a linear algorithm for real-time scheduling with optimal energy … · 2020. 4. 15. · issn...

32
HAL Id: inria-00071696 https://hal.inria.fr/inria-00071696 Submitted on 23 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy Use Bruno Gaujal, Nicolas Navet, Cormac Walsh To cite this version: Bruno Gaujal, Nicolas Navet, Cormac Walsh. A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy Use. [Research Report] RR-4886, LIP RR-2003-38, INRIA,LIP. 2003. inria-00071696

Upload: others

Post on 11-Sep-2020

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

HAL Id: inria-00071696https://hal.inria.fr/inria-00071696

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling withOptimal Energy Use

Bruno Gaujal, Nicolas Navet, Cormac Walsh

To cite this version:Bruno Gaujal, Nicolas Navet, Cormac Walsh. A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling withOptimal Energy Use. [Research Report] RR-4886, LIP RR-2003-38, INRIA,LIP. 2003. �inria-00071696�

Page 2: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

THÈME 1

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

A linear algorithm for real-time scheduling withoptimal energy use

Bruno Gaujal — Nicolas Navet — Cormac Walsh

N° 4886 – version 2

version initiale Juillet, 16 2003 – version révisée Novembre 2003

Page 3: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE
Page 4: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes655, avenue de l’Europe, 38330 Montbonnot-St-Martin (France)

Téléphone : +33 4 76 61 52 00 — Télécopie +33 4 76 61 52 52

� ����������� �������������� �������������������� �"!#���$�%��������'&(�)���*��+�������� �����,�� -.%��"�

/1032#4�57698:2<;38:=,>@?BADCFEG5H=I8:JKA�8MLHNPORQD?TS15H03UV8:ERWX8:=FJZY\[

]_^a`cb9d@egfihgj�k�dmlonHpqdcr�k�s:k�r�`cb9d�ktu�vow)dcrg]�h�x�y

hgloz{z#vMu�r |{dKu�d�}�^adcu�}�^ad�~����<�������@��dcu�k���vM~V����f���dcu�k���vM~���~{��r���lo��d���n{������dcrm��em�9��������f��dcu�k���vM~�u�jc�:��k�j�d��1vm��dcbD�{u�d��������9���Rz"lo��d�k

������ m¡G¢{£� �¤�¥ dDz{u�d�k�dc~<r¦lo~§lo����vMu���r�^{b©¨ªvMu�k�}�^ad�|Hn{����~{��l@k�dcr�vo¨«~avM~H¬­u�d�}cn{u�u�dc~®r1r�lMk�¯:k�°IvMuw�vM�akZ±B²���r�^�³,x�³´yµu�dmlo�¶¬­r���b9d_}�vM~ak�r�u�lo��~®r�k�k�v1lMk´r�v b·��~{��b·��¸md¹r�^ad«r�vMr�lo�Hdc~adcu���sD}�vM~ak�n{b·z{r���vM~vM~§l·|Hs®~"lob·��}mlo����s���lou���lo�{��d���vM��r�lo��dDz{u�v®}�d�k�k�vMumº_ygn{uKlo����vMu���r�^{b»u�n{~ak���~¼����~admlou�r���b9d�lo~a|��kDr�^<nak�lo~½��b·z{u�vm��dcb9dc~®r·vm��dcuDr�^ad@}c��lMk�k���}mlo�¹lo����vMu���r�^{b¾vo¨_¿ÀlMv¼dcr�lo�­ºÀÁ�ec�MÂÃ��~Är�^{��k�}mlMk�d�ºxÅr�²_lMkDb@lM|{d�z�v�k�k����{��d·�<sÄ}�vM~ak���|{dcu���~{�Vr�^ad�z{u�vM�{��dcbÆlMk�l�k�^avMu�r�d�k�rDz"lor�^½z{u�vM�{��dcb�º ¥ dlo��k�v9z{u�vMz#v�k�d�lo~7lo����vMu���r�^{b»¨ªvMu�r�^ad�}mlMk�d�²�^adcu�d�r�^ad�z{u�v:}�d�k�k�vMugz�v�k�k�d�k�k�d�k vM~{��s¼l9����b·��r�d�|~®n{bD�#dcuqvo¨D}c��v:}�¯µ¨Iu�d�Ç®nadc~a}c��d�kmº ¥ d¼d3pHr�dc~a|Èr�^{��kÉlo����vMu���r�^{bÊr�vÄz{u�vm�:��|{dVr�^ad�b·��~{��bDn{b~®n{bD�#dcu@vo¨1k�z�d�d�|µ}�^"lo~{��d�kP�«²�^{��}�^Ë��kR��b·z�vMu�r�lo~®r9²�^adc~µr�^ad�k�z�d�d�|µk�²���r�}�^{��~{�½vm��dcu�^admlM|}mlo~{~avMr@��d�~adc����d�}cr�d�|BºXÌg����vMn{u�lo����vMu���r�^{b9kÉlou�d�����~admlou9��~Èr�^ad�~®n{bD�#dcuqvo¨Kr�lMk�¯Hk·�¶¨Kr�^adlou�u�����lo��k�lo~a|Í|{dmlM|H����~ad�k�lou�d§k�vMu�r�d�|Îlo~a|Í~ad�d�|ÎÏ@ÐIÑ�Ò�Ó�ÔÀÑÖÕ·r���b9d§vMr�^adcu�²���k�dÖlo~a|Ër�^ad�k�d}�vMb·z{��d3pH��r���d�kÀlou�d�k�^avm²�~@vMz{r���b@lo�­º ¥ d�d3p:r�dc~a|·r�^ad u�d�k�n{��r�kr�v1×an{��|·r�lMk�¯HkÃlo~a|·~avM~H¬�}�vM~®��d3p}�v�k�r_¨Fn{~a}cr���vM~akmºØ�Ù�Ú#Û�Ü�Ý ¡GÞ���¤ h�dmlo�¶¬�]_��b9d9ß®s:k�r�dcb9km�"à�vP²_¬�t´vP²Àdcum�,ß:}�^ad�|Hn{����~{�a�Bá1s®~"lob·��}�â«vM��r�lo��d·ß:}mlo�¶¬��~{�aº

ãä"å,ægç�è�é3ê�ë�ç<ìIíHîPïcð�ñTòóòõô)ö«÷�ø ìúù�ûZòõüõö3îoð3ýZþ3þcÿ�ç�è�é3ê<î�����ûZê���ö���ä�� û�üóò����� Gêoé�� �,û� ��ªû�ò���ö)ê��Ië�ò è�é3ê�� ���� ç����TìIñ«î:äaê��ªö��Kî! 1û#"cö)ê$ Gö�÷Gö�òóû%�oé���&�ùÀ÷Gö�òóû(',û)è�öZî!)�ï*)$+)ð-,�ûZêo÷Gé�ö. �"/�­ö3î0����û�ê��)ö��1ä!� ûZüõòÀå�ü1�)éZë

ò û��.� å,û#"cö�ù2��òõé��­üóû$� ���3 ä"å,ægç�è�é3ê�ë�ç<ìIíHîPïcð�ñTòóòõô)ö«÷�ø ìúù�ûZòõüõö3îoð3ýZþ3þcÿ�ç�è�é3ê<î�����ûZê���ö���ä�� û�üóò54�é���� û���� 6·û�ò7�98:��ö)ê��Ië�ò è�éZê;� ���< æPé���ö�êoö��)ö.�9�­û��ªèKû��9�9 ��>=Gù­üõé3ê��@?#ö��­ö«ûZ÷o÷Gö)÷��

Page 5: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� � � ��� ��#�)���R��� �������� ��#� +�� %�����­��#$�������� ��!´�«����g�Î���«�©+R��������� �!�%�����%D���������"�_����� �Ê$������,#� ��� ��+�������� ���

�� ���� � ¤ �gvMnak_z{u�vMz#v�k�vM~ak�n{~¼lo����vMu���r�^{b9d¦z#vMn{u vMu�|{vM~{~"lo~a}�dcu n{~�dc~ak�dcb��{��d�|{dKr��M}�^ad�k~avM~H¬­u�j�}cn{u�u�dc~®r�d�kÈ°Iv�����w�vM�ak���±�k�vMn{b·��k�d�k��Ë|{d�k¼}�vM~®r�u�lo��~<r�d�kÖr�dcb·zakVu�j�dc��³,x�³´y |{d½r�dc����d¨­l���vM~��Äb·��~{��b·��k�dcu@��l½}�vM~ak�vMb·b@lor���vM~Îdc~Íjc~adcu�����d§k�n{u9n{~Íz{u�v®}�d�k�k�dcn{u�|{vM~<rq��lÖr�dc~ak���vM~|��õlo����b9dc~®r�lor���vM~(z#dcn{r)¬�cr�u�dVb9v:|H���"dcuÉdc~H¬­������~adÈ° �Å|Hs®~"lob·��}§��vM��r�lo��d7k�}mlo����~{����±3º"!¹dcr�lo����vo¬u���r�^{b9d§d�k�r9����~ajmlo��u�d§dc~Ë��d¼~avMbD�{u�d§|{d�r��M}�^ad�kq}�dVÇ<n{�1}�vM~ak�r���r�nad�n{~ad7lob9jc����vMu�lor���vM~Xz"louu�loz{z#vMu�r#���$�õlo����vMu���r�^{b9d�}c��lMk�k���Ç®nad�|{d1¿ÀlMv9dcr�lo�­º�Á�ec��ÂT|alo~ak�}�d�}mlMkmº�!¹dcr�r�dDlob9jc����vMu�lor���vM~Öljcr�jÀz#v�k�k����{��dÃdc~R}�vM~ak���|{jcu�lo~®r,}�dÀz{u�vM�{��`cb9d_|�� vMu�|{vM~{~"lo~a}�dcb9dc~<rÃk�vMnakT��dTw)vMn{u�|�� n{~�z{u�vM�{��`cb9d|{dRz{��nakD}�vMn{u�r�}�^adcb·��~�º·�1vMnak¦z{u�j�k�dc~<r�vM~akDn{~½lo����vMu���r�^{b9d·z#vMn{u¦��d·}mlMk�v��Ö��dRz{u�v®}�d�k�k�dcn{uz#v�k�k�`�|{d«n{~D~avMbD�{u�d��a~{�H|{d�®��r�d�k�k�d�kmºT�1vMnak´�$� jcr�dc~a|{vM~ak´dc~ak�n{��r�dÀz#vMn{uTb·��~{��b·��k�dcu´��d«~avMbD�{u�d|{dD}�^"lo~{��dcb9dc~<r¦|{dD�®��r�d�k�k�d�k }�dDÇ®n{�Td�k�r ��b·z#vMu�r�lo~<r1��vMu�k�Ç®nad¦��dD}�v�%{rg|�� n{~V}�^"lo~{��dcb9dc~®r¦|{d�:��r�d�k�k�d�k�~ad·z�dcn{r&�cr�u�d@~ajc��������j�d�º�]´vMnak���d�kDlo����vMu���r�^{b9d�kRk�vM~®r�����~ajmlo��u�d�kDdc~½��d·~avMbD�{u�d�|{dr��M}�^ad�k_k��"��d�k¹��~ak�r�lo~®r�k¹|��õlou�u����Hj�d1dcr¹|�� j�}�^ajmlo~a}�d�k�k�vM~<r¹r�u���j�k_v��qdc~�Ï9ÐIÑ�Ò�Ó�ÔÃÑÖÕ«k���~avM~�º�!¹d�k}�vMb·z{��d3pH��r�j�k k�vM~®r z{u�vMn{��j�d�k vMz{r���b@lo��d�kmºÃ�gvMnak jcr�dc~a|{vM~ak�dc~ak�n{��r�d¦��d�k_u�j�k�n{��r�lor�k�lon�}mlMk�|{d�kr��M}�^ad�k�×an{��|{d�kgdcr�lonHpq¨ªvM~a}cr���vM~ak |{d�}�v�%{r�~avM~H¬�}�vM~<��d3p{d�kmº' Ý  m� Û £)( � ��¤ ß®sHk�r�`cb9d�k�]´dcb·zakghgj�dc�­�+*«}�vM~avMb·��dD|��,*«~adcu�����d��#ygu�|{vM~{~"lo~a}�dcb9dc~®rm�BÌ�|alozH¬r�lor���vM~Vágs:~"lob·��Ç®nad�|Hn�â«vM��r�lo��d�º

Page 6: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� �

7 8 �g�"#�¦$�%�!T����� �

9 Ý0:   Ù�;   Ý=<  ?> Ù ��  �´Þ ÚA@(]Tv½z{u�vm�:��|{d�b9vMu�d�¨In{~a}cr���vM~"lo����r�sËlo~a| �#dcr�r�dcu@z#dcu)¨ªvMu�b@lo~a}�d��dcb���d�|{|{d�|\k�sHk�r�dcb9k¦^"l���d@��~a}cu�dmlMk���~{�¼~ad�d�|ĨIvMu�}�vMb·z{n{r�lor���vM~\z#vm²¹dcumº�]_^{��kDu�d�Ç<n{��u�d�kDr�^adnak�dqvo¨1^{����^ ¨Fu�d�Ç®nadc~a}cs dc��d�}cr�u�vM~{��}�}�vMb·z#vM~adc~<r�k@r�^"lor9}�vM~ak�n{b9dÉbDna}�^Ëdc��d�}cr�u���}mlo��z#vm²Àdcumº!Àn{u�u�dc~®r���s�� �"lor�r�dcu�sÈr�d�}�^{~avM��vM��sÈ��k�~avMr�z{u�vM��u�d�k�k���~{� k�n%B@}c��dc~®r���s ¨­lMk�r@r�v½¯�d�dczÍn{zͲ���r�^|{dcb@lo~a|Bº�Ì������"lor�r�dcu�s7vMz�dcu�lor�d�|7k�sHk�r�dcb9km�#k�na}�^ÖlMk¦tÃá ÌgkP�#��loz{r�vMzak�lo~a|Vb9vM�{����dRz{^avM~ad�kP�²¹vMn{��|@�#dc~ad �ar«¨Iu�vMb�l���dcr�r�dcu¹dc~adcu���s9d�B@}c��dc~a}cs�ºh�d�|Hna}c��~{��dc~adcu���s9}�vM~ak�n{b·z{r���vM~�²�������~avMrvM~{��sÖ��dmlM|\r�v7l���vM~{��dcu·vMz�dcu�lor���~{�§r���b9d��{n{rRlo��k�vVr�vVlV|{d�}cu�dmlMk�dqvo¨ r�^ad@²¹dc����^<r9lo~a|\r�^adk�z"lM}�d¦|{dc��vMr�d�|�r�vRr�^ad¦�"lor�r�dcu�s�º

CD;FE ��  E�:3GIH�Ý ¡KJ @¹Ìgb9vM~{��k�r¹^"lou�|H²¹lou�d�lo~a|qk�vo¨Ir�²¹lou�d1r�d�}�^{~{��Ç<nad�k lo��b9d�|ÉlorÀu�d�|Hna}c��~{�dc~adcu���s§}�vM~ak�n{b·z{r���vM~��Bk�n{z{z{��sV��vM��r�lo��d�u�d�|Hna}cr���vM~��´lo~a|V^adc~a}�d�u�d�|Hna}cr���vM~Ävo¨ !¹tML k�z#d�d�|B���kDz"lou�r���}cn{��lou���s½d�NBd�}cr�����d�ºq]_^{��k���k��#d�}mlonak�d@r�^ad9z#vm²Àdcu�|H��k�k���z"lor�d�|½��~ !POÖy¦ßÖ}c��u�}cn{��r�k���kz{u�vMz#vMu�r���vM~"lo�1r�vÄr�^ad¼k�Ç<n"lou�dVvo¨Kr�^adVk�n{z{z{��s ��vM��r�lo��d�ºÎxÅ~Ër�^ad���lMk�r·¨Idc² s�dmlou�km�_��lou���lo�{��d��vM��r�lo��dVz{u�v:}�d�k�k�vMu�k�^"l���dV��d�}�vMb9d7l���lo����lo�{��d§lo~a|ÍbDna}�^Íu�d�k�dmlou�}�^ ^"lMk@�#d�dc~Í}�vM~a|Hna}cr�d�|��~ r�^ad �"dc��|µvo¨g|Hs®~"lob·��}É��vM��r�lo��dÉk�}mlo����~{�aº ¥ ^adc~ u�dmlo�¶¬­r���b9d�}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k�lou�d�b@lor�r�dcu·vo¨}�vM~a}�dcu�~��_r�^ad¼d3p:r�dc~®r�r�vÖ²�^{��}�^Ër�^adVk�s:k�r�dcb }mlo~Èu�d�|Hna}�d�r�^ad !¹tQL ¨Fu�d�Ç®nadc~a}cs |{dcz�dc~a|{kvM~Vr�^ad�r�lMk�¯ � k�}�^"lou�lM}cr�dcu���k�r���}�k·°Id3pHd�}cn{r���vM~§r���b9d��#lou�u����Mlo��|alor�d���|{dmlM|H����~adqº�º�º�±Élo~a|¼vM~Vr�^adn{~a|{dcu���s:��~{�@k�}�^ad�|Hn{����~{�@z#vM����}cs�ºt´vP²ÀdcuÃ}�vM~ak�}c��vMnak���dcu�k���vM~ak,vo¨"r�^adÀr�²¹v¦}c��lMk�k���}mlo�:u�dmlo�¶¬­r���b9d�k�}�^ad�|Hn{����~{�Kz#vM����}c��d�km�M~"lob9dc��s

RÃá1³ °�RÃlou�����d�k�r«áKdmlM|H����~ad_³���u�k�rZ±Tlo~a|R³,t«tÈ°I³��¶p{d�|�t«u���vMu���r�s�t«u�d3¬�dcb·z{r�����dP±3��^"l���d_�#d�dc~�z{u�vo¬z#v�k�d�|Bº´³avMu�³,t«t���ß®^{��~Rlo~a|·ß®^avM�#Á�em�GÂ:z{u�d�k�dc~®r�d�|·l k���b·z{��dÀu�n{~H¬­r���b9d_k�r�u�lor�dc��s¦r�^"lor´u�d�|Hna}�d�kdc~adcu���s·}�vM~ak�n{b·z{r���vM~�ºÃx�~¼Á�em�GÂ��%Sgn"lo~qlo~a|UT�n9z{u�vMz#v�k�d�|qlKb9vMu�d�}�vMb·z{��d3p@lo����vMu���r�^{b r�^"lor²_lMk�b9vMu�d�d�B@}c��dc~<rK��~Vr�^adc��u1d3pHz�dcu���b9dc~®r�kmºVO§vMu�d�u�d�}�dc~®r���s���¿«n{~§lo~a|XWK��b»��~\Á�e6YM´z{u�vm��d�kr�^"lor,}�vMb·z{n{r���~{�¦r�^adÀ��vM��r�lo��d¹k�}�^ad�|Hn{��d_vo¨�lgk�dcr�vo¨ar�lMk�¯:k�n{~a|{dcu,³�tÃt7��k��1t,¬ZTKlou�|�lo~a|�r�^adcsz{u�d�k�dc~<r�lo~¼loz{z{u�v�pH��b@lor���vM~Vk�}�^adcb9dKr�^"lor�u�n{~ak���~Éz#vM��s®~avMb·��lo�Br���b9d�lo~a|ɲ�^av�k�dKz{u�d�}c��k���vM~²�º umº rmº«r�^ad�vMz{r���b@lo�Tk�vM��n{r���vM~¼}mlo~¼��d¦}�^av�k�dc~Vlou��{��r�u�lou�����s�k�b@lo���­º¥ ^adc~ r�^ad�k�}�^ad�|Hn{����~{�½��kRb@lM|{d�vM~ r�vMzÈvo¨�R«áK³_��¿ÀlMvÖdcr�lo�­º ��~(Á�ec�M z{u�vMz�v�k�d�|Èlo~

vKN�¬­����~ad�lo����vMu���r�^{b¾¨IvMu �a~a|H��~{�7r�^adqvMz{r���b@lo�_��vM��r�lo��dÉk�}�^ad�|Hn{��d�vo¨1l¼k�dcr�vo¨���~a|{dcz#dc~a|{dc~<rr�lMk�¯:kmºD]_^adcs7lo��k�vqz{u�d�k�dc~®r�d�|Äk�vMb9d·vM~H¬­����~adR^adcn{u���k�r���}�k�lo~a|7�<l���dR��vm²¹dcu��#vMn{~a|{k¦vM~Ör�^adc��ud�B@}c��dc~a}cs�º�ygr�^adcuKvM~H¬­����~adR^adcn{u���k�r���}�kK�"lMk�d�|VvM~[R«áK³Í^"l���d��#d�dc~§z{u�vMz#v�k�d�|B��¨ªvMug��~ak�r�lo~a}�d��~ÄÁ\YMÂB¨IvMu�r�^ad¦z{u�vM�{��dcb vo¨,k�}�^ad�|Hn{����~{�@�#vMr�^�z#dcu���v®|H��}�lo~a|¼loz#dcu���v:|H��}¦u�d�Ç<nad�k�r�kmºygr�^adcuK|H��u�d�}cr���vM~akDvo¨Ãu�d�k�dmlou�}�^Ä}�vM~a}�dcu�~Ör�^adR|H��k�}cu�dcz"lo~a}csV��dcrŲÀd�dc~IJ¹vMu�k�r)¬�}mlMk�dRd3p{d�}cnH¬

r���vM~Ër���b9d�k¼° ¥ !PR«]�±9lo~a|ÍlM}cr�n"lo�gd3p{d�}cn{r���vM~Èr���b9d�kmºÍyg~ad�}c��lMk�k9vo¨¦lo����vMu���r�^{b9kP�_¯®~avP²�~lMk �Åk�r�v:}�^"lMk�r���}�k�}�^ad�|Hn{����~{���qÁõ�H�B�H���MÂ,}�vM~ak���k�r�kKvo¨ �a~a|H��~{��l·¨ªdmlMk����{��dRk�z#d�d�|Vk�}�^ad�|Hn{��d�r�^"lorb·��~{��b·��¸md�kgr�^adDd3pHz#d�}cr�d�|¼dc~adcu���s�}�vM~ak�n{b·z{r���vM~�º Ì�k�d�}�vM~a|V}c��lMk�k�vo¨r�d�}�^{~{��Ç<nad�k�Á\]{��e�ec´��k¯:~avm²�~ lMk �Å}�vMb·z{����dcu)¬ÅlMk�k���k�r�d�|µk�}�^ad�|Hn{����~{����ºVÌ r�lMk�¯Ö��kD|H���:��|{d�|½��~®r�vVk�d�}cr���vM~ak�¨ªvMu�²�^{��}�^r�^ad ¥ !PR«]Í��kï:~avm²�~�lo~a|�r�^ad�z{u�v:}�d�k�k�vMu¹k�z�d�d�|@��kÃu�d3¬�}�vMb·z{n{r�d�|�lorÀr�^adgdc~a|qvo¨Td3p{d�}cn{r���vM~

