4 cap iv tasa nominal y efectiva de interes

303: Chapter 3: DRSBlank & Tarquin: 5th Edition. Ch 4 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 1

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INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta ediciónBlank y Tarquin

Capítulo IV

Tasas de interés nominales y efectivas



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Capítulo IV

Objetivos de aprendizaje



4. Objetivos de aprendizajeInterés nominal y efectivo.Tasa de interés efectiva anual.Tasa de interés efectiva.Compare PP y CP (Periodo de pago – Periodo compuesto).Cantidades únicas: PP >= CP.Series: PP >= CP.Únicas y series: PP < CP.Compuesto continuo.Tasas variables.



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Capítulo IV

1. Tasas de interés nominales y efectivas



4.1 TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS

Repase el interés simple y el interés compuesto (del capítulo 1).Interés compuesto – Interés calculado sobre interés. Para un periodo de interés dado.La unidad de tiempo para cálculos de interés – Un año.



4.1 Unidad de tiempo

Un año: se puede segmentar en: 365 días. 52 semanas. 12 meses. Un trimestre: 3 meses – 4 trimestres/año.El interés puede calcularse con más frecuencia que una vez al año.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Frecuencias comunes de interés compuesto

El interés puede calcularse (componerse): Anualmente – Una vez al año (al final). Cada 6 meses – 2 veces al año (semestral). Cada trimestre – 4 veces al año (trimestral). Cada mes – 12 veces al año (mensual). Diariamente – 365 veces al año (diariamente). … Continuamente – número infinito de periodos

compuestos al año.



4.1 Cotización de tasas de interés

Las tasas de interés pueden cotizarse en más de una forma.Ejemplo: El interés equivale a “5% por 6 meses”. El interés es “12%” (12% ¿en qué tiempo?) El interés es 1% mensual. El interés es “12.5% anual, compuesto

mensualmente”.Así, se deben “descifrar” las diversas formas de enunciar y calcular el interés.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Dos formas comunes de cotización

Dos tipos de cotización de interés 1. La cotización con una tasa de interés nominal. 2. Cotizar una tasa de interés periódico efectivo.Las tasas de interés nominal y efectivo son comunes en negocios, finanzas e ingeniería económica.Es preciso entender cada tipo para resolver los distintos problemas en que se enuncia el interés de diversos modos.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Concepto de una tasa de interés nominal

Una tasa de interés nominal, r.Definición:

Una tasa de interés nominal, r, es una tasa de interés que no incluye

ninguna consideración de capitalización (interés compuesto).



4.1 Tasa de interés nominal

El término “nominal”

Nominal significa, “sólo de nombre”,no la tasa real en este caso.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Cotización de una tasa de interés nominal

Las tasas de interés pueden cotizarse (declararse – comunicarse) en términos de una tasa nominal. Usted verá que hay dos formas de cotizar una tasa de interés: 1. Cotizar la tasa nominal. 2. Cotizar la tasa efectiva, real. Por ahora – estudiaremos la cotización nominal.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Definición de una tasa de interés nominal

Matemáticamente tenemos la siguiente definición:

r = (Tasa de interés por periodo)(Núm. de periodos)

A continuación algunos ejemplos…..


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Ejemplos – Tasas de interés nominal

1.5% mensual por 24 meses Es lo mismo que: (1.5%)(24) = 36% por 24

meses.1.5% mensual por 12 meses Es lo mismo que (1.5%)(12 meses) = 18%/año.1.5% por 6 meses Es lo mismo que: (1.5%)(6 meses) = 9%/6 meses

o periodo semestral.1% semanal por 1 año Es lo mismo que: (1%)(52 semanas) = 52% anual.



4.1 Tasas nominales…..

Una tasa nominal (cotizada así) no hace referencia a la frecuencia de la capitaliza-ción per se.Las tasas nominales pueden ser engañosas.Necesitamos una forma alternativa para cotizar las tasas de interés…Por eso se aplica la tasa de interés efectiva…



4.1 La tasa de interés efectiva (EIR)

Cuando se cotiza así, una tasa de interés efectiva es una tasa de interés periódica real.Es una tasa que se aplica para un periodo declarado.Es convencional usar el año como la unidad de tiempo.Así, a menudo se hace referencia a la EIR como la tasa de interés anual efectiva (EAIR).



