Download - 234869875 TF Termotehnika Skripta
UNIVERZITET U KRAGUJEVCU
TEHNIČKI FAKULTET ČAČAK
SNEŽANA DRAGIĆEVIĆ
TERMOTEHNIKA
Čačak, 2009.
SADRŽAJ
1. UVOD U TERMOTEHNIKU
1.1. OSNOVNI POJMOVI 1
1.2. ISTORIJSKI RAZVOJ 2
1.3. RADNO TELO 4
1.4. OSOBINE IDEALNOG GASA 7
2. VELIČINE STANJA. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA
2.1. OSNOVNE TERMODINAMIČKE VELIČINE STANJA 9
2.1.1. Specifična zapremina 10
2.1.2. Pritisak 11
2.1.3. Temperatura 12
2.2. ZAKONI IDEALNIH GASOVA 13
2.2.1. Bojl – Mariotov zakon 13
2.2.2. Gej – Lisakov zakon 14
2.2.3. Šarlov zakon 15
2.4. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA 16
2.5. MEŠAVINE IDEALNIH GASOVA 18
3. ZAKONI TERMODINAMIKE
3.1. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE 21
3.1.1. Toplotni kapaciteti 24
3.1.2. Entalpija 26
3.2. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE 27
4. PROMENE STANJA IDEALNIH GASOVA
4.1. VRSTE PROMENA STANJA 31
4.2. POLITROPSK A PROMENA STANJA 31
4.3. IZOHORSKA PROMENA STANJA 34
4.4. IZOBARSKA PROMENA STANJA 35
4.5. IZOTERMSKA PROMENA STANJA 36
4.6. ADIJABATSKA PROMENA STANJA 37
5. KRUŽNI PROCESI
5.1. VRSTE KRUŽNIH PROCESA 41
5.2. KARNOTOV KRUŽNI PROCES 44
5.3. PROCESI U MOTORIMA 46
5.3.1. Otov kružni proces 47
5.3.2. Dizelov kružni proces 50
5.4. PROCESI GASNIH TURBINA 52
6. PROSTIRANJE TOPLOTE
6.1. NAČINI PROSTIRANJA TOPLOTE 55
6.2. PROSTIRANJE TOPLOTE PROVOĐENJEM 57
6.2.1. Temperaturno polje 57
6.2.2. Diferencijalna jednačina prostiranja toplote 58
6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz ravan zid 61
6.2.4. Stacionarno provoñenje toplote kroz cilindričan zid 63
6.3. KONVEKTIVNO PROSTIRANJE TOPLOTE 66
6.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRAČENJEM 69
1
1. UVOD U TERMOTEHNIKU
1.1. OSNOVNI POJMOVI
1.2. ISTORIJSKI RAZVOJ
1.3. RADNO TELO
1.4. OSOBINE IDEALNOG GASA
1.1. OSNOVNI POJMOVI
Termodinamika je nauka koja proučava pojave nastale meñusobnim
pretvaranjem toplotne i drugih oblika energije (mehaničke, hemijske, električne).
Termodinamika se razvila iz saznanja koja su dobijena eksperimentima i zasniva se na
eksperimentalno utvrñenim zakonima, tj. prvom i drugom zakonu termodinamike.
Termodinamika se deli na tehničku, hemijsku i fizičku (opštu) termodinamiku.
Tehnička termodinamika ili termotehnika je nauka koja proučava fizičke pojave
vezane za pretvaranje toplotne energije u mehanički rad i obrnuto: procesi u parnim
mašinama, SUS motorima tj. motorima sa unutrašnjim sagorevenjem, kompresorima,
mašinama za hlañenje, itd.
Energija je svuda oko nas. Razni oblici energije mogu da se zapaze u prirodi:
energija kretanja spoljašnjih vidljivih tela-mehanička ili kinetička energija.
Znamo da se radom, npr. trljanjem, mehanička energija pretvara u toplotnu
(dobijanje vatre u staro doba). Ovo pretvaranje je relativno lagano i potpuno, što znači da
se sav utrošeni rad pretvara u toplotnu energiju. Takoñe je poznato da se toplota može
pretvoriti u mehanički rad. Heron Aleksandrijski zapazio je da voda grejanjem provri i
isparava tako da se parom dobijenom iz vode može vršiti rad. Meñutim, ovo pretvaranje
toplote u rad nije jednostavno i nikad nije potpuno. Rešavanje odnosa kod pretvaranja
rada u toplotu, odnosno toplote u mehanički rad, dovelo je do razvoja termodinamike kao
nauke.
Slika 1. Heronov aeolipil se smatra pretečom parne mašine
Termotehnika
2
Pronalazak parne mašine i njena primena u transportu i proizvodnji, dovela je do
naglog razvoja industrije koja je zahtevala sve veće i ekonomičnije mašine. Da bi se tom
zahtevu udovoljilo, bilo je nužno proučiti procese koji se u tim mašinama dešavaju. To je
bio osnovni i prvi zadatak termodinamike. Zato možemo da kažemo da se termodinamika
javila i razvila kao teorijska osnova termotehnike. Naravno, ona je u svom daljem
razvoju izašla vrlo brzo iz tih okvira i uključila se u istraživanja mnogih fizičkih,
hemijskih i drugih procesa. Dakle, termodinamika se razvila, istorijski gledano, kroz
rešavanje problema parne mašine, odnosno proučavanjem mehanizma pretvaranja
toplote u mehanički rad, saznanja dobijenih eksperimentima i zasniva se na
eksperimentalno utvrñenim zakonima, tj. zakonima termodinamike.
1.2. ISTORIJSKI RAZVOJ
Kad je francuski inženjer Sadi Carnot 1824. godine objavio svoj
rad pod naslovom ″Pogled na pokretačku silu toplote i na mašine koje
tu silu mogu iskoristiti″ utemeljio je novu nauku - termodinamiku.
Pre njega su se mnogi bavili toplotnim pojavama i već su bila stečena
praktična iskustva u izgradnji toplotnih mašina, posebno parnih, ali
Sadi Carnot je prvi put uopšteno obradio problem dobijanja korisnog
rada iz toplote. Poslužio se pojmom idealne mašine, koja bi radila sa
idealnim radnim telom bez trenja i to u povratnom procesu. Njegova
razmišljanja dovela su do otkrića prirodnog zakona koji važi sasvim uopšteno, a koji
danas nazivamo drugi zakon termodinamike. Tada se još nije mnogo znalo o značaju
iskorišćenosti toplote u naučne svrhe. U zapisima koji su objavljeni 40 godina nakon
njegove smrti, nalazi se prvi oblikovani princip o ekvivalentnosti toplote i rada po kojem
se rad može pretvoriti u toplotu kao i toplota u rad. On je postavio i uslove koji moraju
biti ispunjeni da bi se ostvarilo optimalno pretvaranje toplote u mehanički rad.
Princip o ekvivalentnosti toplote i rada 1842. godine postavio je
Robert Julius Mayer, a 1845. godine je proširio stav u opšti zakon o
održanju energije koji glasi: ″ Suma svih oblika energije u zatvorenom
sistemu je konstantna″ ili drugim rečima ″Energija može prelaziti iz
jednog oblika u drugi, ali ne može nastati ili nestati″. Ovaj zakon
analogan je zakonu Lavoasiera o održanju materije koji glasi:
"Količina materije u izolovanom sastavu je konstantna". R.J. Mayer je,
prema tome, pronalazač prvog zakona termodinamike, tj. zakona o
održanju energije koji je i danas priznat kao jedan od najvažnijih aksioma.
R.J.Mayer poznat je i po radovima o zakonu o održanju energije koje je objavio
izmeñu 1842. i 1848. godine, ali tada nisu bili dovoljno zapaženi. Tek kasnije, kada je
J.P.Joule objavio svoje radove koji su eksperimentalno podržali Mayerove radove odato
mu je priznanje.
Uvod u termotehniku
3
James Prescott Joule je nezavisno od Mayerovih teoretskih
razmatranja dao izmeñu 1843. i 1848. eksperimentalne osnove za prvi
zakon termodinamike vešto izvedenim eksperimentima. On je 1840.
godine izveo eksperiment u kojem je odredio mehanički ekvivalent
toplote: rad od 427 kpm poveća temperaturu 1kg vode za 1 oC , a ta
količina toplote je 1 kcal = 4.1868 kJ. Ovi eksperimenti posle 60 godina
postali su temelj za jasnu definiciju pojma unutrašnje energije koja je
karakteristična veličina stanja za prvi zakon termodinamike.
Rudolf Clausius je na osnovu razmišljanja i rezultata
Carnota, Mayera i Joulea uspeo 1850. godine jasno oblikovati oba
zakona termodinamike. On je dao prvu kvantitativnu formulaciju
prvog zakona pomoću jednačine koja povezuje toplotu, rad i
unutrašnju energiju. Za oblikovanje drugog zakona termodinamike
uveo je jednu novu veličinu koju je prvo nazvao koeficijent
pretvaranja, a 1865. godine entropija. Pojam entropije ima i danas
važanu ulogu u termodinamici. Pored njegovih poznatih radova o
termodinamici, potrebno je navesti i radove o kinetičkoj teoriji gasa.
Gotovo istovremeno uspelo je W. Thomsonu (lord Kelvin)
nezavisno o R. Clausiusa da postavi druge oblike drugog zakona
termodinamike. Poznat je njegov zakon o rasipanju energije, po kojem
se kod svih prirodnih procesa količina energije, koja može vršiti rad,
smanjuje. 1848. godine W.Thomson je saznao da iz Carnotovih
istraživanja, dakle iz drugog zakona, nužno sledi postojanje jedne
univerzalne temperaturne skale koja je nezavisna od svojstava
pojedinih toplomera. Pored termodinamičkih istraživanja, bavio se i
elektrotehničkim problemima. Konstruisao je veliki broj aparata za
fizička merenja.
Otto je poznat širom sveta po svom prvom četvorotaktnom
motoru sa unutrašnjim sagorevanjem. Prvi svoj motor napravio je
1861. godine, a 1876. za isti na Pariskoj izložbi dobio je Zlatnu
medalju. Neki literaturni podaci beleže da se radi o patentu nekog
drugoga, mada se isti još uvek pripisuje Nikolausu Ottu.
Termotehnika
4
Rudolf Diesel se još za vreme studija zanosio mišlju o motoru
sa unutrašnjim sagorevanjem kod kojeg bi se visokom kompresijom
radnog tela povećala ekonomičnost procesa. Motor je prvi put
proradio 1893. godine. Iste godine Rudolf Diesel je dobio patent za
svoj izum. Diesel je prvi put 1895 godine prikazao svoj motor sa
kompresijskim paljenjem. Profesor Schröter iz Münchena je 1897.
godine na probnom stolu ispitao Dieselov motor, kada je izmerio
snagu od 13,1 kW kod 154 min-1 i specifičnu potrošnju goriva od
324g/kWh, čime je po ekonomičnosti taj motor daleko nadmašio sve
tadašnje motore. 1900 godine na velikoj svetskoj izložbi u Parizu,
Rudolf Diesel je za svoj izum dobio veliku nagradu Grand Prix.
Ovo su samo neki od naučnika čiji je udeo bio bitan u razvoju termodinamike kao
nauke. Osim njih u njenom razvoju, a posebno u primeni termodinamičkih zakonitisti u
tehničkim procesima, učestvovali su i mnogi drugi naučnici.
1.3. RADNO TELO Pretvaranje jednog oblika energije u drugi zahteva primenu materije sposobne da
izvrši rad. Ta materija služi kao posrednik preko koga se vrši promena oblika energije i
naziva se radno telo. U posmatranom sistemu materijalnih tela radno telo je ono telo
koje se pri posmatranju izdvaja kao nosilac energije, pri čemu se ostala tela, u odnosu na
radno telo, smatraju kao okolna srdina tj. okolina. Radno telo može da bude čvrsto, tečno
ili gasovito.
Čvrsto telo je ono telo kod koga nema promene oblika ni zapremine, odnosno kod
koga je dejstvo meñumolekularnih privlačnih sila veliko i treba ga izložiti velikim silama
da bi mu se promenila zapremina ili oblik. Kod tečnih tela je postojana samo zapremina
dok se kod gasovitih tela javlja promena zapremine i lako menjanje oblika.
Radno telo u posmatranim uslovima poseduje veću ili manju sposobnost za
vršenje rada, odnosno ima manju ili veću sposobnost da menja svoje stanje ili da utiče na
promenu stanja drugih tela iz svoje okoline.
Radno telo može da bude ma koja materija ali najpodesnije u tehničkoj
termodinamici je radno telo u gasovitom agregatnom stanju: gasovi i pare. Gasovi kao
proizvod sagorevanja goriva, kao kod motora SUS, ili para koja se dobija u parnim
kotlovima primenjuju se za pogon parnih motora kao najpogodnije radno telo zbog svojih
osobina za lakim zauzimanjem što većeg prostora u svojoj okolini. Oni su najpogodniji
posrednici u pretvaranju toplotne energije u mehaničku energiju.
Pri posmatranju i analizi termodinamičkih procesa na izabranom radnom telu ili
skupu tela neophodno je odrediti prostornu oblast u kojoj se ono nalazi. Izabrani deo
prostora u cilju ispitivanja naziva se termodinamički sistem. Fizički posmatrano,
termodinamički sistem je odreñena količina materije, radno telo ili skup posmatranih
tela ograničenih granicom sistema. Sve što nije uključeno u sistem čini njegovu okolinu.
Granična površina koja razdvaja posmatrani sistem od njegove okoline ili drugih
sistema može biti:
� realna fizička površina i
� imaginarna površina.
Uvod u termotehniku
5
Realna fizička površina je ona površina koja se graniči i poklapa sa fizičkom
graničnom površinom tela. Veoma često se granica sistema ne poklapa sa fizičkim
granicama tela u kome se nalazi materija, pa je tada neophodno izdvojiti deo prostora
zamišljenim, imaginarnim površinama i u takvom termodinamičkom sistemu pratiti
pojave koje se u njemu odvijaju.
Termodinamički sistem sa njegovom okolinom može ostvariti energetsku i
masenu interakciju. Pri takvoj razmeni okolina se javlja kao energetski rezervoar koji
može biti:
� toplotni i
� radni.
Kod toplotnih rezervoara dolazi do razmene energije samo u obliku toplote i pri
tom se ne vrši nikakav rad. U zavisnosti od toga da li se toplotni rezervoar nalazi na
višoj ili nižoj temperaturi od temperature termodinamičkog sistema, rezervoari
predstavljaju izvore ili ponore energije.
Radni rezervoar razmenjuje sa izabranim termodinamičkim sistemom samo
energiju u obliku rada.
Granična površina sistema ne mora biti stalnog oblika i zapremine. Ako se
posmatra cilindar sa gasom kao radnim telom (sl.1.) u kome se klip kreće primećuje se
da se zapremina i položaj granične površine sistema menjaju.
U zavisnosti od osobina granične površine termodinamički sistem može biti:
� zatvoren,
� otvoren i
� izolovan.
Slika 1. Gas u cilindru kao primer promene granične površine sistema
Zatvoreni sistem je onaj kod koga nema razmene maea sa okolinom kroz graničnu
površinu sistema (npr. sistem prikazan na slici 1.). Pokretanjem klipa u cilindru sa
gasom (radnim telom) može se ostvariti razmena energije u vidu toplote ili rada kroz
graničnu površinu sistema. Ovde se može granična površina sistema poklopiti sa
fizičkom graničnom površinom cilindra i klipa.
Otvoren sistem je onaj kod koga se kroz graničnu površinu sistema može
razmenjivati masa sa okolinom. Na slici 2. prikazan je razmenjivač toplote kao primer
otvorenog sistema.
Termotehnika
6
Slika 2. Razmenjivač toplote kao primer otvorenog sistema
Izolovan sistem je takav sistem koji sa okolinom ne razmenjuje ni masu ni
energiju, pa izolovan sistem istovremeno predstavlja i zatvoren sistem.
Za sistem koji sa okolinom razmenjuje toplotnu energiju kažemo da je dijabatski
a ako nema razmene toplote sa okolinom onda je to adijabatski termodinamički sistem.
Često masu sistema nazivamo radno telo i ono je najčešće tečnost ili gas. Tako je
parnoj turbini radno telo vodena para, u vazdušnom kompresoru vazduh, u motorima
SUS produkti sagorevanja, u hidrauličnoj turbini voda i drugo.
Svi sistemi se mogu podeliti na:
� homogene i
� heterogene.
