a bayesian mortality forecasting framework for population and portfolio mortality
DESCRIPTION
A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and Portfolio Mortality. Hok Kwan Kan Primary supervisor: dr. Katrien Antonio Secondary supervisor: Prof.dr.ir. Michel Vellekoop. Introductie. Sterftemodellen Schatten van de huidige bevolkingssterfte - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
A Bayesian Mortality Forecasting Framework for Population and
Portfolio MortalityHok Kwan Kan
Primary supervisor: dr. Katrien AntonioSecondary supervisor: Prof.dr.ir. Michel Vellekoop
Introductie
Sterftemodellen• Schatten van de huidige bevolkingssterfte• Voorspellen van de toekomstige bevolkingssterfte
Pensioenfondsen, verzekeraars• Pricing• Reservering
Portefeuille sterfte bevolkingssterfte• Historische portefeuille data te beperkt voor
meeste sterftemodellen
Doelstellingen van de scriptie
Eerste deel:• Onderzoek naar de geschiktheid van het Lee-Carter
model in de Poisson-gamma setting (voor NL)• Vergelijking met het Lee-Carter model in de
Poisson setting Tweede deel:
• Ontwikkeling van een Bayesiaanse uitbreiding op het Lee-Carter model voor portefeuillesterfte
• Analyse m.b.v. AEGON portefeuilledata
Poisson Lee-Carter model
• : exposure op leeftijd x in jaar t • sterfte-intensiteit :• , en schatten met maximum likelihood
Impliciete beperking: Als data meer variantie bevat dan het model
voorspelt overdispersie
txtxtx meD ,,, Poisson~
txe ,
txxem tx ,
x x t
txtx DVarDE ,,
Poisson-gamma Lee-Carter model (1)
Onzekerheid in de Poisson parameter:
Zelfde verwachting als Poisson Lee-Carter model
• modelleert overdispersie• is de overdispersie parameter (leeftijdsonafh.)
txtxtx DEDEDVar ,2
,,
txtx DEDVar ,,
ቊ𝐷𝑥,𝑡|𝒁ഥ~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝑚𝑥,𝑡𝒁ഥ൯𝒁ഥ~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎൫𝜑ത−1,𝜑ത−1൯
Poisson-gamma Lee-Carter model (2)
Leeftijdspecifieke overdispersie parameter :
Zelfde verwachting als Poisson Lee-Carter model txxtxtx DEDEDVar ,
2,, txtx DEDVar ,,
ቊ𝐷𝑥,𝑡|𝑍ҧ𝒙~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝑚𝑥,𝑡𝑍ҧ𝒙൯𝑍ҧ𝒙~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎ሺ𝜑ത𝒙−1,𝜑ത𝒙−1ሻ
𝜑ത𝒙
Bron van de sterftedata
Nederlandse bevolkingssterfte Human Mortality Database
• http://www.mortality.org Jaren 1950 t/m 2009 Leeftijden 0 t/m 99
Parameter schattingen (man)
0 20 40 60 80 100
-10
-8-6
-4-2
Males: x
Age
x
Poisson-gamma model (age-specific)Poisson-gamma model (general)Poisson model
0 20 40 60 80 100
0.00
00.
010
0.02
00.
030
Males: x
Age
x
Poisson-gamma model (age-specific)Poisson-gamma model (general)Poisson model
Parameter schattingen (man)
1950 1970 1990 2010
020
4060
8010
0
Males: t
Year
t
Poisson modelPoisson-gamma model (general)Poisson-gamma model (age-specific)
0 20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
Males: ^
x
Age
^ x
Poisson-gamma model (age-specific)Poisson-gamma model (general)
Quality of the fit (man)
Lee-Carter modellen:• Poisson• Poisson-gamma (leeftijdsonafh.)• Poisson-gamma (leeftijdsafh.)
