36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 7) ฟงกชนประกอบ

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เกดจากรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย และ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจ านวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน

- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส


2

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ - โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรอง พชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรอง การเลอนแกน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 7 (7/7) หวขอยอย 1. ฟงกชนประกอบ 2. โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ 3. สมบตของฟงกชนประกอบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามของฟงกชนประกอบ 2. ระบไดวามฟงกชนประกอบจากฟงกชนสองฟงกชนทก าหนดใหไดหรอไม และค านวณผล

ประกอบของฟงกชนทงสองทก าหนดใหไดในกรณทมฟงกชนประกอบ 3. เขาใจวธหาโดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ 4. เขาใจสมบตตางๆ ของฟงกชนประกอบ

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. ระบไดวามฟงกชนประกอบจากฟงกชนสองฟงกชนทก าหนดใหไดหรอไม และค านวณผล

ประกอบของฟงกชนทงสองทก าหนดใหไดในกรณทมฟงกชนประกอบ 2. ค านวณหาโดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบได 3. สามารถน าสมบตตางๆ ของฟงกชนประกอบไปประยกตใชในการแกปญหาได


4

เนอหาในสอ


5

1. ฟงกชนประกอบ


6

1. ฟงกชนประกอบ ในตอนตนนไดพยายามอธบายถงการใชฟงกชนประกอบโดยยงไมไดกลาวถงบทนยาม เพอใหนกเรยนเรมคนเคยวาจรงๆ แลวกระบวนการในการสรางฟงกชนประกอบนไดใชกนอยเปนประจ าอยแลว

เมอมาถงตอนนครอาจใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางกระบวนการคลายกนนทนกเรยนเคยใชกนมา หากนกเรยนนกไมออกครอาจอธบายถงการเปลยนหนวยตางๆ อยางนอยสองขน เชน จากชวโมง เปนนาท และจากนาท เปนวนาทเปนตน ตอมาไดอธบายถงการประกอบกนของฟงกชนสองฟงกชนใดๆ ทก าหนดให โดยเรมจากตวอยางเพอน าไปสขอสรปทเกยวกบการมอยของฟงกชนประกอบ

เมอมาถงตอนนนกเรยนจะพอสงเกตไดวาเงอนไขใดเปนเงอนไขส าคญในการมอยของฟงกชนประกอบ


7

พสจนขอสงเกต 1 ทกลาววา ถา f gR D แลว g f

สมมตวา f gR D ดงนนให

f gb R D เนองจาก

fb R จะม

fa D ท ( )f a b และเนองจาก

gb D จ ะ ม

gc R ท ( )g b c น น ค อ ( ) ( ( )) ( )c g b g f a g f a ห ร อ ( , )a c g f ท า ใ ห

g f ตอมาจากตวอยางทเกยวกบการจบคของตวเลขทยกไวในสอ ท าใหนกเรยนพอสงเกตไดวา gof เปนการจบคกนระหวางตวเลขทเปนสมาชกในเซตสองเซต นนคอ gof เปนความสมพนธระหวางเซตสองเซตแบบหนงเชนกน ขอสงเกตตอไปจะแสดงวา ส าหรบฟงกชน f และ g ท g f จะไดวา gof เปนฟงกชนเชนกน

พสจนขอสงเกต 2 ทกลาววา gof เปนฟงกชน


8

สมมตวา f และ g เปนฟงกชนท g f และ ให 1 2

( , ), ( , )a c a c g f นนคอ 1 2

( ( ), ), ( ( ), )f a c f a c g

เนองจาก f เปนฟงกชนท าใหไดวา ( )f a ในคอนดบ 1

( ( ), )f a c และ 2

( ( ), )f a c เปนคาเดยวกน ตอมาเนองจาก g เปนฟงกชนท าใหไดวา

1 2c c ดงนน gof เปนฟงกชน

ขอสงเกตตอมามาจากตวอยางทยกใหดในสอเชนกน ในกรณทก าลงพจารณา gof เนองจากอาจมสมาชกบางตวใน

fD ทไมม “สะพานเชอม” สงตอไปยง

gR ท าใหไดขอสงเกตขอน

พสจนขอสงเกต 3 ทกลาววา g f fD D

ให g f

a D จะไดวาม g f

c R ท ( , )a c g f แสดงวาม f g

b R D ท ( , )a b f และ ( , )b c g นนคอ

fa D เมอมาถงตอนนครอาจถามน าวาหากสถานการณกลบกน คอพจารณา f g หรอแมแต f f แลวขอสงเกตตางๆ จะเปลยนไปหรอไมอยางไรบาง นอกจากนยงอาจใหนกเรยนสงเกตตอวา g f และ f g ไดผลลพธมาเปนฟงกชนเดยวกนหรอไม หาก g f และ f g ไมใชฟงกชนเดยวกน นกเรยนคดวามเงอนไขใดหรอไมทจะท าให g f f g


