6c cons en mec la rostog bilei

8/3/2019 6c Cons en Mec La Rostog Bilei

1/5

C

mg

1x

2x

h

HlF

N

0b

Fig. 1

1

Lucrarea de laborator Nr. 6c

Verificarea legii conservrii energiei mecanice la rostogolirea unei bile pe planulnclinat

Scopul lucrrii: Verificarea experimental a legii conservrii energiei mecanice la rostogolireaunei bile pe planul nclinat.Obiective : n rezultatul efecturii acestei lucrri studenii trebuie s fie capabili:

- s defineasc micarea de rotaie, momentul de inerie;- s cunoasc deducerea formulelor pentru momentul de inerie a unei bile i pentru

energia cinetic a unui corp la micarea de rotaie;- s obin experimental i s aplice graficul dependenei mrimii

( )

( )

2 2 2 2

2 22 23 1

7 5

10

R b d dY

t tR b

=

de mrimea ( ) 2 22 1 0X x x H H b= + i s demonstreze

c ea reprezint un segment de dreapt cu panta p g= ;- s estimeze erorile relativ i absolut comise;- s trag concluzii privind veridicitatea legii conservrii energiei mecanice la rostogolirea

unei bile pe planul nclinati a metodei aplicate n cercetri.

Materiale i accesorii:Calculator, soft pentru procesarea datelor experimentale, cablu COM,cronometru electronic, 2 senzori, stativ, mufe, bar scurt, plan nclinat cu uluc director, bil,ubler, rigl.

Consideraii teoretice i experimentale

Aplicnd legea conservrii

energiei la rostogolirea bilei trebuies inem seama de faptul c bila ia

parte n dou micri: una detranslaie cu viteza Cv a centruluide masC al bilei (centrului eigeometric, ntruct se consideromogen) i alta de rotaie fa deaxa ce trece prin centrul de mas C

perpendicular panului fig. 1.Deaceea legea conservrii energiei

mecanice la rostogolirea unei bilepe planul nclinat n sistemul de referin inerial legat cu pmntul are aspectul2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

C C C C m I m I

mgh

+ + = +v v

(1)

Aicise consider c bila este eliberat din vrful planului, astfel nct n poziia 1x bila deja posed

energia cinetic 2 21 1 12 2c C C E m I = +v , dar i potenial p E mgh= . Ultima n poziia 2x se

transform complet n energie cinetic, adugndu-se la 1cE , astfel c n poziia 2x energia total

devine 2 22 2 22 2c C C E m I = +v .ntruct asupra bilei ce se rostogolete pe planul nclinat acioneaz fora de frecare de

rostogolire F

, apare ntrebarea: oare aciunea acestei fore nu conduce la micorarea energiei bilei?

De ce, totui, se poate aplica legea conservrii energiei mecanice n acest caz? Rspunsul este c n


2/5

C

A

f

Aec

FF R

d

2e

r

Fig. 2

2

lipsa alunecrii fora de frecare este aplicat n acele puncte ale bilei care se afl pe axa momentande rotaie. Viteza instantanee a acestor puncte este egal cu zero. De aceea fora de frecare larostogolire nu efectueaz lucru mecanic i, deci, nu influeneaz asupra valorii energiei cinetice a

bilei n micarea ei de rostogolire. Fora de frecare la rostogolire F

este o for de frecare de repaus

i rolul ei se reduce la aducerea bilei n micare de rostogolire pur. n prezena forei de frecare larostogolire lucrul forei de greutate se consum la creterea energiei cinetice nu numai a micrii detranslaie ci i a celei de rotaie. Vom observa c fora de reaciune a planului nclinat N , fiind

perpendicular pe direcia micrii, de asemenea, nu efectueaz lucru mecanic.Pentru a direciona micarea bilei pe plan, de-a lungul lui este trasat un uluc cu limea 2e

