aΛΓΕΒΡΑ (κεφ 3) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
TRANSCRIPT
ÊåöÜëáéï 3ï
ÓõóôÞìáôá åîéóþóåùí
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει
να γνωρίζει:
� Να παριστάνει γραφικά τις λύσεις µιας εξίσωσης της µορφής
αx+β=γ µε ≠α 0 ή ≠β 0 .
� Να επιλύει αλγεβρικά και γραφικά ένα σύστηµα δύο γραµµικών
εξισώσεων µε δύο αγνώστους.
� Να επιλύει προβλήµατα µε την βοήθεια ενός συστήµατος δύο γραµ-
µικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους.
� Να επιλύει ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε τη µέθοδο
των οριζουσών.
� Να επιλύει ένα σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε τρεις
αγνώστους µε τη µέθοδο των διαδοχικών απαλοιφών.
� Αν ένα τέτοιο σύστηµα έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει
άπειρο πλήθος λύσεων.
� Να επιλύει προβλήµατα µε τη βοήθεια ενός συστήµατος.
72. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Ìáèáßíïõìå
ôéò
áðïäåßîåéòÂÞìá 1
������������������������ ����������������������������� ������������ ������������� �!
"��������� �#� ��$����#������%��� ���$������� ����&�'�(�%� �����%�������!
� �� �������� �� �� �� %���������� �����$�� ��� � ����%�������������������)��$�����%��������*������%+���� ����,&-'�$(��������
� ���������������� %���������� �����$�� ��� � ����%�������������������)��$�����%��������*������%+���� �����,&$'�-( �������
���� ���������� ������������� ������������������������������� !
������� ���� ���� ������������ ��� ����!����"���������� ���� ��# �����"$�����������������%�������������������&�����������������%�������������������&��'�������������� ��������������(������� ��≠ )����≠ )�������������*��+
,�����-.+
��.������� ��+�������������������� /0� ����≠ -��� ≠ -� %���������� � ����!/��$���� �� ���� ����%���%������0
0������������1�������-�$���� ≠ -!2+��� /0��������0
-��������� ⇔ ������� ⇔ �����
�
Θεωρία 1
73.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
%� �%����������� ��������##�#���������1��$�������*������%������ ����,&-' �
�(
2�����������1����≠ -�$�������-!�2+����/0��������0
�����-������ ⇔ ������� ⇔ ������
���%� �%����������� ��������##�#��������1��$��
����*������%+����� ����,&�
�'�-(
3�����������
1����≠ -�$����≠ -��+����%��/0��*� �0������3������⇔ �����4�
����(�
�
���%� �%����������� ����!
������� ���� ��� ��� �� ���� ��!�� ����!����� ��� ����!����"$�������� ���� ��# �����5"������ ��"������� ���#������5"������ ��"$��6!"� �� ��� ���� ��� ��������� �������# ����� ��� ������ ��"� �� ����!����$
������� ���������� �� ��#�*������������� ��"$��7������"� �*5���"� ������ ��#�*��� 8��� ��� �� ���� ��!�����!����� ��� ����!����"$
����������9 ��� �������� �$������������ ������������� ����� �#�����$�������� �
��� �����0��
=+=+
444
555
�����
�����
��: �����+��� ��� �������� �#�����$����#������&�'�(�%��� ���$������� ���%� �%��������$����������������������� �� ��� ����!�;��#������+��� ��� ������� �#�����������$�������������� �� �+�� ������������ �� ��� ����
��6� �������# �����+����� �$���� ��� ������������������ ������������� ����������� ������ ����������� ������%� �%�������� ��������������������� �� ��� ����!
��7��� ����#�*������� �� ��� ������ ������+�������*� ����������������� � ��� �����%� ����$� ���%������ ��������*�$��������������� �� ��� ����!
��8%��������� ���� ����������� ��+�� �00�8��������������������"� &�������%+����9 �����(!2�8�������������*����������#���!��������%��������&�������%�����9 �����(!3�8����������� ������"� &��������������������*���$+�������(!<�8�����������������!���� 8*���"�=>?@A>� &�������� ��%���$��(!
,�����B)+Θεωρία 2
74. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
�65���8��� ��� �#8������ ��������!"��� ��� ������� ������$��65���8��� ��� �8C���������"�# ���"� /�������5����������!"
