toplote.

6. Navesti sve o izobarskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim

sistemima.

7. Navesti sve o izohorskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim

sistemima.

8. Navesti sve o izotermskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim

sistemima.

9. Navesti sve o izoentropskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim

sistemima.

10. Nacrtati zajedno izobaru, izohoru, izotermu i izentropu u pv i Ts koordinatnom

sistemu.

41

5. KRUŽNI PROCESI

5.1. VRSTE KRUŽNIH PROCESA

5.2. KARNOTOV KRUŽNI PROCES

5.3. PROCESI U MOTORIMA

5.3.1. Otov kružni proces

5.3.2. Dizelov kružni proces

5.4. PROCESI GASNIH TURBINA

5.1. VRSTE KRUŽNIH PROCESA

Ranije je istaknuto da je sistem u kome vlada isti pritisak, temperatura i ista

koncetracija u termičkoj ravnoteži pa u tom slučaju ne postoji pretvaranje toplotne

energije u mehanički rad. Ako u jednom delu izolovanog sistema vlada temperatura 1T , a

u drugom 2T , pri čemu je 21 TT ⟩ , onda u sistemu postoji termodinamička neravnoteža. U

takvom sistemu je moguće pretvaranje toplote u mehanički rad. To se pretvaranje vrši

pomoću kružnih procesa koje vrši radno telo izmeñu temperatura 1T i 2T .

Kružni procesi su sastavljeni od do sada analiziranih procesa i sa njima smo u

stanju da dobijemo kontinuirani permanentni rad – stalan rad. Sve kružne procese

možemo podeliti u dve grupe:

- povratne i

- nepovratne.

Meñutim, pored ovih kružnih procesa postoje procesi koji se obavljaju pri

pretvaranju hemijske energije u toplotnu i to su otvoreni procesi, kod kojih se radno telo

ne vraća u početno stanje.

U zavisnosti šta se dobija pri nekom kružnom procesu razlikujemo:

- desnokretne kružne procese i

- levokretne kružne procese.

Desnokretni kružni procesi se obavljaju u smeru skazaljke na satu i kod njih je

rad širenja veći od rada sabijanja pa se dobija rad, kao što je slučaj kod toplotnih motora.

Kod levokretnih kružnih procesa rad sabijanja je veći od rada širenja pa se snaga

troši na njegovo obavljanje, kao što je, na primer, slučaj kod kompresora. Levokretni

proces se obavlja u smeru suprotnom smeru kretanja skazaljke na satu.

Na slici je data šema postrojenja za dobijanje rada i desnokretni kružni proces u

vp − dijagramu. Izvor toplote temperature 1T odaje toplotu 1Q , mašina proizvodi rad a

hladnjak temperature 2T prima toplotu 2Q . Tačke 1 i 2 kružnog procesa odvajaju delove

gde se dobija mehanički rad od dela gde se on troši. Površina 1 a 2 II I 1 predstavlja rad

koji se dobija širenjem radnog tela a površina 1 b 2 II I 1 rad sabijanja. Razlika ovih

dvaju radova predstavlja koristan rad kružnog procesa.

Termotehnika

42

21 WWWk −=

gde je:

1W - rad širenja i

2W - rad sabijanja.

Slika 28. Desnokretni kružni ciklus

Razlika dovedene toplote dovQ i odvedene toplote odvQ predstavlja iskorišćenu

toplotu- korisnu toplotu procesa:

odvdovk QQQ −=

Na sledećoj slici je prikazana šema postrojenja za dobijanje rada i levokretni

kružni proces u vp − dijagramu. Levokretni kružni procesi se koriste u rashladnim

postrojenjima i toplotnim pumpama.

Slika 29. Levokretni kružni ciklus

Izvor toplote T1

(zagrejač)

Radno telo

(kružni proces) ppprocesmašina)

Toplotni ponor T2

(hladnjak)

Spoljna sredina

T2

Radno telo

(mašina)

Prostor za hladjenje

T1

Kružni procesi

43

Ako se kod kružnog procesa posmatra unutrašnja energija radnog tela, uočava se

da ona prilikom promene stanja menja svoju vrednost, ali tako da konačno ponovo ima

svoju početnu vrednost jer se radno telo vraća u početno stanje. Prema tome, unutrašnja

energija na početku i na kraju zatvorenog procesa ima iste vrednosti tako da je promena

unutrašnje energije

∆U = 0

Prema prvom zakonu termodinamike važi:

Q = ∆U + W

Q = W = odvdovk QQQ −=

Vidi se da je kod kružnog procesa dobijeni rad jednak razlici dovedene i odvedene

toplote.

Kriterijum za ocenjivanje efikasnosti pretvaranja dovedene toplote u rad je

termodinamički stepen korisnosti kod desnokretnih kružnih procesa tη :

11 ≤−=−

==dov

odv

dov

odvdov

dovt Q

Q

Q

QQ

Q

Wη

Termodinamički stepen korisnosti je uvek manji od jedan jer se u kružnom

procesu uvek pojavljuje toplota koju treba odvesti. Radno telo nije u stanju da samo po

sebi izvrši kružni proces jer u jednom delu procesa radnom telu treba dovoditi toplotu, a

u drugom delu je od radnog tela odvoditi. U tu svrhu potrebna su dva toplotna

rezervoara od kojih jedan snabdeva radno telo dovedenom toplotom, a drugi preuzima

odvedenu toplotu. Prvi se naziva toplotni izvor a drugi toplotni ponor i oni predstavljaju

bitne učesnike u procesu. Dovoñenje i odvoñenje toplote ne uzrokuje promene u radnom

telu jer se na kraju procesa ono vraća u početno stanje. Promene ostaju u toplotnim

rezervoarima jer se iz jednoga toplota odvodi, a u drugi dovodi. Prema tome, prelaz

toplote iz toplotnog izvora preko kružnog procesa u toplotni ponor je izvor mehaničke

energije. Pri tom procesu je radno telo samo posrednik u pretvaranju energije.

Termotehnika

44

5.2. KARNOTOV KRUŽNI PROCES

Francuski naučnik Karnot težio je da pronañe kružni

proces kod koga bi tη bilo što je moguće bliže jedinici. On je

predložio ciklus koji se sastoji iz dve izoterme i dve izentrope,

kao što je prikazano na slici u vp − i T – S dijagramu, koji u

praksi nije moguće realizovati.

Slika 30. Karnotov kružni proces u vp − i T – S dijagramu

Izoterma na višoj temperaturi TI se nalazi na onom delu kružnog procesa na kome

se dovodi toplota (1-2). Nakon dovoñenja toplote od zagrejača vrši se adijabatska

ekspanzija (2–3) radnog tela pri čemu se dobija rad. Druga izoterma TII je pri nižoj

temperaturi na onom delu kružnog procesa na kojem se odvodi toplota (3-4) od radnog

tela nekom rashladnom rezervoaru (hladnjaku), zatim se vrši adijabatska kompresija

(4 – 1) radnog tela pri čemu se troši rad a telo se vraća u početno stanje.

Prema tome, korisno dobijeni rad Karnotovog kružnog procesa jednak je razlici

radova izotermske ekspanzije i kompresije, odnosno iskorišćena toplota jednaka je razlici

dovedene i odvedene toplote. Zadatak adijabatske ekspanzije i kompresije u Karnotovom

kružnom procesu je samo u tome da se omogući zatvaranje kružnog procesa jer kružni

proces samo pomoću izotermi (ili samo adijabata) nije moguće ostvariti.