(nfig. 2ulucul se afl n planul perpendicular planului figurii). Vitezele micrii de translaie alebilei 1Cv i 2Cv n poziiile 1x i 2x sunt orientate paralel planului nclinat (fig. 1) (n fig. 2 aceste

viteze sunt orientate perpendicular pe planul figurii).Vitezele unghiulare 1 i 2 n poziiile 1x i

2x sunt 1 1 1lA Cr r = =v v i 2 2 2lA Cr r = =v v , unde . 1l Av i . 2l Av sunt vitezele liniare ale

punctelorA fa de centrul C n poziiile 1x i, respectiv, 2x . Dup cum se vede din fig. 2,

mrimea 2 2r R e= . n afar de aceasta ( )22 5C I mR= . Astfel,

( )

( )

2 2 22 211 1

2 2

7 5

2 2 10

CC Cm R em I

R e

+ =

vv

(2)

Analog,

( )

( )

2 2 22 222 2

2 2

7 5

2 2 10

CC Cm R em I

R e

+ =

vv

(3)

Substituind n (1), obinem

( )( )

( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 1 2 1 02 2

7 5

10C C

R eg x x H H b

R e

= +

v v , (4)

unde pentru nlimea h a fost utilizat relaia

( ) ( ) 2 22 1 2 1 0sinh x x x x H H b= = + ce rezult din fig. 1. Aici H este nlimea planului nclinat, iar

2 2

0l H b= + este lungimea lui.n aceast expresie am

nlocuit 2 20l H b= + , ntruct n experiment lungimea

planului nclinat l se msoar cu unele dificulti, iarbaza planului nclinat 0b este o constant a instalaiei de

msurare: 0 0,4m,b = rmnnd de msurat direct nfiecare serie de msurri numai nlimea planului Hicoordonatele poziiilor bilei ce coincid cu coordonatelesenzorilor 1x i 2x (fig. 1). n relaia (4) intr diferena lor

2 1x x . ntruct senzorii sunt identici dup forma, rezultn calitate de 1x i 2x c se pot lua coordonatele oricror puncte identice ale acestora, de exemplucoordonatele marginilor superioare sau inferioare. Acestea se vor citi pe rigla planului nclinat.

Coordonatele poziiilor bilei 1x i 2x pot fi msurate cu rigla milimetric, ntruct diferena 2 1x x are valori de ordinul zecilor de centimetri i erorile comise nu vor fi mari. Prin aceast metod,ns, nu poate fi msurat i diametrul d al seciunii bilei FF ( fig. 2)ce acoper fascicolul


3/5

3

senzorului. n acest caz e necesar o precizie mai mare i, de aceea, diametrul bilei se msoar cuublerul i se determin raza eiR . De asemenea cu ublerul se msoar limea 2e a uluculuidirector pe care se mic bila i se afl mrimea e . Cunoscnd raza bileiR i jumtate din limeauluculuie , cu ajutorul teoremei lui Pitagora se poate determina d . Dinfig. 2 rezult c

( ) ( )

( )

2 2 2

22 2

2 ,

.

d R f c R

R R c e

+ =

= + (5)

De aici se obine2 2 2 22 2d e f f R e= + , (6)

unde mrimile ,R f i e trebuie msurate cu erori ce nu ntrec 0,1 mm (cu ublerul).Raionamentele de mai sus sunt valabile, evident, dac att planul ct i bila sunt absolut

rigide. ntruct corpurile reale nu pot fi absolut rigide, devine clar c att planul ct i bila se vordeforma puin la rostogolirea bilei. Aceasta va face ca fora de frecarela rostogolire s efectueze unanumit lucru mecanic negativ frL i relaia (4) n cazul real trebuie s posede aspectul:

( )

( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 1 2 1 02 2

7 5

10

fr

C C

R e Lg x x H H b

mR e

= + +

v v (7)

Vitezele medii pe distana d egal cu grosimea obturatorului coincid cu vitezele instantanee