9

เมอมาถงตอนนจงใหบทนยามของฟงกชนประกอบ

ครอาจสรปอกครงวา ถา g f และ ( , )a c g f แลวจะม f g

b R D ท ( , )a b f และ ( , )b c g นนเอง เมอมาถงตอนนครอาจใชฟงกชนทเคยไดยกในตวอยางหรอในแบบฝกหดของสอตอนกอนหนานใหนกเรยนชวยกนฝกหาผลประกอบของฟงกชนเหลานน และยงอาจยกตวอยางนประกอบ ตวอยาง 1 ถา {( 3, 1), (0,1), (1,3), (4,4), (7,6)}f และ {(1,0), (2,1), (3,5), (4,3), (5,2)}g

จงหา , ,f g g f f f และ g g

วธท า จากโจทยเนองจาก ( (1)) (0) 1f g f และ ( (2)) (1) 3f g f จะไดวา {(1,1), (2,3)}f g

ต อ ม า เ น อ ง จ า ก ( (0)) (1) 0, ( (1)) (3) 5g f g g f g แ ล ะ ( (4)) (4) 3g f g จ ะ ไ ด ว า {(0,0), (1,5), (4,3)}g f

ตอมาเนองจาก ( (0)) (1) 3f f f และ ( (4)) (4) 4f f f จะไดวา {(0,3), (4,4)}f f

สดทายเนองจาก ( (2)) (1) 0, ( (3)) (5) 2, ( (4)) (3) 5g g g g g g g g g และ ( (5)) (2) 1g g g จะ

ไดวา {(2,0), (3,2), (4,5), (5,1)}g g


10

ชวนคด จากฟงกชน f และ g ทก าหนดใหในตวอยาง 1 จงหา 1 1 1 1 1 1 1 1, , , ,f g f g f f g f g f และ 1 1g g พงสงวรณวาบางฟงกชนอาจเปนเซตวาง

นอกจากนใหนกเรยนสงเกตวามความสมพนธระหวาง 1 1 1 1 1, , ( )f g g f f g และ 1( )g f หรอไม

อยางไร


11

2. โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ


12

2. โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ ในชวงนไดกลาวถงการหาโดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบจากฟงกชนทก าหนดให และการค านวณผลการประกอบของฟงกชนทก าหนดใหผานตวอยางทหลากหลาย

นอกจากนครยงอาจน าตวอยางฟงกชนตางๆ ทเคยยกไวในสอตอนกอนหนาน มาใหนกเรยนฝกหาฟงกชนประกอบจากตวอยางเหลานน และครยงอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม

ตวอยาง 2 ก าหนดให ( )2

xf x

x และ 2( ) 9g x x จงหา

g fD


13

วธท า จากโจทยจะไดวา {2}fD และ ( 3] [3, )

gD ดงนน

{ | ( ) } {2} ( 3] [3, )2g f f g

xD x D f x D x

x นนคอแกอสมการ

32

x

x หรอ 3

2

x

x ซงท าใหไดวา 2 6

02

x

x หรอ 4 6

02

x

x ดงนน (2, 3]x หรอ

3,22

x ท าให 3,2 (2,3]2g f

D

หรออาจค านวณ ( )g f x กอนแลวจงหาโดเมนของฟงกชนทเปนผลจากการประกอบดงกลาว จากโจทยจะไดวา 2

( ) ( ( )) 92 2

x xg f x g f x g

x x ดงนน

2

9 02

x

x และ 2x พจารณาเฉพาะ

อสมการแรกจะไดวา 2

2

(4 6)( 2 6)3 3 9 0

2 2 2(2 )

x x x x x

x x xx

นนคอ 2

(2 3)( 3)0

( 2)

x x

x หรอ 3

,32

x ท าให 3,2 (2,3]2g f

D

ตวอยางตอไปนแสดงการหาเรนจของฟงกชนทเปนผลการประกอบของฟงกชนสองฟงกชน

ตวอยาง 3 ก าหนดให 4( ) 1f x x และ 2( ) 100 36g x x จงหา g fR

วธท า จากโจทยจะไดวา 4 4 2( ) ( ( )) ( 1) 100 36( 1)y g f x g f x g x x จะเหนวา 0y