4.1 La EAIR

Ejemplo: “12 por ciento compuesto

mensualmente”.Aparte este enunciado: 12% es la tasa nominal. “Compuesto mensualmente” indica la

frecuencia de la capitalización durante el año.

En este ejemplo: 12 periodos de capitaliza-ción durante un año.



4.1 La EAIR y la tasa nominal

La EAIR se añade a una tasa nominal informando al usuario la frecuencia del interés compuesto en un año.Notación:Es una convención usar la siguiente notación para la EAIR “ie” o, “i” La EAIR es una extensión de la tasa nominal – “r”.



4.1 Enfoque en las diferencias

Tasas nominales: Formato: “r% por periodo, t”. Ejemplo: “5% por 6 meses”.Tasas de interés efectivas: Formato: “r% por periodo, compuesto ‘m’

veces al año”. ‘m’ denota o infiere el número de veces por

año que el interés es compuesto. Ejemplo: 18% anual, compuesto

mensualmente.



4.1 ¿Cuál usar? : “r” o “i”?

Algunos problemas pueden indicar solamente la tasa de interés nominal.Recuerde: Aplique siempre la tasa de interés efectiva al resolver problemas.Las tablas de interés publicadas, el valor tiempo en forma cerrada de la fórmula de dinero y la función hoja de cálculo suponen que en los cálculos se aplica únicamente la tasa de interés efectiva.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Periodos de tiempo asociados al interés

Periodo de pago, Tp – Lapso en el cual los flujos de efectivo no se reconocen, excepto como flujos de efectivo al final de periodo.Periodo de capitalización, Tc – Lapso entre operaciones de interés compuesto.Periodo de tasa de interés, T – Las tasas de interés se enuncian como % por periodo.



4.1 Frecuencia de capitalización

Suponga un periodo representado por “t”.Sea “m” el número de veces que el interés es calculado (compuesto) en el periodo “t”.Sea CP el “periodo de capitalización”. ¡Normalmente, CP es un año! El “año” es la unidad estándar para “t”.



4.1 Tasa efectiva por CP

La tasa de interés efectiva por periodo de capitalización, CP es:

i efectivo por CPes igual a…r%/periodo t

m periodos de capitalización/t



4.1 Ejemplo:

Dado:

r = 9% anual, compuesto mensualmente.

Tasa mensual efectiva:0.09/12 = 0.0075 = 0.75%/mes

Aquí, “m” cuenta meses, o sea, m = 12 periodos de capitalización en un año.



4.1 Ejemplo 4.1

Considerando el “9% anual, compuesto trimestralmente”.

Trim. 1 Trim. 2 Trim. 3 Trim. 4

Un año: Igual a 4 trimestres.

CP igual a un trimestre (3 – meses).


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Ejemplo 4.1 (9%/año: Compuesto trimestralmente)

Dado “9% anual, compuesto trimestralmente”.

Trim. 1 Trim. 2 Trim. 3 Trim. 4

¿Cuál es la tasa efectiva por trimestre?

iTrim. = 0.09/4 = 0.0225 = 2.25%/trimestre.

La tasa de 9% es una tasa nominal; El 2.25% es una tasa efectiva mensual real.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Ejemplo 4.1 (9%/anual: Compuesto trimestralmente)

Dado “9% anual, compuesto trimestralmente”.

Trim. 1: 2.25% Trim. 2:2.25% Trim. 3:2.25% Trim. 4:2.25%

La tasa efectiva (tasa real) trimestral es 2.25% por trimestre.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Declaración: 9% compuesto mensualmente

r = 9% (la tasa nominal). “Compuesto mensualmente significa “m” =12. La tasa real (efectiva) mensual es: 0.09/12 = 0.0075 = 0.75% mensual.

0.75%

1

0.75%

2

0.75%

3

0.75%

4

0.75%

5

0.75%

6

0.75%

7

0.75%

8

0.75%

9

0.75%

10

0.75%

11

0.75%

12

Un año de duración (12 meses).