Budući da se Karnotov proces sastoji samo od dve izoterme i dve adijabate, tj. od

pravih povratnih (reverzibilnih) promena stanja, to je i on povratni proces kojem treba

težiti, ali koji se u našim uslovima u praksi nikada ne može ostvariti. Termodinamički stepen korisnosti iznosi:

1

21q

qt −=η

gde su q1 dovedena i q2 odvedena toplota:

Sadi Nicolas Léonard Carnot

(1796-1832)

Kružni procesi

45

4

3

3

42

1

21

lnln

ln

V

VRT

V

VRTq

V

VRTq

IIII

I

==

=

Na osnovu navedenog termodinamički stepen korisnosti je:

1

2

4

3

ln

ln

1

V

VT

V

VT

I

II

t −=η

Ako se iskoriste jednačine adijabate za promene 2 – 3 i 4 – 1 dobija se

1

1

4

4

1

1

2

3

3

2

−

−

==

==

k

II

I

k

II

I

V

V

T

T

T

T

V

V

T

T

T

T

I

IIt T

T−= 1η

Kako je IT > IIT to je uvek tη < 1. Iz izraza se vidi da termodinamički stepen

korisnosti Karnotovog procesa zavisi izključivo od krajnih temperatura izmeñu kojih se

odvija proces, a ne zavisi od vrste radnog fluida (Karnotova teorema).

Izraz za stepen korisnosti Karnotovog procesa može se izvesti pomoću II zakona

termodinamike ako se posmatra Karnotov proces u T – S dijagramu:

1

21q

qt −=η

)( 121 SSTq I −=

( ) ( )12432 SSTSSTq IIII −=−=

23 SS = i 14 SS =

I

IIt T

T−= 1η

Ako se u T – S dijagramu Karnotovog procesa ucrta bilo koji drugi kružni proces

izmeñu krajnih temperatura TI i TII, vidi se da je iskorišćena toplota takvog ciklusa uvek

manja od Karnotovog, u krajnjem slučaju jednaka iskorišćenoj toploti Karnotovog

ciklusa. Na osnovu toga se zaključuje da je Karnotov ciklus granični po stepenu

korisnosti u poreñenju sa svakim drugim kružnim procesom koji se ostvaruje izmeñu

istih krajnih temperatura. Ovo je idealan povratni ciklus, pa i za najidealniji kružni

proces stepen korisnosti 1<tη .

Termotehnika

46

5.3. PROCESI U MOTORIMA SUS

Procesi u motorima se zasnivaju na pretvaranju toplotne energije goriva u

mehanički rad. Sve što je navedeno za desnokretne kružne procese važi i za procese u

motorima. Razlika izmeñu kružnih procesa u motorima i Karnotovog leži u tome, što se

dovoñenje i odvodjenje toplote ne odvija pri izotermskoj, nego pri izohorskoj ili izobarskoj

promeni stanja.

Klipni motori unutrašnjeg sagorevanja su toplotni motori, koji hemijsku energiju

sadržanu u gorivu, procesom sagorevanja u odreñenom prostoru, transformišu u

potencijalnu energiju produkata sagorevanja, koji se sukcesivnim širenjem, posredstvom

odgovarajućeg mehanizma, pretvara u mehaničku energiju. Prema načinu rada motori

sa unutrašnim sagoravanjem dele se na dvotaktne i četvorotaktne. Kod četvorotaktnih

motora čitav radni proces u motoru obavi se za vreme trajanja četiri takta (hoda klipa).

Pošto je za jedan hod klipa potrebna 1/2 obrta kolenastog vratila, to se ceo ciklus obavi

dok se kolenasto vratilo okrene dva puta. Kod dvotaktnih motora ceo radni ciklus traje

za vreme dva hoda klipa, odnosno jedan obrt kolenastog vratila.

Slika 31. Četvorotaktni motoru (sabijanje, sagorevanje, izduvavanje i usisavanje )

Prema načinu paljenja goriva, motori unutrašnjeg sagorevanja se dele na Otto

(benzinske) motore, Dizel motore i motore sa procesom Sabathe (kombinacija Otto i Dizel

motora). Kod Otto motora zapaljiva smeša benzina i vazduha se ostvaruje izvan cilindra

motora, u posebnom ureñaju - karburatoru. Smeša se u cilindru se pali električnom

varnicom u tačno odreñenom trenutku radnog ciklusa. Dizel motori usisavaju u cilndar

samo vazduh, koji se sabijanjem dovodi na viši pritisak i temperaturu. U tačno

predviñenom trenutku radnog ciklusa, posebnim ureñajem se ubrizgava odreñena

količina nafte koja se zbog visokog pritiska fino rasprši i trenutno pomeša sa zagrejanim

vazduhom kada nastaje delimično isparavanje goriva, a potom i njegovo samozapaljenje i

sagorevanje.

U odnosu na položaje cilindara motori SUS mogu biti linijski vertikalni, linijski

horizontalni, u obliku slova V, X, Y, u obliku zvezde i sl, a cilindara mogu imati od 1 do

Kružni procesi

47

Nikolaus August Otto je 1867.

godine prijavio patent

termodinamičkog ciklusa koji se danas naziva Otto-ov ciklus.

36. Prema upotrebi motori se dele na pokretne (Otto, Dizel) i stabilne (Dizel, gasni

motori), a mogu biti hlañeni vodom, vazduhom ili uljem. Prema broju obrtaja mogu biti

sporohodni i brzohodni.

Termodinamički ciklusi motora SUS predstavljaju uprošćenu šemu stvarnog

radnog procesa u motoru. Uprošćenja ustvari omogućuju jednostavniju analizu procesa.

Da bi se analitički odredio termodinamički stepen korisnosti, uvode se sledeće

pretpostavke:

- u toku procesa odvijanja ciklusa, hemijski sastav radnog tela se ne menja, tj.

proces sagorevanja, koji je inače praćen gubicima, zamenjuje se odgovarajućim

dovoñenjem toplote sa strane;

- procesi sabijanja i širenja radnog tela protiču veoma brzo, bez razmene toplote

sa okolinom, pa se mogu smatrati povratnim adijabatama;

- količina radnog tela u toku procesa se ne menja, pa nema gubitaka koji inače

prate procese punjenja i pražnjenja cilindra;

- specifična toplota ne zavisi od temperature;

- radno telo je idealan gas.

5.3.1. Ottov kružni proces

Otto motor se u opštem slučaju sastoji

od nekoliko cilindara 1 (najčešće četiri)

objedinjenih u jednom bloku. U cilindrima se

kreću klipovi 2 posredstvom klipnog

mehanizma 3. Iz karburatora, kad je usisni

ventil 4 otvoren, ulazi smeša goriva i vazduha,

koja se pomoću svećice 5 pali. Smeša sagoreva,

nastali produkti sagorevanja ekspandiraju i

nakon ekspanzije pri otvorenom izduvnom

ventilu 6 izlaze van.

Tačka 1 indikatorskog dijagrama

predstavlja kranji položaj klipa (spoljna mrtva

tačka). Kada se klip nalazi u tom položaju

otvara se usisni ventil i dolazi do usisavanja

smeše goriva i vazduha (linija 1-2 indikatorskog dijagrama). U krajnjem položaju klipa 2

dolazi do zatvaranja usisnog ventila. Linija 2-3 je sabijanje gasne smeše (drugi hod

klipa), koja se pali (linija 3-4), pre nego što je klip došao u krajnji položaj. Smeša skoro

trenutno sagoreva uz naglo povećanje pritiska i temperature. Linija 4-5 predstavlja

ekspanziju produkata sagorevanja – radni hod klipa Kada klip doñe u krajnji donji

položaj 5 (unutrašnja mrtva tačka) otvara se izduvni ventil. Poslednji takt predstavlja

izbacivanje produkata sagorevanja (linija 5-1) nakon čega se klip vraća u krajnji donji

položaj.

