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24장 경계값 문제

24.1 소개와 배경24.2 사격법24.3 유한차분법

Applied Numerical Methods 장 경계값 문제

24장 경계값 문제

번지 점프하는 사람의 자유낙하 속도와 위치에 대한 ODE 시스템

초기 시간에서의 위치와 속도를 아는 경우 (두 개의 조건이 독립변수의

같은 값에서 주어짐

초기 시간과 일정 시간 후에서의 위치를 아는 경우 (두 개의 조건이 독

립변수의 다른 값에서 주어짐)

2dcdv g vdt mdx vdt

= −

=

( 0)( 0)

i

i

x t xv t v

= == =

( 0)( )

i

f f

x t xx t t x

= == =

초기값 문제

경계값 문제

24


24.1 소개와 배경 (1/4)

경계값 문제란 무엇인가?

초기값 문제와 경계값 문제.(a) 초기값 문제에서는 모든조건이 독립변수의 같은 값에서 지정된다. (b) 경계값문제에서는 조건들이 독립변수의 다른 값에서 지정된다.

24


24.1 소개와 배경 (2/4)

공학과 과학에서의 경계값 문제경계값 문제는 보조 조건이 종종 공간상의 다른 위치에서 주어지므로, 공간에서적분될 때 더욱 일반적으로 나타난다.

온도가 일정한 두 벽면 사이에 위치한 길고 가는 봉의 정상상태의 온도분포를 고려한다(열은 봉의 길이 방향을 따라 열전도에 의하여 전달되고, 봉과 주위 기체 사이에서는 대류에 의해 전달된다. 여기서 복사는 무시할 수 있다고 가정한다).

24


24.1 소개와 배경 (3/4)

길이 Δx의 미소요소 주위에 열평형을 취하면,

위 식을 으로 나누면,

Δx→0 으로 극한을 취하면,

0 ( ) ( ) ( )c c sq x A q x x A hA T T∞= − + ∆ + −

2 , 2c sA r A r xπ π= = ∆여기서

2r xπ ∆

( ) ( ) 20 ( )q x q x x h T Tx r ∞

− + ∆= + −

∆

20 ( )dq h T Tdx r ∞= − + −

dTq kdx

= −

Fourier 법칙

24


24.1 소개와 배경 (4/4)

따라서 봉의 축 방향을 따라 온도를 계산할 수 있는 수학적모델은 다음과 같다.

경계조건

2

20 ( )d T h T Tdx ∞′= + −

여기서 h‘ = 대류와 열전도의 상대적인 영향을반영하는 포괄 열전달 매개변수(bulk heat-transfer parameter)[m-2] = 2h/(rk)

(0)( )

a

b

T TT L T

==

24


예제 24.1 (가열된 봉의 해석해) (1/4)

Q. 길이 10m의 가열된 봉의 해석해를 다음 조건에

대하여 구하라.

경계조건 :

풀이) 식을 다시 쓰면,

(0) 300 , (10) 400 T K T K= =

2 20.05 [ 1 /( ), 0.2 , 200 /( )], 200

h m h J m K s r m k J s m KT K

−= = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅=

2

2

d T h T h Tdx ∞′ ′− = −

상수 계수를 가지는

2차 선형미분방정식

24


예제 24.1 (가열된 봉의 해석해) (2/4)

동차 방정식에 대해, 해를 로 가정하면,

이 식의 해는 이 된다. 따라서 일반해는 다음과 같다.

미정계수법을 사용하면, 특이해는 다음과 같다.

전체 해 :

hλ ′= ±

xT eλ=

2 0x xe h eλ λλ ′− =

x xT Ae Beλ λ−= +

T T∞=

x xT T Ae Beλ λ−∞= + +

24


예제 24.1 (가열된 봉의 해석해) (3/4)

경계조건을 대입하면, 상수를 구할 수 있다.

상수 A, B를 계산하면,

주어진 매개변수를 대입하면 A=20.4671, B=79.5329이다.