4.1 Declaración: 4.5% por 6 meses – compuesto semanalmente

Tasa nominal: 4.5%.Periodo: 6 meses.Compuesto semanalmente: Suponga 52 semanas al año. Entonces, 6 meses es igual a 52/2 = 26

semanas por 6 meses.La tasa efectiva semanal real es: (0.045/26) = 0.00173 = 0.173% por

semana.



4.1 Tabla 4.1

Puede ser poco claro si una tasa declarada es una tasa nominal o una tasa efectiva.Se presentan tres declaraciones de interés diferentes…


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.1 Diversas declaraciones de tasas de interés

“8% anual, compuesto trimestralmente” La tasa nominal es declarada: 8%. La frecuencia de capitalización es

dada.Compuesto trimestralmente.La tasa trimestral real es 0.8/4 = 0.02 = 2% trimestral. ¡Aquí se debe calcular la tasa efectiva

trimestral!



4.1 Tasa efectiva declarada

Tasa efectiva = 8.243% anual, compuesto trimestralmente: No se da la tasa nominal (debe calcularse). Periodos compuestos – m = 4.¡No es necesario calcular la tasa efectiva real! ¡Ya está dada: 8.243% anual!



4.1 Sólo se declara la tasa de interés

“8% anual”.Nota: No hay información sobre la frecuencia de

capitalización. ¡Se debe suponer que es por un año! “m” se supone igual a “1”. Suponga que el “8% anual” ¡es una tasa efectiva anual real! ¡No hay otra opción!



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Capítulo IV

2. Tasas efectivas anuales


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.2 Tasas de interés efectivas anuales

Aquí mostramos cómo calcular las tasas de interés anuales, efectivas, reales. Suponemos que un año es la unidad de medida para el tiempo.El año puede estar formado por diversos números de periodos de capitalización (dentro del año).


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.2 Frecuencias típicas de capitalización

Dado que un año es la unidad: m = 1: compuesto anualmente (al final

del año); m = 2: compuesto semestralmente (cada

6 meses); m = 4: compuesto trimestralmente; m = 12: compuesto mensualmente; m = 52: compuesto semanalmente; m = 365: compuesto diariamente.Se podría subdividir el año en periodos cada vez más pequeños.



4.2 Cálculo de la EAIR

EAIR – “la tasa de interés efectiva anual”.La EAIR es la tasa anual real con una frecuencia de capitalización dada durante el año.Necesitamos la siguiente notación…



4.2 Notación de la EAIR

r = la tasa de interés nominal anual. m = el número de periodos de capitalización durante el año. i = la tasa de interés efectiva por periodo de capitalización (i/m). ia or ie = la tasa anual efectiva real, dado el valor de m.



4.2 Derivación de la relación EAIR

Suponga $1 de principal en el tiempot = 0.Realice un cálculo de valor futuro periodo por periodo.Problema de “notación”. A veces, “i” se usa para reemplazar “ie” o

“ia”. ¡Así, “i” puede representar también la

tasa de interés efectiva anual real!



4.2 Obtención de la EAIR… Considere un periodo de un año.

0 1

Invierta $1 de principal en el tiempo t = 0 a una tasa de interés i anual.

$P = $1.00

$F=$P(1+i)1

Un año después, F = P(1+i)1 .



m1

4.2 Derivando la EAIR…¡El interés podría ser compuesto más de una vez en el año!

0 1

$P = $1.00

$F=$P(1+i)1

Suponga que el año es dividido ahora en “m” periodos de capitalización.

2 3 4 5

Reemplace “i” con “ia” puesto que ahora m > 1.



4.2 Escribiendo de nuevo…

F = P + P(ia).Ahora la tasa i por CP tiene que ser compuesta en todos los “m” periodos para obtener F1.Reescriba como: F = P + P(ia) = P(1 + ia). F = P( 1 + i )m.



4.2 Dos expresiones similares para F

Tenemos dos expresiones para F; 1. F = P(1 + ia); 2. F = P( 1 + i )m; 3. Iguale las dos expresiones; 4. P(1 + ia) = P( 1 + i )m;

P(1 + ia) = P( 1 + i )m;

Resuelva ia en términos de “i”.



