5. LIIKUMISE JUHTIMINE AJAMIGA 5.1 Ajami juhtimissüsteemide liigitus Elektriajam on elektrienergial põhinev (elektrimasinast, toitemuundurist ja juhtseadmetest koosnev) süsteem liikumise tekitamiseks ja juhtimiseks. Liikumise juhtimine (motion control) on elektriajami põhifunktsioon. Ühe- ja mitmekoordinaadilised ajamid. Töömasina või mehhanismi liikumise juhtimine tähendab ühe- või mitmemassilise süsteemi asendi, kiiruse või kiirenduse juhtimist vastavalt soovitud liikumisdiagrammile (asendi, kiiruse ja kiirenduse muutumisele ajas). Ajamite puhul juhitakse

• mehhanismi momenti, jõudu, või kiirendust • kiirust • asendit või positsiooni

Juht- ehk seadesuurus ning sellele vastava püsitalitluse väljundsuurus võib olla

• konstantne, (stabiliseerimissüsteem) • muutuda programmi järgi (reguleerimissüsteem) või • muutuda juhuslikult (järgivsüsteem)

Juhtimispõhimõtte järgi jagunevad ajamisüsteemid:

• Väljundi vea järgi juhitavateks süsteemideks • Mudeli järgi juhitavateks süsteemideks • Intellektuaalseteks süsteemideks (hägusloogilised inimese intuitsioonil ja

tehisnärvivõrgul põhinevad süsteemid) Juhtsignaalide ja juhtseadmete iseloomu järgi saab ajameid liigitada:

• Pidevatoimelisteks (analoogsüsteemid) • Arvjuhtimissüsteemideks (digitaalsüsteemid) • Binaarseteks süsteemideks (binaarloogikasüsteemid)

Enamikku nüüdisaegseid ajameid juhitakse mikroprotsessor-juhtseadmetega, mille funktsioonid realiseeritakse vastavate programmidega ehk tarkvaraliselt.

Mikrokontrolleri trükkplaat

142

5.2 Dünaamilised süsteemid Masinate või nende tööorganite liikumine on füüsikaliselt kirjeldatav masside liikumisena gravitatsiooniväljas. Niisugust liikumist kirjeldatakse diferentsiaalvõrranditega. Koondatud massiga keha e. masspunkti (tinglikult võib masspunktiks lugeda ka jäiga keha) liikumist gravitatsiooniväljas kirjeldavad teist järku diferentsiaalvõrrandid. Liikuv keha koos temale mõjuvate jõududega on automaatjuhtimise seisukohalt vaadeldav dünaamilise süsteemina. Teist järku diferentsiaalvõrranditega kirjeldatav liikuv keha on vaadeldav teist järku dünaamilise süsteemina. Sõltuvalt kehale mõjuvate jõudude iseloomust võivad võrrandid olla lineaarsed või mittelineaarsed, konstantsete või ajas muutuvate kordajatega. Kõige lihtsamini on uuritavad dünaamilised süsteemid, mida kirjeldavad lineaarsed, konstantsete kordajatega võrrandid. Teist järku dünaamilised süsteemid. Joonisel 5.1 on näidatud jäiga keha erinevad dünaamilised süsteemid. Liikuvale kehale massiga m toimivad välised liikumist tekitavad (e motoorsed jõud Fm) kiirendusega võrdelised inertsijõud, kiirusest sõltuvad takistusjõud (nt hõõrdejõud F ) ning asendist sõltuvad raskus- või elastsusjõud (Fh g, Fe).

v

mm

v

Fg

Fh

Fm

Fh

FgFn

FtFm

α

m

v

Fg

Fh

Fm Fe

a b

c

k

Joonis 5.1. Jäiga keha liikumine gravitatsiooniväljas Konstantse massi puhul kirjeldab jõudude tasakaalu diferentsiaalvõrrand.

Fkxdtdxb

dtxdm =++2

2

Tkdtdb

dtdJ =++ ααα

2

2

või (5.1) Diferentsiaalvõrrandi lahendiks on aja funktsioon x(t), mis määrab masspunkti liikumise iseloomu. Diferentsiaalvõrrandi lahend sõltub muutujate (nt asendi ja kiiruse) algväärtustest ehk dünaamilise süsteemi algtingimustest. Kuna liikumismuutujad (asend x, kiirus v ja kiirendus a) on üksteisest sõltuvad suurused v = dx/dt, a = dv/dt, siis saab asendifunktsiooni x(t) põhjal hõlpsasti leida ka kiirus- ja kiirendusfunktsioonid v(t) ja a(t). Lihtsaimal juhul (joonis 5.1, a) toimib massile m motoorne jõud Fm, raskusjõud (g on raskuskiirendus) ja liikumist takistav hõõrdejõud F

mgFg =

h. Kuna raskusjõu suund on kiirusvektoriga risti, siis otsest mõju liikumisele raskusjõud ei avalda. Raskusjõu mõju avaldub hõõrdejõu

143

kaudu. Hõõrdejõu suurus arvutatakse raskusjõu, pinna hõõrdeteguri fh= b ja liikumiskiiruse funktsioonina. Lineaarse sõltuvuse puhul Fh = F b v. g Jõudude tasakaalu võrrand:

mFdtdxmgb

dtxdmvmgb

dtdvm =+=+ 2

2

(5.2) Kaldpinnal liikumisel (joonis 5.1, b) saab raskusjõu vektori lahutada pinna normaali ja puutuja suunalisteks komponentideks (Fn, F ). Jõudude tasakaalu võrrand: t

( ) mFmgdtdxmgb

dtxdmmgvmgb

dtdvm =++=++ αααα sincossincos 2

2

(5.3) Sageli mõjub kehale asendist sõltuv jõud. Selleks võib olla nt. vedru elastsusjõud, raskusjõud või mõni muu jõud (joonis 5.1, c). Vedru elastsust (jäikust) iseloomustab tegur k. Jõudude tasakaalu võrrand:

( ) mFkxdtdxmgb

dtxdmkxvmgb

dtdvm =++=++ 2

2

(5.4) Lihtsamate elektriajamite puhul on vaja samuti kirjeldada jäikasid ühemassilisi süsteeme ning selleks sobivad teist järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Sarnased võrrandid kirjeldavad ka paljusid muid mehaanilisi ja elektrilisi süsteeme. Energiamuundusprotsess pendlis, vedelikuanumas ja elektriahelas

F

Fg = mg

v

r

L

E

C

R

H1

H2 H

a b

c

UC

Tp

Joonis 5.2. Teist järku diferentsiaalvõrranditega kirjeldatavad füüsikalised protsessid

Füüsikaliselt väga erinevaid protsesse saab sageli kirjeldada sarnaste või ühesuguste diferentsiaalvõrranditega ehk füüsikaliselt erinevatele protsessidele võivad vastata ühesugused matemaatilised mudelid.

144

Pendel muundab gravitatsioonivälja potentsiaalset energiat liikumise kineetiliseks energiaks ja vastupidi. Reaalse pendli puhul hajub osa energiat ümbritsevas keskkonnas soojusena. Energia jäävuse seaduse põhjal võib kirjutada:

kaduWmvmgh +=2

2

(5.5) Pendli saab tasakaalust välja viia välise jõu toimel. Tasakaalust välja viidud pendel hakkab omasagedusega võnkuma. Konstantse välise jõu toimel liigub pendel uude tasakaaluasendi poole, kusjuures peatumine uues tasakaaluasendis toimub samuti pärast võnkeprotsessi sumbumist. Kui väline jõud on perioodiliselt võnkuva iseloomuga hakkab see mõjutama pendli omavõnkumist ning liikumise kiirendust, kiirust ja asendit. Kui välisjõu muutumise periood langeb kokku omavõnkumise perioodiga tekib resonants ning pendli võnkumise amplituud kasvab (võrdle kiigele hoo andmisega).

αααα

αωω

sincos

sin

2

22 mg

dtdb

dtdmrFr

mgbdtdJTp

++=

++= (5.6)

Ühendatud vedelikuanumates toimub pendli liikumisele sarnane protsess. Tasakaalust välja viidud vedelikusammaste algne nivoo on vastavalt H ja H1 2. Anumate ühenduskanalis oleva ventiili avamisel vedelikunivood võrdsustuvad tasemel H. Protsessi kirjeldatakse teist järku diferentsiaalvõrrandiga. Laminaarse voolamise korral on vedeliku liikumist takistav hõõrdejõud võrdeline vedeliku liikumise kiirusega, turbulentse voolamise korral aga ligikaudu võrdeline vedeliku liikumiskiiruse ruuduga. Kui hõõrdejõud on suur, ühtlustuvad anumate vedelikunivood aperioodiliselt. Väikese hõõrdejõu (nt. ühenduskanali suure ristlõike) puhul toimub nivoode ühtlustumine võnkeprotsessi tulemusena. Elektriahelas muundatakse induktiivsusesse salvestatud magnetvälja energiat kondensaatori elektrivälja energiaks ja vastupidi. Osa energiat eraldub juhtmetes (takistuses) ning hajub ümbritsevas keskkonnas soojusena. Energia jäävuse seaduse põhjal võib kirjutada:

222

22RiCuLi

+= (5.7) Elektriahela pingete tasakaalu võrrand:

CURidtdiLE ++= (5.8)

Kondensaatori laadimisvool sõltub kondensaatori mahtuvusest ja pinge muutumise kiirusest e tuletisest aja järgi. Seepärast:

2

2

dtUdC

dtdi C=

dtdUCi C= ja (5.9)

Elektriahela kondensaatori pinge muutumist kirjeldab teist järku lineaarne diferentsiaal-võrrand:

CCC U

dtdURC

dtUdLCE ++= 2

2

(5.10)