( ) ( )

( ) ( )

La b

L L

Lb a

L L

T T e T TAe e

T T T T eBe e

λ

λ λ

λ

λ λ

−∞ ∞

−

∞ ∞−

− − −=

−− − −

=−

aL L

b

T T A BT T Ae Beλ λ

∞

−∞

= + +

= + +

0.05 0.05200 20.4671 79.5329x xT e e−= + +

24


예제 24.1 (가열된 봉의 해석해) (4/4)

해는 두 경계 온도를 연결하는 완만한 곡선이다. 차가운주위 기체로의 대류 열손실에 의해 중앙의 온도가 아래

로 내려가는 것을 볼 수 있다.

24


24.2 사격법 (1/5)

사격법(shooting method)에서는 먼저 경계값 문제를 그와 동등한초기값 문제로 변환한다. 그 후 초기값을 가정하여 주어진 경계조건을 만족시키도록 시행착오법을 수행한다.

가열된 봉에 대한 2차 선형 상미분방정식과 경계조건

단일 2차 방정식을 두 개의 1차 상미분방정식으로 변환

경계값 문제를 초기값 문제로의 변환- T(0)=Ta 를 사용하고, z(0)의 값을 가정한다.

2

20 ( )d T h T Tdx ∞′= + − (0) , ( )a bT T T L T= =

, ( )dT dzz h T Tdx dx ∞′= = − −

1(0) , (0)a aT T z z= =

24


24.2 사격법 (2/5)

11

22

(0) ( ) ( )

(0)

(0) ( ) ( )

(0)

(0) ( ) ( )

(0)

a

a

a

a

a

a

T TT L T b

z z

T TT L T b

z z

T TT L T b

z z

= → ==

= → ==

= → ==

T(L)

Tb1

za1

z(0)

za2 za3 za4

Tb4

Tb3

Tb2

za

Tb

시행착오법

2 11 1

2 1

( )a aa a b b

b b

z zz z T TT T

−= + −

−선형 미분방정식에

대한 전략 :

24


예제 24.2 (사격법) (1/3)

Q. 사격법을 이용하여 식(24.6)의 해를 구하라. 단, L = 10 m, h' = 0.05 m-2, T∞ = 200 K, T(0) = 300 K,

T(10) = 400 K 이다.

풀이) 두 개의 1차 ODE로 나타내면,

초기조건: T(0) = 300 K,

z(0)에 대한 가정값 = za1 = -5 K/m

0.05(200 )

dT zdxdz Tdx

= = − −

24


예제 24.2 (사격법) (2/3)

[내장함수]

function dy = Ex2302(x,y)

dy = [y(2) ; -0.05*(200-y(1))];

>> [t, y] = ode45(@Ex2302, [0 10], [300, -5]);

>> Tb1 = y(length(y))

Tb1 =

569.7539

24


예제 24.2 (사격법) (3/3)

2 220 K/m 259.5131a bz T= − → =

두 번째 사격 :

세 번째 사격 :

20 ( 5) (400 569.7539)259.5131 569.7539

5 13.2075 400

a

b

z

T

− − −= −

−− = −

→ =

24


24.2 사격법 (3/5)

도함수 경계조건도함수가 경계조건으로 주어지는 경우

– 고정 경계조건 : Dirichlet 경계조건

– 도함수 경계조건 : Neumann 경계조건

사격법은 이미 종속변수와 그 도함수를 계산하도록 정립되어 있기 때문에, 도함수 경계조건을 사격법에 포함시키는 것은 비교적 쉽다.

24


예제 24.3 (도함수 경계조건) (1/6)

Q. 사격법을 이용하여 식(24.6)의 해를 구하라. 단, L = 10 m, h' = 0.05 m-2, [h = 1 J/(m2·K·s), r = 0.2 m,

k = 200 (J/s·m·K)], T∞ = 200 K, T(0) = 300 K, T(10) =

400 K 이다. 그리고 왼쪽 끝단은 그림과 같이 대류의 영향을 받는다.

24


예제 24.3 (도함수 경계조건) (2/6)


Fourier 법칙을 이용한 끝단에서의 열평형은 다음과 같다.

정리하면,

따라서 T(0)를 가정하면, 도함수를 구할 수 있다.

