45 ตรีโกณมิติ...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 2)

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต


2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต (เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย) หมวด เนอหา ตอนท 2 (2 / 8) หวขอยอย 1. เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต 2. วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. สามารถพสจนและประยกตเอกลกษณในการค านวณอตราสวนตรโกณมตได 2. เกดความเขาใจในมโนทศนของการวดมมในวงกลมหนงหนวย ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. เขยนแสดงบทพสจนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตได 2. ประยกตเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตในการค านวณนพจนตาง ๆ ทเกยวของกบ อตราสวนตรโกณมตได 3. อธบายเกยวกบการวดมมทงในหนวยเรเดยน และองศาได 4. เปลยนหนวยของมมได


4

เนอหาในสอการสอน


5

เนอหาทงหมด


6

1. เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต


7

1. เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตคอ สมการทมอตราสวนตรโกณมตปรากฏอยและเปนจรงเสมอ

ส าหรบมมแหลมใด ๆ ตวอยางเชน (sin A)

2 + (cos A)

2 = 1

sin A2

= cos A

ตอไปเปนสมการทไมใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

sin A – cos A = 0

เนองจากสมการนจะเปนจรงเมอ A เปนมมทมขนาดเทากบ 45 เทานน

จากเรองตรโกณมตเนอหาตอนท 1 นกเรยนไดเหนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

(sin A)2 + (cos A)

2 = 1

ซงเปนสมการทแสดงความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต sin กบ cos และเปนจรงเสมอทกมมแหลม A

พอมาถงเรองตรโกณมตเนอหาตอนท 2 น นกเรยนจะไดเหนเอกลกษณอนเพมเตมอก โดยเรมจากการทบทวน

บทนยามของอตราสวนตรโกณมต


8

สรป ตอนนเรามเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตทส าคญ 3 เอกลกษณ ดงน

sin2A + cos

2A = 1

tan2A + 1 = sec

2A เมอ A เปนมมแหลม

cot2A + 1 = cosec

2A

ตอไปเปนตวอยางการใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต


9

จากตวอยางทผานมา นกเรยนไดเหนวธทแตกตางกน 2 วธ บางขอเหมาะกบวธหนง บางขอเหมาะกบ

อกวธหนง นกเรยนสามารถเลอกใชได หรอลองท าทง 2 วธ แลวเปรยบเทยบค าตอบกน แตตวอยางตอ ๆ ไป

จะท าเพยงวธเดยว คอใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต


10

นกเรยนไดเหนแลววาค าตอบของ 2 ตวอยางขางตนน คงตวเสมอไมวามม A จะมขนาดเทาใด

จงสรปไดวา sin

4A + 2 sin

2A cos

2A + cos

4A = 1

และ (3 sec2A – 2 cos

2A) – (3 tan

2A + 2 sin

2A) = 1

ตางกเปนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต


11

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงพสจนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตตอไปน

1. tan2A – sin

2A =

4

2

sin A

cos A

วธท า tan2A – sin

2A =

2

2

sin A

cos A – sin

2A

= 2 2 2

2

sin A sin A cos A

cos A

= 2 2

2

sin A(1 cos A)

cos A

= 2 2

2

sin Asin A

cos A =

4

2

sin A

cos A

2. cot A

tan A cot A = cos

4A

วธท า cot A

tan A cot A =

1

1tan A 1

cot A

= 2

1

tan A 1

= 2

1

sec A = cos

2A


12

3. 2(sin A cos A) 1

tan A sin A cos A

= 2 cot

2A

วธท า 2(sin A cos A) 1

tan A sin A cos A

=

2 2sin A 2sin A cos A cos A 1

sin Asin A cos A

cos A

= 2sin Acos A

1sin A cos A

cos A

= 2

2

11

cos A

= 2

2

sec A 1 =

2

2

tan A = 2 cot

2A

4. 2cot A

1cos ec A 1

= cosec A

วธท า 2cot A

1cos ec A 1

= 2cot A cosec A 1

1cosec A 1 cosec A 1

= 2

2

cot A(cosec A 1)

cosec A 1

+ 1

= 2

2

cot A(cosec A 1) 1

cot A

= cosec A

5. sin A 1 cos A

1 cos A sin A

= 2 cosec A

วธท า sin A 1 cos A

1 cos A sin A

=

2

sin A(1 cos A) 1 cos A

1 cos A sin A

= 1 cos A 1 cos A

sin A sin A

= 2

sin A = 2 cosec A


13

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

1. จงพสจนเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตตอไปน

1.1 22sin A 1 sin A cos A

2sin A cos A 1 sin A cos A

1.2 sin A (1 – tan A) + cos A (cot A – 1) = cosec A – sec A

1.3 tan A sin A + cos A = sec A

1.4 2sin A sin B (sin A sin B)