145

5.3. Diferentsiaalvõrrandite lahendamine ja Laplace teisendus Diferentsiaalvõrrandite lahendamine oli arvutieelsel ajal seotud suurte raskustega. Analüütiliste meetoditega sai lahendada vaid lineaarseid võrrandeid ning nendegi puhul oli kõrgema järgu võrrandite lahendamine tülikas. Seepärast on mittelineaarsete võrrandite uurimiseks laialt rakendatud meetodit, mille sisuks on mittelineaarsete võrrandite asendamine neile lähedaste lineaarsete võrranditega. Niisugust tegevust nimetatakse lineariseerimiseks. Traditsiooniline automaatjuhtimisteooria tekkis lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendite uurimise tulemusena. Selgus, et lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendid kirjeldavad aperioodilisi (eksponentsiaalseid) või perioodilisi (võnkelisi) protsesse. Seejuures on lineaarsete süsteemide puhul on keerukate ja lihtsate protsesside vahel lihtne seos. Nimelt, kõik keerukad protsessid koosnevad lihtsatest aperioodilistest või võnkelistest protsessidest ning neid saab leida lihtsate osaprotsesside summeerimisega. Seda põhimõtet nimetatakse superpositsiooni põhimõtteks. Traditsioonilise automaatjuhtimisteooria teiseks nurgakiviks on ülekandefunktsioonide kasutamine nii terviksüsteemi kui ka selle komponentide (nn tüüplülide) kirjeldamiseks. Ülekandefunktsioonid on tuletatud Laplace teisenduse abil. Laplace teisendus lihtsustab lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamist; eriti oluline on see olnud nende lahendite uurimiseks sagedusruumis. Laplace teisendus on seotud diferentsiaalvõrrandite lahendamise operaatormeetodi kasutuselevõtuga. Diferentseerimistehte asendamisel korrutustehtega nn diferentseerimis-operaatoriga, muutuvad lineaarsed diferentsiaalvõrrandid algebralisteks võrranditeks. Kuna muutja asendifunktsiooni diferentseerimine ajas tähendab, selle muutuja liikumiskiiruse määramist, siis tähendab diferentseerimisoperaatori kasutuselevõtt matemaatilist fiktsiooni, mille puhul muutujate tegelikust aegruumist minnakse üle muutujate sagedusruumi. Lineaarse süsteemi diferentsiaalvõrrandite lahendamine sagedusruumis (lahendite leidmine sagedusteljel) oli arvutieelsel ajal märgatavalt lihtsam kui nende samade võrrandite lahendamine aegruumis (lahendite leidmine ajateljel). Süsteemi diferentsiaalvõrrandite lahendeid sagedusruumis nimetatakse sagedustunnusjoonteks, lahendeid aegruumis aga siirdetunnusjoonteks. Traditsioonilise automaatjuhtimisteooria sisuks arvutieelsel ajastul oli peamiselt süsteemi sagedustunnusjoonte arvutamine ja uurimine, samuti nende põhjal teostatud süsteemi omaduste hindamine ja süsteem regulaatori sünteesimine. Siirdetunnusjoonte arvutamine jäi kuni arvutite kasutuselevõtuni tülikaks. Täna on arvutuste teostamiseks olemas kõik vajalikud vahendid: arvutusmatemaatika meetodid võrrandite numbriliseks lahendamiseks, arvutite võimas riistvara ning täiusliku kasutajaliidesega tarkvara. Seepärast on olemasolevate arvutusvahenditega ühtviisi lihtne arvutada nii sagedus- kui ka siirdetunnusjooni, uurida lineaarsete või mittelineaarsete võrranditega kirjeldatavaid süsteeme. Arvutite tarkvarapakettidesse on integreeritud vastavad arvutusmeetodid automaatika-süsteemide uurimiseks. Süsteemide ja nende komponentide mudeleid saab koostada struktuuriskeemide, ülekandefunktsioonide, olekumaatriksite ning graafiliselt või võrrandi-tega esitatud tunnusjoonte põhjal.

146

Kuigi arvuti ekraanil võib näha operaatormeetodil põhinevaid ülekandefunktsioone, lahendab arvuti kõiki võrrandeid numbriliste meetoditega. Seega on traditsioonilistest meetoditest nüüdisarvutite rakendamise tulemusena järele jäänud vaid virtuaalne (näilik) pilt traditsioonilisest mõtteviisist. Automaatjuhtimise teooria uurib reaalsete dünaamiliste süsteemide matemaatilisi mudeleid ning neile vastavaid diferentsiaalvõrrandeid. Automaatjuhtimissüsteemi analüüsi ja sünteesi sisuks on süsteemi mudeli koostamine, vastavate diferentsiaalvõrrandite lahendamine, lahendite omaduste uurimine ja süsteemi modifitseerimine sobivate (soovitud) lahendite saamiseks. Kuna klassikalise automaatjuhtimisteooria peamiseks probleemiks oli diferentsiaalvõrrandite lahendamise keerukus ja ilmutatud lahendite puudumine mittelineaarsete süsteemide puhul, siis keskendus automaatjuhtimisega tegelevate teadlaste tähelepanu arvutieelsel ajal diferentsiaalvõrrandite lahendamisele või lahendite omaduste uurimisele mitmesuguste kaudsete meetoditega. Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks on leitud üldine meetod Laplace teisenduse rakendamisega. Muutuja tuletise leidmiseks kasutatakse Laplace operaatorit, mida kirjandusallikates tähistatakse tähega

222 sxdtxd =dtds = dtdp = sxdtdx = pxdtdx = või . Seega, või ning või 222 pxdtxd = . Teist järku diferentsiaalvõrrandile vastav Laplace teisendusvõrrand:

Fkxpbxpmx =++2 . (5.11)

Laplace teisenduse rakendamisega saadakse diferentsiaalvõrrandi asemele algebraline võrrand (polünoom), mille lahendeid on tunduvalt lihtsam leida kui diferentsiaalvõrrandi omi. Ühtlasi minnakse Laplace teisenduse abil reaalsete muutujate aegruumist nende muutujate kujutiste sagedusruumi ning uuritakse süsteemi sageduslikke omadusi. Ülekandefunktsioonid (ehk süsteemi kirjeldus Laplace teisenduse abil sagedusruumis). Jagades võrrandi (5.11) mõlemad pooled läbi muutujaga x, leitakse võrrandid, mis kirjeldavad süsteemi väljundi ja sisendi kujutiste suhet.

( ) ( )( ) 1

12

2++

=++

==p

kbp

km

kkbpmppF

pxpW (5.12)

Funktsiooni W(p) ehk Laplace teisendusena esitatud süsteemi väljundi ja sisendi suhet nimetatakse süsteemi ülekandefunktsiooniks. Teist järku süsteemi puhul on ülekandefunktsiooni nimetajaks ruutvõrrand , mida nimetatakse süsteemi karakteristlikuks ehk tunnusvõrrandiks. Diferentsiaalvõrrandite teooriast on teada, et lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendid sõltuvad tema tunnusvõrrandi lahenditest. Ruutvõrrandil on kaks lahendit

kbpmp ++2

mmkb

mbp

mmkb

mbp

24

2

24

22

2

2

1

−−−=

−+−=

(5.13)

Tunnusvõrrandi lahendeid ωλ jp ±=2,1 nimetatakse süsteemi poolusteks (poles) ning nende paiknemine reaal- ja imaginaararvude tasandil (komplekstasandil) iseloomustab süsteemi dünaamilisi omadusi. Kui tunnusvõrrandi lahendid on reaalsed, s.t. poolused asuvad

147

reaalteljel, on süsteem mittevõnkuv (sluggish or nonoscillatory). Kui tunnusvõrrandi lahendiks on kompleksarvud, on süsteem võnkuv (oscillatory). Piirjuhtumiks nende kahe võimaluse vahel on kriitilise sumbuvusega süsteem, s.t. olukord kus süsteem on võnkuva ja mittevõnkuva oleku piiril. Tunnusvõrrandi lahenditeks on sel juhul võrdsed reaalarvud

mbpp

221 −== ja . (5.14)

mkb 42 =

Teist järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendid avalduvad kujul , kus C

( ) tptp eCeCtx 2121 +=

ja C1 2 on konstandid, mis määratakse algtingimuste põhjal. Tunnusvõrrandi reaalarvuliste lahendite (pooluste) puhul on diferentsiaalvõrrandi lahendiks eksponentfunktsioon. Kompleksarvuliste pooluste ωλ jp +=1 ωλ jp −=2 ja puhul saab diferentsiaalvõrrandi lahendi avaldada samuti eksponentfunktsioonina, kus eksponendi astendajas on kompleksarv. Kompleksarvulise astendajaga eksponentfunktsioon on vastavalt Euleri valemile teisendatav siinus-koosinusfunktsiooniks.

xjxe jx sincos +=

( ) ( ) ( )teCteCtx tt ωω λλ sincos 21 += ehk

( ) ( )ϕωλ −= teAtx t cos (5.15)

kus 22

21 CCA += ja )/arctan( λωϕ = .

Teist järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendiks on siirdeprotsess, mis võib olla kas stabiilne aperioodiline, stabiilne sumbuvalt võnkuv või mittestabiilne. Viimasel juhul hakkab lineaarse süsteemi hälve tasakaalupunktist aja möödumisel pöördumatult kasvama. Süsteemis toimuvaid võnkumisi iseloomustavad sumbumistegur ja omavõnkesagedus (joonis 5.3):

mk

n =ωmkb

2=β , (5.16, 5.17)

0 2 4 6 8 100.5

0

0.5

1

1.5

2

t

β=0,1

0,20,4

0,6

1,0

Joonis 5.3. Teist järku lineaarse süsteemi siirdekõverad sõltuvalt sumbumistegurist β = 0,1…1,0

Kui sumbumistegur β > 1 on süsteem mittevõnkuv, kui β < 1 on süsteem võnkuv. Piirjuhtumil β = 1 ning süsteem on võnkuvuse ja mittevõnkuvuse piiril. Nimetatud suuruste abil saab teist järku süsteemi tunnusvõrrandile anda mitu erinevat kuju:

148

02 22 =++ nn pp ωωβ (5.18)

0121 22 =++ pp

nn ωβ

ω (5.19)

(5.20)

01222

1 =++ pp ττ

Seejuures kehtivad seosed

nβωλ −= (5.21) 21 βωω −= n (5.22)

Võnkuva mehaanilise süsteemi näiteks on pendel. Pendli takistusjõud ja sumbuvus on viidud minimaalseks (β ≅ 0), mis tagab tema võnkumise jätkumise lisaenergiata küllalt pikka aega. Võnkuvaks süsteemiks on ka RLC ahel, mille elektromotoorjõu ja kondensaatori pinge vaheline ülekandefunktsioon:

( )( ) 1

1)(2

221 ++

==pppE

pUpW C

τττ (5.23)

Samuti on teist järku süsteemi näiteks alalisvoolumootor, mille ülekandefunktsioon

1)()()( 2 ++

==pp

kpUppW

MME τττω , (5.24)

kus τE on elektromagnetiline ajakonstant ja τM mehaaniline ajakonstant. Kui elektro-magnetiline ajakonstant τE << τM, siis võib alalisvoolumootori ülekandefunktsiooni avaldada kujul