Termotehnika

48

Slika 32. Šema i indikatorksi dijagram rada Otto motora

Sa termodinamičke tačke gledišta Otto motor se sastoji od dve kvazistatičke

adijabate (izentrope) i dve izohore. Gorivi idealni gas (smeša goriva i vazduha) stanja 1

sabija se adijabatski do stanja 2, zatim se pri promeni stanja 2 - 3 vrši izohorsko

dovoñenje toplote (sagorevanje). Nastali produkti sagorevanja ekspandiraju (šire se) po

adijabati 3 - 4, odakle se dovode u vezu sa okolinom (4- 1) kojoj predaju toplotu koja je

ostala neiskorišćena za dobijanje rada. Odvoñenje toplote se u stvarnosti obavlja

izbacivanjem produkata sagorevanja u okolinu.

Slika 33. Ottov proces u vp − i T – S dijagramu

Pri odreñivanju termodinamičkog stepena korisnosti polazi se od izraza

1

21q

qt −=η

gde je dovedena količina toplote

Kružni procesi

49

)( 231 TTcq v −=

a odvedena količina toplote

)( 142 TTcq v −=

Zamenom ovih izraza u izraz za termodinamički stepen korisnosti dobija se:

23

14

23

14

1

2 1)()(

11TT

TT

TTc

TTc

q

q

v

vt −

−−=−−−=−=η

Na osnovu jednačine izentrope constTv =−1κvaži:

144

133

122

111

−−

−−

=

=κκ

κκ

vTvT

vTvT

32

41

vv

vv

==

( ) ( ) 1223

1114

−− −=− κκ vTTvTT

11

1

2

1

1

2

23

14

−−−

=

=

=

−− κκκ

V

V

V

V

v

v

TT

TT o

Zamenom poslednjeg izraza u izraz za termodinamički stepen korisnosti Otto

procesa dobija se:

11

11

11

11 −−

−

−=

−=

−= k

o

oOttot

V

VV

V

εη κ

κ

gde je

0V

V=ε stepen sabijanja odnosno stepen kompresije (konstrukciona

karakteristika). Iz izraza se vidi da stepen korisnosti Otto procesa zavisi od stepena

kompresije i vrste gasa (različito κ) i veći je ukoliko je stepen kompresije veći, odnosno

ukoliko je za datu zapreminu cilindra manji kompresijski prostor. Stepen kompresije je

ograničen temperaturom samozapaljivosti smeše i on se danas kreće za različite motore

u sledećim granicama:

� avionski motori ε = 7.5 – 9,

� motori za putničke automobile ε = 6 – 9,

� motori za trkačke automobile ε = do 12,

� motori za motocikle ε = 6 – 8.5,

� motori za trkačke motocikle ε = do 12.

Do sada nisu grañeni motori sa stepenom kompresije većim od 12.

Termotehnika

50

5.3.2. Dizelov kružni proces

Dizelov kružni proces se razlikuje od Ottovog procesa po

tome što se sagorevanje odigrava pri stalnom pritisku i što se u

cilindar motora dovodi i sabija čist vazduh. Za razliku od Otto

motora kod Dizel motora umesto svećice se upotrebljava brizgaljka

koja služi za ubrizgavanje goriva, kome se temperatura povećava

iznad temperature samozapaljivosti pa se ono pali samo od sebe.

Slika 34. Dizelov kružni proces

Idealizovani proces rada Dizel motora naziva se Dizelov kružni proces. Usisavanje

spoljašnjeg vazduha u cilindar motora odvija se pri neznatnom potpritisku unutar

cilindra. Na kraju usisavanja zatvara se usisni ventil i vrši se adijabatsko sabijanje

vazduha (1-2). Stepen sabijanja kod Dizel motora je veoma visok i iznosi od 12 do 20. Kod

Dizel motora ne postoji opasnost od samozapaljivosti jer se sabija čist vazduh. Nakon

procesa sabijanja ostvaruje se temperatura vazduha koja je iznad temperature

samozapaljivosti goriva, koje se ubrizgava unutar cilindra kada se klip nañe u krajnjem

gornjem položaju, pa se gorivo zapali samo od sebe. Ubrizgavanje goriva je takvo da se

pri kretanju klipa od krajnjeg položaja u cilindru održava konstantan pritisak. U tački 3

završeno je sagorevanje (2-3) i tada se postiže maksimalna temperatura u procesu.

Nakon toga vrši se adijabatska ekspanzija (3-4) do stanja 4 kada počinje izduvavanje

produkata sagorevanja pri konstantnoj zapremini do stanja 1.

Termodinamički stepen korisnosti Dizelovog procesa iznosi:

1

21q

qt −=η

gde su dovedena i odvedena toplota date izrazima:

( )( )142

231

TTcq

TTcq

v

p

−=

−=

Rudolf Diesel je 1892.godine

patentirao termodinamički

ciklus sa samopaljenjem goriva

Kružni procesi

51

Zamenom izraza i sreñivanjem dobija se:

23

14

1

2 11TT

TT

c

c

q

q

p

vt −

−−=−=η

3

2

4

1

3

4

1

11

1

T

TT

T

T

T

kt

−

−−=η

Primenom Gej-Lisakovog zakona dobija se:

ϕ===0

3

2

3

2

3

V

V

V

V

T

T

gde je φ stepen predekspanzije (koeficijent ubrizgavanja), Kao i kod Ottovog procesa

stepen kompresije je definisan kao:

0V

V=ε

1

1

0

2

1 1−

−

=

=k

k

V

V

T

T

ε

Za adijabatsku ekspanziju 3-4 važi:

11

2

2

1

3

3

4

1

1

3

1

4

3

3

4

−−

−−

=

=

=

=

κκ

κκ

εϕ

V

V

V

V

T

T

V

V

V

V

T

T

Na osnovu izraza za promenu entropije izobarske i izohorske promene stanja dobija se:

1

414

2

323

ln

ln

T

Tcss

T

Tcss

v

p

=−

=−

1423 ssss −=−

κκ

ϕ==

1

4

2

3

T

T

T

T

Zamenom izvedenih izraza, nakon sreñivanja, dobija se izraz za termodinamički

stepen korisnosti Dizelovog procesa:

1

1111

1 −−⋅⋅−= − ϕ

ϕεκ

ηk

kt

Ako se izvrši analiza izraza može se zaključiti da stepen korisnosti Dizelovog

procesa raste sa povećanjem ε pri zadatom φ, a opada sa povećanjem φ pri stalnom ε i k.