และ 4 2 2100 36( 1)x y นนคอ 0y และ 2

4 2100( 1)

36

yx แตเนองจาก 4 1 0x ทก

x ดงนน 0y และ 2

41001

36

yx ท าใหไดวา 0y และ

21001 0

36

y นนคอ

0y และ 2100 0y และ 2100 36y ดงนน [0, 8]y หรอ [0,8]g fR

ส าหรบตวอยางตอไปนจะเปนตวอยางการหาผลประกอบของฟงกชนทนยามเปนชวงๆ


14

ตวอยาง 4 ก าหนดให 2( )f x x เมอ 0x และ 2 ; 0 1

( ) 11 ; 14

x xg x

xx

จงหา ( )g f x

วธท า 2{ | ( ) } { [0, ) | [0, )} [0, )

g f f gD x D f x D x x

กรณ 0 1x จะไดวา 20 1x และ 2 2( ) ( ( )) ( ) 2g f x g f x g x x

กรณ 1x จะไดวา 2 1x และ 2

2

1( ) ( ( )) ( ) 1

4g f x g f x g x

x

แบบฝกหดเพมเตมเรองโดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ 1. ก าหนดให ( ) 2 ( )f x g x โดยท ( ) 1g x x จงหา

f gD

2. ก าหนดให 2( ) 9f x x และ 2

1( )

4g x

x จงหา

g fR

3. ก าหนดให 2( ) ( 2)f x x และ ( ) 2g x x จงหาคาของ

f g g fD R

4. ถา ( ) 3f x x และ ( ) 2 | 4 |g x x จงหา

g fD

5. ก าหนดให 1; 0

( )1; 0

xf x x

x และ 1

( )1

g xx

จงหา ( )f g x


15

3. สมบตของฟงกชนประกอบ


16

3. สมบตของฟงกชนประกอบ ในชวงสดทายไดกลาวถงสมบตตางๆ ของฟงกชนประกอบโดยเรมจากการยกตวอยางแลวสรปเปนทฤษฎบท อยางไรกดในสอไมไดใหบทพสจนไว แตจะแสดงบทพสจนในคมอนส าหรบผทสนใจ

ทฤษฎบทแรกนเกยวกบผลการประกอบระหวางฟงกชนและตวผกผนของฟงกชน กลาวคอ ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว 1( )f f x x ทก

fx R และ 1 ( )f f x x ทก

fx D

บทพสจน สมมตวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนน 1f เปนฟงกชนหนงตอหนงดวย ให

fx R ดงนนจะม

fa D เพยงตวเดยวท ( , )a x f และ 1( , )x a f ดงนน 1( , )x x f f นนคอ

1( )f f x x ตอมาให

fx D ดงนนจะม

fb R เพยงตวเดยวท ( , )x b f และ 1( , )b x f ดงนน 1( , )x x f f นนคอ

1 ( )f f x x หมายเหต ทฤษฎบทนมประโยชนในการใชแกสมการ โดยเฉพาะอยางยงสมการทเกยวของกบฟงกชนชก าลง ฟงกชนลอการทม ฟงกชนตรโกณมต และฟงกชนตรโกณมตผกผน ซงนกเรยนจะไดเรยนอยางละเอยดในสอเรองฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม โดยอาจารยเพญพรรณและอาจารยจณดษฐ และสอเรองตรโกณมต โดยอาจารยจตรจวบ


17

กอนทจะน าไปสทฤษฎบทตอไป ไดน าเสนอผลการประกอบของฟงกชนทมากกวาสองฟงกชน

ในทนครอาจถามนกเรยนตอวาส าหรบฟงกชน ,f g และ h ทก าหนดให มเงอนไขใดบางทจะท าใหเกด h g f