11)()1)(1()( 22 ++

≅+++

=++

=pp

kpp

kpp

kpWMMEMEMEME τττττττττ

, (5.25)

kus k on elektrimasina ülekandetegur. Kui ajakonstandid erinevad teineteisest suurel määral, kirjeldab mootori dünaamikat teist järku mittevõnkuv ehk aperioodiline protsess. Mootori ajakonstandid (kui tööpiirkonna mehaaniline tunnusjoon on lineaarne)

Alalisvoolumootori puhul a

aE R

L=τ ;

kM T

J 0ωτ = ; (5.26)

Asünkroonmootori nimitööpiirkonnas n

nM T

0J )( ωωτ −= ;

n

nM T

0 sJ )1( −=

ωτ (5.27)

Võrrandid (2.27) ja (2.28) on kokkulangevad ja järelikult on nende abil kirjeldatavate süsteemide dünaamilised omadused ühesugused. Teist järku dünaamilise süsteemi omaduste põhjalikum käsitlus pakub vajalikke eelteadmisi keerukamate süsteemide omaduste uurimisel ja juhtimisomaduste matemaatilisel käsitlemisel. Nimelt hinnatakse dünaamiliste süsteemide siirdeprotsesside kvaliteeti teist järku võnkuva süsteemi siirdeprotsessi põhjal ning püütakse juhtseadmega (regulaatoriga) saavutada teist järku süsteemile omaseid siirdeprotsesse. Teisiti öeldes, keerukamad süsteemid teisendatakse

149

juhtseadme (juhtimisalgoritmi) abil võrreldavaks teist järku süsteemiga ning omistatakse neile soovitud toimekiirus (omavõnkesagedus) ja sumbuvus. Sagedustunnusjooned. Laplace teisenduse kasutamisel on sagedustunnusjoonte leidmine palju lihtsam kui siirdetunnusjoonte arvutamine. Sagedustunnusjooni saab arvutada otse ülekandefunktsioonist. Võnkelüli amplituudi-faasi sagedustunnusjoone saamiseks tuleb lüli ülekandefunktsioonis teha asendus p j= ω . Seega, juhul kui ülekandefunktsioon

W p kp p

( ) =+ +τ τ1

2 22 1

, (5.28)

kus τ1 ja τ2 on võnkelüli ajakonstandid, leitakse sagedustunnusjooned võrrandist

W j kj j

kj

( )( ) ( )

ωτ ω τ ω τ ω τ ω

=+ +

=− +

=12 2

2 12

21 1

( )( ) ( ) )()(

111

222

2221

222

2222

1

221 ωω

ωτωτωτ

ωτωτωτ jVUkjk

+=+−

−+−

−= (5.29)

Võnkelüli amplituudi sagedustunnusjoon

( ) 222

2221

22

1)()()(

ωτωτωωω

+−=+=

kVUA (5.30)

ja faasi sagedustunnusjoon

ϕ ω ωω

τ ωτ ω

( ) arctan ( )( )

arctan= − = −−

VU

2

12 21

(5.31)

Võrranditesse (5.29)...(5.31) saab viia sõltuvuse sumbumistegurist β, asendades 12 2βττ = . Logaritmiline amplituudi sagedustunnusjoon ehk laialt kasutusel olev Bode diagramm saadakse amplituudi sagedustunnusjoone avaldise (5.30) logaritmimisel.

( ) 221

22221 41log20log20)( ωτβωτω +−−= kL . (5.32)

Viimases võrrandis on tehtud asendus . Võrrandi (5.32) kohaselt arvutatakse tunnusjooned

21

222 4 τβτ =

L f( ) ( )ω ω= esitatakse joonisel 2.21, kus parameetriteks on sumbumistegur β. Neid kõveraid saab esitada lihtsustatult, murdjoonena, s.o. kahe asümptoodi näol (analoogiliselt aperioodilise lüli puhul käsitletuga). Väikeste sageduste piirkonnas, kus ωτ1 1<< , võrrandi (5.32) teine liige võrdub nulliga ja esimene liige määrab asümptoodi, mis on paralleelne horisontaalteljele. Suurte sageduste piirkonnas ωτ1 1>> võib võrrandi (5.32) teise liikme arendada järgnevalt:

( ) ( ) =++−=+− 221

22221

221

221

22221 421log2041log20 ωτβωτωτωτβωτ

( ) ( ) ωτωτωτ 12

1222

1 log40log201log20 =≈+= (5.33)

150

0.1 1 100

10

20

30

40

50

Lω

log ω

Lω dB 60

β = 0,1

β = 0,2

β = 0,4

β = 0,7

β = 1,0

Joonis 5.4. Teist järku süsteemi logaritmilised amplituudi sagedustunnusjooned (Bode diagramm)

Võrrand (5.33) määrab teise asümptoodi, see on sirge kaldega -40 dB/dek. Asümptoodi arvutamiseks on võetud 7,0=β ja . 5,02 ≅β Joonisel 5.4 on murdesageduseks võetud ωm = 1 ja esimene asümptoot suunatud mööda rõhtjoont 40 dB (k 00 ja 40log20 =k= 1 ).

7,04,0 << βKui sumbumistegur on piires , siis asümptootiline tunnusjoon ei erine tegelikest tunnusjoontest üle 3 dB (vt. joonis 5.4). Kui 4,0<β 7,0>β või , siis tuleb vaadeldavat murdjoonelist tunnusjoont korrigeerida vastavalt konkreetsele arvutusele.

1≥βτ τ2 2≥Kui 1 ehk , siis on ülekandefunktsiooni (5.28) tunnusvõrrandil kaks reaallahendit ja siirdeprotsess on mittevõnkuv. Sel juhul on vaadeldav dünaamiline süsteem teist järku aperioodiline süsteem ning tunnusvõrrandi võib teisendada kujule ( )( ) sv kxxpp =++ 11 43 ττ kus τ3 ja τ4 on fiktiivsed ajakonstandid, millede väärtused on leitavad võrrandisüsteemidest

( )⎩⎨⎧

=+=

.243

2143

ττττττ

, siis tunnusvõrrand avaldub järgmiselt: ( ) sv kxxp =+ 1221ττ2 0=Kui . Niisugust süsteemi

nimetatakse konservatiivseks. Sel juhul sumbumistegur 02 12 == ττβ ja siirdeprotsess toimub sumbumatu võnkumisena.

Toyota Prius on elektriajamiga juhitav dünaamiline süsteem

151

5.4. Juhtimise kvaliteet Siirdeprotsesside kvaliteet Automaatjuhtimise puhul on väga oluline saavutada süsteem soovitud dünaamilised omadused, mida iseloomustab siirdeprotsesside iseloom. Süsteemi siirdeprotsessi hindamiseks on kasutusele võetud rida kvaliteedikriteeriume (joonis ):

• staatiline viga (steady-state error) ε, • esifrondi kestus (rise time) tr, • siirdeprotsessi kestus (settling time) ts, • maksimaalne ülereguleerimine (peak overshoot) ja sellele vastav aeg

(time-to-peak overshoot) tp, • võnkuvus ehk poollainete arv võnkuva siirdeprotsessi kestel.

Joonisel toimub siire tasakaaluolekust (püsiolekust) 1 tasakaaluolekusse 2. Tekkiv siirdeprotsess on võnkeline ning selle kestus on ts. Staatiline viga (steady-state error) ε iseloomustab süsteemi täpsust ja on siirdeprotsessi väljakujunenud püsioleku ning juhttoimega määratud püsiolekute vahe. Süsteeme, mille staatiline viga on võrdne nulliga nimetatakse astaatilisteks süsteemideks.

1

y(t)

t

ym δ

ts

0,9ym

0

2

tr

y∞ ε

0,1ym

tp

σ Α

Joonis 5.5. Siirdeprotsessi (hüppekaja) kvaliteeti iseloomustavad näitajad Esifrondi kestuseks (rise time) tr loetakse tavaliselt ajavahemikku, mis kulub hüppekaja muutumiseks vahemikus (0,1...0,9) ym. Kasutatakse ka muid viimasega sarnaseid määratlusi. Siirdeprotsessi kestus (settling time) ts on ajavahemik, mille kestel

( ) δ>⋅−

∞

∞ %100y

yty , (5.34)

kus on hüppekaja hetkväärtus (kõrvalekalle esialgse tasakaaluoleku suhtes); - hüppekaja püsiväärtus (uue ja esialgses püsioleku erinevus); δ - etteantud hälbe suurus,

mille abil määratakse siirdeprotsessi kestus. Joonisel 5.5 on näidatud punkt A, kust edasi siirdeprotsess kulgeb etteantud vahemikus ±δ. Enamasti võetakse δ = 5 % hüppekaja

( )ty

∞y

152

püsiväärtusest. Aperioodilise protsessi korral on siirdeprotsessi kestus sel juhul ts = 3τ , kus τ on protsessi ajakonstant. Siirdeprotsessi esifrondi- ja kogukestus iseloomustavad süsteemi toimekiirust. Viimane on suure tähtsusega neis süsteemides, mille töös etendavad suurt osa dünaamilised protsessid, nt. käivitus- ja pidurdusprotsessid. Niisugusteks süsteemideks on näiteks pikihöövelpingid, kus siirdeprotsess moodustab olulise osa kogu töötsüklist. Süsteemide toimekiiruse suurendamine ja ühtlasi siirdeprotsessi kestuse lühendamine aitab oluliselt suurendada masinate tootlikkust. Maksimaalne ülereguleerimine (peak overshoot) σ on määratav seosega

%100⋅−

=∞

∞

yyymaksσ (5.35)

kus on vaadeldava suuruse maksimaalne kõrvalekalle. maksy

Lubatav ülereguleerimine määratakse konkreetseid tingimusi arvestades. Mitmete raamatute andmeil on ülereguleerimine erinevates süsteemides vahemikus σ = 4,3...53 %. Näiteks, maksimaalne ülereguleerimine σ = 4,3 % on kehtestatud mooduloptimumile häälestatud alluvkontuuridega süsteemi esimese kontuuri kohta, σ = 53 % vastab aga süsteemi kontuuri sümmeetrilisele optimumile. Võnkuvus ehk poollainete arv siirdeprotsessi kestel (ajavahemiku ts kestel) näitab, mitu korda protsessi kestel hüppekaja hetkväärtus ületab etteantud püsiväärtuse. Joonisel 5.5 näidatud hüppekaja puhul on poollainete arv 7. Nagu lubatav ülereguleerimine, määratakse ka soovitav poollainete arv siirdeprotsessi kestel, konkreetseid juhtimisnõudeid arvestades. Siirdeprotsessi kvaliteeti saab hinnata kas eksperimentaalselt määratud või arvutatud hüppekaja järgi, kusjuures hüppekaja arvutamiseks kasutatakse nii analüütilisi, numbrilisi kui ka kaudseid lihtsustatud meetodeid.