4.2 Expresión para ia

Resolviendo para ia queda;

1 + ia = (1+i)m ( 1 )

ia = (1 + i )m – 1 ( 2 )

Si empezamos con una tasa nominal “r”, entonces…



4.2 La EAIR es…

Dada una tasa nominal, “r”. i Cperiodo compuesto = r/m ;La EAIR se calcula como;

EAIR = (1 + r/m)m - 1. ( 3 )

O, EAIR = ( 1+ ia)1/m – 1.

Entonces: Tasa nominal – “r” = (i)(m). ( 4 )


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.2 Ejemplo: EAIR dada una tasa nominal

Dado: El interés es “8% anual compuesto trimestralmente”.¿Cuál es la tasa de interés anual real?Calcule:

EAIR = (1 + 0.08/4)4 – 1.

EAIR = (1.02)4 – 1 = 0.0824 = 8.24%/año.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.2 Ejemplo: “18%/año, comp. mensualmente”

¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual real?

r = 0.18/12 = 0.015 = 1.5% mensual.

1.5% al mes es una tasa efectiva mensual.

La tasa efectiva anual es:

(1 + 0.18/12)12 – 1 = 0.1956 = 19.56%/año.



4.2 Ejemplo previo

“18%, c.m. (compuesto mensualmente).Nota: La tasa nominal es 18%; La tasa efectiva mensual real es

1.5%/mes; La tasa efectiva anual real es 19.56%/año. ¡Una tasa nominal crea 2 tasas efectivas! Una tasa periódica y una tasa efectiva anual.



4.2 EAIR para 18% m = 1. EAIR = (1 + 0.18/1)1 – 1 = 0.18 (18%) m = 2 (compuesto semestralmente). EAIR = (1 + 0.18/2)2 – 1 = 18.810% m = 4 (compuesto trimestralmente). EAIR = (1 + 0.18/4)4 – 1 = 19.252% m = 12 (compuesto mensualmente). EAIR = ( 1 + 0.18/12)12 – 1 = 19.562% m = 52 (compuesto semanalmente). EAIR = (1 + 0.18/52)52 – 1 = 19.684%



4.2 Continuación para 18%...

m = 365 (compuesto diariamente). EAIR = ( 1 + 0.18/365)365 – 1 = 19.714% m = 365(24) (compuesto por hora). EAIR = (1 + 0.18/8760)8760 – 1 = 19.72%Se podría subdividir el año en periodos más pequeños.Nota: Hay un límite aparente cuando “m” se hace cada vez más grande… llamado compuesto continuo.



4.2 Ejemplo: 12% Nominal# periodos EAIR EAIRcapitalizac. (Decimal) (por ciento)

Anual 1 0.1200000 12.00000%Semestral 2 0.1236000 12.36000%Trimestral 4 0.1255088 12.55088%Bimestral 6 0.1261624 12.61624%Mensual 12 0.1268250 12.68250%Semanal 52 0.1273410 12.73410%Diario 365 0.1274746 12.74746%Horas 8760 0.1274959 12.74959%Minutos 525600 0.1274968 12.74968%Segundos 31536000 0.1274969 12.74969%

12% nominal para diversos periodos compuestos.



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Capítulo IV

3. Tasas de interés efectivas para cualquier periodo



4.3 Periodo de pago (PP)

Recuerde: CP es el “periodo de capitalización”.PP se introduce ahora: PP es el “periodo de pago”. ¿Por qué “CP” y “PP”? A menudo la frecuencia con que se

depositan fondos o se hacen pagos no coincide con la frecuencia de capitalización.



4.3 Comparaciones:

Ejemplo 4.4 Tres planes distintos de cargos de

intereses. Los pagos de un préstamo se efectúan cada 6 meses. Se presentan tres planes de intereses:

1. 9% anual, c.t. (compuesto trimestralmente).2. 3% por trimestre, compuesto

trimestralmente.3. 8.8% anual, c.m. (compuesto

mensualmente.)

¿Qué plan tiene la tasa de interés anual más baja?



CP-4

4.3 Comparación de 3 planes: Plan 1

9% anual, c.t.Pagos hechos cada seis meses.

0 1

Pago

9%, c.t. = 0.09/4 = 0.045 por 3 meses = 4.5% por 3 meses

CP-1 CP-2

Pago

CP-3

Periodo de pago 1 Periodo de pago 2

Regla: ¡La tasa de interés debe coincidir con el periodo de pago!