0.05(200 )

dT zdxdz Tdx

= = − −

( (0)) (0)c cdThA T T kAdx∞ − = −

(0) ( (0) )dT h T Tdx k ∞= −

24


예제 24.3 (도함수 경계조건) (3/6)

1

1

(0) 300 1 (0) (300 200) 0.5

200

a

a

T T KdTzdx

= =

→ = = − =

첫 번째 사격 :

>> [t, y] = ode45(@Ex2302, [0 10], [300, 0.5]);


Tb1 =

683.5088

24


예제 24.3 (도함수 경계조건) (4/6)

2

2

(0) 150 1 (0) (150 200) 0.25

200

a

a

T T KdTzdx

= =

→ = = − = −

두 번째 사격 :

>> [t, y] = ode45(@Ex2302, [0 10], [150, -0.25]);


Tb2 =

-41.7544

24


예제 24.3 (도함수 경계조건) (5/6)

세 번째 사격 : 선형보간을 이용하여 정확한 초기 온도를 계산함.

150 300 (400 683.5088)+300 241.3643 41.7544 683.5088

z 0.2068

a

a

T −= − =− −

→ =

24


예제 24.3 (도함수 경계조건) (6/6)

위 초기 조건은 식 (24.12)를 만족함

Note : 전도열과 대류열은 같으며, 봉의 왼쪽 끝단에서 밖으로

전달되는 열전달율은 5.1980 W이다.

22

22

J1 π (0.2 m) (200 K 241.3643 K)m Ks

J K200 π (0.2 m) 0.2068m Ks m

5.1980 J/s

× × −

= − × ×

= −

24


24.2 사격법 (4/5)

비선형 상미분방정식에 대한 사격법비선형 경계값 문제에서는 두 개의 근사 해를 바탕으로선형 보간법을 적용한다고 반드시 경계조건을 만족하는해가 얻어지는 것은 아니다.

비선형 문제를 풀기 위한 또 다른 방법은 이 문제를 근구하기 방법으로 고치는 것이다.

봉의 왼쪽 끝단에서 어떤 조건 za를 가정하고, 적분은 오른쪽 끝단에서의 온도 값 Tb를 도출한다는 의미에서,

Tb = f(za)

24


24.2 사격법 (5/5)

앞서 예제와 같이 Tb = 400 K를 원한다면,

400 = f(za)

또는

res(za) = f(za) - 400

res(za)를 0으로 만드는 za 를 구한다.

24


예제 24.4 (비선형 상미분방정식에 대한 사격법) (1/4)

Q. 가열된 봉의 계산에 복사 열손실을 고려한다.

여기서 σ = 복사와 열전도의 상대적인 영향을 나타내는 포괄 열전달

매개변수(bulk heat-transfer parameter) = 2.7x10-9 K-3m-2, L =

10 m, h' = 0.05 m-2, T∞ = 200 K, T(0) = 300 K, T(10) =

400 K 이다.

24 4

20 ( ) ( )d T h T T T Tdx

σ∞ ∞′ ′= + − + −

24




9 9 40.05(200 ) 2.7 10 (1.6 10 )

dT zdxdz T Tdx

−

= = − − − × × −

function dy = dydxn(x,y)

dy = [y(2) ; -0.05*(200-y(1))-2.7e-0*(1.6e9-y(1)^4)];

[우변에 대한 M 파일]

24



function r= res(za)

[x, y] = ode45(@dydxn, [0 10], [300, za]);

r = y(length(x),1)-400;

[잔차에 대한 함수]

>> fzero(@res, 50)

ans =

-41.7434

24



>> [x, y] = ode45(@dydxn, [0 10], [300, fzero(@res, -50)]);

>> plot(x,y(:,1))

복사에 의한 추가적인 열손실로 인해 비선형 경우가선형 모델보다 온도가 더 내려간다.

24


24.3 유한차분법 (1/6)

선형 미분방정식에 나타나는 도함수를 유한차분

으로 대체함으로써, 선형 미분방정식을 연립 대수

방정식으로 변환시킨다.

가열된 봉 모델(식 24.6)을 고려하면,

i 점에 대하여 2차 도함수는,

2

20 ( )d T h T Tdx ∞′= + −

21 1

2 2

2i i iT T Td Tdx x

− +− +=

∆

24


24.3 유한차분법 (2/6)

유한차분식을 대입하면 대수방정식이 된다.