Tööpinkide puhul on ajamite juhtimise täpsus ja siirdeprotsesside kvaliteet eriti olulised

153

5.5. Tagasiside Tagasiside (feedback) on mälu olemasoluks ja tegevuse juhtimiseks vajalik põhimõte, millele tugineb kogu elusloodus. Inimene on seda põhimõtet rakendanud tehnilistes süsteemides juba tuhandeid aastaid. Tänapäeval pole tagasisideta mõeldav ükski arvuti ega automaatikasüsteem. Elektriajamites kasutatakse tagasisidet asendi, kiiruse, kiirenduse, jõu, momendi, voolu, pinge ja muude suuruste juhtimiseks. Kui oletada et ajami kiirust ja asendit mõõdetakse vastavate anduritega, siis võib ajami poolt positsioonjuhtimissüsteemis tekitatava jõu F viia nendest sõltuvusse. Oletagem, et kasutatakse inertsivaba mootorit ülekandeteguriga k = 1, mis tekitab toitepingega võrdelise jõu.

dtdxkxkF vp −−= (5.36)

dtdxkxkkx

dtdxb

dtxdm vp −−=++2

2

(5.37)

Niisugust suletud juhtimissüsteemi kirjeldab joonis 5.6 ja võrrand (5.38):

( ) ( ) 02

2

=++++ xkkdtdxkb

dtxdm pv (5.38)

F

a

v

x

kv kp

Ühemassiline süsteem

kxdtdxb

dtxdmF ++= 2

2

k = 1

Mootor

Joonis 5.6. Negatiivse kiiruse- ja asenditagasisidega ühemassiline süsteem Võrrandist järeldub, et tegurite kv ja kp abil saab muuta teist järku diferentsiaalvõrrandi kuju suvalisel viisil ning omistada süstaamile kõiki neid omadusi, mida on võimalik saavutada teist järku süsteemi puhul.

)(2 p

v

kkmkb+

+=β (5.39)

Selleks, et häälestada süsteem võnkumise ja mittevõnkumise piirile, peaks kriitiline sumbuvus olema β = 1 ( või mkb 2=mkb 42 = ) ning tegurite kv ja kp valikul tuleb täita tingimus:

( ) )(2 pv kkmkb +=+ (5.40) Järeldus: süsteemi sobivate omaduste saavutamiseks tuleb muuta tagasiside tegureid kv ja k . p

154

5.6. Juhtimissüsteemi dekomponeerimine Juhtimissüsteemi dekomponeerimine ehk juhtimisseaduse jaotamine osadeks (control-law partitioning) on matemaatiline teisendus, mida kasutatakse keerukate süsteemide kirjeldamise lihtsustamiseks. Automaatjuhtimissüsteemi sisendite ja väljundite vahel on seosed, mida kirjeldatakse diferentsiaalvõrranditega, ülekandefunktsioonidega või siirde ja olekumaat-riksitega. Mitme sisendi ja väljundi puhul on tavaline, et üks väljund sõltub mitmest sisendist ning vastupidi: üks sisend mõjutab mitut väljundit. Sel juhul võib rääkida, et süsteem on mitmeti sidus. Liikumise juhtimisel elektriajamiga on tavaline, et mootori toitepinge mõjutab nii mootori kiirust kui ka moment (kiirendust). Mootori koormuse muutumisel muutuvad nii tema moment kui ka kiirus. Liikumise juhtimise seisukohalt on mugav kui kõiki süsteemi väljundeid saaks juhtida sõltumatult. Niisugust juhtimist võimaldab süsteemi dekomponeerimine ning juhtimisseaduse jaotamine osadeks (partitioning). Dekomponeerimine põhineb süsteemi matemaatilisel kirjeldamisel (modelleerimisel) ning seoste lahtisidestamisel. Alljärgnevalt selgitatakse dekomponeerimise põhimõtet ning pöördmudelite kasutamist. Teatud massi (ühemassilise süsteemi) takistusteta liikumist teda mõjutava jõu F toimel kirjeldab joonis 5.7. Soovitud kiirenduse as tekitamiseks tuleb massi mõjutada teatud jõuga, mille suurus on võrdeline kiirenduse ja massi korrutisega . Seega, teades süsteemi massi, saab arvutada vajaliku jõu.

smaF =

F a

v

x

Ühemassiline süsteem

2

2

dtxdmF =

a

Fa

v

x

Ühemassiline süsteem

2

2

dtxdmF =

m’ Sa

Pöördmudel Juhtimisobjekt

b

Joonis 5.7. Ühemassiline lisajõududeta süsteem (a) ja selle juhtimine pöördmudeliga (b) Ühemassiline süsteem, millele mõjub kiirusest sõltuv takistusjõud ning asendist sõltuv vastujõud (nt. raskusjõud või elastsusjõud) kirjeldab joonis 5.8. Soovitud kiirenduse as tekitamiseks tuleb massi mõjutada teatud jõuga, mille suurus sõltub nii soovitud kiirenduse ja massi korrutisest smaF = kui ka süsteemile mõjuvatest lisajõududest. Viimased on omakorda süsteemi väljundi funktsioonid. Seega, teades süsteemi massi m, takistusjõudude iseloomu (vt. koefitsiendid b ja k) ning mõõtes süsteemi väljundeid (x ja v) saab süsteemi pöördmudeli abil arvutada vajaliku jõu (joonis 5.8). Pöördmudelit saab seepärast edukalt kasutada ka süsteemi juhtimiseks. Mudeli järgi juhtimine on tänapäeva automaatikas üks põhilisi juhtimismeetodeid.

155

F a

v

x

Ühemassiline süsteem

kxdtdxb

dtxdmF ++= 2

2

a

F

a

v

x Ühemassiline süsteem

kxdtdxb

dtxdmF ++= 2

2

xkdtdxb '' +

m’ aS

Pöördmudel Juhtimisobjekt

b

Joonis 5.8. Ühemassiline süsteem (a) ja selle juhtimine pöördmudeliga (b) Eelpool kirjeldatud näited kinnitavad, et süsteemi saab matemaatiliste manipulatsioonidega dekomponeerida ning vajadusel saab ühe sisendiga juhtida süsteemi teatud kindlat väljundit. Kokkuvõtteks võib väita, et dekomponeerimine on matemaatiline teisendus süsteemi kirjelduse (võrrandite, struktuuri) lihtsustamiseks ilma et seejuures muutuks selle kirjelduse sisuline vastavus süsteemile. Lihtsustamise tulemusena muutub hõlpsamaks süsteemi talitluse analüüs või juhtimine. Elektriajamite kirjeldamisel kasutatakse dekomponeerimist juhitavate suuruste lahtisidestamiseks, nt vahelduvvoolumasina momendi ja magnetvoo seadesignaalide eraldamiseks. Automaatjuhtimisteoorias kasutatakse süsteemi dekomponeerimist ristuvate tagasisideahelate kõrvaldamiseks ja struktuurskeemide koostamiseks ning teisendamiseks nende lihtsustamise eesmärgil.

Silmad jälgivad ümbrust, et luua tagasisidesignaal ning võtta tegutsemiseks vastu õige otsus.

156

5.7. Juhtimine väljundi vea järgi Juhtimine väljundi vea järgi on automaatjuhtimise klassikaline põhimõte, mille kohaselt mõõdetakse süsteemi üht või mitut väljundit ning võrreldakse mõõdetud ehk tegelikku väärtust süsteemi väljundi soovitud väärtusega ehk seadesignaali väärtusega. Soovitud ja tegeliku suuruse vahet loetakse süsteemi veaks (error) ning vastavat signaali veasignaaliks. Juhtimisobjekti mõjutatakse sõltuvalt veasignaali suurusest ja selle muutumise iseloomust (integraalist ja tuletisest) ning moodustatakse objektile teatud juhttoime. Juhttoime moodustamiseks kasutatavat seadet nimetatakse regulaatoriks. Enimkasutatav regulaatori tüüp on PID regulaator. Kui juhttoime moodustatakse veasignaaliga võrdeliselt, on tegemist proportsionaalse ehk P regulaatoriga (joonis 5.9).

F

a

v

x ev vs

Ühemassiline süsteem

kxdtdxb

dtxdmF ++= 2

2

vts= v

Regulaator

kv Σ

F’

Joonis 5.9. Ühemassilise süsteemi kiiruse juhtimine P regulaatoriga Joonisel 5.9 näidatud süsteemi jaoks saab kirjutada alljärgneva võrrandi

∫++=++=− vkbvdtdvmkxbv

dtdvmvvk sv )( . (5.41)

Võrrandi lahendamisel lõplikes juurdekasvudes saadakse

tm

vkbvvvkv iiisv Δ

−−−=Δ ∑)(

(5.42)

∑ = 0ivkJuhul kui vastujõud ei sõltu asendist on ja kiiruse juurdekasv

tm

bvvvkv iisv Δ−−

=Δ)( (5.43)

ivsv vbkvk )( +=Süsteemi kiirus on stabiilne ja Δv = 0 kui on täidetud tingimus, et , millest

bkk

vv

v

v

s

i

+= (5.44)

Tegelik kiirus on seadekiiruse lähedal kui , s.t. regulaatori võimendustegur on suur. P regulaatoriga ei saa väljundi staatilist viga muuta nulliks.

bkv >>

Kui süsteemis toimib häiring, nt. lisatakistusjõud F’, tuleb vea kõrvaldamiseks rakendada ka vea integraaliga võrdelist toimet ehk PI tüüpi regulaatorit. Üldjuhul rakendatakse süsteemi paremaks juhtimiseks regulaatoris nii proportsionaalset P, integraalset I kui ka diferentsiaalset

157

D juhttoimet. Integraalne toime võimaldab täielikult kõrvaldada süsteemi staatilise vea ning muuta süsteem astaatiliseks. Samas on integraalne toime aeglane ning tekitab probleeme süsteemi dünaamikas (suurendab süsteemi võnkuvust ning reguleerimisaega). Diferentsiaalne toime ei mõjuta süsteemi staatilist viga kuid kiirendab süsteemi dünaamilisi protsesse. Parim juhtimine saadakse nende kolme toime optimaalse kombineerimisega. Väljundi vea järgi juhtimise põhimõtet saab rakendada kõigi süsteemide puhul, mille väljund on mõõdetav. Mida rohkem on süsteemi kohta infot, seda paremini saab süsteemi juhtida. Kui ajamis saab mõõta kõiki olulisi olekumuutujaid (nt asendit, kiirust, kiirendust või viimasega võrdelist momenti või voolu), saab rääkida olekutagasisidega süsteemist. Olekutagasisidega süsteemis on iga mõõdetud väljundi juhtimiseks omaette tagasisidekontuur. Kuna need kontuurid asuvad üksteise sees ning on jadamisi ühes juhtimisahelas, saab rääkida alluvkontuuridega süsteemist, mille sisemised kontuurid alluvad välimistele. Olekutagasisidega süsteem ja alluvkontuuridega juhtimine. Süsteemi jagamine alluvkontuuridega osadeks on üks süsteemi dekomponeerimise viise. Elektriajamite puhul on loomulikeks alluvkontuurideks jõu (momendi), kiiruse ja asendi juhtimiskontuurid.