Homogeni sistem je takav sistem kod koga su hemijski sastav i fizičke osobine
iste u svim delovima posmatrnog sistema. Heterogeni sistem je takav sistem koji je
sastavljen iz više homogenih sistema odnosno faza. Na granici homogenih delova sistema
odnosno faza, osobine sistema se naglo menjaju (primer je tekuća voda u kojoj plivaju
jedan ili više komada leda.
Za neki sistem kažemo da je u termodinamičkoj ravnoteži ako u svakom delu toga
sistema vlada mehanička, termička i hemijska ravnoteža. Sve dok je neki sistem u
termodinamičkoj ravnoteži u njemu ne postoji spontana promena stanja.
Mehanička ravnoteža zahteva jednakost pritiska, odnosno da je ispunjen uslov da
je zbir svih sila jednak nuli, 0=ΣF , u svim pravcima. Na slici 3. dat je primer
mehaničke ravnoteže i to:
a. stabilne, gde se i najmanjim pomeranjem kugla vraća u prvobitni položaj,
b. indiferentne, gde se posle svakog pomeranja sistem vraća u stabilan položaj i
c. nestabilne ravnoteže, gde se pomeranjem kugla ne može više vratiti u prvobitan
položaj.
Sistem se nalazi u termičkoj ravnoteži kada svi njegovi delovi imaju istu
temperaturu. Kod heterogenog sistema, kod koga svaki od homogenih sistema ili delova
imaju istu temperaturu, termička ravnoteža se uspostavlja nakon izjednjačavanja
Uvod u termotehniku
7
njihovih temperatura i za tako uspostavljeno stanje gradijent temperature je jednak
nuli.
Hemijska ravnoteža nastaje kada je hemijski potencijal isti u svim delovima
sistema, odnosno kad u sistemu nema hemijskih reakcija.
a. b. c.
Slika 3. Primer mehaničke ravnoteže
1.4. OSOBINE IDEALNOG GASA
1
2
3
1
2
3
Pod pojmom idealnog gasa se podrazumeva gas čija su svojstva:
� molekuli gasa su materijalne tačke beskonačno malog prečnika i konačne
mase;
� kretanje molekula je po pravolinijskim putanjama;
� sudar izmeñu molekula je elastičan i centričan;
� meñumolekularne privlačne sile su zanemarljive;
Ovakav gas ne postoji u prirodi. Meñutim pojedini gasovi na odreñenim uslovima
u graničnom slučaju se ponašaju kao idealan gas. Gasovi se na niskim pritiscima i na
veoma visokim temperaturama približno ponašaju kao idealni gasovi. Što je gas dalje od
tečnog stanja, odnosno od stanja kondenzacije, rastojanje izmeñu molekula je veće pa su
meñumolekularne sile slabije. U tehničkoj praksi se najčešće sreću sledeći gasovi:
� jednoatomni gasovi: helijum, argon, kripton, ksenon, neon i dr.
� dvoatomni gasovi: kiseonik, azot, vodonik, ugljendioksid i dr.
� troatomni i višetomni gasovi: metan,etilen i dr.
� smeše gasova: vazduh, produkti sagorevanja u ložištima i motorima SUS.
Realni gasovi su oni gasovi kod kojih molekuli imaju konačne dimenzije a
meñumolekularne sile se ne smeju zanemariti.
Termotehnika
8
PITANJA
1. Šta je termodinamika i kada je nastala?
2. Šta je energija, koje je njeno bitno svojstvo?
3. Objasniti razliku izmedju unutrašnje, kinetičke i potencijalne energije?
4. Šta je termodinamički sistem i koje vrste termodinamičkih sistema postoje?
5. Šta je to okolina termodinamičkog sistema?
6. Šta se razmenjuje izmeñu sistema i okoline?
7. Šta je to homogeni termodinamički sistem ?
8. Šta je to heterogeni termodinamički sistem?
9. Šta je to otvoren termodinamički sistem?
10. Šta je to zatvoren termodinamički sistem?
11. Šta je to izolovan termodinamički sistem?
12. Šta je to adijabatski izolovan termodinamički sistem?
13. Šta je to adijabatska granična površina?
14. Šta je to dijatermična granična površina?
15. Kada je sistem u termodinamičkoj ravnoteži?
16. Kada postoji mehanička ravnoteža?
17. Kada postoji termička ravnoteža?
18. Kada postoji hemijske ravnoteže?
19. Šta se podrazumeva pod pojmom idealan gas?
20. Kada se gasovi mogu posmatrati kao idealni gasovi?
9
2. VELIČINE STANJA. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA
2.1. OSNOVNE TERMODINAMIČKE VELIČINE STANJA
2.1.1. Specifična zapremina
2.1.2. Pritisak
2.1.3. Temperatura
2.2. ZAKONI IDEALNIH GASOVA
2.2.1. Bojl – Mariotov zakon
2.2.2. Gej – Lisakov zakon
2.2.3. Šarlov zakon
2.4. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA
2.5. MEŠAVINE IDEALNIH GASOVA
2.1. OSNOVNE TERMODINAMIČKE VELIČINE STANJA
Fizičko, a samim tim i energetsko stanje nekog radnog tela definisano je ako su
poznate osnovne veličine stanja a to su:
� specifična zapremina,
� pritisak i
� temperatura.
Osobine odreñene spoljnim uticajem na radno telo nazivaju se veličinama
promene stanja, a to su:
� rad širenja W (specifični rad širenja w) i
� toplota Q (specifična količina toplote q).
Sve veličine stanja se dele na:
� intezivne i
� ekstezivne.
Intezivne veličine stanja ne zavise od mase sistema. Takve veličine su: pritisak,
temperatura, viskozitet i druge. Ekstezivne veličine zavise od mase sistema i njegovih
faza: količina materije, zapremina, energija i dr.
Osnovne veličine stanja se mogu izraziti sledećom analitičkom vezom oblika
f (p,v,T)=0 koja u trodimenzionalnom prostoru predstavlja površinu, kao što je prikazano
na slici 4.
Termotehnika
10
Slika 4. Prostorni dijagram
Tačkama A( 111 ,, Tvp ) i B( 22 ,vp , 2T ) odreñene su veličine stanja u početnom i
krajnjem trenutku vremena. Kriva 1 se naziva kriva promene stanja. Prelaz iz početnog
u krajnje stanje procesa može se ostvariti pomoću krivih ,..,,, 321 lll Za dalja proučavanja
bitne su veličine u krajnim tačkama procesa. Ako jednu od veličina stanja izrazimo u
funkciji od ostale dve veličine dobija se: ),(),,(),,( 321 pvfTTpfvTvfp ===
Slika 5. Ravanski p-V dijagram
2.1.1. Specifična zapremina
Masa nekog sistema je mera količine materije, dok je zapremina mera fizičke
veličine sistema.
Gustina ρ se može definisati kao masa jedinične zapremine: v
m=ρ .
Ova definicija važi za homogenu i neprekidnu sredinu. Meñutim ako je sredina
nehomogena, onda predhodni izraz predstavlja srednju gustinu.
Ako u proizvoljnom telu uoči mala zapremina fluida V∆ , mase m∆ , koja se
nalazi oko tačke M i ako V∆ teži nuli dobijamo:
Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine
11
,lim0 dV
dm
V
mV
=∆∆=
→∆ρ
3m
kg.
Gustina ρ je ovde gustina u tački M pa je: )(Mρρ = i ona zavisi od tačke u
prostoru. Recipročna vrednost gustine se naziva specifična zapremina:
,1
m
Vv ==
ρ
kg
m3
.
Na osnovu predhodno izloženih jednačina sledi da je:
1=⋅=m
V
V
mvρ
Najčešće se gustina i specifična zapremina raznih radnih tela daju pri normalnim
fizičkim uslovima a to su pritisak od pN=101325 Pa i temperaturi tN=0 C0, i te veličine
nose indeks N.
Ako bi se za jedinicu količine materije uveo mol, tada bi molarna gustina bila
definisana izrazom:
,V
nm =ρ
3m
mol
,n
VVm =
mol
m3
gde je n broj molova a Vm molarna zapremina.
Slika 6. Prikaz nehomogenog tela
2.1.2. Pritisak
Pritisak se definiše kao normalna sila koja deluje na jediničnu površinu i dat je
izrazom:
,A
Fp = [Pa].
Termotehnika
12
Jedinica za pritisak je Paskal [Pa=2m
N], a pored nje se za merenje pritska koriste
i druge jedinice kao npr. 1 [bar] = 1⋅ 510 [Pa]
Pritisak kojim vazduh deluje na površinu zemlje je spoljašnji atmosferski
pritisak, a kako se on meri barometrom naziva se još i barometarski pritisak bp . U
zatvorenom sudu prikazanom na slici 7. pritisak može biti veći ili manji od
barometarskog zbog čega se uvode pojmovi natpritiska i potpritiska.
Natpritisak mp u U cevi pokazuje koliko je pritisak u sudu veći od pritiska
spoljašnjeg vazduha, odnosno od barometarskog pritiska, pa važi:
bapsm ppp −=
gde je apsp apsolutni pritisak.
Vakumetarski pritisak ili potpritisak, koji je naziv dobio po priboru za merenje tj.
vakumetru, iznosi:
apsbv ppp −=
Natpritisak i potpritisak sa slike 7. izračunavaju se pomoću obrasca:
,ghp
ghp
v
m
ρρ
=
=
gde su h i ,h razlike nivoa tečnosti u U cevi.
Slika 7. Manometar sa tečnošću za merenje pritiska
2.1.3. Temperatura
Na osnovu molekularno–kinetičke teorije kretanja molekula i atoma u
molekulima može se zaključiti da je temperatura proporcionalna kinetičkoj energiji
translatornog kretanja molekula gasa.
Osnovna jedinica za merenje temperature je Kelvin [K] i definiše se kao: Kelvin je
termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273,16 termodinamičke temperature
trojne tačke vode.
Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine
13
Temperatura trojne tačke je viša od tačke mržnjenja vode i iznosi na Celzijusovoj
skali +0,01 C0, a u Kelvinovoj 273,16 K. Na slici 8. dat je opšti prikaz trojne tačke vode.
Slika 8. Trojna tačka vode
Termodinamičku temperaturu obeležavamo sa T, u stepenima Kelvina, i
nazivamo je apsolutna temperatura, i u odnosu na Celzijevu, koju često nazivamo
relativna temperatura:
T = t + 273,15 [K]
2.2. ZAKONI IDEALNIH GASOVA
Danas se često govori da su idealni gasovi oni gasovi koji se strogo pokoravaju
Bojl-Mariotovom, Gej-Lisakovom i Šarlovom zakonu. U termotehnici se se ovi zakoni
idealnih gasova primenjuju i na realne gasove pri relativno malim pritiscima i relativno
visokim temperaturama.
Stanje gasa je odreñeno veličinama stanja. Ako se pri razmatranju smatra da je
jedna veličina konstantna a ostale dve promenljive, dobijaju se zakoni idealnih gasova
koji se mogu prikazati u ravanskom koordinatnom sistemu. Ako su poznate dve veličine
stanja treća se može izračunati iz odnosa:
p = f1 (T,v)
v = f2 (p, T)
T = f3 (p, v)
2.2.1. Bojl – Mariotov zakon
Posmatra se cilindar sa pokretnim klipom u kome se nalazi idealan gas,
zapremine 1V , temperature 1T i pritiska 1p , kao što je prikazano na slici 9.
Ne menjajući temperaturu, T=const, neka se klip pomeri tako da se smanji
zapremina a poveća pritisak, tako da su nove veličine stanja 2p , 2V i 2T . Može se
napisati da je:
1
2
2
1
V
V
p
p =
....2211 constVpVpVp nn =⋅==⋅=⋅
Termotehnika
14
Slika 9. Cilindar sa klipom
Bojl-Mariotov zakon glasi:
- Pri konstantnoj temperaturi proizvod pritiska i odgovarajuće zapremine
odnosno specifične zapremine, je konstantan ili
- Pri konstantnoj temperaturi pritisci su obrnuto srazmeri odgovarajućim
zapreminama, odnosno specifičnim zapreminama.
Na slici 10. prikazan je Bojl – Mariotov zakon u p – v dijagramu.
Slika 10. p – v dijagram Bojl – Mariotovog zakona
Linija 1 – 2 predstavlja liniju konstantne temperature pa se ova promena stanja
naziva izotermska promena, a kriva promene stanja izoterma.
2.2.2. Gej – Lisakov zakon
Ovaj zakon uspostavlja vezu izmeñu zapremine, odnosno specifične zapremine i
temperature pri konstantnom pritisku p = const.
.
....2
2
1
1
2
1
2
1
constT
V
constT
V
T
V
T
V
T
T
V
V
n
n
=
====
=
Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine
15
Ovaj zakon glasi: pri konstantnom pritisku količnik zapremine, odnosno
specifične zapremine i odgovarajuće apsolutne temperature je konstantan.
Slika 11. p – v dijagram Gej – Lisakovog zakona
Prava linija p = const Gejl – Lisakovog zakona naziva se izobara a sama promena
stanja izobarska promena.
2.2.3. Šarlov zakon
Ovaj zakon uspostavlja vezu izmeñu pritiska i temperature idealnog gasa pri
konstantnoj zapremini V=const, odnosno specifičnoj zapremini v = const.
.
....2
2
1
1
2
1
2
1
constT
p
constT
p
T
p
T
p
T
T
p
p
n
n
=
====
=
Šarlov zakon glasi:
- Pri konstantnoj zapremini, odnosno specifičnoj zapremini, pritisci su direktno
srazmerni odgovarajućim apsolutnim temperaturama, ili
- Količnici pritisaka i odgovarajućih apsolutnih temperatura, pri konstantnoj
zapremini, odnosno specifičnoj zapremini su konstantni.
Šarlov zakon u p – v dijagramu predstavljen je pravom linijom v = const. Prava
linija Šarlovog zakona se naziva izohora, a sama promena izohorska promena stanja.
Slika 12. p – v dijagram Šarlovog zakona
Termotehnika
16
2.4. JEDNAČINA STANJA IDEALNOG GASA
Zakonima Bojl – Mariota, Gej – Lisaka i Šarla data je zavisnost imeñu dve
veličine stanja pod uslovima da je treća veličina konstantna. Meñutim potrebno je
odrediti oblik jednačine stanja 0),,( =Tvpf .
Za odreñivanje ove jednačine stanja koristi se cilindar sa pokretnim klipom u
kome se nalazi idealan gas čije je stanje odreñeno veličinama stanja ,,, 111 Tvp kao na slici
13 (a).
Slika 13. Cilindar sa pokretnim klipom
Ako se idealnom gasu dovodi toplota pri konstantnom pritisku ,21 pp = tada će
porastom temperature od 1T do ,
2T zapremina linearno rasti od 1V do ,
2V po Gejl –
Lisakovom zakonu, kao što je prikazano na slici 14. promenom stanja 1 - ,2 .
Na osnovu Gej - Lisakovog zakona važi:
1
,2
1
,2
T
T
v
v =
1
,2
1,2 T
Tvv ⋅=
Ako sada iz navedenog meñustanja menjaju veličine stanja pri konstantnoj
temperaturi 2,
2 TT = , dobija se novo tj. krajnje stanje sa veličinama 222 ,, Tvp . Prema Bojl
– Mariotovom zakonu važi:
,2
2
2
,2
v
v
p
p=
,2
22
,2
p
vpv ⋅=
Iz prethodno datih izraza dobija se:
,2
22
1
,2
1 p
vp
T
Tv = .
2,
2 TT =
1,2 pp =
2
22
1
11
T
vp
T
vp = .
Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine
17
Slika 14. Dijagram za izvoñenje jednačine stanja idealnog gasa
Kako je početno i krajnje stanje izabrano proizvoljno može se zaključiti da data
zavisnost važi za bilo koje stanje idealnog gasa:
,RconstT
pv ==
kgK
J.
Dobijena jednačina je jednačina stanja idalnog gasa, tj. Klapejronova jednačina za
1 kg idealnog gasa. Konstanta R se naziva gasna konstanta i njena vrednost je
karakteristična za svaki idealan gas, tj. zavisi od vrste idealnog gasa.
RTpv =
RTp ρ=
Iz navedene jednačine može se izraziti vrednost za R:
T
p
T
pvR
ρ==
Iz datog izraza se vidi da gušći gasovi imaju manju gasnu konstantu i obrnuto. Za
m kg gasa jednačina stanja idealnog gasa glasi:
mRTpV = .