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 7: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

vo¨1dmlM}�^ k�d�}cr���vM~ lM}�}�vMu�|H��~{�Ör�v¼r�^adÉ|H� NBdcu�dc~a}�d��#dcr�²¹d�dc~ r�^ad ¥ !PRÃ] lo~a| r�^ad�r���b9dqr�^"lor²_lMk@lM}cr�n"lo����s ~ad�d�|{d�| r�vÖd3p{d�}cn{r�d�r�^ad�}�v:|{d�º Ì�b9vM~{� lo��r�dcu�~"lor�����dVloz{z{u�v�lM}�^ad�kP�_r�dcu�b9d�|�Å|Hs:~"lob·��}¦u�d�}c��lo��b·��~{�Élo����vMu���r�^{b9k����"vM~ad¦}mlo~¼}c��r�d@Á�e3Â�lo~a|ÖÁ�em�oÂ�º��n{b9dcu�vMnakÀvMr�^adcuÃk�r�na|H��d�k^"lm��d �#d�dc~9}�vM~a|Hna}cr�d�|@vM~@|Hs:~"lob·��}���vM��r�lo��d�k�}�^ad�|Hn{����~{���®r�^ad

u�dmlM|{dcu�b@l�sÉu�d3¨Idcu�r�v¼Á �MÂB¨IvMugl�u�d�}�dc~®rgk�n{u���dcs�º� Ý ¢+( Ý <  ?> Ù�� ¢ �«Ù ¡ @©]_^adÖk�r�na|HsËz{n{�{����k�^ad�|Î��~ Á�ec�MÂ�u�dcb@lo��~ak�vM~adÖvo¨Rr�^ad7b9v�k�r

��b·z#vMu�r�lo~<r���~qr�^ad �"dc��|q�#d�}mlonak�dK��r_z{u�vm�:��|{d�km�:¨ªvMu¹��~a|{dcz#dc~a|{dc~<rgr�lMk�¯HkÀ²���r�^�|{dmlM|H����~ad�kP�Hr�^adk�}�^ad�|Hn{��d�r�^"lorgb·��~{��b·��¸md�kgdc~adcu���s�nakZlo��d¦²�^{����dDdc~ak�n{u���~{��r�^"lorg|{dmlM|H����~ad�kKlou�d¦~avMr�b·��k�k�d�|Bº]_^adÉlo����vMu���r�^{bƲÀvMu�¯HkD�®sÄ��|{dc~<r��¶¨Is:��~{�§r�^ad@r���b9d@��~®r�dcu��Mlo�­�«r�dcu�b9d�|½r�^adq}cu���r���}mlo�À��~®r�dcu��Mlo�­�vP��dcu«²�^{��}�^�r�^ad_^{����^ad�k�r«z{u�v:}�d�k�k���~{�Dk�z�d�d�|R��ku�d�Ç®n{��u�d�|Bº,]_^ad���vm²¹d�k�r¹lM|Hb·��k�k����{��d_¨Iu�d�Ç<nadc~a}cs��kD}�vMb·z{n{r�d�|Ö¨ªvMu¦r�^{��k���~<r�dcu���lo�­�´r�^ad·r�lMk�¯Hk¦��dc��vM~{����~{�¼r�v�r�^{��k���~®r�dcu��Mlo�g°F�­º d�ºqlou�u����Mlo�À|alor�dlo~a|q|{dmlM|H����~ad1��~ak���|{dgr�^ad���~®r�dcu��Mlo�ú±¹lou�dgr�^adc~�u�dcb9vP��d�|Élo~a|Él�k�n{�H¬­z{u�vM�{��dcb ��kÀ}�vM~ak�r�u�na}cr�d�|²���r�^ r�^ad�u�dcb@lo��~{��~{�Ör�lMk�¯:kPº§ygn{uR}�vM~<r�u����{n{r���vM~È��k�}�vMb·z{����b9dc~<r�lou�s r�v\Á�ec��¹��~ r�^ad�k�dc~ak�dr�^"lorD²Àd �au�k�r�lM|Hu�d�k�k¦r�^ad·z"lou�r���}cn{��louR}mlMk�d9vo¨_r�lMk�¯Hk¦^"l��:��~{�V³,x�³´y }�vM~ak�r�u�lo��~®r�k�lo~a|Är�^adc~z{u�vMz#v�k�dÉk�dc��dcu�lo� d3pHr�dc~ak���vM~akRr�^"lor·²ÀvMu�¯ ��~Èlo����}mlMk�d�k�°F~avM~H¬�³,xų´y¦±3ºMOVvMu�dqz{u�d�}c��k�dc��s��Ãr�^adz{u�vM�{��dcb'vo¨ �a~a|H��~{�qr�^ad�b·��~{��b@lo�,��vM��r�lo��d·k�}�^ad�|Hn{��dR��kg^adcu�d�u�d�|Hna}�d�|§r�v�l@k�^avMu�r�d�k�rKz"lor�^z{u�vM�{��dcb�²�^adc~@r�^ad�r�lMk�¯:kÃ}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k�lou�d ³,x�³´y�º<]_^{��kÀdc~"lo�{��d�kÃnakÃr�v�z{u�vm�:��|{d ����~admlou)¬­r���b9dlo����vMu���r�^{b9k�¨IvMu_b·��~{��b·��¸���~{�9r�^adKdc~adcu���sÉ}�vM~ak�n{b·z{r���vM~�vo¨,l�k�dcr�vo¨´~avM~H¬­u�d�}cn{u�u�dc~®r r�lMk�¯Hk_��~r�^ad1¨ªvM����vm²���~{�qk���r�n"lor���vM~ak��e�º�²�^adc~�r�^adKz{u�v:}�d�k�k�vMu k�z#d�d�|qu�lo~{��d¦��k }�vM~<r���~®navMnak�°Fr�^adKz{u�v:}�d�k�k�vMu }mlo~�r�lo¯�d�lo~¼lou��{�¶¬r�u�lou�sq¨Fu�d�Ç®nadc~a}csqvP��dcu r�^adK¨Iu�d�Ç<nadc~a}csqu�lo~{��dP±3�

�Hº�²�^adc~�r�^ad¦~®n{bD�#dcugvo¨k�z�d�d�|{k_��k�|H��k�}cu�dcr�d���Hº�²�^adc~¼r�^ad¦~®n{bD�#dcu1vo¨«k�z#d�d�|{k ��k�|H��k�}cu�dcr�d�lo~a|¼r�^adcu�d���k r�^ad�lM|{|H��r���vM~"lo��vM�Hw�d�}cr�����dDvo¨b·��~{��b·��¸���~{�Rr�^ad�~®n{bD�#dcu¹vo¨Tk�z#d�d�|@}�^"lo~{��d�kmº«]´vDr�^ad���d�k�r¹vo¨TvMn{uï:~avm²���d�|H��d��H��~qvMn{u}�vM~<r�d3pHrm�ar�^{��k�z{u�vM�{��dcb»^"lMk ~avMr��#d�dc~VlM|{|Hu�d�k�k�d�|��#d3¨ªvMu�d�º

³an{u�r�^adcu�b9vMu�d��Td3pHr�dc~ak���vM~ak���lo~a|Ä�qlou�dRk�r������,�Mlo����|§²���r�^avMn{r¦r�^adR³,xų�y�lMk�k�n{b·z{r���vM~�ºDÌg~H¬vMr�^adcuK}�vM~<r�u����{n{r���vM~Ävo¨Àr�^adDz"loz#dcug��kKl@z{u�v®vo¨«r�^"lorKr�^ad�vMz{r���b@lo�,k�vM��n{r���vM~V²���r�^Öl@|H��k�}cu�dcr�d~®n{bD�#dcu�vo¨�k�z#d�d�|{k·��k·r�vÖnak�d�r�^ad�r�²¹vÄ~adc����^®��vMu���~{�½¨Fu�d�Ç®nadc~a}c��d�k9r�^"lor���vMn{~a| r�^ad���|{dmlo�¨Iu�d�Ç®nadc~a}cs�º�]_^{��k1u�d�k�n{��r�^"lMk1�#d�dc~Vk�^avP²�~7��~\Áõ�o´¨IvMuKl@k���~{����dDr�lMk�¯�}�vM~ak���|{dcu�d�|Ölo��vM~ad��{n{rm�r�vÉr�^ad9��d�k�r�vo¨�vMn{u�¯:~avm²���d�|H��d���r�^{��k¦²_lMk�~avMr�¯:~avm²�~Ö¨ªvMu�lq����vM�"lo�¹vMz{r���b·��¸Plor���vM~\vm��dcuRlk�dcr vo¨�r�lMk�¯Hkmº ¥ d�lo��k�v@}�vM~ak���|{dcu r�^ad¦}mlMk�d�vo¨�×an{��|�r�lMk�¯Hk lo~a|�~avM~H¬�}�vM~®��d3p¼}�v�k�r_¨Fn{~a}cr���vM~akPº

�R¡ G ¢ : E � ¢H  EFÝ : Ý <  ?> Ù Þ Ý £)�� Ù):   @½ß:d�}cr���vM~È��|{d�k�}cu����#d�k�r�^ad�k�sHk�r�dcb.b9v®|{dc�_lo~a|k�r�na|H��d�kTr�^adÃz{u�vM�{��dcb ��~�r�^adÀ}mlMk�d«²�^adcu�dÀr�^ad«z{u�v:}�d�k�k�vMuT^"lMk,l }�vM~®r���~<navMnak,¨Iu�d�Ç®nadc~a}cs¦u�lo~{��d�ºxÅ~ ß:d�}cr���vM~µ�H�Tr�^ad·z{u�vM�{��dcb¾²�^adcu�d9r�^ad@z{u�v®}�d�k�k�vMu�z#v�k�k�d�k�k�d�k�l �a~{��r�d9~®n{bD�#dcu�vo¨ k�z#d�d�|{k��k1��~®��d�k�r����<lor�d�|Ö��~7r�²¹v�k�r�dczak�� �au�k�rK²���r�^avMn{r¦b·��~{��b·��¸���~{��r�^ad�~<n{bD�#dcu�vo¨¹k�z�d�d�|7}�^"lo~{��d�k

ìFå��TìIñ

Page 8: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� Y

lo~a|Är�^adc~IJ���r�^Är�^{��kDlM|{|H��r���vM~"lo�¹vM�Hw)d�}cr�����d�º�x�~\ß:d�}cr���vM~\��r�^ad@lo����vMu���r�^{b ��dmlM|H��~{�Vr�vÉr�^ad��vP²Àd�k�r�dc~adcu���s7k�}�^ad�|Hn{��d·��k¦|{dcr�lo����d�| lo~a|7��r�k¦����~admlou�}�vMb·z{��d3p:��rÅsÖ��kKz{u�vm��dc~�º�ß:d�}cr���vM~ Yq��k|{d�|H��}mlor�d�|¼r�v�×an{��|�r�lMk�¯Hk�lo~a|¼ß:d�}cr���vM~§��r�v9~avM~H¬�}�vM~<��d3p¼}�v�k�r_¨In{~a}cr���vM~akmº

� � ���_���«����g�(� �V����� +���������«�¥ d�}�vM~ak���|{dcu·l�k�sHk�r�dcb b@lM|{dqvo¨gl�k���~{����d@z{u�v:}�d�k�k���~{�Vn{~{��r�|{d�|H��}mlor�d�|\r�vVd3p{d�}cn{r�dqk�vMb9d²¹vMu�¯Ä²���r�^µu�dmlo�¶¬­r���b9dÉ}�vM~ak�r�u�lo��~<r�kmºÖ]_^adq²¹vMu�¯ lou�u�����lo�èIn{~a}cr���vM~���Ð���Õ¦��k�r�^adÉlob9vMn{~<r9vo¨²¹vMu�¯�r�^"lorK^"lMk¦lou�u�����d�|Vn{z§r�v�r���b9d��cº¦yg~ad�|{dc~avMr�d�k1�®s7Ð���Õ r�^ad�lob9vMn{~®r�vo¨«²ÀvMu�¯Vr�^"lorr�^ad¼k�dcu���dcu9bDnak�r9^"l���dVd3pHd�}cn{r�d�|Ë�<sµr���b9d��c�Ãr�^ad���lo��nad�k@vo¨Kr�^{��k·¨In{~a}cr���vM~Ílou�d¼��~a|Hna}�d�|�®s¼r�^adR|{dmlM|H����~ad�k�vo¨¹r�^ad�r�lMk�¯:kmº¦³an{~a}cr���vM~ak���lo~a| lou�d�~avM~H¬�|{d�}cu�dmlMk���~{�¼�<sV|{d �a~{��r���vM~lo~a|�¨IvMuKlo�����c��vM~adD^"lMk��RÐ���Õ���7Ð���Õ3º ¥ ��r�^¼~av���v�k�kgvo¨«��dc~adcu�lo����r�s��#vM~ad�}mlo~7lMk�k�n{b9dDr�^"lor�RÐ��<Õ����Ölo~a|�7Ð��<Õ����{º ß®��~a}�d�� lo~a|� lou�dq~avM~H¬�|{d�}cu�dmlMk���~{�a�Àr�^adcs lou�dÉz{��d�}�d3¬­²���k�d}�vM~®r���~<navMnakmº]_^adDr�lMk�¯Hk1vo¨Ãr�^ad�k�s:k�r�dcb�lou�d�}�^"lou�lM}cr�dcu���¸md�|Ö�<s¼r�^ad�k�dcr��®Ð������! "�#�%$&�HÕ!'(�*),+.-/-/- 0 ²�^adcu�d

r�^ad¦Ç®n"lo~<r���r���d�k��&���! (���%$1�qu�d�k�z#d�}cr�����dc��sq|{dc~avMr�dDr�^ad�lou�u����Mlo��r���b9d��Hr�^adDk���¸md9°F�­º d�º«d3p{d�}cn{r���vM~r���b9d�lor�b@lGpH��bDn{b�k�z#d�d�|"± lo~a|�r�^ad�|{dmlM|H����~ad�vo¨«r�lMk�¯32«º_xÅ~�r�^ad�u�d�k�rgvo¨r�^{��kgk�d�}cr���vM~��"²¹dlMk�k�n{b9d1r�^"lor¹r�lMk�¯:k¹^"l���d¦³,x�³´y�u�dmlo�¶¬­r���b9d¦}�vM~ak�r�u�lo��~®r�k�~"lob9dc��s��4�&5768�:9�;<$1576�$=91�?>�@%�BA"º�1vMr�d�r�^"lorKk�na}�^7~avM~H¬­u�d�}cn{u�u�dc~<r�r�lMk�¯:kKlou�dRk�vMb9dcr���b9d�kKr�dcu�b9d�| ��w�vM�ak��DvMu¦dc��dc~ ��loz#dcu���v:|H��}r�lMk�¯:k�� ��~qr�^ad1����r�dcu�lor�n{u�d�º«�1dc��dcu�r�^adc��d�k�km�H²Àd1z#vM��~<r�vMn{r_r�^"lorÀr�^ad1u�d�k�n{��r�k¹z{u�d�k�dc~®r�d�|É��~Ér�^{��kz"loz#dcug}mlo~7lo��k�v·�#dDloz{z{����d�|Vr�v9z#dcu���v®|H��}Dr�lMk�¯:k �<s�}�vMb·z{n{r���~{�qr�^adDk�}�^ad�|Hn{��d�¨ªvMu�r�^adD��dmlMk�r}�vMb·b9vM~¼bDn{��r���z{��dDvo¨«lo����r�lMk�¯Hk_z#dcu���v®|{kmº]_^adq¨Fn{~a}cr���vM~ak��RÐ���ÕRlo~a|�§Ð���ÕRlou�d�k�r�lo��u�}mlMk�dq¨In{~a}cr���vM~ak¼° � � � �µz{��d�}�d3¬­²���k�d�}�vM~ak�r�lo~<rm�

²���r�^§l �a~{��r�d¦~<n{b���dcu1vo¨�z{��d�}�d�kZ± �

�RÐ���ÕC�0D5E),+

(5GF&H#I J!K�LNMPOQ�

7Ð���Õ7�0D5E),+

"5�F1H I R%KTSNMPO �

�1vMr�dKr�^"lor r�^adK¨In{~a}cr���vM~U����k���d3¨Ir)¬�}�vM~<r���~<navMnak¦lo~a|�r�^ad1¨In{~a}cr���vM~U ��k�u�����^<r)¬�}�vM~®r���~<navMnakmº]_^ad !¹tML(z{u�v:}�d�k�k���~{�·k�z#d�d�|WV�}mlo~É��lou�s@��~qr���b9d¦vm��dcu l�}�vM~<r���~<navMnak�u�lo~{��dg¨Fu�vMbX��r�v

Y °ªlG¨Fr�dcu�lDz�v�k�k����{��d u�d3¬�k�}mlo����~{�®±3º«]_^adg}mlMk�dg²�^adcu�d�r�^adgu�lo~{��dgvo¨Tk�z�d�d�|{kÀ��kÃb@lM|{d1vo¨´l&�a~{��r�d~®n{bD�#dcugvo¨k�z#d�d�|{kZ�([�+,F\F\F%[=]^'�²��������#dK��~<��d�k�r����<lor�d�|���~¼k�d�}cr���vM~§�Hº]_^ad�vM�Hw)d�}cr�����d�vo¨"r�^ad�k�r�na|HsD��k,r�vK}�^av:v�k�d�lor«dmlM}�^·r���b9d_�´r�^ad¹k�z�d�d�|`V�Ð���Õ´��~·k�na}�^@lg²_l�s

lMkKr�vÉd3p{d�}cn{r�d9lo���r�lMk�¯Hkg²���r�^{��~Ör�^adc��u�|{dmlM|H����~ad@}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k¦²�^{����dRb·��~{��b·��¸���~{�¼r�^adRr�vMr�lo�

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 9: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

dc~adcu���s�}�vM~ak�n{b·z{r���vM~V�#dcr�²¹d�dc~Vr���b9d���lo~a|�r���b9d���²�^adcu�d�����kgr�^ad¦r���b9dD^avMu���¸mvM~§vo¨r�^adz{u�vM�{��dcb�ºÃ]_^ad�dc~adcu���s@}�vM~ak�n{b·z{r���vM~�vo¨�r�^adgz{u�v®}�d�k�k�vMu_lorÀr���b9d��c���<Ð���Õ��k_l¦¨In{~a}cr���vM~Évo¨���r�kk�z�d�d�|B��V�Ð���Õ3º�xÅ~Vr�^adD¨ªvM����vm²���~{�ɲÀdRlMk�k�n{b9dDr�^"lor��®Ð���Õ_����Ð�V,Ð���Õ�Õ�²�^adcu�d�����k1lo~Ölou��{��r�u�lou�s��~a}cu�dmlMk���~{�9}�vM~<��d3pɨFn{~a}cr���vM~� vP��dcu� �KºÃyg~ad¦}mlo~�d3p:z{u�d�k�k_r�^ad1z{u�vM�{��dcb ��~�b@lor�^adcb@lor���}mlo�r�dcu�b9k �� ¡ Ý � ( Ù �� @�� ���0&!��X��� �Z�4������� �P�/'(� $����4��� V���� �?������� "/' $��-���(2�

� �! ��Ð�V,ÐT oÕ�Õ $ ��" � ���A��� �#"?��& � °)eP±

'(� &��`�#���%� $���� "`��� 2���=��"

V,Ð���Õ � � >��%$ � �?���&�Q� °ª��±� M! V,ÐT oÕ $ 6 ��Ð���Õ >��'$ � �?�����Q� °ª��±� M! V,ÐT oÕ $ � §Ð���Õ >G�($ � �?�����*) °F�®±

