50 ตรีโกณมิติ...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 7)

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต


2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต (กราฟของฟงกชนตรโกณมต) หมวด เนอหา ตอนท 7 (7 / 8) หวขอยอย 1. การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต 2. กราฟของฟงกชนตรโกณมต จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตจากการเปดตารางได 2. สามารถเขยนกราฟฟงกชนตรโกณมตได 3. เขาใจสมบตตาง ๆ ของฟงกชนตรโกณมตโดยพจารณาจากกราฟได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. หาคาฟงกชนตรโกณมตจากการเปดตารางได 2. เขยนกราฟฟงกชนตรโกณมตได 3. หาแอมพลจดและคาบของฟงกชนตรโกณมตได 4. เขยนกราฟของฟงกชนไซนและโคไซน เมอก าหนดแอมพลจดและคาบมาใหได


4

เนอหาในสอการสอน


5

เนอหาทงหมด


6

1. การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต


7

1. การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต

ในการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตนน เราตองทราบคาฟงกชนของมมตาง ๆ หรอของคาจรง ตาง ๆ กนกอน และตอนนนกเรยนไดศกษาสมบตของฟงกชนตรโกณมตทงหลายมาพอสมควรแลว จะเหน ไดวาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ หรอของคาจรงตาง ๆ สามารถหาไดจากคาฟงกชนตรโกณมตของมม

ตงแต 0 ถง 90 หรอ ของคาจรงตงแต 0 ถง 2

ซงแสดงในตารางคาฟงกชนตรโกณมตตอไปน


8

วธอานคาฟงกชนตรโกณมตจากตาราง

ตอไปเปนตวอยางการเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต


9

ถาตารางคาฟงกชนตรโกณมต ไมมคาทเราตองการ เราสามารถหาคาไดดงตวอยางตอไปน


10

ตอไปเปนตวอยางการหาคาฟงกชนตรโกณมตของคาจรงทอยในชวง 0, 2

ทผานมา เราหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมหรอของคาจรงทก าหนดให แตในทางกลบกนเราจะหาคามมหรอคาจรง เมอทราบคาฟงกชนตรโกณมตของมมหรอของคาจรงนน ๆ

ตอนนเมอนกเรยนหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ ได กสามารถท าตวอยางตอไปนได

ตวอยาง ให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมมม B เปนมมฉาก มม A มขนาด 25 และมดานตรงขามมม A ยาว 5 เซนตเมตร จงหาความยาวดานประกอบมม A ทงสอง

วธท า หาความยาว AB จาก tan 25 = 5

AB

หาความยาว AC จาก sin 25 = 5

AC

จากตารางเราได tan 25 = 0.4663 sin 25 = 0.4226

ดงนน AB = 5

0.4463 11.2 เซนตเมตร และ AC = 5

0.4226 11.8 เซนตเมตร

A

C

B

5

25


11

ตวอยาง ให ABC เปนรปสามเหลยมทมม A มขนาด 4

9

เรเดยน มม C มขนาด 5

เรเดยน

จาก A ลากเสนตงฉากมายงดานตรงขาม พบ BC ทจด D จงหาความยาวดาน AD, AC, BD และ DC ถา AB ยาว 12 เซนตเมตร

วธท า A B C

= 4 16

9 5 45

เรเดยน

หาความยาว AD จาก sin 16 AD

45 12

หาความยาว BD จาก cos 16 BD

45 12

จากตารางเราได sin16

45

= sin 64 = 0.8988 ดงนน AD 10.7856 เซนตเมตร

cos16

45

= cos 64 = 0.4384 ดงนน BD 5.2608 เซนตเมตร

ตอไป หาความยาว AC จาก sinAD

5 AC

และหาความยาว DC จาก tan

AD

5 DC

จากตารางเราได sin 5

= sin 36 = 0.5878 ดงนน AC 18.3491 เซนตเมตร

tan 5

= tan 36 = 0.7265 ดงนน DC 14.8640 เซนตเมตร

ตวอยาง จงหาขนาดของมมของรปสามเหลยมหนาจวซงมฐานยาว 14 นว และดานทเหลอยาว ดานละ 10 นว

วธท า ให ABC เปนรปสามเหลยมหนาจวทม A เปนมมยอด ลากจด A ไปตงฉากกบ BC ทจด D

จะได BD ยาว 14

2 = 7 นว จะหาขนาดของ A B C

จาก cos B = 7

10 = 0.7

จากตารางเราได cos 46 40 = 0.6988

cos 46 30 = 0.7009

คาโคไซนตางกน 0.0021 มาจากมมตางกน –10

คาโคไซนตางกน – 0.0009 มาจากมมตางกน 10 0.0009

0.0021

= 4.2857

ดงนน A BD

มขนาด 46 30 + 4.2857 = 46 3417

มมยอดมขนาด 2(43 25 43) = 86 5126 และมมทเทากนมขนาด 46 3417

B D C

A

5

4

9

B D C 7 7

10

A

12


12

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง

การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต 1. จงเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมตตอไปน

1.1 sin 75 1.2 cos 140

1.3 tan 59 1.2 cot 305

1.5 sec 25

24

1.6 cosec 5

18

1.7 sin 0.5 1.8 cos 1

2. จงหาคามม องศาในชวง (0, 90) ทท าให 2.1 sin = 0.2588 2.2 cos = 0.5446 2.3 tan = 0.2 2.4 cot = 4

3. จงหาคาจรง ในชวง 0,2

ทท าให

3.1 tan = 0.3249 3.2 cot = 1.9626 3.3 sin = 0.8 3.4 cos = 0.3

4. ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมมม B เปนมมฉาก มม A มขนาด 38 30 และมดานตรงขาม มมฉากยาว 4 เซนตเมตร จงหาความยาว AB และ BC

5. ABC เปนรปสามเหลยมทมม A มขนาด 5

9

เรเดยน มม C มขนาด 18

เรเดยน จาก A ลากเสน

ตงฉากมายงดานตรงขามพบ BC ทจด D แลว AD ยาว 3 เซนตเมตร จงหาความยาวดาน AB, AC,

BD และ DC


13

2. กราฟของฟงกชนตรโกณมต


14

2. กราฟของฟงกชนตรโกณมต ตอไปจะใชคาฟงกชนตรโกณมตจากตารางและใชความรตาง ๆ ทไดจากตรโกณมตตอนกอน ๆ ในการเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมต

ถานกเรยนเขยนกราฟ y = sin x2

ซงกคอการเลอนกราฟ y = sin x ไปทางซายมอ

2

หนวย

จะไดกราฟ y = cos x นนเอง ดงนน sin x2

= cos x

แต sin x2

= sin x

2

= sin x

2

จะได

และท านองเดยวกนถาเขยนกราฟ y = cos x2

ซงกคอการเลอนกราฟ y = cos x ไปทางขวามอ

2

หนวย จะไดกราฟ y = sin x นนเอง ดงนน cos x2

= sin x

แต cos x2

= cos x

2

= cos x2

จะได

sin x2

= cos x

cos x2

= sin x


15

ถานกเรยนเขยนกราฟ y = cosec x2

ซงกคอการเลอนกราฟ y = cosec x ไปทางซายมอ

2

หนวย

จะไดกราฟ y = sec x นนเอง แลวจะได

และท านองเดยวกนถาเขยนกราฟ y = sec x2

ซงกคอการเลอนกราฟ y = sec x ไปทางขวามอ

2

หนวย

จะไดกราฟ y = cosec x นนเอง แลวจะได

cosec x2

= sec x

sec x2

= cosec x


16

สวนกราฟ y = tan x ตองสะทอนกบแกน X กอน แลวคอยเลอนไปทางขวามอ 2

หนวย จะไดกราฟ

y = cot x ดงนน tan x2

= cot x แลวจะได

และท านองเดยวกน กราฟ y = cot x ตองสะทอนกบแกน X แลวเลอนไปทางขวามอ 2

หนวย จะไดกราฟ

y = tan x ดงนน cot x2

= tan x แลวจะได

ตอไปเราจะพจารณาสมบตหนงทเหมอนกนของฟงกชนตรโกณมตทงหลาย

สมบตทเหมอนกนกคอ การเปนฟงกชนตรโกณมตทมคาบ หรอฟงกชนทเปนคาบนนเอง

tan x2

= cot x

cot x2

= tan x


17

บทนยามของฟงกชนทมคาบ หรอ ฟงกชนทเปนคาบ (periodic function) มดงน

หมายเหต คาบของฟงกชนไมไดมคาเดยว แตเราสนใจคาบทมคานอยสด เพราะถา p เปนคาบ แลว np จะเปนคาบดวย เมอ n

ตวอยาง จงหาคาบและแอมพลจดของฟงกชนตอไปน 1. f(x) = 3 sin x วธท า เนองจาก f(x) = 3 sin x = 3 sin (x + 2) = f(x + 2) ดงนน 2 เปนคาบของ f