�� ��� ���� ��� ������$
����������1������� ������������������+�������� %��*� ���� ��
����'��%� ��������%������ �!�:������������ ��������������� �� ����$��� ������ +��� ��� ���� � ������ %� %�������� �� ��� ���� ���������� �� � � ��� ����� ����� �������� ��%��������!� � � /9C� �0
��"� ��+����������� ���*����%�������������&���������+���������+�����(�+���� %��*� ���%�����#����&�'�(�%� ����%������ �!�:���� �������� �� �*��� �%������ ������&��!� ������ �+�����(� �� ����$�� � ������ +��� ��� ���� ������ %� � %�������� �� ��� ���� ���������� �� � ��� ������ %�%�� �!� /9C� �2
�65���� ������� ��#8������ ���� � $��7�������"�����*�"���5���"���������� ����������5"������ ��"���
���� � 5� ���$��D��� 8C�� ��� �� ����!���"� /�
0���� /�
2� ������ ���� ���� ��5
������ 5����� ����!����� /�0���� /�
2$
����������/���� ��� ������������� ���� � �+�����*� ���$���������� ������������!��6� ������%����+��� ��� ��������������� ���� ���������� ����� ��������%+��� �
����%���$�����+%� �!0�"� ��5��"�"��� ���� ����������� �� ��� �������%����������������$�����������$������� ��������������!2�"� ��5��"�,���$������� �� ����%+���������������&�
5(���&�
4(��� �� ��� �����%!*!����&�
5(� ����
�������5�5����
4��
4�%� �%��$�%���'�������� ������&�
5(�%����%������ ���� ���
5 ≠ -%������� ����� ������ �&�
4(�%����%������ ���� ���
4!
��6��������5�5���
4��
4�'����������� ��5"������� 5"��������������&�
5(�$���&�
4(!
,�����B0+
,�����B2+
x
y
0�������
�1
x
y
0������2
���1��
�2
Θεωρία 3
Θεωρία 4
75.Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο
Από το σχολικό βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
σελ. 103-104: Α΄ Οµάδα: 3, 5, 6, 8
Β΄ Οµάδα: 1
σελ. 108-109: Α΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5
Β΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5
σελ. 113-114: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4
Β΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4
Από το βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”
Ενότητα ∆: Ασκήσεις:
207, 212, 218, 220, 226, 228
ÂÞìá 1
ÅðáíáëáìâÜíïõìå
ôéò áóêÞóåéò
"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2
76. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
Ëýíïõìå
ðåñéóóüôåñåò
áóêÞóåéòÂÞìá 3
1. Αν η εξίσωση ( )24λ 9 x 2λ 3− = − (ε) είναι ταυτότητα δείξτε ότι το σύστη-
µα λx y 1
3x 2y 2
+ = + =
έχει άπειρες λύσεις τις οποίες και να βρείτε.
Λύση:
Η (ε) είναι ταυτότητα άρα:
22
9 3λ λ
4λ 9 0 34 2λ
3 3 22λ 3 0λ λ
2 2
= = ± − = ⇔ ⇔ ⇔ = − = = =
Οπότε το συστηµα (σ) γίνεται:
{ {33x 2y 2x y 1 2 2y
3x 2y 2 x23x 2y 2 3
3x 2y 2
+ =+ = − ⇔ ⇔ + = ⇔ = + = + =Άρα έχει απειρία λύσεων:
2 2y(x,y) ,y
3
− = µε y∈� .
2. Αν x 3y 1 2x y 5 0− + + + − = βρείτε τα x,y R∈ .
Λύση:
Επειδή α 0≥ για κάθε α ∈� η ισότητα x 3y 1 2x y 5 0− + + + − = δίνει:
x 3y 1 0 x 3y 1 2x 6y 2 7y 7 y 1
και και και και και
2x y 5 0 2x y 5 2x y 5 y 5 2x x 2
− + = − = − − + = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − = + = + = = − =
3. Αν οι αριθµοί 3 και 1 είναι ρίζες της εξίσωσης (ε) 2
κx 3λx κ 1 0− + − =βρείτε τους κ,λ∈�
77.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Λύση:
• Το 1 είναι ρίζα της (ε) άρα: κ 3λ κ 1 0 2κ 3λ 1− + − = ⇔ − =• Το 3 είναι ρίζα της (ε) άρα: 9κ 9λ κ 1 0 10κ 9λ 1− + − = ⇔ − =• Λύνουµε το σύστηµα:
14κ 2 κ
2κ 3λ 1 6κ 9λ 3 22κ 1
210κ 9λ 1 10κ 9λ 1 λλ3
3
= − = − − = − + = − ⇔ ⇔ ⇔− − = − = = = −
4. Αν το σύστηµα 2αx 3y β 5
3x αy 5β
− = − + =
έχει λύση την (x,y) (1,2)= βρείτε τα α,β∈� .