F

a

v

x ex xs

Ühemassiline süsteem

kxdtdxb

dtxdmF ++= 2

2

xts= x

R pos

Σ R kiirus ev

vts= v

Σ kv kp

R kiirendea

ats= a

Σ ka

F’

Joonis 5.10. Alluvkontuuridega juhtimissüsteem Pingega muudetakse masina voolu ja momenti. Mootori kiirus kasvab seni kuni vastuelektromotoorjõud ja pingelang masinas tasakaalustavad toitepinge ja ning mootori moment tasakaalustub koormusmomendiga. Kas voolu ja momenti masina talitluse ajal ka eraldi juhitakse, sõltub süsteemist? Vooluregulaator, sh voolupiirang, P ja PI regulaator, või binaarregulaator, stabiliseerib voolu ja konstantse magnetvoo korral ka momenti. Voolu ja momendi juhtimine masina käivitamisel võimaldab juhtida masinale mõjuvaid jõudusid ja momente ning tööorganite kiirendust. Kiirusregulaator (P, PI, PID, binaarregulaator) rakendub ja stabiliseerib kiirust pärast mootori ülesjooksu Asendiregulaator (P, PI) rakendub positsioonimispunkti või seadeasendi lähedal ning tagab asendiseadeks vajaliku siirdeprotsessi.

158

5.8 Elektrimasina dünaamikamudel automaatikasüsteemis Alalisvoolumootori ülekandefunktsioonil põhinev lineaarne dünaamikamudel. Konstantse ergutusvoo Φ korral on alalisvoolumootori mudel esitatud joonisel 5.11. Mudeli struktuur koosneb ankruahela vooluplokist, momendiplokist, kiirusplokist ja tagasisideahelas olevast elektromotoorjõuplokist. Traditsioonilise automaatjuhtimisteooria seisukohalt on ankruahela vooluplokk süsteemi signaaliahela aperioodiline ning kiirusplokk integreeriv tüüplüli. Ülejäänud aga lihtsad inertsivabad võimenduslülid.

11

+pR

e

a

τ

ia kmΦ0Ua p

T

mec

st

τω0

Tk

keΦ

ω ΔT

E

Tm

Vooluplokk Momendiplokk Kiirusplokk

Elektromotoorjõuplokk

Joonis 5.11 Alalisvoolumasina lineaarne dünaamikamudel konstantse ergutusvoolu puhul Mootori ankruahela elektriline ajakonstant

a

ae R

L=τ . (5.45)

Mootori mehaaniline ajakonstant

stm T

J 0ωτ = , (5.46)

kus J on mootori ja töömasina summaarne inertsimoment, ω tühijooksukiirus ja Tst0 käivitusmoment Mootori ergutusahela ajakonstant

e

ef R

L=τ (5.47)

Muudetava ergutusvooga alalisvoolumootori puhul peab mudel sisaldama ka ergutusahelat kirjeldavaid plokke (joonis 5.12): ergutusahela vooluplokki ja magnetvooplokki. Ergutusvool mõjutab nii masina momenti kui ka elektromotoorjõudu. Mudeli puhul on ergutusvoog loetud lineaarselt sõltuvaks ergutusvoolust. Teatud ergutusvoolude piirkonnas on niisugune lihtsustus õigustatud. Üldjuhul muutub aga masina magnetvoog ergutusvoolu muutmisel magnetahela küllastumise ja hüstereesi tõttu mittelineaarselt. Sõltuvust nimetatakse masina magneetimiskõveraks, kus i( )eif=Φ e on ergutusvool. Seega, tegur Kf võib olla konstantne (magnetvoog sõltub voolust lineaarselt) või kirjeldatav masina magneetimiskõveraga. Kui ajamis reguleeritakse ergutusmähise voolu ja masina magnetvoog erineb nimimagnetvoost, siis tuleb arvutustes kirjeldada magneetimiskõvera kuju. Kõige hõlpsamini saab magneetimiskõvera määrata masina generaatoritalitluse tühijooksupinge mõõtmisega ergutusvoolu erinevatel väärtustel.

159

Koormusmomendi plokk lisandub ajami mudelisse juhul kui mootori võllil asub koormus, mille moment sõltub pöörlemiskiirusest. Sõltuvust iseloomustab joonisel tegur k . ω

11

+pR

e

a

τ

11

+pR

f

e

τ

ia

kmΦ

Kf ie

Ua

Ue

pT

mec

st

τω0

kω

keΦ

ω

Tω

Φ

Tm

Ts

Tconst

E

Ergutusahela vooluplokk

Magnetvoo-plokk

Koormusmomendi-plokk

Joonis 5.12 Alalisvoolumasina dünaamikamudel muutuva ergutusvoo puhul Alalisvoolumootori olekuruumi maatriksvõrranditel põhinev dünaamikamudel. Lineaarse süsteemi maatrikskujul kirjeldus võimaldab diferentsiaalvõrrandite lahendamise asendada algebraliste võrrandite (ehk maatriksvõrrandi) lahendamisega. Lineaarsete võrrandite muutujate ruumi nimetatakse süsteemi olekuruumiks. Seepärast nimetatakse ka niisuguseid võrrandeid olekuvõrranditeks (state-space equations). Kõik lineaarsed süsteemid on olekuruumis kirjeldatavad üldistatud struktuurskeemiga (joonis 5.13), mille plokkideks on vastavad maatriksid: A – olekumaatriks, B – sisendmaatriks, C – väljundmaatriks ja D – häiringumaatriks. Süsteemi kirjeldavad maatriks-vektorvõrrandid:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttt

tttttUDXCYUBXAX

+=+=&

(5.45)

UB(t) C(t)

A(t)

D(t)

X X.

dtY

Joonis 5.13. Maatriksitega kirjeldatud lineaarne süsteem

160

Alalisvoolumasina talitlust kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid

dtdiLiREU a

aaaa ++= ; (5.40)

km TbdtdJT ++= ωω , (5.41)

kus ja amm ikT Φ= ωΦ= mkE Võrrandid (5.40) ja (5.41) saab teisendada kujule:

kam

aaa

ma

a

aa

TJJ

biJ

kdtd

ULL

kiLR

dtdi

1

1

−−Φ

=

+Φ

−−=

ωω

ω (5.42)

Elektriajami olekumudeli võib sel juhul esitada kanoonilisele kujule viidud võrrandisüsteemina, kus ja ω=2xaix =1 aUu =1 kTu =2 ning ja .

2212221212

1112121111

ubxaxaxubxaxax

++=++=

&

& (5.43)

Võrrandeid 5.43 saab esitada maatrikskujul

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

21

11

2

1

2221

1211

2

1

uu

bb

xx

aaaa

xx&

& (5.44)

A B

Jka mΦ

=21 Jba −=22

a

a

LRa −=11

a

m

Lka Φ

−=12 Ja 1

22 −=aL

b 111 =kus , , , , ,

Väljundmaatriks C on leitav ajami väljundvõrranditest

11 xy &= 22 xy &= , (5.45)

millele vastab ühikmaatriks

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

.

Häiringumaatriks D võrdub antud juhul nulliga.

Maailm meie ümber on täis mudeleid

161

5.9 Liikumise plaanimine ja liikumisdiagrammid Rääkides liikumise kiirusest, dünaamikast, sujuvusest, elegantsusest, graatsilisusest, ratsionaalsusest jne, omistab inimene liikumisele väga erinevaid omadusi. Sportlikud edusammud võivad põhineda nii inimese liikumise ilul (iluuisutamine, iluvõimlemine) kui ka ratsionaalsusel (jooksmine, hüppamine jms). Masinate liikumise puhul saame eelkõige rääkida liikumise kiirusest, sujuvusest ja ratsionaalsusest ehk energiasäästlikkusest. Liikumist kirjeldatakse liikumisdiagrammidega, so asendi, kiiruse ja kiirenduse muutumisega ajas. Liikumisdiagramme on matemaatiliselt kõige mugavam kirjeldada tükati polinomiaalsete funktsioonidega ehk splainidega. Polünoomid sobivad liikumise kirjeldamiseks kõige enam seetõttu, et neist saab hõlpsasti diferentseerimisega leida tuletisfunktsioone. Meeldetuletuseks lisagem, et kiirus on asendi tuletis ja kiirendus omakorda kiiruse tuletis. Kiirenduse tuletiseks on tõuge, mis jäigale kehale mõju ei avalda, kuid mõjutab vedelike ning muutuva masskeskmega kehade liikumist. Liikumise kirjeldamiseks kasutatava polünoomi järk sõltub eelkõige liikumise sujuvusest. Kui soovitakse arvestada liikumise lõpliku suurusega tõukeid, tuleb neid kirjeldada konstandiga. Kiirenduse ajafunktsioon on sel juhul kirjeldatav lineaarse, kiirus ruutpolünoomi ning asend kolmanda astme ehk kuuppolünoomiga. Lähtudes asendi kirjeldamisel kuuppolünoomist on läbitud teepikkus ehk asend (distance), kiirus (velosity), kiirendus (acceleration) ja tõuge (jerk) kirjeldatavad järgnevate võrranditega:

( ) 33

2210 tctctccts +++= (5.46)

