56972128 correlacion de senales

Señales y Sistemas I

Correlación y espectro de señales

deterministas

Asunción Moreno

Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)

<[email protected]>

con la colaboración de Antonio Bonafonte Junio 2009

v. 1.6

ÍNDICE

TEMA 4 Correlación y espectro de señales deterministas _________________ 3 4.1 Energía y Potencia__________________________________________________3

4.1.1 Tipos de señales ______________________________________________________ 4 4.2 Señales de Energía finita. ____________________________________________9

4.2.1 Teorema de Parseval. __________________________________________________ 9 4.2.2 Densidad Espectral de Energía ___________________________________________ 9

4.3 Señales de Potencia media finita._____________________________________10 4.3.1 Señales periódicas. Teorema de Parseval __________________________________ 11 4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potencia __________________________ 11 4.3.3 Señales no periódicas _________________________________________________ 14

4.4 Correlación y densidad espectral de Energía ___________________________16 4.4.1 Distancia entre dos señales de energía finita________________________________ 16 4.4.2 Función de correlación mutua o cruzada __________________________________ 17 4.4.3 Función de autocorrelación. ____________________________________________ 19 4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a través de sistemas lineales ________ 22

4.5 Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F. ________23 4.5.1 Correlación de señales de potencia media finita_____________________________ 23 4.5.2 Densidad espectral de potencia__________________________________________ 24 4.5.3 Relaciones de Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e invariantes. _________________________________________________________________ 25 4.5.4 Señales periódicas____________________________________________________ 27

4.6 Problemas _______________________________________________________34

Tema 4. Correlación y espectro de señales deterministas v1.6 3

TEMA 4 Correlación y espectro de señales deterministas

Una herramienta útil en análisis de señales y sistemas es la correlación. La correlación obtiene información sobre las señales en base a promediados temporales y su transformada de Fourier permite obtener funciones de Densidad Espectral de Energía o Potencia, dependiendo de las características de las señales y sistemas bajo estudio. Esta propiedad es particularmente interesante puesto que la información puede obtenerse incluso si la señal carece de Transformada de Fourier. Las herramientas basadas en correlación de señales y su transformada de Fourier, son básicas en el análisis de procesos. En este capítulo se estudian aplicadas a señales deterministas. El objetivo es facilitar su comprensión y para ello se desarrolla el significado de la correlación como medida de parecido entre señales, se establecen las propiedades de la correlación cuando las señales bajo estudio están relacionadas por sistemas lineales e invariantes. En la colección de problemas se muestra una serie de aplicaciones donde la utilización de la autocorrelación es básica: medida de tiempo de retardo con aplicación a sistemas de radar, medida de sistemas lineales e invariantes a partir de señales contaminadas con ruido o interferencias, y utilización del filtro adaptado en sistemas de comunicaciones digitales.

4.1 Energía y Potencia

En ocasiones, las herramientas a utilizar en la representación de señales vienen condicionadas por alguna característica de las mismas. En particular, la Energía o Potencia de una señal permite clasificar el conjunto de señales en señales de Energía finita y señales de Potencia media finita y las técnicas desarrolladas en este capítulo se aplicarán en función de esta característica.

La energía o potencia de una señal cualquiera, se define de forma similar a la definición en términos eléctricos. Supongamos una resistencia R con una tensión aplicada v(t), por la que pasa una corriente i(t)=v(t)/R. La potencia instantánea disipada es

RtvtP

2|)(|)( = ( 4.1)

o equivalentemente

RtitP 2|)(|)( = ( 4.2)

La energía total y la potencia media se definen como las integrales

dttPE ∫∞

∞−

= )( ( 4.3)

dttPT

limPT

TT ∫−∞→=

2/

2/)(1 ( 4.4)

respectivamente. De una forma equivalente haciendo R=1 se define para cualquier señal x(t):

Energía de una señal

dttxEx ∫∞

∞−

= 2|)(| ( 4.5)

Potencia media

dttxT

limT

TenEnergíalimPT

TTT

x ∫−

∞→∞→==

2/

2/

2|)(|1 ( 4.6)

4.1.1 Tipos de señales

Atendiendo a la energía o potencia de una señal, éstas se clasifican en:

• Señales de energía finita (E.F.): 0 < Ex < ∞

• Señales de potencia media finita (P.M.F.): 0< Px < ∞

• Señales que no satisfacen ninguna de las propiedades anteriores y no son ni de E.F. ni de P.M.F.

Una señal de E.F. tiene potencia media nula y una señal de P.M.F. tiene energía infinita. Las señales de E.F. cumplen los criterios de convergencia de la transformada de Fourier. Dentro de este grupo están todas las señales de duración finita de interés en procesado de señal (variación acotada), y algunas de duración infinita. Dentro del grupo de señales de P.M.F. se encuentran las señales periódicas (variación acotada) señales de duración infinita cuya transformada de Fourier se ha obtenido por medio de funciones de distribución (escalón, rampa, …) y las correspondientes a procesos aleatorios.

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.1

La exponencial causal es una señal de duración infinita y E.F.

t

x(t)

0


α

α

α

α

21

0)()(

0

2 ==

>=

∫∞

−

−

dteE

tuetx

tx

t

( 4.7)

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

EJEMPLO 4.2

El escalón es una señal de P.M.F.

t

x(t)

0

T/2−T/2

1

21

211)(1

)()(2/

0

2/

2/

2

=

====

=

∞→∞→−

∞→ ∫∫T

Tlimdt

Tlimdttu

TlimP

tutx

T

T

T

T

TT

x ( 4.8)

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

EJEMPLO 4.3

Es posible construir señales que no son ni de E.F. ni de P.M.F. Un ejemplo es la señal:

10)1()( 2/ <<−= − αα tuttx ( 4.9)

t

x(t)

0

1

1

Por ser α <1, la integral correspondiente al cálculo de la energía

∫∞ − ∞==

1αα dtEx ( 4.10)

diverge. La potencia media

α

αα

−−

==−

∞→

−

∞→ ∫ 11)2/(11 12/

1

TT

limdttT

limPT

T

Tx ( 4.11)

El numerador crece con un orden inferior al primero y por tanto al tomar el límite

Px = 0 ( 4.12)

___________________________________________________________________________________ Un grupo muy importante de señales de P.M.F. lo forman las señales periódicas. Una señal periódica de periodo T0 tiene la propiedad de que la integral en cualquier intervalo de duración T0 es constante

∫∫∫ ><

+==

0

0

0

00

0

)()()(T

TTt

tdttxdttxdttx ( 4.13)

donde t0 es una constante arbitraria. Esta propiedad puede aplicarse para simplificar el cálculo de la Potencia media. Eligiendo el intervalo de integración T de la ecuación ( 4.6) múltiplo del periodo, T=MT0 la integral en el intervalo T, es M veces la integral en T0., por lo que

∫∫ ><∞→−∞→=

0

2

0

2/

2/

2 |)(||)(|1TM

T

TTdttx

MTMlimdttx

Tlim

y el cáculo de la potencia media coincide con la potencia en un periodo

dttxT

PT

x ∫=0

2

0|)(|1 ( 4.14)

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.4

Sea la señal periódica x(t) sinusoidal:

)2cos()( 0 θπ += tfAtx ( 4.15)

