1

Algebra i funkcije- srednji nivo 2012.

Reenje: Pre nego li krenete sa prouavanjem ove oblasti obavezno pogledajte pripremni fajl iz oblasti sistemi jednaina! Sistem je prost pa ga odmah moemo reavati.Zadatak emo reiti metodom suprotnih koeficijenata. 2 3 4..................... / *3

3 2 7................... / *2

6

x y

x y

x

+ =

+ =

9 12

6

y

x

+ =

4 14

13 26

262

13

y

y

y y

+ =

=

= =

Sad se vratimo u bilo koju od jednaina iz prostog sistema ( birajte naravno onu gde su manje brojke.......) 2 3 4

2

2 3 2 4

2 6 4

2 4 6

2 2

21

2

x y

y

x

x

x

x

x x

+ =

=

+ =

+ =

=

=

= =

Reenje, kao to smo ve rekli , obavezno zapisujemo kao uredjeni par: ( , ) ( 1, 2)x y =

Dakle, zaokruiemo odgovor pod g)

2

Reenje: Pogledajte pripremni fajl jednaine, pa onda krenite na reavanje!

5

3 3 7 2....................................... / *15 ( 15 je NZS za 3 i 5)

3 1 5

15

x x x+ +=

3 3

3

x +

3

15 151

x=

7 2

5

x +

(*5 (*15 (*33 3 7 2 moete pisati ovako a moe i , !

3 1 5

5(3 3) 15 3(7 2)

15 15 15 21 6

15

x x xsve jedno je

x x x

x x x

x

+ +=

+ = +

+ =

15x 21 6 15

21 21

21

21

1

x

x

x

x

+ =

=

=

=

Reenje: Ovde je naravno jedan nain da svaki sistem reimo posebno pa da proverimo koji ima ponudjeno reenje. Ali , to je mnogo posla.... Jednostavnije je reenja ( , ) ( 1, 2)x y = zamenjivati redom u svaki sistem i onaj kod koga su obe jednakosti istinite je traeni sistem! Idemo redom:

3

2 3 0 umesto x stavljamo -1 a umesto y stavljamo -2

3

1 2( 2) 3 0 1 4 3 0 0 0 istinito!

2 1 3 2 4 !

x y

y x

ne valja

=

=

= + = =

= =

Ovo nije traeni sistem, proveravamo sledei: 2 2 3 0 umesto x stavljamo -1 a umesto y stavljamo -2

2 3

2( 1) 2( 2) 3 0 2 4 3 0 1 0 !

x y

x y

ne valja

=

+ =

= + = =

Drugu jednainu neemo ni proveravati jer prva ne valja! Idemo na sledei ponudjeni sistem:

3

2 3

1 ( 2) 3 1 2 3 1 1 dobro je

2( 2) 1 3 4 4 i ovo je dobro!

x y

y x

=

=

= = + =

= =

Evo dakle traenog reenja! Ali da proverimo mi i ovu poslednju ponudu:

2 3

3

1 2( 2) 3 1 4 3 1 7

x y

y x

=

=

= = =

Dokazali smo da ona nije dobra, pa je reenje sistem pod v).

4

Reenje:

2

2 1 1 1........................... / *4

2 1 2 4

4

m m+ + =

2

2

m +

214 4

1 =

1

2

1

41

4

m +

2( 2) 4 2 1( 1)..............PAZITE NA -1 ISPRED m + 1 MORA ZAGRADA

2 4

m m

m

+ = +

+ 4 2 1

2 2 1

3 1

1

3

m

m m

m

m

=

+ =

=

=

Reenje: Najpre emo reiti datu jednainu a onda izabrati jedno od ponudjenih reenja!

(*2 (*1 (*62 3 5 6 2................................... / *6

3 6 12(2 3) 1(5 6) 12

4 6

x x

x x

x

=

=

5 6x + 12

4 5 12

1 12

12

1

12

x x

x

x

x

=

=

=

=

=

Treba zaokruiti reenje pod v) jer je 12 izmedju 10 i 20.

5

Reenje: Sad je na redu da prouite pripremni fajl stepenovanje i kvadratni koren, pa onda u borbu sa zadacima! a) b) v)

3 22 (0,5)

8 0, 25 7,75

=

=

2 3 2

2

2

(5 3 )

(25 27)

( 2) 4

=

=

=

2144 2 81 11

12 2 9 11

12 18 11 19

+ =

+ =

+ =

Reenje: Pazite, ovde ne moemo koristiti pravila za stepenovanje dok ne napravimo da su osnove iste! Ideja je da stavimo 24 2= i 38 2= . Da vidimo:

( )( )

312 212 3 12 6 183

55 15 153

2 22 4 2 2 22

8 2 22

= = = =

Odgovor je pod g).