Cv1 i Cv2 n mijlocul intervalelor de timp t1i, respectiv, t3 n care acest obturator (bila cu seciuneade diametrul d) acoper fascicolul senzorului, ntruct bila se mic pe plan uniform accelerat.Vom aproxima vitezele instantanee Cv1 i Cv2 cu vitezelebilei la mijlocul distanei parcurse d . Se

poate demonstra c aceast aproximaie este valabil, dac

1 3, 2t t d a=

, (8)unde a este acceleraia bilei. Astfel,

1 1 2 3,

C Cd t d t = =v v (9)

Acum, cnd cunoatem modul de msurare direct i indirect a mrimilor ce intr n (7), vomobserva c (7) reprezint o funcie liniar de forma

Y pX b= + , (10)

unde( )

( )

2 2 2 2

2 22 2

3 1

7 5

10

R e d dY

t tR e

=

, ( ) 2 22 1 0 X x x H H b= + , p g= , iar termenul liberfr

Lb

m

= .

Astfel, construind dup punctele experimentale graficul acestei dependene,dac legeaconservrii energiei mecanice n experien este just, trebuie s obinem un segment de dreapt cu

panta egal cu valoarea acceleraiei gravitaionale.Graficul poate fi construit (fig. 3)lund 5n serii din cte 10N msurri a intervalelor de timp 1t i 3t . n cadrul seriei concrete poziiilesenzorilor 1x i 2x vor rmne neschimbate. La trecerea de la o serie de msurri la alta trebuie s

avem grij ca distana 2 1x x parcurs de bil ntre senzori s nu se schimbe, pentru ca fora defrecare la rostogolire s efectueze acelai lucru ca i n seria precedent. Mrimile 1x i 2x pot s

varieze. Nu trebuie s varieze drumul parcurs de bil 2 1x x . Pentru construirea graficului ceva

trebuie s se modifice la trecerea de la o serie la alta. Aceast mrime este nlimea planuluinclinat H . Dar, n ce limite poate s varieze H? Mrimea H nu trebuie s fie prea mic, ntructn acest caz componenta forei de greutate ce pune n micare bila este comparabil cu fora de


4/5

2 2, m sYX m

+

+

+

+

+

+

b

Fig. 3

4

frecare la alunecare i micarea bilei nu va fi suficient destabil. nlimea planului H , ns, nu poate fi nici preamare, ntruct n acest caz poate aprea i micarea dealunecare a bilei, iar relaia (7) a fost obinut pentrurostogolirea bilei fr alunecare. S clarificm n ce limite

poate varia unghiul planului nclinat la variaia nlimii

lui H . Relaia (7) este valabil la rostogolirea fralunecare a bilei. Deci, trebuie s lum astfel de unghiuride nclinare pentru care bila nu alunec n procesulrostogolirii. Fora de frecare la rostogolire crete odat cucreterea unghiului de nclinare a planului i existunastfel de unghi pentru care fora de frecare la rostogoliredevineegal cu fora de frecare la alunecare

cos fr al al

F N mg = = , unde al este coeficientul de frecare la alunecare (a oelului pe osuprafa de aluminiu). Pentru ca rostogolirea bilei s nu fie nsoit i de alunecarea ei este nevoie

ca frF F < , adic ( )2 2 22 7 5 sin cos g mR R e mg < . De aici se obine

( )2 2max2

7 5tg tg

2

alR e

R

< = (11)

Considernd 0,1al = , 2 5 mme = , 2 25 mmR = , obinem tg 0, 34 < , adic 19 < o. ntruct

0tg H b = , rezultc nlimea de utilizat a planului trebuie s aib valoarea

0 max maxtg ,H b H < = adic ( )

2 2

0

2

7 5

2

alb R eH

R

< . Cu datele precedente i 0 0,4mb = , se obine

0,136mH < .Pentru a avea, ns, o rezerv de ncredere vom lua H n limitele de la 30 la 100 mm. n aceste limite fora de frecare la alunecare este suficient de mic n comparaie cu componenta

forei de greutate ce pune bila n micare pentru a asigura o rostogolire stabil, pe de o parte, irostogolirea fr alunecare, pe de alta.