Termotehnika

52

5.4. PROCESI GASNIH TURBINA

Osnovni nedostatak klipnih motora sa unutrašnjim sagorevanjem je ograničena

jedinična snaga, rad im je neravnomeran, a radno telo ne može da ekspandira do

atmosferskog pritiska. Kod gasnih turbina, kod kojih se kao radno telo pojavljuju

produkti sagorevanja tečnog ili gasovitog goriva, translatorno kretanje klipa zamenjeno

je obrtnim kretanjem turbinskog kola koje se obrće pod dejstvom gasne struje. Osim

toga, kod turbina se ostvaruje adijabatsko širenje produkata sagorevanja do pritiska

spoljašnjeg vazduha, pa je kod njih odvoñenje toplote pri konstantnom pritisku, a ne pri

konstantnoj zapremini kao kod motora SUS. Dovoñenje toplote može da se ostvari pri

konstantnom pritisku ili pri konstantnoj zapremini. Savremene gasne turbine uglavnom

rade sa izobarskim dovoñenjem toplote. Postrojenja sa gasnom turbinom služe za proizvodnju električne energije ili kao

pomoćne mašine u sklopu drugih postrojenja. Glavni delovi su: kompresor 2, komora za

sagorevanje ili zagrevanje 3 i turbina 4. U gasnim turbinama kao samostalnim

mašinama radni fluidi su produkti sagorevanja u smeši sa vazduhom koji hladi komore

za sagorevanje, dok kod gasnih turbina kao pomoćnih mašina, radni fluidi su izduvni

gasovi motora SUS, produkti sagorevanja parnih kotlova i dr. Radni proces gasnih

turbina kao samostalnih mašina se sastoji u sledećem: sabijanje goriva i vazduha ili

zajedno ili posebno, njihovo mešanje, paljenje i sagorevanje u komorama za sagorevanje i

ekspanzija produkata sagorevanja u turbini. Vazdušni kompresor 2 usisava vazduh iz

atmosfere, sabija ga, i odvodi ga u komoru za sagorevanje 3, gde se pumpom 1 dovodi

tečnost ili gorivo u obliku gasa. Prilikom sagorevanja gas velikom brzinom dolazi u

lopatične kanale turbine 4 gde se kinetička energija pretvara u mehanički rad koji se

pomoću pogonskog vratila prenosi na generator 5.

Slika 35. Šema postrojenja sa gasnom turbinom

Da bi se ostvario visok stepen iskorišćenja turbine potrebno je da gasovi ispred

turbine imaju visoku temperaturu, što zahteva veoma kvalitetne čelike, posebno otporne

na visoke temperature, za elemente turbine. Znatno se primenjuju u avijaciji,

brodogradnji, železničkom transportu i uopšte u energetici.

Gasna turbina radi po otvorenom ciklusu: iz spoljne sredine se usisava vazduh i u

nju se izbacuju izlazni gasovi. Meñutim, pretpostavlja sa da je ciklus zatvoren, odnosno

Kružni procesi

53

da je količina radnog tela konstantna. Pri analizi rada gasno-turbinskog postrojenja

uvode se sledeće pretdpostavke:

� radno telo je idealan gas sa konstantnom specifičnom toplotom;

� svi procesi u ciklusu su povratni;

� sagorevanje goriva se zamenjuje povratnim dovoñenjem toplote, a izlazak

gasova iz turbine povratnim odvoñenjem toplote (hlañenjem).

Kružni ciklus rada gasne turbine sa dovoñenjem toplote pri p=const koji se sastoji

od dve izentrope (kvazistatičke adijabate) i dve izobare naziva se Džulov proces.

Adijabatsko sabijanje vazduha (1-2) obavlja se u kompresoru, a proces izobarskog

dovoñenja toplote (2-3) u komori za sagorevanje. Proces adijabatske eksapnzije (3-4)

obavlja se u radnom kolu gasne turbine, a odvoñenje toplote (4-1) u okolinu odvija se pri

konstantnom pritisku.

Slika 36. Kružni proces gasne turbine sa dovoñenjem toplote pri p=const

- Džulov kružni proces -

Termodinamički stepen korisnosti ovog ciklusa je dat izrazom:

1

21q

qt −=η

gde su:

( )( )142

231

TTcq

TTcq

p

p

−=

−=

Zamenom datih izraza dobija se:

( )( ) 23

14

23

14 11TT

TT

TTc

TTc

p

pt −

−−=

−−

−=η

Ako se iskoriste jednačine adijabate dobija se:

Termotehnika

54

k

kk

k

k

kk

k

p

p

T

T

p

p

T

T

11

4

3

4

3

11

1

2

1

2

−−

−−

=

=

=

=

β

β

k

kt 1

11 −−=

βη

gde je 4

3

1

2

p

p

p

p ==β stepen povišenja pritiska. Iz izraza za termodinamički stepen

korisnosti Džulovog procesa se vidi da stepen korisnosti raste pri porastu stepena

povišenja pritiska.

PITANJA

1. Objasnite rad toplotnih mašina. Kada se rad dobija, a kada ulaže?

2. Šta je termodinamički stepenkorisnosti? U kojim se granicama nalazi?

3. Objasnite Karnotov proces. Čemu je jednak stepen korisnosti i od čega zavisi?

1. Šta su toplotni motori i kako se dele?

2. Kako se dele klipni motori sa unutrašnjim sagorevanjem?

3. Objasnite princip rada klipnih motora sa unutrašnjim sagorevanjem.

4. Nacrtajte Otto proces u vp, i sT , dijagramu, a zatim izvedite i proanalizirajte

izraz za termodinamički stepen korisnosti.

5. Nacrtajte Dizel proces u vp, i sT , dijagramu, a zatim izvedite i proanalizirajte

izraz za termodinamički stepen korisnosti.

6. Nacrtajte Jouelov proces u vp, i sT , dijagramu, a zatim izvedite i proanalizirajte

izraz za termodinamički stepen korisnosti.

55

6. PROSTIRANJE TOPLOTE

6.1. NAČINI PROSTIRANJA TOPLOTE

6.2. PROSTIRANJE TOPLOTE

PROVOĐENJEM

6.2.1. Temperaturno polje

6.2.2. Diferencijalna jednačina prostiranja toplote

6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz ravan zid

6.2.4. Stacionarno provoñenje toplote kroz cilindričan zid

6.3. KONVEKTIVNO PROSTIRANJE TOPLOTE

6.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRAČENJEM

6.1. NAČINI PROSTIRANJA TOPLOTE

Poznato je, na osnovu drugog zakona termodinamike, da u našim uslovima

toplota uvek prelazi sa toplijeg na hladnije telo, od toplije na hladniju sredinu, od toplijih

ka hladnijim slojevima tela. Na taj način, već samim prirodnim zakonom potpuno je

odreñen smer prostiranja toplote.

U tehničkoj praksi, a i uopšte u životu uopšte, nameće se potreba da se ova

prirodna tendencija prostiranja toplote ili potpomaže ili sprečava: potpomaže se u onim

slučajevima kada je potrebno da se toplota dovede od izvora toplote radnom telu (npr. od

produkta sagorevanja goriva vodi koja isparava u parnom kotlu), dok se sprečava u onim

slučajevima kada je prostiranje toplote štetno i predstavlja čist energetski gubitak (npr.

kroz zidove cevi za transportovanje pare, tople vode, toplog vazduha ili nekog fluida čija

je temperatura viša od temperature okoline). U prvom slučaju je potrebno stvoriti takve

uslove, npr. izborom materijala, da prostiranje toplote bude što intenzivnije, dok u

drugom da ono bude što sporije zbog čega se npr. koriste takvi materijali koji imaju veći

otpor prostiranju toplote - izolacioni materijali. Ovi zadaci i problemi nametnuli su i

potrebu za specijalnim izučavanjem teorije prostiranja toplote.

Prostiranje toplote je prirodan proces prenošenja unutrašnje energije u obliku

toplote, sa tela sa višom temperaturom, na telo sa nižom temperaturom. Ako nema

drugih uzroka, stanje posmatranih tela menjaće se sve dok se ne uspostavi toplotna

ravnoteža, tj. dok se tempearture tela ne izjednače. Toplota Q označava energetsku

interakciju koja nastaje zbog postojanja razlike temperatura ∆T. Smer toplote je od tela

više prema telu niže temperature. Na osnovu iskustva, ne postoji spontani proces tokom

kojeg bi toplota prešla s hladnijeg na toplije telo. Zato je promena toplote jednosmerni

(nepovratan, ireverzibilan) proces koji je povezan s degradacijom energije.