และแอมพลจด = 1

2 (3 – (– 3)) = 3

2. g(x) = cos 3x

วธท า เนองจาก g(x) = cos 3x = cos (3x + 2) = cos 2 2

3 x g x3 3

ดงนน 2

3

เปนคาบของ g และแอมพลจดของ g = 1

2(1 – (– 1)) = 1


18

ตอไปเปนตวอยางการเขยนกราฟของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนแบบตาง ๆ

จากตวอยาง 2 ขอหลงสรปไดวา

ถาตองการเขยนกราฟ y = k sin (nx) หรอ y = k cos (nx) โดยพจารณาจากคาบและแอมพลจด สามารถท าได โดยพจารณาในกรณทวไปของคาจรงบวก k และ n

เนองจาก คาบของฟงกชนคอ 2

n

และแอมพลจดเทากบ 1

2(k – (– k)) = k


19

ตวอยางการเขยนกราฟจากการหาคาบและแอมพลจดกอน


20

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ y = 2 cos x

2 บนชวง [–2, 2]

วธท า จากสตร y = k cos nx คาบคอ 2

n

และแอมพลจดเทากบ k

จากโจทย n = 1

2, k = 2 ดงนนคาบคอ 4 และแอมพลจดเทากบ 2

y cos x

xy cos

2

xy 2cos

2


21

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

กราฟของฟงกชนตรโกณมต 1. จงเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปนอยางคราว ๆ

1.1 y = sin x2

1.2 y = cos x

2

1.3 y = tan x2

1.4 y = cot x

2

1.5 y = sin x + 1 1.6 y = cos x – 1

1.7 y = sec (– x) 1.8 y = – cosec x 2. จงหาแอมพลจดและคาบของฟงกชนตรโกณมตตอไปน

2.1 y = 1

3 sin x 2.2 y = 5 cos x

3

2.3 y = sin 5x

2 2.4 y = – 3 cos 3x

3. จงเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตตอไปนอยางคราว ๆ

3.1 y = 1

2 sin

x

2 3.2 y = – cos x

2

3.3 y = 2 sin x

2

3.4 y = 1

2cos x


22

สรปสาระส าคญประจ าตอน


23

สรปสาระส าคญประจ าตอน


24


25

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.


26

ภาคผนวกท 1

แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม


27

แบบฝกหดระคน 1. กราฟของ y = tan x เหมอนกบกราฟของขอใดตอไปน

ก. y = tan x2

ข. y = cot x

2

ค. y = cot x2

ง. y = cot x

2

2. กราฟของ y = sec (– x) ไมเหมอนกบกราฟของขอใดตอไปน ก. y = sec x ข. y = – sec (x – ) ค. y = – sec (x + ) ง. y = – sec x

3. คาบของ y = 2 sin x

3

คอขอใด

ก. 6 ข. 6 ค. 3 ง. 3

4. แอมพลจดของ y = – 3 cos x + 1 คอขอใด ก. 3 ข. 6 ค. 4 ง. 7

5. กราฟตอไปนเปนของฟงกชนใดตอไปน

ก. y = 2 cos x

2

ข. y = 2 sin (x + 1)

ค. y = 2 sin x

12

ง. y = – 2 cos x

2

6. กราฟตอไปนเปนของฟงกชนใดตอไปน

ก. y = 3 sin x2

ข. y = 3 cos 2x4

ค. y = 3 sin (– 2x)

ง. y = 3 cos x2


28

จงจบคฟงกชนตรโกณมตในขอตอไปน

7. y = 2 cos 2x

8. y = cos x

2

9. y = 3 sin x

2

10. y = 2 sin x

2

กบกราฟในขอตอไปน ก. ข. ค. ง.


29

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


30

เฉลยแบบฝกหด เรอง

การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต 1. 1.1 0.9659 1.2 – 0.7660 1.3 1.6643 1.4 – 0.7002

1.5 – 1.0087 1.6 1.3055 1.7 0.4795 1.8 0.5403

2. 2.1 15 2.2 57 2.3 11 18 40 2.4 14 2 12

3. 3.1 0.3142 3.2 0.4712 3.3 0.9273 3.4 1.2661

4. AB = 3.13 , BC = 2.49

5. AB = 3.19 , AC = 17.28 , BD = 1.09 , DC = 17.01

เฉลยแบบฝกหด เรอง

กราฟของฟงกชนตรโกณมต 1. 1.1 1.2


31

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8


32

2. ขอ 2.1 2.2 2.3 2.4

แอมพลจด 1

3 5 1 3

คาบ 2 6 4

5

2

3

3. 3.1 3.2 3.3 3.4


33

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ง 2. ง 3. ก 4. ก 5. ง

6. ค 7. ค 8. ง 9. ก 10. ข


34

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


35

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


36


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


37


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

50 ตรีโกณมิติ...

Documents