Λύση:
Το (x,y) (1,2)= είναι λύση του συστήµατος άρα:
4β 42α 6 β 5 2α β 1 2α β 1 β 1
β 13 2α 5β 2α 5β 3 2α 5β 3 α 1α
2
− = −− = − − = − + = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ++ = − = − − = − ==
5. Αν τα συστήµατα: 1
2x 3y 8(σ )
αx 5βy 3
+ = − =
και 2
2αx 3βy 6(σ )
2x 5y 8
+ = − = −
έχουν κοινή λύση,
βρείτε τα α, β.
Λύση:
Έστω 0 0
(x ,y ) η κοινή λύση των 1 2
σ ,σ τότε ισχύουν:
0 0
0 0
0 0
0 0
2x 3y 8
αx 5βy 3
2αx 3βy 6
2x 5y 8
+ = − = + = − = −
Oπότε λύνοντας το σύστηµα:
00 0 0 0 0
00 0 0 0 00
8y 162x 3y 8 2x 3y 8 y 2
8 3y2x 5y 8 2x 5y 8 x 1x
2
=+ = + = = ⇔ ⇔ ⇔ −− = − − + = ==
βρήκαµε την µοναδική λύση των συστηµάτων 1 2
σ ,σ που είναι η 0 0
(x ,y ) (1,2)=οπότε οι άλλες δύο εξισώσεις δίνουν:
78. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
α 10β 3 2α 20β 6 26β 0 β 0
2α 6β 6 2α 6β 6 α 3 10β α 3
− = − + = − = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = = + =
6. Λύστε το σύστηµα:2 x 1 y 2 4
2 x 1 3 y 2 10
− + + =
− + + =Λύση:
Θέτω x 1 ω, y 2 ρ− = + = οπότε το σύστηµα γίνεται:
2ρ 6 ρ 32ω ρ 4 2ω ρ 4
4 ρ 12ω 3ρ 10 2ω 3ρ 10 ω ω
2 2
= = + = − − = − ⇔ ⇔ ⇔ −+ = + = = = Οπότε:
1x 1 και y 2 3
2− = + =
1x 1
2− = ή
1x 1
2− = − και y + 2 = 3 ή y + 2 = -3
3x =
2 ή
1x =
2 και y =1 ή y 5= −
Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι οι:
3 3 1 1(x,y) = ,1 , (x,y) . 5 , (x,y) ,1 , (x,y) , 5
2 2 2 2
= − = = −
7. Ένα σώµα εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση και το διάστηµα S σε m που διανύει
σε κάθε χρονική στιγµή t σε sec δίνεται από την συνάρτηση 2S(t) αt βt= + .
i. Αν σε χρόνο 5sec το σώµα έχει διανύσει 40m ενώ σε χρόνο 7sec έχει
διανύσει 70m βρείτε τους α,β ∈� .
ii. Ποια χρονική στιγµή το σώµα θα έχει διανύσει 10m;
Λύση:
i. Ισχύουν 25α 5β 40 5α β 8 2α 2 α 1
49α 7β 70 7α β 10 β 8 5α β 3
+ = + = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + = − − = − = − =
∆ηλαδή 2S(t ) t 3t= +
ii. Λύνουµε την εξίσωση:
3 3 49 3 7S(t ) 10 t 3t 10 t t t 2
2 2
− ± − ±= ⇔ + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ή t 5= − .
∆ηλαδή σε 2 sec το σώµα θα έχει διανύσει 10m.
79.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
8. Μια οµάδα µαθητών έγραψε σ’ένα µάθηµα διαγώνισµα που έχει 20 ερω-
τήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση ο µαθητής έπαιρνε 5 µονάδες ενώ για
κάθε λάθος απάντηση έχανε 3 µονάδες. Ένας µαθητής έγραψε 52 µονάδες
σ’αυτό το διαγώνισµα. Βρείτε πόσες απαντήσεις του ήταν σωστές και πό-
σες λάθος.