( ) 2321 32 tctcc

dtdstv ++== (5.47)

( ) tccdtdvta 32 62 +== (5.48)

( ) 36cdtdatp == (5.49)

kus tegurid c0…c määravad liikumise iseloomu. 3 Liikumise plaanimisel lähtutakse soovitud toimekiirusest (liikumiseks kuluv aeg) ja piirangutest, nt maksimaalselt lubatud kiirusest, kiirendusest ja/või tõukest. Kiirusepiirang võib olla seotud nii tehnoloogiliste piirtalitlustingimuste, kui ka inimeste ohutusega. Kiirenduspiirang on tavaliselt seotud masinate (ajamite või pidurite) maksimaalse võimsusega. Tõukepiirangut kasutatakse sujuvat liikumist nõudvate masinate (sh inimeste veoks mõeldud masinate) puhul. Tükati lineaarsete ja tükati polünomiaalsete funktsioonide ehk splainidega kirjeldatavad liikumisdiagrammid on näidatud joonisel 5.14. Vasakpoolne liikumisdiagramm vastab maksimaalse toimekiirusega liikumisele, mil kiiruse muutumist kirjeldab kolmnurkdiagramm. See tähendab liikumise alustamist maksimaalse võimaliku (lubatud) kiirendusega ning sellele järgnevat aeglustamist maksimaalse võimaliku (lubatud) aeglustusega. Püsikiirustalitlus sel juhul puudub. Parempoolsel joonisel on kiirusdiagrammiks trapets. Pärast kiirendamist omandab ajami kuni pidurdamise alguseni püsikiiruse. Kuna tõuke suurus pole piiratud saab asendifunktsiooni kirjeldada teist järku ehk ruutpolünoomiga.

162

Edasi-tagasi liikumisel toimub esmalt liikumine punktist A punkti B ning seejärel punktist B tagasi punkti A. Ühe liikumistsükli jooksul toimivad ajamis korduvad määramata suurusega tõuked (ideaalse nelinurkse kiirendusfunktsiooni puhul on tõuge lõpmatu). Niisugused edasi-tagasi liikumist kirjeldavad diagrammid on tüüpilised robotite, kraanade, tööpinkide jt masinate puhul. Tõuke piiramiseks valitakse kiirendusdiagrammiks lineaarne funktsioon (joonis 5.15) ning asendi muutumist kirjeldab kuuppolünoom. s(t)

j(t)

a(t)

v(t) t

t

t

t

smax

amax

vmax

0

0

0

0

s(t)

j(t)

a(t)

v(t)t

t

t

t

smax

amax

vmax

0

0

0

0

Joonis 5.14 Tükati lineaarsete ja tükati polünomiaalsete funktsioonide ehk splainidega kirjeldatavad liikumisdiagrammid (vastavalt kolmnurkse ja trapetsikujulise kiirusdiagrammiga).

s(t)

j(t)

a(t)

v(t) t

t

t

t

smax

amax

vmax

0

0

0

0

Joonis 5.15. Tõuke piiramisega liikumisdiagramm

163

Liikumisdiagramme saab kirjeldada ka siinus-koosinusfunktsioonidega, mille tuletised on samuti hõlpsasti leitavad.

( ) ( tssts Ω−= cos22maxmax ) (5.50)

( ) ( tsdtdstv Ω⋅Ω⋅== sin

2max ) (5.51)

( ) ( tsdtdvta ΩΩ⋅== cos

22max ) (5.52)

( ) ( tsdtdatj ΩΩ−== sin

23max ) (5.53)

Τπ2

=Ω ,

kus T on edasi tagasi liikumise periood Peale liikumise plaanimise saab eeltoodud võrrandite abil lahendada ka toimekiiruse maksimeerimise ülesannet nt tingimusel kui ajami võimsus või moment on piiratud või energiatarbe minimeerimise ülesannet nt kui on vaja läbi toiteaku piiratud mahtuvuse juures maksimaalne distants. Siinus-koosinusfunktsioonide kasutamisel võib eesmärgiks olla ka maksimaalselt sujuva liikumise saavutamine. Liikumise pidevus. Mehhanismi asend ja kiirus ei saa hetkeliselt muutuda, s.t. et läbitud teepikkuse ja kiiruse funktsioonid peavad samuti olema pidevad. Trajektoorilõikude ühendamisel tuleb jälgida, et eelmise lõigu lõpp-punkti asend ja kiirus vastaksid järgmise lõigu algus-punkti asendile ja kiirusele. Sujuva liikumise tagamiseks lisandub veel kiirenduse pidevuse nõue, s.t. et ühenduspunktis peavad olema eelmise lõigu lõpp-punkti ja järgmise lõigu algus-punkti kiirendused võrdsed. S-kõver. Veoki, tõstemehhanismi või masina tööorgani sujuva liikumise tagamiseks kasutatakse ajami käivitus- ja pidurdusprotsesside määramiseks lõpliku tõukega programmeeritud kiirusdiagramme, mida nende kuju järgi nimetatakse S-kõverateks. S-kõverate (joonis 5.16) järgi ajami käivitamine ja pidurdamine on enamiku nüüdisaegsete sagedusmuundurite tarkvarasse sisse programmeeritud. Kasutaja ülesandeks on valida parameetrite sättimisega kõvera õige kuju.

t 0

v

vmax 2

tkäivtkäiv /2

Lineaarne kiirusfunktsioon

S-kõver vmax

Sätitav parameeter kii f kt i

Joonis 5.16. Kiiruse S-kõver ajami käivitamiseks

164

5.10. Regulaatorid Traditsiooniliselt on ajameid juhitud väljundi vea järgi. Juhtimine toimub nn. proportsionaalse-integreeriva-diferentseeriva (proportional-integral-derivative) ehk PID regulaatoriga, mis võimaldavad kombineerida juhttoimet võrdeliselt veasignaalile selle integraalile ja/või tuletisele. Vastava toimega regulaatoreid nimetatakse eraldi proportsionaalseteks, integraalseteks ja diferentsiaalseteks ning tähistatakse vastavalt tähtedega P, I ja D. Kombineeritud regulaatorite lühendatud tähisteks on PI, PD ja PID. Joonisel 5.17 on näidatud mootori kiiruse stabiliseerimissüsteem, milles kasutatakse kiiruse tagasisidet ja PID regulaatorit. Kiiruse mõõtmiseks kasutatavaid andureid käsitletakse raamatu jaotises 5.11.

PID

regulaator

WR

Juhtimisobjekt (mootor + muundur)

WO

Ureg ωωs

(-) (+)

e

Tagasiside

ωts

Joonis 5.17. Regulaatori asukoht automaatjuhtimissüsteemis jadamisi juhtimisobjektiga PID regulaatoreid saab realiseerida pidevatoimelistena, nt. operatsioonivõimendite baasil, või diskreetsetena, ajami juhtkontrolleri programmina. Viimasel juhul nimetatakse regulaatorit arvregulaatoriks. Arvregulaatorite sisend- ja väljundfunktsioone esitatakse diskreetsete väärtuste jadana, kus muutujate hetkväärtused on fikseeritud ajaintervalli Δt järel. Funktsiooni tuletisteks aja järgi on vastavat järku diferentsfunktsioonid, integraalideks aga summafunktsioonid. Regulaatori väljundfunktsioon iseloomustab väljundsuuruse sõltuvust sisendsuurusest. Näiteks, pidevatoimelise proportsionaalregulaatori ehk regulaatori tööd kirjeldab väljundfunktsioon

( )teKU preg ⋅= , (5.54) kus Kp on regulaatori ülekandetegur, e(t) sisend- ehk veasignaal. Diskreetse P-regulaatori korral tuleb pidev aeg t asendada diskreetse ajaga n, mis kujutab endast järjestikulise ajaintervallide järjekorranumbrit.

( )neKU preg ⋅= (5.55) Negatiivse tagasisidega süsteemis kujutab regulaatori sisendsuurus e(n) endast seadesignaali ja tagasisidesignaali vahet. Joonisel näidatud ajami puhul on tagasisidesignaaliks ajami väljundkiirus ω = ωts.

( ) ( ) ( )nnne tss ωω −= (5.56)

165

Proportsionaalse arvregulaatori väljundfunktsioon

( ) ( ) ( )][ nnKnU tsspreg ωω −⋅= (5.57) Analoogiliselt on avaldatav ka integraal- ehk I regulaatori väljundfunktsioon

( ) ( ) ( )∑=

−⋅=n

jtssireg jjKnU

0

][ ωω (5.58)

Ajamite juhtimisel leiavad kõige enam kasutamist PI regulaatorid, millel on nii P kui ka I regulaatori omadused. PI regulaatori väljundfunktsioon

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

−⋅+−⋅=n

jtssitsspreg jjKnnKnU

0

][][ ωωωω , (5.59)

kus võrrandi parempoolse avaldise esimene liige vastab P regulaatorile, teine aga I regulaatorile. Diferentsiaalregulaatori ehk D regulaatori tööd kirjeldab väljundfunktsioon

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]11[][ ]−−−−−⋅= nUnUnUnUKnU tsstssdreg (5.60) Kui regulaatori sisendis toimiv seadesignaal ei muutu, siis avaldub regulaatori väljundfunktsioon järgmiselt:

( ) ( ) ( )]1[ −−⋅−= nUnUKnU tstsdreg (5.61) Viimasest võrrandist järeldub, et regulaatori väljundsignaal ei sõltu seadesignaalist ning on määratud ainult tagasisidesignaali muutumise kiirusega. P, I ja D regulaatorite ühendamisel saadakse PID regulaator, mille väljundfunktsiooni võib esitada kolme liidetava summana.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )]1[

][][0

−−⋅−

+−⋅+−⋅= ∑=

nUnUK

jUjUKnUnUKnU

tstsd

n

jtssitsspreg (5.62)

PID regulaator häälestatakse võimendustegurite K , K ja Kp i d valikuga. On võimalik luua regulaator, mille väljundfunktsioonis on ülekaalus üks selle komponentidest, nt P, või I regulaator, kuid võib ka erinevate regulaatorite toimed omavahel tasakaalustada. Siirdeprotsesside kiirendamiseks (forsseerimiseks) tuleb suurendada tegureid K , või Kp d. Süsteemi staatiline viga väheneb aga tegurite K , ja Kp i suurendamisel. Teiselt poolt on võimendustegurite suurendamisel oht, et süsteem muutub mittestabiilseks ning seal tekivad sumbumatud isevõnkumised. Joonisel 5.17 näidatud suletud süsteemi ülekandefunktsioon leitakse võrrandiga (5.63).