6

Reenje: a) b)

4 253 1

9 16

2 53 1

3 4

3 2 53

3 3 4

3

=

=

=

1

3

5 5 11

4 4 4 = =

1 9 36:

1 25

100

25 9 9:

25 25

16 9:

25 25

4 3 4:

5 5 5

=

=

=

= =5

4 1

13 3 3

= =

Reenje:

( )21 22 1 44 4

3 33 9 3 3

( 3) 3

= =

4313 3= =

Dakle, odgovor je pod )

7

Reenje:

4 3 4 3 75 5 5 5+ = = , ovde je oigledno NETANO

( ) ( )4 33 3 4 12 4 4 3 122 2 2 i 2 2 2 = = = = , ovde treba zaokruiti TANO

5 4 5 4 13 :3 3 3 3= = = TANO

9 16 9 16

3 4 25

7 5

+ = +

+ =

=

ovde je NETANO

8

Reenje: Najpre da se podsetimo kako izgleda formula za kvadrat binoma:

2 2 2( ) 2I II I I II II+ = + + i 2 2 2( ) 2I II I I II II = +

2 2 2

ovo je I ovo je II

2

( 2 0, 2 ) (2 ) 2 2 0, 2 0, 2

4 0,8 0,04

x x x

x x

+ = + +

= + + jer je 2 2 0,2 4 0,2 0,8x x x = = i 20,2 0,2 0, 2 0,04= =

Taan odgovor je pod v) 24 0,8 0,04x x+ +

9

Reenje: Da razjasnimo prvo jednu stvar, formule za kvadrat binoma su:

( )2 2 22I II I I II II+ = + +

( )2 2 22I II I I II II = +

ta kad imamo ( )2I II ?

( ) ( )( ) ( )22 2I II I II I II = + = + Dakle, kad su oba lana sa minusom, radimo kao da su sa plusom. Vratimo se na zadatak:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 20,2 0, 4 0,2 2 0,2 0, 4 0, 4 0,04 0,16 0,16A m n m m n n m mn n= + = + + = + +

( ) ( ) ( )2 2 22 2 20,4 0, 2 0,4 2 0,4 0, 2 0, 2 0,16 0,16 0, 4B m n m m n n m mn n= + = + + = + +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 20,2 0, 4 0, 2 0, 4 0, 2 2 0,2 0, 4 0, 4 0,04 0,16 0,16C m n m n m m n n m mn n= = + = + + = + +

( ) ( ) ( )2 2 22 2 20,2 0,4 0, 2 2 0, 2 0, 4 0,4 0,04 0,16 0,16D m n m m n n m mn n= = + = + Zakljuujemo da je jedino 2 2A C= , pa treba zaokruiti odgovor pod a)

10

Reenje: a)

(0,2 0,3 ) (0, 4 0,2 )

0, 2 0,3 0, 4 0,2

0,6 0,1

K S a b a b

a b a b

a b

+ = + +

= + +

= +

b)

(0, 2 0,3 ) (0,4 0, 2 )

0, 2 0,3 0, 4 0, 2

0, 2 0,5

K S a b a b

a b a b

a b

= +

= + +

= +

v)

2 2

2 2

(0, 2 0,3 ) (0,4 0, 2 )

0,08 0,04 0,12 0,06

0,08 0,08 0,06

K S a b a b

a ab ab b

a ab b

= +

= +

= +

Reenje:

( ) ( ) 2 22 3 5 3 10 6 15 9 10 21 9a a a a a a a + + = + = + NETANO , zaokruujemo NE

2 2 2 2(2 3) (2 ) 2 2 3 3 4 12 9x x x x x = + = + TANO, zaokruujemo DA

2 2( 2 3)( 3 2) 6 4 9 6 6 13 6a a a a a a a + + = + = + TANO, zaokruujemo DA

2 2 2 2(2 3) (2 ) 2 2 3 3 4 12 9x x x x x+ = + + = + + NETANO , zaokruujemo NE

11

Reenje: Koristimo 2 2 2( ) 2I II I I II II = +

2 21 1

22 2m n m

=

1

2 2 2 2

1

4m n n m mn n + = + odgovor je pod ) 2 2

1

4m mn n +

12

Reenje: Najpre dobro prouite pripremni fajl proporcije pa onda krenite u borbu sa ovim zadacima. Najpre zapiemo podatke i stavimo strelicu od X ka poznatom podatku.

4 jaja 280g

3 jaja X g

Sad razmiljamo: da li je X vei ili manji od gornjeg broja? Ako za 4 jaja treba 280 g , onda za 3 jaja treba manje grama eera! Dakle, X je manji broj od gornjeg! Poto ova strelica ide od manjeg ka veem, tako mora i druga strelica da ide (od manjeg ka veem).

4 jaja 280g

3 jaja X g

Sad pratimo smer strelica i napravimo proporciju ( uvek krenite od X, da bi Vam bilo lake):

70

: 280 3: 4

4 3 280 uvek izrazite X, jer e moda imati neto da se krati!