Sustituyendo x(t) en ( 4.14) , se obtiene la potencia media


2

)24cos(22

)2(cos

2

2/

2/0

0

22/

2/0

2

2/

2/0

2

0

2

0

0

0

0

0

0

A

dttfT

AdtT

A

dttfTAP

T

T

T

T

T

Tx

=

=++=

=+=

∫∫

∫

−−

−

θπ

θπ

( 4.16)

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

EJEMPLO 4.5

Sea la señal periódica x(t) compuesta por un tren de pulsos rectangulares

t

x(t)

0

T0

−T0

τ/2−τ/2

1

∑∞

−∞=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Π=

n

nTttx

τ0)( T0 > τ ( 4.17)

Dado que T0 > τ, la señal Π(t/τ) coincide con un periodo de la señal x(t) y por lo tanto su potencia media es:

0

2/

2/0

0

0

1T

dtT

PT

Tx

τττ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π= ∫− ( 4.18)

___________________________________________________________________________________ Las señales formadas por funciones de distribución no están incluidas en ninguno de los tipos definidos en este apartado, ya que su cuadrado no está definido, Consideraremos no obstante que una señal de la forma

∑∞

−∞=

−=n

nn tttx )()( δα ( 4.19)

admite la clasificación anterior dependiendo del valor que tomen los coeficientes αn. Será tratada como una señal de E.F. si

∑∞

−∞=

∞<n

n2||α ( 4.20)

y será tratada como una señal de P.M.F. si se verifica

2/|:|

||10 2

Ttn

Tlim

n

nn

T

<

∞<< ∑∞→α

( 4.21)

Donde la suma se extiende a aquellos n tales que se corresponden a tn en el intervalo (-T/2, T/2).

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.6

La señal x(t) formada por impulsos

0,)()( || >−= ∑∞

−∞=

− αδn

Tna nTtetx ( 4.22)

Será tratada como una señal de E.F. ya que verifica la propiedad ( 4.20). En efecto, por ser una secuencia par en n, la suma se puede descomponer

∑∑∞

=

−∞

−∞=

− +=1

2||2 21n

nT

n

Tn ee αα ( 4.23)

y la suma de la progresión geométrica está acotada

T

TnT

eee

α

αα

2

2

1

2

1 −

−∞−

−=∑ ( 4.24)

Sustituyendo ( 4.24) en ( 4.23) se obtiene el resultado

T

T

n

Tn

eee α

αα

2

2||2

11

−

−∞

−∞=

−

−+

=∑ ( 4.25)

___________________________________________________________________________________


4.2 Señales de Energía finita.

4.2.1 Teorema de Parseval.

Sean las señales de E.F. x(t) e y(t) con transformada de Fourier X(f) e Y(f) respectivamente. El teorema de Parseval para señales de E.F. establece:

∫∫∞

∞−

∞

∞−== dffXdttxEx

22 |)(||)(| ( 4.26)

Demostración:

dffX

dfdtetxfX

dfdtetxfX

dtdfefXtx

dttxtxE

ftj

ftj

ftj

x

∫

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

==

==

==

2

2

2

2

|)(|

*)()(

)(*)(

)()(*

)(*)(

π

π

π

( 4.27)

Por tanto la energía de una señal puede calcularse conociendo el módulo de su transformada de Fourier.

4.2.2 Densidad Espectral de Energía

Se define la Densidad Espectral de Energía según:

2|)(|)( fXfGxx = ( 4.28)

E indica cómo está distribuida la energía a lo largo del eje frecuencial. La densidad espectral de energía tiene las siguientes propiedades:

• Es una señal real por provenir directamente del módulo de una señal.

• Es no negativa como se deduce de su propia definición.

• Si x(t) es real, Gxx(f) es par, ya que X(f) es hermítica

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.7

En este ejemplo se comprobará el carácter de densidad espectral de energía de la función Gxx(f). Supongamos una señal de E.F. x(t) con Densidad Espectral de Energía Gxx(f) que se aplica a un filtro paso banda muy estrecho centrado a la frecuencia fc .

⎪⎩

⎪⎨⎧ Δ

<−=resto

ffffH c

02

1)( ( 4.29)

La señal de salida tiene una densidad espectral de energía

2

22

|)(|)(

|)()(||)(|)(

fHfG

fHfXfYfG

xx

yy

=

===

y la energía total de la señal de salida

∫∫Δ+−

Δ−−

Δ+

Δ−+=

2/

2/

2/

2/)()(

ff

ffxx

ff

ffxxy

c

c

c

c

dffGdffGE

( 4.30)

f

Gxx

(f)

0

fc−fc

Gxx

(fc)

Δ

si Δf es muy pequeño, Gxx(f)≈ Gxx(fc) en el intervalo de integración y si y(t) es real, Gxx(fc)= Gxx(-fc) la

energía se puede aproximar por

Ey≈ 2Gxx(fc) Δf

De manera que las dimensiones de la densidad espectral de energía son efectivamente joule/Hz

___________________________________________________________________________________

4.3 Señales de Potencia media finita.

El tratamiento de las señales de potencia media finita va a hacerse de forma diferenciada según se trate de señales periódicas o no. La motivación está justificada ya que las propiedades de las señales periódicas permiten establecer una forma específica para el teorema de Parseval y la densidad espectral de potencia, por medio del D.S.F. de la señal. Por otra parte las señales de Potencia media


finita no tienen, en contraposición a las señales de E.F., una densidad espectral de potencia relacionada explícitamente con la transformada de Fourier de la señal original , incluso si la señal admite transformada.

4.3.1 Señales periódicas. Teorema de Parseval

La expresión ( 4.26) no aplica para señales periódicas puesto que la primera integral no converge y el cuadrado de δ(t) no está definido. Sea una señal periódica de periodo T0 de la forma

∑∞

−∞=

=m

Tmtjemctx 0/2)()( π ( 4.31)

donde c(m) son los coeficientes de su desarrollo en serie. El teorema de Parseval establece

∑∫∞

−∞=><

==m

Tx mcdttx

TP 22

0|)(||)(|1

0

( 4.32)

Demostración:

∑

∑

∑ ∫

∫ ∑

∫

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

=

==

==

==

==

m

m

m

Tmtj

T

Tm

Tmtj

Tx

mc

mcmc

dtetxT

mc

dtemctxT

dttxT

P

2

/2

0

/2

0

2

0

|)(|

)(*)(

)(*1)(

)()(*1

|)(|1

0

0

0

0

0

π

π

( 4.33)

La potencia de una señal periódica es igual a la suma de las amplitudes al cuadrado de las componentes armónicas de la señal. Sólo se requiere información del módulo.

4.3.2 Señales periódicas. Densidad espectral de potencia

La densidad espectral de potencia de una señal periódica x(t) definida en ( 4.31), está formada por impulsos

∑∞

−∞=

−=m

xx mffmcfS )(|)(|)( 02 δ ( 4.34)

Donde f0=1/T0. Al integrar esta función sobre el eje frecuencial, se obtiene la potencia de la señal como se puede comprobar mediante el teorema de Parseval enunciado en ( 4.32). Nótese que la densidad espectral de potencia no es |X(f)|2.