Determinnd termenul liber b cu ajutorul graficului i a metodei celor mai mici ptrate, putem estima lucrul forei de frecare de rostogolire fr L mb= . Dar

( ) ( )2 1 2 1cos fr fr fr L F x x F x x= = unde frF este fora medie de frecare la rostogolire. De aicise obine

( ) ( )2 1 2 1 fr fr F L x x mb x x= = (12)

Valoarea frF poate fi comparat cu valorile obinute n lucrarea de laborator Nr. 4c. Cunoscndvaloarea forei de frecare la rostogolire se poate estima i valoarea coeficientului de frecare larostogolire r , reieind din relaia cos fr r r r F N mg mg = = :

( )2 1

fr

r

F b

mg g x x =

, (13)

ntruct pentru unghiuri mici cos 1 .

Erori ntmpltoare


5/5

5

Dac dreapta Y pX b= + , unde( )

( )

2 2 2 2

2 22 23 1

7 5

10

R b d dY

t tR b

=

, ( ) 2 22 1 0X x x H H b= +

(vezi (9)) se construiete la calculator folosind rezultatele celor 5n serii a cte 10N msurri aintervalelor de timp 1t i 3t , n care fascicolul senzorului este acoperit de ctre bila-obturator n

poziiile 1x

i 2x

, atunci panta drepteip

i eroarea ei standardp

se vor calcula aplicnd metodacelor mai mici ptrate. Termenul liber b din ecuaia Y pX b= + poate s fie de ordinul erorii

standard b . n aceast situaie valorile frF i r vor avea un caracter estimativ.

Fia de lucru

1. Fixez planul nclinat pe stativ sub un unghi ce corespunde nlimii planului 30mmH , astfelnct s fie posibil efectuarea a 5n serii de msurri, pentru fiecare din ele fiind satisfcutrelaia (11) pentru o valoare a coeficientului de frecare indicat de profesor;

2. Fixez bara senzorilor paralel cu planul, iar pe el cei doi senzori astfel nct ei s se sprijine deplan;

3. Determin coordonatele marginilor inferioare ale senzorilor 1x i 2x pe plan, precum i nlimeaplanului H . Le introduc n calculator;

4. Stabilesc bila n vrful planului, accesez butonul start i eliberez bila. Dac micarea bilei aavut loc n condiii satisfctoare, accesez butonul citirea datelor i transfer n calculatorintervalele de timp 1t i 3t . Dac rostogolirea nu a avut loc n condiii satisfctoare, atunciaccesez butonul Restart si repet msurrile;

5. Repet punctul 5 nc de 1N ori i analizez cele N valori msurate ale intervalelor de timp 1t i 3t , precum i valorile lor medii, dar i a mrimilor X i Y obinute n seria dat;

6. Ridic planul cu aproximativ 5 10 mm, deplasez, dac este necesar unul din senzori, astfel

nct 2 1x x s rmn neschimbat, msor din nou coordonatele 1x i 2x , precum i H , leintroduc n calculator i efectuez urmtoarea serie de msurri;7. Repet punctul 6 nc de 2n ori;8. Dup terminarea seriilor de msurri accesez butonul continuare i ajung la fereastra

Procesarea datelor experimentale;9. Accesez butonul Accept la punctul Prelucrarea datelor experimentale i obin graficul

dependenei studiate i valoarea pantei acesteia p ;10. Accesez butonul Accept la punctul Calculul erorilor i obin eroarea standard a pantei

dreptei p i a termenului liber b ;11. Introduc rezultatul final;12. Accesez butonul Accept la punctul Concluzii i n fereastra aprut formulez

concluziile;13. Accesez butonul Referat i pornesc programul de perfectare i salvare a referatului.

Salvez referatul;14. Accesez butonul Fini i finalizez efectuarea lucrrii de laborator.

6c cons en mec la rostog bilei

Documents