Da bi dobili jednačinu stanja koja će važiti za sve gasove, tj. čija će gasna
konstanta R biti nezavisna od vrste gasa, iskoristiće se Avogadrov zakon koji kaže: u
jednakim zapreminama pri istoj temperaturi i istom pritisku svi gasovi sadrže isti broj
molekula. Prema tome, zapremina koju zauzima 1 kmol nekog gasa, tj. molarna
zapremina Vm, sadrži takoñe jednak broj molekula. Prema tome, jednačina stanja za mol
gasa glasi:
TRMpV
TRMpV
m
m
222
111
==
gde su M1 i M2 molarne mase idealnog gasa 1 i gasa 2. Kako su molarne
zapremine svih gasova pri istim fizičkim uslovima jednake mmm VVV == 21 , važi:
uRMRRMRM === 2211
TRpV um = ....... za 1 kmol gasa
TnRpV u= ....... za n kmol gasa
Termotehnika
18
uR je univerzalna gasna konstanta i njena vrednost je ista za svaki idealan gas:
831415,273
4,221013253
=⋅
==K
kmol
mPa
T
pVR m
u
Kkmol
J
/
Iz univerzalne gasne konstante može se izračunati gasna konstanta svakog
idealnog gasa:
,8314
MM
RR u ==
kgK
J
gde je M molarna masa posmatranog idealnog gasa.
1 Nm3
V=1 m
p=101325 Pa
t=0 C
3
0
1 nm3
V=1 m
p=98066,5 Pa
t=10 C
3
0
1 kmol
6,023 10 molekula26
Slika 15. Količina materije
2.5. MEŠAVINE IDEALNIH GASOVA
U termodinamici se kao radno telo često javljaju mešavine koje se sastoje od
gasova koji hemijski ne reaguju meñu sobom. U ovakve mešavine spadaju atmosferski
vazduh čiji su glavni sastojci azot i kiseonik, zatim prirodni gas koji se uglavnom sastoji
iz različitih ugljovodonika i vodonika, produkti sagorevanja u ložištima parnih kotlova,
kao i u gasnim turbinama i u motorima sa unutrašnjim sagorevanjem.
Ako se u jednoj posudi nalaze dva različita gasa podeljena pregradom koji se pre
mešanja nalaze na istoj temperaturi i na istom pritisku, pri čemu prvi gas zauzima
zapreminu V1, a drugi V2. Kada se ukloni pregrada nakon nekog vremena gasovi će se
izmešati, pri čemu temperatura i pritisak ostaju konstantni. Meñutim, svaki od gasova
će zauzeti ukupnu zapreminu posude i uspostaviće svoj vlastiti pritisak, nezavisno od
drugog gasa. Ovaj pritisak pojedine komponente u mešavini naziva se parcijalni pritisak.
Parcijalni pritisak pojedinog gasa predstavlja onaj pritisak kojim taj gas deluje na
površine suda kada zauzima ukupnu zapreminu suda u kome se nalazi mešavina.
Slika 16. Mešavina gasova
Pritisak gasne smeše je jednak zbiru parcijalnih pritisaka pojedinih gasova u
smeši, što definie Daltonov zakon dat kao:
n
n
i ppppp +++==∑ ...211
Svaki gas u smeši ima svoj parcijalni pritisak a zapreminu i temperaturu smeše.
Zapremina koju bi svaki od gasova imao na pritisku i temperaturi smeše zove se
redukovana zapremina.
Veličine stanja. Jednačina stanja idealnog gasa. Mešavine
19
Za proučavanje i analiziranje gasne smeše potrebno je znati njen sastav koji može
biti:
- zapreminski sastav, gde je poznata zapremina smeše sV i redukovane
zapremine komponenata ..., 21 VV
- maseni sastav, gde je poznata masa smeše sm i mase svih komponenata
.., 21 mm
Odnos masa pojedinih komponenata prema masi smeše je relativni maseni sastav
komponente dat kao:
s
ii m
mg =
n
n
is mmmmm +++==∑ ...211
Zbir relativnih masenih delova gasne smeše jednak je jedinici:
1...211
=+++=∑ n
n
i gggg
Odnos redukovane zapremine prema zapremini smeše je relativni zapreminski sastav
gasne smeše:
s
ii V
Vr =
Zbir relativnih sastava gasne smeše jednak je jedinici:
1...211
=++=∑ n
n
i rrrr
Ako je dat maseni sastav smeše, molarna masa smeše i parcijalni pritisak
komponente se mogu izračunati iz sledećih izraza:
∑=
= n
i i
is
M
gM
1
1
s
iii R
Rpgp =
∑∑ =⋅==
n
ii
n
i i
is gR
M
gR
11
8315
gde su iR i sR gasne konstante pojedinih komponenata i cele smeše.
Ako je dat zapreminski sastav gasne smeše onda se molarna masa smeše i
parcijalni pritisak komponente mogu izračunati iz sledećih izraza dobija iz izraza
∑=
=n
iiis rMM
1
ii prp =
Prelaz sa relativnog masenog na relativni zapreminski sastav gasne smeše se vrši
korišćenjem sledećih izraza:
s
ii
i
sii R
Rg
M
Mgr ⋅=⋅= ⋅
.i
si
s
iii R
Rr
M
Mrg ⋅=⋅=
Termotehnika
20
PITANJA
1. Koje su osnovne veličine stanja i kako se definišu?
2. Koji se ureñaji koriste za merenje pritiska?
3. Šta je to gustina? Dati njenu oznaku i jedinicu.
4. Šta je to specifična zapremina? Dati njenu oznaku i jedinicu.
5. Šta je to apsolutna temperatura? Dati njenu oznaku i jedinicu.
6. Šta je to apsolutni pritisak? Dati njegovu oznaku.
7. Navesti jedinice za pritisak u meñunarodnom sistemu jedinica.
8. Navesti jedinice za pritisak van SI sistema jedinica.
9. Šta je barometarskog pritisak? Dati njegovu oznaku.
10. Šta je to natpritisak? Dati njegovu oznaku.
11. Šta je to potpritisak? Dati njegovu oznaku.
12. Koji pritisak i koja temperatura se upotrebljavaju u termodinamičkim
jednačinama?
13. Šta su to ekstenzivne veličine stanja?
14. Šta su to intezivne veličine stanja?
15. Kako glasi Šarlov zakon?
16. Kako glasi Gej-Lisakov zakon?
17. Kako glasi Bojl-Mariotov zakon?
18. Napisati jednačinu stanja?
19. Napisati Majerovu relaciju.
20. Šta je smeša idealnih gasova?
21. Objasniti Daltonov zakon.
22. Kako se definiše maseni udeo komponente u mešavini?
23. Šta je to maseni sastav mešavine ?
24. Šta je to parcijalni pritisak komponente?
25. Kako se može definisati sastav smeše?
26. Kako se može dobiti veza izmedju zapreminskog i masenog sastava?
27. Dati vezu izmeñu zapreminskog i masenog sastava preko specijalnih gasnih
konstanti.
28. Dati vezu izmeñu zapreminskog i masenog sastava preko relativnih molekulskih
masa.
29. Kako se može izračunati relativna molkulska masa mešavine?
30. Kako se može izračunati gasna konstanta mešavine?
31. Dati gasnu konstantu mešavine kada se poznaje zapreminski sastav mešavine.
32. Dati gasnu konstantu mešavine kada se zna maseni sastav mešavine.
21
3. ZAKONI TERMODINAMIKE
3.1. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE
3.1.1. Toplotni kapaciteti
3.1.2. Entalpija
3.2. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
3.1. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE
Ovaj zakon definiše energetsku interakciju sistema sa njegovom okolinom,
odnosno forme pretvaranja jednog oblika energije u drugi. Energija može prelaziti iz
jednog oblika u drugi, ali zbir svih oblika energije u izolovanom sistemu je konstantan.
Ovo je iskustveni zakon koji se stalno dokazuje direktno laboratorijski i indirektno time
što je nemoguće ostvariti “perpetuum mobile” prve vrste. Ovaj zakon se naziva prvi
zakon termodinamike.
Posmatra se neadijabatski sud A, u kome se usled dovoñenja toplote menja
unutrašnja energija gasa. Ako se ta dovedena energija troši na promenu unutrašnje
energije i vršenje rada onda se dobija jednakost:
12122,1 WUUQ
WdUQ
+−=+= δδ
Predhodna jednačina predstavlja analitički izraz prvog zakona termodinamike u
diferencijalnom obliku za m kg gasa. Male promene veličina stanja se označavaju sa "" d ,
a male promene veličina promene stanja sa ""δ . Pošto je unutrašnja energija U veličina
stanja, mala promena ove veličine označena je sa dU , toplota Q i rad W su veličine
promene stanja pa se njihove promene označene sa Qδ i Wδ .
Slika 17. Prikaz neadijabatskog suda
Termotehnika
22
Toplota dovedena sistemu i rad koji se dobija od sistema smatraju se pozitivnim,
a toplota koja se odvodi od sistema i rad koji se u sistemu troši negativnim veličinama.
Slika 18. Toplota i rad koji se dovode/odvode sistemu
Razlika izmeñu unutrašnje energije i toplote je pojmovna. Unutrašnja energija je
zaliha energije nekog sistema, ona karakteriše stanje sistema tj. ona je veličina stanja
tog sistema, da se toplota javlja samo pri prolazu kroz granice sistema. Toplota je, dakle,
energija koja prelazi granice izmeñu dva sistema samo zbog razlike njihovih
temperatura, ako pri tome granica izmeñu njih propušta toplotu.
Kod idealnih gasova unutrašnja energija zavisi isključivo od temperature:
dT
dUcv =
( )12 TTcU
dTcdU
v
v
−⋅=⋅=
Neka se u cilindru nalazi gas pod pritiskom p. Na klip sa spoljašnje strane deluje
pritisak koji je jednak unutrašnjem pritisku, pa je sistem u mehaničkoj ravnoteži. Ako se
gas širi on će potiskivati klip koji će se pomeriti za ds. U tom slučaju gas je izvršio
elementarni rad:
dVpW
dsAdV
dsApW
⋅=⋅=
⋅⋅=
δ
δ
Kod promena kod kojih je V = const → dV = 0 → W = 0.
Slika 19. Prikaz izvršenog rada
Ako se gas u cilindru širi na puno veću zapreminu pritisak će opadati. U tom
slučaju dati izraz za rad se može koristiti samo za male pomeraje klipa, tj. za male
promene zapremine pri kojima se može uzeti da je pritisak konstantan. U slučaju kada je
spoljašnji pritisak manji od unutrašnjeg gas vrši koristan rad samo protiv spoljašnjeg
Zakoni termodinamike
23
pritiska, što je manje od prethodno opisanog rada. Izvršeni rad se može najbolje
ilustrativno prikazati u p-V dijagramu.
Slika 20. Prikaz mehaničkog rada u p-V dijagramu
Neka je sistem koji je već razmatran – gas u cilindru sa pokretnim klipom – u
termodinamičkoj ravnoteži. Dejstvom sile na klip gas se sabija, a ravnoteža se narušava.
Pritisak, temperatura i gustina imaju različite vrednosti u tačkama sistema, pri čemu je
posebno povećan pritisak u blizini klipa. Po zaustavljanju klipa ponovo se uspostavlja
ravnoteža. Ako bi se, meñutim, klip pomerao veoma sporo, tada bi i narušavaje
termodinamičke ravnoteže bilo neznatno. U graničnom slučaju, kada se klip kreće
beskonačno polako, može se smatrati da se sve ovo vreme zadržava ravnoteža, iako se
stanje sistema sve vreme menja. Dakle, pri veoma sporom pomeranju klipa, sistem
prolazi kroz niz ravnotežnih stanja ili kroz stanja koja su beskonačno bliska
ravnotežnim. Takve idealizovane promene stanja nazivaju se kvazistatičke (ravnotežne)
promene stanja.
Procesi u prirodi i tehničkoj praksi (realni procesi) nemaju svojstva ravnotežnih
procesa. Takve promene stanja pri kojima sistem prolazi kroz neravnotežna stanja
nazivaju se nekvazistatičke (neravnotežne) promene stanja. Jednačina stanja može da se
primeni samo za početno i krajnje stanje ovakve promene. Nekvazistatičke promene se
odvijaju veoma brzo. Iako kvazistatičke promene stanja predstavljaju idealizaciju, u
većini praktičnih primera, a naročito kod toplotnih mašina, promene stanja su veoma
bliske kvazistatičkim.
1
2
1
2
p
v
p
v
a) b)
Slika 21. Promene stanja termodinamičkog sistema:
a) kvazistatička i b) nekvazistatička
Toplotne procese karakteriše svojstvo nepovratnosti. Izmeñu dva tela različitih
temperatura koja su u kontaktu nastaje prelaženje toplote sa toplijeg na hladnije telo
sve do uspostavljanja termičke ravnoteže (do izjednačavanja temperatura). Obrnut
proces, to jest prelaženje toplote sa hladnijeg na toplije telo ne može da se ostvari sam po
Termotehnika
24
sebi (spontano). Proces mešanja (difuzije) gasova je očigledno nepovratan proces. Ako se
u nekom sudu nalaze dva različita gasa razdvojena pregradom, posle uklanjanja
pregrade, oni se mešaju. Obrnut proces tj. njihovo razdvajanje zahteva odreñen rad.
Širenje gasa u cilindru je takoñe nepovratan proces. Da bi se klip vratio u početno stanje,
mora gas ponovo da se sabije, pa je potrebno uložiti rad, koji zbog trenja i ostalih
gubitaka mora da bude veći od rada dobijenog širenjem gasa. U toku ovog procesa
razmenjuje se toplota izmeñu gasa i okoline, što takoñe utiče na nepovratnost.
Pri proučavanju toplotnih procesa uveden je idealizovan povratni termodinamički
proces. Po definiciji, ako se sistem posle izvršenog procesa može vratiti u početno stanje,
bez ikakvih promeni u okolini, takav se termodinamički proces naziva povratni. Ukoliko
se početno stanje uspostavlja uz odreñene promene okoline, takav proces je nepovratan.
Uslovi povratnosti praktično ne mogu da se ostvare, pa su povratni procesi idealizovani
procesi kakvih u prirodi nema. Stvarni (realni) procesi su nepovratni. Realni procesi
protiču sa gubicima rada usled trenja, vrtložnog strujanja, otpora vazduha i dr., sa
znatnim temperaturnim razlikama izmeñu sistema i okoline. Zbog toga, vraćanje
sistema u početno stanje, koje je u principu uvek moguće, praćeno je odreñenim
promenama u okolnim telima, kao što se moglo uočiti iz navedenih primera. Iako
povratni procesi ne postoje u prirodi, oni imaju veliki značaj u termotehnici. Suština
termodinamičkog metoda je upravo u tome da se računa rad (snaga) u idealnom
povratnom procesu i na taj način omogućava poreñenje sa kvalitetom realnih procesa.
Na primer, ako proračun pokaže da bi neka mašina u toku povratnog procesa ostvarila
snagu od 100 kW, a u realnom procesu ostvaruje samo 8 kW, onda je jasno da je
nerentabilna.
Ukupan rad širenja jednak je površini ispod krive 1-2:
)( 12
2
1
VVpdVpW
dVpW
−⋅=⋅=
⋅=
∫
δ
Prvi zakon termodinamike može se napisati u sledećem obliku:
∫ ⋅+−=2
1
122,1 dVpUUQ
U slučaju kada pri dovoñenju toplote ne doñe do pomeranja klipa i kada se
celokupna količina toplote koristi za povećanje unutrašnje energije, prvi zakon
termodinamike glasi:
Za slučaj izotermskog procesa idealnog gasa kod koga je T=const kod koga nema
promene unutrašnje energije, prvi zakon glasi:
122,1 WQWQ =→= δδ
Ako je posuda izolovana pa nema razmene energije sa okolinom, utrošeni rad će
se trošiti na povećanje unutrašnje energije. Za ovaj slučaj adijabatske promene prvi
zakon termodinamike glasi:
212,1 UUW
dUW
−=−=δ
što znači da se rad širenja dobija isključivo na račun smanjenja unutrašnje energije.
Iz predhodno navedenih jednačina može se zaključiti da se rad ne može dobiti bez
utroška nekog oblika energije.