4.3 La regla de compatibilidad

¡De nuevo el interés debe ser consistente con el periodo de pago!Necesitamos una tasa efectiva de 6 meses y luego calcular la tasa efectiva real a 1 año! Para comparar los 3 planes: Calcule la tasa efectiva a 6 meses, real, o Calcule la tasa efectiva real a 1 año. ¡Así se pueden comparar los 3 planes!



4.3 Comparación de 3 planes: Plan 1

9% anual, c.t. = 2.25%/trimestrePagos hechos cada 6 meses.

0 1CP-4

Pago

CP-1 CP-2

Pago

CP-3

Periodo de pago 1 Periodo de pago 2

La tasa real a 6 meses es:

(1.0225)2 – 1 = 0.0455 = 4.55% por 6 meses.

EAIR = (1.0225)4 – 1 = 9.31% anual.



4.3 Plan 2

3% por trimestre, c.t.3%/trimestre.Encuentre la EIR para 6 meses.Calcule: Para una tasa de interés efectiva por 6 meses. (1.03)2 – 1 = 0.0609 = 6.09% por 6 meses. O para una tasa de interés efectiva durante 1

año - (1.03)4 – 1 = 12.55%/año.



4.3 Plan 3:” 8.8% anual, c.m.”

“r” = 8.8%. “m” = 12.Pagos dos veces al año.Tasa nominal de 6 meses = 0.088/2 =4.4%/6 meses (“r” = 0.044).EIR6-meses = (1 + 0.044/6)6 – 1. Igual a (1.0073)6 – 1= 4.48%/ 6 meses. Igual a (1 + 0.088/12)12 – 1 =

9.16%/año.



4.3 Resumiendo los 3 planes…

Plan núm.

6 meses 1 año

1 4.55% 9.31%

2 6.09% 12.55%

3 4.48% 9.16%

El plan 3 presenta la tasa de interés más baja.



4.3 ¿Puede ser confuso?Los 3 planes declaran el interés en forma diferente.Es difícil determinar cuál es el mejor plan con una simple inspección.Cada plan debe evaluarse por medio de: Cálculo de la tasa efectiva mensual, real por 6

meses.O Cálculo de la tasa efectiva anual real por 12

meses (1 año). Luego se pueden comparar los 3 planes usando

la EIR o la EAIR.



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Capítulo IV

4. Relaciones de equivalencia: Comparación del periodo de pago

y la duración del periodo de capitalización (PP vs. CP)


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.4 Equivalencia: Comparación de PP y CP

Realidad: PP y CP no siempre coinciden; Puede haber flujos de fectivo mensuales, pero… El periodo de capitalización es diferente del mensual.Cuentas de ahorros – por ejemplo; Depósitos mensuales con, Interés trimestral ganado o pagado; ¡Éstos no coinciden! ¡Hacerlos coincidir! (ajustando el periodo de interés para que coincida con el periodo de pago.)



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Capítulo IV

5. Relaciones de equivalencia: Cantidades únicas con PP >= CP



4.5 Cantidades únicas: CP >= CP

Ejemplo:“r” = 15%, c.m. (compuesto mensualmente) . Sea P = $1 500.00.Determine F a t = 2 años.15% c.m. = 0.15/12 = 0.0125 = 1.25%/mes.n = 2 años O 24 meses. Trabaja en meses o en años.




Enfoque 1. (n se refiere a meses).Planteamiento: F24 = $1 500(F/P,0.15/12,24); i/mes = 0.15/12 = 0.0125 (1.25%); F24 = $1 500(F/P,1.25%,24); F24 = $1 500(1.0125)24 = $1 500(1.3474); F24 = $2 021.03.




Enfoque 2. (n se refiere a años).Planteamiento: F24 = $1 500(F/P,i%,2); Suponga que n = 2 (años) necesitamos

aplicar una tasa de interés efectiva anual. i/mes =0.0125 EAIR = (1.0125)12 – 1 = 0.1608 (16.08%). F2 = $1 500(F/P,16.08%,2). F2 = $1 500(1.1608)2 = $2 021.19. Ligero redondeo comparado con el enfoque 1.



4.5 Ejemplo 2.

Considere:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$1 000

$3 000

$1 500

F 10 = ?

r = 12%/año, c.s.a.