นอกจากน ( )h g f ไดผลลพธเปนฟงกชนเดยวกนกบ ( )h g f หรอไม

ในคมอนจะพสจนวา ( ) ( )h g f h g f บทพสจน ให ( , ) ( )a d h g f จะไดวาม

f h g f gb R D R D ทท าให ( , )a b f และ ( , )b d h g

ดงนนจะม g h

c R D ทท าให ( , )b c g และ ( , )c d h ท าใหไดวา ( , )a b f และ ( , )b c g นนคอ ( , )a c g f และเพราะวา ( , )c d h ท าใหไดวา ( , ) ( )a d h g f ดงนน ( ) ( )h g f h g f ในท านองกลบกนให ( , ) ( )a d h g f จะไดวาม

g f hb R D ทท าให ( , )a b g f และ ( , )b d h

ดงนนจะม f g

c R D ทท าให ( , )a c f และ ( , )c b g ท าใหไดวา ( , )c b g และ ( , )b d h นนคอ ( , )c d h g และเพราะวา ( , )a c f ท าใหไดวา ( , ) ( )a d h g f ดงนน ( ) ( )h g f h g f จงสรปไดวา ( ) ( )h g f h g f นนคอการด าเนนการ ระหวางฟงกชนมสมบตการเปลยนหม


18

ตอมายงไดกลาวถงลกษณะโจทยทปรากฏบอยครง โดยบางครงหากนกเรยนเขาใจความหมายของฟงกชนประกอบแลวสามารถแกโจทยเหลานไดอยางไมซบซอน

เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางตอไปนใหนกเรยนฝกฝน ตวอยาง 5 ถา ( ) 2g x x และ ( ) 2 1f g x x จงหา 2( 1)f x วธท า จากโจทยจะไดวา ( 2) ( ( )) ( ) 2 1f x f g x f g x x เมอแทน x ทกตวดวย 2 3a จะได

2 2 2 2( 1) (( 3) 2) 2( 3) 1 2 5f a f a a a นนคอ 2 2( 1) 2 5f x x หรออาจท าไดโดย จากโจทยจะไดวา ( 2) ( ( )) ( ) 2 1f x f g x f g x x ให 2a x ดงนน

2x a ท าให ( ) 2( 2) 1 2 3f a a a และ 2 2 2( 1) 2( 1) 3 2 5f x x x


19

ตวอยาง 6 ถา ( ) 2 4f x x และ 2(1 )g x x จงหาคาของ 1(0)g f วธท า จากโจทยสมมตวา 1(0)f a ดงนน 2 4 ( ) 0a f a นนคอ 1(0) 2f a ท าให

1 1(0) ( (0)) (2)g f g f g เมอแทน 1x ในสตรทเกยวกบ g ทโจทยก าหนดใหจะได 2(2) (1 ( 1)) ( 1) 1g g สรปไดวา 1(0) 1g f

หรออาจท าโดยตรงไดโดย จากโจทยจะไดวา 1 4( )

2

xf x และ ให 1a x ดงนน 1x a ท าใหไดวา

2( ) (1 )g a a ดงนน 1 1 2(0) ( (0)) (2) (1 2) 1g f g f g สดทายไดยกตวอยางเพอน าไปสทฤษฎทเปนสมบตส าคญอกประการของฟงกชนประกอบ


20

นนคอทฤษฎบททกลาววา ถา :f A B และ :g B C เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถงแลว 1 1 1( ) ( ) ( )g f x f g x

บทพสจน สมมตวา :f A B และ :g B C เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถง ขนแรกจะพสจนกอนวา g f เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถงจากเซต A ไปยงเซต C ให

fa A D ดงนนจะม b B ท ( , )a b f เนองจาก :g B C ท าใหไดวาจะม c C ท ( , )b c g

ดงนน ( , )a c g f นนคอ f g f

A D D และเนองจากขอสงเกต 1 ทวา g f fD D ท าใหไดวา

g fD A

ตอมาให ,a b A สมมตวา ( ) ( )g f a g f b ดงนน ( ( )) ( ( ))g f a g f b เนองจาก g และ f เปนฟงกชน

หนงตอหนงท าใหไดวา ( ) ( )f a f b และ a b ตามล าดบ ดงนน g f เปนฟงกชนหนงตอหนง สดทายให c C เนองจาก :g B C และ :f A B เปนฟงกชนทวถง ท าใหไดวาม b B ท ( )g b c และ ม a A ท ( )f a b นนคอ ( ) ( ( )) ( )c g b g f a g f a ดงนน

g fC R และเนองจากทราบวา

g fR C ท าใหไดวา

g fR C นนคอ g f เปนฟงกชนหนงทวถงจากเซต A ไปยงเซต C

จงสรปไดวา g f เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถงจากเซต A ไปยงเซต C และ 1( )g f เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถงจากเซต C ไปยงเซต A ขนตอมา ให x C และให 1( ) ( )g f x z เนองจาก g f เปนฟงกชนหนงทวถงจากเซต A ไปยงเซต C จะไดวา ( )g f z x ตอมาเนองจาก 1g เปนฟงกชน ดงนน 1 1 1( ( ))( ) ( ( )) ( )g g f z g g f z g x เพราะวาการด าเนนการ ระหวางฟงกชนมสมบตการเปลยนหมท าใหไดวา