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.8

Hallar la potencia de la señal periódica

)2cos()2cos()( 10 ϕπθπ +++= tfBtfAtx ( 4.35)

Donde, para asegurar que x(t) es periódica, el cociente

f0/f1 es entero ( 4.36)

t

x(t)

0

3−3

Aplicando la fórmula de Euler, se obtiene directamente la expresión del D.S.F.

tfjjtfjjtfjjtfjj eeBeeBeeAeeAtx 1100 2222

2222)( πϕπϕπθπθ −−−− +++= ( 4.37)

y la densidad espectral de potencia es, aplicando ( 4.34)

)(4

)(4

)(4

)(4

)( 1

2

1

2

0

2

0

2ffBffBffAffAfSxx ++−+++−= δδδδ ( 4.38)

Y la potencia media total se obtiene integrando

22

22 BAPx += ( 4.39)

En la sección 4.5 se demostrará que no es necesaria la condición ( 4.36) para que la potencia de x(t) sea ( 4.39).


f

Sxx

(f)

2 4 6 8−2−4−6−8

Aplicando la señal x(t) a un filtro paso banda ideal muy estrecho alrededor de la frecuencia f0, se obtiene a la salida una señal y(t) = A cos(2πf0t + ϕ). La potencia de la señal de salida es A2/2 watt y coincide con la que se obtendría integrando Sxx(f) alrededor de esta frecuencia, confirmándose así el carácter de Densidad Espectral de Potencia (watt/Hz) que tiene esta función.

___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________

EJEMPLO 4.9

Hallar la función Densidad Espectral de Potencia y la potencia de la señal definida en el EJEMPLO 4.5.

Los coeficientes de D.S.F. de la señal x(t) son:

)/(1)( 00/0

0

TmsincT

tFT

mcTmf

τττ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

=

( 4.40)

y por tanto la Densidad Espectral de Potencia es:

∑∞

−∞=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mxx TmfTmsinc

TfS )/()/()( 00

22

0δττ ( 4.41)

La potencia media se obtiene integrando Sxx(f)

∑

∑∫∞

−∞=

∞

−∞=

∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

m

mx

TmsincT

dfTmfTmsincT

P

)/(

)/()/(

02

2

0

002

2

0

ττ

δττ

( 4.42)

Aplicando la fórmula de Poisson al par de transformadas

)(2 τττ

fsinct↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Δ ( 4.43)

Se obtiene fácilmente

1)/(1 00

2

0=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞= mm

mTTmsinc

T τττ ( 4.44)

ya que al ser τ < T0 todas las muestras que intervienen en el último sumatorio son nulas excepto la correspondiente a m = 0. Sustituyendo en la expresión ( 4.42) este resultado se obtiene la potencia media

0TPx

τ= ( 4.45)

___________________________________________________________________________________

4.3.3 Señales no periódicas

Para hallar la potencia de una señal por medio de información en el dominio transformado, es conveniente definir una función auxiliar compuesta por un tramo de duración T de la señal x(t)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

TttxtxT )()( ( 4.46)

Cuya transformada de Fourier es XT(f). La potencia media puede expresarse en función de xT(t)

∫∫∫∞

∞−∞→−∞→−∞→=== dttx

Tdttx

Tdttx

TP TT

T

TTT

T

TTx2

2/

2/

22/

2/

2 |)(|1lim|)(|1lim|)(|1lim ( 4.47)

Al ser xT(t) una señal de duración finita, podemos afirmar que es de E.F. y por lo tanto aplica el teorema de Parseval para señales de E.F.

∫∫∞

∞−

∞

∞−= dffXdttx TT

22 |)(||)(| ( 4.48)

Sustituyendo ( 4.48) en ( 4.47) e intercambiando el límite y la integral se obtiene una expresión para el cálculo de la potencia a partir de información en el dominio transformado

dfT

fXlimP T

Tx

2|)(|∫

∞

∞− ∞→= ( 4.49)

La ecuación ( 4.49) muestra cómo obtener la potencia total a partir de la integral de una función en el dominio de la frecuencia.


La densidad espectral de potencia se define como

TfX

limfS T

Txx

2|)(|)(

∞→= ( 4.50)

Es una función real y positiva y si x(t) es real, es una función par. Debe observarse que la densidad espectral de potencia no es |X(f)|2 aunque x(t) admita transformada de Fourier

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.10

La señal escalón es una señal de P.M.F. no periódica. Para hallar su densidad espectral de potencia formamos la señal auxiliar enventanada xT(t)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

2/4/)()(

TTt

TttutxT ( 4.51)

que tiene como transformada de Fourier:

4/2)2/(2

)( fTjT efTsincTfX π−= ( 4.52)

Sustituyendo XT(f) en ( 4.50) la densidad espectral de potencia

TffTsin

limfTsincTlimfSTT

xx 22

22 )2/(

)2/(4

)(π

π∞→∞→

== ( 4.53)

f

|XT(f)|2/T

0

2/T−2/T

T/4

Al tender T a infinito, si f ≠ 0 el denominador crece indefinidamente y el numerador está acotado, por tanto tiende a cero. Si f=0 el resultado tiende a infinito, por lo tanto la densidad espectral de potencia del escalón es una delta en el origen de área K. Para calcular K, podemos utilizar el teorema de Parseval para señales de E.F. puesto que la señal enventanada es de E.F.

211

2/4/1)2/(

2/

0

2

22

2

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π==

∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

Tdt

T

dtT

TtT

dfTf

fTsinK

ππ

( 4.54)

Finalmente, la expresión de la densidad espectral de potencia del escalón

)(21)( ffSxx δ= ( 4.55)

y la potencia media:

21)( == ∫

∞

∞−dffSP xxx ( 4.56)

Nótese que [ ] 2|)(|)( tuFfSxx ≠ .

___________________________________________________________________________________

4.4 Correlación y densidad espectral de Energía

4.4.1 Distancia entre dos señales de energía finita

En un espacio vectorial dotado de un producto escalar, se define la norma de un vector

),(|||| xxx = ( 4.57)

y distancia entre vectores

||||),( yxyxd −= ( 4.58)

En el conjunto de señales se define el producto escalar entre las señales de energía finita x(t) e y(t) como

∫∞

∞−= dttytxyx )()(),( * ( 4.59)

y la distancia entre señales:

∫∞

∞−−= dttytxyxd 22 |)()(|),( ( 4.60)

En general, estamos interesados en buscar la distancia entre dos señales cuando una de ellas se desplaza τ, es decir, buscamos su parecido para todos sus valores relativos.


