3.1 elementarnefunkcije · 2012-11-23 · akoje d>0...
TRANSCRIPT
3.1 Elementarne funkcije
3.1.1 Polinom
Funkcija f : R→ R zadana formulom
f(x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0
gdje je n ∈ N0 te su an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R, zadani brojevi takvi da an 6= 0 naziva se
polinom n−tog stupnja. Brojevi an, an−1, . . . , a1, a0 nazivaju se koeficijenti polinoma,
a specijalno se an zove vodeći koeficijent, a a0 slodobni koeficijent.
Teorem 1. (O jednakosti dvaju polinoma) Polinomi f i g definirani s:
f(x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0,
g(x) = bmxm + bm−1x
m−1 + . . .+ b1x+ b0,
su jednaki ako i samo ako je m = n i ai = bi, ∀i = 0, 1, . . . , n.
Svaki broj α, realan ili kompleksan, za koji vrijedi f(α) = 0 zovemo nultočka polinoma f.
• Specijalno , ako je n = 0 onda polinom nultog stupnja zapisujemo u obliku
f(x) = c, c ∈ R \ {0}
i zovemo konstantni polinom ili konstanta. Njezin graf je pravac y = c koji je
paralelan s x−osi. Ako je f(x) = 0, ∀x ∈ R onda f nazivamo nul-polinom (i njegov
stupanj ne definiramo).
Teorem 2. (O nul-polinomu) Polinom f(x) = anxn + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0 je nul
polinom ako i samo ako su svi koeficijenti ai = 0, ∀i = 0, 1, . . . , n.
Slika 1: Graf konstante
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
1
• Specijalno , ako je n = 1 onda polinom prvog stupnja zapisujemo u obliku
f(x) = kx+ l, k 6= 0
i zovemo linearna funkcija. Vodeći koeficijent se zove koeficijent smjera, a slobodni
koeficijent odsječak na y−osi. Linearna funkcija ima jednu nultočku: − lk. Linearna
funkcija je strogo rastuća funkcija ako je k > 0, a strogo padajuća funkcija ako je k < 0.
Graf linearne funkcije je pravac y = kx+ l.
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
(a) k > 0
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
(b) k < 0
Slika 2: Graf linearne funkcije
• Specijalno , ako je n = 2 onda polinom drugog stupnja zapisujemo u obliku
f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0
i zovemo kvadratna funkcija. Diskriminanta kvadratne funkcije je realan broj
D = b2 − 4ac.
Nultočke kvadratne funkcije računamo po formuli:
x1,2 = −b±√D
2a .
2
Ako je
� D > 0 onda kvadratna funkcija ima dvije različite realne nultočke (dvije jednos-
truke nultočke),
� D = 0 onda kvadratna funkcija ima jednu realnu nultočku (jednu dvostruku
nultočku),
� D < 0 onda kvadratna funkcija ima dvije kompleksno konjugirane nultočke.
Tjeme kvadratne funkcije je točka
T (x0, y0) = T (− b
2a,4ac− b2
4a ).
Graf kvadratne funkcije je parabola čija je os paralelna s y−osi.Ako je a > 0 parabola je okrenuta prema gore, te je funkcija strogo padajuća na inter-
valu (−∞, x0), u x0 postiže najmanju vrijednost koja iznosi y0 te je strogo rastuća na
intervalu (x0,+∞).
Ako je a < 0 parabola je okrenuta prema dolje, te je funkcija strogo rastuća na inter-
valu (−∞, x0), u x0 postiže najveću vrijednost koja iznosi y0 te je strogo padajuća na
intervalu (x0,+∞).