1 1 1( ) (( ) )( ) ( ( )) ( )g x g g f z g g f z f z ในท านองเดยวกน เนองจาก 1f เปนฟงกชน ดงนน 1 1 1 1 1 1( ) ( ( )) ( ( )) ( )f f z f f z f g x f g x เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางนเพมเตม

ตวอยาง 7 ก าหนดให 2( ) ( 1)f x x ทก 1x และ ( ) 1g x x ทก 1x จงหาคาของ

1 1 1

9g f


21

วธท า เนองจาก 1 1 11 1( )

9 9g f f g จงเรมจากการค านวณ ( )f g x จากโจทยจะไดวา ในกรณท

1x จะไดวา 1 1x กตอเมอ 0x นนคอ [0,1]f gD และ

2( ) ( ( )) ( 1 ) ( 1 1)f g x f g x f x x ถาให 1 1( )

9f g a จะไดวา [0,1]a และ

2 1( 1 1) ( )

9a f g a นนคอ 1

1 13

a หรอ 11 1

3a ดงนน 16

19

a

หรอ 41

9a ท าใหไดวา 7

9a หรอ 5

9 แต [0,1]a ดงนน

1 1 11 1 5( )

9 9 9g f f g a

หมายเหต ใหนกเรยนฝกแกปญหาในตวอยางนโดยตรงเปนแบบฝกหด

แบบฝกหดเพมเตมเรองสมบตของฟงกชนประกอบ

1. ก าหนดให , :f g โดยท ( ) 2 5f x x และ ( ) 3 1g x x ถา a เปนจ านวนจรงทท าให 1 1( ) 2g f a แลวจงหาคาของ a

2. ก าหนดให , :f g โดยท ( ) 1 2g x x และ 6 4 3 2( ) 2 2 2 5g f x x x x x x จงหาคา

ของ (1)f g 3. ก าหนดให ( 1) 3 2 ( )f x x f x และ (3 1) 2 7g x x ถา (0) 1f แลวจงหา 1 (1)g f 4. ให f และ g เปนฟงกชนจาก ไปยง โดยท 3( ) 3f x x และ 3 2( ) 3 3 13f g x x x x แลว จงหาคาของ 1( 5)g f


22

5. ก าหนดให 2

30( )

3 2

xf g x

x และ 3( ) 2 2g x x x จงหา (5)f

6. ก าหนดให ( ) 3 14f g x x และ ( 2) 3 2f x x แลวจงหา 1 ( )g f x 7. ก าหนดให 2( )f x ax b เมอ a และ b เปนจ านวนจรงและ ( 1) 6 8g x x โดยท (2) (2)f g และ ( )(1) 8f g จงหาคาของ 1(28)f g 8. ก าหนดให f และ g เปนฟงกชนทมสมบตวา 1 ( ) 2f g x x ทก x จงหา (2 )f x ในรปของฟงกชน g 9. ก าหนดให ( ) 3 5f x x และ 2( ) 3 1f g x x x จงหา (1)g

10. ให f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจ านวนจรงโดยท 3( )

6

xf x

x และ

1 6( )

1

xf g x

x ถา ( ) 1g a แลวจงหาคา a


23

สรปสาระส าคญประจ าตอน


24

สรปสาระส าคญประจ าตอน


25

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


26

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให 2( ) 2 | |f x x x และ 2( ) 1g x x จงหาคาของ ( 3) (3)g f f g 2. ให 8 6( )f x x x และ 7 5( ) 8 6g x x x จงหาคาของ (1)f g


( )0; 0

xf x

x จงหา ( )f f x


( )1; 0

x xf x

x x จงหา ( )g f x เมอก าหนดให

ก) ( ) 1g x ทก ( 1) [1, )x ข) 1( ) ( )g x f x ทก ( 1) [1, )x

ค) 2

2

( 1) ; 1( )

( 1) ; 1

x xg x

x x

ง) 3( )g x x ทก ( 1) [1, )x

5. ก าหนดให 2( )f x ax เมอ 0x และ 3( )g x x ถา 1 (2) 2f g แลว 1

1(64)

g

f มคาเทาใด

6. ให f และ g เปนฟงกชนซง ( ) 0f x ทก

fx D ถา 2( ) 2( ( )) 2 ( ) 4g f x f x f x และ

1 1( )