∫∫∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+−+−+=

=−+=+

dttytxdttytxdttydttx

dttytxtytxd

)()()()(|)(||)(|

|)()(|))(),((

**22

22

ττ

ττ ( 4.61)

Definiendo:

∫∞

∞−+= dttytxRxy )()()( *ττ ( 4.62)

La distancia resultante se puede expresar según

[ ])(Re2

)()())(),((( *2

τ

τττ

xyyx

xyxyyx

REE

RREEtytxd

−+=

=−−+=+ ( 4.63)

Si las señales x(t), y(t) son reales

)(2))(),(((2 ττ xyyx REEtytxd −+=+ ( 4.64)

La función Rxy(τ) es un indicador de la medida de parecido entre señales. Dado que en la medida de distancia los valores de Energía son independientes del desplazamiento τ, la distancia entre las señales será menor para aquellos valores de desplazamiento relativo entre ellas τ, en que Rxy(τ) sea mayor

4.4.2 Función de correlación mutua o cruzada

Se define la función de correlación mutua o cruzada entre dos señales de E.F.

dttytxdttytxRxy )()()()()( ** τττ −=+= ∫∫∞

∞−

∞

∞− ( 4.65)

Puede demostrarse fácilmente que la correlación cruzada entre dos señales de E.F. se puede expresar mediante la ecuación de convolución:

)()()( * τττ −∗= yxRxy ( 4.66)

Propiedades:

• Es una función acotada por el producto de las energías de las señales

yxxy EER ≤2

)(τ ( 4.67)

La demostración de esta propiedad se realiza aplicando la desigualdad de Schwarz:

yx

xy

EE

dttydttx

dttytxR

=

=+≤

≤+=

∫∫

∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∗

22

22

)()(

)()()(

τ

ττ

( 4.68)

El valor máximo se alcanza cuando las señales son proporcionales:

)()( tyktx =+τ ( 4.69)

• )()( * ττ −= yxxy RR ( 4.70)

Esta propiedad puede demostrarse a partir de la igualdad

*** )()()()( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=+ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−dttytxdttytx ττ

Si x(t) e y(t) son reales, )()( ττ −= yxxy RR

• Transformada de Fourier de la correlación cruzada

[ ] )()()()( fGfYfXRF xyxy == ∗τ ( 4.71)

A la función Gxy(f) se le denomina Densidad espectral de energía mutua o cruzada. No tiene sentido físico excepto si x(t) ≡ y(t).

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.11

Sean las señales

)(2/3)(),2()(),(cos2)( 321 ttxttxtttx Δ=−Π=Π= π ( 4.72)

Es inmediato comprobar que todas estas señales tienen la misma energía Exi=1. La correlación cruzada entre cualquiera de ellas y la señal y(t) = Π(t), también de energía unitaria, está acotada al valor 1, como puede comprobarse a partir de la propiedad 1. Por la misma propiedad, el valor máximo se alcanza en la correlación cruzada entre x2(t) y Π(t) y además toma este valor en τ = 2.

t

x1(t)

2−2

1.5

2−2

1

τ

Rx

1y(τ)


t

x2(t)

2−2

1.5

2−2

1

τ

Rx

2y(τ)

t

x3(t)

2−2

1.5

2−2

1

τ

Rx

3y

Rx

3y(τ)

___________________________________________________________________________________

4.4.3 Función de autocorrelación.

Se define la función de autocorrelación Rxx(τ) de una señal x(t) de E.F. con transformada de Fourier X(f)

∫∞

∞−+= dttxtxRxx )()()( *ττ ( 4.73)

Que puede expresarse alternativamente

)(()( * τττ −∗)= xxRxx ( 4.74)

Densidad espectral de energía

La transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es la densidad espectral de energía y sí tiene sentido físico

[ ] )()( fGRF xxxx =τ ( 4.75)

Esta propiedad se verifica tomando tomando transformada de Fourier en ambos miembros de la ecuación ( 4.74)

[ ]2

*

)(

)()()(

fX

fXfXRF xx

=

==τ ( 4.76)

Que es la definición de la densidad espectral de energía ( 4.28)

Propiedades:

• La energía de una señal es el valor de su autocorrelación en el origen

xxx ER =)0( ( 4.77)

Se demuestra evaluando ( 4.73) en τ = 0.

• El máximo de la autocorrelación está en el origen.

)0()( xxxx RR ≤τ ( 4.78)

Se demuestra sustituyendo y(t )= x(t) en ( 4.67) y aplicando ( 4.77)

• La autocorrelación es una función Hermítica.

)()( ττ −= ∗xxxx RR ( 4.79)

Se demuestra sustituyendo y(t) = x(t) en ( 4.70).

• Si x(t) es real, su autocorrelación es real y par

)()( ττ −= xxxx RR ( 4.80)

• La transformada de Fourier de la autocorrelación es no negativa.

[ ] fRF xx ∀≥ 0)(τ ( 4.81)

Como se comprueba en ( 4.76)

• Energía de la suma de dos señales

Sea la señal z(t) formada por la suma de otras dos señales:

)()()( tytxtz += ( 4.82)

La función de autocorrelación de z(t) viene dada por:

R zz(τ)=R xx(τ)+R yy(τ)+R xy(τ)+R yx(τ) ( 4.83)

La energía de z(t) es el valor de su autocorrelación en el origen:

Ez=Ex+Ey+ R xy(0)+ R yx(0) ( 4.84)

Para que la energía de z(t) sea la suma de las energías de x(t) e y(t), se debe cumplir:

R xy(0)+ R yx(0)=2 R e[R xy(0)]=0 ( 4.85)

Las señales que cumplen esta propiedad se denominan incoherentes.


Si además se verifica que la correlación en el origen vale cero, las señales se denominan ortogonales.

R xy(0) = R yx(0) = 0 ( 4.86)

Finalmente si la correlación cruzada es nula, las señales se llaman incorreladas

R xy(τ) = R yx(τ) = 0 ( 4.87)

La Figura 1 muestra a la izquierda varias señales y a la derecha su correspondiente función de autocorrelación. Las señales son pulsos de duración 2.5 seg: rectangular, sinc y chirp (seno de frecuencia creciente) y todas de energía unitaria. Las funciones de autocorrelación muestran simetría par, el valor en el origen es Rxx(0) = Ex = 1 y su duración es el doble que la duración de la señal.

-5 0 5-0.1

0

0.1

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

-5 0 5-0.1

0

0.1

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

-5 0 5-0.1

0

0.1

-5 0 5-0.5

0

0.5

1

a) b)

Figura 1. a) Señales de duración finita: pulso rectangular, pulso sinc y pulso chirp. Las señales tienen la misma duración y energía. b) autocorrelación de las mismas.

4.4.4 Correlación y Densidad espectral de Energía a través de sistemas lineales

Sea y(t) la señal de salida de un sistema lineal e invariante con respuesta impulsional h(t), cuando a su entrada se aplica x(t).

∫∞

∞−−== ')'()'()(*)()( dtthttxthtxty ( 4.88)

Se verifican las siguientes relaciones:

)((( τττ −∗)=) ∗hRR xxxy ( 4.89)

)((( τττ hRR xxyx ∗)=) ( 4.90)

)()((( ττττ −∗∗)=) ∗hhRR xxyy ( 4.91)

La demostración de la propiedad ( 4.89) puede realizarse expresando y*(t) por medio de la ecuación de convolución en ( 4.65)

dtdtthttxtxRxy ∫ ∫∞

∞−

∞

∞− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= ')'()'()()( **ττ

( 4.92)

Intercambiando el orden de integración

)()(

')'()'(

')'()()'()(

*

*

**

ττ

τ

ττ

−∗=

=+=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

hR

dtthtR

dtdtttxtxthR

xx

xx

xy

( 4.93)

Las demás propiedades se demuestran fácilmente de forma similar. Tomando transformada de Fourier se verifican las siguientes propiedades para las densidades espectrales

)()()( fHfGfG xxxy∗= ( 4.94)

)()()( fHfGfG xxyx = ( 4.95)

2)()()( fHfGfG xxyy = ( 4.96)

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.12

La correlación cruzada entre la señal y(t) = x(t-td) y la señal x(t)


)()()()( dxxdxxyx tRtRR −=−∗= ττδττ

ya que podemos suponer que y(t) es la salida de un retardador cuando a la entrada se aplica x(t). Por las propiedades de la autocorrelación, se deduce que la correlación cruzada entre la entrada y la salida de un retardador tiene un máximo de valor Ex en τ = td.