Λύση:
Έστω, x ο αριθµός των σωστών απαντήσεων και y ο αριθµός των λανθασµένων
απαντήσεων, τότε: • x y 20+ = και • 5x 3y 52− =Λύνουµε τώρα το (σ):
x y 20 3x 3y 60 8x 112 x 14
5x 3y 52 5x 3y 52 y 20 x y 6
+ = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − = = − =
9. Πρίν 16 χρόνια ο Α είχε διπλάσια ηλικία από την ηλικία του Β. Μετά από 11
χρόνια ο Β θα έχει 4/5 της ηλικίας του Α. Βρείτε τις ηλικίες τους σήµερα.
Λύση:
Έστω x η ηλικία του Α σήµερα και y η ηλικία του Β σήµερα, τότε:
• οι ηλικίες των Α,Β πριν από 16 χρόνια είναι x 16− και y 16− αντίστοιχα οπότε:
x 16 2(y 16) x 16 2y 32 x 2y 16− = − ⇔ − = − ⇔ − = −• οι ηλικίες των Α, Β µετά από 11 χρόνια είναι x 11, y 11+ + αντίστοιχα οπότε:
4y 11 (x 11) 5(y 11) 4(x 11) 5y 55 4x 44 4x 5x 11
5+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − + = −
Λύνoυµε τώρα το σύστηµα:
x 2y 16 4x 8y 64 3y 75 y 25
4x 5y 11 4x 5y 11 x 2y 16 x 50 16 34
− = − − = − − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − − + = − = − = − =
10. Οι µαθητές Α και Β ρωτούν τον καθηγητή στο τέλος του 2ου τετράµη-
νου πόσες απουσίες έχουν και εκείνος απαντά: Ο λόγος των απουσιών του
Α προς τις απουσίες του Β είναι 4/7 ενώ χωρίς τις τελευταίες 9 απουσίες
είναι ίσος µε 1/2.
i. Βρείτε τις απουσίες των Α, Β.
ii. Πόσες πρέπει να δικαιολογήσουν αν το όριο είναι 50.
Λύση:
Έστω x οι απουσίες του Α και y του Β τότε:
• x 4
7x 4y 7x 4y 0y 7
= ⇔ = ⇔ − =
80. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
• x 9 1
2x 18 y 9 2x y 9y 9 2
− = ⇔ − = − ⇔ − =−
• Λύνουµε το σύστηµα: 7x 4y 0 7x 4y 0 x 36 x 36
2x y 9 8x 4y 36 y 2x 9 y 63
− = − = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ − = − + = − = − =
Άρα ο µαθητής Β πρέπει να δικαιολογήσει 63–50=13 απουσίες.
11. α. Λύστε και διερεύνηστε το σύστηµα: 2
2x κy 4
κx 2y κ
+ =
+ = (σ)
β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του (σ) βρείτε το κ εφόσον ισχύει
0 0x 2y 1+ =Λύση:
α. Βρίσκουµε τις ορίζουσες: x yD,D ,D
( )2 22 κ
D 4 κ κ 4 (κ 2)(κ 2)κ 2
= = − = − − = − + −
( )3 3 2
x 2
4 κD 8 κ κ 8 (κ 2)(κ 2κ 4)
κ 2= = − = − − = − − + +
( )2
y 2
2 4D 2κ 4κ 2κ κ 2
κ κ= = − = −
Αν κ 2,2≠ − τότε D 0≠ και το (σ) έχει µοναδική λύση την:
( )2yx
2
DD ( 2) 2 4 2 ( 2)(x, y) , ,
D D ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 4 2,
2 2
− κ − κ + κ + κ κ −= = = − κ + κ − − κ + κ −
κ + κ + − κ κ + κ +
Αν κ 2= τότε D=0 και το (σ) γίνεται: { {2x 2y 4x y 2 x 2 y
2x 2y 4
+ =⇔ + = ⇔ = − + =
Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) (2 y, y) µε y= − ∈�
Αν κ 2= − τότε D= 0 και το (σ) γίνεται:
2x 2y 4 x y 2
2x 2y 4 x y 2
− = − = ⇔ − + = − = −
άρα είναι αδύνατο.