Se sugiere trabajar en periodos de 6 meses.

Cuente “n” en función de intervalos de “6 meses”.



4.5 Ejemplo 2.

Renumere la línea de tiempo:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

$1 000

$3 000

$1 500

F 10 = ?

r = 12%/año, c.s.a.

i/6 meses = 0.12/2 = 6%/6 meses; n cuenta periodos de 6 meses.



4.5 Ejemplo 2.

Compuesto hacia delante:F 20 = ?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

$1 000

$3 000

$1 500

r = 12%/año, c.s.a.

F20 = $1 000(F/P,6%,20) + $3 000(F/P,6%,12) +

$1 500(F/P,6%,8) = $11 634


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.5 Ejemplo 2. Sea n la cuenta de años…

Compuesto hacia delante:

$1 000

F 10 = ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$3 000

$1 500

r = 12%/año, c.s.a.

SI n cuenta años, el interés debe ser una tasa anual.

EAIR = (1.06)2 - 1 = 12.36%.

¡Calcule el FV si n son años e i = 12.36%!



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Capítulo IV

6. Relaciones de equivalencia: Series con PP >= CP



4.6 Análisis de series – PP >= CP

Encuentre el “i” efectivo por periodo de pago.Determine “n” como el número total de periodos de pago.“n” será equivalente al número de periodos de flujo de efectivo en la serie particular.Se ofrecen ejemplos a continuación…



4.6 Ejemplo de serie

Considere:

0 1 2 3 4 5 6 7

A = $500 cada 6 meses.

F7 = ??

Encuentre F7 si “r” = 20%/año, c.t. (PP > CP).

Necesitamos i por 6-meses – efectiva.

i6-meses = ajustando la tasa nominal para que coincida.



4.6 Ejemplo de serie

Ajustando el interés.r = 20%, c.t.i/trim. = 0.20/4 = 0.05 = 5%/trim.2-trim. En un periodo de 6-meses.i6-meses = (1.05)2 – 1 = 10.25%/6-meses.Ahora el interés coincide con los pagos.Faño 7 = Fperiodo 14 = $500(F/A,10.25%,14).F = $500(28.4891) = $14 244.50.



4.6 Este ejemplo: Observaciones

La tasa de interés debe coincidir con la frecuencia de los pagos.En este ejemplo – necesitamos el interés efectivo por 6 meses: Los pagos se hacen cada 6 meses.La tasa efectiva a 6 meses se calculó para ser igual a 10.25% - tasa no tabulada.Calcule el factor F/A o interpole.¡O bien, use una hoja de cálculo que determine rápidamente el factor correcto!



4.6 Este ejemplo: Observaciones

¡No intente ajustar los pagos para adaptarlos a la tasa de interés! ¡Hacerlo así es erróneo! Lo mejor que podría lograr es una burda aproximación – ¡no lo haga!Este tipo de problema casi siempre da por resultado una tasa de interés no tabulada. Tiene que usar su calculadora para

calcular el factor, o un modelo de hoja de cálculo para lograr un resultado exacto.



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Capítulo IV

7. Relaciones de equivalencia: Cantidades únicas y series con

PP < CP


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.7 Cantidades únicas/Series con PP < CP

Esta situación es diferente de la anterior.Aquí, PP es menor que el periodo de capitalización (CP).¿Surgen preguntas?La cuestión del interperiodo de capitalización.Se presenta un ejemplo a continuación.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.7 Temas del interperiodo de capitalizaciónConsidere un caso de flujo de efectivo a un año.Los pagos se hacen al final de un mes dado.La tasa de interés es “r = 12%/año, c.t.”.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$90

$120

$45

$150

$200

$75 $100 $50



CP-2CP-1

4.7 Interperiodo de capitalización

r = 12%/año. c.t.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$90

$120

$45

$150

$200

$75 $100 $50

CP-3 CP-4

¡Observe dónde se ubican algunos montos de flujo de efectivo con respecto a los periodos de capitalización!



CP-1

4.7 Tome el primer flujo de efectivo de $200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$90

$120

$45

$150

$200

$75 $100 $50

¿Se ganará/adeudará algún interés sobre los $200 si el interés es compuesto al fin de cada trimestre?