3
Slika 3: Graf kvadratne funkcije
1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
(a) a > 0, D < 0,
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
(b) a > 0, D = 0,
-4 -2 2 4
-5
5
10
(c) a > 0, D > 0,
1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
(d) a < 0, D > 0,
1 2 3 4 5 6 7
-8
-6
-4
-2
(e) a < 0, D = 0,
-1 1 2 3 4 5
-10
-8
-6
-4
-2
(f) a < 0, D < 0,
Zbrajanje i množenje polinoma:
(f + g)(x) := f(x) + g(x),
(f · g)(x) := f(x) · g(x).
Funkcije f + g : R→ R i f · g : R→ R su također polinomi.
Množenje polinoma skalarom:
(λf)(x) := λf(x), λ ∈ R
Funkcija λf : R→ R je također polinom.
4
Zadaci
Zadatak 1. Odredite zbroj polinoma f(x) i g(x) ako je zadano:
a) f(x) = x2 − 3x+ 1; g(x) = 2x2 + x− 1
b) f(x) = 2x3 + 5x2 − 2x+ 7; g(x) = −3x3 − 2x2 + 5x− 3
c) f(x) = 2x5 − 3x4 + 5x2 − x+ 1; g(x) = −x5 + 3x4 − 5x2 + x− 1
d) f(x) = 3x3 − 2x+ 1; g(x) = x6 − 3x2 − 2x− 1.
Zadatak 2. Odredite razliku polinoma f(x) i g(x) ako je zadano:
a) f(x) = x2 − 3x+ 2; g(x) = 2x2 − 3x+ 5
b) f(x) = 3x3 − 4x+ 1; g(x) = 3x3 − 2x2 − x+ 3
c) f(x) = −x5 − 3x3 + 2x; g(x) = 2x4 − 3x3 + 2x2 + 2x− 1
d) f(x) = 2x6 − 3x2; g(x) = 3x5 − 2x4 − 3x+ 1.
Zadatak 3. Za zadane polinome f(x) i g(x) odredite linearnu kombinaciju (af+bg), gdje je
a) f(x) = x3 − 3x2 + 2x− 1; g(x) = −2x6 + 5x2 − 3x+ 1; a = 3; b = 2
b) f(x) = 4x3 − 3x2 − 2x+ 1; g(x) = 3x4 − 2x2 − x+ 5; a = 2; b = −3
c) f(x) = 2x3 − 2x2 + 4x− 1; g(x) = 3x3 − 3x2 + 6x+ 1; a = 3; b = −2
d) f(x) = x4 − 3x3 + 5x2 − x+ 2; g(x) = 3x4 − 5x3 + 8x2 − 3x+ 5; a = 5; b = −2
e) f(x) = 3x5 − 2x2 + 2x− 1; g(x) = x4 + x3 − x2 + x− 1; a = 1; b = −2
Zadatak 4. Odredite produkt zadanih polinoma f(x) i g(x):
a) f(x) = 3x2 − x+ 1; g(x) = x− 2
b) f(x) = x3 − x+ 1; g(x) = x5 + x3 + x− 1
c) f(x) = x3 + 2x2 + 2x+ 1; g(x) = x3 − 2x2 + 2x− 1
d) f(x) = x4 − x2 − 2x− 1; g(x) = x3 + x+ 2
e) f(x) = x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x+ 1; g(x) = x+ 1
Zadatak 5. Odredite zbroj koeficijenata u kanonskom zapisu polinoma:
a) f(x) = (x2 − x+ 1)2000 · (x2 − x+ 2)10
b) f(x) = (x2 − 2x+ 3)1987 · (x2 − 6x+ 5)1987
c) f(x) = (2x2 − 5x+ 2)450 · (2x2 − 5x+ 4)540
d) f(x) = (x2 + 3x+ 2)100 · (x2 − 3x+ 2)100
5
Zadatak 6. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = x2, b) f(x) = x4, c) f(x) = x6, d) f(x) = x3, e) f(x) = x5,
f) f(x) = x7, g) f(x) = −x2, h) f(x) = −x3.
Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = (x+ 1)(x− 2)(x+ 3)(x− 1/2), b) f(x) = 2(3− x)(x+ 7)(x− 4),
c) f(x) = 3(x− 2)2(x− 1)(x+ 4)3, d) f(x) = (1− x)3(x− 2)2(x+ 4)3(x+ 7)4.
6
3.1.2 Racionalne funkcije
Funkcija f : R ⊇ Df → R zadana formulom
f(x) = Pn(x)Qm(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 + . . .+ b1x+ b0,
gdje su Pn i Qm polinomi stupnja n i m > 0, tim redom, naziva se racionalna funkcija.
Domena racionalne funkcije sadrži sve realne brojeve koji nisu nultočke nazivnika, tj.
Df = {x ∈ R : Qm(x) 6= 0}.
Prava racionalna funkcija je ona kod koje je stupanj polinoma u brojniku manji od
stupnja polinoma u nazivniku. U suprotnom je neprava i može se dijeljenjem polinoma
brojnika i nazivnika svesti na zbroj polinomnog dijela i prave racionalne funkcije.
Slika 4: Graf racionalne funkcije
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
(a) f(x) = 1x
-2 -1 1 2
5
10
15
20
(b) f(x) = 1x2
-6 -4 -2 2 4 6
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(c) f(x) = x−1−x2+x+1
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
(d) f(x) = 2x2−3x+5(x+2)(x−1)(x−3)
7
Zadatak 8. Na osnovi teorema o jednakosti polinoma rastavite na parcijalne razlomke:
a) x
x2 − 1 b) x+ 1x2 − 3x
c) 5x+ 4x2 + 2x d) 3x+ 8
x2 − 4x
e) 2x+ 1x3 + x
f) 1x3 − x
g) 1x4 − 1 h) x− 5
x3 − 8
i) x2 − 9x− 6x3 + x2 − 6x j) x+ 3
(x+ 1)(x2 + 1)
k) x+ 2(x− 1)3 l) x+ 3
(x− 1)2(x2 + 2)(x+ 3)
Zadatak 9. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = 2x, b) f(x) = 1
x−3 , c) f(x) = 1x+1 , d) f(x) = − 1
x, e) f(x) = − 1
x+ 2,
f) f(x) = − 1x2 .
8
3.1.3 Opća potencija i iracionalne funkcije
Funkcije zadane formulom f(x) = xr, gdje je r ∈ R zovemo opće potencije. Općenito je
domena opće potencije skup R+, ali se kod nekih funkcija domena može proširiti.
Najjednostavnije iracionalne funkcije su funkcije f : R ⊇ Df → R zadane formulom
f(x) = xq, q ∈ Q.
Domena iracionalne funkcije ovisi o svakoj pojedinoj funkciji.
Primjer 1. a) Domena funkcije f(x) = x12 =√x je Df = [0,+∞).
b) Domena funkcije g(x) = x13 = 3√x je Dg = R.
c) Domena funkcije h(x) = x−12 = 1√
xje Dh = (0,+∞).
Slika 5: Graf funkcije f(x) =√x
1 2 3 4 5
0.5
1.0
1.5
2.0
Zadatak 10. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) =√x+ 1, b) f(x) = 2 3
√x, c) f(x) = x−1/2, d) f(x) = 2
√x+ 5.
9
3.1.4 Eksponencijalna funkcija
Funkcija f : R→ 〈0,+∞〉 zadana formulom
f(x) = ax, a > 0, a 6= 1
naziva se eksponencijalna funkcija. a se naziva baza, a x eksponent.
Eksponencijalna funkcija:
• prima samo pozitivne vrijednosti, tj. ax > 0, ∀x ∈ R,
• strogo je rastuća ako je a > 1, a strogo padajuća ako je 0 < a < 1,
• vrijednost eksponencijalne funkcije u nuli je jednaka jedan, tj. f(0) = a0 = 1,
• je bijekcija.