2sin B sin A sin Asin B

1.5 sin2 A cos

2 B – cos

2 A sin

2 B = sin

2 A – cos

2 B

1.6 (cot A + cosec A)2 =

1 cos A

1 cos A

1.7 2 2 2

2 2 2

sin A cos A 1 cot A

sin A 5cos A 1 5cot A

1.8 sin4 A – cos

4 A = 1 – 2 cos

2 A

1.9 2

2

cos A 1

sin A 1

= tan

2 A

1.10 cos A 1 sin A

1 sin A cos A

= 2 tan A

2. ก าหนดให sin A = 3

5 และ cos A < 0 จงหาคาของ cos A cot A

cos ec A tan A

3. ก าหนดให sec2 A + tan

2 A =

7

2 และ cos A > 0 จงหาคาของ cos A + sec A

4. ก าหนดให sin A + cos A = 2

5 จงหาคาของ sin A cos A


14

5. จงหาอตราสวนตรโกณมตทงหลาย เมอก าหนดให

5.1 tan A = 4

3 , sin A < 0

5.2 cot A = 12

5 , sin A > 0

5.3 sin A = 15

17 , cos A < 0

5.4 cosec A = 5

4 , cos A > 0

5.5 sin A = 4

5 , tan A > 0

5.6 tan A = 4

3 , cos A > 0


15

2. วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม


16

2. วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

เรองทส าคญของวชาตรโกณมต กคอ ฟงกชนตรโกณมต ซงการนยามฟงกชนตรโกณมต เราจะใช

วงกลมหนงหนวยเปนตวก าหนด ดงนนจะทบทวนวงกลมหนงหนวยกนกอน

ถงแมนกเรยนจะรจกมมกนมาบางแลว แตในตอนนจะทบทวนขอตกลงและเงอนไขตาง ๆ ของมม

กนกอน


17

หนวยของมมม 2 หนวย คอ องศาและเรเดยน

ตวอยางการวดมมทมหนวยเปนองศา โดยก าหนดมม 45, 60 และ 90


18

ตอไปจะก าหนดมมจากการหมนรอบจดศนยกลาง เชน 1 1 1, ,

2 3 4 และ 1

6 รอบ

สรปเปน


19

ถาแบงมม 1 องศายอยตอไปอกจะไดลปดาและพลปดา ดงตอไปน


ตวอยาง มม 12 15 มกพลปดา

วธท า มม 12 มคา 12 60 = 720

มม 720 + 15 = 735 มคา 735 60 = 44100

ดงนน มม 12 15 มคา 44,100 พลปดา

ตวอยาง มม 518400 เปนกองศา

วธท า มม 518400 มคา 518400

60 = 8640

มม 8640 มคา 8640

60 = 144

ดงนน มม 518400 มคา 144


20

หนวยของมมอกหนวยหนงคอเรเดยน ก าหนดดงน


21

ตอไปเปนตวอยางของมม 2 เรเดยน 3 เรเดยน และ 4 เรเดยน

มมทมหนวยเรเดยนมความสมพนธกบวงกลมหนงหนวย ดงน

ตอไปเปนตวอยางมม 2

เรเดยน เรเดยน และ 2

3

เรเดยน


22

มมในต าแหนงมาตราฐานของมมทมหนวยเปนเรเดยน

ตวอยางของมมในต าแหนงมาตราฐาน 2

เรเดยน 2

3

เรเดยน และ

4

เรเดยน

มมทเกดจากการหมนเกนหนงรอบ

ตวอยาง มมทเกดจากการหมน 8

3 รอบในทศทวนเขมนาฬกา มคากเรเดยน

วธท า มมทเกดจากการหมน 8

3 รอบ จะเทากบมมทเกดจากการหมน 2

3 รอบ

ดงนนมมดงกลาวมคาเทากบ 2

3 2 =

4

3

เรเดยน

ตวอยาง มมทเกดจากการหมน 7

4 รอบในทศตามเขมนาฬกา มคากเรเดยน

วธท า มมทเกดจากการหมน 7

4 รอบ จะเทากบมมทเกดจากการหมน 3

4 รอบ

ดงนนมมดงกลาวมคาเทากบ 3

4

2 = 3

2

เรเดยน


23

เราสามารถเปลยนหนวยของมมได โดยถอวามมหนงรอบมคาเทากบ 360 องศา และมคาเทากบ 2 เรเดยน


ตวอยาง มมขนาด 155 องศามกเรเดยน

วธท า มมขนาด 155 องศา = 155 31

180 36

เรเดยน

ตวอยาง มมขนาด 5

24

เรเดยนมกองศา

วธท า มมขนาด 5

24

เรเดยน = 524

180

=

75

2 องศา = 37 30


24

อตราสวนตรโกณมตของมมทก าหนดหนวยเปน 6

เรเดยน 4

เรเดยน และ 3

เรเดยน

ตวอยางการหาความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก


ตวอยาง จงหาคาของ 5 cos 4

– 3 sin 6

+ sec 3

วธท า 5 cos 4

– 3 sin 6

+ sec 3

= 2 1 5 2 1

5 3 2 2 2 2


25

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม 1. จงหาวามมทวดเปนเรเดยนตอไปนแตละมมมขนาดกองศา

