本学期课堂演讲学生的照片

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半开卷的期末考试

时间： 12 月 22 日（周日）晚 7 ： 00 ～ 8 ： 40

地点：数学学院一楼第一教室

半开卷的含义：

不可以带入书和笔记等，但是可以 ——

2

3

“半开卷”的考试改革，学生带入考场的一张 A4 纸的正反面（请写姓名，考后回收）

（ “半开卷”：只允许带入考场一张 A4 纸，可预先手写上任何东西—— 避免死记硬背；提倡学懂学会）

两道公开题（共 30 分）

从素质教育的角度，具体谈谈你自己上“数学文化”课的体会。

结合具体例子来谈谈微积分学习中你印象最深刻的那种数学思想。

（每题的解答不少于 300 字。）

5

【请认真审题，独立完成。不要出现雷同答案。】

数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数

学审美的思想。

人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促进了数学科学的发展；通过数学审美，看到数学“透过现象看本质”、“和谐统一众多事物”中美的成份，感受到数学“以简驭繁”、“天衣无缝”给我们带来的愉悦，并且从“美”的角度发现和创造新的数学。6

当然，由上述数学的“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。

例如由“数学抽象的思想”派生出来的可以有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。

例如由“数学推理的思想”派生出来的可以有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，运筹的思想，算法的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。

例如由“数学建模的思想”派生出来的可以有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。

例如由“数学审美的思想”派生出来的可以有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，“透过现象看本质”的思想，等等。7

举例说，“分类的思想”和“集合的思想”可以是这样由“数学抽象的思想”派生出来的：

人们对客观世界进行观察时，常常从研究需要的某个角度分析联想，排除那些次要的、非本质的因素，保留那些主要的、本质的因素，一种有效的做法就是对事物按照其某种本质进行分类，分类的结果就产生了“集合”。把它们上升到思想的层面上，就形成了“分类的思想”和“集合的思想”。

8

在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”。数学方法也是具有层次的。

处于较高层次的，例如有：逻辑推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分情况讨论的方法，等等。

低一些层次的数学方法，还有很多。例如有：分析法，综合法，穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，坐标法，配方法，列表法，图像法，等等。

9

数学方法不同于数学思想 “ 数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、

一般的、内在的、概括的；

而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。

数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。

数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。10

12

数学文化第四章第二节

“ 类比”的观点

13

一、什么是类比

类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。

它是获得新思路，新发现的一种方法、一种手段、一种途径。

14

合情推理不是证明

但是，类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，因为它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。

合情推理包括分类、归纳、类比、联想、猜测、直觉等，它们常常是得到新结论的方法和途径。合情推理对于探索规律和发现结论不可或缺；但是合情推理的结论可能正确，也可能错误，还需要依靠逻辑推理去证明或者证否。

15

“类比”举例

“脑袋大、脖子粗，不是大款就是伙夫” 把“分式”类比“分数”；把 “有理式的运算”类

比“有理数的运算” 把“多项式因式分解定理”类比“整数分解定理” 一个固定的正四面体内任一点到 4 个面的距离之

和 , 是否为一个定值？

16

类比：正三角形中任一点到三边的距离之和是一定值。

证明：可通过三角形面积去完成证明。如图：三个距离之和是一定值, ,l m n

1 1 1

2 2 21

( )2

2

ABC ACP ABP BCP

ABC

S S S S

AC m BC l AB n

AC l m n

Sl m n

AC

为定值

A B

C

Pm

nl

17

二、分割问题中的类比

1 ．问题：

5 个平面最多把空间分为几个部分？平面互相尽可能多地相交，才能分割最多。如

果 5个平面全都平行，那末空间分成的是 6部分，就较少。但 5个平面如何相交最多以致分割最多，一时也想不清楚，我们想起从“抓堆”和“抓三堆”趣味问题中学到的数学思想，先把问题一般化，再把问题特殊化，逐渐找规律。

18

2 ．问题一般化： n 个平面最多把空间分为几个部分？

记 : 分为个部分 ;再令

把问题特殊化。

( )F n 1, 2, 3,n

19

3 ．问题特殊化：从简单的情况做起，以便“类比”

4个平面的情况 , 如果类比得 16 ，是错误

的（合情推理）；不易想清楚了。但想到要使平面相交最多、最复杂，才能把空间分割最多。平面相交最复杂，有两个含义，一是每个平面都与其它所有平面相交，且任意三个平面都只交于一点；二是每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。