___________________________________________________________________________________

4.5 Correlación y Densidad espectral de potencia de señales de P.M.F.

4.5.1 Correlación de señales de potencia media finita

La correlación cruzada de señales de Potencia media finita se define mediante la expresión:

∫−∞→+=

2/

2/)(*)(1)(

T

TTxy dttytx

TlimR ττ ( 4.97)

y la función de autocorrelación:

∫−∞→+=

2/

2/)(*)(1)(

T

TTxx dttxtx

TlimR ττ ( 4.98)

Propiedades:

Es inmediato comprobar, de forma similar a la del apartado 4.4.2 que las propiedades de la correlación cruzada de dos señales de P.M.F. son análogas a las de señales de E.F.

yxxy PPR ≤)(τ ( 4.99)

)()( * ττ −= yxxy RR ( 4.100)

Con la salvedad de que la ecuación ( 4.66) no se verifica para señales de P.M.F. La función de autocorrelación de una señal de P.M.F. verifica:

• El máximo de la autocorrelación está en el origen.

)0()( xxxx RR ≤τ ( 4.101)

• La autocorrelación es una función Hermítica.

)()( ττ −= ∗xxxx RR ( 4.102)

• Si x(t) es real, su autocorrelación es real y par

)()( ττ −= xxxx RR ( 4.103)

• La potencia de una señal es el valor de su autocorrelación en el origen

xxx PR =)0( ( 4.104)

4.5.2 Densidad espectral de potencia

En el apartado 4.3.3 se definió la densidad espectral de potencia de una señal x(t) como:

)(1)( fGT

limfSTT xx

Txx

∞→= ( 4.105)

siendo xT(t) =x(t)Π(t/T). El teorema de Wiener Kintchine establece que la transformada de Fourier de la autocorrelación es la Densidad espectral de potencia:

[ ] )()( fSRF xxxx =τ ( 4.106)

Para comprobarlo, basta calcular la correlación de la señal enventanada xT(t) y comprobar que

)(1)( ττTT xx

Txx R

TlimR

∞→= ( 4.107)

y tomando transformada de Fourier en ambos miembros de la ecuación y aplicando que xT(t) es una señal de E.F.

[ ]

)(

)(1

)(1)(

fS

fGT

lim

RT

limFRF

xx

xxT

xxT

xx

TT

TT

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

∞→

∞→ττ

( 4.108)

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.13

Una señal de P.M.F. es el escalón. Su función de autocorrelación


⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=

=+=

=+=

∞→

∞→

∞→

−∞→

∞→

−∞→

∫∫

∫∫

02

1

0)2

(1

01

01

)(1

)()(1)(

2/

0

2/

2/

0

2/

2/

τ

ττ

τ

τ

τ

ττ

τ

TT

lim

TT

lim

dtT

lim

dtT

lim

dttuT

lim

dttutuT

limR

T

T

T

T

T

T

T

T

T

TTuu

( 4.109)

y tomando el límite para los dos casos, se obtiene que la función de autocorrelación es una constante de valor ½

Ruu(τ) =½ ( 4.110)

La densidad espectral de potencia es su transformada de Fourier:

Suu(f) = ½ δ(f) ( 4.111)

Como se obtuvo en el EJEMPLO 4.10

___________________________________________________________________________________

4.5.3 Relaciones de Correlación y Densidad espectral de potencia en sistemas lineales e invariantes.

Sea un sistema L.I. caracterizado por h(t). La salida y(t) cuando a su entrada se aplica x(t) puede expresarse por la ecuación de convolución.

∫∞

∞−−== ')'()'()(*)()( dtthttxthtxty

( 4.112)

Las relaciones entre las correlaciones de la entrada y la salida son idénticas a las establecidas para señales de E.F.

)((( τττ −∗)=) ∗hRR xxxy ( 4.113)

)((( τττ hRR xxyx ∗)=) ( 4.114)

)()((( ττττ −∗∗)=) ∗hhRR xxyy ( 4.115)

Tomando transformada de Fourier se verifican las siguientes propiedades:

)()()( fHfSfS xxxy∗= ( 4.116)

)()()( fHfSfS xxyx = ( 4.117)

2)()()( fHfSfS xxyy = ( 4.118)

A continuación se demuestra la segunda de las relaciones indicadas. El resto de demostraciones es análogo. Expresando y(t+τ) por medio de la ecuación de convolución ( 4.112) se obtiene

dttxdtthttxlimRT

TTyx )(*')'()'()(

2/

2/∫ ∫−

∞

∞−∞→ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= ττ

( 4.119)

Intercambiando el orden de integración

)()(

')'()'(

')(*)'()'()(2/

2/

ττ

τ

ττ

hR

dtthtR

dtdttxttxlimthR

xx

xx

T

TTyx

∗=

=−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

∫

∫∫∞

∞−

−∞→

∞

∞−

( 4.120)

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.14

Medida de tiempo de retardo en señales contaminadas con ruido

La correlación cruzada se utiliza en aplicaciones de detección de pulsos habitualmente contaminados con ruido. Suponga un sistema de radar que transmite la señal x(t). Esta choca contra un blanco y se refleja, de forma que en el receptor, localizado en la misma posición que el emisor, se recibe la señal

y(t) = x(t-td) + n(t)

donde td es el tiempo que tarda la señal en ir al blanco y volver y n(t) es ruido que se ha sumado a la señal. El receptor del radar realiza la correlación cruzada entre y(t) y una copia idéntica de la señal original. Se tiene

)()(

)(*)]()([1lim

)(*)(1lim)(

2/

2/

2/

2/

ττ

ττ

ττ

nxdxx

T

TdT

T

TTyx

RtR

dttxtnttxT

dttxtyT

R

+−=

=+++−=

=+=

∫∫

−∞→

−∞→


Si la señal y el ruido están incorrelados, (su parecido es nulo), lo cual es habitual ya que están generados de forma totalmente independiente, Rnx(τ) ≈ 0 , por lo que la correlación cruzada Ryx(τ) presentará un máximo en τ=td . La detección de la posición del máximo de Ryx(τ) permite hallar td, que es lo que tarda la señal radar en ir y volver del blanco y dado que la señal de radar se propaga a la velocidad de la luz, la distancia al blanco será:

d= td/2c

La figura 2 ilustra este comportamiento. Se ha elegido como señal a transmitir x(t) una señal chirp como la mostrada en la Figura 1. La Figura 2 a) presenta y(t), la señal recibida contaminada con ruido. La figura 2 b) presenta la correlación cruzada entre y(t) y la señal transmitida x(t). La posición del pico determina el retardo td buscado.

a) b)

Figura 2. a) Pulso Chirp contaminado con ruido, b) Correlación cruzada entre el pulso chirp contaminado con ruido y el pulso limpio.

