ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ·...

www.facebook.com/orendatutor 1

@orendatutor

www.youtube.com/orendatutor

www.theorendatutor .com

ความสมัพนัธแ์ละฟงักช์นั คูอ่นัดบั

คู่อันดับประกอบด้วยสมาชกิสองตัว เขียนแทนคู่อันดบัในรปู (a,b) โดยที ่a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง

การสลับที่กันของคู่อันดับระหว่างสมาชิกตัวหนา้กับสมาชิกตัวหลัง (a,b) (b,a) จะท าให้ความหมายของคู่อนัดบัเกิดการเปลี่ยนทันที ดังนั้น จึงสามารถสรุปหลักการของคู่อันดับได้ ดังนี้

1. ถ้า (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a=b 2. ถ้า (a,b) = (c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d 3. ถ้า (a,b) (c,d) ก็ต่อเมือ่ a c หรือ b d

ผลคณูคารท์เีชยีน

ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นเซตของ A และสมาชิกตัวหลังเป็นเซตของ B กล่าวคือ

AxB = {(a,b) | a∊A, b∊B}


@orendatutor



สมบตัขิองผลคณูคารท์เีชยีล ก าหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ 1. AxB BxA 2. Ax⏀=⏀xA=⏀ 3. AxB=BxA ก็ต่อเมื่อ A=B หรือ A=⏀ หรือ B=⏀ 4. Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC) 5. Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC) 6. Ax(B-C)=(AxB)-(AxC) 7. ถ้า A และ B เป็นเซตจ ากัดแลว้ n(AxB) = n(A) x n(B) 8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจ ากัด ซึ่ง B 0 แล้ว AxB และ BxA เป็น

เซตอนันต ์

Ex. ก าหนด A={1,2,3} , B={a,b} จงหา AxB, BxA, AxA, BxB

AxB =

BxA =

AxA =

BxB =

ถ้า A และ B เป็นเซตจ ากัด AxB จะมีจ านวนสมาชิกของ A คูณด้วยจ านวนสมาชิกของ B เช่น ถ้าจ านวนสมาชิกของ A เท่ากับ 3 จ านวนสมาชิกของ B เท่ากับ 2 ดังนั้น จ านวนของสมาชิกของ AxB = 3x2 = 6


@orendatutor



ความสมัพนัธ ์

- r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r⊂AxB

- r เป็นความสัมพันธใ์นเซต A ก็ต่อเมื่อ r⊂AxA

- จ านวนความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เท่ากับ 2n(AxB) - เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เนื่องจาก ⏀⊂AxB

Ex. ถ้า A = {10,11,12} B = {5,7,9,11}

ให้ r1 คือ ความสัมพันธ์ ‘มากกวา่ จาก A ไป B’

r1 =

ให้ r2 คือ ความสัมพันธ ์“น้อยกว่า จาก A ไป B”

r2 =

ให้ r3 คือ ความสัมพันธ ์“หารลงตัว จาก A ไป B”

r3 =


@orendatutor



Ex. ให้ A = {x | x เป็นจ านวนเฉพาะ} , B={x | x เป็นจ านวนเตม็บวก}

ก าหนดให้ r1 และ r2 เปน็ความสัมพันธ์จาก A ไป B

r1 = {(x,y) ∊ AxB | y=2x}

r2 = {(x,y) ∊ AxB | y=x2+1}

จงเขียน r1 และ r2 แบบแจกแจงสมาชิก

เขียน r1 และ r2 แบบแจงแจงสมาชิก จะได้

r1=

r2=

ถ้าความสัมพันธ์เขียนอยู่ในรปู r={(x,y)∊RxR | y=x2} จะเขียนได้วา่ r={(x,y) | y=x2}

ตวัผกผนัของความสมัพนัธ์

ตัวผกผันของความสัมพันธเ์ขียนแทนด้วย r-1 จะได้วา่ r-1 = { (y,x) | (x,y) ∊ r}

จาก r = { (x,y) | y=3x+1 } การหา r-1 อาจท าได้ 2 วิธ ี

วธิทีี ่1 r-1 = { (y,x) | y=3x+1 } ให้สังเกตว่า เง่ือนไขของสมาชิกยังคงเหมือนเดิม

วธิทีี่ 2 r-1 = {(x,y) | x=3y+1 } วิธีนี้เขียนสมาชิกของ r-1 ในรูปของ (x,y) เหมือนกับของ r แต่แทน x ด้วย y และแทน y ด้วย x ในเงื่อนไขของสมาชิก