(1) 2, (2) 4, (3) 8, (4) ?F F F F

20

由此我们想到了空间的四面体，这似乎是四个平面

相交最多（从而分割最多）的情况，把四面体的四个面延展

成四个平面，是否就能把空间分为最多的部分呢？

到底现在把空间分成了几个部分呢？

暂难想象。曾经的实验……

由此我们想到去类比

“直线分割平面”的情形。

21

4 ．类比 3 条直线分割平面的情形这也可以看成是把三角形的三条边均延长为直线，看这 3条直线把平面分为几部分。数一数，是 7部分。这对我们有什么启示？

22

②

①

③ ④

⑤

⑥

⑦

23

我们观察并分析一下这 7个部分的特点：

一个是有限的部分，在三角形内部，即① ；其余六个是无限的部分，其中②，③，④与三角形有公共顶点，⑤，⑥，⑦与三角形有公共边。

把它们加起来，于是 1+3+3=7 。

所以 3条直线分割平面，最多分为 7个部分。这对我们有什么启示？能否由此运用“类比”的观

点，思考“四个平面分空间”的问题？

24

②

①

③ ④

⑤

⑥

⑦

25

5 ．

类比考虑四面体的四个面延展成 4个平面，把空间分为几个部分：有限部分（四面体内部）数为 1 ；无限部分与原四面体或有一个公共顶点（有 4个部分），或有一条公共棱（有 6个部分），或有一个公共面（有 4个部分），于是所分空间总的部分数为 1+4+6+4 = 15 。

但是头脑要清醒：用的是类比；类比是合情推理，结论可能正确，也可能错误。

以下仍要考虑

这就是一开始提出的问题： 5个平面最多把空间分为几个部分？

(4) 1 4 6 4 15, (5) ?F F

(5) ?F

26

这一问题在平面上的类似问题是什么？是 5条还是 4

条直线分割平面？又如何类比？想不清楚了。对我们来说，不如在“一般情形”下考虑问题：个平面分割空间和条直线分割平面。

条直线“处于一般位置”的要求也可以说是：任何两条直线都相交；任何三条直线都不共点。

个平面“处于一般位置”的要求是：任两平面都相交，且任意三个平面都只交于一点；每个平面都不过它以外任意三个平面的交点。

n

n

n

n

27

进而，我们再类比直线上的问题：个一般位置的点分

割直线的问题。这一问题的结论比较清楚：

个点最多把直线分为个部分。

这对我们会有启发。

如果我们把极端情况——有零个分割元素的情况——也考虑在内，那么被“分割”成的部分数是 1 。

下图综合列出点分直线、直线分平面、平面分空间的已取得的结果。

n

n 1n

28

6 ．类比一般化（解释记号，然后看图表）

( ), ( ), ( )L n f n F n

分割元素个数

被分成的部分数点分直线直线分平面平面分空间

0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8

4 5 15

5 6

1n n

( 1)L n n ( ) 1L n n

( 1)f n ( )f n

( 1)F n

( )F n

29

于是，我们得到了一系列待解决的问

题。弧立的问题有时难于理解，而解决系

列问题有时比解决弧立问题好入手。

现在，原问题 “ ” 已处在系列问题之

中，比之原来的情形，求解已有进展。

(5) ?F

30

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8

4 5 15

5 6

1n n

( 1)L n n ( ) 1L n n

( 1)f n ( )f n

( 1)F n

( )F n

31

7 ．（用类比的观点）猜想观察上表中已得到的结果，看看表中的数字间有什么联系？其中有什么规律性？

从最右一列，先以为有“ 2 的方幂”的规律，但 8 后边的

表明这个猜想不对。

反复求索的结果，我们可能忽然看到表中有

3 4 ； 7 8

7 15 ，

以及联想到 3 + 4 = 7 ， 7 + 8 = 15 。

这是一个独特的联系：表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。

415 2 16,

32

表中已出现的每个数都可由它“头上”的数与“左肩”上的数相加而得到。

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4 3 4 7 8

4 5 15

5 6

1n n

( 1)L n n ( ) 1L n n

( 1)f n ( )f n

( 1)F n

( )F n

33

这是我们解决原问题的钥匙吗？我们

猜想它确是规律。那我们把该表按此规律，

顺沿到，原问题的解就是？

5n (5) 26F

34

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

35

类比不是证明

但这种类比不是证明，只是合理的猜测，

是合情推理；它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系；还需要用逻辑推理分析这一猜测，去认定这一猜测，或者否定这一猜测。这才是用类比、归纳的方法去研究问题的决定性步骤。