___________________________________________________________________________________

4.5.4 Señales periódicas

Correlación de dos fasores

Es interesante estudiar la correlación cruzada de dos fasores porque será básico en el estudio de señales periódicas. Sean las señales x(t) e y(t) definidas a continuación:

tfjeatx 121)( π= tfjeaty 22

2)( π= ( 4.121)

Demostraremos que la correlación cruzada tiene la expresión

⎩⎨⎧

=≠

=21

2*21

211

0)(

ffeaaff

R tfjxy πτ ( 4.122)

La correlación cruzada entre estos dos fasores se calcula aplicando la definición:

0 5 10-0.2

0

0.2

0 5 10 -5

0

5

10

dteT

limeaa

dteeaaT

lim

dteaeaT

limR

T

T

tffj

T

fj

tffjfjT

TT

tfjtfjT

TTxy

∫∫∫

−

−−

∞→

−−

−∞→

−+

−∞→

=

==

==

2/

2/

)(22*21

)(222/

2/

*21

2*2

)(22/

2/1

211

211

21

1

1

1)(

πτπ

πτπ

πτπτ

( 4.123)

Resolviendo el límite de la ecuación

⎩⎨⎧

=≠

=

=−=

=−−

=

∞→

∞→−

−−

∞→ ∫

21

21

21

21

212/

2/

)(2

10

))(()(

))((1121

ffff

Tffsinclimff

TffsinT

limdteT

lim

T

T

T

T

tffj

T πππ

( 4.124)

Donde para hallar el límite se ha aplicado el hecho de que si las frecuencias son distintas, el numerador permanece acotado mientras el denominador crece indefinidamente y por tanto el resultado es cero. Si las frecuencias son iguales, la exponencial en la integral toma el valor 1, la integral toma el valor T y por tanto el resultado al tomar el límite es 1.

Finalmente, sustituyendo ( 4.124) en ( 4.123) se obtiene ( 4.122). Este resultado indica que la correlación cruzada (o medida de parecido) entre dos fasores de distinta frecuencia es nula.

Autocorrelación de una señal periódica

Una señal x(t) periódica de periodo T0 verifica la igualdad:

x(t+T0) = x(t)

Aplicando esta propiedad en la definición de la autocorrelación de una señal se obtienen dos resultados:

La autocorrelación de una señal periódica también es periódica y del mismo periodo de la señal:

)(

)()(1

)()(1)(

0

2/

2/0

2/

2/

TR

dttxTtxT

lim

dttxtxT

limR

xx

T

TT

T

TTxx

+=

=++=

=+=

∫∫

−

∗

∞→

−

∗

∞→

τ

τ

ττ

( 4.125)

La autocorrelación de una señal periódica puede calcularse mediante la expresión:


∫ ><

∗+=0

)()(1)(0 T

xx dttxtxT

R ττ ( 4.126)

En efecto, al ser el integrando periódico de periodo T0, se verifica que:

∫

∫∫

><

∗

∗+ ∗

+=

=+=+

0

000

0

)()(

)()()()(0

T

TTt

t

dttxtx

dttxtxdttxtx

τ

ττ ( 4.127)

siendo t0 una constante arbitraria

Si elegimos el intervalo T múltiplo de T0, T=MT0 y aplicamos la anterior propiedad, el valor de la integral en cada intervalo de T0 seg. es el mismo y por tanto se obtiene:

∫

∫

∫∫

><

∗

−

∗

∞→

−

∗

∞→

−

∗

∞→

+=

=+=

=+=

=+=

0

0

0

0

0

)()(1

)()(

)()(1

)()(1)(

0

2/

2/0

2/

2/0

2/

2/

T

T

TM

MT

MTM

T

TTxx

dttxtxT

dttxtxMTMlim

dttxtxMT

lim

dttxtxT

limR

τ

τ

τ

ττ

( 4.128)

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.15

Hallar la función de autocorrelación de la señal mostrada en la Figura 4.14 a)

)()()( 00 nTtnTttxn

−Π−= ∑∞

−∞=

T0 = 1 seg.

Dado que la autocorrelación de x(t) es periódica, calcularemos la autocorrelación en un periodo. Elegimos en primer lugar el intervalo –1/2 < τ < 0. La señal x(t+τ) se muestra en la Figura 4.14 b) para un desplazamiento τ = -0.25. Aplicando ( 4.128) se obtiene la autocorrelación

121

21

21

)()1()(

2

5.0

5.0

5.0

5.0

++=

=++++= ∫∫ −−

−

−

ττ

ττττ

τdtttdtttRxx

-0.5 <τ < 0

Por ser la autocorrelación una función par, la expresión en un periodo es:

121||

21

21)( 2 +−= τττxxR -0.5 <τ < 0.5

Y la extensión periódica se muestra en la Figura 4.14 c). Finalmente la potencia del diente de sierra x(t) es

12/1)0( == xxx RP

t

x(t)

1 2−1−2

0.5

−0.5

a)

t

1 2−1−2

0.5

−0.5

x(t+τ)

−τ

b)

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−0.1

0.1

Rxx

(τ)

τ

c)

Figura 4.14 a) señal original, b) señal desplazada c) función de autocorrelación


___________________________________________________________________________________ El cálculo de la autocorrelación puede hacerse también a partir del D.S.F. de la señal original:

Sea la señal x(t) periódica de periodo T0, y c(m) los coeficientes de su D.S.F.

∑∞

−∞=

=m

Tmtjemctx 0/2)()( π ( 4.31)

Sustituyendo ( 4.31) en la expresión ( 4.128), obtenemos el D.S.F. de la autocorrelación:

∑

∑

∫∑∑

∫ ∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

><

−∞

−∞=

∞

−∞=

><

∞

−∞=

−∞

−∞=

+

=

==

==

==

m

Tmj

m

Tmj

T

Ttnmj

n

Tmj

m

Tn

Tntj

m

Ttmjxx

emc

emcmc

eT

ncemc

encemcT

R

0

0

0

00

0

00

/22

/2*

/)(2

0

/2

/2*/)(2

0

)(

)()(

1)()(*

)()(1)(

τπ

τπ

πτπ

πτπτ

( 4.129)

Ya que la correlación de los fasores a las frecuencias m/T0 y n/T0 es cero salvo cuando n = m.

La expresión ( 4.129) confirma que la autocorrelación de una señal periódica es también periódica del mismo periodo, y que los coeficientes de su D.S.F. pierden la información de fase.

Tomando transformada de Fourier, se obtiene la Densidad Espectral de Potencia:

∑∞

−∞=

−=m

xx TmfmcfS )/()()( 02δ ( 4.34)

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.16

Hallar la autocorrelación de una sinusoide.