81.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
β. Λύνουµε την εξίσωση: 0 0
x 2y 1+ =2
2 2κ 2κ 4 2κ2 1 κ 2κ 4 4κ κ 2 κ 3κ 2 0
κ 2 κ 2
+ + −+ = ⇔ + + − = + ⇔ − + =+ +
( 3) 1 3 1κ κ κ 2 ή κ 1.
2 2
− − ± ±= ⇔ = ⇔ = = (Η κ 2= απορρίπτεται)
12. Λύστε και διευρευνήστε το σύστηµα: (λ 2)x 7(λ 3)y 35
x (λ 3)y λ
+ + − = + − =
(σ)
Λύση:
Βρίσκουµε τα x yD,D ,D
λ 2 7(λ 3)D (λ 2)(λ 3) 7(λ 3) (λ 3)(λ 2 7) (λ 3)(λ 5)
1 λ 3
+ −= = + − − − = − + − = − −
−
x
35 7(λ 3)D 35(λ 3) 7λ(λ 3) 7(λ 3)(5 λ) 7(λ 3)(λ 5)
λ λ 3
−= = − − − = − − = − − −
−
2y
λ 2 35D λ(λ 2) 35 λ 2λ 35 (λ 5)(λ 7)
1 λ
+= = + − = + − = − +
Αν λ 3,5≠ τότε D 0≠ και το (σ) έχει µοναδική λύση την:
yxDD 7(λ 3)(λ 5) (λ 5)(λ 7) λ 7
(x,y) , , 7,D D (λ 3)(λ 5) (λ 3)(λ 5) λ 3
− − − − + + = = = − − − − − −
Αν λ 3= τότε D=0 και το (σ) γίνεται:
5x 0y 35 x 0y 7
x 0y 3 x 0y 3
+ = + = ⇔ + = + =
άρα είναι αδύνατο.
Αν λ 5= τότε D=0 και το (σ) γίνεται:
{ {7x 14y 35 x 2y 5x 2y 5 x 5 2y
x 2y 5 x 2y 5
+ = + = ⇔ ⇔ + = ⇔ = − + = + =
Άρα το (σ) έχει απειρία λύσεων την (x, y) (5 2y, y) µε y= − ∈� .
82. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
13. ∆ίνεται ένα 2×××××2 γραµµικό σύστηµα µε άγνωστους x,y για το οποίο ισχύει:
x y
x y
2D D 4D
D 3D 5D
+ = − = − . Να βρείτε τη µοναδική λύση, αν γνωρίζετε ότι υπάρχει.
Λύση:
• Το (σ) έχει µοναδική λύση, άρα D 0≠ και yx
DD(x, y) ,
D D
= η µοναδική λύση του.
• Ισχύει:
yx
x y
x y yx
DD2 42D D 4D 2x y 4D D
D 3D 5D D x 3y 5D3 5
D D
+ =+ = + = ⇔ ⇔ ⇔ − = − − = − − = −
2x y 4 7y 14 y 2
2x 6y 10 x 3y 5 x 1
+ = = = ⇔ ⇔ − + = = − =
14. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική
λύση ενώ ακόµα ισχύει, x y x yD D 3D 2D 3D 4D 0− − + + + = .
Να βρεθεί η µοναδική λύση του γραµµικού συστήµατος
Λύση:
• Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D 0≠ και yx
DD(x,y) ,
D D
=
η µοναδική λύση του.
• Ισχύει:x y
x y x yx y
D D 3D 0D D 3D 2D 3D 4D 0
2D 3D 4D 0
− − =− − + + + = ⇔ ⇔ + + =yx
x y
x y yx
DD3D D 3D 0 x y 3D D
2D 3D 4D D 2x 3y 4D2 3 4
D D
− =− − = − = ⇔ ⇔ ⇔ + = − + = − + = −
2x 2y 6 5y 10 y 2
2x 3y 4 x y 3 x 1
− + = − = − = − ⇔ ⇔ + = − = + =
15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y που έχει µοναδική
λύση και για το οποίο ισχύουν 2x y 18+ = και 2 2x y x yD D 2D D+ = .
83.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Λύση:
• Το (σ) έχει µοναδική λύση άρα D 0≠ και yx
DD(x,y) ,
D D
=
η µοναδική λύση του.