¿Los $200 están al final del mes 2 y ganarán interés por un mes para ir al final del primer periodo de capitalización?

El último mes del primer periodo de capitalización. ¿Es éste un periodo de obtención de intereses?



4.7 Emisiones en el interperiodo

Los $200 se presentan 1 mes antes del final del periodo de capitalización 1.¿Se ganará o cargará interés sobre esos $200 por el mes uno?Si no es así, el diagrama de flujo de efectivo revisado para todos los flujos de efectivo debería verse así…



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4.7 No hay capitalización de interperiodo

Diagrama CF revisado:$90

$165

$45

$150

$200

$75 $100 $50

$200$175

$90

$50

Todos los CF negativos se mueven hacia el final de sus respectivos trimestres y todos los CF positivos se mueven hacia el principio de sus respectivos trimestres.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.7 No hay capitalización de interperiodo

Diagrama CF revisado:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$165

$150

$200$175

$90

$50

Ahora determine el valor futuro de esta serie revisada, usando el factor F/P con cada flujo de efectivo.



4.7 Resultados finales: No hay capitalización de interperiodo

Con el CF revisado, calcule el valor futuro.

F12 = [-150(F/P3%,4) – 200(F/P,3%,3) + (-175 +90)(F/P,3%,2) + 165(F/P,3%,1) – 50]

= $-357.59

“r” = 12%/año, compuesto trimestralmente.

“i” = 0.12/4 = 0.03 = 3% por trimestre.



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Capítulo IV

8. Tasa de interés efectiva para capitalización continua



4.8 Capitalización continua

Recuerde: EAIR = i = (1 + r/m)m – 1. ¿Qué sucede si hacemos que m tienda a

infinito? Eso significa un número infinito de

periodos compuestos en un año o, El tiempo entre dichos periodos se

aproxima a “0”. Veremos que para un valor dado de “r”

tenderá a un valor límite.


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.8 Derivación de capitalización continua

Podemos enunciar, en términos generales, para la EAIR:

(1 ) 1mrim

Ahora, examine el impacto de dejar que “m” tienda a infinito.



Se redefine la forma general de EAIR como:

(1 ) 1 1 1

rmrmr r

m m

Nota – el término que está entre paréntesis tiene el exponente cambiado, pero todo sigue siendo igual…



Hay una razón para la redefinición. A partir del cálculo de límites, hay un límite importante muy útil.Específicamente:

1lim 1 2.71828h

he

h



Substituyendo vemos que:

lim 1 ,mr

m

r em



Así que:

lim 1 1 1.

rmr r

m

ri em

Resumiendo…



Cuando el interés es compuesto continuamente, la EAIR:

EAIR = er – 1Donde “r” es la tasa nominal de interés, compuesta continuamente.

Esta es la máxima tasa de interés para cualquier valor de “r” compuesto continuamente.



Ejemplo:¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual real si la tasa nominal está dada como: r = 18% compuesto continuamente. O bien, r = 18% c.c.

Resuelva e0.18 – 1 = 1.1972 – 1 = 19.72%/año

¡El 19.72% representa la EAIR MÁXIMA para 18% compuesto en cualquier forma que usted elija!



4.8 Hallar “r” a partir de EAIR/compuesto continuamente

Para determinar la tasa nominal equivalente, dada la EAIR cuando el interés es compuesto continuamente, aplique:

ln(1 )r i



4.8 Ejemplo

Dada r = 18% anual, cc, encuentre: A. la tasa efectiva mensual. B. la tasa efectiva anual.

a. r/mes = 0.18/12 = 1.5%/mes.

a. La tasa efectiva mensual es e0.015 – 1 = 1.511%.

b. La tasa de interés efectiva anual es e0.18 – 1 = 19.72% al año.



4.8 Ejemplo

Un inversionista requiere un retorno efectivo de 15% anual por lo menos.¿Cuál es la mínima tasa nominal anual aceptable si el interés sobre su inversión es compuesto continuamente?

Para empezar: er – 1 = 0.15Resuelva para “r” …



4.8 Ejemplo

er – 1 = 0.15er = 1.15ln(er) = ln(1.15) r = ln(1.15) = 0.1398 = 13.98%

Una tasa de 13.98% anual, cc. genera lo mismo que una tasa anual real efectiva de 15%.