)2cos()( 0 θπ += tftx ( 4.130)

Aplicando la fórmula de Euler, se obtiene de forma inmediata el D.S.F.

tfjjtfjj eeeetx 00 22

21

21)( πθπθ −−+= ( 4.131)

Identificando los coeficientes del D.S.F. se obtiene:

21|

21|)1(

21|

21|)1( ==−== − θθ jj ecec ( 4.132)

y la función de autocorrelación es:

)2cos(21

41

41)(

0

22 00

tf

eeR tfjtfjxx

π

τ ππ

=

=+= −

( 4.133)

Tomando transformada de Fourier, se obtiene la densidad espectral de Potencia

)(41)(

41)( 00 fffffSxx ++−= δδ ( 4.134)

___________________________________________________________________________________ EJEMPLO 4.16

Se desea hallar el D.S.F. de la autocorrelación y la densidad espectral de potencia de la señal x(t) definida en el EJEMPLO 4.14. Para resolver este ejercicio, podemos buscar el D.S.F. de la señal x(t) y aplicar (4.126), o bien hallar directamente el D.S.F. de la autocorrelación cuyo periodo está definido en el EJEMPLO 4.14. Optaremos por el primero de estos dos métodos. Para hallar el D.S.F. de la señal x(t), elegimos como función básica

)()( tttxb Π=

Del par de transformadas

22

)sin()()(sin2

1)(fj

fffcosfcdfd

jtt

ππππ

π −−

=−

↔Π

Obtenemos los coeficientes c(m) del D.S.F.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

−=

== 02)1(

00)/()(0

0m

mj

m

TTmXmc mb

π

Por lo tanto el D.S.F. de la autocorrelación es:

∑

∑∞

=

≠

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

122

0

22

)2(2

1

21)(

m

m

mjxx

mcosm

em

R

τππ

πτ τπ


y la densidad espectral de potencia es su transformada de Fourier

∑∞

=

++−=1

22 ))()((2

1)(m

xx mfmfm

fS δδπ

que se muestra en la Figura 4.16

f

Sxx

(f)

−8 −6 −4 −2 2 4 6 8

1

2

3

x100

Figura 4.16 Densidad espectral de potencia de la señal del EJEMPLO 4.15

Correlación cruzada de dos señales periódicas.

Sean las señales periódicas

tmfj

mx

xemctx π2)()( ∑∞

−∞=

= tmfj

my

yemcty π2)()( ∑∞

−∞=

= ( 4.135)

Estas dos señales están formadas por suma de fasores. La correlación cruzada entre fasores de distinta frecuencia es nula, por lo tanto únicamente los fasores comunes en ambas señales, si existen, contribuirán en el cálculo de Rxy(τ). Los fasores comunes serán aquellos que cumplen: nfx = mfy con n y m enteros. Llamando fr = Nfx = Mfy, siendo N y M los enteros menores que cumplen la igualdad anterior, y aplicando ( 4.122), es fácil comprobar que se obtiene:

tmfj

myx

tmfj

mrxy

rr emMcmNcemcR ππτ 2*2 )()()()( ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

== ( 4.136)

La correlación cruzada será cero cuando las dos señales no tengan fasores comunes. Esto ocurrirá siempre que el cociente fx/fy no sea un número racional

4.6 Problemas

4. 1) Sabiendo que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ∏∏0

000

*TtT

Tt

Tt

x(t)A

y(t)A

t t T 3T-3T -T

Fig. 4. 1) a)

a) Determine y dibuje la correlación cruzada Rxy(τ) b) Encuentre Ryx(τ) c) Obtenga la correlación cruzada de las dos señales de la figura 4. 1)b). Relacione Rvz(τ) con

Rxy(τ)

v(t)

t

1

3-3 t

1

31

-1

-1-3

z(t)

Fig. 4. 1)b)

4.2) Sean y1(t)=x(t)*h1(t), y2(t)=x(t)*h2(t). Calcule Ry1y2 (τ) en función de Rxx(τ) y las respuestas impulsionales de los filtros

4. 3) Calcule la función de correlación cruzada de x(t) e y(t) definidas por:

a) x(t)=Acos(2πf0t) y(t)=Bcos(2π2f0t) b) x(t)=Acos(2πf0t) y(t)=Bsen(2πf0t) c) x(t)=Acos(2πf0t) y(t)=Bsen(2πf1t) d) x(t)=Acos(2πf0t)+ Bsen(2πf1t) y(t)=sen(2πf1t) e) x(t)=Acos(2πf0t)+ Bsen(2πf1t) y(t)=sen(2π2f1t)


4. 4) Demuestre que si x(t) e y(t) son dos señales de p.m.f.

a) Rxy(τ) = R*yx(-τ)

b) |Rxx(τ)| ≤ Rxx(0)

4. 5) Demuestre, a partir de la expresión de la función de autocorrelación de una señal de p.m.f que si x(t) es periódica de periodo T0, Rxx(t) es periódica de periodo T0.

4. 6) Halle la densidad espectral de energía y, a partir de ella, la autocorrelación y la energía de la señal x(t) =A Π[(t-td)/τ]

4. 7) Halle la densidad espectral de energía y, a partir de ella, la autocorrelación y la energía de la señal x(t) =A sinc 2W(t-td)

4. 8) Halle la densidad espectral de energía y, a partir de ella, la autocorrelación y la energía de la señal x(t) =e-atu(t)

4. 9) Halle la autocorrelación y, a partir de ella, la potencia y densidad espectral de potencia de la señal x(t) = A sgn(t)

4. 10) Sean x(t) e y(t) dos señales de energía finita. ¿bajo qué condiciones Rxy(τ) = Ryx (τ)?

4. 11) Sean x(t) e y(t) dos señales de energía finita y z(t) = y(t-t0). Demostrar que Rxz(τ) = Rxy(τ+t0) y que Rzx(τ) = Ryx(τ−t0)

4. 12) Se desea medir la respuesta frecuencial de un circuito. Para ello se dispone de las señales

x(t) e y(t) según el esquema de la figura 4. 12) a) Una solución es calcular la transformada de Fourier de la entrada y la salida y hacer el cociente:

H(f) = Y(f)X(f)

x(t)h(t)

y(t)

+

x(t)h(t)

y(t)

i(t)Fig. 4. 12) a Fig. 4. 12) b

(Considere todas las señales reales y de Energía Finita en todo el ejercicio).

a) Demuestre que las siguientes alternativas también son válidas

H1(f) = Gyx(f)Gxx(f) H2(f) =

Gyy(f)Gxy(f)

b) Suponga que la medida de y(t) se realiza de forma que se introduce una interferencia i(t) como se muestra en la figura 4 12) b. Calcule Gyx(f), Gyy(f) y Gxy(f) en función de H(f), Gxx(f) y Gxi(f).

c) Si Gxi(f) = 0. ¿Qué método elegiría para calcular H(f)?. Razone la respuesta.