166

OR

ORS WW

WWW+

=1

, (5.63)

kus WR on regulaatori ülekandefunktsioon ja WO juhtimisobjekti (nt mootori ja muunduri) ülekandefunktsioon. PID-regulaatori ülekandefunktsioon

pKpKKW idpPID

1++= , (5.64)

kus K , ja K, Kp d i on vastavalt regulaatori proportsionaalse, diferentseeriva ja integreeriva osa võimendustegurid. Mõnikord kasutatakse diferentseeriva ja integreeriva regulaatori võimendustegurite asemel ajakonstante. Sel juhul K = T ja K = 1/Td d i i. Regulaatori süntees seisneb võimendustegurite või ajakonstantide valikus nii, et oleks tagatud süsteemi nõutavad dünaamilised omadused. PID-regulaatori sünteesil jaotatakse regulaator tinglikult kahte ossa, s. o. PI- ja PD- regulaatoriteks, s. t.

( )W K K pKp

K p KK

pPID p di

d pi= + + = + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 1 2

2 , (5.65)

kusjuures võimendustegurite vahel kehtivad järgmised seosed:

2

21

212

ii

pdd

idpp

KKKKK

KKKK

=

=

+=

(5.66)

Eeldades, et toimib ainult PI-regulaator, tuleb valida selle võimendustegurid K ja Ki2 p2 nii, et oleks tagatud süsteemi nõutav toimekiirus ehk hüppekaja tõusu kestus (rise time). Samas tagab PI-regulaator ka süsteemi staatilise täpsuse, s. t. staatiline viga puudub. Siirdeprotsessi maksimaalse ülereguleerimise (maximum overshoot) eest pole esialgu vaja muret tunda. Juhul kui ülereguleerimine on lubatust suurem, püütakse seda vähendada regulaatori PD-komponendiga. Kasutades PID-regulaatori PD-osaregulaatorit, tuleb edasi püüda vähendada ülereguleerimist ning valida võimendustegur Kd1 nii, et ülereguleerimine oleks lubatud piirides. Pärast seda tuleb eespool toodud valemite abil leida PID-regulaatori võimendustegurite K , K ja K väärtused. p d i PID-regulaatori sünteesiks on teatud erijuhtumitel olemas kindel metoodika. Üheks niisuguseks erijuhtumiks on PID-regulaatori Ziegler-Nichols'i häälestus. Meetodi välmisid J. G. Ziegler ja N. B. Nichols aastatel 1942-1943 ning see on mõeldud esimest järku inertsete viivitusega objektide (first order-lag-plus-delay) objektide juhtimiseks. Meetod sobib näiteks ka elektriajamite seadistamiseks kui mehaaniline ajakonstant on elektrilisest ajakonstandist palju suurem. Objekti ülekandefunktsiooni saab sel juhul avaldada kujul:

167

( )1+

=−

pKepW

dt

o τ. (5.67)

Regulaatori häälestamine koosneb sel juhul kahest etapist. esiteks tuleb hüppekaja järgi määrata juhtimisobjekti parameetrid, s. o. võimendustegur (gain) K, ajakonstant (time constant) τ ja hilistumine (delay) td, või määrata süsteemi stabiilsuspiirile vastav võimendustegur K (ultimate gain) ning võnkumiste periood Tpiir piir (ultimate period). Teiseks, valida Ziegler-Nichols'i algoritmi järgi PID-regulaatori parameetrid. Kogu protseduuri saab raaljuhtimise korral automatiseerida. Seepärast on PID-juhtimine väga tõhus kõigil juhtumitel kui süsteemi ülekandefunktsioon on sarnane esimest järku inertsele hilistumisega lülile, s. t. juhtumitel kui objekti hüppekajal pole ülereguleerimist. Võnkuva hüppekajaga objektide puhul tuleb PID-regulaatori sünteesiks kasutada keerukamaid meetodeid kui Ziegler-Nichols'i oma. Regulaatori parameetrid võib leida ka proovimise teel. Eriti sobiv on see juhul kui on olemas piisavalt täpne süsteemi mudel.

Ziegler-Nichols'i häälestus hüppekaja järgi Ziegler-Nichols'i häälestus stabiilsuspiiri võimendusteguri ja pulsikaja perioodi järgi

ω

Toimekiirus R = K /τ

td τ t

t

ω

Tpiir

Kpiir

P-regulaator K = 0,5 KP-regulaator K = 1/Rtp d piir

PI-regulaator K = 0,9/Rt PI-regulaator K = 0,45 Kp d piir K K = 1/T T = t = 1/T T = 1/1,2 Ti i i d/0,3 i i i piir

PID-regulaator K = 1,2/Rt PID-regulaator K = 0,6 Kd

piir

K = 1/T T = 2t K = 1/T T = 0,5 Ti i i d i i i piir K = T T = 0,5t K = T T = 0,125 Td d d d d d d piir

168

5.11. Ajamis kasutatavad andurid Asendi- ja siirde- ja kiirusandurid. Tööstusautomaatikas kasutatakse mitmeid eritüübilisi asendi- ja siirdeandureid sõltuvalt nõutavast täpsusest, tööpiirkonnast, toimekiirusest, mõõtmetest, hinnast ja muudest tehnilistest ning majanduslikest näitajatest. Asendiandurid on ettenähtud nn. absoluutse asendi mõõtmiseks masina paigalseisva detaili või ümbritseva ruumi suhtes. Siirde- ehk nihkeandurid mõõdavad asendi muutust ehk nn. suhtelist asendit mingi lähteasendiga võrreldes. Absoluutasendi mõõtmiseks tuleb siirdeandurit enne töö algust kalibreerida. Siirdeanduriteks on kõik impulssandurid, mille väljundimpulsside sagedus on võrdeline liikumiskiirusega, impulsside arv aga siirdega. Seega toimivad impulssandurid nii siirde- kui ka kiirusanduritena. Suuremate siirete täpseks mõõtmiseks kasutatakse nii mitmepooluselisi mõõteotstarbelisi elektrimasinaid kui ka fototajuritega impulss ja koodandureid. Vedelike ja puistematerjalide asendi (nivoo) mõõtmiseks sobivad aga mahtuvustajuritega andurid. Asendiandurite mitmekesisuse tõttu on siinkohal võimalik lähemalt kirjeldada vaid enamkasutatavate andurite tööpõhimõtet. Hammasmodulaatoriga asendiandur koosneb pöörlevale võllile kinnitatud hammasrattast (hammasmodulaatorist) ning selle liikumist kontrollivast tajurist. Samal põhimõttel saab hammaslatiga mõõta lineaarset siiret. Hammasratta pöörlemisel muutub tajuri õhupilu ning järelikult ka magnetiline takistus. Tajuri magnetahelas tekib pulsseeriv magnetvoog mis tekitab väljundis pulsseeriva pinge. Pulsatsioonisagedus on võrdeline hammasratta pöörlemis-kiirusega ning hammaste arvuga. Väljundpinge pulsatsiooni maksimumide arv vastab tajuri tööpinda läbinud hammaste arvule ehk hammasratta pöördnurgale. Minimaalne diskreetselt mõõdetav siire võrdub ühele hambale vastava pöördenurgaga. Väiksemaid siirdeid saab määrata väljundpinge amplituudi või faasinurga mõõtmisega. Seega on tegemist anduriga, mis võimaldab nii pidev- kui ka diskreettalitlust. Väljundmähises indutseeritud elektromotoorjõu impulsside sagedus fi sõltub hammasratta hammaste arvust z ning pöörlemiskiirusest n [p/min]. f n zi = ⋅ / 60. Impulsside periood on pöördvõrdeline sagedusega τi if n z= = ⋅1 60 . Fototajuriga impulssandureid kasutatakse siirdeanduritena ning koos kalibreerimislülitusega ka asendianduritena robotites, mitmesugustes tehnoloogiaseadmetes ja tööpinkides. Andur koosneb valgusvoo allikast, modulatsioonikettast ning fototajurist Valgusvoo allikaks on harilikult valgusdiood. Modulatsiooniketas kujutab endast optiliselt läbipaistvate piludega ketast, mis pöörlemisel sulgeb perioodiliselt valgusvoo pääsu fototajurile (fotodioodile) ning tekitab viimases perioodiliselt muutuva voolu. Pulsatsiooni sagedus on võrdeline ketta pöörlemiskiirusega, vooluimpulsside arv aga ketta pöördenurgaga. Anduri täpsus sõltub impulsside arvust ühe pöörde kohta. Valgusvoo pulsatsioonisageduse suurendamiseks kasutatakse lisaks modulatsioonikettale mitmesuguse mustriga rasterplaaate, mille pilud on modulatsiooniketta piludega võrreldes kaldu. Sel juhul läbib valgusvoog nii modulatsiooniketta kui ka rasterplaadi ning ühe pilu möödumisel tekib fototajuril mitu voo maksimumi ja miinimumi. Täpsetelt fototajuriga impulssanduritelt saadakse 103...104 ja rohkemgi impulssi ketta ühe pöörde kohta. Omaette probleemiks on impulssandurite korral liikumissuuna määramine (joonis 5.15). Selleks tehakse impulssandurid kahe- või enamakanalilistena, nii et need annavad teineteise suhtes neljandikperioodi võrra nihutatud impulsse. Kahe impulsijada võrdlemisel määrab vastav loogikalülitus (joonis 5.15, b) liikumissuuna. Sageli kasutatakse veel kolmandat

169

kanalit, millelt saadakse iga pöörde kohta üks indeksimpulss. Seda impulssi kasutatakse anduri kalibreerimiseks lähteasendi suhtes. Impulssanduri kasutamisel asendiandurina on selle kalibreerimine hädavajalik. Koodandurid sarnanevad oma ehituselt impulssanduritele, kuid erinevalt viimastest saab neid kasutada nn. absoluutasendi määramiseks. Koodanduril on mitu optilist kanalit ning ta väljastab kahendkoodis signaali (joonis 5.16). Anduri modulatsiooniketas võib olla kodeeritud tavalises 8421 kahendkoodis või Gray koodis. Gray kood on samuti kahendkood, kuid erineb 8421 koodis selle poolest et kaks järjestikku loendatud koodi ei erine rohkem kui ühe koha võrra. Seepärast võib väita, et asendi sujuval muutumisel muutub ka kood "sujuvalt", s. t. ilma tavalisele kahendkoodile omaste "hüpeteta" kus kahe järjestikulise arvu koodis võivad erineda kõik kohad.