Neka su x1, x2 ∈ R te a > 0, a 6= 1. Tada vrijede sljedeća svojstva:
• f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2), tj. ax1+x2 = ax1 · ax2 ,
• f(x1 − x2) = f(x1)f(x2) , tj. a
x1−x2 = ax1ax2
• (ax1)x2 = ax1·x2 .
Slika 6: Graf eksponencijalne funkcije
-4 -2 2 4
5
10
15
(a) a > 1
-4 -2 2 4
10
20
30
40
(b) 0 < a < 1
10
Zadatak 11. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = 2x, b) f(x) = 3x, c) f(x) = (12)x, d) f(x) = −(1
3)x, e) f(x) = 2x+1,
f) f(x) = 3x−1, g) f(x) = 2|x|, h) f(x) = 2|1−x|, i) f(x) = ex + 1, j) f(x) = (12)x − 3.
Zadatak 12. Riješite jednadžbu(1
2
)x· 0.25x−2 ·
√(13
)−2x· 811−x = 1.
Zadatak 13. Riješite sljedeće nejednadžbe:
a) 2x < 4, b) (12)x ≤ 8, c) 3x ≤ 1
9 , d) 4x > 18 .
3.1.5 Logaritamska funkcija
Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija, u oznaci: loga(čitamo: logaritam po bazi a), a > 0, a 6= 1. Dakle,
loga : 〈0,+∞〉 → R, loga x = y ⇔ ay = x.
Uočimo da vrijedi
aloga x = x,
tj. logaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a jest eksponent kojim treba potencirati
bazu da se dobije broj x.
Dekadski logaritam je logaritam s bazom 10 (oznaka: log), a prirodni logaritam je logaritam
s bazom e (oznaka: ln).
Logaritamska funkcija:
• definirana je samo za pozitivne realne brojeve, a poprima sve realne vrijednosti,
• je strogo rastuća ako je a > 1, a strogo padajuća ako je 0 < a < 1,
• je bijekcija,
• ima nultočku x0 = 1, tj. loga 1 = 0.
Neka su x1, x2 ∈ 〈0,+∞〉 te a > 0, a 6= 1. Tada vrijede sljedeća svojstva:
• f(x1 · x2) = f(x1) + f(x2), tj. loga(x1 · x2) = loga x1 + loga x2,
• f(x1x2
) = f(x1)− f(x2), tj. loga(x1x2
) = loga x1 − loga x2,
• loga xk = k loga x, k ∈ R,
• logar x = 1r
loga x, r ∈ R \ {0},
11
Slika 7: Graf logaritamske funkcije
1 2 3 4 5
-2
-1
1
(a) a > 1
1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
(b) 0 < a < 1
• veza između logaritama različitih baza: loga x = logb xlogb a
⇔ logb a · loga x = logb x.
Zadatak 14. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = log2 x b) f(x) = log3 x, c) f(x) = − log3 x, d) f(x) = log1/2 x,
e) f(x) = log1/3 x, f) f(x) = 12 ln x− 2, g) f(x) = 2 log1/3 x+ 4,
h) f(x) = | log2 x|, i) f(x) = log2 |x|, j) f(x) = log(−x).
Zadatak 15. Riješite sljedeće jednadžbe:
a) log1/3 x = −2, b) log4 x = 0, c) logx 116 = −4, d) logx 0.125 = −2.
Zadatak 16. Izračunajte:
a) (15)log5 10, b) 22 log4 7, c) (√
0.1)log 0.04−2 log 5, d) 5 log1/2√
8− 2 log319 ,
e) log8(4 · 3√32 · 25− log5 4), f) log3 log2√
2(2 · 3√4 · 5− log25 8), g) log2 18− 2 log4 123 log8 4 + log0.5 9 .