다시 정리하면,

이 식은 n-1 개의 내부 점 각각에 대해 쓸 수 있으며, 첫 번째와 마지막 점 T0 와 Tn은 각각 경계조건에 의해 지정된다.

→ n-1 개의 연립 선형대수방정식

선형 대수방정식 : 삼중대각행렬 (대각지배행렬)

→ Gauss-Seidel법과 같은 반복법

1 12

2 ( ) 0i i iT T T h T Tx

− +∞

− + ′+ − =∆

2 21 1(2 )i i iT h x T T h x T− + ∞′ ′− + + ∆ − = ∆

24


예제 24.5 (경계값 문제에 대한 유한차분법) (1/4)

Q. 예제 24.1과 24.2와 같은 문제의 해를

유한차분법을 이용하여 구하라. 간격 Δx=

2m인 4개의 점을 사용하라.

풀이) 예제 24.1의 매개변수와 Δx= 2m를 사용하여,

유한차분식을 전개한다. 예로서 점 1에 대한 식은

다음과 같다.

0 1 22.2 40T T T− + − =

24



경계조건 T0=300을 대입하면,

내부 점을 고려하여 행렬로 표시하면,

Note : 위 행렬은 삼중대각이며 대각지배 행렬이다.

1 22.2 340T T− =

1

2

3

4

2.2 1 0 0 3401 2.2 1 0 40

0 1 2.2 1 400 0 1 2.2 440

TTTT

− − − = − − −

24



>> A=[2.2 -1 0 0;

-1 2.2 -1 0;

0 -1 2.2 -1;

0 0 -1 2.2];

>> b=[340 40 40 440]‘;

>> T=A\b

T =

283.2660

283.1853

299.7416

336.2462

24



x 해석해 사격법 유한차분법

0

2

4

6

8

10

300

282.8634

282.5775

299.0843

335.7404

400

300

282.8889

282.6158

299.1254

335.7718

400

300

283.2660

283.1853

299.7416

336.2462

400

온도에 대한 해석해와 사격법 및 유한차분법을 이용하여 구한 결과의 비교

24


24.3 유한차분법 (3/6)

도함수 경계조건 (Neumann 경계조건)

2

20 ( )d T h T Tdx ∞′= + −

(0)

( )

a

b

dT Tdx

T L T

′=

=

경계조건 :

24


24.3 유한차분법 (4/6)

봉을 일련의 점들로 나누고, 내부의 각 점에 유한차분식을 적용한다. 왼쪽 끝단점 (x=0)에 대한 유한차분식은 다음과 같다.

x=0에서 1차 도함수를 중심차분법으로 나타내면,

다시 위 식에 대입하면,

( )2 21 0 12T h x T T h x T− ∞′ ′− + + ∆ − = ∆

1 11 1

0 0

22x x

T TdT dTT T xdx x dx

−−

= =

−= ⇒ = − ∆

∆

( )

( )

2 21 0 1

0

2 20 1

0

2 2

2 2 2

x

x

dTT x h x T T h x Tdx

dTh x T T h x T xdx

∞=

∞=

′ ′− − ∆ + + ∆ − = ∆

′ ′+ ∆ − = ∆ − ∆

가상점

24


예제 24.6 (도함수 경계조건) (1/4)

Q. 10 m 길이의 봉에 대한 해를 유한차분법을 이용하여 구하라.

단, △x = 2m, h' = 0.05 m-2, T∞ = 200 K, 그리고 경계조건은 Ta'

= 0, Tb = 400 K 이다. 여기서 첫 번째 경계조건은 봉의 왼쪽 끝단에서

해의 기울기가 0임에 주목한다. 추가로 x=0 에서 dT/dx= -20에 대한 해를

구한다.

풀이) 식 (24.18)을 이용하여 점 0에 대해 나타내면,

식 (24.16)을 이용하여 내부 점에 대한 식을 쓴다. 예로서

점 1에 대한 식은,

0 12.2 2 40T T− =

0 1 22.2 40T T T− + − =

24


예제 24.6 (도함수 경계조건) (2/4)

행렬로 표시하면,

해는 다음과 같다.

