算术方法与方程(组)法的比较
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算术方法与方程(组)法的比较. —— 小学、初中衔接学法指导研究之一. 西昌一中俊波外国语学校范仕军. 问题的提出. 解应用题,小学主要用算术方法 ,中学则主要以方程和方程组为工具。教学中经常遇到有同学习惯列算式而不习惯列方程,或者习惯了方程就不会用算术方法解题的现象,甚至有人有意无意地把算术方法和方程对立起来。它们真的是对立的吗? 站在系统的高度,研究算术方法与方程方法的特点,理清二者的关系,可以加深对它们的理解,更好的发挥其作用,从而提高解应用题的能力。. 算术方法与方程(组)法的比较. 一元一次方程与综合算式的比较 二元一次方程组与算术方法的消元比较 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
算术方法与方程(组)法的比较
—— 小学、初中衔接学法指导研究之一
西昌一中俊波外国语学校 范仕军
问题的提出• 解应用题,小学主要用算术方法 ,中学则
主要以方程和方程组为工具。教学中经常遇到有同学习惯列算式而不习惯列方程,或者习惯了方程就不会用算术方法解题的现象,甚至有人有意无意地把算术方法和方程对立起来。它们真的是对立的吗?
• 站在系统的高度,研究算术方法与方程方法的特点,理清二者的关系,可以加深对它们的理解,更好的发挥其作用,从而提高解应用题的能力。
算术方法与方程(组)法的比较
• 一元一次方程与综合算式的比较• 二元一次方程组与算术方法的消元比较
– 代入法消元比较– 加减法消元比较
一、综合算式与一元一次方程
• 列方程:设通信员离开队伍后经过 x 小时追上队伍,则 ,解得 7( 2) (7 5)[ 7 2 (7 5)]x x
例 1 、队伍出发 2 小时后,发现一份文件遗忘在营地,通信员返回拿到后再追队伍,如果队伍每小时行进 7 千米,通信员每小时比队伍多行 5 千米,那么,通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍?
5.6x
• 综合算式: 7 [7 2 (7 2) 2] 5 7 2 (7 5) 5.6
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一、综合算式与一元一次方程7( 2) (7 5)[ 7 2 (7 5)]x x 方程:
7 [7 2 (7 2) 2] 5 7 2 (7 5)x
1 、综合算式把思考量集中在等号的一边,方程一般把思考量分担在等号的左右两边。
算式:
2 、方程的本质是对未知数的“约束条件”,
综合算式可看作特殊的方程。
这是综合算式相对难度较大的原因,也是小学老师规定,“列方程时未知数不能单独放在等号一边”的原因。
例 1、队伍出发 2小时后,发现一份文件遗忘在营地,通信员返回拿到后再追队伍,如果队伍每小时行进7千米,通信员每小时比队伍多行 5千米,那么,通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍?¶ÓÎé2СʱÐгÌ
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解题的关键在于深入思考,弄清情景,而不在于用方程还是算术方法
把它看作一个“拉直”后的追及问题
根据“距离差 ÷速度差=追上时间”可得算式:根据“距离差=速度差 ×追上时间”可得方程:
7 2 2 5 5.6 7 2 2 5x
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二、二元一次方程组与算术方法的消元• 1、代入(换)法消元• 例 1、大粮仓比小粮仓多装 216吨米,大粮仓装米吨数是小粮仓的 4倍,二者各装米多少吨?
• 方程组法:设大小粮仓分别装米 x 吨和 y 吨,则 ,把第二个方程代入第一个方程消去 x ,即得 ,可解。
• 本质上,二者都通过“等量代换”减少了未知量个数。“ 消元”是解多变量问题的必由之路。
216 (4 1) 72
yx
yx
4
216
2163 y
• 算术方法:以小粮仓为标准,“大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍”说明大粮仓比小粮仓多装3倍,3倍为216吨,故小粮仓装 吨,可解。
例 2、甲、乙、丙三台挖土机共完成 1995方挖土任务,已知乙比甲所挖的 2倍还多 2方,丙所挖比乙的 3倍少 2方。问甲、乙、丙各挖土多少方?
• 算术解法:以甲为标准,把乙和丙所挖的土方都换为甲的:乙比甲所挖的 2 倍还多 2 方,则丙所挖为甲的 6 倍多 4 方;如果从总量中把多的2方和4方减去,则乙为甲的 2 倍,丙为甲的 6 倍,相当于甲的( 1+2+6 )倍为 方,故甲挖 ( 1+2+6 ) =221 方,可解。
• 方程解法:设甲、乙、丙所挖土方量分别为 x 、 y 、 z ,
则 ,
把第二、三两个方程代入第一个方程消去 y 和 z ,即得
即 同综合算式一样。
23
22
1995
yz
xy
zyx
19956622 xxx
42199562 xxx )421995()421995(
• 算术方法难在消元时需要一点“化零为整” 的技巧——从总量中减去零头,这在方程解法中不过就是最基本、最简单的“移项”而已;
• “ 列方程组”和“解方程组”是完全可以分开的,消元时不涉及 x 、 y 、z 的具体含义;算术方法“列综合算式”则往往必须包含“解”的过程。
2、加减法消元
• 假设兔都身子直立,举起两只前脚,这时应有脚 只,比实际少了 只,原因在于每只兔子都少算了2只前脚,故实际有兔子 只,有鸡 只。
• 设有鸡 x只,有兔 y只,则 第一个方程两边同乘以 2 ,得再对应去减第二个方程的两边,得 ,代入第一个方程得 。
例 3、鸡兔同笼,头数 72,数脚 224,问鸡兔各几只?