3 280

x

x

x

=

=

=

4

3 70

210

x

x g

=

=

Odgovor je: Za 3 jajeta potrebno joj je 210 grama eera.

13

Reenje: Obeleimo sa X broj deaka. Onda vai proporcija:

60

: 480 7 :8

8 480 7

480

X

X

X

=

=

=7

8

60 7

420

X

X

=

=

Nali smo da u koli ima 420 deaka. Broj uenika je onda 480+420=900. U koli Radost ukupan broj uenika je 900.

Reenje: Pogledajte najpre pripremni fajl linearna funkcija.

1 2 3 4

1

2

x

y

Uoimo da prava prolazi kroz take (0,0) i (4,2) . Dakle redom u ponudjene odgovore menjamo x je 4 i y je 2.

14

: 2 :1

2

1

2

x y

y x

y x

=

=

=

a) 1 1 4

2 4 23 3 3

y x= = = NETANO v) 2 2 2 4 2 8y x= = = NETANO

b) 1 1

2 4 2 22 2

y x= = = TANO g) 3 2 3 4 2 12y x= = = NETANO

Odgovor je pod ) 1

2y x=

Reenje: (x,y)= ( 2,3) (x,y)= (4,1) (x,y)= (2,1) (x,y)= (2,4) Na graficima smo uoili take koje e nam trebati u ispitivanju! Sad da napravimo funkciju.

Obeleimo sa: x je olovo y je cink U zadatku kae da su olovo i cink zastupljeni u odnosu 2:1, pa imamo:

Sad redom menjamo koordinate taaka sa svakog grafika da proverimo koja taka zadovoljava 1

2y x=

Oigledno je to taka (x,y)= (2,1) sa grafika v) jer je 1 1

1 2 1 12 2

y x= = =

Za ostale ponudjene grafike bi bilo:

(x,y)= ( 2,3) je 1 1

3 2 3 12 2

y x= = = NETANO

(x,y)= (4,1) je 1 1

1 4 1 22 2

y x= = = NETANO

(x,y)= (2,4) je 1 1

4 2 4 12 2

y x= = = NETANO

15

Reenje: a)

8 metara 2400 dinara

12 metara x dinara

300

: 2400 12 :8

8 2400 12

2400

x

x

x

=

=

=12

8

3600x =

12m platna kota 3600 dinara. b)

8 metara 2400 dinara

x metara 750 dinara

:8 750 : 2400

2400 8 750

8

x

x

x

=

=

=300

750

2400

75 0=

30 0

752,5

30

2,5x

= =

=

Za 750 dinara moe se kupiti 2,5 metara platna.

16

30 502

15002

1500........................... / *2

2 1 13000 2

2 3000

3000

3000 .

xx

xx

x x

x x

x x

x

x din

+ =

+ =

+ =

+ =

=

=

=

Reenje: Obeleimo sa : x je cena 1 kg jagoda y je cena 1 kg treanja Jednaina bi glasila: 5 2 300x y+ = , znamo da je jagode platila 156 dinara, pa 5x menjamo sa 156 156 2 300

2 300 156

2 144

144

2

72

y

y

y

y

y din

+ =

=

=

=

=

Kilogram treanja kota 72 dinara.

Reenje: Obeleimo da Relja sada ima x dinara.

Pre 30 dana je ima polovinu od sadanje sume, pa e to onda biti 2

x dinara.

Svakog od tih 30 dana je odvajao po 50 dinara. Jednaina je: Relja sada ima 3000 dinara.

17

Reenje: Osnovica jednakokrakog trougla je a = x

Krak jednakokrakog trougla je b = x+3

Obim je O= a+2b. Zamenimo:

2

2( 3) 42

2 6 42

3 42 6

3 36

36

3

12

a b O

x x

x x

x

x

x

x cm

+ =

+ + =

+ + =

=

=

=

=

Dakle , osnovica a=12cm a krak je b=12+3=15cm

Duina kraka je 15cm.

18

Reenje: Da postavimo najpre problem:

1. dan

2.dan

3.dan

375kg

375-105=270kg

x kg

ostalo 200kg

Kad saberemo zaokruene brojeve trebamo dobiti 1200kg. Imamo: 375 270 200 1200

845 1200

1200 845

355

x

x

x

x kg

+ + + =

+ =

=

=

Treeg dana je prodato 355 kg brana.

19

Reenje: Obeleimo sa x dinara Petrovu uteevinu. Postavimo problem!

1/3 potroio 2/3 od x din mu ostale,

to jest 800din

x dinara

Rekosmo ve da re OD menjamo sa operacijom mnoenje!

400

2800

32

800 :3

800

x

x

x

=

=

=3

1 2

1200x dinara=

Dakle: Petrova uteevina je bila 1200 dinara.

20