122,1 UUQdUQ −=→=δ
Zakoni termodinamike
25
3.1.1. Toplotni kapaciteti
Specifični toplotni kapacitet predstavlja količinu toplote koju je potrebno dovesti
da se jedinici mase poveća temperatura za 1 K (npr. specifični toplotni kapacitet za vodu
je 4.1868 kJ/kgK):
=
kgK
kJ
dT
qc
δ
Ako se u cilindru sa nepokretnim klipom, u kome se nalazi 1 kg nekog gasa,
dovede neka količina toplote temperatura i pritisak gasa će porasti. U ovom slučaju
zapremina sistema je konstantna pa se specifični toplotni kapacitet pri konstantnoj
zapremini izračunava iz izraza:
vv dT
qc
= δ
Meñutim ako se u cilindru sa pokretnim klipom ponovi prethodni eksperiment, sa
porastom temperature i zapremina će rasti, dok će pritisak ostati ne promenjen. U ovom
slučaju specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku iznosi:
pp dT
qc
= δ
Posmatrajmo cilindar sa klipom kome se dovodi odreñena količina toplote pri
konstantnom pritisku, ppp == 21 , dok se zapremina i temperatura menjaju od stanja 1
do stanja 2. U tom slučaju važi:
)( 122,.1 TTcq p −⋅=
Prvi zakon termodinamike za idealan gas kod koga je U = f(T), može se napisati u
obliku:
)()( 12122,1122,1 vvpTTcwuuq v −+−=+−=
Ako se iskoristi jednačinu stanja idealnog gasa za dva stanja dobija se izraz u
obliku:
)()( 1212
22
11
TTRvvp
RTpv
RTpv
−=−==
Zamenom prethodnog izraza u izraz za količinu toplote i nakon sreñivanja dobija se:
Rcc
TTRTTcTTc
vp
vp
+=
−+−=−⋅ )()()( 121212
Jednačina predstavlja Majerovu jednačinu. Kod gasova mogu se definisati čitav
niz specifičnih toplotnih kapaciteta od kojih su ovde nevedena samo dva karakteristična.
Termotehnika
26
Ako se specifični toplotni kapacitet svede na 1 kmol radnog tela dobija se molarni toplotni kapacitet koji je M (molarna masa) puta veći od specifičnog toplotnog kapaciteta:
==kmolK
kJMcCMcC vmvpmp ,, ,,
( )
==⋅=−=−=−kmolK
kJRRMccMMcMcCC uvpvpmvmp 8314,,
Odnos toplotnih kapaciteta se obeležava sa k ili κ i iznosi:
v
p
v
p
C
C
c
c==κ
� Kod jednoatomnih gasova κ = 1.667,
� Kod dvoatomnih gasova κ = 1.4,
� Kod tro i višeatomnih gasova κ = 1.29 (κ se više približava jedinici što je veći broj atoma).
Kada se mora uzeti zavisnost toplotnog kapaciteta od temperature (pogotovu kod
viših temperatura) tada se računa sa srednjim toplotnim kapacitetima [ ] 2
1
ttvc i
[ ] 2
1
ttpc izmeñu temperatura t1 i t2:
[ ]12
2
12
1 tt
dtc
c
t
t
v
ttv −
=∫
[ ]12
2
12
1 tt
dtc
c
t
t
p
ttp −
=∫
3.1.2. Entalpija
Prvi zakon termodinamike u diferencijalnom obliku:
pdvduq +=δ
može se napisati i u sledećem obliku
vdppvudq −+= )(δ
vdpdhq −=δ
Nova veličina stanja pvuh += koja se u termotehnici predstavlja zbir termičkog i
mehaničkog potencijala naziva se entalpija i za idealne gasove iznosi:
pvuh +=
RTuh +=
Za promene kod koje je pritisak stalan constpdp == ,0 važi:
122,1 hhq
dhq
−==δ
Proces kod koga je entalpija konstantna consth = u termodinamici se naziva
prigušivanje.
Zakoni termodinamike
27
3.2. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE
Drugi zakon termodinamike definise uslove, mogućnosti i smer odvijanja procesa.
Primenom drugog zakona termodinamike mogu se vršiti kvalitativne i kvantitativne
procene procesa u termodinamičkim sistemima.
Postoji više formulacija drugog zakona termodinamike:
� Toplota nikada ne može da prelazi sama od sebe od toplotnog izvora sa
nižom temperaturom na toplotni izvor sa višom temperaturom;
� Nemoguće je pretvoriti toplotu u mehanički rad, nekog tela, bez izvršenja
neke druge promene sem hlañenja ovog tela;
� Nemoguće je ostvariti ''perpetuum mobile'' druge vrste.
Drugi zakon termodinamike se može objasniti na primeru rada postrojenja sa
slike. U parni kotao se dovodi gorivo, kao izvor toplote, i voda. Toplota dobijena
sagorevanjem goriva se predaje vodi koja isparava. Nastala para kao gasovito radno telo
dolazi u parnu mašinu M gde pokreće klip KL, i ostvaruje se mehaničko kretanje. Para
koja je izvršila svoj zadatak kao istrošena para se pušta u atmosferu ili se odovodi u
kondezator Co gde se hladi pomoću vode, kondezuje i pumpom P vraća u kotao K.
Slika 22. Šema toplotnog postrojenja za dobijanje snage
Na osnovu ovog primera se može drugi zakon termodinamike formulisati na
sledeći način: nemoguće je u mašinama sa periodičnim dejstvom pretvoriti potpuno u
mehanički rad svu onu toplotu koja se radnom telu dovodi od toplijeg izvora toplote, već
se uvek jedan deo te toplote mora odvesti od radnog tela hladnijem izvoru toplote, koji je
neiskorišćen za dobijanje rada.
Da bi se izvela matematička interpretacija drugog zakona termodinamike
koristiće se matematička interpretacija prvog zakona termodinamike u diferencijalnom
obliku:
pdvdTcq v +=δ
Ako se jednačina stanja napisanu u obliku
v
R
T
P =
Termotehnika
28
zameni u predhodnu jednačinu, i podeli sa T dobija se:
v
dvR
T
dTc
T
qv +=δ
Ako se iskoristi preureñena Majerova jednačina u obliku
1−=
k
Rcv
v
p
c
ck =
i nakon zamene u prethodni izraz dobija se:
v
dvR
T
dT
k
R
T
q ⋅+⋅−
=1
δ
Desna strana izraza predstavlja totalni diferencijal neke funkcije koja zavisi od
promenljivih T i v, tj funkcije ds. Veličina s se u termodinamici nazvana entropija.
Entropija je veličina stanja.
dsT
q =δ ...... za 1 kg gasa
dST
Q =δ...... za m kg gasa
Procesi kod kojih se entropija ne menja zovu se adijabatski – izentropski procesi
tj. 0=dS ili 21 SS = .
Posmatra se izolovan sistem sastavljen od tela I i II, pri čemu je temperatura 1T
tela I viša od temperature 2T tela II. Na osnovu drugog zakona termodinamike toplota
može prelaziti samo sa toplijeg na hladnije telo.
Slika 23. Izolovani sistem
Ukupna promena entropije ovog izolovanog sistema je jednaka zbiru promena
entropije pojedinih tela u sistemu, odnosno
III dSdSdS +=
Na osnovu drugog zakona termodinamike važi:
2
1
T
QdS
T
QdS
II
I
δ
δ
=
−=
Zakoni termodinamike
29
QTT
dS δ
−=
12
11
� Ako je 21 TT ⟩ , kao što je predpostavljeno u datom primeru, onda je 0⟩dS i
nepovratnost procesa je više izražena što je razlika temperatura veća;
� Ako temperatura 2T teži temperaturi 1T , tada 0→dS tj. Proces teži povratnom
procesu;
� Ako je 21 TT = onda je dS = 0 što znači da izmeñu posmatranih tela nema razmene
toplote.
Fizička suština entropije objašnjava se njenom statističkom interpretacijom na
osnovu molekulsko-kinetičke teorije gasova. Naime, još ranije je rečeno da se molekuli
idealnog gasa kreću haotično i da nijedan od mogućih pravaca nije privilegovan nad
drugim pravcem kretanja molekula unutar prostora koji oni zauzimaju. Tako se dolazi
do zaključka da se molekuli uvek ravnomerno rasporeñuju u zapremini koju gas
ispunjava. Ako bi se molekuli nekako svi smestili u jedan deo zapremine, odmah po
otklanjanju prepreke bi se isti raspodelili ravnomerno po čitavoj zapremini.
Pretpostavka o ravnomernom ispunjavanju prostora svodi se u suštini na pretpostavku o
najverovatnijem stanju, pri haotičnom kretanju molekula. Ovo stanje je najviše
verovatno, to je stanje MAKSIMALNE VEROVATNOĆE.
Na osnovu analize rasporeda molekula u nekoj zapremini V, došlo se do opšteg
zaključka da se svi procesi u izolovanom sistemu odigravaju (u našim uslovima ) uvek u
smeru kojem se dolazi u stanje sve veće verovatnoće, sve dok se ne dostigne stanje
najveće verovatnoće. Ovaj, kao i zaključak o stalnom porastu entropije u ovozemaljskim
uslovima, omogućili su Bolcanu 1877. godine da traži vezu izmeñu entropije i
verovatnoće stanja. On je pronašao da se ta veza može napisati u obliku izraza:
PkS ln=
gde je P- verovatnoća stanja gasa, S- entropija i k- Bolcmanova konstanta. Ova
konstanta je univerzalna gasna konstanta jednog molekula gasa. Sa ranije uvedenom
univerzalnom gasnom konstantom Ru povezana je relacijom
N
Rk u=
gde je N- Avogadrov broj. Prema tome entropija je proporcionalna logaritmu verovatnoće
stanja. Ona u datim uslovima pokazuje smer najverovatnijeg odvijanja stvarnih procesa.
Termotehnika
30
PITANJA
1. Šta je zapreminski rad i kako se može izračunati?
2. Šta je količina toplote? Napisati izraz za njeno izračunavanje.
3. Kako se odreñuju znaci količine toplote rada?
4. Kako glasi Prvi zakon termodinamike? U čemu je razlika izmeñu energije sistema
i rada, odnosno toplote?
5. Izvesti izraze za promenu unutrašnje energije i entalpije, kao i Majerovu
jednačinu.
6. Kako se definiše entalpija sistema?
7. Formulisati Drugi zakon termodinamike.
8. Šta je entropija i kako se može definisati?
9. Objasnite kvazistatičke i nekvazistatičke promene stanja.
10. Objasnite toplotni dijagram.
11. Objasniti promenu entropije izolovanog sistema.
12. Šta je to specifična toplota.
13. Napisati odnos kapa.
14. Napisati vrednosti za veličinu kapa za jednoatomni, dvoatomni i troatomni.
idealni gas.
31
4. PROMENE STANJA IDEALNIH GASOVA
4.1. VRSTE PROMENA STANJA
4.2. POLITROPSK A PROMENA STANJA
4.3. IZOHORSKA PROMENA STANJA
4.4. IZOBARSKA PROMENA STANJA
4.5. IZOTERMSKA PROMENA STANJA
4.6. ADIJABATSKA PROMENA STANJA
4.1. VRSTE PROMENA STANJA
Promena stanja radnog tela, odnosno idealnog gasa, posledica je delovanja
spoljašnjih uticaja (toplote i rada) i zavisi od načina dovoñenja tj. odvoñenja toplote i
rada. Od svih promena stanja razmatraće se samo one koje se najčešće susreću u
tehničkim procesima. Promena parametara stanja matematički je definisana jednačinom
promene, koja se može dati u različitim koordinatnim sistemima.
Osnovne promene stanja su:
� politropska ili opšta promena stanja,
� izohorska promena stanja – promena pri stalnoj zapremini, v = const.
� izobarska promena stanja – promena pri stalnom pritisku, p=const.
� izotermska promena stanja – promena pri stalnoj temperaturi, T=const.
� adijabatska promena stanja – promena pri kojoj nema dovoñenja i odvoñenja
toplote, 0=q .
Za navedene promene stanja potrebno je znati zakon promene stanja, izvršeni ili
utrošeni rad, promenu unutrašnje energije količinu dovedene i odvedene toplote i
promenu entropije i entalpije.
4.2. POLITROPSKA PROMENA STANJA
Politropska ili opšta promena stanja je takva promena stanja kod koje je
specifična toplota politropske promene stanja =nc const. Jednačina politropske promene
stanja se može dobiti korišćenjemsledećih izraza prvog zakona termodinamike
vdpdTcq
pdvdTcq
p
v
−=+=
δδ
Količina toplota politropske promene stanja iznosi:
dTcq n=δ
Termotehnika
32
Zamenom izraza za količinu toplote u izraze za prvi zakon termodinamike i
sreñivanjem izraza dobija se:
( )( ) vdpdTcc
pdvdTcc
pn
vn
−=−=−
pdv
vdp
cc
cc
vn
pn −=−−
vn
pn
cc
ccn
−−
=
pdv
vdpn −=
gde je n eksponent politropske promene stanja. Razdvajanjem promenljivih u poslednjem
izrazu i integrajenjem dobija se jednačina politropske promene stanja u p – v
koordinatnom sistemu u obliku
.constpv n =
Eksponent politrope n može imati vrednost od minus beskonačno do plus
beskonačno, pa se iz politropske promene stanja mogu dobiti ostale promene stanja:
� za n=0: p0v = p = const - izobarska promena stanja
� za n = 1: pv = const - izotermska promena stanja
� za n = k: =kpv const - adijabatska promena stanja
� za je n :±∞→ vp n/1= vvpvp =⋅=∞ 0/1 . const - izohorska promena stanja.
Iz izraza za eksponent politrope
vn
pn
cc
ccn
−−
= i izraza za
v
p
c
ck = dobija se:
1−−=
n
kncc vn
Iz jednačine stanja idealnog gasa za proizvoljno početno i krajnje stanje procesa
222
111
RTvp
RTvp
==
dobija se
2
1
1
2
1
2
v
v
T
T
p
p ⋅=
Ako se iz jednačine politropske promene stanja
constpv n =
nn vpvp 2211 =
odnos pritisaka
n
v
v
p
p
=
2
1
1
2 uvrsti u jednačinu 2
1
1
2
1
2
v
v
T
T
p
p ⋅= dobija se veza izmeñu
temperatura i zapremina u obliku:
Promene stanja idealnih gasova
33
1
2
1
1
2
−
=
n
v
v
T
T
Slično se može dobiti i veza izmeñu temperatura i pritisaka u obliku:
n
n
p
p
T
T1
1
2
1
2
−
=
Na osnovu navedenog veze izmeñu osnovnih veličina stanja p, v i T kod
politropske promene stanja su date sledećim relacijama:
n
nn
nn
n
nn
p
p
v
v
T
T
T
T
p
p
v
v
T
T
v
v
p
p
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
−−
−
−
=
=
=
=
=
=
Količina toplote koja se dovodi ili odvodi pri politropskoj promeni stanja se
odreñuje iz drugog zakona termodinamike:
dTn
kncq
dTcq
v
n
1−−=
=
δ
δ
)(1 122.1 TT
n
kncq v −
−−= ...... za 1 kg gasa
}(1 122.1 TT
n
knmcQ v −
−−= ...... za m kg gasa
Rad pri politropskoj promeni stanja se dobija iz izraza za prvi zakon
termodinamike
duqw −= δδ
}( 122.12,1 TTcqw v −−=
)(1
)(1
)()(1
21,12
1212122,1
TTn
ccw
TTn
ckcTTcTT
n
kncw
vp
vvvv
−−−
=
−−
+−=−−−
−−=
1)(
12211
212,1 −−=−
−=
n
vpvpTT
n
Rw ...... za 1 kg gasa
1)(
12211
212,1 −−=−
−=
n
VpVpTT
n
mRW ...... za m kg gasa
Promena entropije politropskog procesa se dobija korišćenjem izraza za drugi
zakon termodinamike:
Termotehnika
34
T
dqds =
T
dTcds n=
1
212 ln
T
Tcss n ⋅=− ...... za 1 kg gasa
1
212 ln
T
TcmSS n ⋅⋅=− ...... za m kg gasa
4.3. IZOHORSKA PROMENA STANJA
Izohorska promena stanja je promena kod koje je zapremina konstantna, a
dovoñenjem ili odvoñenjem toplote dolazi do promene pritiska i temperature. Kod
izohorske promene stanja važi Šarlov zakon po kome je:
1
2
1
2
T
T
p
p=
Slika 24. Izohorska promena stanja
Pri izohorskoj promeni stanja nema vršenja rada, što se može pokazati iz izraza
za rad:
pdVW =δ
V = const, dV = 0
0
0
2,1 ==
W
Wδ
Količina toplote se dobija na osnovu prvog zakona termodinamike:
duq =δ
122,1 uuq −=
što znači da se sva toplota troši na promenu unutrašnje energije. Kako je dTcdu v= , to
se iz predhodnog izraza dobija:
Promene stanja idealnih gasova
35
)(
)(
122,1
122,1
TTmcQ
TTcq
v
v
−=−=
gde je vc specifična toplota pri konstantnoj zapremini.