36

8 ．分析、推理我们的分析从 “ 时直线分平面”入手。

2条直线最多把平面划分为 4个部分。

3条直线分平面最多把平面分为 7个部分，是我们数出来的，应该是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。

在 2条直线分平面为 4个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），要想把平面分得部分数最多，这条直线就要与原来的每条直线都相交，但又不过原来两条直线的交点。

3n

40

3 + 4 = 7

41

2条直线分平面为 4个部分； 3条直线就分平面为 7个部分了，

即增加了 3部分；从 2条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出

3部分？分析一下：新添的直线与原来 2条直线每条都相交，而且交

在与原交点不同的点，这就交出了 2个新交点，这 2 点把新添的直线

分为 3段，每一段把它穿过的（由前 2条直线分成的）那个区域一分

为二，因此“平面分割”增加了 3个部分，这就是“ 3” 的来历，而

且这个分析表明，这个“ 3”也正是 2 点把直线分为 3部分的“ 3” ，

也就是“ 7”左肩上的“ 3” 。 7=3+4原来是这样产生的。这种分析已

经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的信

心。

下面对照表格，再说一遍。

42

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

43

我们再分析 “ 时直线分平面”的情况，我们已经通过“顺沿上表”猜想： 4条直线最多把平面划分为11个部分。它是正确的吗？我们在 3条直线分平面为 7

个部分的基础上，再添加一条直线（用红色），这条直线与原来的每条直线都相交，但又不过任意两条直线的交点。如下图。我们数一下，现在确实把平面分成了 11个部分。所以这猜测是对的，但它为什么是对的呢？我们再作分析，增加一些理性认识，也许还能从中找到理解一般情形的线索。

4n

474 + 7 = 11

48

3条直线分平面为 7个部分； 4条直线就分平面为 11个部分了，

即增加了 4部分；从 3条直线添一条直线，为什么分割平面正好多出

4部分？分析一下：新添的直线与原来 3条直线每条都相交，而且交

在与原交点不同的点，这就交出了 3个新交点，这 3 点把新添的直线

分为 4段，每一段把它穿过的（由前 3条直线分成的）那个区域一分

为二，因此“平面分割”增加了 4个部分，这就是“ 4” 的来历，而

且这个分析表明，这个“ 4”也正是 3 点把直线分为 4部分的“ 4” ，

也就是“ 11”左肩上的“ 4” 。 11=4+7原来是这样产生的。这种分析

已经是逻辑推理了，令人信服，极大地增强了我们对所发现的规律的

信心。


49

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

50

9 ．再类比得一般情形的公式

及

我们再类比分析时平面分空间的情

况。这时我们不容易在平面的黑板或者 PPT 上作立体图

了，只能借助于刚才四面体延展的那个图来想

像。但是我们可以从思维上、语言上类比刚才

的情形。

( ) ( 1) ( 1)f n L n f n ( ) ( 1) ( 1)F n f n F n

4n

51

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

52

我们在 3个平面分空间为 8个部分的基础上，再

添加一个平面，这个平面与原来的 3个平面都相交，并且又不过原来 3平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了 3条新直线，这 3条直线把新添加的平面分为7个部分（就是上面“类比一般化”的大表格中的“ 7” ），每一部分把它穿过的（由前 3个平面分成的）空间区域一分为二，因此“空间分割”增加了 7个部分，而原有 8个部分，这就是 15=7+8 的来历。

54

我们在 3个平面分空间为 8个部分的基础上，再

添加一个平面，这个平面与原来的 3个平面都相交，并且又不过原来 3平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了 3条新直线，这 3条直线把新添加的平面分为7个部分（就是上面“类比一般化”的大表格中的“ 7” ），每一部分把它穿过的（由前 3个平面分成的）空间区域一分为二，因此“空间分割”增加了 7个部分，而原有 8个部分，这就是 15=7+8 的来历。