12
3.1.6 Trigonometrijske funkcije
Promotrimo jediničnu kružnicu (r = 1) sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog
sustava. Neka je dan brojevni pravac koji je tangenta na tu kružnicu u točki (1, 0) te neka
ishodište koordinatnog sustava na pravcu padne u tu točku. Brojevni pravac predstavlja
skup realnih brojeva (točkama na brojevnom pravcu u 1. kvadrantu su pridruženi pozitivni
realni brojevi, a u 4. kvadrantu negativni).
Promotrimo tzv. eksponencijalno preslikavanje točaka brojevnog pravca na jediničnu kružnicu
(vidi Sliku 9. a)): pravac namatamo na kružnicu tako da se pozitivna realna os namata u poz-
itivnom smjeru, a negativna realna os u negativnom smjeru (u smjeru kazaljke na satu). Na
svaku točku kružnice padne beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca. Jediničnu kružnicu
na koju su eksponencijalnim preslikavanjem naneseni realni brojevi nazivamo trigonometri-
jska kružnica.
Na taj način se svakom realnom broju x pridružila odgovarajuća točka T (x) na jediničnoj
kružnici. Apscisu točke T (x) označimo s cosx, a ordinatu sa sin x. Na taj način definirali
smo dvije funkcije koje ovise o x. Funkciju koja realnom broju x pridružuje apscisu točke
T (x) nazivamo kosinus i pišemo x 7→ cosx. Uočite da je za svaki x ∈ R, cosx ∈ [−1, 1].
Analogno, funkciju koja realnom broju x pridružuje ordinatu točke T (x) nazivamo sinus i
pišemo x 7→ sin x. Također je sin x ∈ [−1, 1], za svaki x ∈ R. Budući da za svaki x ∈ Rtočka T (x) pripada trigonometrijskoj kružnici vrijedi (Pitagorin poučak!):
sin2 x+ cos2 x = 1
što nazivamo osnovni trigonometrijski identitet.
Pomoću funkcija sin i cos definiraju se i funkcije tangens i kotangens formulama:
tg x = sin xcosx, za cosx 6= 0, i ctg x = cosx
sin x za sin x 6= 0.
Primjer 2. Treba odrediti prirodno područje definicije funkcije tg.
Funkcija tg, prema prethodnoj definiciji, ne prima vrijednost realnog broja u onim točkama u kojima
funkcija cos ima nultočke. To su svi oni x koji namatanjem brojevnog pravca na trigonometrijsku
kružnicu padnu u točke (0, 1) ili (0,−1). Dakle, funkcija tg nije definirana za x = π2 + kπ (k ∈ Z).
Zadatak 17. Odredite prirodno područje definicije funkcije ctg.
Često puta je korisno “zamijeniti” domenu trigonometrijskih funkcija (skup R) sa skupom
svih kutova. To je lako učiniti tako da kutu α pridružimo njegovu mjeru x u radijanima.
13
Slika 8: Definiranje trigonometrijskih funkcija
(a) (b)
Tada pod sinusom kuta α podrazumijevamo sinus njegove mjere x u radijanima. Slično se
definira kosinus, tangens i kotangens kuta α. Sa Slike 3.1.6 b). vidi se da vrijedi
sinα = duljina suprotne katete TT ′
duljina hipotenuze OT, cosα = duljina susjedne katete OT ′
duljina hipotenuze OT,
tgα = duljina suprotne katete TT ′
duljina susjedne katete OT ′, ctgα = duljina susjedne katete OT ′
duljina suprotne katete TT ′.
Za neki realni broj x (odnosno kut α) zbog sličnosti trokuta na Slici 9. b). vidi se da je
tangensu kuta α jednak ordinati točke B u kojoj drugi krak kuta α siječe pravac x = 1.
Analogno značenje ima kotangens realnog broja x, odnosno kuta α.
Navedimo sada neka osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija.
a) Funkcija x 7→ sin x
Funkcija sin : R→ [−1, 1] je neparna, periodična s periodom 2kπ, k ∈ Z (temeljni period je
2π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 10. a).
b) Funkcija x 7→ cosx
Funkcija cos : R → [−1, 1] je parna, periodična s periodom 2kπ, k ∈ Z (temeljni period je
2π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 10. b).