22442
72
yx
yx
802 y 40y
32x
144272 80272224
40280 324072
• “假设比较法”正是“加减消元法”的算术解释,或者说方程的加减运算很抽象,但算术解法可以赋予它具体意义。
2 2 144x y
2、加减法消元例 3、鸡兔同笼,头数 72,数脚 224,问鸡兔各几只?
72
2 4 224
x y
x y
①
②
40y
• 算术方法与方程解法之间一定具有对应关系吗?
设有鸡 x只,兔 y只,则
消元法一:②-① ×2, 得
消元法二:① ×4-② ,得
32x
消元法三:② ÷2-① ,得
40y
算术法一:假设兔子高举前脚,后腿直立……
算术法二:假设鸡的双翅算作两只脚……
算术法三:假设鸡都抬起一脚,“金鸡独立”,兔都举起前脚,后腿直立……
例 4、鸡兔同笼,鸡比兔多15只,兔脚比鸡脚少 22只,
问鸡兔各几只?
方程组法:设有鸡 x只,有兔 y只,则
15
2 22 4
x y
x y
①
②
4y 消元法一:②-① ×2, 得
消元法二:① ×4-② ,得
19x
消元法三:② ÷2-① ,得
4y
算术法一:假设不算 15只鸡,使鸡兔刚好配对,则兔脚反比鸡脚多 8只……
算术法二:假设增加 15只兔,使鸡兔刚好配对,则兔脚比鸡脚多 38只……
算术法三:……
消元法四:……
• 方程办法是从具体问题中抽象出数量关系,解的时候就不再依赖具体问题,因而具有一般性和通用性,是较高级的思维方式,学会了就发现它比较简单;算术方法则依赖具体问题和特定情景,往往“就事论事”,找不到一把“万能钥匙”,属于比较低级的思维方式,因而显得难。
• 能用算术方法解的题目,一定也可用方程办法解决;• 反之则不然,因为虽然二者思维的本质是一致的 ,但方程组一旦列出来,其解法就脱离了具体问题,变为纯粹的代数运算;算术方法则因具体题目不同而需要不同的技巧。
例 5、某一牧场的草, 27头牛 6星期刚好吃完,或 23头牛 9星期刚好吃完,如果是 21头牛,几周可以吃完(假设每头牛每周所吃草量和牧场每天生长出的草都是固定的)?
• 算术方法:把一头牛一周所吃的草看作 1个单位,那么
27头牛 6星期吃草 162 单位,23头牛 9星期吃草 207 单位,二者比较,后者多 3周时间,多吃草 单位,说明该牧场每周新长出的草为 个单位,故牧场原有草 单位。
• 方程组法:设牧场原有草 x单位,每周新长草 y单位,用第二方程减第一方程即得 ,可解。
第二步设可供 21头牛吃 z周,则 ,即 , 。
45162207
15345 72156162
若是 21头牛,因为牧场每周新长出的草可供 15头牛吃,原有的 72单位供其他6头牛吃,刚好可吃个 12个月。
9239
6276
yx
yx
3 45y
zz 211572 726 z 12z
深入情境,理解题目中的数量关系,才是解决问题的关键;方法的选择尚在其次。
总结:算术方法与方程的比较一、算术方法相对较难,原因有二:1 、思考量集中,列式的过程往往包括解、消元的步骤;2 、对具体问题、特殊技巧的依赖性大,通用性差。 方程法相对简单,原因在于:1 、列式时思考量分担在等号两边,各部分的难度相对较小;2 、“列方程”与“解方程”可独立进行,解方程(组)的程序已经一般化。
三、算术方法与方程解法往往具有一定的对应关系。
二、算术方法巧妙多变,生动具体,符合小学生思维特点; 方程思想简洁统一,抽象性强,适合中学生。
四、算术方法可以看作方程的特殊情况,但其思维相对“低级”,一般只能解决“低次少元”的问题,对于二次以上的问题往往无能为力;方程是数学中的重要思想,是“代数”部分的重要内容,它与不等式、函数有紧密联系,方程理论是数学中的成熟理论,从低次到高次,从一元到多元,从普通方程到不定方程、微积分方程,都已经有完善的研究成果,它的用途非常广泛。