Ì ¨In{~a}cr���vM~ V½k�lor���k)¨Is®��~{�Ér�^ad·}�vM~ak�r�u�lo��~®r�k���k¦}mlo����d�|Älo~ �&2� ��" "��+�`� � k�vM��n{r���vM~�ºRÌg~ÄlM|:¬b·��k�k����{��d V¼b·��~{��b·��¸���~{�-, �! ��Ð�V�ÐT MÕ�Õ $� ���k�}mlo����d�|¼lo~ �/.0����� �� k�vM��n{r���vM~�º. > Ù®Ý ¡ Ù /� @10 �%����� �32���"���" "`$��%��&�')� � "�'%$`�U���(2�,���� ����� ���)�1$ ��� "��������=��" ���� �!�`�(����� ���%�"6�`� �� � �"546" � � �� &!�2�A��5+� �����%� " . ����& � �����%� . � �?$ �/" "���� V,Ð���Õ �K����� 6 �/" $���� "`��� 2���=��" °ª��± � °ª��±2� & °F�®±��7 � �6�� �g]´lMk�¯:k«lou�d�k�vMu�r�d�|9lM}�}�vMu�|H��~{�Dr�vKr�^adc��uÃlou�u����Mlo�a|alor�d�k«lo~a|Rr���d�kÃlou�d_�{u�vM¯�dc~@lM}�}�vMu�|H��~{�r�v1r�^ad�|{dmlM|H����~ad�kmº ¥ d �au�k�r,z{u�vP��d�r�^"lor�¶¨�V,Ð���Õ´��dcu����"d�kÈ°ª��±3�a°ª��±�lo~a|�°F�®±´r�^adc~·��r,��k,z�v�k�k����{��dr�v �a~a|¼l·k�}�^ad�|Hn{����~{�@b9d�dcr���~{�@r�^adD³�x�³´y u�dmlo�¶¬­r���b9d�}�vM~ak�r�u�lo��~<r�kPºÀà�dcr�8RÐ���Õ:9<;+=� , M! V�ÐT MÕ $� ®º¥ dqz{u�vP��d�r�^"lorRr�^ad�³�x�³´y»z#vM����}cs½��dmlM|{k·r�vÖl¼¨IdmlMk����{��dqk�}�^ad�|Hn{��d�ºµ]_^adqz{u�v®vo¨1²ÀvMu�¯HkR�<s��~a|Hna}cr���vM~7vM~�r�^adD~<n{bD�#dcuKvo¨«r�lMk�¯:kPºÀ]_^adDz{u�vMz�dcu�rÅs���k�vM�<�:��vMnak�¨IvMu1Ñ � Y º ¥ dD}�vM~ak���|{dcur�^ad 2Br�^¼r�lMk�¯�º ¥ d¦}mlo���:>? ��@ 5E),+3ABA ? >G5)º¥ d�|{d �a~ad � ��C +��D8 C + Ð*>G��C +ZÕ�²�^adcu�dE8 C + ÐGFaÕ��IHKJMLG�ONQP58RÐGN#Õ�6RF�'<º�S¹s���~a|Hna}cr���vM~

r�lMk�¯:k Y �5T �U)U)U)=�.2WV Y ^"l���d§�#d�dc~Xk�na}�}�d�k�k)¨Fn{����sÍk�}�^ad�|Hn{��d�|Xn{z r�v½r���b9d � ��C + º yg~ad§^"lMk��� 68� �XC + k���~a}�d��RÐ��&�{ÕC�Y>G�XC +m�Z8RÐ�� ��C + �Y>G�XC +�lo~a|B�{�<s�}�vM~ak�r�u�lo��~®r�°ª��±3�N�RÐ���Õ_�[8RÐ���Õ3º¥ dD|{d �a~ad�� �XC + �\8 > Ð*>G�XC +ZÕ_²�^adcu�d]8 > ÐGFaÕ �_^#`Ma �ONbP58·ÐGN#ÕZ�cF#'<º1yg~ad�^"lMkd8RÐ�� �HÕ �> �µ°F�®s½|{d �a~{��r���vM~�±�lo~a| 7Ð�$1�aÕ �e> � °F�®sÖr�^ad�³,x�³´y lMk�k�n{b·z{r���vM~�±3º¼]_^{��k���b·z{����d�k�r�^"lor

� � 6 $1�@nak���~{�@}�vM~ak�r�u�lo��~<r °F�®±3ºf ?�ü ù�8Kù�8oö 4hg%�ægù­ö.� 8oêGé3òõéji�è�îMùFè�=oü1��û�òõòõè�îlkUmon*prqtsvuxw�mon+pzy|{X}+~��B�<��y|�­î:? 8oö��­ö�� ���d�-���+s]�-���*u ���mî

�ªö)ö%� ïj�;� é�� ��é��­ö,÷Gö�ù�û�üóò1�.�

ìFå��TìIñ

Page 10: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� �

¥ d�k�}�^ad�|Hn{��dgr�lMk�¯`2V��dcrŲÀd�dc~Ér���b9d�k � �XC +¹lo~a|�� ��°F��rÀ��kÃz�v�k�k����{��d �#d�}mlonak�d�� �XC +��8�&�{±3ºxÅ~Xr�^{��kÉr���b9dV��~®r�dcu��Mlo�­�1r�^ad§z{u�v:}�d�k�k�vMu�}mlo~Îd3pHd�}cn{r�d "� n{~{��r�k�vo¨�²ÀvMu�¯ lo~a|Xb9d�dcr�kÉr�^adu�dmlo�¶¬­r���b9dD}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k1k���~a}�d � � 68$&��º³avMuKr�^ad�k�d�}�vM~a|Vz"lou�r�vo¨Àr�^ad�z{u�v:vo¨���²¹d9lMk�k�n{b9d�r�^"lorKr�lMk�¯:k¦lou�dRk�}�^ad�|Hn{��d�|7nak���~{�Ér�^ad

RÃá1³Xz#vM����}cs�º1S_dcr�²¹d�dc~\r���b9d�� �XC +�lo~a| � ���Br�^ad·r�lMk�¯§²���r�^Är�^ad9dmlou�����d�k�r�|{dmlM|H����~ad·��k¦r�lMk�¯2«º ]_^ad§k�}�^ad�|Hn{����~{� ��k�¨ªdmlMk����{��d¼�¶¨Rlo~a|ÍvM~{��sÈ�¶¨�� � 6 $ � º ß®��~a}�d §Ð­Õ9��kqr�^adVk�b@lo����d�k�r~avM~H¬�|{d�}cu�dmlMk���~{��¨Fn{~a}cr���vM~\k�na}�^Ör�^"lor 7Ð�$1�{Õ�� >G� °I³�x�³´y�z{u�vMz#dcu�r�sa±1r�^adc~ 8RЭÕg��k���lou���dcur�^"lo~ 7ЭÕ3º7ß®��~a}�d+R«áK³(��k�vMz{r���b@lo�¹¨IvMuD¨IdmlMk����{������rÅsÍ°Ik�d�d§Á � Â_Ç®navMr�d�|\��~XÁ�em�GÂF±�r�^{��kDb9dmlo~akr�^"lor�}�vM~ak�r�u�lo��~<r�°F�®±¦bDnak�r���d�k�lor���k��"d�|Bº !¹vM~ak�r�u�lo��~®r�°ª��±_w�nak�r�b9dmlo~ak�r�^"lorDr�^ad@k�z�d�d�|½��k~ad�}�d�k�k�lou�����s\~avM~H¬­~adc�<lor�����d�ºÍÌgk�¨ªvMu9}�vM~ak�r�u�lo��~®r§°ª��±c�Ã�¶¨�8·Ð���Õ���k·��lou���dcu@r�^"lo~ ��Ð���Õ�²ÀvMn{��|b9dmlo~7r�^"lor¦r�^ad�z{u�v:}�d�k�k�vMuK^"lMk¦d3pHd�}cn{r�d�|7b9vMu�d�²¹vMu�¯Vr�^"lo~7^"lMk�lou�u�����d�|ÄlorKr���b9d � ²�^{��}�^��k ��b·z�v�k�k����{��dK²�^"lor�dc��dcu�r�^ad�k�}�^ad�|Hn{����~{�9z#vM����}cs�º

�gvMr�d�r�^"lor¦r�^ad�z{u�vM�{��dcb k�r�lor�dcb9dc~®rDvM~{��s¼nak�d�k1r�^adR��~®r�dc��u�lo��8RÐ���Õ 9<;+=� , M! V,ÐT oÕ $ 9vo¨ V�º]_^adcu�d3¨ªvMu�d��{r�^adK¨In{~a}cr���vM~ V§��k vM~{��sÉ|{d �a~ad�|Vlo��b9v�k�r�dc��dcu�s:²�^adcu�d�°ªlHº d�ºó±3ºÃx�~�r�^adK¨ªvM����vm²���~{�a�²¹d¦²���������|{dc~®r��¶¨Fs�lo���#¨In{~a}cr���vM~ak ²�^{��}�^7lou�d¦d�Ç<n"lo��lHº d�º�º]_^adÃk�sHk�r�dcb Ð����%ÉÕ���k�k�lo��| ����"/�*��� � �¶¨{²�^adc~�k�dcr�r���~{��V�Ð���ÕC� Y °F�­º d�º´nak���~{� r�^adÃz{u�v®}�d�k�k�vMu

lor1b@lGpH��b@lo��k�z#d�d�|"±glo~a|¼²�^adc~Ök�}�^ad�|Hn{����~{�qn{~a|{dcu�R«áK³Ë~av@r���b9d�}�vM~ak�r�u�lo��~<rK��k1�:��vM��lor�d�|BºÌ�}cr�n"lo����s�����~RvMu�|{dcur�v1r�lo¯�d_��~®r�v�lM}�}�vMn{~<rr�^ad¹¨­lM}cr´r�^"lorr�^ad_k�z#d�d�|Rvo¨�r�^ad¹z{u�v®}�d�k�k�vMu}mlo~{~avMrd3p{}�d�d�| Y �{vM~ad�}�vMb9d�k�²���r�^Vl�b9vMu�d�}�vM~ak�r�u�lo��~ad�|¼z{u�vM�{��dcb �� ¡ Ý � ( Ù �� @�� ���0&!��X��� �Z�4������� �P�/'(� $����4��� V���� �?������� � "�'%$`� ���%2�

� �! ��Ð�V,ÐT oÕ�Õ $ ��" � ���A��� �#"?��& �

'(� &��`�#���%� $���� "`��� 2���=��" °ª��± � °ª��± � °F�®± 2� &

V�Ð���Õ 6 Y >��%$ � �?���&�*) °4Y�±x�~9r�^adgu�d�k�rÃvo¨�r�^ad�z"loz�dcum�®²Àd ¨Iv:}cnakÃvM~�r�^ad�z{u�vM�{��dcb r�v�|{dcr�dcu�b·��~ad1r�^ad�vMz{r���b@lo�#k�z#d�d�|

nak���~{�@r�^ad�d�Ç®n{���Mlo��dc~a}�d�z{u�vm��d�|V��~�r�^ad�vMu�dcbÆe�º ¥ d�lMk�k�n{b9dDr�^"lorm��lorKlo~<s�r���b9d���r�^ad¦r�lMk�¯Hklou�d¦k�}�^ad�|Hn{��d�|�n{~a|{dcu R«áK³ÈlMk���~�r�^adKz{u�v:vo¨,vo¨,r�^ad�vMu�dcb�e�º

����� ���� ������������xÅ~§r�^{��k¦k�d�}cr���vM~��#²ÀdRk�^avP² k�dc��dcu�lo�}�^"lou�lM}cr�dcu���¸Plor���vM~ak�vo¨Ãr�^adRk�z�d�d�|¼¨In{~a}cr���vM~ak VÖr�^"lor�lou�dk�vM��n{r���vM~ak�r�v9tu�vM�{��dcb¾e�º�Ã٠Ģ � @�� �����%�Q�/'(� $����4��� � ��" "�������$�����5U$��2���K�32 � ���%��� ���%� �/.0�����12� "�����'(���4���[� � . � �X��� �`�� ��" '(�A� �`'A�"!Z'6. � �+!"��`�P� ���!�K"/'(���$#&% �

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 11: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

7 � �6�� �gà�dcr�nak�}�vM~ak���|{dcu�r�^ad@k�dcr�vo¨�lo���Ã��~<r�dc��u�lo�{��d�¨In{~a}cr���vM~ak�kZlor���k)¨Fs:��~{��r�^ad�}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k°ª��±3�#°ª��±Àlo~a|V°F�®±cº,]_^{��k_k�dcrÃ��k¹vM�<�:��vMnak���s9}�vM~®��d3p#º«Ì1k�k�n{b9d�r�^"lorÀrŲÀvD¨Fn{~a}cr���vM~ak V�+_lo~a|�V����|H� NBdcu�dc~<rvP��dculgk�dcr >�vo¨�z�v�k���r�����dÀb9dmlMk�n{u�d��M�#vMr�^�b·��~{��b·��¸md_r�^ad¹dc~adcu���s �x, �! ��Ð�V�+GÐT oÕ�Õ $ �, �! ��Ð�V � ÐT MÕ�Õ $� ®º�]_^adc~ĨªvMu�lo��� ������� Y lo~a|\lo��� �b$[>_� �#Ð�� V + Ð���Õ� Ð Y V��Õ V � Ð���Õ�Õ��� ��Ð�V�+oÐ���Õ�Õ��ÎÐ Y V �,Õ ��Ð�V��®Ð���Õ�Õ¹�®s�k�r�u���}cr }�vM~<��d3pH��r�s�vo¨x��º«]_^adcu�d3¨ªvMu�d��

� �! ��Ð���V +�ÎÐ Y V �,Õ V��PÕ $ � � �

! �h�#Ð�V +cÕ $ � � �! Ð Y V ��Õ �#Ð�V��GÕ $ � � �

! ��Ð�V +3Õ $ )]_^{��k }c��dmlou���s�}�vM~<r�u�lM|H��}cr�kgr�^ad�vMz{r���b@lo����r�s�vo¨ V +mº

. > Ù®Ý ¡ Ù � @ � � V > � "!��� � �/.0����� ��,"`�2��'%�����2� � ��. ������ ��� � * �%����� � ��" "`���/�4$�����5 $��2���K�322� & � �2�A� &���$`���K"/���)� � ���%��� V > � " ���"`� �� �/.������ �� "`�2��'%�����2� � �D. ������ ��� � �`��� ��=5 �����%����0���A� &)�$`���K"/���)� $��2���K�32 ��'(� $����4��� �

7 � �6�� � ¥ d#�au�k�r�}�vM~ak���|{dcu_r�^adK}mlMk�d1²�^adc~��9��k¹k�r�u���}cr���s�}�vM~<��d3pBº !¹vM~ak���|{dcu�r�^ad1z{u�vM�{��dcb vo¨b·��~{��b·��¸���~{� � M y

M�� ��Ð�V�Ð���Õ�Õ $1�n{~a|{dcu�8RÐ�� ! ÕC�_8 ! lo~a|-8RÐ�� +ZÕC�_8 +«��~�r�^ad�lo�ak�dc~a}�dgvo¨�lo~®s·vMr�^adcuÀ}�vM~ak�r�u�lo��~®r�kmº«]_^{��k«��kÀlo~dmlMk�s·z{u�vM�{��dcb ��~�r�^ad&!_lo��}cn{��nak�vo¨�âÃlou���lor���vM~akmº«]_^adKk�vM��n{r���vM~É������dc~É�<sURn{��dcu � k¹¨IvMu�b�n{��l���k$�� $1�X����Ð�V#Õ � �{��²�^{��}�^9��b·z{����d�k«r�^"lorCVq��k«}�vM~ak�r�lo~®rmº]_^<nakm�<�¶¨Ð�� ! �<8 > Ð�� ! Õ�Õlo~a|¼Ð�� +(�<8 > Ð�� +ZÕ�Õlou�d¹rŲÀvKz#vM��~<r�kvM~�r�^ad¹vMz{r���b@lo�{z"lor�^ 8 > �Mr�^adc~E8 > ^"lMk,}�vM~ak�r�lo~®r«k���vMz#dÃ�#dcr�²¹d�dc~·r�^ad�k�d¹r�²Àvz#vM��~<r�kÃ�¶¨Br�^{��kÃ��k«¨IdmlMk����{��d�º ¥ dg}�vM~a}c��na|{d r�^"lor&8 > vM~{��s·}�^"lo~{��d�k¹k���vMz#d�lorÃr�^ad1lou�u����Mlo�ar���b9d�k�"���N'*+ S � S 0 vMu_|{dmlM|H����~adgr���b9d�k��"$&�N'*+ S � S 0Dº O§vMu�d�vm��dcum�H²�^adc~qr�^adgk���vMz#d�vo¨ 8 > |{d�}cu�dmlMk�d�k²¹dDb�nak�r�^"lm��d18 > Ð���Õ � §Ð���Õ lo~a|� � $1�ɨªvMu�k�vMb9d�2 $ � Y �U)U)U)"��Ñ '<º1ygr�^adcu�²���k�d��"��~Vr�^ad~adc����^®��vMu�^av:v:|9vo¨G�c��8 > k�^avMn{��|·�#d lKk�r�u�lo����^<r«����~ad �¶¨���r²¹dcu�d�¨ªdmlMk����{��d�º,àB��¯�dc²���k�d���²�^adc~@r�^adk���vMz�d¹vo¨ 8 > ��~a}cu�dmlMk�d�k²¹d¹bDnak�r,^"l���d�8 > Ð���Õ7� ��Ð���Õ,lo~a|`�7� ���K¨ªvMu,k�vMb9d 2 $ � Y �U)U)U) ��Ñ '<º¥ d�²������«k�^avm² r�^"lorKr�^ad�k�dRz{u�vMz#dcu�r���d�km�#r�vM��dcr�^adcu�²���r�^ 8 > Ð��<ÕZ� ��lo~a| 8 > Ð|�KÕ�� 8 � �}�vMb·z{��dcr�dc��s�|{dcr�dcu�b·��~ad]8 > º�ß®n{z{z�v�k�d¦r�^"lor�r�^adcu�d�lou�d¦r�²¹v9¨In{~a}cr���vM~ak�8 + lo~a| 8 � b9d�dcr���~{�

r�^ad1}�vM~ak�r�u�lo��~®r�k_²���r�^�r�^adgz{u�vMz�dcu�r���d�k�lo�#vm��d1k�na}�^Ér�^"lor 8 +PÐ��<Õ � 8���Ð��<ÕC� �{ºà�dcr��@��d�r�^ad�au�k�rÀr���b9d1r�^"lor 8 + lo~a|-8��g|H� NBdcumº]_^adc~Ér�^ad�u�����^®r |{dcu����Mlor�����dKvo¨ 8 +K°Ik�lms{±Àlor��@��k_k�r�u���}cr���s��u�dmlor�dcuÃr�^"lo~9r�^"lorÃvo¨ 8���º,]_^adcu�d3¨IvMu�d 8 +��k«k�r�u���}cr���s���u�dmlor�dcuÃr�^"lo~�8�� lorr�^ad ~ad3p:r«dc��dc~®r�� +m��#d���r¦lou�u�����lo�vMu¦|{dmlM|H����~ad�º ¥ dR}mlo~§^"lm��dR~adc��r�^adcu 8 +GÐ�� +ZÕ�� �RÐ�� +3Õ ~avMu�8���Ð�� +3Õ�� 7Ð�� +ZÕ3º]_^adcu�d3¨ªvMu�dVr�^ad¼k���vMz#d¼vo¨Q8 + }mlo~{~avMrÉ|{d�}cu�dmlMk�d§lor�� + lo~a|Ír�^"lor�vo¨Q8 � }mlo~{~avMr���~a}cu�dmlMk�d�º

ìFå��TìIñ

Page 12: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� ]

t«u�v®}�d�d�|H��~{���®s¼��~a|Hna}cr���vM~��B²¹dR��dcr1r�^"lor 8 +GÐ���Õ�� 8���Ð���Õ�¨ªvMu�lo��� ��� �Bº¦]_^<nakb8 +PÐ|�KÕ1lo~a|8���Ð|�KÕ¹bDnak�r�|H� N#dcumºx�~�r�^adK¨ªvM����vm²���~{�a�"r�^ad�vMz{r���b@lo�´k�vM��n{r���vM~ V > vo¨tu�vM�{��dcbÆeKz{u�vm�:��|{d�|��<sÉr�^{��k�r�^ad�vMu�dcb

²������B�#dK}mlo����d�|��3r�^ad¦k�vM��n{r���vM~�vo¨�t«u�vM�{��dcb e��Mº«Ìgk¹��r�²������#�#d1k�d�dc~���~�ß:d�}cr���vM~§�H�®²�^adc~�����k~avMr k�r�u���}cr���sÉ}�vM~®��d3p�r�^adcu�d¦b@l�sÉ�#dKb9vMu�d¦r�^"lo~¼vM~ad�vMz{r���b@lo�Tk�vM��n{r���vM~�º�gvMr�d,r�^"lorh�#ÐGN#Õ ��� Y � N � ��k�k�r�u���}cr���sK}�vM~®��d3pDlo~a|¦��~a}cu�dmlMk���~{�a�Mlo~a|¦r�^"lorx, �!�� Y � V � ÐT MÕ $�

��k�r�^ad9��dc~{��r�^µvo¨ r�^adq}cn{u���d�vo¨ r�^ad9¨Fn{~a}cr���vM~c8RÐ���Õ 9<;+=�/, M! V,ÐT oÕ $ �¨Fu�vMb � � �¼r�vU� � ��ºT1dc~a}�d���r�^adRvMz{r���b@lo�,k�vM��n{r���vM~7}mlo~7�#dD��~®r�dcu�z{u�dcr�d�|Ö��~§b@lo~<s¼²_l�sHkmºDyg~ad�²¹lms¼r�vÉk�d�d�r�^{��k��k9r�^adɨIvM����vP²���~{�aº�!¹vM~ak���|{dcuÉl§u�v�lM|È����b·��r�d�| �®sµr�²Àv\}�vM~a}cu�dcr�d�²_lo����kV°Fr�^adɨIn{~a}cr���vM~ak@Ìlo~a| á u�d�k�z�ºó±3ºµ³���~a|µr�^ad�k�^avMu�r�d�k�r·z"lor�^µ¨Iu�vMb r�^adÉ��dc����~{~{��~{�½r�v7r�^ad�dc~a|Bº ]_^{��k9������d�k8 > 9j;*=� , M! V > ÐT oÕ $ <º9 Ý ¡ Ý ( (ú¢{¡ Ú � @�0 �%�V�/.0�����12��"�����'%���4��� V > � �F. ������ ��� � "�2����"|6P�/"P���%��������� ��*,���)� ���0� �`' �������5��H5JML ! SNM�S � V > Ð���Õ_6 HKJvL ! SNM�S � V�Ð���Õ � ����� 2�����/'(� $����4��� " V "�2����"���5K���)��$��2� "��������=��" °ª��± � °ª��± ��0&°F�®± �7 � �6�� � !¹vM~ak���|{dcugr�^ad�¨In{~a}cr���vM~-� � ÐGNBÕ �YN � º�]_^ad�¨In{~a}cr���vM~-� � ��k���~a}cu�dmlMk���~{�qlo~a|§}�vM~<��d3pvP��dcut� �?���&��ºcSÀs loz{z{��s:��~{�½]_^ad�vMu�dcb*�H�Àr�^ad�vMz{r���b@lo�gk�vM��n{r���vM~8V > vo¨¦tu�vM�{��dcb eÉnak���~{�� �R� �É|{v:d�k ~avMrg|{dcz#dc~a|¼vM~2«ºÀ�1vm²�}�vM~ak���|{dcugr�^ad�����b·��r�²�^adc~2Ä��v:d�k r�v9��~ �a~{��rÅs �_vP��dcur�^adK��~®r�dcu��Mlo�%� �?���&���H¨ªvMu�lo���B¨In{~a}cr���vM~ak�V´�

Ò#^� ������� � �! � �BÐ�V�ÐT MÕ�Õ $� ��+�� �

� HKJML! SNM�S � V�Ð���Õ )]_^{��k�k�^avm² k�r�^"lor�HKJML ! SNM�S � V > Ð���Õ_6 HKJML ! SNM�S � V�Ð���Õ3º9 Ý ¡ Ý ( (ú¢{¡ Ú � @ � � ���%� "/5K"��Z��� Ð����%ÉÕ � "0����"/�*��� ���3���%���!��� �V�/.0����� ��)"`����'(���4��� V > � �F. � �X��� �`�� �K����� 6P�/" V > Ð���Õ 6 Y �P2� &!��� ������`����� 7 ������ ��� " � �� &�� 2�� � �`'(� � �� ���=� �

7 � �6�� �gà�dcrÀnak«}�vM~ak���|{dcuÃr�^adg}mlMk�d�²�^adcu�d�r�^ad�k�sHk�r�dcb»Ð����%ÉÕ��k¨ªdmlMk����{��d�º,]_^{��kÃb9dmlo~akÃr�^"lorr�^adc��ugd3p:��k�r�kglRk�vM��n{r���vM~UVVr�v·r�^ad�k�dcr vo¨}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k1vo¨tu�vM�{��dcb©�HºÀ]_^{��k k�vM��n{r���vM~¼��kglo��k�vlVk�vM��n{r���vM~µr�v§r�^adÉk�dcr�vo¨1}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k9vo¨1tu�vM�{��dcb e�º[Lgk���~{� !¹vMu�vM����lou�sXe��r�^adÉvMz{r���b@lo�k�vM��n{r���vM~§vo¨Àt«u�vM�{��dcbÆe�k�lor���k��"d�k�HKJML ! SNM�S � V > Ð���ÕZ6RH5JML ! SNM�S � V�Ð���ÕZ6 Y ºg]_^adcu�d3¨ªvMu�d`V > ��klo��k�v9lo~¼vMz{r���b@lo�Tk�vM��n{r���vM~�r�v@tu�vM�{��dcb �HºÌ�~�d3palob·z{��d¦������nak�r�u�lor���~{�qtu�vM�{��dcb.°)eP±¹��k�������dc~¼��~¼³�����n{u�d9e�º� 8oö2�­ö3î{ù�8oö �9 �=·é�=�ö���û�ù­é��>�Iù�ûZêo÷�� �¶é��¹ù�8oö �)ö�êmù9��û�ò@�9 �=��­ö.� ��Kî��ªüõê���ö1û�òóò�� oê���ù­üõé3ê��_û��­ö�é3êGò è·÷Gö��Mêoö)÷

ûZò1��é��IùTö."cö2�ªè�? 8Gö��­ö��

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 13: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

em� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

�8 >

�³�����n{u�d9e �]_^adK¨In{~a}cr���vM~ 8 > ��k_r�^ad�k�^avMu�r�d�k�r z"lor�^�¨Iu�vMb z�vM��~®r��·r�v ��º

qÙ ½¢{¡ J � @ �,�����K�`� "6����5 �#� � ���%�+"�5 "`�Z��� ��"U� �2�Q����"/�*��� �I���%��� ���%�-��.0����� �� "`�2��'%�����2� � �7 � ���`� ��� � *,�����V� �2� "`���� "G6P�/" V > 6 Y � 0 ��� " .0� ���?��&���" �6�K"��+����������5 �Z�/"��P�����X "��`�1� ��0���A�Z���$`'(������ � ��� &)�Z. ��� &)���=�P� K"546"�*,����� � �3��� ������� �����!� $��2� "��������=��"�')� &)������� � �Ì�}cr�n"lo����sËb9vMu�dVz{u�d�}c��k�d§u�d�k�n{��r�kÉ}mlo~X�#d¼k�r�lor�d�|Bº ß®��~a}�d V > ��kqz{��d�}�d3¬­²���k�d7}�vM~ak�r�lo~<rm�

vM~ad�b@l�s\vM~{��s7¨Iv:}cnak�vM~ r�^ad@|H��k�}�vM~<r���~<n{��rÅs\z#vM��~<r�kRvo¨�V > º ¥ d@|{dc~avMr�dqr�^av�k�d�z#vM��~<r�k��<s� +(�\F\F\F ���,��º·]_^adcsÖdc��r�^adcu��#dc��vM~{��r�v�r�^adR��u�loz{^½vo¨ � vMu¦r�vÉr�^ad·��u�loz{^½vo¨ Vº·]_^ad �au�k�rz#vM��~<rK��k�� + � Ð��?�%�<Õ�lo~a|V�#dc��vM~{��kKr�vq��vMr�^ � lo~a| Vº¦]_^{��k¦k�d�Ç®nadc~a}�d·vo¨Ãz#vM��~<r�k�}mlo~7�#dk�z{����r���~<r�v@k�n{�H¬�k�d�Ç<nadc~a}�d�k�vo¨,}�vM~ak�d�}cn{r�����dDz�vM��~®r�k��#dc��vM~{����~{�@r�v���vMu�r�v�§º9 Ý ¡ Ý ( (ú¢{¡ Ú @ �,��� "���&��`� 1"/'v��� "6� �`'A��� $ � ��� �\F\F\F����� ���&2� "�$����=�����A'(����5 .%�����=��" � � V > "�'%$�����%2� � � $ � ��� $ � �� &-����3��� �1�2���%���D.%�����=��"#��� ���`��* � ���W� ��� �2�)�-� � ��0 �%��� � �`��* �����. ����� ��" � � �� & � � 8 > � " ���%�#'?.�. ��� $���� $ ��K� ��� �K��� �/. � � � ���%� .%�2���=��" � � �\F\F\F ��� �

��' �����5 � $ ��� "/�4&����� "/'v���Z"�� �`'A��� $/� ��5 �\F\F\F���� 9 � � &�� "�$����=�����A'(����5D.%�����=��" �� V >#"/' $��U���%2��,5Q$ ���G9 $ * �)��� �-���� ���%�-�����%��� .%�����=��"U���[������* ����������� ���)� � � � �I0 �%��� � �`��* �����. ����� ��" � 5 ��0& � 9 � 8 > � " ���%�#� ��* ��� $ �����K�32-�`���K��� �/. �1�� ���%� .%�����=��" � 5 �\F\F\F���� 9 �7 � �6�� ��°­ß®¯�dcr�}�^�±�]_^{��k_��k_l�|H��u�d�}cr }�vM~ak�d�Ç®nadc~a}�d¦vo¨´r�^adg¨­lM}cr_r�^"lor 8 > ��kÀr�^ad¦k�^avMu�r�d�k�r_z"lor�^��vM��~{�@r�^{u�vMn{��^�r�^ad¦z#vM��~<r�k�� + �\F\F\F ��� � º]_^ad¨In{~a}cr���vM~�V > }mlo~D�#dÃ}�vMb·z{n{r�d�|RlM}�}�vMu�|H��~{�Kr�v r�^adÀb9dcr�^av®|�|{d�k�}cu����#d�|D��~qÁ�ec�M®²�^{��}�^

��k �"lMk�d�|�vM~�r�^ad�}�vMb·z{n{r�lor���vM~7vo¨«}cu���r���}mlo����~<r�dcu���lo��kmº¹Ì�k�r�u�lo����^<r)¨ªvMu�²¹lou�|§��b·z{��dcb9dc~<r�lor���vM~vo¨#r�^adc��uÀlo����vMu���r�^{b�u�d�Ç<n{��u�d�k_Ï9ÐIÑ � Õ,r���b9d�²�^adcu�d Ñ©��kr�^ad�~®n{bD�#dcuÀvo¨#r�lMk�¯:kPº´]_^ad�lon{r�^avMu�k}c��lo��b��M²���r�^avMn{r,b9vMu�d_|{dcr�lo����km�Mr�^"lor,nak���~{� ��l�k�n{��r�lo�{��d¹|alor�l1k�r�u�na}cr�n{u�d_k�na}�^RlMk�r�^ad¹k�dc��b9dc~<rr�u�d�d ����r�^ad�u�n{~{~{��~{��r���b9d�}mlo~V�#d�u�d�|Hna}�d�|Vr�vqÏ@ÐIÑ�Ò�Ó�Ô � ÐIÑ7Õ�Õ3º ¥ d�lM}cr�n"lo����sV|{v9~avMr1¯®~avP²^avP² r�v vM�{r�lo��~ k�na}�^�l ��vm².}�vMb·z{��d3p:��rÅsÎ��b·z{��dcb9dc~<r�lor���vM~ ²���r�^(r�^adc��u¼lo����vMu���r�^{b�º»Ìg~��~®r�dcu�d�k�r���~{�@}�vM~ak�d�Ç®nadc~a}�d�vo¨�r�^ad¦}�vM~ak�r�u�na}cr���vM~¼vo¨,V > lMk_������dc~���~ÄÁ�ec�MÂ���k_r�^"lor�r�^adcu�d¦d3p:��k�r�k

ìFå��TìIñ

Page 14: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� e�e

l�k�}�^ad�|Hn{��d@²���r�^½b·��~{��b@lo�Àdc~adcu���sÄ}�vM~ak�n{b·z{r���vM~ k�na}�^Är�^"lor�dmlM}�^½r�lMk�¯7��k�d3p{d�}cn{r�d�|\lorRl}�vM~ak�r�lo~<r9k�z#d�d�|Bº\]_^{��kR��kR~avMr·vM�®�®��vMnak·²���r�^ÈvMn{u@loz{z{u�v�lM}�^�º TgvP²Àdc��dcum��lMk·k�d�dc~µ��~µr�^ad¨ªvM����vm²���~{��k�d�}cr���vM~akP��vMn{u¦loz{z{u�v�lM}�^Ö^"lMkKvMr�^adcuK��b·z#vMu�r�lo~<r�lM|H�Mlo~®r�lo��d�kmº¦xÅ~Vz"lou�r���}cn{��loum�#²¹d²������´k�d�dK��~�k�d�}cr���vM~��·r�^"lor r�^adcu�dDd3p:��k�r�kgl�����~admlou r���b9dDlo����vMu���r�^{b»r�v@}�vMb·z{n{r�d V > º

� � �����)��� �K%R� ���, � �7�a+q��$��¥ dD~avm²�}�vM~ak���|{dcu1r�^ad�}mlMk�dD²�^adcu�dDr�^ad�}c��v®}�¯�¨Iu�d�Ç<nadc~a}cs�vo¨«r�^adDz{u�v®}�d�k�k�vMug}mlo~7vM~{��s�r�lo¯�dl �a~{��r�d¼~®n{bD�#dcuqvo¨¦��lo��nad�kW[ + 6 F\F\F�6 ["]mº Ìgk�d3p:z{��lo��~ad�|Ë��~�Á ��Â��¹��~Íz{u�lM}cr���}�d¼r�^{��k@��k~ad�}�d�k�k�lou�����s�r�^adD}mlMk�dK²���r�^�r�v:|al�s � k r�d�}�^{~avM��vM��s�º� ¡ Ý � ( Ù @�� ���0&!��X��� �Z�4������� �P�/'(� $����4����� ��� �?���&�h�� � "�'%$��I���%2�

� �! ��Ð � ÐT MÕ�Õ $� � " � ���A��� � " �& �

'(� &��`� �,��� "`��� ����=��" °ª��± �� & °F�®± 2� &!��� � �&�&����������0��F$���� "`��� 2���=�

� Ð���Õ $ �([ +(�\F\F\F �.[=]\' ) °ª��±

à�dcr�V > Ð���Õ �#dDr�^ad�k�vM��n{r���vM~Övo¨Ãtu�vM�{��dcb e�º ¥ d�lMk�k�n{b9dDr�^"lor [ +�6 V > Ð���Õ 6 ["]g¨IvMuKlo�����68�_6 ���Bk�v@r�^"lorKr�^ad�u�lo~{��dRvo¨Àk�z#d�d�|{k1²�^{��}�^½lou�d·l���lo����lo�{��d·}�vm��dcu¦r�^adRk�z#d�d�|{k1~ad�d�|{d�|�®sÄr�^ad�z{u�v®}�d�k�k�vMumºV]_^{��kRlMk�k�n{b·z{r���vM~µ²������¹��dqk�lor���k��"d�|½��~\r�^adqr�s:z{��}mlo�_k���r�n"lor���vM~µ²�^adcu�d[ + ���@°Fr�^ad z{u�v®}�d�k�k�vMuÃ}mlo~9��|H��dP±lo~a|�[=] � Y °Fr�^ad�z{u�v:}�d�k�k�vMu«}mlo~@nak�d_��r�kb@lGpH��b@lo��k�z#d�d�|"±3�lo~a|�²�^adcu�d¦r�^ad¦k�dcr�vo¨�r�lMk�¯:k ��k_¨IdmlMk����{��d�º¥ d¦~avm² |{d�k�}cu�����dK^avP² r�v·}�vM~ak�r�u�na}crKlo~�vMz{r���b@lo�´k�vM��n{r���vM~ � > r�v@tu�vM�{��dcb©�Hºt�lou�r���r���vM~�� �?���&�H��~<r�v�}�vM~®r�����navMnak���~<r�dcu���lo��k´k�na}�^Dr�^"lor´r�^ad��vMn{~a|alou�s¦�#dcr�²¹d�dc~���~®r�dcu��Mlo��k

lou�d�r�^ad@|H��k�}�vM~<r���~<n{��rÅs\z#vM��~<r�kRvo¨�8 > �,r�^adcu�d�²������Ã�#d�� � TMÑÊ��~®r�dcu��Mlo��kmºÖyg~\vM~adqk�na}�^��~®r�dcu��Mlo�­��k�l�s��U?�� ���j?���j? �,+ Õ3�4V > ��k�}�vM~ak�r�lo~®r1lMkgk�d�dc~���~�r�^ad¦z{u�v:vo¨vo¨]_^ad�vMu�dcb��H�ad�Ç®n"lo�r�v{�Mk�lms��:V >? r�^"lor´¨ªlo����k´��~���dcrŲÀd�dc~Rr�²¹vgz#v�k�k����{��d¹k�z#d�d�|{k�¨ªvMuTr�^adÀz{u�v:}�d�k�k�vMum� [:5�lo~a| [:5#�,+mº´àTdcr� ?��#d¦|{d �a~ad�|��®s V >? � � ?([ 5 � Ð Y V�� ?MÕ [ 5 �,+ �1vm²��H��dcr�nak�}�vM~ak�r�u�na}crgl�¨In{~a}cr���vM~�vm��dcu�U? ��®> Ð���ÕC��[:5avP��dcu%���j?����j?�ÕTlo~a| �<> Ð���ÕC��[:5#�,+´vm��dcu�� �<?&��j? �,+ Õ#²�^adcu�d �<? ��Ð Y V � ?<Õ��j? � � ?��j? �,+ ºxÅr���k�}c��dmlouRr�^"lorRr�^ad�¨Fn{~a}cr���vM~ � > Ð���ÕD��k·lo~ lM|Hb·��k�k����{��dÉk�vM��n{r���vM~ ¨IvMuRtu�vM�{��dcb �§k���~a}�dq��rkZlor���k��"d�k¹lo����r�^ad1}�vM~ak�r�u�lo��~<r�kmºÃ³{n{u�r�^adcu�b9vMu�d��alMkÀk�^avm²�~É��~@r�^ad�¨IvM����vP²���~{�Rr�^ad�vMu�dcb��H��rÃ��k_lo~vMz{r���b@lo�´k�vM��n{r���vM~�º. > Ù®Ý ¡ Ù @�� �0&����[���%� �������4�������)� K"/"/'(�D.��������A" �U���%�1�/'(� $����4����� > Ð���Õ � "[�� �/.������ ��"�����'(���4��� � � 7 ������ ����� �

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 15: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

em� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

7 � �6�� � L1k���~{�½r�^ad7lMk�k�n{b·z{r���vM~ vM~Ër�^adVu�lo~{��dVvo¨�r�^ad[:5 � kP�¹¨IvMuÉlo~<s8VÎk�na}�^Ír�^"lor3[ + 6V � [=]���r�^adcu�d7d3p:��k�r3@ZÐ�VBÕqk�na}�^ r�^"lor�[ 5������ 6 V � [ 5������|�,+ º ¥ d§r�^adc~ ��~<r�u�v:|Hna}�d7r�^ad}�v:d�B@}c��dc~<r ���9k�na}�^�r�^"lor V � ���*[ 5����� �ÎÐ Y V���:Õ [ 5������ �,+ lo~a|�}�vM~ak���|{dcu r�^adKu�dmlo�B¨In{~a}cr���vM~��#Ð�V#Õ 9<;+=� ���l�#Ð�[ 5������ Õ��ÎÐ Y V ��®Õ ��Ð�[ 5������|�,+ Õ3º

���

[ � [�[� [�+V

³�����n{u�dD� �«]_^adK¨In{~a}cr���vM~ak%��lo~a|���r�k�����~admlou ��~®r�dcu�z�vM��lor���vM~ ���º³´��u�k�rm�a~avMr�d�r�^"lor ��q��k�r�^ad¦����~admlou1��~<r�dcu�z#vM��lor���vM~§vo¨:��vm��dcu1r�^ad¦z�vM��~®r�k�[ + �\F\F\F%[=]mº ß®��~a}�d�q��k�}�vM~<��d3pVlo~a|�~avM~H¬�|{d�}cu�dmlMk���~{�a� �����kglo��k�v·}�vM~<��d3p¼lo~a|�~avM~H¬�|{d�}cu�dmlMk���~{�aº]_^ad�k�d�}�vM~a|�z"lou�r vo¨,r�^ad¦z{u�v:vo¨,}�vM~ak���k�r�k���~¼k�^avP²���~{�9r�^"lor

� �! ��Ð � > ÐT MÕ�Õ $� �

� �! ��#Ð�V > ÐT MÕ�Õ $� �) ° � ±

xÅ~a|{d�d�|B�{nak���~{�·r�^adD|{d �a~{��r���vM~Vvo¨ �<> �

� �! ��Ð � > ÐT MÕ�Õ $� �

�D ? ) !������Ð � > ÐT oÕ�Õ $ � �D? ) ! �

��� �

� ���Ð�[:5�Õ $� �� � � � {My

� ��#Ð�[ 5#�,+cÕ $ �

��D? ) ! Ð�Ð �<? V �j?MÕ ��Ð�[:5�Õ �ÎÐ �j? �,+ V �<?MÕ �#Ð�[ 5#�,+cÕ�Õ �

�D? ) ! Ð �j? �,+ V � ?�ÕcÐ�� ?O��Ð�[:5ÅÕ �ÎÐ Y V � ?�Õ ��Ð�[:5#�,+cÕ�Õ�

�D? ) ! Ð �j? �,+ V � ?�Õ ��#Ð�V>? Õ � � �! ���Ð�V > ÐT oÕ�Õ $ )

�gvP²��G��dcr � �#dÃlo~®sDlM|Hb·��k�k����{��dÃk�vM��n{r���vM~�vo¨atu�vM�{��dcb �Hº´]_^adcu�d3¨ªvMu�d�� � Ð���Õ�$ �([ + F\F\F��.[=] '<ºß®��~a}�d�r�^adK¨Fn{~a}cr���vM~ ��q}�vM��~a}c��|{d�k ²���r�^-�qvm��dcu��([�+ F\F\F,�.[=]^'<�{r�^adc~VvM~ad¦^"lMk , �! ��Ð � ÐT oÕ�Õ $ ��

ìFå��TìIñ

Page 16: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� em�

, �! ���Ð � ÐT MÕ�Õ $� ®º��gvP² nak���~{�Vr�^adR¨ªlM}cr�r�^"lor ��7��k���~a}cu�dmlMk���~{�7lo~a|½}�vM~®��d3p#� , �! ���Ð � ÐT oÕ�Õ $ �, �! ���Ð�V > ÐT MÕ�Õ $� ®ºÀ³���~"lo����s�� R«Ç<n"lo����rÅs\° � ±_k�^avP² k r�^"lor , �! ��Ð � ÐT MÕ�Õ $� �� , �! ��Ð �<> ÐT MÕ�Õ $� ®º¹]_^{��kb9dmlo~ak_r�^"lor_r�^adKdc~adcu���s@nak�d1vo¨,lo~<sqlM|Hb·��k�k����{��dKk�vM��n{r���vM~ � ��k¹��lou���dcu¹r�^"lo~�r�^adKdc~adcu���s�nak�dvo¨ � > º³´��~"lo����s��Ã~avMr�dÉr�^"lor·r�^adÉ}�vM~ak�r�u�na}cr���vM~Ëvo¨ �<> }mlo~ �#dÉ|{vM~ad���~ ����~admlou·r���b9d��ÀvM~a}�dqr�^ad

¨In{~a}cr���vM~ V > ��k ������dc~�ºÃ]_^ad¦}�vM~ak�r�u�na}cr���vM~§vo¨ � > ��k ������nak�r�u�lor�d�|���~¼³�����n{u�dD�Hº