0

1

2

3

4

2.2 4022.2 401 1

2.2 401 12.2 401 1

2.2 4401

TTTTT

−

− − = − −

− − −

0

1

2

3

4

243.0278247.3306261.0994287.0882330.4946

TTTTT

=====

24


예제 24.6 (도함수 경계조건) (3/4)

한쪽 끝단에 도함수 경계조건을 그리고 다른 끝단에 고정 경계조건을 가지는 2차 상미분방정식의 해. x=0에서 두 가지 다른 도함수 값에 대한결과를 보여준다.

24


예제 24.6 (도함수 경계조건) (4/4)

x=0에서

dT/dx=-20인 경우,0

1

2

3

4

2.2 12022.2 401 1

2.2 401 12.2 401 1

2.2 4401

TTTTT

−

− − = − −

− − −

0

1

2

3

4

328.2710301.0981294.1448306.0204339.1002

TTTTT

=====

해는 다음과 같다.

24


24.3 유한차분법 (5/6)

비선형 ODE에 대한 유한차분법비선형 ODE에 유한차분을 적용하면 비선형 연립방정식시스템이 만들어진다.

일반적인 방법은 Newton-Raphson법과 같은 방정식시스템에 대한 근구하기 방법이다.

그러나 연속대입법을 수정한 방법이 보다 나은 대안이 될 수 있다.

대류와 복사 열전달이 있는 가열된 봉을 고려한다.

미분방정식을 점 i에 대해 쓰고 2차 도함수에 대해 유한차분법을 적용 하면, 이 식은 대수식 형태로 변환된다.

24 4

20 ( ) ( )d T h T T T Tdx

σ∞ ∞′ ′= + − + −

4 41 12

20 ( ) ( )i i ii i

T T T h T T T Tx

σ− +∞ ∞

− + ′ ′= + − + −∆

24


24.3 유한차분법 (6/6)

항들을 모으면,

우변에 비선형 항이 존재하지만, 좌변은 대각지배적인 선형 대수방정식 시스템이다. 우변의 미지의 비선형 항이 이전 반복값과 같다고 가정하면,

Gauss-Seidel 법을 이용하여 각 점의 온도를 연속적으로계산하고 수렴할 때까지 반복한다.

2 2 2 4 41 1(2 ) ( )i i i iT h x T T h x T x T Tσ− + ∞ ∞′ ′ ′− + + ∆ − = ∆ + ∆ −

2 2 4 41 1

2

( )2

i i ii

h x T x T T T TTh x

σ∞ ∞ − +′ ′∆ + ∆ − + +=

′+ ∆

24


예제 24.7 (비선형 ODE에 대한 유한차분법) (1/3)

Q. 유한차분법을 이용하여 대류와 복사 열전달이

있는 가열된 봉의 온도를 구하라.

여기서 σ' = 2.7x10-9 K-3m-2, L = 10 m, h' = 0.05 m-2, T∞ =

200 K, T(0) = 300 K, T(10) = 400 K 이다. 간격 △x = 2 m와

4개의 점을 사용하여 구하라.

24 4

20 ( ) ( )d T h T T T Tdx

σ∞ ∞′ ′= + − + −

24



2 9 2 4 4

1 2

2 9 2 4 4

2 2

2 9 2 4 4

3 2

4

0.05(2) 200 2.7 10 (2) (200 0 ) 300 0 159.24322 0.05(2)

0.05(2) 200 2.7 10 (2) (200 0 ) 159.2432 0 97.96742 0.05(2)

0.05(2) 200 2.7 10 (2) (200 0 ) 97.9674 0 70.44612 0.05(2)

0.05(2)

T

T

T

T

−

−

−

+ × − + += =

+

+ × − + += =

+

+ × − + += =

+

=2 9 2 4 4

2

200 2.7 10 (2) (200 0 ) 70.4461 0 226.87042 0.05(2)

−+ × − + +=

+

풀이) Gauss-Seidel 법을 사용한다. 이 때 내부 점들의 초기값= 0, 경계점 : T0=300, T5=400. 첫 번째 반복 후의 결과는 다음과 같다.

수렴한 최종 결과는 다음과 같다.

0 1 2

3 4 5

300, 250.4827, 236.2962245.7596, 286.4921, 400

T T TT T T

= = == = =

24



유한차분법과 사격법 결과의 비교

24

24장경계값문제 - pusan national...

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