Promena entropije data je izrazom:
T
dTc
T
dqds v==
1
2
1
212 lnln
p
pc
T
Tcss vv ⋅=⋅=− ...... za 1 kg gasa
1
2
1
212 lnln
p
pcm
T
TcmSS vv ⋅⋅=⋅⋅=− ...... za m kg gasa
4.4. IZOBARSKA PROMENA STANJA
Izobarska promena stanja je ona kod koje pritisak ostaje nepromenjen, odnosno
p=const:
1
2
1
2
T
T
v
v=
Slika 25. Izobarska promena stanja
Rad pri izobarskoj promeni stanja za 1 kg gasa se dobija iz izraza
)( 12
2
1
vvppdvwv
v
−== ∫
Ako se iskoristi jednačina stanja idealnog gasa za dve tačke procesa može se rad
izračunati i preko sledećih izraza:
)(
)(
122,1
122,1
TTmRW
TTRw
−=−=
11222,1 VpVpW −=
Ako se iskoristi izraz za prvi zakon termodinamike i Majerova jednačina dobija se
izraz za izračunavanje količine toplote izobarske promene stanja za 1 kg gasa:
Termotehnika
36
)( 12122,1 vvpuuq −+−=
)()(
)(
1212
1212
TTRvvp
TTcuu v
−=−−=−
)()( 12122,1 TTRTTcq v −+−=
Rcc vp +=
)( 122,1 TTcq p −=
odnosno za m kg idealnog gasa
)( 122,1 TTmcQ p −=
gde je pc specifična toplota pri konstantnom pritisku.
Promena entropije se izračunava računa po obrascu:
T
dTc
T
dqds p==
1
2
1
212 lnln
v
vc
T
Tcss vp ⋅=⋅=− ...... za 1 kg gasa
1
2
1
212 lnln
v
vcm
T
TcmSS vp ⋅⋅=⋅⋅=− ...... za m kg gasa
4.5. IZOTERMSKA PROMENA STANJA
Izotermska promena stanja je ona promena kod koje je temperatura konstantna
T=const, pa kod izotermske promene stanja nema promene unutrašnje energije:
constpv =
1
2
2
1
v
v
p
p=
Grafički prikaz izotermske promene stanja u p-v i T-S koordinatnom sistemu je
dat na sledećim dijagramima:
Slika 26. Izotermska promena stanja
Promene stanja idealnih gasova
37
Rad izotermske promene stanja izračunava se iz izraza:
∫=2
1
pdvw
v
RTp =
∫=2
1 v
dvRTw
2
1
1
22,1 lnln
p
pRT
v
vRTw == ..... za 1 kg gasa
2
1
1
22,1 lnln
p
pmRT
v
vmRTW == ..... za m kg gasa
Ako se iskoristi jednačina stanja idealnog gasa pV = mRT tada se prethodni izraz
za rad može napisati u obliku
2
111
1
2112,1 lnln
p
pVp
V
VVpW ==
Količina dovedene i odvedene toplote može se izračunati iz prvog zakona
termodinamike, uzimajući u obzir da je du = 0, tj.
Q1,2 = W1,2
što znači da se sva toplota troši na rad širenja ili sabijanja.
Promena entropije se izračunava iz sledećih izraza:
( )122,1 SSTq −=
2
1
1
22,112 lnln
p
pmR
V
VmR
T
qSS ===−
4.6. ADIJABATSKA PROMENA STANJA
Do sada analizirane promene stanja gasa bile su praćene dovoñenjem ili
odvoñenjem toplote. Proces kod koga nepostoji razmena toplote sa okolinom naziva se
adijabatska promena stanja:
0,0 2,1 == qqδ
Realni procesi se odvijaju uvek uz izvesnu razmenu toplote, jer ne postoje idealni
toplotni izolatori. Meñutim, svi procesi koji se odvijaju dovoljno brzo mogu se smatrati
adijabatskim, jer je razmena toplote u veoma kratkom vremenskom intervalu neznatna i
može se zanemariti (npr. procesi kod brzohodnih motora sa unutrašnjim sagorevanjem).
Ako iskoristimo prvi zakon termodinamike (Q=0) dobija se:
wdu δ−=
što znači da se rad adijabatske promene stanja obavlja isključivo na račun promene
unutrašnje energije. Za idealne gasove važi:
Termotehnika
38
pdvw
dTcdu v
==
δ
pa se može napisati:
pdvdTcv −=
Iz jednačine stanja idelanog gasa pv=RT nakon diferenciranja dobija se:
R
vdppdvdT
+=
pa nakon zamene u prethodni izraz dobija se:
pdvR
vdppdvcv −=+
Ako se iskoriste izraz za specifičnu toplotu pri konstantnoj zapremini 1−
=k
Rcv i
nakon sreñivanja i razdvajanja promenljivih dobija se jednačina adijabatske promene
stanja:
v
dvk
p
dp −=
k
v
v
p
p
=
2
1
1
2
constpvvpvp kkk ==== ...2211
v
p
v
p
C
C
c
ck ==
Slika 27. Adijabatska promena stanja
Kako je kod adijabatske promene stanja 0=qδ znači da je 0=nc pa važi:
κ==−−
=v
p
vn
pn
c
c
cc
ccn
Promene stanja idealnih gasova
39
pa se jednačina adijabate može dobiti direktno iz jednačine politropske promene stanja
( constpvn = ) ako se u njoj n zameni sa κ. Isto se može uraditi i u izrazima za veze
izmeñu veličina stanja kod politropskog procesa, tako da se dobijaju odnosi izeñu veličina
stanja kod adijabatske promene stanja:
k
v
v
p
pconstpv
=⇒=
1
2
2
1κ
1
1
2
2
11
−−
=⇒=⋅
k
v
v
T
TconstvT κ
κκ
κκ −−
=⇒=⋅
1
1
2
2
11
T
T
p
pconstTp
Rad adijabatske promene stanja se izračunava pomoću prvog zakona
termodinamike:
duw −=δ
( ) )( 21122,1 TTcTTcw vv −=−−= ...... za 1 kg gasa
)(1
1)(
1 2211212,1 vpvpk
TTk
Rw −
−=−
−= ...... za 1 kg gasa
)(1
1)(
1 2211212,1 VpVpk
TTk
mRW −
−=−
−= ...... za m kg gasa
Promena entropije se odreñuje iz izraza za količinu toplote:
( ) 0122,1 =−= SSTQ
Kako je 0≠T onda mora biti 21 SS = , što znači da je entropija konstantna pa se ova
promena naziva i izoentropska promena stanja.
Termotehnika
40
PITANJA
1. Koje je osnovno obeležje politropskih promena stanja? Napišite jednačine
politrope i uvežbajte njihovo rešavanje.
2. Objasniti i grafički prikažite posebne slučajeve politropske promene stanja. Za
koje se vrednosti eksponenta n te promene dobijaju?
3. Čemu je jednak zapreminski rad izohorske, izotermske i izentropske promene
stanja?
4. Objasniti adijabatsku promenu stanja.
5. Za politropu dati izraze za specifični rad i količinu toplote.
6. Navesti sve o izobarskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim
sistemima.
7. Navesti sve o izohorskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim
sistemima.
8. Navesti sve o izotermskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim
sistemima.
9. Navesti sve o izoentropskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim
sistemima.
10. Nacrtati zajedno izobaru, izohoru, izotermu i izentropu u pv i Ts koordinatnom
sistemu.
41
5. KRUŽNI PROCESI
5.1. VRSTE KRUŽNIH PROCESA
5.2. KARNOTOV KRUŽNI PROCES
5.3. PROCESI U MOTORIMA
5.3.1. Otov kružni proces
5.3.2. Dizelov kružni proces
5.4. PROCESI GASNIH TURBINA
5.1. VRSTE KRUŽNIH PROCESA
Ranije je istaknuto da je sistem u kome vlada isti pritisak, temperatura i ista
koncetracija u termičkoj ravnoteži pa u tom slučaju ne postoji pretvaranje toplotne
energije u mehanički rad. Ako u jednom delu izolovanog sistema vlada temperatura 1T , a
u drugom 2T , pri čemu je 21 TT ⟩ , onda u sistemu postoji termodinamička neravnoteža. U
takvom sistemu je moguće pretvaranje toplote u mehanički rad. To se pretvaranje vrši
pomoću kružnih procesa koje vrši radno telo izmeñu temperatura 1T i 2T .
Kružni procesi su sastavljeni od do sada analiziranih procesa i sa njima smo u
stanju da dobijemo kontinuirani permanentni rad – stalan rad. Sve kružne procese
možemo podeliti u dve grupe:
- povratne i
- nepovratne.
Meñutim, pored ovih kružnih procesa postoje procesi koji se obavljaju pri
pretvaranju hemijske energije u toplotnu i to su otvoreni procesi, kod kojih se radno telo
ne vraća u početno stanje.
U zavisnosti šta se dobija pri nekom kružnom procesu razlikujemo:
- desnokretne kružne procese i
- levokretne kružne procese.
Desnokretni kružni procesi se obavljaju u smeru skazaljke na satu i kod njih je
rad širenja veći od rada sabijanja pa se dobija rad, kao što je slučaj kod toplotnih motora.
Kod levokretnih kružnih procesa rad sabijanja je veći od rada širenja pa se snaga
troši na njegovo obavljanje, kao što je, na primer, slučaj kod kompresora. Levokretni
proces se obavlja u smeru suprotnom smeru kretanja skazaljke na satu.
Na slici je data šema postrojenja za dobijanje rada i desnokretni kružni proces u
vp − dijagramu. Izvor toplote temperature 1T odaje toplotu 1Q , mašina proizvodi rad a
hladnjak temperature 2T prima toplotu 2Q . Tačke 1 i 2 kružnog procesa odvajaju delove
gde se dobija mehanički rad od dela gde se on troši. Površina 1 a 2 II I 1 predstavlja rad
koji se dobija širenjem radnog tela a površina 1 b 2 II I 1 rad sabijanja. Razlika ovih
dvaju radova predstavlja koristan rad kružnog procesa.
Termotehnika
42
21 WWWk −=
gde je:
1W - rad širenja i
2W - rad sabijanja.
Slika 28. Desnokretni kružni ciklus
Razlika dovedene toplote dovQ i odvedene toplote odvQ predstavlja iskorišćenu
toplotu- korisnu toplotu procesa:
odvdovk QQQ −=
Na sledećoj slici je prikazana šema postrojenja za dobijanje rada i levokretni
kružni proces u vp − dijagramu. Levokretni kružni procesi se koriste u rashladnim
postrojenjima i toplotnim pumpama.
Slika 29. Levokretni kružni ciklus
Izvor toplote T1
(zagrejač)
Radno telo
(kružni proces) ppprocesmašina)
Toplotni ponor T2
(hladnjak)
Spoljna sredina
T2
Radno telo
(mašina)
Prostor za hladjenje
T1
Kružni procesi
43
Ako se kod kružnog procesa posmatra unutrašnja energija radnog tela, uočava se
da ona prilikom promene stanja menja svoju vrednost, ali tako da konačno ponovo ima
svoju početnu vrednost jer se radno telo vraća u početno stanje. Prema tome, unutrašnja
energija na početku i na kraju zatvorenog procesa ima iste vrednosti tako da je promena
unutrašnje energije
∆U = 0
Prema prvom zakonu termodinamike važi:
Q = ∆U + W
Q = W = odvdovk QQQ −=
Vidi se da je kod kružnog procesa dobijeni rad jednak razlici dovedene i odvedene
toplote.
Kriterijum za ocenjivanje efikasnosti pretvaranja dovedene toplote u rad je
termodinamički stepen korisnosti kod desnokretnih kružnih procesa tη :
11 ≤−=−
==dov
odv
dov
odvdov
dovt Q
Q
Q
Q
Wη
Termodinamički stepen korisnosti je uvek manji od jedan jer se u kružnom
procesu uvek pojavljuje toplota koju treba odvesti. Radno telo nije u stanju da samo po
sebi izvrši kružni proces jer u jednom delu procesa radnom telu treba dovoditi toplotu, a
u drugom delu je od radnog tela odvoditi. U tu svrhu potrebna su dva toplotna
rezervoara od kojih jedan snabdeva radno telo dovedenom toplotom, a drugi preuzima
odvedenu toplotu. Prvi se naziva toplotni izvor a drugi toplotni ponor i oni predstavljaju
bitne učesnike u procesu. Dovoñenje i odvoñenje toplote ne uzrokuje promene u radnom
telu jer se na kraju procesa ono vraća u početno stanje. Promene ostaju u toplotnim
rezervoarima jer se iz jednoga toplota odvodi, a u drugi dovodi. Prema tome, prelaz
toplote iz toplotnog izvora preko kružnog procesa u toplotni ponor je izvor mehaničke
energije. Pri tom procesu je radno telo samo posrednik u pretvaranju energije.
Termotehnika
44
5.2. KARNOTOV KRUŽNI PROCES
Francuski naučnik Karnot težio je da pronañe kružni
proces kod koga bi tη bilo što je moguće bliže jedinici. On je
predložio ciklus koji se sastoji iz dve izoterme i dve izentrope,
kao što je prikazano na slici u vp − i T – S dijagramu, koji u
praksi nije moguće realizovati.
Slika 30. Karnotov kružni proces u vp − i T – S dijagramu
Izoterma na višoj temperaturi TI se nalazi na onom delu kružnog procesa na kome
se dovodi toplota (1-2). Nakon dovoñenja toplote od zagrejača vrši se adijabatska
ekspanzija (2–3) radnog tela pri čemu se dobija rad. Druga izoterma TII je pri nižoj
temperaturi na onom delu kružnog procesa na kojem se odvodi toplota (3-4) od radnog
tela nekom rashladnom rezervoaru (hladnjaku), zatim se vrši adijabatska kompresija
(4 – 1) radnog tela pri čemu se troši rad a telo se vraća u početno stanje.
Prema tome, korisno dobijeni rad Karnotovog kružnog procesa jednak je razlici
radova izotermske ekspanzije i kompresije, odnosno iskorišćena toplota jednaka je razlici
dovedene i odvedene toplote. Zadatak adijabatske ekspanzije i kompresije u Karnotovom
kružnom procesu je samo u tome da se omogući zatvaranje kružnog procesa jer kružni
proces samo pomoću izotermi (ili samo adijabata) nije moguće ostvariti.
Budući da se Karnotov proces sastoji samo od dve izoterme i dve adijabate, tj. od
pravih povratnih (reverzibilnih) promena stanja, to je i on povratni proces kojem treba
težiti, ali koji se u našim uslovima u praksi nikada ne može ostvariti. Termodinamički stepen korisnosti iznosi:
1
21q
qt −=η
gde su q1 dovedena i q2 odvedena toplota:
Sadi Nicolas Léonard Carnot
(1796-1832)
Kružni procesi
45
4
3
3
42
1
21
lnln
ln
V
VRT
V
VRTq
V
VRTq
IIII
I
==
=
Na osnovu navedenog termodinamički stepen korisnosti je:
1
2
4
3
ln
ln
1
V
VT
V
VT
I
II
t −=η
Ako se iskoriste jednačine adijabate za promene 2 – 3 i 4 – 1 dobija se
1
1
4
4
1
1
2
3
3
2
−
−
==
==
k
II
I
k
II
I
V
V
T
T
T
T
V
V
T
T
T
T
I
IIt T
T−= 1η
Kako je IT > IIT to je uvek tη < 1. Iz izraza se vidi da termodinamički stepen
korisnosti Karnotovog procesa zavisi izključivo od krajnih temperatura izmeñu kojih se
odvija proces, a ne zavisi od vrste radnog fluida (Karnotova teorema).
Izraz za stepen korisnosti Karnotovog procesa može se izvesti pomoću II zakona
termodinamike ako se posmatra Karnotov proces u T – S dijagramu:
1
21q
qt −=η
)( 121 SSTq I −=
( ) ( )12432 SSTSSTq IIII −=−=
23 SS = i 14 SS =
I
IIt T
T−= 1η
Ako se u T – S dijagramu Karnotovog procesa ucrta bilo koji drugi kružni proces
izmeñu krajnih temperatura TI i TII, vidi se da je iskorišćena toplota takvog ciklusa uvek
manja od Karnotovog, u krajnjem slučaju jednaka iskorišćenoj toploti Karnotovog
ciklusa. Na osnovu toga se zaključuje da je Karnotov ciklus granični po stepenu
korisnosti u poreñenju sa svakim drugim kružnim procesom koji se ostvaruje izmeñu
istih krajnih temperatura. Ovo je idealan povratni ciklus, pa i za najidealniji kružni
proces stepen korisnosti 1<tη .
Termotehnika
46
5.3. PROCESI U MOTORIMA SUS
Procesi u motorima se zasnivaju na pretvaranju toplotne energije goriva u
mehanički rad. Sve što je navedeno za desnokretne kružne procese važi i za procese u
motorima. Razlika izmeñu kružnih procesa u motorima i Karnotovog leži u tome, što se
dovoñenje i odvodjenje toplote ne odvija pri izotermskoj, nego pri izohorskoj ili izobarskoj
promeni stanja.