จาก r-1 = {(x,y) | x=3y+1 } จะได้ r-1 = {( ) -

}

ดังนั้น จะสรุปได้วา่ - และ -


@orendatutor



โดเมนและเรนจข์องความสมัพนัธ ์

โดเมนของความสมัพนัธ ์ เรนจข์องความสมัพนัธ ์

เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ ทั้งหมดในความสัมพันธ์นั้น กล่าวคือ พิกัด x ทั้งหมดที่ยอมรับได้เขียนแทนด้วย Dr={x | (x,y)∊r}

เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมดของความสัมพันธ์นั้นกล่าวคือ พิกัด y ทั้งหมดที่ยอมรับได้ เขียนแทนด้วย Rr={y | (x,y)∊r}

Ex. ก าหนด r={(1,a),(2,b),(3,c)} จงหา Dr และ Rr

Ex. ก าหนด r={(x,y)} | y=2x+1 } จงหา Dr และ Rr


@orendatutor



Ex. ก าหนด {( )

- } จงหา Dr และ Rr

Ex. ก าหนด {( )| -

} จงหา และ


@orendatutor



Ex. ก าหนด {( )| √ } จงหา และ

Ex. ก าหนด {( )| √ - } จงหา และ


@orendatutor



อนิเวอรส์ความสมัพนัธ ์ให้ {( ) ( ) ( ) ( )}

ถ้าสลบัที่ความสัมพันธ์ไม่ ความสัมพนัธ์ใหม่คอื - (อ่านวา่ r อินเวอร์ส)

โดยที่ - {( ) ( ) ( ) ( )}

-

-

เรียก - ว่าเป็นอนิเวอร์สของความสมัพันธ์ โดยท่ี

-

-

ดังนั้น - {( )|( ) }


@orendatutor



ฟงัก์ชนั (Function)

นิยาม: ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งทุกๆ คู่อันดับที่เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์นั้น สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับต้องไม่ซ้ ากัน

Ex. ความสมัพันธ์ตอ่ไปนีค้วามสัมพนัธ์ใดบา้งเป็นฟังก์ชัน

1) {( ) ( ) ( ) ( )}

2) {( ) ( ) ( ) ( )}

3) {( ) ( ) ( ) ( )}

4) {( ) ( ) ( ) ( )}


@orendatutor



Ex ความสัมพันธ์ตอ่ไปนีค้วามสัมพนัธ์ใดบา้งเป็นฟังก์ชัน

1)

Ans. r1 เป็นฟังก์ชัน เพราะแต่ละคา่ของ x จะหาค่า y ได้เพียงคา่เดียวและจากกราฟ y = 2x+3 ถ้าลากเสน้ขนานกับแกน y จะตัดกราฟเพยีงจุดเดียว แสดงว่าค่า x ไม่ซ้ ากัน เพราะฉะนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน


@orendatutor



2) {( )| }

Ans. r2 เป็นฟังก์ชัน เพราะแทนค่า x สองค่า จะหาค่า y ไดเ้พียงคา่เดียว ค่า y สามารถซ้ ากันได้ เช่น (-1, 5), (1, 5) และจากกราฟ y = x2+4 ถ้าลากเสน้ขนานกับแกน y จะตัดกราฟเพียงจุดเดียว แสดงวา่คา่ x ไม่ซ้ ากันเพราะฉะนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน


@orendatutor



3) -

Ans. ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะแต่ละค่าของ x จะหาค่า y ได้สองค่า เช่น (4,3), (4,-3) และจากกราฟ - ถ้าลากเส้นขนานกับแกน y จะตัดกราฟได้สองจุด แสดงว่าค่า x ซ้ ากัน เพราะฉะนั้นจึงไม่เป็นฟังก์ชัน

Ex. ก าหนด ( ) - จงหา (- ) ( ) ( )

Ex. ก าหนด ( ) จงหา ( )


@orendatutor



ฟงัก์ชนัอนิเวอรส์ (Inverse Function)

ฟังก์ชันอินเวอร์สหาได้โดยการสลับต าแหน่งระหว่างสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตวัหลังของแต่ละคู่อันดบัในฟังก์ชันนั้น อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จ าเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน

เช่น {( ) ( ) ( )}

-

หรือ

{( ) ( ) ( )}

-

Ex. ก าหนด ( ) จง - ( )