Ho(f) = Y(f)X(f) , H1(f) =

Gyx(f)Gxx(f) , H2(f) =

Gyy(f)Gxy(f)

4. 13) Uno de los filtros más utilizados en aplicaciones donde se requiere la detección de pulsos es el

filtro adaptado. Se llama así porque está diseñado o adaptado para maximizar la salida en un instante determinado siempre que a su entrada se aplique el pulso al que esta adaptado. Tiene la ventaja adicional de que es “robusto” frente al ruido e interferencias. Sea x(t) una señal real y acotada con energía Ex y h(t) un filtro real, acotado y con energía Eh . Sea y(t) la salida del filtro cuando a éste se le aplica x(t) a) Utilizando la desigualdad de Schwartz, compruebe que la salida siempre está acotada

según la expresión |y(t)|2 ≤ Ex Eh Compruebe que si el filtro es h(t) = k x(t0-t), b) La salida y(t) alcanzará la cota Ex Eh en el instante t= to. c) Relacione y(t) con Rxx(t) d) Dibuje h(t) causal y de energía unitaria si x(t) es la señal de la figura 4 13). Especifique

para ese filtro el instante en el que la salida será máxima. x (t)

1

tT

Fig 4 13)

e) Si a la entrada del filtro diseñado en el apartado d) se aplica z(t) = x(t) + n(t), con n(t) incorrelado con x(t), ¿cuánto valdría el valor máximo de la salida? ¿Cómo influye n(t)?

f) Si la señal de entrada del fltro diseñado en el apartado d) es v(t) = x(t - 4), calcule el instante en el que la salida es máxima.

4. 14) Se desea diseñar un sistema de mando a distancia que pueda transmitir 4 informaciones

distintas. Cada una de ellas se codificará con un pulso xi(t) de energía Ex y duración T, y se transmitirá. El receptor mostrado en la siguiente figura consta de una serie de filtros (banco de filtros adaptados) hk(t) = xk(T-t), un muestreador que toma muestras T segundos después de recibir la entrada, un comparador y un elemento de decisión que determina la entrada al comparador cuyo valor es máximo.


xi(t)

h1(t)

h2(t)

h3(t)

h4(t)

v1

v2

v3

v4

Compara

y

decide

i

T

T

T

T Fig 4. 14) a

a) Relacione yk(t), la salida del filtro k-ésimo con la función de correlación cruzada entre el

pulso xk(t) y el pulso de entrada xi(t) b) Calcule vk= yk(T) ,el valor de la salida del filtro késimo en el instante T, cuando a la

entrada se aplica xi(t). Distinga k=i, k≠i c) Calcule los valores obtenidos en cada salida (v1…v4) sabiendo que los pulsos son

ortogonales si a la entrada se aplica x2(t) d) Elija un conjunto de cuatro pulsos ortogonales entre los presentados en la figura 4. 14) b. e) Calcule los valores v1 … v4 si el sistema se diseña con los pulsos elegidos en el apartado

anterior y a la entrada se aplica la señal que ha descartado en dicho apartado. f) ¿Cómo modificaría el esquema para eliminar falsas detecciones por pulsos interferentes

como el anterior?

1 1

11

1

1

1

1

1

1

x1(t)

x2(t)

x3(t)

x4(t)

x5(t)

t t

t

t

t

-1

-1-1

-1

Fig 4. 14) b

4. 15)Un sistema de control como el de la Fig 4. 14) a gestiona N alarmas diferentes. Cuando la alarma n-ésima se activa, transmite una señal xn(t) al centro de control. Para detectar cuál es la alarma activada se utiliza un sistema que consiste en

1. filtrar la señal recibida xn(t) por un conjunto de N filtros en paralelo cada uno de respuesta impulsional hk(t)=xk(T0-t), k=1,…N,

2. medir la salida yk(t) de cada filtro en el instante T0, 3. comparar los valores yk(T0) k=1,…N 4. buscar el filtro que da máximo valor a la salida en t=T0 5. decidir que la alarma pulsada se corresponde con el número de filtro que proporciona el

valor mayor de la salida en el instante T0

∏ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0

00

)2/()2()(TTttnfsentxn π ( )

0Ttkn0k (t)h * (t)x )(Ty=

=

a) Dibuje x1(t), x2(t) y x3(t)

b) Calcule la energía de xn(t). Compruebe que todas las señales tienen la misma energía

c) Compruebe que las señales xi(t) y xj(t) son ortogonales si i≠j


d) Relacione la salida del filtro k-ésimo yk(t) cuando a su entrada se aplica xn(t), con n≠ k, con la correlación cruzada entre xn(t) y xk(t)

e) Calcule yk(T0), la salida del filtro k-ésimo en el instante T0 cuando a su entrada se aplica xn(t), con n≠ k

f) Calcule yk(T0), la salida del filtro k-ésimo en el instante T0 cuando a su entrada se aplica xn(t) con n=k

g) Explique porqué funciona el sistema. ¿es importante que las señales xi(t) sean ortogonales? Razone la respuesta

4. 16)Se desea diseñar un sistema que permita, a personas con discapacidad, averiguar el estado de ciertos dispositivos (ej. semáforos) sin necesidad de utilizar señalización adicional molesta para otros usuarios. Supondremos en este ejercicio un dispositivo con dos estados (rojo y verde). El sistema transmite un tren de pulsos xr(t) mientras está en un estado (rojo) y otro tren de pulsos xv(t) mientras está en el otro estado (verde). Sea:

∑−

=

−=1

0)()(

N

norr nTtptx ∑

−

=

−=1

0)()(

M

novv nTtptx

Donde NTo es el intervalo de tiempo en que el semáforo está en rojo y MT0 es el intervalo de tiempo en que el semáforo está en verde y en la figura 1 se muestran los pulsos pr(t) y pv(t) de duración T << T0

a) b)

c)

Figura 4 16. a) pr(t). b) pv(t), c) sistema

rojo verde r r r r r v v v v v

h(t) Decisión

por umbral A

t

pr(t)

T

1

-1

t

pv(t)

T

1

-1

El receptor identifica el pulso transmitido y genera una señal que depende del pulso identificado y que el usuario puede identificar fácilmente (acústica, táctil, movimiento, calor…). Para identificar el pulso transmitido la señal recibida se aplica a un filtro de respuesta impulsional h(t) = pr(T-t). Cuando la salida alcanza el nivel A, el sistema identifica ‘rojo’ mientras que cuando el sistema alcanza el valor –A, el sistema identifica ‘verde’. Se pide:

a) Determine la función de autocorrelación de pr(t) entre las mostradas en la figura 2. Justifique razonadamente su elección y preferiblemente sin calcular matemáticamente la autocorrelación.

Figura 4.16 b).

b) Calcule la energía de pr(t) y de pv(t)

c) Determine si los pulsos pr(t) y pv(t) son ortogonales.

d) Si a la entrada del receptor llega pr(t) relacione la salida del filtro, v(t), con la autocorrelación de pr(t). ¿qué ocurre si a la entrada del receptor se aplica pv(t)?

e) Calcule el valor A con el que se compara v(t) y que servirá para identificar si el semáforo está en rojo o en verde.

f) Justifique que el sistema no funciona si T=T0. Ayúdese de un dibujo de la señal de salida.

�

T -

T

-T -T/2

�

T

T

�

T-T/2

T/2

-T

�

T/2-T/2

T

-T/2

�

T

T

� T/2

-T/2

-T/2

T/2

a) b) c)

d) e) f)


4. 17)Un sistema de radar transmite una señal x(t). Al cabo de T segundos, ésta alzanza el blanco y retorna al punto de partida con una atenuación total α. Además se añade un ruido n(t).. La señal recibida es por tanto xr(t) =αx(t-2T)+n(t). Suponga que la correlación entre la señal x(t) y el ruido es constante de valor C. Calcule la correlación cruzada entre x(t) y xr(t). Si el máximo está en t0, calcule T.

56972128 correlacion de senales

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