Iz Slike 9. možemo naslutiti vezu koja postoji između funkcija sin i cos:
sin x = cos(x− π
2 ), cosx = sin(x+ π
2 )
c) Funkcija x 7→ tg x
14
Slika 9: Trigonometrijske funkcije sin i cos
ΠΠ
2-Π -
Π
22 Π
5 Π
2
3 Π
2-1
1
(a)
ΠΠ
2-Π -
Π
22 Π
5 Π
2
3 Π
2-1
1
(b)
Funkcija x 7→ tg x neparna je, po dijelovima rastuća i periodična s periodom kπ, k ∈ Z(temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici 11. a).
d) Funkcija x 7→ ctg x
Funkcija x 7→ ctg x neparna je, po dijelovima padajuća i periodična s periodom kπ, k ∈ Z(temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici 11. b).
15
Slika 10: Trigonometrijske funkcije tg i ctg
ΠΠ
2-Π -
Π
2
3 Π
2
1
-1
2
-2
3
-3
4
-4
5
-5
(a)
ΠΠ
2-Π -
Π
2
3 Π
2
1
-1
2
-2
3
-3
4
-4
5
-5
(b)
Postoje mnoge trigonometrijske relacije i izrazi koji povezuju trigonometrijske funkcije, spomenimo
neke.
Teorem 3. Adicijski teoremi:sin(x± y) = sin x cos y ± sin y cosx
cos(x± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tg(x± y) = tgx± tgy1∓ tgx · tgy
ctg(x± y) = ctgx · ctgy ∓ 1ctgy ± ctgx .
Teorem 4. Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta:
16
sin(2x) = 2 sin x cosx
cos(2x) = cos2 x− sin2 x
tg (2x) = 2tgx1−tg2x
ctg (2x) = ctg2x−12ctgx .
Teorem 5. Trigonometrijske funkcije polovičnog kuta:sin2(x2 ) = 1− cosx
2cos2(x2 ) = 1 + cos x
2tg (x2 ) = 1− cosx
sin xctg (x2 ) = 1 + cos x
sin x
Zadaci
Zadatak 18. Izračunajte:
a) cos 105◦, b) sin 75◦, c) cos 15◦, d) sin 22◦30′.
Zadatak 19. Ako je sin x = 1√3,π
2 < x < π izračunajte cos 2x i tg (x2 ).
Zadatak 20. Dokažite da za sve α, β ∈ R vrijedi:
a) sinα + sin β = 2 sin α + β
2 cos α− β2 ,
b) sinα− sin β = 2 cos α+ β
2 sin α− β2 ,
c) cosα+ cos β = 2 cos α + β
2 cos α− β2 ,
d) cosα− cos β = −2 sin α+ β
2 sin α− β2 .
Gornje formule se zovu: Transformacija zbroja u umnožak.
Zadatak 21. Riješite sljedeće jednadžbe:
a) sin x = 12 , b) cos x = −
√2
2 , c) tgx = −1, d) ctgx =√
3.
Zadatak 22. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x, c) f(x) = 2 sin(x− π6 ),
d) f(x) = 12 cos(x− π
4 ), e) f(x) = −2 sin(2x− π3 ), f) f(x) = 1
3 cos(2x+ π3 ).
Zadatak 23. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = tg 2x b) f(x) = ctg x2 , c) f(x) = 2tg (x− π
4 ), d) f(x) = ctgx+ 2.
17
3.1.7 Ciklometrijske funkcije
Ciklometrijske funkcije su funkcije inverzne trigonometrijskim. To su funkcije: arkus sinus
(arcsin), arkus kosinus (arccos), arkus tangens (arctg) i arkus kotangens (arcctg).
a) Funkcija x 7→ arcsin x.