Termotehnika

56

Postoje tri načina prostiranja toplote:

1. Provoñenje ili kondukcija je način prostiranja toplote u čvrstim telima, od jednog

delića materije do drugog kada se deliići materije (atomi, molekuli) ne kreću.

Mehanizam provoñenja toplote sastoji se u bržem oscilovanju molekula i atoma u

toplijim slojevima čvrste materije od onih u hladnijim slojevima, zbog čega imaju

veću kinetičku energiju koju predaju hladnijim slojevima usled oscilovanja i

sudara sa njima.

2. Strujanje fluida ili konvekcija je način prostiranja toplote koji postoji kada je

temperatura, pa i gustina, različita u raznim slojevima fluida, usled čega dolazi

do njihovog strujanja (komešanja) i na taj način prostiranja toplote – prirodna

konvekcija. Ako je strujanje fluida izazvano strujnom mašinom (pumpom,

ventilatorom) onda je to prinudna konvekcija.

3. Kod zračenja ili radijacije toplotna unutrašnja energija materije se pretvara u

energiju zračenja, koja se u vidu elektromagnetnih talasa prostire kroz prostor i

vakum. Energija zračenja se u dodiru sa drugim telima ponovo pretvara u

unutrašnju toplotnu energiju. Na ovaj način se prostire toplota od Sunca do

Zemlje i drugih palneta.

Iz navedenih mehanizama prostiranja toplote se vidi da dva sistema mogu, ali ne

moraju, biti u neposrednom dodiru, iz čega se može zaključiti da su mehanizmi prenosa

toplote u tim slučajevima bitno različiti. Prostiranje toplote unutar i izmeñu dva sistema

odvija se na dva načina:

� posredstvom materije kada su sistemi u neposrednom dodiru. Pri tome se, u

zavisnosti od agregatnog stanju sistema, energija (toplota) prenosi kroz

sisteme ili provodenjem (čvrsta tela) ili konvekcijom (fluidi) i

� elektromagnetnim zračenjem kada se sistemi ne dodiruju. Ovaj efekt se

naziva toplotno zračenje ili radijacija.

Slika 37. Načini prostiranja toplote

Stvarno prostiranje toplote je kombinovano, što znači da su u izvesnoj meri i

istovremeno zastupljena sva tri načina prostiranja toplote.

Prostiranje toplote

57

6.2. PROSTIRANJE TOPLOTE PROVOĐENJEM

6.2.1. Temperaturno polje

Temperatura je, kao i druge veličine stanja, skalarna veličina koja se opisuje

samo numeričkom vrednošću i odgovarajućom dimenzijom temperaturne skale. Za

razliku od modela klasične termodinamike koji pretpostavlja materiju u unutrašnjoj

toplotnoj ravnoteži, teorija prostiranja toplote polazi od činjenice da pri promeni toplote

sa okolinom čestice materije nemaju jednaku temperaturu.

Pod temperaturnim poljem podrazumeva se vrednost temperatura u svim

tačkama prostora u datom trenutku vremena. U materiji postoji trodimenzionalno

skalarno temperaturno polje koje se tokom razmene toplote vremenom menja.

Stacionarno temperatursko polje je ono u kome se temperatura ne menja sa

vremenom tj.

( ),,, zyxft = 0=∂∂τt

Nestacionarno temperatursko polje je ono koje se menja tokom vremena tj.

( )τ,,, zyxft =

Svako temperatursko polje može biti:

- prostorno koje zavisi od sve tri koordinate:

),,,( τzyxft = ,

- ravansko ili dvodimenzionalno zavisi od dve koordinate:

( )τ,, yxft = 0=∂∂z

t

- jednodimenzionalno polje, zavidi samo od jedne koordinate:

( ) 0,0,, =∂∂=

∂∂=

z

t

y

txft τ

Pri opisu polaznog modela često se koristi procena da su promene temperature u

odnosu na neke koordinate prostora zanemarljivo male u odnosu na dominantne

promene temperature samo u jednom smeru. U svakom telu gde postoji razlika u

temperaturama dolazi do toplotnog protoka.

Kako u pojedinim tačkama temperaturnog polja temperatura može da ima istu

vrednost, to se spajanjem tačaka istih temperatura dobijaju površine u prostoru koje se

nazivaju izotermske površine. Temperatura se menja od površine do površine i one se ne

mogu meñu sobom seći. Ako se izotermske površine preseku sa jednom ravni dobija se

familija izotermi tj. skup linija istih temperatura. Duž izoterme i temperatura se ne

menja. U svakom drugom pravcu postoji promena temperature.

Postojanje temperaturnog polja ukazuje na postojanje razlike temperatura

susednih čestica, pa je to uzrok nastanku transporta toplote kroz materiju u smeru pada

temperature.

0nn

ttgrad

r

∂∂=

Termotehnika

58

gde je 0nr

- jedinični vektor u pravcu normale na izotermsku površinu

n - normala na izotermu.

Vektor grad t usmeren je u smeru povećanja temperature.

Slika 38. Izotermske linije

Toplotni protork, toplotni fluks ili termički fluks je količina toplote koja u jedinici

vremena proñe kroz proizvoljnu površinu:

==s

JW

QQ ,

τ&

Količina toplote koja proñe kroz jedinicu neke površine u jedinici vremena naziva

se specifičnim toplotnim protokom:

A

Qq

&

& = ,

2m

W

Furije je 1822. godine prvi postavio zakon provoñenja toplote po kome je

uspostavio direktnu zavisnost izmeñu specifičnog toplotnog protoka i gradijenta

temperature (Furijeov zakon):

λ−=qr

grad t

gde je λ

mK

Wkoeficijent toplotne provodljivosti i on predstavlja toplotnu karakteristiku

materijala. Znak minus znači da se toplota prostire u pravcu smanjenja temperature.

Koeficijent toplotne provodljivosti zavisi od vrste materijala i njegove gustine, pritiska i

temperature. Naslabiji provodnici toplote su gasovi, a najbolji metali. Kao izolatori

toplote upotrebljavaju se šamot, staklena vuna, azbest i dr.

6.2.2. Diferencijalna jednačina prostiranja toplote

Posmatra se telo koje se zagreva (ili hladi) iz koga se izdvaja elementarni

paralelopiped ivica dx, dy, dz. Neka u ovaj elementarni paralelopiped ulazi količina

toplote u pravcu x, y i z ose, redom zyx qqq ,, a neka iz njega izlazi količina toplote po

pomenutim pravcima dyydxx qq ++ , i dzzq + . Pretpostavlja se da u posmatranoj kontrolnoj

zapremini nema izvora niti ponora toplote.