[ +[ �[

8 >

� >

³�����n{u�dÉ� �9]_^ad�¨Fn{~a}cr���vM~�� > ��k�r�^ad���~<r�dc��u�lo� vo¨glo~ vMz{r���b@lo��k�vM��n{r���vM~ �®> ²�^adc~ nak���~{�Ä�k�z�d�d�|{km�?[ +\�.[ ��lo~a|�[� Mº

qÙ ½¢{¡ J � @E0 �%� $���� . '%� 2�����2� �����!�#�� � >#��� ����� 8 >1��"������0�2����� ���%�#�A'(�1� ��� � � � K" 46" �x�r�²¹vMn{��|½�#d9��~®r�dcu�d�k�r���~{�§r�v¼k�r�na|HsÖr�^ad�|H� N#dcu�dc~a}�d���~\dc~adcu���sÄ}�vM~ak�n{b·z{r���vM~ �#dcr�²Àd�dc~

r�^adK}�vM~®r���~<navMnak1}mlMk�d1²�^adcu�dKr�^ad¦k�z�d�d�|É}mlo~Éu�lo~{��d¦vm��dcu�r�^adg²�^avM��dK��~®r�dcu��Mlo�(� �?� Y ��lo~a|qr�^ad}mlMk�dÀ²�^adcu�d ��r,}mlo~·r�lo¯�d�vM~{��s �a~{��r�dc��s�b@lo~<s��Mlo��nad�kmº:S¹sDn{~{�¶¨ªvMu�b }�vM~<��dcu���dc~a}�d1lou���n{b9dc~<r�km���rgk�^avMn{��|��#d¦vM�<�:��vMnak�r�^"lor r�^adcs�}�vM��~a}c��|{dD��~�r�^ad¦����b·��r�²�^adc~¼r�^ad¦b@lGp:��b@lo�´�<loz��#dcr�²Àd�dc~rŲÀv�}�vM~ak�d�}cn{r�����dDlM|Hb·��k�k����{��dDk�z�d�d�|{k ��v®d�k�r�vR¸mdcu�v{º

����� � �� ���� ��� ����� � ��� � � ����������� �� ���S_d�}mlonak�d7r�^adÄb9v®|H���"d�|(}�v�k�rɨFn{~a}cr���vM~ ��Í��k�~avMr¼k�r�u���}cr���s }�vM~<��d3pB�Kr�^adcu�dÖ²������¦�#d7b@lo~<s|H� NBdcu�dc~<r¹vMz{r���b@lo��k�vM��n{r���vM~akÀr�v�tu�vM�{��dcb �Hº,Ì�b9vM~{��k�r«r�^adcb ²���������d � > º T1vm²¹dc��dcum�®��rÃb@l�s

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 17: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

ec� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

�#d�z�v�k�k����{��dDr�v �a~a|Ölo~ÖvMz{r���b@lo�«k�vM��n{r���vM~7²���r�^V¨ªdc²Àdcu�k�z�d�d�|§}�^"lo~{��d�k¦r�^"lo~ � > º ¥ d�~avP²z{u�d�k�dc~<rglo~Vlo����vMu���r�^{b»¨IvMu |{vM��~{�@r�^{��kmº]_^ad�b@lo��~ ��|{dml§vo¨1r�^adq}�vM~ak�r�u�na}cr���vM~È��k�r�vÖk�²���r�}�^ �#dcr�²¹d�dc~Èk�z�d�d�|{k·vM~{��s\²�^adc~Èlo�H¬

k�vM��n{r�dc��sÖ~ad�}�d�k�k�lou�s�º§ß®n{z{z#v�k�d@²ÀdÉlou�dqlorRl�z#vM��~<r�Ð��?���Ð��"Õ�ÕD��~µlo~½��~<r�dcu���lo� �§��~½²�^{��}�^� > nak�d�k@vM~{��sµrŲÀv k�z�d�d�|{kW[��½lo~a|8[�� �,+ ºXx­¨¦r�^ad¼}cn{u�u�dc~®r�z{u�v:}�d�k�k�vMu�k�z�d�d�|È��k�[��{�¹r�^adc~r�^adq��lor�d�k�rRr���b9dɲ¹d�}mlo~µk�²���r�}�^ r�v7k�z#d�d�| [�� �,+ ²�^{����dÉk�r������_b9d�dcr���~{�Är�^adÉ}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k9��kH5JML �(�'� ��Ð��"Õ �(Ð��xV��"Õ [���� �7Ð���Õ!'<�{²�^adcu�d

�7Ð���Õ'� � ����R%K��NM � §Ð�$&5�ÕxVËÐ�$15hV ��Õ [�� �,+ �*)ß®��b·����lou���s��<�¶¨"r�^ad�}cn{u�u�dc~<rÃz{u�v®}�d�k�k�vMu,k�z�d�d�|���k [�� �,+ �Mr�^adc~·r�^ad_��lor�d�k�r,r���b9d_²Àd�}mlo~·k�²���r�}�^9r�vk�z�d�d�| [��glo~a|�k�r������®��dÃ��n"lou�lo~<r�d�d�|�~avMr�r�v u�n{~�vo¨"vMn{r´²ÀvMu�¯���kxHKJML �(�(� � Ð��"Õ �ÉÐ�� V �"Õ [�� �,+ 6��RÐ���Õ!'<�{²�^adcu�d

��RÐ���Õ(� � 1^#`J K�NM � ��Ð�� 5 Õ:VËÐ�� 5 V ��Õ [��l�*)]_^ad ����lor�d�k�r_k�²���r�}�^{��~{���Klo����vMu���r�^{b ��~qr�^ad���~®r�dcu��Mlo� �R}�vM~ak���k�r�k_vo¨´lo��r�dcu�~"lor���~{�·�#dcr�²Àd�dc~

r�^adKk�z#d�d�|{k_[���lo~a|�[�� �,+ ��~�r�^ad¦lo��vP��dKb@lo~{~adcumº ¥ d1nak�d1r�^{��k lo����vMu���r�^{b r�v·}�vM~ak�r�u�na}cr lo~vMz{r���b@lo��¨Fn{~a}cr���vM~�²���r�^§lRb·��~{��bDn{b ~<n{bD�#dcugvo¨k�z#d�d�|�}�^"lo~{��d�k��e�º�t�lou�r���r���vM~Y� �?���&�_��~<r�vV��~<r�dcu���lo��k � +(�\F\F\F ���U?�k�na}�^ r�^"lorD��~ dmlM}�^�� 5��´r�^ad@¨Fn{~a}cr���vM~ �<>vM~{��s·nak�d�k«r�^ad1k�lob9d�r�²Àv�k�z#d�d�|{km�<kZl�s�[��?�.[�� �,+ º ¥ d1lo��k�v�u�d�Ç®n{��u�dgr�^"lorÃr�^ad z"lou�r���r���vM~��kÉr�^adÖ}�v�lou�k�d�k�rÉz#v�k�k����{��d§��~ r�^adÖk�dc~ak�d§r�^"lor�r�^ad§z"lo��u�vo¨�k�z#d�d�|{kÉnak�d�|X�<s �<> ��~~adc����^<�#vMu���~{�@��~®r�dcu��Mlo��k1lou�d�|H� N#dcu�dc~®rmº

�Hº�x�~ÖdmlM}�^Ä��~<r�dcu���lo� � 5 � � � 5 �� 5 ���T}mlo��}cn{��lor�d·r�^ad�¨IvM����vP²���~{��r�²¹vɨIn{~a}cr���vM~ak� 5 lo~a| 5nak���~{�Ör�^ad�����lor�d�k�r9k�²���r�}�^{��~{���¼lo����vMu���r�^{b lo�#vm��d�ºÈ]_^ad��au�k�r9k�r�lou�r�k@lor¼Ð��&5 � � > Ð���5­Õ�Õ²���r�^���~{��r���lo�Bk�z#d�d�|�[���lo~a| �a~{��k�^ad�k�lor¦Ð � 5 � � > Ð � 5 Õ�Õ3º]_^ad1k�d�}�vM~a|@^"lMk¹r�^ad1k�lob9d1k�r�lou�rlo~a| �a~{��k�^@z�vM��~®r�kÃ�{n{r«^"lMkÃ��~{��r���lo��k�z#d�d�|�[�� �,+ º,h�d�}�vMu�|@r�^ad�r�dcu�b·��~"lo��k�z�d�d�|9vo¨B�#vMr�^¨Fn{~a}cr���vM~ak1lo~a|�r�^adc��u ~®n{bD�#dcu�vo¨,k�z�d�d�|�}�^"lo~{��d�kmº

�Hº�x�~{��r���lo����¸md 'lo~a|� r�v���d1dcb·z{r�s�º� KvDr�^{u�vMn{��^�r�^adg��~<r�dcu���lo��k���~qu�dc��dcu�k�dKvMu�|{dcum�{lozH¬z{��s®��~{�Dr�^ad¹¨IvM����vP²���~{�Du�d�}cn{u�k�����d�z{u�v:}�d�|Hn{u�d�ºÌ_r«dmlM}�^�k�r�lo��d��®loz{z#dc~a|·r�v �5#dc��r�^adcu vMu� k�v�lMkÀr�v�b·��~{��b·��¸md1r�^ad r�vMr�lo��~<n{b���dcu�vo¨�k�z#d�d�|@}�^"lo~{��d�km�:��~a}c��na|H��~{��r�^ad�z�v�k�k��¶¬�{��d k�z#d�d�|9}�^"lo~{��d1lor«r�^ad ��~®r�dcu)¨ªlM}�d�ºÌg���ar�^ad�~ad�}�d�k�k�lou�sR��~H¨IvMu�b@lor���vM~�²¹lMkÃ}mlo��}cn{��lor�d�||Hn{u���~{��r�^ad�z{u�dc�®��vMnak¦k�r�dcz�ºD]_^adRu�d�k�n{��r���~{�q¨Fn{~a}cr���vM~Ö��k1r�^adR~adc² ĺ�ß®��b·����lou���s��B²¹dloz{z�dc~a|¼dc��r�^adcu r�^ad�vM��| vMu� r�v� 5 r�v�¨ªvMu�b r�^ad¦~adc²� º

�aº ¥ dÉdc~a|\n{z ²���r�^µr�²¹v§¨Fn{~a}cr���vM~ak lo~a|� º !À^av:v�k�d�r�^adÉvM~ad�²���r�^ ¨ªdc²Àdcu·k�z#d�d�|}�^"lo~{��d�kKlo~a|�}mlo������r� > º

ìFå��TìIñ

Page 18: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� e6Y

qÙ ½¢{¡ J @�� �Q� " "������ �K�)� ������*M�� &U���(2� ���%� $���� . '%� 2���4���X�����!�#�� > ��� ������� > ��" ������������ ��� � �=')�]����� � � � K" 46" �. > Ù®Ý ¡ Ù �� @�0 �%�P��')� $6������� > $��2� "�����'%$6�Z�&t��5 ������" ���������������� � " 2� �/.0�����12� "`�2��'%�����2�� � 7 ������ �����+��0&U��=5U�2���%��� �/.0�����12��"`����'(���4��� �(K" 2�M� ��K"�� K" � ��A5 "Z. ���&-$`�(��)����" �

7 � �6�� �g³���u�k�r�~avMr�dÉr�^"lor � > lo~a|�� > lo��u�d�d�lor�r�^adÉdc~a| z#vM��~<r�k9lo~a|µnak�d�r�^adÉk�lob9dqr�²Àvk�z�d�d�|{k1��~ÖdmlM}�^Ö��~®r�dcu��Mlo�­� � 5 º�]_^adcu�d3¨ªvMu�d��Br�^adcsVnak�dRdmlM}�^Äk�z#d�d�|�¨ªvMuKr�^adRk�lob9d·lob9vMn{~<rDvo¨r���b9d·lo~a|§^adc~a}�dRnak�d�r�^adRk�lob9d·lob9vMn{~<r�vo¨Àdc~adcu���s�º�]_^{��k¦k�^avm² kKr�^"lor > ��k�lo~ÖvMz{r���b@lo�k�vM��n{r���vM~�r�vRz{u�vM�{��dcb©�Hº�gvP²���dcr �#d�lo~®s�¨ªdmlMk����{��d¦¨In{~a}cr���vM~7r�^"lorgnak�d�kgr�^ad�k�z�d�d�|{k �([�� � Y 6�� 6��B'R��kgr�^ad

kZlob9d�z{u�vMz#vMu�r���vM~ak�lMk_|{v®d�k � > ºà�dcr_r�^ad1b@lGpH��bDn{b k�z#d�d�|�vo¨,V > ����dg�#dcr�²¹d�dc~�[���lo~a|3[�� �,+lo~a|�}�vM~ak���|{dcu r�^ad�k�dcr vo¨���~<r�dcu���lo��k � �U? ����$� '���~�r�^adKz"lou�r���r���vM~¼²�^adcu�d�V > ����d�k��#dcr�²Àd�dc~[��qlo~a| [�� �,+ º à�dcr � 5 � � ��5 �� 5|�´�#dDvM~ad�vo¨«r�^ad�k�d���~®r�dcu��Mlo��kPº�xÅ~¼r�^ad�~adc����^<�#vMu���~{�q��~®r�dcu��Mlo��k� 5GC + lo~a|�� 5 �,+ �«²ÀdÉ^"l���d � > � [��{º½]_^adcu�d3¨IvMu�d�� � > Ð�� 5 Õ�����Ð�� 5 Õ�lo~a| � > Ð � 5 ÕW��§Ð � 5 Õ3º]_^®nak � � K

J K $&� � � > Ð � 5 ÕxV � > Ð�� 5 Õ ) °ª��±

àTdcr ���5 lo~a| � 5 ��d���u�d�k�z#d�}cr�����dc��s��,r�^adÉlob9vMn{~<r·vo¨ r���b9d Êlo~a| � > k�z#dc~a|\lorRk�z#d�d�| [�� �,+��~Vr�^adD��~®r�dcu��Mlo� � 5)ºgß®��~a}�d�r�^ad�r�vMr�lo�,r���b9d�k�z�dc~a|§lorgk�z#d�d�|[�� �,+ ��k�r�^ad�k�lob9d�¨IvMu1��vMr�^ lo~a| � > �T�¶¨ ���5 � � 5¹¨IvMu�k�vMb9d�@ $�*r�^adc~½r�v¼}�vMb·z#dc~ak�lor�d@r�^adcu�d9bDnak�rD�#d9k�vMb9d A $�k�na}�^Ör�^"lor ���9 ���%9�º TgvP²Àdc��dcum�Tk���~a}�dQ, � KJ!K $1� 6����5 [�� �,+ ��Ð � 9�V � 9�V ���9 Õ [��{�#r�^{��kK²ÀvMn{��|}�vM~®r�u�lM|H��}cr@°ª��±3º ¥ dR}�vM~a}c��na|{dRr�^"lor ���5 � � 5 ¨IvMu�lo��� @ $�� lo~a|B��b9vMu�d�vm��dcum�Tr�^"lor1��~ÖdmlM}�^vo¨r�^ad¦��~®r�dcu��Mlo��k�� �U?b���-$ � '�r�^ad¦¨In{~a}cr���vM~ nak�d�k�r�^ad�k�lob9dDr�²Àvqk�z#d�d�|{k�lMk �®> ¨IvMu�r�^adkZlob9d9lob9vMn{~<rDvo¨¹r���b9d�º S¹sV~avm² u�dcb9vP�®��~{��r�^ad�k�dR��~<r�dcu���lo��kDlo~a|Äloz{z{��s®��~{�¼lo~Ö��~a|Hna}cr�����dlou���n{b9dc~®rm��²¹d�b@lms§d3pHr�dc~a|§r�^ad·k�lob9dR}�vM~a}c��nak���vM~Ör�v�lo���r�^ad���~<r�dcu���lo��k¦��~7r�^ad�z"lou�r���r���vM~�º]_^{��k z{u�vm�:��|{d�kgl1w)nak�r����"}mlor���vM~�¨ªvMu }�vM~ak���|{dcu���~{��dmlM}�^���~<r�dcu���lo�Tk�dcz"lou�lor�dc��s�ºx­¨� ��k¦~avMr�d�Ç®n"lo�«r�v�r�^ad�¨In{~a}cr���vM~ > }�vM~ak�r�u�na}cr�d�|\lo�#vm��d��´r�^adc~\lor�k�vMb9d9z�vM��~®r

k�²���r�}�^ad�k��#dcr�²¹d�dc~�k�z�d�d�|{k�dmlou�����dcu�r�^"lo~�~ad�}�d�k�k�lou�s�ºx­¨�|{dc��l�s:��~{�9��vMr�^Ér�^{��k�k�²���r�}�^¼lo~a|qr�^ad¨ªvM����vm²���~{��k�²���r�}�^7��~Vr�^ad�vMz{z�v�k���r�d�|H��u�d�}cr���vM~��#r�^adc~7²Àd�vM�{r�lo��~Älo~avMr�^adcu¦vMz{r���b@lo�,k�vM��n{r���vM~r�vÖt«u�vM�{��dcbi°ª��±�²�^{��}�^Ë^"lMk·r�^ad�k�lob9d�vMuR¨ªdc²Àdcu@k�z�d�d�| }�^"lo~{��d�k�lMk ĺ S¹s |{vM��~{�½r�^{��kdmlM}�^\r���b9d k�²���r�}�^ad�k�r�v:v�dmlou���s��«lo~a|\}�^av:v�k���~{�¼r�^adq|{dc��l�sHk�loz{z{u�vMz{u���lor�dc��s�� b@l�sÖ�#dr�u�lo~ak�¨IvMu�b9d�|X��~<r�v > º ]_^adcu�d3¨IvMu�d > ^"lMkqr�^ad§b·��~{��bDn{bÊz#v�k�k����{��dV~<n{bD�#dcu�vo¨�k�z#d�d�|}�^"lo~{��d�kmº³´����n{u�d��9k�^avm² k���vMr�^���~®r�dc��u�lo��k � > lo~a| � > ��~�r�^ad¦d3p{lob·z{��d�|H��k�z{��l�s�d�|���~V�Hº«xÅ~�r�^{��k

}mlMk�d�� > ^"lMk1�qk�z�d�d�|V}�^"lo~{��d�kK²�^{����d �<> ^"lMk�em��k�z�d�d�|V}�^"lo~{��d�kmº1]_^adD¨Fn{~a}cr���vM~ > ²¹lMk�{n{����rK�®sVnak���~{�Ér�^ad���lor�d�k�r�k�²���r�}�^{��~{�¼lo����vMu���r�^{b�º�xÅ~7��~<r�dcu���lo� � ��#r�^ad�r�²Àv�k�z�d�d�|{k�lou�d`[ �

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 19: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

em� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

� >

�� + � � �

� >

³�����n{u�d¦���«Ìg~�vMz{r���b@lo�Tk�vM��n{r���vM~�²���r�^§lRb·��~{��b@lo��~<n{b���dcu1vo¨,k�z�d�d�|�}�^"lo~{��d�kmº

lo~a|U[� Dlo~a| > nak�d�k�[ � �au�k�rmº_x�~ � ���{r�^ad�rŲÀvqk�z�d�d�|{k1lou�d�[ +1lo~a|U[ �Mº_]_^ad��#d�k�r�k�vM��n{r���vM~nak�d�k [ � �au�k�rmº�³���~"lo����s9��~�� +m�<r�^adgr�²¹vRk�z�d�d�|{k_lou�d�[ �1lo~a|W[� glo~a|�r�^adg��d�k�rÀ��kÃr�v�k�r�lou�r¹²���r�^[� MºqÙ ½¢{¡ J � @ 0 �%� $ ��� "�����' $������2� � � � > ��0& > ���� "`������� � ����4& ���[���%� � ���A� � �3��� $��"��1K""��6���X���%�#��.0����� ��0"�����'%���4���I���I���%� $����=�����A' ��')" ����� �`'A��� $`5+� "M. ����6�4&��& !\�����#�32��� . � �#'�"����(���� �1���������������� .0� �/. �K"��& ��5 � �� �`�D�� ����� ����� % � � � &�� �&-���%�!$���� "`���/' $����4��� �� � > 2� & >$ �� ��� . �����`�����!�&+'(� $��(��(���& ��� ��$`���$`�������4$���3���=�Z�`� � 2�� �

� � �������� � ��� ��#�)���R� ���'!´���©+R%D��� ���

¥ ^{����d�]_^ad�vMu�dcb���}�^"lou�lM}cr�dcu���¸md�k¦r�^adD¨In{~a}cr���vM~V > ����r1��k�~avMrK}�vM~ak�r�u�na}cr�����d�ºK]_^{��kgk�d�}cr���vM~k�^avm² k�^avP²\r�v�}�vM~ak�r�u�na}cr,V > º´]_^ad«¨Fn{~a}cr���vM~`� °Fu�d�k�z�º,�±���k�������dc~�n{~a|{dcuTr�^ad«¨IvMu�b vo¨alo~�vMu)¬|{dcu�d�|�����k�r���� � �\��Ð��N+(�%�RÐ��#+cÕ�Õ �\F\F\F¹Ð��?0��%�RÐ��?01Õ�Õ ��°Fu�d�k�z�º���� � � ��Ð�$4+(�%7Ð�$4+cÕ�Õ �\F\F\F,�PÐ�$�0 �%§Ð�$ 01Õ�Õ �²���r�^�N+ � F\F\F��8� 0�°Fu�d�k�z�ºC$N+ � F\F\F �8$ 01±3º¥ d@z{u�vMz#v�k�d�lo~ lo����vMu���r�^{b¾r�^"lor�}�vM~ak�r�u�na}cr�k�r�^ad@¨Fn{~a}cr���vM~c8 > Ð���Õ@°ªlMk�²Àdc��� lMk�V > Ð���Õ�±

n{~a|{dcu�r�^adR¨ªvMu�b.vo¨�lo~½vMu�|{dcu�d�|Ä����k�rqÐGN +\�3F?+3Õ �\F\F\F,�PÐGN����3F��1Õ¦²���r�^ N + � F\F\F �\N���ºq]_^ad¨In{~a}cr���vM~ 8 > �#dc��~{��r�^adR����~admlou¦��~<r�dcu�z#vM��lor���vM~Ä��dcrŲÀd�dc~Är�^av�k�dRz�vM��~®r�kmº�]_^{��k�lo����vMu���r�^{b ��kk���b·����lou1r�vqr�^ad�����~admlouKr���b9d·lo����vMu���r�^{b }�vMb·z{n{r���~{��r�^ad�}�vM~®��d3p§^®n{���vo¨ 2µvMu�|{dcu�d�|Vz#vM��~<r�k��~�r�^ad�z{��lo~ad@°Ik�d�d1¨ªvMu d3p{lob·z{��d�Áõ�GÂF±3º]_^ad�b@lo��~µ��|{dml7vo¨�r�^ad�lo����vMu���r�^{b ��k�r�v7}�vM~ak�r�u�na}cr·r�²¹v7z{��d�}�d3¬­²���k�d�l B9~ad�¨Fn{~a}cr���vM~ak