Sisend 2

U edasi t

t Sisend 2

U tagasi t

t

Sisend 1 t

Edasi

Tagasi

Fototajur 1Fototajur 2

v

Valgusallikas

a) b)

Joonis 5.15. Liikumissuuna määramine 1/4 perioodi võrra nihutatud fototajuritega

11111

11001

10011 01011

FT VA

10001

10101

11010

01100

11100

Joonis 5.16. Fototajuriga koodandur "harilikus" 8421 kahendkoodis modulatsiooniketta mustriga Gray koodis modulatsiooniketta muster

Gray kood tagab tavalise kahendkoodiga võrreldes anduri ja juhtimissüsteemi suurema töökindluse, sest koodi muutumisest tingitud loogikalülituste ümberlülitumiste arv on sel juhul minimaalne. Anduri koosseisu ka koodimuundur, mis muundab Gray koodi tavaliseks kahendkoodiks. Gray kood muundatakse tavaliseks 8421 kahendkoodiks vastavalt loogikavõrrandile

170

B B A B Ai i i i= ∧ ∨ i∧+ +1 1 , (5.45) kus Bi ja Bi+1 tähistavad väljundkoodi (8421 koodi) i-ndat ja i+1 kohta, Ai aga Gray koodi i-ndat kohta. Vastavalt võrrandile on Bi = 1 kui väljundkoodi Bi+1 koht ei võrdu sisendkoodi Ai kohaga. Sisuliselt tuleb koodi muundamiseks teha loogikatehe "VÄLISTAV VÕI" kõigi koodi kohtadega. Koodi muundamist alustatakse kõige vanemast kohast ning lõpetatakse kõige nooremaga, s. t. k-kohalise koodi muundamiseks tuleb loogikavõrrandit lahendada k korda. Pöörtrafod (resolverid) ja trükkmähistega paljupooluselised elektrimasinad - induktosüünid sarnanevad oma tööpõhimõttelt hammasmodulaatoriga transformatoorsele tajurile, kuid pooluste ühtlase jaotuse ja suure arvu tõttu anduri konstruktsioonilistest ebatäpsustest tingitud vead kompenseerivad üksteist ning anduri töö on täpsem. Induktosüüni kasutatakse diskreettalitluses impulssandurina, pidevtalitluses aga amplituudi või faasimuundurina. Masina staatori- ja rootorimähised on valmistatud trükimeetodil ja kujutavad endast siksakilist vaskriba. Staatoril paikneb tavaliselt ergutusmähis, rootoril kaks mitmesse sektsiooni jaotatud mõõtemähist. Põhimõtteliselt on induktosüün nagu iga teine elektrimasin pööratav, s. t. staatorile võib paigutada rootorimähise ja vastupidi. Kaks mõõtemähist on vajalikud liikumissuuna määramiseks ning need on teineteise suhtes 1/4 perioodi võrra nihutatud. Vastavalt sellele nimetatakse neid ka siinus- ja koosinusmähisteks. Mähiste sobiva kuju ning lülitusega saab väljundi pöördenurgast sõltuva pinge, mis võib olla rootori pöördenurga perioodiline siinus-, koosinus või lineaarfunktsioon: U Um= sinα , U Um= cosα või U k= ⋅sign(sin )α α . Liikumissuuna määramise loogika on sama kui fototajuriga impulssanduri korral. Valmistatakse nii lineaarseid kui ka pöördliikumisega induktosüüne. Kulgliikumise korral nimetatakse masina liikuvat osa liuguriks. Suure ulatusega kulgliikumise mõõtmiseks kasutatakse üksikutest lineaarsetest moodulitest koostatud induktosüüne, mille pikkus võib ulatuda mitme meetrini. Trükitud juhtmete asetuse, kuju, laiuse ja poolusjaotuse õige valikuga saavutatakse staatori ja liuguri mähiste vastatstikuse induktiivsuse ja järelikult ka indutseeritud emj siinuseline muutumine sõltuvalt liuguri asendist. Induktosüüni ergutusmähist toidetakse kõrgsagedusliku (10...100 kHz) vahelduvpingega.

Staator Rootor

a

2τ 2τ

Ec1 Ec2

2τ

Ea

Joonis 5.17. Trükkmähistega resolver (induktosüün) pöördliikumisega (a) ja lineaarse liikumisega (b)

171

Pidevatoimelised kiirusandurid. Pidevatoimelistest anduritest kasutatakse kiiruse mõõtmiseks kõige enam tahhogeneraatoreid. Viimased on väikese võimsusega mikroelektrimasinad, mille väljundist saadav pinge on võrdeline rootori nurkkiirusega. Tahhogeneraatoritena kasutatakse alalisvoolu-, sünkroon- ja asünkroonmasinaid. Tahhogeneraatoreid iseloomustavad: väljundi tunnusjoon Utg = f(ω), selle tõus ning lineaarsus, väljundpinge sümmeetrilisus, minimaalne jääkpinge seisva rootori korral, väljundvõimsus või koormusvool, väljundpinge pulsatsioon, rootori inertsimoment, parameetrite stabiilsus väliste mõjutuste suhtes ning töökindlus. Kiirendus- ja vibratsiooniandurid (accelerometers) on elektromehaanilised muundurid, mis genereerivad elektromotoorjõudu objekti kiirendamisel, raputamisel või vibratsiooni korral. Kiirendusanduri või akseleromeetri tajuriks on kettakujulised piesoelemendid, mille vastas on kalibreeritud raskus (mõõtemass). Mass on surutud jäiga vedru abil vastu piesoelemente ning kiirenduse või vibratsiooni ajal toimib piesoelementidele massi poolt tekitatud inertsijõud. Piesoelement genereerib kiirendusega võrdelise elektromotoorjõu. Andurite tundlikkuseks loetakse väljundi elektromotoorjõu ja kiirenduse suhet, kusjuures suurema massiga anduritel on tavaliselt ka suurem tundlikkus. Kiirendus- ja vibratsiooniandureid kasutatakse mitmetel elualadel alates seismilistest uuringutest kuni tööstus- ja energeetikaettevõteteni, nt pöörlevate masinate või pneumaatiliste tööriistade vibratsiooni mõõtmiseks. Kiirendusandurid on laialt kasutusel ka laboratoorsetes uuringutes mitmesuguste seadmete mehaanilise vastupidavuse määramisel. Kiirendus- ja vibratsiooniandurite sagedusdiapasoon on 1...100 kHz. Täpse mõõtetulemi saamiseks tuleb kiirendusandur kinnitada jäigalt uuritava objektiga. Mehaaniliselt moodustab kiirendusandur kahemassilise elastse sidemega süsteemi. Anduri piesoelemendiga seotud mõõtemass (seismic mass) ms on tavaliselt palju väiksem anduri kere ning sellega seotud mõõdetava objekti massist ma. Vedru jäikust iseloomustab tegur k. Kiirendusanduri resonantssagedus ja omavõnkesagedus

f f mms

s

a0 1= + f k

mss

=1

2π, (5.46)

kus fs on anduri mõõtemassi omavõnkesagedus. Valemitest järeldub, et anduri sagedusliku mõõtediapasooni suurendamiseks on otstarbekas vähendada mõõtemassi suurust ja järelikult ka anduri mõõtmeid. Kahjuks väheneb sel juhul ka väljundsignaal. Vooluanduritena kasutatakse vooluahelasse lülitatud kalibreeritud takisteid (šunte), vahelduvvoolu ja alalisvoolu voolutrafosid ning Halli tajuritega vooluandureid. Kalibreeritud takistite pingelangu mõõtmise korral on põhiprobleemiks jõu- ja mõõteahelate galvaanilise ühenduse olemasolu. Mõõteahelate galvaaniliseks eraldamiseks kasutatakse optilise eraldusega võimendeid. Voolutrafod tagavad samuti ahelate galvaanilise eraldatuse, kuid nende puuduseks on inertsus, mille tõttu pole võimalik mõõta mittesiinuselise voolu hetkväärtust. Trafode peamiseks eeliseks on nende lihtsus. Viimastel aastatel on vooluanduritena üha enam kasutusele võetud Halli tajuril põhinevaid vooluandureid. Andur koosneb õhupiluga suletud magnetahelast, mida läbib vooluga juhe või latt. Vooluga juhti ümbritseb magnetväli, mille tugevus on võrdeline vooluga ning mille magnetvoo suund määratakse kruvireegliga. Magnetväli sulgub läbi magnetahela südamiku ning õhupilu. Õhupilus asub Halli tajur, mille väljundis genereeritakse magnetväljaga võrdeline elektromotoorjõud.

172

Momendiandurid. Masinate pöördemomendiandurite töö põhineb kalibreeritud elastsusega mõõtevõlli väändenurga mõõtmisel. Mõõtevõll ühendatakse momendi ülekandeahelasse, nt. mootori ja töömasina võllide vahele. Momendianduri elastne mõõtevõll (torsioonvõll) koos tema sisendis ja väljundis pöörlevate massidega moodustavad väände- ja paindevõnkumisi põhjustava mehaanilise süsteemi. Tuleb kanda hoolt selle eest, et masinate töötamisel ei tekiks mõõtevõlli omavõnkumisi, mis põhjustavad mõõtetulemi väärastumise ning piirjuhtumil isegi võlli purunemise. Tensotajuritega momendianduris paigutatakse tajurid võlli telje suhtes kaldu 45° nurga alla (joonis 3.17). Võlli väände korral venitatakse tajureid R1 ja R3 ning surutakse kokku tajureid R2 ja R4. Elektriliselt lülitatakse tajurid mõõtesilda. Tensotajuritega momendiandurite korral on põhiprobleemiks signaali ülekandmine pöörlevalt võllilt seisvale mõõteaparatuurile. Harilikult kasutatakse selleks otstarbeks kontaktrõngaid ning harju (slip-rings).

a b Tensotajur

45o

R1

R2

R3

R4

Joonis 5.20. Tensotajurite kinnitamine pöördemomendi mõõtevõllile: a) harilike tensotajurite kasutamine; b) spetsiaalne pöördemomendi tensotajur

Ajamisüsteemis kasutatakse tagasisidesignaalide saamiseks mitmesuguseid andureid

Vedeliku vooluhulga andur

Pöörlemise impulssandur Kiirendusandur Vooluandurid

173