Prostiranje toplote

59

Slika 39. Element kontrolisane zapremine

Dovedena i odvedena količina toplote elementarnom paralelopipedu iznosi:

zyx qqqq ++=1

dzzdyydxx qqqq +++ ++=2

Usled razlike izmeñu dovedene i odvedene količine toplote doći se do promene

temperature :

21 qqdq −=

Na osnovu Furijevog zakona mogu se napisati sledeće jednakosti za dovedenu i

odvedenu količinu toplote:

τλ dydzdx

tq xx ∂

∂−= dxx

qqq x

xdxx ∂∂

+=+

τλ dxdzdy

tq yy ∂

∂−= dyy

qqq y

ydyy ∂∂

+=+

τλ dxdydz

tq zz ∂

∂−= dzz

qqq z

zdzz ∂∂+=+

dzz

qqdy

y

qqdx

x

qqqqqqqdq z

zy

yx

xzyx ∂∂

−−∂

∂−−

∂∂

−−++=−= 21

∂∂+

∂∂+

∂∂−= dzq

zdyq

ydxq

xdq zyx

τλτλτλ dxdydzdz

t

zdxdydzd

y

t

ydxdydzd

x

t

xdq zyx

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

Usled promene količine toplote dolazi i do promene temperature u vremenu dτ tj.

do promene unutrašnje energije:

ττ

ρ dt

dxdydzcdq∂∂=

Nakon izjednačavanja izraza za toplotu i sreñivanjem dobija se:

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

z

t

zy

t

yx

t

x

tc zyx λλλ

τρ

Termotehnika

60

Za homogenu sredinu važi da je λλλλ === zyx , pa gornji izraz glasi:

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

2

2

z

t

y

t

x

ttc λ

τρ

Ako u kontrolnoj zapremini postoje izvori ili ponori toplotne energije iq onda se

izraz može napisati u sledećem obliku koji predstavlja diferencijalnu jednačinu

temperaturnog polja ili Furijeovu jednačinu.:

ρτ c

q

z

t

y

t

x

ta

t i&±

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

2

2

gde je ρλc

a =

s

m2

koeficijent temperaturske provodnosti koji karakteriše brzinu

promene temperature u bilo kojoj tački tela. Ako u telu nema unutrašnjih izvora tolote

Furijeova jednačina glasi:

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

2

2

2

2

2

2

z

t

y

t

x

ta

t

τ

Ako analiziramo prethodnu jednačinu može se zaključiti sledeće:

- ako je proces prostiranja toplote stacioniran onda je 0=∂∂τt

, a ako je nestacioniran

onda ovaj član postoji u izrazu;

- ako je problem ravanski onda je 02

2

=∂∂z

t;

- ako se posmatra jednodimenzionalno prostiranje toplote onda je 02

2

2

2

=∂∂=

∂∂

z

t

y

t pa

Furijeova jednačina za ovaj slučaj ima oblik:

02

2

=∂∂x

t

odakle se rešavanjem dobija:

21 CxCt +=

Iz poslednjeg izraza se vidi da je kod jednodimenzionalnih stacioniranih problema

raspodela temperature pravolinijska.

U zavisnosti od složenosti problema rešavanje diferencijalne jednačine

provoñenja toplote je manje ili više matematički otežano, a za rešavanje problema

potrebno je znati početne i granične uslove. Početni uslovi definišu raspored

temperature unutar tela u početnom trenutku vremena. Granični uslovi definišu

odvijanje procesa na graničnim površinama tela. Postoje tri vrste graničnih uslova:

- granični uslovi prve vrste, gde je poznata raspodela temperature st na površini

tela:

),,,( τzyxft s =

- granični uslovi druge vrste, gde se zadaje toplotni fluks:

),,,( τzyxfqs =&

Prostiranje toplote

61

- granični uslovi treće vrste, gde se zadaje temperatura spoljne okoline ot i zakon

razmene toplote izmeñu spoljašnje (granične) površine tela i spoljašnje okoline (najčešće

se definiše Njutnovim zakonom prelaza toplote):

)( 0ttq ss −±= α&

gde su:

-

Km

W2

α koeficijent proporcionalnosti tj. koeficijent prelaza toplote i

- st temperatura površine.

Koji će se od ova tri granična uslova primeniti zavisi od konkretnog problema.

6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz ravan zid

Posmatra se jednoslojni homogeni ravan zid debljine δ koeficijenta toplotne

provodljivosti λ. Na spoljašnjim površinama zida održavaju se temperature 1t i 2t ali

tako da je 1t > 2t . Obzirom na konstantnost ovih temperatura spoljašnje površine su

izotermske površine a prostiranje toplote se odvija od površine "1" ka površini "2".

Navedeni problem je stacionaran i kako nema unutrašnjih izvora toplote a

provoñenje toplote se odvija samo u x pravcu to Furijeova parcijalna diferencijalna

jednačina ima oblik:

02

2

=∂∂x

t

odakle se dobija

1Cdx

dt = → 21 CxCt +=

Slika 40. Jednoslojni ravan zid

Konstante 1C i 2C nalaze se pomoću graničnih uslova prve vrste:

� za 0=x 1tt =

� za δ=x 2tt =

Termotehnika

62

δδ2112

1

ttttC

−−=

−=

12 tC =

Raspodela temperature po debljini zida (temperaturno polje u zidu) definisano je

izrazom:

xtt

ttδ

211

−−=

Specifični toplotni protok kroz zid iznosi:

( )211 ttCdx

dtq −=−=−=

δλλλ&

Toplotni fluks kroz jednoslojan ravan zid je:

( )AttAqQ 21 −==δλ

&&

a količina toplote koju provodi jednoslojan ravan zid je:

( ) τδλτ AttQQ 21 −== &

gde je δλ

toplotna provodljivost zida i A površina zida. Recipročna vrednost toplotne

provodljivosti je λδ

predstavlja specifični toplotni otpor kroz jednoslojni ravan zid.

Za ravan zid sastavljen iz više slojeva može se za svaki sloj primeniti Furijeov

zakon jer je pri stacionarnom provoñenju toplote specifični toplotni protok isti kroz sve

slojeve zida. Za višeslojni ravan zid sastavljen iz različitih slojeva debljine ,,...,, 321 nδδδδ

čiji su koeficijenti toplotne provodljivosti ,,...,,, 321 nλλλλ važi:

( ) ( ) ( ) ( )1433

332

2

221

1

1 ... +−==−=−=−= nnn

n ttttttttqδλ

δλ

δλ

δλ

odakle se dobija

n

nnn qtt

qtt

qtt

qtt

λδ

λδλδλδ

=−

−−−−−−−−

=−

=−

=−

+1

3

343

2

232

1

121

Sabiranjem sistema jednačina dobija se:

Prostiranje toplote

63

∑=

++ −=

++++

−=

n

i i

i

n

n

n

n ttttq

1

11

3

3

2

2

1

1

11

...λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

Slika 41. Višeslojni ravan zid

Ako je nepoznata temperatura na kontaktu izmeñu dva sloja, može se izračunati

iz prethodnih jednačina u obliku:

λλδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

λδλδ

qRtqtqtqtt

qtqtt

qtt

n

i i

i

n

n

n

nnn −=−=

+++−=−=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

+−=−=

−=

∑=−

−

−

−− 1

11

1

1

2

2

1

11

1

11

2

2

1

11

2

223

1

112

...

gde je λR ukupni specifični toplotni otpor višeslojnog ravnog zida.

6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz cilindričan zid

Provoñenje toplote kroz cilindričan zid je principijelno isto kao kod ravnog zida, s

tim što su u ovom slučaju izotermske površine koncentrični krugovi. Posmatra se

jednoslojni cilindrični zid tj. cev dužine 1, debljine δ, koeficijenta toplotne provodljivosti

λ, unutrašnjeg i spoljašnjeg prečnika 1d i 2d , kao na slici. Neka se na unutrašnjoj

površini zida održava konstantna temperatura 1t , a na spoljašnjoj površini 2t , tako da je

1t > 2t .