�C�����:��~a|Hna}cr�����dc��s��H�<s@��~®r�u�v®|Hna}c��~{�·r�^ad1z#vM��~<r�k�vo¨,� lo~a| vM~ad��®s�vM~ad�º S_vMr�^q¨Fn{~a}cr���vM~ak

ìFå��TìIñ

Page 20: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� e �

k�r�lou�r¹²���r�^�r�^ad¦kZlob9dg��~{��r���lo�B��lo��nad¦lor�r�^ad1��~{��r���lo�Bz�vM��~®r ���@ÐGN ! ÕC� � ÐGN ! Õ3º]_^ad1¨In{~a}cr���vM~8 > lo~a| � vMu�� k�^"lou�d�lR}�vMb·b9vM~¼z{u�d �{pB�a|{dcr�dcu�b·��~ad�|��®s�r�^adDlo����vMu���r�^{b�º�m  Ù � � O§dcu���d«r�^ad«����k�r�k ����lo~a| � �§��~<r�vKl�k���~{����dÃ����k�r��§vMu�|{dcu�d�|��<s¦r�^ad �au�k�rT}�v®vMu�|H��~"lor�d�º

�m  Ù � � ß:dcr&N ! � � Ð��?�%�<Õ3��� � �\��Ð��?�%�<Õ ��� � � � ��Ð��?�%�<Õ ��º

������������ �� ������������ ��

³�����n{u�d#Y �«Ì�^"lor)¬Ålo~{����d�lo~a|�l9}cn{zH¬Ålo~{����d

�m  Ù � � ß®²Àd�dcz�r�^ad«����k�r��gºFT1dcu�d��kBr�^ad��~®�Mlou���lo~®r�vo¨{r�^adÃlo����vMu���r�^{b�lG¨Fr�dcu 29k�r�dczakðFb@lM|{dÃvo¨@Tz�vM��~®r�k��~W� lo~a|�A�z#vM��~<r�k��~��±3º � � ��Ð � +! ��� �! Õ �\F\F\FoÐ � +? ��� �? Õ ����kr�^ad_��vm²¹dcuÀ}�vM~<��d3p·^®n{���vo¨r�^ad�¨Fn{~a}cr���vM~ � ¨Fu�vMb z�vM��~®r�N ! r�vVÐ�$15 �%�RÐ�$15�Õ�Õ lo~a| � �D��Ð � +! ��� �! Õ �\F\F\F��PÐ � +

���� �

�Õ �

��k r�^adKn{z{z�dcu�}�vM~a}mlm��d�^®n{���Tvo¨�r�^ad¦¨Fn{~a}cr���vM~U»¨Iu�vMb z�vM��~®r&N ! r�v¼Ð�$ 9*�%7Ð�$=9oÕ�Õ3º� x­¨�r�^ad¦~ad3pHr z�vM��~®r ��~��È�#dc��vM~{��k r�v�� ° � � � �«��r ��kDÐ�$&5#�,+(�%��Ð�$&5 �,+3Õ�Õ�±3�e�ºÃlM|{|É��r ��~�r�^ad¦��lMk�r�z�v�k���r���vM~ ° � � Y ±¹��~�r�^ad¦����k�r � � � � F®Ð�$&5 �,+(�%7Ð�$15#�,+3Õ�Õ3º�Hº,L�z#|alor�dKr�^adK����k�r ���®s�u�dcb9vP�®��~{�@r�^adKz�vM��~®r�k k�r�lou�r���~{�R¨Iu�vMb'Ð � +? ��� �? Õ_lo~a|É��vM��~{��"lM}�¯:²¹lou�|{kKlMk���vM~{�9r�^adcs�¨IvMu�b©l�^"lorglo~{����d�º�Hº x�¨«lo����r�^ad�z#vM��~<r�k¦lou�dDu�dcb9vm��d�| °Fr�^ad&�au�k�r�z#vM��~<r·Ð � +! ��� �! Õ }mlo~{~avMr1�#d�u�dcb9vm��d�|"±3�n{z�|alor�dDdc��dcu�s®r�^{��~{��lMk�¨IvM����vP² k��¬���� � �{�H²�^{����d � ��k��#dc��vm² � lor z#vM��~<r �U] �,+ |{v�� � ��� � Y v:|Bº¬38 > � �_8 > F���Ð � +! � �! Õ�F\F\FGÐ � +] ��� �] Õ � �¬ � � �\��Ð � +] ��� �] Õ �\F\F\F,�PÐ � +

���� �

�Õ � �

¬ � � �\��Ð � +] ��� �] Õ �PÐ � +? �,+ ��� �? �,+ Õ � �¬*N ! � � Ð � +] ��� �] Õ3º

� x­¨´r�^adK~ad3p:r_z#vM��~<r_��dc��vM~{��k r�v`¾° � � � ��Ð�$ 9j�,+ �%7Ð�$ 9j�,+ Õ�Õ�±3�{|{v�r�^ad¦k�lob9d¦lMk lo��vP��d1�<sk�²���r�}�^{��~{��r�^ad�u�vM��dRvo¨ � lo~a| ����u�dcz{��lM}c��~{�qr�^ad�^"lor)¬Ålo~{����dRr�d�k�r1²���r�^Äl@}cn{zH¬Ålo~{����dr�d�k�r�lo~a|�r�d�k�r���~{�@�¶¨ � ��k�lo�#vm��d � ��~ak�r�dmlM|�vo¨�� ��dc��vP² ��º

�m  Ù � yg~a}�dDr�^ad���lMk�r1z#vM��~<rK��~ � ^"lMk1�#d�dc~§k�²Àdcz{rm�#n{z#|alor�dD¨ªvMu1r�^adD��lMk�rKr���b9d�r�^ad�����k�r8 > �<s�}�vM~a}mlor�dc~"lor���~{�-8 > lo~a| � �(8 > � �_8 > F � º

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 21: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

em� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

�1vMr���}�d�r�^"lor9r�^adVlo����vMu���r�^{b }�vM~ak�r�u�na}cr�k�8 > u�lor�^adcu9r�^"lo~8V > º TgvP²Àdc��dcum��k���~a}�d 8 > ��kz{��d�}�d3¬­²���k�dDl B9~ad��{��r ��k�u�lor�^adcugdmlMk�s�r�vRu�dcr�u���dc��d V > ¨Iu�vMb 8 > ºÌ u�n{~Övo¨Ãr�^ad·lo����vMu���r�^{b'��k1|{dcr�lo����d�|7��~7³�����n{u�d�k��H� � �õ�Hº ³�����n{u�d·�@������d�k1r�^adR}cn{u�u�dc~<r

� �

n�� � y � y � } � } ���

³´����n{u�d�� �]_^ad�}cn{u�u�dc~<rgz�v�k���r���vM~�º

� �

����� � y � }

n� y � }

³´����n{u�d � �«Ì k���b·z{��dD}mlMk�d¦²�^adcu�d�vM~{��s�� ��k�n{z�|alor�d�|Bº

�y� � ��y

� ã

�� � y � y

��

��

n� }

³�����n{u�dD� �Ì }mlMk�dK²�^adcu�ddN ! ��k�n{z#|alor�d�|Bºz#v�k���r���vM~�²�^adcu�d �Îlo~a| �*^"l���d¹�#d�dc~R}�vM~ak�r�u�na}cr�d�|�n{zRr�vgr�^adÀ}cn{u�u�dc~®rz�vM��~®rmº,Ìgk�|H��k�z{��l�s�d�|��~ij�����n{u�d � �Br�^ad9~ad3p:rKz#vM��~<r � �R�#dc��vM~{��k¦r�v�§��k�vqr�^"lor¦²Àd·n{z#|alor�d ��ºR]_^ad9lo~{����d@lorz#vM��~<r � ���k9l§}cn{zH¬Ålo~{����d�lo~a| r�^adcu�d3¨IvMu�dÉ��rR��k�u�dcb9vm��d�|µ¨Iu�vMbÆr�^adq����k�rmºÄ]_^adqz�vM��~®r � �

ìFå��TìIñ

Page 22: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� e6]

|{v:d�k¦~avMrD¨IvMu�b.l�}cn{zH¬Ålo~{����d9��~½r�^ad9~adc² � ¨Fn{~a}cr���vM~\k�v�r�^"lorDr�^ad9u�dcb9vm�:��~{�§k�r�vMzak�lo~a|r�^adD~adc² ¨In{~a}cr���vM~ � ��kg}�vM~ak�r�u�na}cr�d�|Bºgx�~§³�����n{u�d��H��²Àd�lM|{|¼s�dcrKlo~avMr�^adcu1z#vM��~<rm� � �º ¥ dn{z#|alor�d �9ºDt´vM��~®r � �D¨ªvMu�b9kKl�^"lor)¬Ålo~{����d9lo~a|§��kKu�dcb9vm��d�|Bº�t´vM��~®r � +g¨ªvMu�b9k¦l@^"lor)¬Ålo~{����dlo~a|q��k¹u�dcb9vm��d�|BºÀ³���~"lo����s��alo����r�^adKvM��|qz�vM��~®r�k_��~ ��²Àdcu�dKu�dcb9vP��d�|B�alo~a|ɲÀd1^"l���dKr�v�}�^ad�}�¯²�^adcr�^adcu �©u�dcb@lo��~ak9lo�#vm��d���º§]_^{��kR��kD~avMrRr�^adq}mlMk�d�ºÖt´vM��~®r � +���k·lo�#vm��d��@º§t�vM��~<r� � ��k1lo��k�v�lo�#vm��d ��º�³���~"lo����s���t´vM��~®r � ��k �#dc��vm² �@º ]_^{��k�b9dmlo~akgr�^"lor1²Àd�n{z�|alor�dDr�^adk�r�lou�r���~{��z�vM��~®r�k�vo¨_��vMr�^ � lo~a| � r�v�r�^ad·~adc² k�r�lou�r���~{�¼z�vM��~®r�N � ! � � �Mº·]_^ad·~adc² ���k�b@lM|{dqvo¨ r�²Àv§z#vM��~<r�k�N � ! lo~a| � ���´²�^{����d�r�^ad�~adc² � ��kRlo��k�v¼b@lM|{d�vo¨ rŲÀv§z�vM��~®r�kdN�� !lo~a| � oºÌ1k¹¨ªvMu�r�^ad1¨Fn{~a}cr���vM~ 8 > �H��r�^"lMk���d�dc~�}�vM~ak�r�u�na}cr�d�|�¨Fu�vMb �Rr�vRr�^adK~adc²(k�r�lou�r���~{�z#vM��~<rm�vN � ! °Fr�^{��}�¯�dcug����~ad¦��~�r�^ad �a��n{u�dP±3º. > Ù®Ý ¡ Ù �� @b0 � � �� �����/������� &��`� ���� �& ��� �K��$����A"�����'%$���" ���%� ��')�0$������2� V > ��� �����!� Ï@ÐIÑ7Õ �')"/���)�+U� �`�1�2�/51"�� " � Ï@ÐIÑ7Õ �7 � �6�� �g]_^adR¨­lM}cr�r�^"lor�r�^adR¨In{~a}cr���vM~\}�vM~ak�r�u�na}cr�d�|Ä�<s7r�^ad@lo����vMu���r�^{b.��kDlM}cr�n"lo����s V > �Tr�^advMz{r���b@lo�Bk�vM��n{r���vM~Évo¨Ttu�vM�{��dcb'eg��k¹l�|H��u�d�}cr¹}�vM~ak�d�Ç<nadc~a}�dKvo¨�r�^adgz{u�v®vo¨Tvo¨´]_^ad�vMu�dcb ��lo~a|!¹vMu�vM����lou�s��Hº]_^adVz{u�v:vo¨�r�^"lor�r�^adÖlo����vMu���r�^{b u�n{~akÉ��~ ����~admlou�r���b9d7²���r�^ ����~admlou�b9dcb9vMu�s k���¸md§��k

k���b·����lou·r�v7r�^ad�}�vMb·z{n{r�lor���vM~Ívo¨1r�^ad�}�vM~<��d3p ^<n{���gvo¨Kl7k�dcr9vo¨¦vMu�|{dcu�d�| z#vM��~<r�k¼°)Áõ�oÂF±3ºµÌk���b·z{��d�²_l�s@r�v�k�d�dgr�^{��kÀ��kÀr�v�~avMr���}�dgr�^"lor¹r�^adgr�vMr�lo��r���b9d1~ad�d�|{d�|�r�v�}�vM~ak�r�u�na}cr �@� � lo~a|V > ��kKz{u�vMz#vMu�r���vM~"lo�r�vÉr�^ad�~<n{b���dcuDvo¨_}�^"lo~{��d�k�v:}�}cn{u�u���~{��vm��dcu¦r�^ad�����k�r�k �@� � lo~a|V > ºß®��~a}�d�dmlM}�^§z#vM��~<r1��~¼r�^ad�k�d�����k�r�kg��k�dc����b·��~"lor�d�|Ölorgb9v�k�rgvM~a}�d���r�^adD~®n{bD�#dcuKvo¨Ã}�^"lo~{��d�k1��kz{u�vMz#vMu�r���vM~"lo�Tr�v·Ñ º�gvMr�dRr�^"lor��¶¨_r�^ad9vMu�������~"lo�Ã|alor�l���k¦n{~a|{dcu�r�^adR¨ªvMu�b vo¨¹r�^ad@k�dcr�vo¨¹r�lMk�¯:k¦u�lor�^adcuDr�^"lo~

k�r�lo��u�}mlMk�d1¨Fn{~a}cr���vM~ak�� lo~a|�§�Hr�^adc~�vM~adK~ad�d�|{km�alMk�r�^ad �au�k�r k�r�dcz��Hr�v·}cu�dmlor�d¦r�^adK����k�r�k ���lo~a| ���IJ�^{��}�^9b@l�s�r�lo¯�d�Ï9ÐIÑ�Ò�Ó�Ô�ÐIÑ7Õ�Õ�r���b9d_�¶¨�r�^ad_r�lMk�¯Hk«lou�d_~avMrÃlo��u�dmlM|Hs�k�vMu�r�d�|Bº,xÅ~9lo~<s}mlMk�d��´vMn{u·lo����vMu���r�^{b.��kRlo~½��b·z{u�vP��dcb9dc~<r9vP��dcu�r�^ad@z{u�dc�®��vMnak���sÖ¯:~avm²�~ lo����vMu���r�^{b¾������dc~��~ÄÁ�ec��Â�²�^{��}�^¼u�d�Ç®n{��u�d�k�lor ��dmlMk�rgÏ9ÐIÑ Ò�Ó�Ô � ÑÖÕ¹r���b9d�º

����� � ��� ��� �� � � � � ����� � ���xÅ~¦r�^ad«z{u�dc�:��vMnakTk�d�}cr���vM~��G²¹d^"l���dÀk�^avm²�~�r�^"lorTr�^ad«}�vM~ak�r�u�na}cr���vM~�vo¨Hr�^ad¨In{~a}cr���vM~�V > °Fn{~a|{dcur�^adD¨ªvMu�b©vo¨Àlo~7vMu�|{dcu�d�|§����k�r1vo¨«��r�k1z#vM��~<r�kKvo¨Ã|H��k�}�vM~®r���~<n{��r�s��´}mlo����d�| � > ��~§r�^ad�¨ªvM����vm²���~{�®±u�d�Ç®n{��u�d�k·Ï9ÐIÑÖÕ¦dc��dcb9dc~<r�lou�s vMz�dcu�lor���vM~akÉ°I}�vMb·z"lou���k�vM~akm�«lM|{|H��r���vM~ak·lo~a|½bDn{��r���z{����}mlor���vM~akZ±²�^adc~¼r�^ad¦|alor�lR����k�r�k � �\lo~a|����Xlou�d�lo��u�dmlM|HsÉk�vMu�r�d�|Bº]_^{��kÃ}�vMb·z{��d3pH��r�s·��kÃvMz{r���b@lo����~9r�^ad k�dc~ak�d�r�^"lor¹lo����lo����vMu���r�^{b9kÀb�nak�rÀlorÀ��dmlMk�rÃd3palob·��~ad

lo���Br�^ad�z�vM��~®r�k ��~�r�^ad�|alor�lR����k�r�k�r�v·}�vM~ak�r�u�na}cr�V > º

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 23: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

��� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

¥ ^adc~Xr�^adV|alor�l½����k�r�k ��� lo~a| � � lou�dV~avMrÉlo��u�dmlM|HsÍk�vMu�r�d�|B��r�^adc~ÎvMn{uÉlo����vMu���r�^{b9k~ad�d�|{k�lÉz{u�d3¬­z{u�v:}�d�k�k���~{�¼z{^"lMk�d·r�v�k�vMu�r�r�^adcb.��d3¨ªvMu�d9lM}cr�n"lo����sÄ}�vM~ak�r�u�na}cr�V > º�]_^ad9r�vMr�lo�}�vMb·z{��d3pH��r�s�w)n{b·zak�r�v�Ï@ÐIÑ�Ò�Ó�Ô¹Ñ7Õ3º�gd3pHrm�:²Àd�k�^avP²Îr�^"lor�r�^ad¦}�vMb·z{n{r�lor���vM~¼vo¨´r�^adK����k�r � > ��k�b9vMu�d¦}�vMb·z{��d3pqr�^"lo~�k�vMu�r���~{�

� ��� ���1º�!¹vM~ak���|{dcu r�^adK¨ªvM����vm²���~{�9z{u�vM�{��dcb �� �2. '(� � r�^ad�k�dcrKvo¨Ãr�^ad·lou�u�����lo��kR°Fn{~ak�vMu�r�d�|"±�� �"� 5 �.@ � Y F\F\F�Ñ '@lo~a|V|{dmlM|H����~ad�k@°Fn{~ak�vMu�r�d�|"±�"$&5 �.@ � Y F\F\F�Ñ '<º� '%��. '%� � r�^ad¦k�vMu�r�d�|�����k�r � > ºx­¨«r�^ad�k���¸mdDvo¨Àr�^ad w)n{b·zakgvo¨«r�^ad�}cn{bDn{��lor�����d�¨In{~a}cr���vM~ak � lo~a| lou�d�}�^av�k�dc~Äloz{z{u�vo¬

z{u���lor�dc��s��®r�^adc~qr�^ad ����k�r�� > ²������#}�vM~<r�lo��~�lo���"r�^ad�|H��k�}�vM~<r���~<n{��rÅs@z#vM��~<r�k¹vo¨��Îlo~a| §�<k�v�r�^"lor��r¹��k�lM}cr�n"lo����s�d�Ç®n{���Mlo��dc~®r_r�vRl�k�vMu�r�d�|q����k�r_vo¨Tr�^ad1k�dcr��"� 5 �.@ � Y F\F\F3Ñ '��3�"$ 5 �.@7� Y F\F\F�Ñ '<º

Tgdcu�d��k´l_²¹lms¦r�v }�^av:v�k�dr�^ad#w)n{b·zakTvo¨H�#vMr�^ � lo~a|�Vº´]_^ad«}�^avM��}�dÃ��kBb@lM|{d«��r�dcu�lor�����dc��s�ºÌ1k�k�n{b9d�r�^"lorgr�^ad&�au�k�r�@xV Y |H��k�}�vM~<r���~®n{��r�sVz�vM��~®r�kg^"lm��dD�#d�dc~V}�vM~ak�r�u�na}cr�d�|7lo��u�dmlM|Hs�º ¥ d~avP² ��v:vM¯§lor¦r�^ad�@ª¬­r�^Öz#vM��~<rq°��#5ª±3��²�^{��}�^Äb@lms§�#dRdc��r�^adcu�lÉ|H��k�}�vM~®r���~<n{��r�s\vo¨ � vMu�vo¨_§º]_^adcu�d�lou�d¦r�²¹v9}mlMk�d�k���¶¨�r�^ad@z{u�dc�®��vMnak�z#vM��~<rD�#dc��vM~{��k�r�vU °Ik�lmsËÐ�$�?��%§Ð�$X?�Õ�±3�´r�^adc~µ}�^av:v�k�d9r�^ad�^adc����^<rRvo¨�r�^ad}cn{u�u�dc~®r�z#vM��~<rÄ°Fu�dc�<lou�|H��d�k�k�vo¨�r�^ad§¨ªlM}crÉr�^"lor���rÉ��dc��vM~{��kÉr�v��.vMu�ɱ3�g��~ r�^ad7��~<r�dcu���lo�� 7Ð�$�?�Õ �%7Ð�$�?�Õ � Ð�� 5 V $X?MÕ V > Ð�$�?�Õ ��ºx�¨ r�^adqz{u�dc�®��vMnakRz#vM��~<rR�#dc��vM~{��kRr�v�¾°Ik�l�sXÐ�� 91�%��Ð��:9oÕ�±3�«r�^adc~µ}�^av®v�k�d�r�^ad�^adc����^<r9vo¨gr�^ad}cn{u�u�dc~®rz�vM��~®r °Fu�dc�<lou�|H��d�k�kvo¨"r�^adèªlM}cr,r�^"lor,��r´�#dc��vM~{��k,r�vZ�ÈvMu7ɱ3��lo�#vm��d�Ð��#5UV �:9PÕ V > Ð�� 9oÕ ��º¥ ��r�^Vr�^ad�k�dD}�^avM��}�d�k¦vo¨,r�^adD¨In{~a}cr���vM~ak�� lo~a| V�"²Àd�b@lo¯�d�k�n{u�d�r�^"lor1lo����r�^adD|H��k�}�vM~H¬

r���~{��n{��rÅsVz#vM��~<r�k¦vo¨_��lo~a| lou�d9lo��k�vq|H��k�}�vM~<r���~<n{��rÅsÖz�vM��~®r�k¦vo¨ V > �Bk�v�r�^"lor¦r�^adcsV²������«lo����#dK����k�r�d�|É��~ � > º]_^ad�lou���r�^{b9dcr���}�}�vMb·z{��d3p:��rÅs�vo¨,r�^ad�}�vMb·z{n{r�lor���vM~§vo¨%8 > ��k1Ï@ÐIÑ�Ò�Ó�Ô#ÐIÑ7Õ�Õ vMz�dcu�lor���vM~ak