1.1 7

12

1.2 13

18

1.3 5

6

1.4 11

24

2. จงหาขนาดของมมตอไปนในหนวยเรเดยน

2.1 35 2.2 110

2.3 63 2.4 246

3. รปสามเหลยมรปหนงมมมสองมมมขนาด 36 และ 4

เรเดยน จงหาขนาดของมมทเหลอ

ในหนวยเรเดยน

4. รปสามเหลยมมมฉากรปหนง มมมหนงมขนาด 55 จงหาขนาดของมมทเหลอในหนวยเรเดยน

5. ถา A มขนาด 12

เรเดยน จงหาคาของ

5.1 cos3A 2cos 4A

sin 3A 2sin 4A

5.2 2cos3A cos 2A

sin 2A 2sin 3A

5.3 tan 2A sec 4A

sec 2A tan 4A

5.4 tan 4A sec3A

sec 4A tan 3A

5.5 cot 3A cos ec 6A

cot 4A cos ec 3A


26

สรปสาระส าคญประจ าตอน


27

สรปสาระส าคญประจ าตอน


28


29

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.


30

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม


31

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให cos A = 4

5 และ sin A > 0 จงหาคาของ 5 tan A + 4 sec

2A

ก. 1 ข. 2 ค. 5 ง. 10

2. ก าหนดให sin A = 1

2 และ cos A < 0 จงหาคาของ 3 cosec

2 A – 2 cot

2A

ก. 5

4 ข. 6 ค. 3 ง. 7

4

3. ก าหนดให tan A = 12

5 และ cos A < 0 จงพจารณาวาขอใดตอไปนเปนจรง

ก. sin A + cos A = 17

13 ข. sec A + cos A = 144

65

ค. sec A – cosec A = 91

60 ง. cot A + cosec A =

3

2

4. ขอใดตอไปนไมใชเอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

ก. sec A + 1 = 2tan A

sec A 1 ข. sin A + cos A =

1

sin A cos A

ค. cosec A – cot A = 1

cos ec A cot A ง. tan A

1cot A

= sec2A

5. จงหาคาของ 5 cos2

3

+ 4

3 sin

2

6

ก. 19

12 ข. 17

12 ค. 5

4 ง. 13

12

6. จงหาคา x ทงหมดทสอดคลองสมการ 2cot x cos ec4 6

x – 48 cos

3

= 0

ก. 4, – 6 ข. – 4, 6 ค. 4, 6 ง. – 4, – 6

7. จงหาผลเฉลยของสมการ tan2 x = 1 cos x

1 sin x

เมอ 0 < x <

ก. 6

ข. 4

ค. 3

ง. 2


32

8. จงหามมแหลม A ทท าให sin A cos A – 2

2 sin A – 1

2 cos A +

2

4 = 0

ก. 6

เรเดยน ข. 4

เรเดยน

ค. 3

เรเดยน ง. มค าตอบถกมากกวา 1 ขอ

9. ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม B เปนมมฉาก ถา sin2 A มากกวา cos

2 A อย 1

2

จงหาคาของ tan A

ก. 1 ข. 1

2 ค. 1

3 ง. 3

10. ก าหนดให tan A = a

b จงหาคาของ sin A cos A

sin A cos A

ก. a b

a b

ข. b a

a b

ค. b a

a b

ง. a b

b a


33

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


34

เฉลยแบบฝกหด เรอง

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

2. 32

55 3. 13

6 4. 21

50

5.

ขอ sin A cos A tan A cosec A sec A cot A

5.1 4

5 3

5 4

3

5

4 5

3 3

4

5.2 5

13 12

13 5

12 13

5 13

12 12

5

5.3 15

17

8

17 15

8 17

15 17

8 8

15

5.4 4

5 3

5 4

3 5

4

5

3 3

4

5.5 4

5

3

5 4

3 5

4 5

3 3

4

5.6 4

5 3

5 4

3

5

4 5

3 3

4


35

เฉลยแบบฝกหด

เรอง

วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

1. 1.1 105 1.2 130 1.3 150 1.4 82 30

2. 2.1 7

36

เรดยน 2.2 11

18


20


30

เรดยน

3. 11

20

เรดยน 4. 7

36

เรดยน

5. 5.1 2 2

2 2 3

5.2 2 2 3

1 2 2

5.3 1 2 3

5

5.4 3 2

3

5.5 0

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. ง 2. ข 3. ค 4. ข 5. ก

6. ข 7. ข 8. ง 9. ง 1. ก


36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


38


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


39


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

45 ตรีโกณมิติ...

Documents