4.8 Hallar “r” a partir de EAIR/compuesto continuamente

Para determinar la tasa nominal equivalente dada la EAIR cuando el interés es compuesto continuamente, aplique:

ln(1 )r i



4.8 Reflexiones finales

Cuando se comparan diferentes expresiones de la tasa de interés, siempre se debe calcular la tasa efectiva anual real (EAIR) para cada cotización.¡Sólo las EAIR se pueden comparar!Las tasas nominales diversas no pueden compararse, ¡a menos que cada tasa nominal se convierta a su respectiva EAIR!



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Capítulo IV

9.Tasas de interés que varían con el tiempo


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.9 Tasas de interés que varían con el tiempo

En la práctica – las tasas de interés no permanecen iguales con el tiempo, a menos que sea por obligación contractual.Puede haber cierta “variación” de tasas de interés al cabo del tiempo – ¡es muy normal!Si hace falta, ¿cómo maneja usted esa situación?


Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.4.9 Tasas de interés que varían con el tiempo

Esto se ilustra mejor con un ejemplo.Suponga los siguientes beneficios futuros:

0 1 2 3 4

$70 000 $70 000

$35 000$25 000

7% 7% 9% 10%

(P/F,7%,1)

(P/F,7%,2)(P/F,9%,3)

(P/F,10%,4)



4.9 Tasas que varían: Valor presente

Para determinar el valor presente: Ubique de nuevo cada cantidad de flujo

de efectivo en el punto del tiempo apropiado a la tasa de interés, de acuerdo con:

P = F1(P/F.i1,1) + F2(P/F,i1)(P/F,i2) + … + Fn(P/F,i1)(P/F,i2)(P/F,i3)…(P/F,in,1) ¡Este proceso puede realizarse con computadora!



4.9 Análisis periodo por periodo

P0 =:1. $7 000(P/F,7%,1)2. $7 000(P/F,7%,1)(P/F,7%,1)3. $35 000(P/F,9%,1)(P/F,7%,1)2

4. $25 000(P/F,10%,1)(P/F,9%,1)(P/F,7%,1)2

Igual a: $172 816 en t = 0…

Trabaje retrocediendo un periodo a la vez hasta llegar a “0”.



4.9 Tasas que varían: Aproximación

Un enfoque alternativo que aproxima el valor presente:Promedie las tasas de interés en el número apropiado de periodos.Ejemplo: {7% + 7% + 9% + 10%}/4 = 8.25%; Trabaje el problema con una tasa de

8.25%; Es sólo una aproximación.



4.9 Tasas que varían: Flujo de efectivo futuro único

Suponga el siguiente flujo de efectivo:

0 1 2 3 48% 9% 10% 11%

$10 000

Objetivo: Halle P0 a las tasas que varían.

P0 = $10 000(P/F,8%,1)(P/F,9%,1)(P/F,10%,1)(P/F,11%,1)

= $10 000(0.9259)(0.9174)(0.9091)(0.9009)

= $10 000(0.6957) = $6 957



4.9 Tasas que varían: Observaciones

Casi nunca evaluamos modelos de problemas con tasas de interés que varían, excepto en casos especiales.Si es necesario, será mejor construir un modelo de hoja de cálculo. Es una tarea engorrosa de realizar.



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Capítulo IV

Resumen



Resumen del capítulo

Muchas aplicaciones usan y aplican el interés compuesto efectivo y nominal.Dada una tasa nominal – debe hacer que la tasa de interés se ajuste a la frecuencia de los pagos.Aplique la tasa de interés efectiva por periodo de pago.Al comparar tasas de interés que varían, debe calcular la EAIR para que pueda comparar.



4.9 Resumen del capítulo - continúa

Todos los factores de interés del valor del dinero en el tiempo requieren el uso de una tasa de interés efectiva periódica (real).La tasa de interés, i, y los periodos de pago o flujo de efectivo deben tener la misma unidad de tiempo.Podemos hallar tasas de interés que varían y una respuesta exacta requiere una secuencia de tasas de interés – ¡Una tarea engorrosa!



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Capítulo IV

Fin del conjunto de diapositivas del capítulo

4 cap iv tasa nominal y efectiva de interes

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