Termotehnika

64

Slika 42. Jednoslojni cilindrični zid (cev)

Za izdvojeni cilindar elementarne debljine dr , u kome je elementarna promena

temperature dt , provodi se količina toplote:

τπλτλdr

dtrlA

dr

dtQ 2−=−=

pa je toplotni protok odreñen iz izraza:

dr

dtlr

QQ λπ

τ2−==&

Razdvajanjem promenljivih i integracijom dobija se temperaturno polje u

cilindričnom zidu kao:

Crl

Qt

r

dr

l

Qdt

+=

−=

ln2

2

πλ

πλ&

&

Granični uslovi prve vrste u ovom slučaju glase:

� za 1rr = 1tt =

� za 2rr = 2tt =

Crl

Qt

Crl

Qt

+−=

+−=

22

11

ln2

ln2

πλ

πλ&

&

Toplotni protok kroz jednoslojni cilindričan zid iznosi:

1

2

2121

1

2 ln2

1)(

ln

2

d

d

l

tttt

r

rl

Q

πλ

πλ −=−=&

Prostiranje toplote

65

Za cev dužine 1m dobija se da je termički fluks:

−==m

W

d

dtt

l

QQ ,

ln2

1

1

2

21

πλ

&

gde je izraz 1

2ln2

1

d

d

πλtoplotni otpor zida. Jednačina promene temperature kroz

jednoslojni cilindrični zid ima oblik:

1

1

2

211 ln

ln d

d

d

dtt

tt−−=

iz koga se vidi da je promena temperature logaritamska kriva.

Posmatrajmo višeslojni cilindričan zid sastavljen iz više koaksialnih cilindričnih

slojeva prečnika ndddd ,...,,, 321 , koeficijenata toplotne provodljivosti nλλλλ ,...,,, 321 i

dužine l.

Slika 43. Višeslojni cilindričan zid

Za slučaj višeslojnog cilindričnog zida toplotni protok je jednak za svaki sloj.

n

n

nnn

d

dtt

l

d

dtt

l

d

dtt

lQ1

1

2

3

322

1

2

211

ln2...

ln2

ln2

+

+−==

−=

−= πλπλπλ&

gde je n broj slojeva. Iz prethodnog izraza dobija se:

Termotehnika

66

n

n

nnn d

dqtt

d

dqtt

d

dqtt

11

2

3

232

1

2

121

ln2

ln2

ln2

++ =−

−−−−−−−−−−−−

=−

=−

πλ

πλ

πλ

&

&

&

odakle se sabiranjem dobija:

i

in

i

n

n

n

n

n

d

dtt

q

d

d

d

d

d

dtt

q

1

1

11

1

2

3

21

2

1

11

ln1

2

1

ln2

1...ln

2

1ln

2

1

+

+

+

+

∑

−=

+++

−=

λπ

πλπλπλ

Temperature na pojedinim slojevima zida mogu se izračunati iz sledećih izraza:

∑+++

− −=

++−=−=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

+−=−=

−=

n

i

i

in

n

nn

n

nnn d

dqt

d

d

d

dqt

d

dqtt

d

d

d

dqt

d

dqtt

d

dqtt

1

11

1

1

2

21

11

2

31

21

2

11

2

3

223

1

2

112

ln1

2ln

1...ln

1

2ln

2

ln1

ln1

2ln

2

ln2

λπλλππλ

λλππλ

πλ

6.3. KONVEKTIVNO PROSTIRANJE TOPLOTE

Konvekcija ili prelaz toplote predstavlja vrlo čest način prostiranja toplote i vrši

se na osnovu kretanja fluida. Kada fluid u kretanju dodiruje neki zid dolazi do

prostiranja toplote izmeñu zida i fluida. U zavisnosti od toga da li je zid na višoj ili nižoj

temperaturi od fluida nastaće prostiranje toplote sa zida na fluid, odnosno sa fluida na

zid. Ovakav način prostiranja toplote se u najvećem broju slučajeva odvija prirodnim

strujanjem fluida - prirodna konvekcija. Ako je strujanje fluida prouzrokovano mašinom

(pumpom ili ventilatorom) takav mehanizam prostiranja toplote se naziva prinudna

konvekcija.

Za ovakav način prostiranja toplote Njutn je postavio zakon po kome je količina

toplote koja prelazi sa fluida na površinu koja je sa njim u dodiru data izrazom:

Prostiranje toplote

67

( ) τα AttQ zf −=

gde su:

α

Km

W2

- koeficijent prelaza toplote,

[ ]Ct of - temperatura fluida,

[ ]Ct oz - temperatura zida,

[ ]2mA - dodirna površina izmeñu fluida i zida,

[ ]sτ - vreme.

Posmatrajmo jednoslojni ravan zid debljine δ, toplotne provodljivosti λ koji se

nalazi izmeñu dva fluida temperatura It i IIt , sa koeficijentima prelaza toplote 1α i 2α

koji su konstantni. Prema Njutnovom zakonu sa fluida I na zid preñe količina toplote:

( ) τα AttQ I 11 −=

koja se pri stacionarnim uslovima provede kroz zid:

( ) τδλ

AttQ 21 −=

Ista količina toplote se prostire sa zida na drugi fluid, pa po Njutnovom zakonu važi:

( ) τα AttQ II−= 22

U navedenom primeru javlja se kombinovano prostiranje toplote koje se sastoji od

konvekcije (sa fluida na zid), kondukcije (kroz zid) i ponovo konvekcije (sa zida na fluid).

Ovako kombinovano prostiranje toplote se naziva PROLAZ TOPLOTE.

Slika 44. Prolaz toplote kroz jednoslojni ravan zid

Ako se iz prethodnih izraza eliminišu temperature 1t i 2t na površinama zida

dobija se izraz za količinu toplote koja se provede sa jednog na drugi fluid:

( ) ττ

αλδ

α

AttkAtt

Q IIIIII −=++

−=

21

11

Termotehnika

68

++= K

m

Wk

2

21

111

αλδ

α

gde je k koeficijent prolaza toplote.

Ako se posmatra prolaz toplote kroz višeslojni ravan zid debljina nδδδ ,...,, 21 sa

koeficijentima prolaza toplote ,,...,, 21 nλλλ sa koeficijentom prelaza toplote 1α i 2α izraz

za količinu toplote koja se predaje sa jednog na drugi fluid glasi:.

( ) ττ

αλδ

α

AttkAtt

Q IIIn

i i

i

III −=++

−=∑

= 211

11

++=∑

=

Km

Wk

n

i i

i2

211

111

αλδ

α

Slika 45. Prolaz toplote kroz višeslojni ravan zid

Toplotni otpor prolaženju toplote za višeslojni ravan zid iznosi:

211

111

αλδ

α ∑=++==

n

i i

ik k

R

Količina toplote koja se predaje sa jednog na drugi fluid koji su razdvojeni

jednoslojnim cilindričnim zidom odreñena je izrazom:

( ) τ

παπλπα

τ l

dd

d

d

ttlttkQ III

IIIc

221

2

11

1ln

2

11 ++

−=−=

221

2

11

1ln

2

111

παπλπα dd

d

d

kc

++=

Prostiranje toplote

69

gde je ck koeficijent prolaza toplote jednoslojnog cilindričnog zida.

Ako su fluidi razdvojeni višeslojnim cilindričnim zidom prethodni izrazi imaju

oblik:

( ) τ

παπλπα

τ l

dd

d

d

ttlttkQ

n

n

i i

i

i

IIIIIIc

211

1

11

1ln

2

11

+=

+ ++

−=−=

∑

211

1

11

1ln

2

111

παπλπα +=

+ ++=

∑n

n

i i

i

i

c

dd

d

d

k

pri čemu je toplotni otpor višeslojnog cilindričnog zida

cc k

R1= .

6.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRAČENJEM

Kod ovog načina prostiranja toplote, toplota zagrejanog tela prvo prelazi u

energiju zračenja, a zatim se pomoću elektromagnetnih talasa prenosi na telo u kome se

absorbuje i ponovo prelazi u toplotnu energiju. Ovaj način prostiranja toplote je osetan

samo na višim temperaturama. Energija zračenja se prenosi elektromagnetnim talasima

čija je brzina prostiranja:

vc λ=

gde je

λ – talasna dužina i

ν – frekvencija elektromagnetnih talasa.