• Ισχύει: 2 2 2 2
x y x y x y x yD D 2D D D D 2D D 0+ = ⇔ + − = ⇔
( )2 yx
x y x y
DDD D 0 D D 0 0 x y 0
D D− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
• Λύνουµε τώρα το (σ):2x y 18 3x 18 x 6
x y 0 y x y 6
+ = = = ⇔ ⇔ − = = =
16. Λύστε το σύστηµα:
1 19
x y
1 115
y z
1 112
z x
+ = + =
+ =
Λύση:
Προσθέτουµε κατά µέλη και τις τρείς εξισώσεις του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 12 36 18
x y z x y z
+ + = ⇔ + + =
(σ)
1. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 1η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 1 118 9 9 1 9z z
x y z x y z 9+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
2. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 2η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 1 118 15 3 1 3x x
x y z y z x 3+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
3. Από την (σ) αφαιρούµε κατά µέλη την 3η εξίσωση του συστήµατος και έχουµε:
1 1 1 1 1 1 118 12 6 1 6y y
x y z z x y 6+ + − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Άρα ( ) 1 1 1x,y,z , ,
3 6 9
= είναι η λύση του συστήµατος.
84. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
Ëýíïõìå
ìüíïé ìáòÂÞìá 4
1. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της
βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/8 του χρόνου της ζωής του. Αν όµως
πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος
της βασιλείας του θα ήταν ίσος µε το 1/2 του χρόνου της ζωής του. Να
βρείτε πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
2. ∆ύο φίλοι Α και Β συζητούν για την ηλικίας τους.
Ο Α λέει: Το διπλάσιο της ηλικίας µου µαζί µε το δικό σου µας δίνουν 50
χρόνια.
Ο Β λέει: Το τριπλάσιο της ηλικίας µου ισούται µε το διπλάσιο της ηλι-
κίας σου αυξήµενο κατά 5.
Βρείτε τις ηλικίες τους.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
85.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
3. Σε ένα ορθογώνιο η περίµετρος του είναι 26m. Αν η διάσταση του αυξηθεί
κατά 2m ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2m τότε το εµβαδόν του θα αυξηθεί
κατά 2m2. Βρείτε τις διαστάσεις του.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
4. ∆ύο τετράγωνα µε κέντρο Ο βρίσκονται το ένα µέσα στο άλλο. Η διαφορά
των περιµέτρων τους είναι 40m. Το εµβαδόν της επιφάνειας µεταξύ των
δύο τετραγώνων είναι ίσο µε 500m2. Βρείτε το εµβαδόν κάθε τετραγώνου.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
5. Στο διπλανό σχήµα η περίµετρος του ορθογω-
νίου είναι 36cm και τα µήκη x, y, z είναι ανάλο-
γα προς τους αριθµούς 4, 2, 3:
i. Βρείτε x, y, z,
ii. Βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου Κ∆Γ.
................................................................................
86. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
6. ∆ύο θετικοί ακέραιοι έχουν άθροισµα 87. Αν προσθέσουµε το 12 σε κάθε
έναν απ’αυτους, ο ένας γίνεται διπλάσιος του άλλου. Βρείτε τους αριθµούς.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
7. Ηµίονος και όνος βαδίζουν φορτωµένοι σακιά. Ο όνος στενάζει από το
βάρος και ο ηµίονος του λέει: Τι κάνεις έτσι; Αν µου έδινες 1 από τα σακιά
θα είχα στην πλάτη µου τα διπλά από σένα ενώ αν έπαιρνες 1 από τα δικά
µου θα είχαµε και οι δύο τα ίδια. Πόσα σακιά είχε το καθένα ζώο;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
87.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
8. Μια άδεια δεξαµενή έχει όγκο 2m3. Μια αντλία παροχής νερού αρχίζει να
την γεµίζει µε ρυθµό 20lt min .
α. Να εκφράσετε τον όγκο V του νερού στην δεξαµενή συναρτήσει του
χρόνου t (σε min).
β. Βρείτε σε ποια χρονική στιγµή θα γεµίσει η δεξαµενή
γ. Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης V.