Klipni motori unutrašnjeg sagorevanja su toplotni motori, koji hemijsku energiju
sadržanu u gorivu, procesom sagorevanja u odreñenom prostoru, transformišu u
potencijalnu energiju produkata sagorevanja, koji se sukcesivnim širenjem, posredstvom
odgovarajućeg mehanizma, pretvara u mehaničku energiju. Prema načinu rada motori
sa unutrašnim sagoravanjem dele se na dvotaktne i četvorotaktne. Kod četvorotaktnih
motora čitav radni proces u motoru obavi se za vreme trajanja četiri takta (hoda klipa).
Pošto je za jedan hod klipa potrebna 1/2 obrta kolenastog vratila, to se ceo ciklus obavi
dok se kolenasto vratilo okrene dva puta. Kod dvotaktnih motora ceo radni ciklus traje
za vreme dva hoda klipa, odnosno jedan obrt kolenastog vratila.
Slika 31. Četvorotaktni motoru (sabijanje, sagorevanje, izduvavanje i usisavanje )
Prema načinu paljenja goriva, motori unutrašnjeg sagorevanja se dele na Otto
(benzinske) motore, Dizel motore i motore sa procesom Sabathe (kombinacija Otto i Dizel
motora). Kod Otto motora zapaljiva smeša benzina i vazduha se ostvaruje izvan cilindra
motora, u posebnom ureñaju - karburatoru. Smeša se u cilindru se pali električnom
varnicom u tačno odreñenom trenutku radnog ciklusa. Dizel motori usisavaju u cilndar
samo vazduh, koji se sabijanjem dovodi na viši pritisak i temperaturu. U tačno
predviñenom trenutku radnog ciklusa, posebnim ureñajem se ubrizgava odreñena
količina nafte koja se zbog visokog pritiska fino rasprši i trenutno pomeša sa zagrejanim
vazduhom kada nastaje delimično isparavanje goriva, a potom i njegovo samozapaljenje i
sagorevanje.
U odnosu na položaje cilindara motori SUS mogu biti linijski vertikalni, linijski
horizontalni, u obliku slova V, X, Y, u obliku zvezde i sl, a cilindara mogu imati od 1 do
Kružni procesi
47
Nikolaus August Otto je 1867.
godine prijavio patent
termodinamičkog ciklusa koji se danas naziva Otto-ov ciklus.
36. Prema upotrebi motori se dele na pokretne (Otto, Dizel) i stabilne (Dizel, gasni
motori), a mogu biti hlañeni vodom, vazduhom ili uljem. Prema broju obrtaja mogu biti
sporohodni i brzohodni.
Termodinamički ciklusi motora SUS predstavljaju uprošćenu šemu stvarnog
radnog procesa u motoru. Uprošćenja ustvari omogućuju jednostavniju analizu procesa.
Da bi se analitički odredio termodinamički stepen korisnosti, uvode se sledeće
pretpostavke:
- u toku procesa odvijanja ciklusa, hemijski sastav radnog tela se ne menja, tj.
proces sagorevanja, koji je inače praćen gubicima, zamenjuje se odgovarajućim
dovoñenjem toplote sa strane;
- procesi sabijanja i širenja radnog tela protiču veoma brzo, bez razmene toplote
sa okolinom, pa se mogu smatrati povratnim adijabatama;
- količina radnog tela u toku procesa se ne menja, pa nema gubitaka koji inače
prate procese punjenja i pražnjenja cilindra;
- specifična toplota ne zavisi od temperature;
- radno telo je idealan gas.
5.3.1. Ottov kružni proces
Otto motor se u opštem slučaju sastoji
od nekoliko cilindara 1 (najčešće četiri)
objedinjenih u jednom bloku. U cilindrima se
kreću klipovi 2 posredstvom klipnog
mehanizma 3. Iz karburatora, kad je usisni
ventil 4 otvoren, ulazi smeša goriva i vazduha,
koja se pomoću svećice 5 pali. Smeša sagoreva,
nastali produkti sagorevanja ekspandiraju i
nakon ekspanzije pri otvorenom izduvnom
ventilu 6 izlaze van.
Tačka 1 indikatorskog dijagrama
predstavlja kranji položaj klipa (spoljna mrtva
tačka). Kada se klip nalazi u tom položaju
otvara se usisni ventil i dolazi do usisavanja
smeše goriva i vazduha (linija 1-2 indikatorskog dijagrama). U krajnjem položaju klipa 2
dolazi do zatvaranja usisnog ventila. Linija 2-3 je sabijanje gasne smeše (drugi hod
klipa), koja se pali (linija 3-4), pre nego što je klip došao u krajnji položaj. Smeša skoro
trenutno sagoreva uz naglo povećanje pritiska i temperature. Linija 4-5 predstavlja
ekspanziju produkata sagorevanja – radni hod klipa Kada klip doñe u krajnji donji
položaj 5 (unutrašnja mrtva tačka) otvara se izduvni ventil. Poslednji takt predstavlja
izbacivanje produkata sagorevanja (linija 5-1) nakon čega se klip vraća u krajnji donji
položaj.
Termotehnika
48
Slika 32. Šema i indikatorksi dijagram rada Otto motora
Sa termodinamičke tačke gledišta Otto motor se sastoji od dve kvazistatičke
adijabate (izentrope) i dve izohore. Gorivi idealni gas (smeša goriva i vazduha) stanja 1
sabija se adijabatski do stanja 2, zatim se pri promeni stanja 2 - 3 vrši izohorsko
dovoñenje toplote (sagorevanje). Nastali produkti sagorevanja ekspandiraju (šire se) po
adijabati 3 - 4, odakle se dovode u vezu sa okolinom (4- 1) kojoj predaju toplotu koja je
ostala neiskorišćena za dobijanje rada. Odvoñenje toplote se u stvarnosti obavlja
izbacivanjem produkata sagorevanja u okolinu.
Slika 33. Ottov proces u vp − i T – S dijagramu
Pri odreñivanju termodinamičkog stepena korisnosti polazi se od izraza
1
21q
qt −=η
gde je dovedena količina toplote
Kružni procesi
49
)( 231 TTcq v −=
a odvedena količina toplote
)( 142 TTcq v −=
Zamenom ovih izraza u izraz za termodinamički stepen korisnosti dobija se:
23
14
23
14
1
2 1)()(
11TT
TT
TTc
TTc
q
q
v
vt −
−−=−−−=−=η
Na osnovu jednačine izentrope constTv =−1κvaži:
144
133
122
111
−−
−−
=
=κκ
κκ
vTvT
vTvT
32
41
vv
vv
==
( ) ( ) 1223
1114
−− −=− κκ vTTvTT
11
1
2
1
1
2
23
14
−−−
=
=
=
−− κκκ
V
V
V
V
v
v
TT
TT o
Zamenom poslednjeg izraza u izraz za termodinamički stepen korisnosti Otto
procesa dobija se:
11
11
11
11 −−
−
−=
−=
−= k
o
oOttot
V
VV
V
εη κ
κ
gde je
0V
V=ε stepen sabijanja odnosno stepen kompresije (konstrukciona
karakteristika). Iz izraza se vidi da stepen korisnosti Otto procesa zavisi od stepena
kompresije i vrste gasa (različito κ) i veći je ukoliko je stepen kompresije veći, odnosno
ukoliko je za datu zapreminu cilindra manji kompresijski prostor. Stepen kompresije je
ograničen temperaturom samozapaljivosti smeše i on se danas kreće za različite motore
u sledećim granicama:
� avionski motori ε = 7.5 – 9,
� motori za putničke automobile ε = 6 – 9,
� motori za trkačke automobile ε = do 12,
� motori za motocikle ε = 6 – 8.5,
� motori za trkačke motocikle ε = do 12.
Do sada nisu grañeni motori sa stepenom kompresije većim od 12.
Termotehnika
50
5.3.2. Dizelov kružni proces
Dizelov kružni proces se razlikuje od Ottovog procesa po
tome što se sagorevanje odigrava pri stalnom pritisku i što se u
cilindar motora dovodi i sabija čist vazduh. Za razliku od Otto
motora kod Dizel motora umesto svećice se upotrebljava brizgaljka
koja služi za ubrizgavanje goriva, kome se temperatura povećava
iznad temperature samozapaljivosti pa se ono pali samo od sebe.
Slika 34. Dizelov kružni proces
Idealizovani proces rada Dizel motora naziva se Dizelov kružni proces. Usisavanje
spoljašnjeg vazduha u cilindar motora odvija se pri neznatnom potpritisku unutar
cilindra. Na kraju usisavanja zatvara se usisni ventil i vrši se adijabatsko sabijanje
vazduha (1-2). Stepen sabijanja kod Dizel motora je veoma visok i iznosi od 12 do 20. Kod
Dizel motora ne postoji opasnost od samozapaljivosti jer se sabija čist vazduh. Nakon
procesa sabijanja ostvaruje se temperatura vazduha koja je iznad temperature
samozapaljivosti goriva, koje se ubrizgava unutar cilindra kada se klip nañe u krajnjem
gornjem položaju, pa se gorivo zapali samo od sebe. Ubrizgavanje goriva je takvo da se
pri kretanju klipa od krajnjeg položaja u cilindru održava konstantan pritisak. U tački 3
završeno je sagorevanje (2-3) i tada se postiže maksimalna temperatura u procesu.
Nakon toga vrši se adijabatska ekspanzija (3-4) do stanja 4 kada počinje izduvavanje
produkata sagorevanja pri konstantnoj zapremini do stanja 1.
Termodinamički stepen korisnosti Dizelovog procesa iznosi:
1
21q
qt −=η
gde su dovedena i odvedena toplota date izrazima:
( )( )142
231
TTcq
TTcq
v
p
−=
−=
Rudolf Diesel je 1892.godine
patentirao termodinamički
ciklus sa samopaljenjem goriva
Kružni procesi
51
Zamenom izraza i sreñivanjem dobija se:
23
14
1
2 11TT
TT
c
c
q
q
p
vt −
−−=−=η
3
2
4
1
3
4
1
11
1
T
TT
T
T
T
kt
−
−−=η
Primenom Gej-Lisakovog zakona dobija se:
ϕ===0
3
2
3
2
3
V
V
V
V
T
T
gde je φ stepen predekspanzije (koeficijent ubrizgavanja), Kao i kod Ottovog procesa
stepen kompresije je definisan kao:
0V
V=ε
1
1
0
2
1 1−
−
=
=k
k
V
V
T
T
ε
Za adijabatsku ekspanziju 3-4 važi:
11
2
2
1
3
3
4
1
1
3
1
4
3
3
4
−−
−−
=
=
=
=
κκ
κκ
εϕ
V
V
V
V
T
T
V
V
V
V
T
T
Na osnovu izraza za promenu entropije izobarske i izohorske promene stanja dobija se:
1
414
2
323
ln
ln
T
Tcss
T
Tcss
v
p
=−
=−
1423 ssss −=−
κκ
ϕ==
1
4
2
3
T
T
T
T
Zamenom izvedenih izraza, nakon sreñivanja, dobija se izraz za termodinamički
stepen korisnosti Dizelovog procesa:
1
1111
1 −−⋅⋅−= − ϕ
ϕεκ
ηk
kt
Ako se izvrši analiza izraza može se zaključiti da stepen korisnosti Dizelovog
procesa raste sa povećanjem ε pri zadatom φ, a opada sa povećanjem φ pri stalnom ε i k.
Termotehnika
52
5.4. PROCESI GASNIH TURBINA
Osnovni nedostatak klipnih motora sa unutrašnjim sagorevanjem je ograničena
jedinična snaga, rad im je neravnomeran, a radno telo ne može da ekspandira do
atmosferskog pritiska. Kod gasnih turbina, kod kojih se kao radno telo pojavljuju
produkti sagorevanja tečnog ili gasovitog goriva, translatorno kretanje klipa zamenjeno
je obrtnim kretanjem turbinskog kola koje se obrće pod dejstvom gasne struje. Osim
toga, kod turbina se ostvaruje adijabatsko širenje produkata sagorevanja do pritiska
spoljašnjeg vazduha, pa je kod njih odvoñenje toplote pri konstantnom pritisku, a ne pri
konstantnoj zapremini kao kod motora SUS. Dovoñenje toplote može da se ostvari pri
konstantnom pritisku ili pri konstantnoj zapremini. Savremene gasne turbine uglavnom
rade sa izobarskim dovoñenjem toplote. Postrojenja sa gasnom turbinom služe za proizvodnju električne energije ili kao
pomoćne mašine u sklopu drugih postrojenja. Glavni delovi su: kompresor 2, komora za
sagorevanje ili zagrevanje 3 i turbina 4. U gasnim turbinama kao samostalnim
mašinama radni fluidi su produkti sagorevanja u smeši sa vazduhom koji hladi komore
za sagorevanje, dok kod gasnih turbina kao pomoćnih mašina, radni fluidi su izduvni
gasovi motora SUS, produkti sagorevanja parnih kotlova i dr. Radni proces gasnih
turbina kao samostalnih mašina se sastoji u sledećem: sabijanje goriva i vazduha ili
zajedno ili posebno, njihovo mešanje, paljenje i sagorevanje u komorama za sagorevanje i
ekspanzija produkata sagorevanja u turbini. Vazdušni kompresor 2 usisava vazduh iz
atmosfere, sabija ga, i odvodi ga u komoru za sagorevanje 3, gde se pumpom 1 dovodi
tečnost ili gorivo u obliku gasa. Prilikom sagorevanja gas velikom brzinom dolazi u
lopatične kanale turbine 4 gde se kinetička energija pretvara u mehanički rad koji se
pomoću pogonskog vratila prenosi na generator 5.
Slika 35. Šema postrojenja sa gasnom turbinom
Da bi se ostvario visok stepen iskorišćenja turbine potrebno je da gasovi ispred
turbine imaju visoku temperaturu, što zahteva veoma kvalitetne čelike, posebno otporne
na visoke temperature, za elemente turbine. Znatno se primenjuju u avijaciji,
brodogradnji, železničkom transportu i uopšte u energetici.
Gasna turbina radi po otvorenom ciklusu: iz spoljne sredine se usisava vazduh i u
nju se izbacuju izlazni gasovi. Meñutim, pretpostavlja sa da je ciklus zatvoren, odnosno
Kružni procesi
53
da je količina radnog tela konstantna. Pri analizi rada gasno-turbinskog postrojenja
uvode se sledeće pretdpostavke:
� radno telo je idealan gas sa konstantnom specifičnom toplotom;
� svi procesi u ciklusu su povratni;
� sagorevanje goriva se zamenjuje povratnim dovoñenjem toplote, a izlazak
gasova iz turbine povratnim odvoñenjem toplote (hlañenjem).
Kružni ciklus rada gasne turbine sa dovoñenjem toplote pri p=const koji se sastoji
od dve izentrope (kvazistatičke adijabate) i dve izobare naziva se Džulov proces.
Adijabatsko sabijanje vazduha (1-2) obavlja se u kompresoru, a proces izobarskog
dovoñenja toplote (2-3) u komori za sagorevanje. Proces adijabatske eksapnzije (3-4)
obavlja se u radnom kolu gasne turbine, a odvoñenje toplote (4-1) u okolinu odvija se pri
konstantnom pritisku.
Slika 36. Kružni proces gasne turbine sa dovoñenjem toplote pri p=const
- Džulov kružni proces -
Termodinamički stepen korisnosti ovog ciklusa je dat izrazom:
1
21q
qt −=η
gde su:
( )( )142
231
TTcq
TTcq
p
p
−=
−=
Zamenom datih izraza dobija se:
( )( ) 23
14
23
14 11TT
TT
TTc
TTc
p
pt −
−−=
−−
−=η
Ako se iskoriste jednačine adijabate dobija se:
Termotehnika
54
k
kk
k
k
kk
k
p
p
T
T
p
p
T
T
11
4
3
4
3
11
1
2
1
2
−−
−−
=
=
=
=
β
β
k
kt 1
11 −−=
βη
gde je 4
3
1
2
p
p
p
p ==β stepen povišenja pritiska. Iz izraza za termodinamički stepen
korisnosti Džulovog procesa se vidi da stepen korisnosti raste pri porastu stepena
povišenja pritiska.
PITANJA
1. Objasnite rad toplotnih mašina. Kada se rad dobija, a kada ulaže?
2. Šta je termodinamički stepenkorisnosti? U kojim se granicama nalazi?
3. Objasnite Karnotov proces. Čemu je jednak stepen korisnosti i od čega zavisi?
1. Šta su toplotni motori i kako se dele?