Overdispersie test, zie Denuit et al. (2007)
Likelihood-Ratio-Test
Projectie bevolkingssterfte (man)
1960 1980 2000 2020 2040 2060
-9.5
-9.0
-8.5
-8.0
-7.5
-7.0
-6.5
Year(t)
Raw dataMean forecast (Poisson)95% confidence interval (Poisson)Mean forecast (Poisson-gamma)95% confidence interval (Poisson-gamma)
1960 1980 2000 2020 2040 2060
-5.5
-5.0
-4.5
-4.0
-3.5
Year(t)
Raw dataMean forecast (Poisson)95% confidence interval (Poisson)Mean forecast (Poisson-gamma)95% confidence interval (Poisson-gamma)
Leeftijd 25 Leeftijd 65
Portefeuillesterfte
Beperkte historische data van de portefeuille Veel gebruikte oplossing:
• Schat portefeuillesterfte via ervaringsfactor• Portefeuillesterfte = bevolkingssterfte * ervaringsfactor
Combinatie van externe data en eigen data Wiskundig formaliseren met Bayesiaanse statistiek
Bayesiaanse uitbreiding LC-model
Poisson-gamma Lee-Carter model schatten op bevolkingssterfte
is de geschatte bevolkingssterfte interpreteren als een ervaringsfactor
• heeft structuur zodanig dat• Voor bevolkingssterfte is dit gewenst
ቊ𝐷𝑥,𝑡|𝑍ҧ𝑥~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝒎𝒙,𝒕𝒁ഥ𝒙൯𝑍ҧ𝑥~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎ሺ𝜑ത𝑥−1,𝜑ത𝑥−1ሻ
xZ
xZ
txm ,
1xZE
Bayesiaanse uitbreiding LC-model
Poisson-gamma Lee-Carter model toepassen op portefeuille
: geobserveerde dodenaantal, leeftijd x, jaar t is ervaringsfactor portefeuille
ቊ𝐷𝑥,𝑡𝒑𝒐𝒓𝒕|𝑍ҧ𝑥~Poisson൫𝑒𝑥,𝑡𝒑𝒐𝒓𝒕𝑚𝑥,𝑡𝑍ҧ𝑥൯𝑍ҧ𝑥~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎ሺ𝜑ത𝑥−1,𝜑ത𝑥−1ሻ
porttxd ,
T
ttx
porttxx
T
t
porttxx
portTx
porttxx medGammaddZ ,,
1,
1,, , ~,...,|
portTx
porttxx ddZE ,, ,...,|
?~,...,| ,,portTx
porttxx ddZ
Eigenschappen
Gewogen gemiddelde van geobserveerde- en bevolkingservaringsfactor
Gewicht:
meet onverklaarbare heterogeniteit • Als , dan• Als , dan
𝐸 �𝑍ҧ𝑥 ห𝑑𝑥,0𝑝𝑜𝑟𝑡 ,…,𝑑𝑥,𝑇𝑝𝑜𝑟𝑡൧= 𝑓∙𝐸ሾ𝑍ҧ𝑥ሿ+ሺ1−𝑓ሻ σ 𝑑𝑥,𝑡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑇𝑡=0σ 𝑒𝑥,𝑡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑚𝑥,𝑡𝑇𝑡=0
𝑓= 𝜑ത𝑥−1𝜑ത𝑥−1+σ 𝑒𝑥,𝑡𝑝𝑜𝑟𝑡𝑚𝑥,𝑡𝑇𝑡=0
x 0f0x 1f
x
AEGON portefeuille data
Leven- en pensioen portefeuille van AEGON Jaren 2003 t/m 2009 Resultaat voor vrouwen:
25 45 65 90
1.705.141 974.875 793.8901 931.9494
0,9999988 0,9859078 1,040745 0,9617708
ES-P2 factors 0,5835 0,7611 0,9034 0,9394
𝑬 �𝒁ഥ𝒙𝒑𝒐𝒓𝒕ห𝒅𝒙,𝟎𝒑𝒐𝒓𝒕,…,𝒅𝒙,𝑻𝒑𝒐𝒓𝒕൧ 𝝋ഥ𝒙−𝟏
Projectie portefeuillesterfte (vrouw)
1960 1980 2000 2020 2040 2060
-10
.0-9
.5-9
.0-8
.5-8
.0-7
.5
lnm
25,t
Yeart
Portfolio log-mortality development for females of age 25
Mean forecast (country)95% confidence interval (country)Mean forecast (portfolio)95% confidence interval (portfolio)
1960 1980 2000 2020 2040 2060
-5.5
-5.0
-4.5
-4.0
lnm
65,t
Yeart
Portfolio log-mortality development for females of age 65
Mean forecast (country)95% confidence interval (country)Mean forecast (portfolio)95% confidence interval (portfolio)
Leeftijd 25 Leeftijd 65
Bijdragen & Conclusies
Eerste deel:• Poisson-gamma LC-model met leeftijdspecifieke
overdispersie parameters levert de beste fit Tweede deel:
• Een statistisch model voor ervaringssterfte Bayesiaanse statistiek Ideeën uit credibiliteitstheorie (schade actuariaat)
• Analyse op AEGON portefeuille data Portefeuillesterfte wijkt weinig af van bevolkingssterfte Lage heterogeniteit in de bevolkingssterfte
Verder onderzoek
Uitbreiding:• Multivariate verdeling van de
Alternatieven• Andere verdelingen, bv Beta-Binomial• Andere credibiliteitsmodellen
xZ
Vragen
?