Ex. ก าหนด ( ) √ จงหา - ( )


@orendatutor



Ex. ก าหนด ( ) - จงหา - (- )และ - -

Ex. ก าหนด ( ) { -

- จงหา - ( )และ - ( ) - (- )


@orendatutor



ฟงัก์ชนัเพิม่และฟงักช์นัลด

นยิาม ส าหรับทุก เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ f(x) จะเพิ่มขึ้นด้วย เรียกฟงัก์ชันนี้ว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มใน R ส าหรับทุก เมื่อ x มีค่าเพิม่ขึ้น ค่าของ f(x) จะลดลง เรียกฟังก์ชันนี้ว่าเป็นฟังก์ชันลดใน R

Ex. f(x) = 5x+2

เมื่อ x มีคา่เพิ่มขึ้น คา่ของ f(x) จะเพิ่มขึ้น f(x)=5x+2 เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน R


@orendatutor



Ex. f(x) = -3x+4

Ans. เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ f(x) จะลดลง f(x)=-3x+4 เป็นฟังก์ชันลดใน R

Ex. ( )

Ans. เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นใน (- )ค่าของ ( )จะลดลง แสดงว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันลด

ในช่วง (- ) และเมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นใน [ )ค่าของ ( ) จะเพิ่มขึ้น แสดงว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง [ )


@orendatutor



ฟงัก์ชนัก าลงัสอง

เมื่อ เป็นจ านวนจริงใดๆ และ กราฟของฟังก์ชันก าลังสองเป็นพาราโบลา

Ex. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันก าลังสองต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ ์

( ) ( ) ( )

y3 y1 y2 จุดวกกลับหรือจุดยอดคอื (0,0)

( ) ( ) ( )


@orendatutor




( ) ( ) ( )

จุดวกกลบัหรือจุดยอดคือ (0,0)

( ) -

( ) - -

( ) -

y3 y1 y2


( ) ( )


@orendatutor



Ex จงเขียนกราฟของฟังก์ชันก าลังสองต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ ์

( ) ( ) ( ) ( )


@orendatutor



NOTE: ในกรณีท่ีฟังก์ชันก าลังสองอยู่ในรปู ( ) จะหาจุดยอดได ้

ถ้ากราฟหงาย จุดยอดจะเป็น จุดต่ าสดุ

ถ้ากราฟคว่ า จุดยอดจะเป็น จุดสูงสุด

การหาจุดสูงสุดหรือจดุต่ าสดุของ ( )

[

]

[(

(

)

)

- (

)]

[(

)

-

]

(

)

-

จุดสูงสุดหรือจุดต่ าสดุของกราฟ คือ จุด (-

-

)


@orendatutor



พชีคณติของฟงักช์นั

นยิาม: ก าหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจ านวนจริง

{( )| ( ) ( )และ }

{( )| ( ) ( )และ }

{( )| ( ) ( )และ }

{( )| ( )

( )เมื่อ และ ( ) }

Ex. ก าหนด ( ) {( ) ( ) ( ) ( )}

( ) {( ) ( ) ( ) ( )}

จงหา -


@orendatutor



Ex. ก าหนด ( ) - ( ) -

จงหา ( )( ) ( - )( ) ( )( ) (

) ( )


@orendatutor



ฟงัก์ชนัคอมโพสทิ (Compositer Function) ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน ดังแสดงในภาพ

A B C

1 a x

2 b y

3 c z

{( ) ( ) ( )}

{( ) ( ) ( )}

เราสามารถสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่ เรียกว่า g o f (อ่านวา่ จีโอเอฟ)

g o f เป็นฟังก์ชัน f ไปยัง g

g o f = { (1,y), (2,x), (3,z) }

( )( )

( )( )

( )( )


@orendatutor



นยิาม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียน

แทนด้วย g o f ก าหนดโดย ( )( ) ( ( )) ซึ่ง ( )

x f y=f(x) g z=g(y) = g(f(x))

g o f

Ex. ก าหนด ( ) {( ) ( ) ( ) ( )}

( ) {( ) ( ) ( ) ( )}

จงหา ( )( ) ( )( ) ( )( ) พร้อมทั้งหา และ


@orendatutor



Ex. ก าหนด ( ) - และ ( )( ) จงหา

Ex. ก าหนด ( ) - และ ( )( ) จงหา ( )

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ·...

Documents