55

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

问题： 5个平面分空间，最多把空间分为多少个部分？

56

谁能对照表格，说一遍？

57

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

584 + 7 = 11

59

这里的到的过渡，并没有任何特殊

的地方，我们可以完全类似地分析由向过渡时

发生的情况，得到一般的表达式。

与段落 “ 8” 类似地可以得到公式：

与段落 “ 9” 类似地可以得到公式：

这两个公式都是递推公式。这种递推公式与斐波

那契数列的递推公式有区别，但思想精神是相通的。

3n 4 5n 、1n

( ) ( 1) ( 1)f n L n f n

( ) ( 1) ( 1)F n f n F n

n

60

我们只再叙述一遍较为复杂的公式

得到的过程。它实际上只要在上面的叙述中，

把“ 3个平面”换为“ 个平面”，把“ 8个部分”换为“ 个部分”，把“ 3条新直线”换为“ 条新直线”，把“ 7个部分”换为“ 个

部分”，把“ 15” 换为“ ”就完成了。

简单说，是在“往前数三屏”的叙述中，做下边的

代换：，

，

，

。

( ) ( 1) ( 1)F n f n F n

1n ( 1)F n

1n ( 1)f n

( )F n

3 1n 8 ( 1)F n 7 ( 1)f n

15 ( )F n

61

我们对照表格来叙述一遍较为复杂的公式

得到的过程。( ) ( 1) ( 1)F n f n F n

62

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

63

个平面把空间最多分为个部分，求，不厌其繁地详细说一遍，就是：

我们在个平面分空间为个部分的基础上，再添加一个平面，这个平面与原来的个平面都相交，并且又不过原来任 3个平面的交点，从而不过原来任两平面的交线，这就交出了条新直线，这条直线把新添的平面分为个部分，每一部分把它穿过的（由前个平面分成的）空间区域一分为二，因此，“空间分割”增加了个部分，而原有个部分，所以现在，空间共被分割成的“部分数”是。

这就是推出这一公式的逻辑推理过程。

另一公式的逻辑推理过程，请同学自己对照表格完成。

n ( )F n ( )F n

1n ( 1)F n

1n 1n

1n ( 1)f n 1n ( 1)f n ( 1)F n

( ) ( 1) ( 1)F n f n F n

( ) ( 1) ( 1)f n L n f n

64

分割元素个数


0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 4 4

3 4 7 8

4 5 （ 11 ） 15

5 6 （ 16 ）（ 26 ）

1n n

( 1)L n n

( ) 1L n n

( 1)f n

( )f n

( 1)F n

( )F n

65

10 ．推出显公式及上边得到的还只是递推公式、关系公式，我

们希望进一步得到像那样的、关于及

的显公式，即直接用的解析式来

表达及。

下边的技巧是常用的。

利用及递推公式

得到下面一系列等式，然后等号两边分别相加

( ) ( 1) ( 1)f n L n f n

( 1)( ) 1

2

n nf n

31( ) ( 5 6)

6F n n n

( ) 1L n n ( )f n

n

( )f n ( )F n

( )F n

(0) 1f

66

1 ）直线分平面的情形 2 ）平面分空间的情形

(0) 1f (0) 1F

(1) (0) (0)f L f (1) (0) (0)F f F

(2) (1) (1)f L f (2) (1) (1)F f F

(3) (2) (2)f L f (3) (2) (2)F f F

( 1) ( 2) ( 2)f n L n f n ( 1) ( 1) ( 2)F n f n F n

) ( ) ( 1) ( 1)f n L n f n ) ( ) ( 1) ( 1)F n f n F n

67

1

0

( ) 1 ( )n

i

f n L i

1

0

1 ( 1)n

i

i

1

1n

i

i

( 1)

12

n n

1

0

( ) 1 ( )n

i

F n f i

1

0

( 1)1 1

2

n

i

i i

31

( 5 6)6n n

68

11 ．另法：用数学归纳法证明显公式

另一种方法是：用不完全归纳法总结出（或者说

“猜出”）显公式，再用数学归纳法去证明该显公式。

1 ）直线分平面的情形（略）

2 ）平面分空间的情形（略）

【思】：

“类比”很有用，为了巩固它，请回忆：自己什么地方曾经用过“类比”？今后，可以更加有意识地用“类比”。

69

71

本节结束

谢谢！

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