Prenos energije zračenjem vrši se elektromagnetnim talasima svih talasnih

dužina, ali se toplotna energija zračenja prenosi toplotnim zracima čija je talasna dužina

λ= (0.08-400)310−⋅ mm. Zračenje zavisi od prirode materije i od njene temperature, zbog

čega se i naziva temperaturskim zračenjem.

Ukupna energija koju zrači 1 m2 neke površine u jedinici vremena naziva se sjaj

površine. U njoj može biti sadržano:

1. Zračenje koje je nastalo u samom telu, tzv. emitovano zračenje,

2. Zračenje koje je nastalo u nekom drugom telu, dozračeno je na posmatrano

telo pa se sa njegove površine reflektuje tzv. reflektovano zračenje,

3. Zračenje dozračeno sa drugog tela i prolazi kroz posmatrano telo, tzv. prolazno

zračenje.

Prema tome toplotni zraci koji padaju na posmatrano telo delom se aposrbuju,

delom reflektuju a jedan deo proñe kroz telo u vidu oslabljenog zraka, pa važi jednakost:

1=++=++

=++

draE

E

E

E

E

E

EEEE

dra

dra

gde su:

E - ukupna dozračena energija,

Termotehnika

70

dra EEE ,, - delovi energije koji su apsorbovani, reflektovani i propušteni,

rE

Ea

E

E ra == , , dE

Ed = - koeficijenti absorpcije, refleksije i dijatermije (prozračnosti).

Čvrsta tela, čak i male debljine, su praktično neprozračna za toplotne zrake (d=0)

pa za njih važi izraz:

1=+=+ raE

E

E

E ra

Telo koje potpuno apsorbuje svu dozračenu toplotnu energiju naziva se apsolutno

crno telo. Za ovo telo je a=1. Zračenje apsolutno crnog tela naziva se crnim zračenjem i

zavisi isključivo od temperature i ono predstavlja maksimalno moguće zračenje pri datoj

temperaturi.

Apsolutno belo telo je ono telo koje potpuno reflektuje svu dozračenu toplotnu

energiju (telo u potpunosti odbija dozračenu energiju) i za njega važi r=1. U prirodi ne

postoje ni apsolutno crno telo, ni apsolutno belo telo.

Za stvarna tela uvek je a < 1 pa stvarno telo temperature T zrači energiju E koja

je manja od energije Ec koju bi pri istoj temperatri zračilo apsolutno crno telo. Zato se

stvarna tela nazivaju "sivim telima". Odnos toplotne energije E koju zrači neko stvarno

telo na nekoj temperaturi i toplotne energije apsolutno crnog tela cE na istoj toj

temperaturi naziva se koeficijent emisije ili stepen crnoće:

cE

E=ε <1

Kod apsolutnog crnog tela ε=1. Koeficijent emisije zračenja zavisi od temperature

i stanja površine posmatranog tela (glatka, polirana, tamna, sjajna) i nije isti u svim

pravcima. Koeficijent emisije jednak koeficijentu apsorpcije tj. a = ε, tj. ako neko telo

jako emituje toplotno zračenje ono ga jako i apsorbuje (Kirkohov zakon).

Slika 46. Primeri zračenja površine tela:

(a) ogledalo, (b) crno telo, (c) glatka površina, (d) bela površina, (d) hrapava površina

Naučnici Stefan i Bolcman su dokazali da toplotna energija zračenja apsolutnog

crnog zavisi od temeperature tj. da je proporcionalna četvrtom stepenu temperature

površine: 4

100

= TCE cc

Prostiranje toplote

71

gde je 42

81076,5Km

WCc

−⋅= konstantna zračenja apsolutnog crnog tela koja. Ovaj izraz

predstavlja Stefan-Bolcmanov zakon.

Energija koju zrači siva površina na istoj temperaturi iznosi:

44

100100

=

== TC

TCEE cc εε

gde je cCC ε= konstanta zračenja sivog tela. Koeficijenti emisije za neke materijale

iznose: za aluminijum ε=0,052, za bakar slabo oksidiran ε=0,037, za gvožñe slabo zarñalo

ε=0,610, za staklo ε=0,940 i za gumu i malter ε=0,950.

Do sada je razmatrano zračenje tela tj. jedne površine koja zrači. U praksi je češći

slučaj dve površine koje zrače. U najopštijem slučaju površine mogu imati proizvoljan

položaj u prostoru. Ovde će se razmatrati slučaj razmene toplote zračenjem izmeñu dve

paralelne ploče čije su dimenzije znatno veće od njihovog meñusobnog rastojanja.

Površina I ima temperaturu 1T , konstantu zračenja cCC 11 ε= i koeficijent apsorcije 1a ,

dok površina II na temperaturi 2T < 1T ima analogno cCCT 222 , ε= i 2a .

Slika 47. Zračenje izmeñu paralelnih ploča

Površina I zrači energiju 1E a površina II energiju 2E koje su odreñene Stefan-

Bolcmanovim zakonom. Obzirom da su površine blizu jedna drugoj "sjaj" površine I čini i

energija koju ova površina reflektuje, a dozračena je od površine II. Ukupna efektivna

energija koju zrači površina I iznosi:

( ) efef EaEE 2111 1−+=

Analogno važi i za površinu II pa se je ukupna efektivna energija koju zrači

površina II:

( ) efef EaEE 1222 1−+=

Iz pretodnih jednačina nalazi se da su efektni fluksevi energije koje odaju

površine I i II odreñeni izrazima:

2121

12212

2121

21211

aaaa

EaEEE

aaaa

EaEEE

ef

ef

−+−+=

−+−+=

Toplota koja se razmeni zračenjem izmeñu posmatranih površina tj. izmeñu dve

beskonačne paralelne ploče iznosi:

Termotehnika

72

2121

211221 aaaa

EaEaEEE efef −+

−=−=

Primenom Stefan – Bolcmanovog zakona dobija se da je:

4

22

4

22

4

222

4

11

4

11

4

111

100100100

100100100

=

=

=

=

=

=

TCa

TC

TCE

TCa

TC

TCE

cc

cc

ε

ε

111

1

1111

100100

21

21

12

4

2

4

112

−+=

⋅=−+

=

−

=

εε

ε

ε

red

redc

c

C

CCC

C

TTCE

gde je 12C efektivna konstanta zračenja.

PITANJA

1. Kada nastaje prostranje toplote i čime je odreñen smer prostiranja toplote?

2. Koji su osnovni mehanitmi prostiranja toplote?

3. Objasniti razmenu toplote provoñenjem.

4. Objasniti razmenu toplote prelaženjem.

5. Objasniti razmenu toplote prolaženjem.

6. Uporediti temperatursku raspodelu kroz ravan i cilindričan zid priprovoñenju

toplote.

7. Šta je i kako se definiše koeficijent provoñenja toplote?

8. Uporediti prirodnu i prinudnu konvekciju.

9. Od kojih veličina zavisi koeficijent prelaženja toplote?

10. Napisati izraze za specifični toplotni protok kroz jednoslojni i višeslojni ravan i

cilindričan zid. Uporediti ih.

11. Objasniti razmenu toplote zračenjem.

12. Šta je apsolutno belo, a šta apsolutno crno telo?

13. Šta je sivo telo?

14. Napisati izraz za Štefan-Bolcmanov zakon.

15. Objasniti Kirhofov zakon zračenja.

16. Šta je emisivnost?

17. Napisati izraz za specifični toplotni protok koji se razmeni pri zračenju dva tela

na različitim temperaturama.