δ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της V.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
9. Σε µια κάλπη βρίσκονται 100 ψηφοδέλτια δυο κοµµάτων Α και Β. Αν
προστεθούν στην κάλπη 3 ψηφοδέλτια του Α και 2 του Β τότε τα ψηφο-
δέλτια του Α είναι διπλάσια των ψηφοδελτίων του Β. Πόσα ψηφοδέλτια
κάθε κόµµατος υπήρχαν αρχικά στην κάλπη;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
10. Σε ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήµατα, αυτοκίνητα και ποδήλα-
τα. Αν όλα τα οχήµατα έχουν 164 ρόδες πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδή-
λατα υπάρχουν στο γκαράζ;
88. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
11. ∆ίνονται τα σηµεία A(1,3), B(–2,–3) και Γ(λ–1,5). Βρείτε το λ ώστε τα Α,
Β, Γ να είναι συνευθειακά.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
12. ∆ύο κινητά κινούνται ευθύγραµµα στο επίπεδο το πρώτο από το σηµείο
Α(1,5) προς το σηµείο Β(–1,1) και το δεύτερο από το σηµείο Γ(0,–1)
προς το σηµείο ∆(2,1). Βρείτε το κοινό σηµείο της διαδροµής τους.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
89.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
13. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα: y 2 λx
x 2λ y
− = − − = −
(σ)
β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του συστήµατος βρείτε το λ εφόσον ισχύει 0 0y x≤
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
14. α. Λύστε και διερευνήστε το σύστηµα λx y 2
x λy 2λ
+ = + =
(σ)
β. Αν (x0,y0) η µοναδική λύση του (σ) λύστε την ανίσωση 0
0
y κ 11
κ 2 x
−>
− +
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
15. ∆ίνεται ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y ώστε:
x yD 2 D 8 2D 8 0− + + + − = . Να λυθεί το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
90. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
16. Αν για ένα γραµµικό 2×××××2 σύστηµα µε άγνωστους x,y ισχύει:
( )2 2 2x y xD D D 17 2 D 4D+ + + = − . Να λύσετε το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
17. Αν η εξίσωση κ(x 2) λ(x 1) 3x− + + = είναι ταυτότητα και για το γραµµι-
κό 2×××××2 σύστηµα ισχύει: 2 2 2 2 2x y xD D D λD 4κD κ λ 10+ + − + = + − . Να λύ-
σετε το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
91.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
18. To άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι 6 και το
ψηφίων των µονάδων είναι 0. Αν αλλάξουµε τη θέση των ψηφίων
των εκατοντάδων και των δεκάδων του αριθµού, προκύπτει αριθµός
κατά 180 µεγαλύτερος. Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθµός.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
92. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5
ΘΕΜΑ 1ο
Απαντήστε µε (Σ) αν είναι σωστό και µε (Λ) αν είναι λάθος τα παρακάτω
αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας.
α) Η εξίσωση (λ - 2)x + (λ +3)y = 5 παριστάνει πάντα ευθεία.
β) Το σύστηµα
23x + 5y = 1
4 x + 5y = 7 είναι γραµµικό.
γ) Ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους µπορεί να
έχει ακριβώς δύο λύσεις.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 2ο
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την άποψή σας.
α) Η παράσταση Α = 23y2x2x −++− γίνεται ελάχιστη όταν:
Α) x = 2 και y = 4 Β) x = -2 και y = 1 Γ) x = 2 και y = -3
2
93.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο
β) Αν οι ευθείες y = 3x + 1, y = -2x +k τέµνονται στο σηµείο Α(-1,-2) τότε
το k είναι ίσο:
Α) k = 4, B) k = -3, Γ) k = 5, ∆) k = -4
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 3ο
α. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(-2,3)
και Β(5,-1).
β. Να βρείτε της εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία
Α(–1, –5) και Β(2, 4). Αν το σηµείο
22M , λ - 3
3 ανήκει στην ευθεία
που βρήκατε να προσδιορίσετε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
94. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ΘΕΜΑ 4ο
α.Ποιο σύστηµα παριστάνουν οι ευθείες ε1 και ε
2;
β. Αν για τις ρίζες ρ1, ρ
2 της δευτερεύουσας εξίσω-
σης:
( )2x y x yDW D D W D D 0− + + − = µε D, D
x, D
y οι
ορίζουσες ενός γραµµικού 2×××××2 συστήµατος µε άγνωστους x,y ισχύουν:
1 2ρ ,ρ 3= και 2 21 2ρ ρ 5+ = , λύστε το σύστηµα και µετά την εξίσωση.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................