2. Kako se dele klipni motori sa unutrašnjim sagorevanjem?
3. Objasnite princip rada klipnih motora sa unutrašnjim sagorevanjem.
4. Nacrtajte Otto proces u vp, i sT , dijagramu, a zatim izvedite i proanalizirajte
izraz za termodinamički stepen korisnosti.
5. Nacrtajte Dizel proces u vp, i sT , dijagramu, a zatim izvedite i proanalizirajte
izraz za termodinamički stepen korisnosti.
6. Nacrtajte Jouelov proces u vp, i sT , dijagramu, a zatim izvedite i proanalizirajte
izraz za termodinamički stepen korisnosti.
55
6. PROSTIRANJE TOPLOTE
6.1. NAČINI PROSTIRANJA TOPLOTE
6.2. PROSTIRANJE TOPLOTE
PROVOĐENJEM
6.2.1. Temperaturno polje
6.2.2. Diferencijalna jednačina prostiranja toplote
6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz ravan zid
6.2.4. Stacionarno provoñenje toplote kroz cilindričan zid
6.3. KONVEKTIVNO PROSTIRANJE TOPLOTE
6.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRAČENJEM
6.1. NAČINI PROSTIRANJA TOPLOTE
Poznato je, na osnovu drugog zakona termodinamike, da u našim uslovima
toplota uvek prelazi sa toplijeg na hladnije telo, od toplije na hladniju sredinu, od toplijih
ka hladnijim slojevima tela. Na taj način, već samim prirodnim zakonom potpuno je
odreñen smer prostiranja toplote.
U tehničkoj praksi, a i uopšte u životu uopšte, nameće se potreba da se ova
prirodna tendencija prostiranja toplote ili potpomaže ili sprečava: potpomaže se u onim
slučajevima kada je potrebno da se toplota dovede od izvora toplote radnom telu (npr. od
produkta sagorevanja goriva vodi koja isparava u parnom kotlu), dok se sprečava u onim
slučajevima kada je prostiranje toplote štetno i predstavlja čist energetski gubitak (npr.
kroz zidove cevi za transportovanje pare, tople vode, toplog vazduha ili nekog fluida čija
je temperatura viša od temperature okoline). U prvom slučaju je potrebno stvoriti takve
uslove, npr. izborom materijala, da prostiranje toplote bude što intenzivnije, dok u
drugom da ono bude što sporije zbog čega se npr. koriste takvi materijali koji imaju veći
otpor prostiranju toplote - izolacioni materijali. Ovi zadaci i problemi nametnuli su i
potrebu za specijalnim izučavanjem teorije prostiranja toplote.
Prostiranje toplote je prirodan proces prenošenja unutrašnje energije u obliku
toplote, sa tela sa višom temperaturom, na telo sa nižom temperaturom. Ako nema
drugih uzroka, stanje posmatranih tela menjaće se sve dok se ne uspostavi toplotna
ravnoteža, tj. dok se tempearture tela ne izjednače. Toplota Q označava energetsku
interakciju koja nastaje zbog postojanja razlike temperatura ∆T. Smer toplote je od tela
više prema telu niže temperature. Na osnovu iskustva, ne postoji spontani proces tokom
kojeg bi toplota prešla s hladnijeg na toplije telo. Zato je promena toplote jednosmerni
(nepovratan, ireverzibilan) proces koji je povezan s degradacijom energije.
Termotehnika
56
Postoje tri načina prostiranja toplote:
1. Provoñenje ili kondukcija je način prostiranja toplote u čvrstim telima, od jednog
delića materije do drugog kada se deliići materije (atomi, molekuli) ne kreću.
Mehanizam provoñenja toplote sastoji se u bržem oscilovanju molekula i atoma u
toplijim slojevima čvrste materije od onih u hladnijim slojevima, zbog čega imaju
veću kinetičku energiju koju predaju hladnijim slojevima usled oscilovanja i
sudara sa njima.
2. Strujanje fluida ili konvekcija je način prostiranja toplote koji postoji kada je
temperatura, pa i gustina, različita u raznim slojevima fluida, usled čega dolazi
do njihovog strujanja (komešanja) i na taj način prostiranja toplote – prirodna
konvekcija. Ako je strujanje fluida izazvano strujnom mašinom (pumpom,
ventilatorom) onda je to prinudna konvekcija.
3. Kod zračenja ili radijacije toplotna unutrašnja energija materije se pretvara u
energiju zračenja, koja se u vidu elektromagnetnih talasa prostire kroz prostor i
vakum. Energija zračenja se u dodiru sa drugim telima ponovo pretvara u
unutrašnju toplotnu energiju. Na ovaj način se prostire toplota od Sunca do
Zemlje i drugih palneta.
Iz navedenih mehanizama prostiranja toplote se vidi da dva sistema mogu, ali ne
moraju, biti u neposrednom dodiru, iz čega se može zaključiti da su mehanizmi prenosa
toplote u tim slučajevima bitno različiti. Prostiranje toplote unutar i izmeñu dva sistema
odvija se na dva načina:
� posredstvom materije kada su sistemi u neposrednom dodiru. Pri tome se, u
zavisnosti od agregatnog stanju sistema, energija (toplota) prenosi kroz
sisteme ili provodenjem (čvrsta tela) ili konvekcijom (fluidi) i
� elektromagnetnim zračenjem kada se sistemi ne dodiruju. Ovaj efekt se
naziva toplotno zračenje ili radijacija.
Slika 37. Načini prostiranja toplote
Stvarno prostiranje toplote je kombinovano, što znači da su u izvesnoj meri i
istovremeno zastupljena sva tri načina prostiranja toplote.
Prostiranje toplote
57
6.2. PROSTIRANJE TOPLOTE PROVOĐENJEM
6.2.1. Temperaturno polje
Temperatura je, kao i druge veličine stanja, skalarna veličina koja se opisuje
samo numeričkom vrednošću i odgovarajućom dimenzijom temperaturne skale. Za
razliku od modela klasične termodinamike koji pretpostavlja materiju u unutrašnjoj
toplotnoj ravnoteži, teorija prostiranja toplote polazi od činjenice da pri promeni toplote
sa okolinom čestice materije nemaju jednaku temperaturu.
Pod temperaturnim poljem podrazumeva se vrednost temperatura u svim
tačkama prostora u datom trenutku vremena. U materiji postoji trodimenzionalno
skalarno temperaturno polje koje se tokom razmene toplote vremenom menja.
Stacionarno temperatursko polje je ono u kome se temperatura ne menja sa
vremenom tj.
( ),,, zyxft = 0=∂∂τt
Nestacionarno temperatursko polje je ono koje se menja tokom vremena tj.
( )τ,,, zyxft =
Svako temperatursko polje može biti:
- prostorno koje zavisi od sve tri koordinate:
),,,( τzyxft = ,
- ravansko ili dvodimenzionalno zavisi od dve koordinate:
( )τ,, yxft = 0=∂∂z
t
- jednodimenzionalno polje, zavidi samo od jedne koordinate:
( ) 0,0,, =∂∂=
∂∂=
z
t
y
txft τ
Pri opisu polaznog modela često se koristi procena da su promene temperature u
odnosu na neke koordinate prostora zanemarljivo male u odnosu na dominantne
promene temperature samo u jednom smeru. U svakom telu gde postoji razlika u
temperaturama dolazi do toplotnog protoka.
Kako u pojedinim tačkama temperaturnog polja temperatura može da ima istu
vrednost, to se spajanjem tačaka istih temperatura dobijaju površine u prostoru koje se
nazivaju izotermske površine. Temperatura se menja od površine do površine i one se ne
mogu meñu sobom seći. Ako se izotermske površine preseku sa jednom ravni dobija se
familija izotermi tj. skup linija istih temperatura. Duž izoterme i temperatura se ne
menja. U svakom drugom pravcu postoji promena temperature.
Postojanje temperaturnog polja ukazuje na postojanje razlike temperatura
susednih čestica, pa je to uzrok nastanku transporta toplote kroz materiju u smeru pada
temperature.
0nn
ttgrad
r
∂∂=
Termotehnika
58
gde je 0nr
- jedinični vektor u pravcu normale na izotermsku površinu
n - normala na izotermu.
Vektor grad t usmeren je u smeru povećanja temperature.
Slika 38. Izotermske linije
Toplotni protork, toplotni fluks ili termički fluks je količina toplote koja u jedinici
vremena proñe kroz proizvoljnu površinu:
==s
JW
QQ ,
τ&
Količina toplote koja proñe kroz jedinicu neke površine u jedinici vremena naziva
se specifičnim toplotnim protokom:
A
&
& = ,
2m
W
Furije je 1822. godine prvi postavio zakon provoñenja toplote po kome je
uspostavio direktnu zavisnost izmeñu specifičnog toplotnog protoka i gradijenta
temperature (Furijeov zakon):
λ−=qr
grad t
gde je λ
mK
Wkoeficijent toplotne provodljivosti i on predstavlja toplotnu karakteristiku
materijala. Znak minus znači da se toplota prostire u pravcu smanjenja temperature.
Koeficijent toplotne provodljivosti zavisi od vrste materijala i njegove gustine, pritiska i
temperature. Naslabiji provodnici toplote su gasovi, a najbolji metali. Kao izolatori
toplote upotrebljavaju se šamot, staklena vuna, azbest i dr.
6.2.2. Diferencijalna jednačina prostiranja toplote
Posmatra se telo koje se zagreva (ili hladi) iz koga se izdvaja elementarni
paralelopiped ivica dx, dy, dz. Neka u ovaj elementarni paralelopiped ulazi količina
toplote u pravcu x, y i z ose, redom zyx qqq ,, a neka iz njega izlazi količina toplote po
pomenutim pravcima dyydxx qq ++ , i dzzq + . Pretpostavlja se da u posmatranoj kontrolnoj
zapremini nema izvora niti ponora toplote.
Prostiranje toplote
59
Slika 39. Element kontrolisane zapremine
Dovedena i odvedena količina toplote elementarnom paralelopipedu iznosi:
zyx qqqq ++=1
dzzdyydxx qqqq +++ ++=2
Usled razlike izmeñu dovedene i odvedene količine toplote doći se do promene
temperature :
21 qqdq −=
Na osnovu Furijevog zakona mogu se napisati sledeće jednakosti za dovedenu i
odvedenu količinu toplote:
τλ dydzdx
tq xx ∂
∂−= dxx
qqq x
xdxx ∂∂
+=+
τλ dxdzdy
tq yy ∂
∂−= dyy
qqq y
ydyy ∂∂
+=+
τλ dxdydz
tq zz ∂
∂−= dzz
qqq z
zdzz ∂∂+=+
dzz
qqdy
y
qqdx
x
qqqqqqqdq z
zy
yx
xzyx ∂∂
−−∂
∂−−
∂∂
−−++=−= 21
∂∂+
∂∂+
∂∂−= dzq
zdyq
ydxq
xdq zyx
τλτλτλ dxdydzdz
t
zdxdydzd
y
t
ydxdydzd
x
t
xdq zyx
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
Usled promene količine toplote dolazi i do promene temperature u vremenu dτ tj.
do promene unutrašnje energije:
ττ
ρ dt
dxdydzcdq∂∂=
Nakon izjednačavanja izraza za toplotu i sreñivanjem dobija se:
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂
z
t
zy
t
yx
t
x
tc zyx λλλ
τρ
Termotehnika
60
Za homogenu sredinu važi da je λλλλ === zyx , pa gornji izraz glasi:
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
ttc λ
τρ
Ako u kontrolnoj zapremini postoje izvori ili ponori toplotne energije iq onda se
izraz može napisati u sledećem obliku koji predstavlja diferencijalnu jednačinu
temperaturnog polja ili Furijeovu jednačinu.:
ρτ c
q
z
t
y
t
x
ta
t i&±
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
2
2
2
2
2
2
gde je ρλc
a =
s
m2
koeficijent temperaturske provodnosti koji karakteriše brzinu
promene temperature u bilo kojoj tački tela. Ako u telu nema unutrašnjih izvora tolote
Furijeova jednačina glasi:
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
2
2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
ta
t
τ
Ako analiziramo prethodnu jednačinu može se zaključiti sledeće:
- ako je proces prostiranja toplote stacioniran onda je 0=∂∂τt
, a ako je nestacioniran
onda ovaj član postoji u izrazu;
- ako je problem ravanski onda je 02
2
=∂∂z
t;
- ako se posmatra jednodimenzionalno prostiranje toplote onda je 02
2
2
2
=∂∂=
∂∂
z
t
y
t pa
Furijeova jednačina za ovaj slučaj ima oblik:
02
2
=∂∂x
t
odakle se rešavanjem dobija:
21 CxCt +=
Iz poslednjeg izraza se vidi da je kod jednodimenzionalnih stacioniranih problema
raspodela temperature pravolinijska.
U zavisnosti od složenosti problema rešavanje diferencijalne jednačine
provoñenja toplote je manje ili više matematički otežano, a za rešavanje problema
potrebno je znati početne i granične uslove. Početni uslovi definišu raspored
temperature unutar tela u početnom trenutku vremena. Granični uslovi definišu
odvijanje procesa na graničnim površinama tela. Postoje tri vrste graničnih uslova:
- granični uslovi prve vrste, gde je poznata raspodela temperature st na površini
tela:
),,,( τzyxft s =
- granični uslovi druge vrste, gde se zadaje toplotni fluks:
),,,( τzyxfqs =&
Prostiranje toplote
61
- granični uslovi treće vrste, gde se zadaje temperatura spoljne okoline ot i zakon
razmene toplote izmeñu spoljašnje (granične) površine tela i spoljašnje okoline (najčešće
se definiše Njutnovim zakonom prelaza toplote):
)( 0ttq ss −±= α&
gde su:
-
Km
W2
α koeficijent proporcionalnosti tj. koeficijent prelaza toplote i
- st temperatura površine.
Koji će se od ova tri granična uslova primeniti zavisi od konkretnog problema.
6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz ravan zid
Posmatra se jednoslojni homogeni ravan zid debljine δ koeficijenta toplotne
provodljivosti λ. Na spoljašnjim površinama zida održavaju se temperature 1t i 2t ali
tako da je 1t > 2t . Obzirom na konstantnost ovih temperatura spoljašnje površine su
izotermske površine a prostiranje toplote se odvija od površine "1" ka površini "2".
Navedeni problem je stacionaran i kako nema unutrašnjih izvora toplote a
provoñenje toplote se odvija samo u x pravcu to Furijeova parcijalna diferencijalna
jednačina ima oblik:
02
2
=∂∂x
t
odakle se dobija
1Cdx
dt = → 21 CxCt +=
Slika 40. Jednoslojni ravan zid
Konstante 1C i 2C nalaze se pomoću graničnih uslova prve vrste:
� za 0=x 1tt =
� za δ=x 2tt =
Termotehnika
62
δδ2112
1
ttttC
−−=
−=
12 tC =
Raspodela temperature po debljini zida (temperaturno polje u zidu) definisano je
izrazom:
xtt
ttδ
211
−−=
Specifični toplotni protok kroz zid iznosi:
( )211 ttCdx
dtq −=−=−=
δλλλ&
Toplotni fluks kroz jednoslojan ravan zid je:
( )AttAqQ 21 −==δλ
&&
a količina toplote koju provodi jednoslojan ravan zid je:
( ) τδλτ AttQQ 21 −== &
gde je δλ
toplotna provodljivost zida i A površina zida. Recipročna vrednost toplotne
provodljivosti je λδ
predstavlja specifični toplotni otpor kroz jednoslojni ravan zid.
Za ravan zid sastavljen iz više slojeva može se za svaki sloj primeniti Furijeov
zakon jer je pri stacionarnom provoñenju toplote specifični toplotni protok isti kroz sve
slojeve zida. Za višeslojni ravan zid sastavljen iz različitih slojeva debljine ,,...,, 321 nδδδδ
čiji su koeficijenti toplotne provodljivosti ,,...,,, 321 nλλλλ važi:
( ) ( ) ( ) ( )1433
332
2
221
1
1 ... +−==−=−=−= nnn
n ttttttttqδλ
δλ
δλ
δλ
odakle se dobija
n
nnn qtt
qtt
qtt
qtt
λδ
λδλδλδ
=−
−−−−−−−−
=−
=−
=−
+1
3
343
2
232
1
121
Sabiranjem sistema jednačina dobija se:
Prostiranje toplote
63
∑=
++ −=
++++
−=
n
i i
i
n
n
n
n ttttq
1
11
3
3
2
2
1
1
11
...λδ
λδ
λδ
λδ
λδ
Slika 41. Višeslojni ravan zid
Ako je nepoznata temperatura na kontaktu izmeñu dva sloja, može se izračunati
iz prethodnih jednačina u obliku:
λλδ
λδ
λδ
λδ
λδ
λδ
λδ
λδλδ
qRtqtqtqtt
qtqtt
qtt
n
i i
i
n
n
n
nnn −=−=
+++−=−=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+−=−=
−=
∑=−
−
−
−− 1
11
1
1
2
2
1
11
1
11
2
2
1
11
2
223
1
112
...
gde je λR ukupni specifični toplotni otpor višeslojnog ravnog zida.