3

xg x แลวจงหาคาของ ( ) ( )(1)g f x f g


2; 1

( ) ( 1) ; 1 2

1; 2

x

f x x x

x x

และ ( ) ( ) 2g x f x ถา k เปนจ านวนเตมทนอยทสดท

ท าให ( ) 5g k แลวจงหา ( 2)f g k

8. ก าหนดให ( )f x x เมอ 0x และ ; 0 1

( )1; 1

x xg x

x x จงหา 1( )g f x และ 1( )f g x


27

9. ให 0a ก าหนด ;2( )1;

xx a

xf xx

x ax

และ 2( )g x x จงหาคาของ ( ) ( )f g a g f a

10. ให , E และ O แทนเซตของจ านวนเตม จ านวนเตมค และจ านวนเตมคตามล าดบ และ , :f g

ก าหนดโดย ( ) 2f x x และ ;( ) 2

;

xx E

g xx x O

แลว g f f ทเปนฟงกชนจาก ไปยง เปน

ฟงกชนหนงตอหนง หรอทวถง หรอหนงตอหนงและทวถง จงใหเหตผลประกอบ

11. ก าหนดให ( )1

xf x

x เมอ 1x และ ( )

1

xg x

x เมอ 1x จงหา

1 1 1 1( ) ( ), ( ), ( )f g x f g x f g x และ 1 ( )g f x

12. ก าหนดให 2{( , ) | 4}r x y x y และ {( , ) | | |}s x y x y จงหาคาของ 1 1 1 1 1 1( ), ( ), ( )r s x s r x r r x และ 1 1( )s s x

13. ให f และ g เปนฟงกชนทก าหนดโดย 3( ) ( 1) 4f x x และ 1 2( ) 9g x x เมอ 0x ถา 1( ) 0g f a แลวจงหาคา a

14. ก าหนดให 1( ) 1f x

x และ 2( )g x x a ถา 1

(0)2

f g แลวจงหาคา a

15. ให เปนเซตของจ านวนเตม ถา f และ g เปนฟงกชนทก าหนดโดย ( ) 2f x x และ ( ) 1g x x ทก x แลวจงหาเรนจของ ( )f g f

16. ถา ( ) 2f x x และ 4( )

1g x

x จงหาคา x ทท าให ( ) ( )g f x f g x


28

17. ให , :f g โดยท ( )| | 1

xf x

x และ ( )g x จ านวนเตมทนอยทสดทมากกวาหรอเทากบ x จงหา

( )g f x

18. ให :f เปนฟงกชนทมสมบตทสอดคลองกบ 1

1

xf x

x เมอ 1x จงหา ( )f f x

19. ให

1 2 3 4, , , , , :f f f f g h โดยท 2

1 2 3( ) 3, ( ) 3, ( ) 1f x x f x x f x x และ

2

4( ) 1f x x ถา

1 2( ) ( ) 2f h x f g x x และ

3 4( ) ( ) 4f h x f g x จงหาคาของ (2)g h


( )1

xf g x

x และ 2( 2) 2 1g x x x จงหา (9)f


29

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


30

เฉลยแบบฝกหดเรองโดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ

1. [ 1, 8] 2. 1[ , )2

3. [0,2) 4. ( , 3] 5. 1x เมอ 1x

เฉลยแบบฝกหดเรองสมบตของฟงกชนประกอบ

1. 9 2. 1 3. 10 4. 2 5. 6 6. 3 6x 7. 52 8. (2 2)g x 9. 23

10. 37

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 90 2. 192 3. 0; 0

1; 0

x

x 4. ก) 1 ทก x ข) x ทก x ค) 2x ทก x ง)

3

3

( 1) ; 0

( 1) ; 0

x x

x x

5. 2

2 6. 0 7. 3 8.

2

2

; 0 1;

1; 1

x x

x x

; 0 1

1 2

x x

x x 9.

2

1a

a

10. ฟงกชนหนงตอหนงและทวถง

11. x เมอ 1;x x เมอ 1;x

1 2

x

x เมอ 1

, 1 ;2

x 1 2

x

x เมอ 1

1,2

x

12. 2 4;x 2| 4 |;x 4 28 12;x x | |x 13. 1004 14. 2 15. { 2} 16. 13

17. 1; 0

0; 0

x

x 18. 1

x เมอ { 1, 0}x 19. 13

6 20. 4 ;

17 25


31

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


32

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


33


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


34


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

Documents