Budući da funkcija sin : R → [−1, 1] nije injekcija jer je primjerice sin 0 = sin 2π = 0, ona
nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:
Sin : [−π2 ,π
2 ]→ [−1, 1] formulom Sin (x) := sin x
Funkciju Sin zovemo restrikcija funkcije sin na [−π2 ,
π2 ], što simbolički pišemo:
Sin = sin|[−π2 ,π2 ] .
Funkcija Sin ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus sinus):
arcsin : [−1, 1]→ [−π2 ,π
2 ].
Graf funkcije arcsin dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Sin u odnosu na pravac
y = x (Slika 12.a).
Primijetimo da je arcsinα kut1 (ili luk) čiji je sinus jednak α. Tako je primjerice
arcsin 0 = 0 jer je sin 0 = 0,
arcsin 1 = π
2 jer je sin π2 = 1.
b) Funkcija x 7→ arccosx.
Budući da funkcija cos : R → [−1, 1] nije injekcija jer je primjerice cos 0 = cos 2π = 1, ona
nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:
Cos : [0, π]→ [−1, 1], Cos = cos|[0,π] ,
koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kosinus):
arccos : [−1, 1]→ [0, π].
Graf funkcije arccos dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Cos u odnosu na
pravac y = x (Slika 12.b).
Primijetimo da je arccosα kut (ili luk) čiji je kosinus jednak α. Tako je primjerice
arccos 1 = 0 jer je cos 0 = 1,1lat.: arcus=luk
18
Slika 11: Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arcsin i arccos
(a)
(b)
arccos 0 = π
2 jer je cos π2 = 0.
c) Funkcija x 7→ arctg x.
Budući da funkcija tg:R → R nije injekcija jer je primjerice tg 0 = tg π = 0, ona nema
inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:
Tg :(−π2 ,
π
2
)→ R, Tg = tg |(−π2 ,π2 ) ,
koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus tangens):
arctg : R→(−π2 ,
π
2
).
Graf funkcije arctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Tg u odnosu na pravac
y = x (Slika 13.a).
Primijetimo da je arctgα kut (ili luk) čiji je tangens jednak α. Tako je primjerice
arctg 0 = 0 jer je tg 0 = 0,
19
Slika 12: Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arctg i arcctg
(a)
(b)
arctg 1 = π
4 jer je tg π4 = 1.
d) Funkcija x 7→ arcctg x.
Budući da funkcija ctg:R → R nije injekcija jer je primjerice ctg(−π
2
)= ctg π
2 = 0, ona
nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju:
Ctg : (0, π)→ R, Ctg = ctg |(0,π) ,
koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kotangens):
arcctg : R→ (0, π).
Graf funkcije arcctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Ctg u odnosu na
pravac y = x (Slika 13.b).
Primijetimo da je arcctgα kut (ili luk) čiji je kotangens jednak α. Tako je primjerice
arcctg 0 = π
2 jer je ctg π2 = 0,
arcctg 1 = π
4 jer je ctg π4 = 1.
20
Zadatak 24. Pokažite da vrijedi:
a) tg ( arcctg x) = 1x, x 6= 0 b) ctg ( arctg x) = 1
x, x 6= 0
c) arctg ( ctg x) = π2 − x, d) arcctg ( tg x) = π
2 − x,
e) sin(arccos x) =√
1− x2, f) cos(arcsin x) =√
1− x2,
g) cos(arctg x) = 1√1+x2 , h) sin(arctg x) = x√
1+x2 ,
i) sin(2 arctg x) = 2x1+x2 , j) cos(2 arctg x) = 1−x2
1+x2 .
Zadatak 25. Skicirajte grafove sljedećih funkcija:
a) f(x) = arcsin(x− 3) b) f(x) = arccos x+ 4, c) f(x) = 2arctg x,
d) f(x) = arcctg (2x+ 2).
21