6.2.3. Stacionarno provoñenje toplote kroz cilindričan zid
Provoñenje toplote kroz cilindričan zid je principijelno isto kao kod ravnog zida, s
tim što su u ovom slučaju izotermske površine koncentrični krugovi. Posmatra se
jednoslojni cilindrični zid tj. cev dužine 1, debljine δ, koeficijenta toplotne provodljivosti
λ, unutrašnjeg i spoljašnjeg prečnika 1d i 2d , kao na slici. Neka se na unutrašnjoj
površini zida održava konstantna temperatura 1t , a na spoljašnjoj površini 2t , tako da je
1t > 2t .
Termotehnika
64
Slika 42. Jednoslojni cilindrični zid (cev)
Za izdvojeni cilindar elementarne debljine dr , u kome je elementarna promena
temperature dt , provodi se količina toplote:
τπλτλdr
dtrlA
dr
dtQ 2−=−=
pa je toplotni protok odreñen iz izraza:
dr
dtlr
QQ λπ
τ2−==&
Razdvajanjem promenljivih i integracijom dobija se temperaturno polje u
cilindričnom zidu kao:
Crl
Qt
r
dr
l
Qdt
+=
−=
ln2
2
πλ
πλ&
&
Granični uslovi prve vrste u ovom slučaju glase:
� za 1rr = 1tt =
� za 2rr = 2tt =
Crl
Qt
Crl
Qt
+−=
+−=
22
11
ln2
ln2
πλ
πλ&
&
Toplotni protok kroz jednoslojni cilindričan zid iznosi:
1
2
2121
1
2 ln2
1)(
ln
2
d
d
l
tttt
r
rl
Q
πλ
πλ −=−=&
Prostiranje toplote
65
Za cev dužine 1m dobija se da je termički fluks:
−==m
W
d
dtt
l
QQ ,
ln2
1
1
2
21
πλ
&
gde je izraz 1
2ln2
1
d
d
πλtoplotni otpor zida. Jednačina promene temperature kroz
jednoslojni cilindrični zid ima oblik:
1
1
2
211 ln
ln d
d
d
dtt
tt−−=
iz koga se vidi da je promena temperature logaritamska kriva.
Posmatrajmo višeslojni cilindričan zid sastavljen iz više koaksialnih cilindričnih
slojeva prečnika ndddd ,...,,, 321 , koeficijenata toplotne provodljivosti nλλλλ ,...,,, 321 i
dužine l.
Slika 43. Višeslojni cilindričan zid
Za slučaj višeslojnog cilindričnog zida toplotni protok je jednak za svaki sloj.
n
n
nnn
d
dtt
l
d
dtt
l
d
dtt
lQ1
1
2
3
322
1
2
211
ln2...
ln2
ln2
+
+−==
−=
−= πλπλπλ&
gde je n broj slojeva. Iz prethodnog izraza dobija se:
Termotehnika
66
n
n
nnn d
dqtt
d
dqtt
d
dqtt
11
2
3
232
1
2
121
ln2
ln2
ln2
++ =−
−−−−−−−−−−−−
=−
=−
πλ
πλ
πλ
&
&
&
odakle se sabiranjem dobija:
i
in
i
n
n
n
n
n
d
dtt
q
d
d
d
d
d
dtt
q
1
1
11
1
2
3
21
2
1
11
ln1
2
1
ln2
1...ln
2
1ln
2
1
+
+
+
+
∑
−=
+++
−=
λπ
πλπλπλ
Temperature na pojedinim slojevima zida mogu se izračunati iz sledećih izraza:
∑+++
− −=
++−=−=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
+−=−=
−=
n
i
i
in
n
nn
n
nnn d
dqt
d
d
d
dqt
d
dqtt
d
d
d
dqt
d
dqtt
d
dqtt
1
11
1
1
2
21
11
2
31
21
2
11
2
3
223
1
2
112
ln1
2ln
1...ln
1
2ln
2
ln1
ln1
2ln
2
ln2
λπλλππλ
λλππλ
πλ
6.3. KONVEKTIVNO PROSTIRANJE TOPLOTE
Konvekcija ili prelaz toplote predstavlja vrlo čest način prostiranja toplote i vrši
se na osnovu kretanja fluida. Kada fluid u kretanju dodiruje neki zid dolazi do
prostiranja toplote izmeñu zida i fluida. U zavisnosti od toga da li je zid na višoj ili nižoj
temperaturi od fluida nastaće prostiranje toplote sa zida na fluid, odnosno sa fluida na
zid. Ovakav način prostiranja toplote se u najvećem broju slučajeva odvija prirodnim
strujanjem fluida - prirodna konvekcija. Ako je strujanje fluida prouzrokovano mašinom
(pumpom ili ventilatorom) takav mehanizam prostiranja toplote se naziva prinudna
konvekcija.
Za ovakav način prostiranja toplote Njutn je postavio zakon po kome je količina
toplote koja prelazi sa fluida na površinu koja je sa njim u dodiru data izrazom:
Prostiranje toplote
67
( ) τα AttQ zf −=
gde su:
α
Km
W2
- koeficijent prelaza toplote,
[ ]Ct of - temperatura fluida,
[ ]Ct oz - temperatura zida,
[ ]2mA - dodirna površina izmeñu fluida i zida,
[ ]sτ - vreme.
Posmatrajmo jednoslojni ravan zid debljine δ, toplotne provodljivosti λ koji se
nalazi izmeñu dva fluida temperatura It i IIt , sa koeficijentima prelaza toplote 1α i 2α
koji su konstantni. Prema Njutnovom zakonu sa fluida I na zid preñe količina toplote:
( ) τα AttQ I 11 −=
koja se pri stacionarnim uslovima provede kroz zid:
( ) τδλ
AttQ 21 −=
Ista količina toplote se prostire sa zida na drugi fluid, pa po Njutnovom zakonu važi:
( ) τα AttQ II−= 22
U navedenom primeru javlja se kombinovano prostiranje toplote koje se sastoji od
konvekcije (sa fluida na zid), kondukcije (kroz zid) i ponovo konvekcije (sa zida na fluid).
Ovako kombinovano prostiranje toplote se naziva PROLAZ TOPLOTE.
Slika 44. Prolaz toplote kroz jednoslojni ravan zid
Ako se iz prethodnih izraza eliminišu temperature 1t i 2t na površinama zida
dobija se izraz za količinu toplote koja se provede sa jednog na drugi fluid:
( ) ττ
αλδ
α
AttkAtt
Q IIIIII −=++
−=
21
11
Termotehnika
68
++= K
m
Wk
2
21
111
αλδ
α
gde je k koeficijent prolaza toplote.
Ako se posmatra prolaz toplote kroz višeslojni ravan zid debljina nδδδ ,...,, 21 sa
koeficijentima prolaza toplote ,,...,, 21 nλλλ sa koeficijentom prelaza toplote 1α i 2α izraz
za količinu toplote koja se predaje sa jednog na drugi fluid glasi:.
( ) ττ
αλδ
α
AttkAtt
Q IIIn
i i
i
III −=++
−=∑
= 211
11
++=∑
=
Km
Wk
n
i i
i2
211
111
αλδ
α
Slika 45. Prolaz toplote kroz višeslojni ravan zid
Toplotni otpor prolaženju toplote za višeslojni ravan zid iznosi:
211
111
αλδ
α ∑=++==
n
i i
ik k
R
Količina toplote koja se predaje sa jednog na drugi fluid koji su razdvojeni
jednoslojnim cilindričnim zidom odreñena je izrazom:
( ) τ
παπλπα
τ l
dd
d
d
ttlttkQ III
IIIc
221
2
11
1ln
2
11 ++
−=−=
221
2
11
1ln
2
111
παπλπα dd
d
d
kc
++=
Prostiranje toplote
69
gde je ck koeficijent prolaza toplote jednoslojnog cilindričnog zida.
Ako su fluidi razdvojeni višeslojnim cilindričnim zidom prethodni izrazi imaju
oblik:
( ) τ
παπλπα
τ l
dd
d
d
ttlttkQ
n
n
i i
i
i
IIIIIIc
211
1
11
1ln
2
11
+=
+ ++
−=−=
∑
211
1
11
1ln
2
111
παπλπα +=
+ ++=
∑n
n
i i
i
i
c
dd
d
d
k
pri čemu je toplotni otpor višeslojnog cilindričnog zida
cc k
R1= .
6.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRAČENJEM
Kod ovog načina prostiranja toplote, toplota zagrejanog tela prvo prelazi u
energiju zračenja, a zatim se pomoću elektromagnetnih talasa prenosi na telo u kome se
absorbuje i ponovo prelazi u toplotnu energiju. Ovaj način prostiranja toplote je osetan
samo na višim temperaturama. Energija zračenja se prenosi elektromagnetnim talasima
čija je brzina prostiranja:
vc λ=
gde je
λ – talasna dužina i
ν – frekvencija elektromagnetnih talasa.
Prenos energije zračenjem vrši se elektromagnetnim talasima svih talasnih
dužina, ali se toplotna energija zračenja prenosi toplotnim zracima čija je talasna dužina
λ= (0.08-400)310−⋅ mm. Zračenje zavisi od prirode materije i od njene temperature, zbog
čega se i naziva temperaturskim zračenjem.
Ukupna energija koju zrači 1 m2 neke površine u jedinici vremena naziva se sjaj
površine. U njoj može biti sadržano:
1. Zračenje koje je nastalo u samom telu, tzv. emitovano zračenje,
2. Zračenje koje je nastalo u nekom drugom telu, dozračeno je na posmatrano
telo pa se sa njegove površine reflektuje tzv. reflektovano zračenje,
3. Zračenje dozračeno sa drugog tela i prolazi kroz posmatrano telo, tzv. prolazno
zračenje.
Prema tome toplotni zraci koji padaju na posmatrano telo delom se aposrbuju,
delom reflektuju a jedan deo proñe kroz telo u vidu oslabljenog zraka, pa važi jednakost:
1=++=++
=++
draE
E
E
E
E
E
EEEE
dra
dra
gde su:
E - ukupna dozračena energija,
Termotehnika
70
dra EEE ,, - delovi energije koji su apsorbovani, reflektovani i propušteni,
rE
Ea
E
E ra == , , dE
Ed = - koeficijenti absorpcije, refleksije i dijatermije (prozračnosti).
Čvrsta tela, čak i male debljine, su praktično neprozračna za toplotne zrake (d=0)
pa za njih važi izraz:
1=+=+ raE
E
E
E ra
Telo koje potpuno apsorbuje svu dozračenu toplotnu energiju naziva se apsolutno
crno telo. Za ovo telo je a=1. Zračenje apsolutno crnog tela naziva se crnim zračenjem i
zavisi isključivo od temperature i ono predstavlja maksimalno moguće zračenje pri datoj
temperaturi.
Apsolutno belo telo je ono telo koje potpuno reflektuje svu dozračenu toplotnu
energiju (telo u potpunosti odbija dozračenu energiju) i za njega važi r=1. U prirodi ne
postoje ni apsolutno crno telo, ni apsolutno belo telo.
Za stvarna tela uvek je a < 1 pa stvarno telo temperature T zrači energiju E koja
je manja od energije Ec koju bi pri istoj temperatri zračilo apsolutno crno telo. Zato se
stvarna tela nazivaju "sivim telima". Odnos toplotne energije E koju zrači neko stvarno
telo na nekoj temperaturi i toplotne energije apsolutno crnog tela cE na istoj toj
temperaturi naziva se koeficijent emisije ili stepen crnoće:
cE
E=ε <1
Kod apsolutnog crnog tela ε=1. Koeficijent emisije zračenja zavisi od temperature
i stanja površine posmatranog tela (glatka, polirana, tamna, sjajna) i nije isti u svim
pravcima. Koeficijent emisije jednak koeficijentu apsorpcije tj. a = ε, tj. ako neko telo
jako emituje toplotno zračenje ono ga jako i apsorbuje (Kirkohov zakon).
Slika 46. Primeri zračenja površine tela:
(a) ogledalo, (b) crno telo, (c) glatka površina, (d) bela površina, (d) hrapava površina
Naučnici Stefan i Bolcman su dokazali da toplotna energija zračenja apsolutnog
crnog zavisi od temeperature tj. da je proporcionalna četvrtom stepenu temperature
površine: 4
100
= TCE cc
Prostiranje toplote
71
gde je 42
81076,5Km
WCc
−⋅= konstantna zračenja apsolutnog crnog tela koja. Ovaj izraz
predstavlja Stefan-Bolcmanov zakon.
Energija koju zrači siva površina na istoj temperaturi iznosi:
44
100100
=
== TC
TCEE cc εε
gde je cCC ε= konstanta zračenja sivog tela. Koeficijenti emisije za neke materijale
iznose: za aluminijum ε=0,052, za bakar slabo oksidiran ε=0,037, za gvožñe slabo zarñalo
ε=0,610, za staklo ε=0,940 i za gumu i malter ε=0,950.
Do sada je razmatrano zračenje tela tj. jedne površine koja zrači. U praksi je češći
slučaj dve površine koje zrače. U najopštijem slučaju površine mogu imati proizvoljan
položaj u prostoru. Ovde će se razmatrati slučaj razmene toplote zračenjem izmeñu dve
paralelne ploče čije su dimenzije znatno veće od njihovog meñusobnog rastojanja.
Površina I ima temperaturu 1T , konstantu zračenja cCC 11 ε= i koeficijent apsorcije 1a ,
dok površina II na temperaturi 2T < 1T ima analogno cCCT 222 , ε= i 2a .
Slika 47. Zračenje izmeñu paralelnih ploča
Površina I zrači energiju 1E a površina II energiju 2E koje su odreñene Stefan-
Bolcmanovim zakonom. Obzirom da su površine blizu jedna drugoj "sjaj" površine I čini i
energija koju ova površina reflektuje, a dozračena je od površine II. Ukupna efektivna
energija koju zrači površina I iznosi:
( ) efef EaEE 2111 1−+=
Analogno važi i za površinu II pa se je ukupna efektivna energija koju zrači
površina II:
( ) efef EaEE 1222 1−+=
Iz pretodnih jednačina nalazi se da su efektni fluksevi energije koje odaju
površine I i II odreñeni izrazima:
2121
12212
2121
21211
aaaa
EaEEE
aaaa
EaEEE
ef
ef
−+−+=
−+−+=
Toplota koja se razmeni zračenjem izmeñu posmatranih površina tj. izmeñu dve
beskonačne paralelne ploče iznosi:
Termotehnika
72
2121
211221 aaaa
EaEaEEE efef −+
−=−=
Primenom Stefan – Bolcmanovog zakona dobija se da je:
4
22
4
22
4
222
4
11
4
11
4
111
100100100
100100100
=
=
=
=
=
=
TCa
TC
TCE
TCa
TC
TCE
cc
cc
ε
ε
111
1
1111
100100
21
21
12
4
2
4
112
−+=
⋅=−+
=
−
=
εε
ε
ε
red
redc
c
C
CCC
C
TTCE
gde je 12C efektivna konstanta zračenja.
PITANJA
1. Kada nastaje prostranje toplote i čime je odreñen smer prostiranja toplote?
2. Koji su osnovni mehanitmi prostiranja toplote?
3. Objasniti razmenu toplote provoñenjem.
4. Objasniti razmenu toplote prelaženjem.
5. Objasniti razmenu toplote prolaženjem.
6. Uporediti temperatursku raspodelu kroz ravan i cilindričan zid priprovoñenju
toplote.
7. Šta je i kako se definiše koeficijent provoñenja toplote?
8. Uporediti prirodnu i prinudnu konvekciju.
9. Od kojih veličina zavisi koeficijent prelaženja toplote?
10. Napisati izraze za specifični toplotni protok kroz jednoslojni i višeslojni ravan i
cilindričan zid. Uporediti ih.
11. Objasniti razmenu toplote zračenjem.
12. Šta je apsolutno belo, a šta apsolutno crno telo?
13. Šta je sivo telo?
14. Napisati izraz za Štefan-Bolcmanov zakon.
15. Objasniti Kirhofov zakon zračenja.
16. Šta je emisivnost?
17. Napisati izraz za specifični toplotni protok koji se razmeni pri zračenju dva tela
na različitim temperaturama.