°I}�vMn{~®r���~{�§lM|{|H��r���vM~akm��b�n{��r���z{����}mlor���vM~akRlo~a|½}�vMb·z"lou���k�vM~ak�lMk�r�^ad9vM~{��sÖdc��dcb9dc~<r�lou�sÄvMz#dcu)¬lor���vM~ak3±3º�]_^{��k�lo��k�v�lo����vP² k¦nakKr�v�k�vMu�rKr�^ad���~{��r���lo�«����k�r ����� � � ��~7r�^ad·k�lob9d·lob9vMn{~<rDvo¨r���b9d�º LgzVr�vqvMn{ug¯:~avm²���d�|H��d���~avqlo����vMu���r�^{b'k�vMu�r���~{��l9����k�r1vo¨Ã~®n{bD�#dcu�kK²���r�^7lou���r�^{b9dcr���}}�vMb·z{��d3pH��r�sÖ°F~<n{b���dcu vo¨lM|{|H��r���vM~akm�HbDn{��r���z{����}mlor���vM~ak1lo~a|É}�vMb·z"lou���k�vM~akm�{u�dc�<lou�|H��d�k�k�vo¨´r�^adk���¸md�vo¨Ãr�^ad�~<n{b���dcu�k3±g��vm²Àdcu¦r�^"lo~ÄÏ9ÐIÑ�Ò�Ó�Ô�ÐIÑ7Õ�Õ�^"lMk1��d�dc~§¨ªvMn{~a|Vk�v9¨­loumºK]_^{��kgz{u�vP�®��|{d�kk�r�u�vM~{�@dc�®��|{dc~a}�d�r�^"lor vMn{uglo����vMu���r�^{b»^"lMk�r�^ad���vm²Àd�k�r�z#v�k�k����{��d�lou���r�^{b9dcr���}D}�vMb·z{��d3pH��r�s�º

� �� ������"��� � 7� � %���$ ��� ���¦�

xÅ~�r�^{��k�k�d�}cr���vM~��a²ÀdD��dc~adcu�lo����¸md�r�^ad¦z{u�vM�{��dcb ¨ªvMu�lou��{��r�u�lou�sɨFn{~a}cr���vM~ak���lo~a|V�a²���r�^avMn{rlMk�k�n{b·��~{�¼r�^"lor�r�^adcs½lou�d@k�r�lo��u�}mlMk�d9¨In{~a}cr���vM~akD²���r�^ l �a~{��r�d�~<n{b���dcuRvo¨�|H��k�}�vM~®r���~<n{��r���d�kmº]_^{��k1b@lms¼b9v:|{dc�´��~ �a~{��r�d�k���b@lo�r�lMk�¯:kgb9v®|{dc��d�|§�®s§l9×an{��|7lou�u�����lo��z{u�v®}�d�k�k·°F²���r�^Äl9×an{��||{dmlM|H����~ad¦lMkÀ²Àdc���ú±3ºÀß®na}�^�l�r�lMk�¯·b9v:|{dc�#b@l�s9�#d nak�d3¨Fn{��¨IvMu¹b9v:|{dc����~{����dcu�s9��lou���d1r�lMk�¯9k�dcr�k

ìFå��TìIñ

Page 24: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� �He

°ªlG¨Ir�dcu1u�dc~avMu�b@lo����¸Plor���vM~�±3º�x�rgb@l�sV��d�lo��k�v@�#d�nak�d�|¼r�vqk�z#d�}c�¶¨Fs¼l@b·��~{��bDn{b'z#dcu)¨ªvMu�b@lo~a}�d��dc��dc�´vM~�k�s:k�r�dcb9k�²�^adcu�d¦r�lMk�¯Hk�|{v·~avMr ^"lm��dDlo~¼d3pHz{����}c��r�|{dmlM|H����~ad�ºx�~qr�^{��k_k�d�}cr���vM~��:²ÀdK}�vM~ak���|{dcu¹r�²Àv�¨In{~a}cr���vM~ak_� lo~a|� k�lor���k)¨Is:��~{�Dr�^ad�¨IvM����vP²���~{�·z{u�vMzH¬

dcu�r���d�k �

Ð�� + Õ�� ��k¦l�~avM~H¬�|{d�}cu�dmlMk���~{����d3¨Ir)¬�}�vM~<r���~<navMnak�¨Fn{~a}cr���vM~��#²���r�^Öu�����^®r�lo~a|V��d3¨Ir¦|{dcu����Mlor�����d�k��~- ���V�� � ��� '�lo~a| �RÐ��<ÕC� �{º

Ð����PÕ� ��k¹lK~avM~H¬�|{d�}cu�dmlMk���~{��u�����^®r)¬�}�vM~<r���~®navMnak_¨Fn{~a}cr���vM~��®²���r�^qu�����^<r¹lo~a|@��d3¨Fr¹|{dcu����Mlor�����d�k��~- ���V�� � ��� '<�N7Ð��<ÕC� �{�"lo~a|U �8��ºtu�vM�{��dcb9kVeVlo~a|Í�7u�dcb@lo��~Ín{~a}�^"lo~{��d�| � �a~a|Ëlo~È��~®r�dc��u�lo�{��dUVXr�^"lor@b·��~{��b·��¸md¼r�^ad

dc~adcu���s9k�z�dc~®rÃ�#dcr�²Àd�dc~Ér���b9d1�Dlo~a|9r���b9d����<²�^{����d�k�lor���k)¨Is:��~{�Dr�^ad�}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k¦°ª��±«lo~a|§°F�®±°ªlo~a|\°4Y�±Àu�d�k�z�ºó±3º]_^ad�k�vM��n{r���vM~Ö��kKlo��k�v�r�^adRk�lob9d ��r�^adRvMz{r���b@lo�«k�z�d�d�|Ölo����v:}mlor���vM~7¨IvMu1r�^ad�z{u�v®}�d�k�k�vMuK��k

������dc~½�<s§r�^ad·k�^avMu�r�d�k�r¦z"lor�^Ä�#dcr�²¹d�dc~ � lo~a| ¨Iu�vMb'z�vM��~®r�Ð��?�%�<ÕKr�vÉz#vM��~<rqÐ|���%§Ð|�¦Õ�Õ3�k���~a}�d¦r�^ad¦z{u�v:vo¨,vo¨«]_^ad�vMu�dcb©�@lo��k�v·²ÀvMu�¯Hk�¨ªvMu�lou��{��r�u�lou�sɨIn{~a}cr���vM~ak�� lo~a| §ºMT1vm²Àdc��dcum�r�^{��k¹r���b9d��Hr�^adKvMz{r���b@lo��k�vM��n{r���vM~ 8 > ��k_~avMr_~ad�}�d�k�k�lou�����s�z{��d�}�dc²���k�d¦l B9~ad�lMk¹k�^avm²�~É��~Ér�^add3palob·z{��d�vo¨³�����n{u�d#]Hº

n! �

� ã

³�����n{u�d#] �«r�^ad�vMz{r���b@lo�Tk�vM��n{r���vM~�²���r�^§lou��{��r�u�lou�s�¨In{~a}cr���vM~U� lo~a|�§º]_^ad }�vMb·z{n{r�lor���vM~"lo����k�k�nad�k,��d�}�vMb9d�kÃ^adcu�d�l1u�dmlo�"}�vM~a}�dcu�~�^adcu�d���d�}mlonak�d_r�^ad_¨Fn{~a}cr���vM~ak

� lo~a| }mlo~ �#dÉlou��{��r�u�lou�����s\|H� B@}cn{��r·r�v§}�v®|{dq��~ l¼}�vMb·z{n{r�dcu·z{u�vM��u�lob�º T1vm²¹dc��dcum�«�¶¨�#vMr�^ � lo~a| �lou�d¦z{��d�}�dc²���k�d¦z#vM��s®~avMb·��lo��k�°Ivo¨«|{dc��u�d�d �a±3�{r�^adc~�r�^ad�}�vMb·z{n{r�lor���vM~§vo¨'8 >vM~{��s7��~®��vM����d�kDk�vM���:��~{��z#vM��s®~avMb·��lo�¹d�Ç<n"lor���vM~ak�vo¨_|{dc��u�d�d �#º9]_^{��kD}mlo~Ä�#d9|{vM~ad·²���r�^ lo~

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 25: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

��� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

lou��{��r�u�lou�sµz{u�d�}c��k���vM~Ënak���~{�Äk�s:bD�#vM����}�}�vMb·z{n{r�lor���vM~Ër�v:vM��k·�"lMk�d�| vM~Íß:}�^®n{u@z#vM��s®~avMb·��lo��klo~a| 1u�vM�{~adcu��"lMk���kmº Tgdcu�d���r�^adD}�vMb·z{��d3pH��r�s�vo¨«r�^ad�lo����vMu���r�^{b ��k1lor���dmlMk�r1d3p:z#vM~adc~<r���lo����~�#º

����� � �� ������ ����� � ��� � � �������Ì1k¨ªvMuÃtu�vM�{��dcb �H�®r�^{��k«u�d�Ç®n{��u�d�kÀk�vMb9dg}�^"lo~{��d�k_k���~a}�d�r�lo¯®��~{��k�vMb9d�z{u�d�}mlon{r���vM~ak¹��d�}�vMb9d�k~ad�}�d�k�k�lou�s�º ¥ d�~ad�d�|·r�vDlM|{|·r�d�}�^{~{��}mlo��lMk�k�n{b·z{r���vM~akÃvM~·r�^ad_¨In{~a}cr���vM~ak �Îlo~a|�§��r�v�l���vM��|}mlMk�d�k_²�^adcu�dKr�^adcu�dKlou�dK~av·lM|Hb·��k�k����{��d¦k�vM��n{r���vM~akmºÀyg~ad1²¹lms�r�vRb@lo¯�d¦k�n{u�dgr�^"lor�r�^adKk�dcr�vo¨lM|Hb·��k�k����{��d�k�vM��n{r���vM~akg��kg~avMrKdcb·z{r�s¼��kg�<s§lM|{|H��~{�qr�^adD¨ªvM����vm²���~{��lMk�k�n{b·z{r���vM~akKvM~ � lo~a|§ºÐ�� PÕ���� �8�?� >3�W68� 6 ��6W��� , �J �RÐT oÕxV 7ÐT MÕ $� `���®Ð �&V �HÕ )Ð�� �GÕqr�^adcu�dÉd3p:��k�r�k·l �a~{��r�dq~<n{bD�#dcu9vo¨�z#vM��~<r�k N �#dcr�²Àd�dc~8�Ölo~a| � k�na}�^µr�^"lor���ÐGNBÕ �

§ÐGNBÕ3��lo~a|3>�NVkPº rmº7��ÐGNBÕ � §ÐGNBÕ ����[��� $ �([ + �\F\F\F![=] 'Dkmº rmº R �R.M { ÐGNBÕ � [#� R �R.M { ÐGN#Õ�6[#�glo~a| R �R.M � ÐGNBÕ 6� � R �R.M � ÐGNBÕ_���ºx­¨�lMk�k�n{b·z{r���vM~ÄÐ���oÕÃ��k¹~avMr�k�lor���k��"d�|B�H��r_k�^avMn{��|É�#dgvM�®�®��vMnak�r�^"lor�tu�vM�{��dcb»��|{v:d�k¹~avMr

^"lm��dqlo~®s½lM|Hb·��k�k����{��dqk�vM��n{r���vM~\k���~a}�d�lor�r���b9dW�Vlo~®s½}�^avM��}�dqvo¨ r�^ad9��~{��r���lo�_k�z#d�d�|Ö²ÀvMn{��|�{u�dmlo¯§vM~ad·}�vM~ak�r�u�lo��~<rq°Idc��r�^adcu��qvMu1�®±3º�Ì1k1¨IvMu�lMk�k�n{b·z{r���vM~ËÐ�� Õ3�B��rDlM|{|{kKr�^ad�¨­lM}crKr�^"lor²�^adc~adc��dcu � ��k�k�r�u���}cr���s\lo�#vm��d3V��r�^adcu�d9��k�k�r������_dc~avMn{��^ k�z"lM}�d9�#dcr�²Àd�dc~�� lo~a| V�´¨ªvMuk�vMb9d�lM|Hb·��k�k����{��d�k�vM��n{r���vM~¼nak���~{��l �a~{��r�d¦~®n{bD�#dcugvo¨k�z�d�d�|{kPº]Tv �a~a|�r�^ad�vMz{r���b@lo��k�vM��n{r���vM~Vr�v@z{u�vM�{��dcb'�H�"vM~ad�bDnak�r1}�vM~ak�r�u�na}cr¦l �a~{��r�d�k�d�Ç®nadc~a}�d

vo¨�¨In{~a}cr���vM~akm�TÐGF*�:Õ¹nak���~{�9r�^ad1¨IvM����vP²���~{�@z{u�v:}�d�|Hn{u�d�ºà�dcr�N + � �?�3N��:�\F\F\F,�3N �3�I� ��d�r�^ad�z#vM��~<r�k¦²�^adcu�d � lo~a| b9d�dcrmºDt,lou�r���r���vM~\dmlM}�^

��~®r�dcu��Mlo� � N 5 �3N 5 �,+ �{vo¨a��dc~{��r�^ � 5 9<;+=�eN 5#�,+ V�N 5 ��~®r�vZ2�k�n{�H¬­��~®r�dcu��Mlo��kvo¨ar�^ad¹k�lob9d¹k���¸md1°|� 5 �=2´±3ºT1dcu�dK��k�l�²_l�s�r�v·}�vM~ak�r�u�na}crgr�^ad1¨Fn{~a}cr���vM~-F*��ºÌ_rDk�r�dcz��#�´²Àd�}�vM~ak�r�u�na}crDr�^adR¨In{~a}cr���vM~ F*�#Ð���Õ¦vm��dcuDr�^ad �:r�^Ä��~<r�dcu���lo�­��~"lob9dc��s �U?19<;+=�

ÐGN�5 ��X�G5 �=27�3N#5 � �X� 5 �=2 � �G5 �=2��º«]_^adcu�d�d3pH��k�r�k �¼k�na}�^¼r�^"lor[�� �G5 �=2 6 ��� K � � ? �,+ � � K � �

�K � ? � K � � V > ÐT MÕ $� �6�[�� �,+ � 5 �=2 )

]_^adcu�dDd3p:��k�r�k � ? $ÄÐ��?� Y �,k�na}�^�r�^"lorV >? 9<;+=� 2 ��� � � K � � ? �,+ � � K � �

�K � ? � K � � V > ÐT MÕ $� � � � ?"[�� �ÎÐ Y V � ?�Õ [�� �,+ �

ìFå��TìIñ

Page 26: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� ���

³au�vMb r�^"lor�z�vM��~®rqvM~��_²¹d¼^"lm��d¼rŲÀv z�v�k�k����{������r���d�k@r�v\|{d �a~ad¼r�^ad�¨Fn{~a}cr���vM~[F*�µvm��dcuqr�^ad��~®r�dcu��Mlo� �U?Z� Ð �X� 5 �=27� �X�G5 �=2 � �G5 �=2��ºÌ_r���dmlMk�r vM~ad¦vo¨,r�^adcb ²������B��d�lM|Hb·��k�k����{��dK²�^adc~�2�#d�}�vMb9d�k���lou���d�dc~avMn{��^�º³´��u�k�rDlo��r�dcu�~"lor�����d ��F*��Ð���Õ � [���vP��dcu�r�^adR��~<r�dcu���lo� �U? �©ÐGN#5 � �X�G5 �=27�3N#5 � � ?O�G5 �=2 �

Ð Y V � ?�ÕcÐ �X�G5 �=2 � � 5��=2´Õ �Klo~a| F*��Ð���Õ � [�� �,+ vm��dcu�r�^ad���~<r�dcu���lo��ÐGN�5�� � ?��G5 �=2 ��Ð Y V� ?�ÕcÐ �X� 5 �=2 � � 5 �=2´Õ �3N 5 � �X� 5 �=2 � � 5 �=2��ºß:d�}�vM~a|§lo��r�dcu�~"lor�����d �%F*�#Ð���Õ_� [�� �,+ vm��dcu1r�^adD��~®r�dcu��Mlo��ÐGN#5�� �X�G5 �=27�3N#5�� � ?HÐ �X� 5 �=2 �� 5 �=2´Õ � Ð Y V � ?oÕ � 5 �=2��lo~a|EF*��Ð���Õ ��[��Dvm��dcu_r�^adg��~<r�dcu���lo�«ÐGN#5 � � ?:Ð �X�G5 �=2 �t� 5��=2´Õ �ÈÐ Y V

� ?�Õ �G5 �=27�3N#5 � �X� 5��=2 � �G5 �=2��º�gvMr�dqr�^"lor·�#d�}mlonak�d�vo¨KlMk�k�n{b·z{r���vM~ ����Ãr�^{��kR��kR��v®}mlo����s lM|Hb·��k�k����{��d�lorRr�^ad�d3pHr�u�dcb9d

z#vM��~<r�k�vo¨�r�^ad¦��~®r�dcu��Mlo��kPº. > Ù®Ý ¡ Ù � @ 0 �%�#��')� $6������� F > ��F*� ��" ����/.0�����12� "`����'%��������� � 7 � �X��� �`� �+�����I���%�"�� ���� �/"`� 2 "�'%$`� ���%2� F � ��" �&�� � "/"/�*��� � �7 � �6�� �g³���u�k�r1~avMr�dRr�^"lor1r�^ad���~®r�dc��u�lo�Ãvo¨ F*��}�vM~<��dcu���d�kDr�vt8 > z{��d�}�dc²���k�d�²�^adc~ 2\��v:d�kKr�v��~ �a~{��rÅs�º Lgk���~{��lMk�k�n{b·z{r���vM~ � �ar�^{��k���b·z{����d�k�r�^"lorgr�^adK¨In{~a}cr���vM~�F � ��kglM|Hb·��k�k����{��dD�¶¨ 2½��k�a~{��r�d��{n{rK��lou���dRdc~avMn{��^�º�ß:d�}�vM~a|B�#nak���~{�qr�^ad·lMk�k�n{b·z{r���vM~ÖvM~7r�^ad�u�lo~{��dRvo¨Ãr�^ad`V�5 � km��¨ªvMulo~®s [ +�6 V � [=]���r�^adcu�d�d3pH��k�rZ@ZÐ�V#Õ�k�na}�^Vr�^"lor [ 5������ 6 V � [ 5������ �,+ º ¥ dDr�^adc~7|{d �a~ad�r�^ad}�v:d�B@}c��dc~<r ��·k�na}�^�r�^"lor_V � ���&[ 5������ �ËÐ Y V ��:Õ [ 5������|�,+ º ¥ d1nak�d1r�^adgu�dmlo�#¨In{~a}cr���vM~ ��#Ð�VBÕlMk ��~Vß:d�}cr���vM~§�Hº]_^ad¦~ad3p:r�z"lou�rgvo¨�r�^ad¦z{u�v:vo¨}�vM~ak���k�r�k���~�k�^avP²���~{�@r�^"lor

� �! ��ÐGF > ÐT oÕ�Õ $ �

� �! ��#Ð�V > Õ $ ) °4]�±

L1k���~{�·r�^ad�|{d �a~{��r���vM~Vvo¨xF > �� �! ��ÐGF > ÐT oÕ�Õ $ �

0D? ) !�� ���ÐGF � ÐT oÕ�Õ $

�0D? ) !�� �

���Ð�V >? Õ $ )ß®��~a}�d«r�^ad�¨Fn{~a}cr���vM~ ��1��kTl B9~ad«vM~�lo����r�^ad«��~<r�dcu���lo��k �U?:�mr�^adc~ @ 0? ) ! , � � ���Ð�V >? Õ $ � , �! ���Ð�V > Õ $� ®º

Tgdcu�d���k�~avm² r�^adq��lMk�r�z"lou�r·vo¨ r�^adqz{u�v:vo¨)�,²�^{��}�^ u�d�k�dcbD�{��d�kRr�^adÉ}mlMk�d�²���r�^µ|H��k�}cu�dcr�dr�lMk�¯:kmº,à�dcr V¼��d¦lo~<s�lM|Hb·��k�k����{��d¦k�vM��n{r���vM~�vo¨Tz{u�vM�{��dcb �Hº]_^adcu�d3¨ªvMu�d��4V�Ð���Õ%$ �([ + F\F\F��.[=] '<ºß®��~a}�dKr�^adg¨In{~a}cr���vM~��§}�vM��~a}c��|{d�k�²���r�^���vm��dcu �([ + F\F\F �.[=]\'<�Hr�^adc~�vM~ad1^"lMk , �! ��Ð�V,ÐT oÕ�Õ $ ��, �! ���Ð�V�ÐT MÕ�Õ $� ®º9�1vm² nak���~{��r�^ad�¨­lM}cr�r�^"lor��\��k¦��~a}cu�dmlMk���~{�§lo~a|Ä}�vM~<��d3pB�x, �! ��BÐ�V�ÐT MÕ�Õ $� U�

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 27: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

�o� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

, �! ���Ð�V > ÐT MÕ�Õ $� ®º³���~"lo����s��<nak���~{� R«Ç®n"lo����r�sV°4]�±«k�^avm² kÀr�^"lor%, �! �#Ð�V�ÐT MÕ�Õ $� �c, �! �#ÐGF*��ÐT MÕ�Õ $� ®º]_^{��kÀb9dmlo~akÀr�^"lorÀr�^ad1}�v�k�rÀvo¨´lo~®s@lM|Hb·��k�k����{��d1k�vM��n{r���vM~q��k«��lou���dcu¹r�^"lo~�r�^ad1}�v�k�rÀvo¨hF � º� �� ������"��� � � ��� �¦�<!�� � � � � !´� �a� ��%���!T����� ���

xÅ~Rr�^{��kk�d�}cr���vM~���²¹d�¯�d�dcz·r�^adÀ×an{��|�¨Fn{~a}cr���vM~akC� lo~a|� n{~a|{dcur�^ad lMk�k�n{b·z{r���vM~ak �C+(� ���*� � lo~a| ���º¹x�~¼r�^{��k�k�d�}cr���vM~��"²Àd�lo��k�v@}�vM~ak���|{dcugr�^ad�}mlMk�d¦²�^adcu�dDr�^ad¦¨In{~a}cr���vM~-���"²�^{��}�^§������d�kr�^ad_��~ak�r�lo~<r�lo~ad�vMnakÃdc~adcu���sR}�vM~ak�n{b·z{r���vM~9��k«~avMr«}�vM~<��d3p9lo~a|R��~a}cu�dmlMk���~{�aº]_^{��k��k,r�s:z{��}mlo����sr�^ad�}mlMk�d ²�^adc~�r�^ad k�r�lor���} z#vm²¹dcuÀ|H��k�k���z"lor�d�|9�<s·r�^ad z{u�v®}�d�k�k�vMu«��k«~avMrÀ~adc����d�}cr�lo�{��d�º«x�~@r�^{��k}mlMk�d��Hr�^ad¦r�s:z{��}mlo���#dc^"l��:��vMu�vo¨ �q��k |H��k�z{��lms�d�|���~�³�����n{u�d9em�Hº

� 0ZN��a2#NG4#E����

5�1NG0

³�����n{u�d9em� �,Rp{lob·z{��d�vo¨l�~avM~H¬�}�vM~®��d3p¼dc~adcu���sÉ}�vM~ak�n{b·z{r���vM~�¨In{~a}cr���vM~�º

¥ d�lMk�k�n{b9d�r�^"lor«r�^ad�¨In{~a}cr���vM~1����kÃk�dcb·�¶¬�}�vM~®r���~<navMnak_�{n{r«~avMr¹}�vM~<��d3p�lo~a|·��~a}cu�dmlMk���~{�aº³"vMu r�d�}�^{~{��}mlo�´u�dmlMk�vM~akm�H²Àd�²������#¨Fn{u�r�^adcuglMk�k�n{b9dKr�^"lor��@^"lMk�l �a~{��r�dK~<n{bD�#dcugvo¨,��~H×"d3pH��vM~z#vM��~<r�kPºx�~§r�^{��k¦}mlMk�d��#r�^adRvMz{r���b@lo�«k�vM��n{r���vM~ [ > vo¨Àz{u�vM�{��dcb eR|{dcz#dc~a|{k¦vM~ ��º T1dcu�d���k�l�²_l�s

r�v·}�vM~ak�r�u�na}cr�[ > º]_^ad&�au�k�r1k�r�dcz¼��kgr�v@}�vM~ak�r�u�na}crgr�^ad�}�vM~<��d3p¼^®n{��� �§vo¨ ��º1ß®��~a}�d���Ð��<Õ � �qlo~a|-��ÐGNBÕ��

�?� >ZN � �{�ar�^adc~ �¼��k�lo~���~a}cu�dmlMk���~{��}�vM~<��d3p�¨In{~a}cr���vM~�º_à�dcr� Ö�#d¦r�^ad�k�dcr�vo¨z#vM��~<r�k�²�^adcu�d�Vlo~a| �Ä}�vM��~a}c��|{d �� 9<;+=� �ONW$ �� �)/� ) �´ÐGN#ÕZ� ��ÐGNBÕ!'qlo~a|§��dcr��Î�#d�r�^adR}�vMb·z{��dcb9dc~®r�lou�sk�dcr���� 9<;+=� �ONW$ �� �)/� ) �´ÐGN#Õ��� ��ÐGNBÕ!'<º L1k���~{�Ér�^ad9lMk�k�n{b·z{r���vM~ÄvM~7r�^ad���~H×"d3p:��vM~Öz#vM��~<r�kvo¨d����r�^adÖk�dcr��»��k�b@lM|{dÖvo¨Rl �a~{��r�d7~®n{bD�#dcu�vo¨���~®r�dcu��Mlo��kmº��gvMr�d§r�^"lor�r�^adV¨In{~a}cr���vM~�(��k�l B9~adÄvm��dcu��gº ³avMu¼dmlM}�^YNe$��1�g²ÀdÖ|{d �a~adÖrŲÀvÈz#vM��~<r�k���~��Æk�n{u�u�vMn{~a|H��~{� N�½ÐGNBÕ 9<;+=�e^ `Ma^�= d$� � �)/� )! ��WN 'Rlo~a| ÐGN#Õ 9<;+=� HKJML �= �$� )/�j) 6 N '<º

ìFå��TìIñ

Page 28: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� �2Y

]_^ad�k�d�}�vM~a|�k�r�dcz¼��k�r�v9k�vM����dKz{u�vM�{��dcb¾e¦nak���~{� �¼��~ak�r�dmlM|�vo¨:���"lMk�r�^ad���~ak�r�lo~<r�lo~ad�vMnak}�v�k�rmº,ß®��~a}�d �9��k}�vM~<��d3p@lo~a|R��~a}cu�dmlMk���~{�a�<²Àd���dcrÃlMk,�#d3¨IvMu�d_r�^ad�k�^avMu�r�d�k�rz"lor�^�8 > �#dcr�²Àd�dc~��lo~a| §º]_^ad¦r�^{��u�|�k�r�dcz���k�r�v@}�vM~ak�r�u�na}crglRk�dcr vo¨�¨Fn{~a}cr���vM~akP�4[:�#�.2 $���lMk�¨IvM����vP² kmº

x�¨,V > Ð���Õ($ ,�{r�^adc~U[ �#Ð���Õ7� V > Ð���Õ3ºx�¨CV > Ð���Õ $ �g��r�^adc~Ör�^adcu�dRd3p:��k�r¦lo~7��~<r�dcu���lo� �"�#}�vM~<r�lo��~{��~{�U�glo~a|§b@lGp:��b@lo��¨ªvMu1��~a}c��nak���vM~vP��dcu´²�^{��}�^�V > $ � Ð�V > Ð���Õ�Õ � \Ð�V > Ð���Õ�Õ ��º ¥ d«z"lou�r���r���vM~Rr�^ad«��~®r�dcu��Mlo� �1��~<r�v�2�k�n{�H¬­��~®r�dcu��Mlo��kP�dmlM}�^�vo¨Tk���¸md P �P �=2«ºx�~ÉdmlM}�^�k�na}�^���~®r�dcu��Mlo�­�Hk�lmst� �!+\�.� �PÕ3�:r�^ad1lm��dcu�lo��dg��lo��nad1vo¨ V > vP��dcu_r�^{��k��~®r�dcu��Mlo�T��k�� 9<;+=� +M } C M y ,

M }M y V > Ð���Õ $&��lo~a|�r�^ad�}�v®d�B@}c��dc~®r � 9<;+=� �C � ���

� ��� C � �

�� º

�1vm²���[ � Ð���Õ � Ð��´Õ vm��dcuQ� � + �.� + �(Ð Y V �,ÕcÐ�� � V � + Õ�Õglo~a| [ � Ð���Õ_� ½Ð��´Õ�vm��dcuQ� � + �(Ð Y V�,ÕcÐ�� ��V �!+3Õ �.� �PÕ3º]_^ad �a~"lo�Bk�r�dcz���kÀr�^ad1}�^avM��}�dKvo¨ [ > Ð���ÕC� [ � Ð���Õ >��'$ � �?�������:¨IvMu¹k�vMb9d�2V��lou���dKdc~avMn{��^

k�vRr�^"lor�[ > Ð���Õ¹��k�lM|Hb·��k�k����{��d�º. > Ù®Ý ¡ Ù �� @ 0 �%�Q�/'(� $����4��� [ > � " ���%� �/.0����� ���"`�2��'%�����2�X� � 7 ������ ��� � �

7 � �6�� ��°Ik�¯�dcr�}�^�±«]_^ad�z{u�v®vo¨B��kÃk���b·����louÃr�v�r�^ad�z{u�v®vo¨�������dc~���~Éß:d�}cr���vM~ YHº�e�º,]_^ad �au�k�rÀr�^{��~{�r�vq~avMr���}�d���kKr�^"lor¦k���~a}�d�r�^ad���~<r�dcu���lo��k¦nak�d�|Vr�vq|{d �a~adRr�^ad�¨In{~a}cr���vM~ak [:����dcr¦k�b@lo����dcu�lo~a|k�b@lo����dcum�ar�^adc��u1��~<r�dc��u�lo��kK}�vM~<��dcu���d�z�vM��~®r)¬­²���k�d�r�vm²¹lou�|{k�8 > Ð���Õ�²�^adc~U2Ä��u�vP² kmº ]_^adcu�d3¨ªvMu�dk���~a}�d�� �8V�®r�^adcu�d1d3p:��k�r�k¹l �a~{��r�d�2Vk�na}�^@r�^"lor [:�RkZlor���k��"d�kÃr�^adg}�vM~ak�r�u�lo��~<r�k���lo~a|9�Rlo~a|��kglM|Hb·��k�k����{��d�º]_^ad�k�d�}�vM~a|¼¯�dcs�z�vM��~®rg��~Vr�^adDz{u�v:vo¨«��k r�v�~avMr���}�d�r�^"lorgk���~a}�d �V��k1l B9~ad�vm��dcu �Xr�^adc~, M }M y �´Ð�[:�{Õ $&�7� �´Ð��´ÕcÐ�� ��V �!+ZÕ3º S¹sq��~<r�dc��u�lor���~{�qvm��dcu1lo���Br�^ad�r���b9d¦u�lo~{��d��{r�^{��k�������d�k

� ��

�TÐ�[ > Õ $1� � � ��

�´Ð�V > Õ $&� ) °)em��±

]Tv �a~{��k�^¼r�^adKz{u�v®vo¨��Hr�lo¯�d VÖlo~<s�lM|Hb·��k�k����{��d�k�vM��n{r���vM~�¨IvMu�z{u�vM�{��dcb¾e�º� ��

��Ð�V,Ð���Õ�Õ $&� � � ��

�´Ð�V�Ð���Õ�Õ $1�^� °)e�eP±

� � ��

�´Ð�V > Ð���Õ�Õ $1�^� °)em��±

� � ��

�´Ð�[ > Ð���Õ�Õ $1�^� °)em��±

� � ��

�#Ð�[ > Ð���Õ�Õ $1�^� °)ec�®±

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 29: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

��� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

²�^adcu�d�x�~ad�Ç®n"lo����r�s�°)e�eP±�}�vMb9d�k,¨Iu�vMb r�^ad¹¨ªlM}cr,r�^"lor:��� � �®x�~ad�Ç®n"lo����r�s�°)em��±,}�vMb9d�k,¨Iu�vMbr�^ad¦¨ªlM}cr r�^"lor�V > ��k�r�^ad�vMz{r���b@lo�´k�vM��n{r���vM~V²���r�^�r�^adD}�vM~®��d3p¼}�v�k�r � �AR«Ç®n"lo����r�s½°)em��±_��k r�^adkZlob9d�lMkD°)em��±��"lo~a|-R«Ç®n"lo����r�sÄ°)ec�®±_}�vMb9d�k�¨Fu�vMb r�^ad1¨­lM}cr r�^"lor [ > Ð���Õ%$ V¨ªvMu�lo��� ��lo~a|Ér�^ad¨­lM}cr�r�^"lor���� ��vP��dcu º����� � �� ������ � � � �� � � �������]_^adK}mlMk�dg²�^adcu�dKr�^ad1z{u�v®}�d�k�k�vMu¹}mlo~�vM~{��s�r�lo¯�dKl&�a~{��r�dK~<n{b���dcu vo¨�k�z�d�d�|{k��([ + �\F\F\F��.[=] '¦��kb�na}�^§dmlMk���dcu�r�v·^"lo~a|H��d�º³���u�k�rm�G}�vM~ak�r�u�na}cr�r�^ad«}�vM~®��d3p¦^<n{��� �Dvo¨:r�^ad �a~{��r�d«k�dcr�vo¨Hz�vM��~®r�k �®Ð�[ + ����Ð�[ + Õ�Õ �\F\F\F��PÐ�[=](����Ð�[=]3Õ�Õ!'<ºß:d�}�vM~a|B�#u�dcb9vP��d9lo���´r�^adRk�z#d�d�|{k1²�^{��}�^Ä|{v�~avMrK��dc��vM~{�Ér�v�r�^ad�}�vM~®��d3pV^®n{���,¨Fu�vMb©r�^adRk�dcrvo¨«lM|Hb·��k�k����{��dDk�z�d�d�|{kPºà´lMk�rm�ak�vM����d�t«u�vM�{��dcb��9lMk ��~¼k�d�}cr���vM~§�·²���r�^�r�^ad¦u�d�|Hna}�d�|¼k�dcr�vo¨«k�z�d�d�|{kPº«]_^{��k ������d�k�r�^advMz{r���b@lo�´k�vM��n{r���vM~�º

� � � ��!´��%��"��� �

xÅ~Xr�^{��k�k�r�na|Hs�� ²¹d7z{u�d�k�dc~<r�d�|(l\~adc² loz{z{u�v�lM}�^(r�v |{dcr�dcu�b·��~adÖr�^ad7vMz{r���b@lo�K¨Iu�d�Ç<nadc~a}csk�}�^ad�|Hn{��d@vo¨ l�k�dcr�vo¨¹��~a|{dcz#dc~a|{dc~<r�r�lMk�¯Hk�k�n{�Hw�d�}cr�r�v�³,xų�y u�dmlo�¶¬­r���b9d@}�vM~ak�r�u�lo��~®r�kmºq]_^ad��b·b9d�|H��lor�d�lM|H�Mlo~®r�lo��d@vo¨_r�^{��k¦z{u�vMz�v�kZlo���k¦r�^"lor¦��r�}mlo~Ä�#dR��b·z{��dcb9dc~<r�d�|Ä��~Ö����~admlouDr���b9d°F�¶¨�r�^ad¼¨In{~a}cr���vM~ak��.lo~a|��lou�d§������dc~X¬���~ Ï9ÐIÑ Ò�Ó�Ô#ÐIÑ7Õ�Õ�vMr�^adcu�²���k�dP±9¨ªvMuÉ}�vM~®r���~<navMnakz{u�v:}�d�k�k�vMugk�z�d�d�|�u�lo~{��dDlMk ²¹dc����lMk�¨ªvMugl·|H��k�}cu�dcr�d�~<n{b���dcuKvo¨k�z�d�d�|{kPºÃxÅ~�r�^ad���lor�r�dcu1}mlMk�d��²¹d@z{u�vP�®��|{dÉlo~ lo����vMu���r�^{bÆr�^"lor�dc~ak�n{u�d�kDr�^ad�b·��~{��bDn{bÆ~®n{bD�#dcu�vo¨�k�z#d�d�|½}�^"lo~{��d�k·lo~a|r�^®nak9b·��~{��b·��¸md�k@r�^ad�k�z�d�d�| }�^"lo~{����~{�\vP��dcu�^admlM|BºË]_^ad�u�d�k�n{��r�k9^"l���d��#d�dc~Èd3p:r�dc~a|{d�|Ër�v×an{��|�r�lMk�¯:k lo~a|�~avM~H¬�}�vM~<��d3p¼}�v�k�r_¨In{~a}cr���vM~akmºx�rK^"lMk¦�#d�dc~Äk�^avm²�~½r�^"lor���~Ör�^ad·}�vM~<r�d3pHrDvo¨_r�^{��k�k�r�na|Hs§r�^adRz{u�vM�{��dcb vo¨¹b·��~{��b·��¸���~{�

r�^ad�dc~adcu���s�}�vM~ak�n{b·z{r���vM~7��k1d�Ç<n{����lo��dc~<rKr�v�l�k�^avMu�r�d�k�rgz"lor�^Vz{u�vM�{��dcb�º1]_^{��kKvM�ak�dcu���lor���vM~b·����^®r z#v�k�k����{��sq��dmlM|�r�v·k�vMb9d¦~adc²�lM|H��lo~a}�d�k���~�r�^ad �"dc��|¼vo¨,|Hs:~"lob·��}¦��vM��r�lo��dDk�}mlo����~{�aº¥ d¼lou�d�}cn{u�u�dc~<r���s ��~®��d�k�r����<lor���~{�½r�^ad¼vM~H¬­����~ad¼}mlMk�dɲ���r�^Èz{u�vM�"lo�{������k�r���}VlMk�k�n{b·z{r���vM~ak

vM~Ír�^ad¼²¹vMu�¯®��v�lM|Îlou�u�����lo�­º ]T²Àvµ|H��k�r���~a}crÉvM�Hw)d�}cr�����d�k�lou�d¼}�vM~ak���|{dcu�d�| �Öb·��~{��b·��¸���~{�µr�^add3pHz#d�}cr�d�|�dc~adcu���sÉ}�vM~ak�n{b·z{r���vM~§lo~a|�b·��~{��b·��¸���~{��r�^ad¦²ÀvMu�k�r)¬�}mlMk�d�dc~adcu���s�}�vM~ak�n{b·z{r���vM~�º

� ����,#���!���

Á�e3 T Ì,s:|H��~�� O§dc��^adcb'hDº��#áRº�OVv�k�k�`��#lo~a| O§d�w���lG¬�Ìg����lou�dc¸Rt�º�á1s:~"lob·��}Rlo~a|Ölo��u�d�k�k�����dk�}�^ad�|Hn{����~{��r�d�}�^{~{��Ç®nad�k«¨ªvMuÃz#vm²¹dcu¹lm²¹lou�d1u�dmlo�¶¬­r���b9dgk�s:k�r�dcb9kPº�xÅ~�� �2��� 0 ���!���=5K"��Z�`� "�=5��D. �K"/��')� �Hz"lo��d�kD]2YP��em�2YH�������He�º

ìFå��TìIñ

Page 30: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

����������� ������������������������������ �����!�#"�$��%�&�'(�����)�+*,�����-�/.0�����12�3���0���4��5+'�"6� � �

Áõ�GÂ��aº áRºvS_vM��k�k�vM~{~"lor1lo~a|IO\ºH¿«�:��~ad�}�º ��� ��� � �����4��� �������������)� � �`'A� ºPR«|H��k�}c��dc~a}�dDxÅ~<r�dcu�~"lG¬r���vM~"lo�­��e6]2]2YHº

Áõ�GÂ�³¹º� 1u�n{��lo~�º yg~Îdc~adcu���sÈu�d�|Hna}cr���vM~ ��~Í^"lou�|Xu�dmlo�¶¬­r���b9d7k�sHk�r�dcb9k�}�vM~®r�lo��~{��~{� r�lMk�¯Hk²���r�^Ék�r�v®}�^"lMk�r���}Kd3pHd�}cn{r���vM~�r���b9d�kmº´x�~ � ��� � � �2�546"/�(�/. ��� 7 �2* �����X�� ?�����!���=� ������ ����� 0 ���!� 2� & � �1� �&�&��& �=5K"��Z��� " �Hz"lo��d�k�e�eZ��em�H�"�����He�º

Á �MÂ�³¹º� 1u�n{��lo~�º �P�������25K� �Q���=������$ �0$�� �&�'(�����)�M�`��� � ������ 0 ���!� �=5K"��Z��� " º®t^aáÍr�^ad�k���km��à�n{~a|x�~ak�r���r�n{r�dDvo¨�]Td�}�^{~avM��vM��s��B�������Hº

Á\YGÂ�xZº�T1vM~{�a� O\º#t�vMr�¯�vM~Mw�lo¯#�´lo~a|[O ºBSKº�ß®u����MlMk�r�lm�MlHº9yg~H¬­����~ad9k�}�^ad�|Hn{����~{�¼vo¨¹^"lou�|7u�dmlo�¶¬r���b9d¦r�lMk�¯Hk vM~���lou���lo�{��d���vM��r�lo��d�z{u�v:}�d�k�k�vMumºÀx�~ � � �Z���/�02�����2� �� �,���6�6������� $ � ��� �,�2� �. '(�Z�`��� ��"/� ��� �{z"lo��d�k��2Y��P�:�2Y��H�´e6]2]��Hº

Áõ�GÂ�]¦º"x�k�^{��^"lou�l�lo~a|XT�º{¿ÀlMk�n{n{u�lHº�â«vM��r�lo��dRk�}�^ad�|Hn{����~{�Éz{u�vM�{��dcb»¨ªvMug|Hs:~"lob·��}mlo����s¼��lou��¶¬lo�{��dK��vM��r�lo��dKz{u�v®}�d�k�k�vMu�kmº´xÅ~ � �=�Z����� 2���4��� �� �=5�� .%�K"���'(� ����� ��* 7 ��* ��� �P� �$�������A�4$�"�� & � �/"�� �2� �{z"lo��d�k�e6] � �:�����H�´e6]2]��Hº

Á � Â��aº hDº,�<lM}�¯:k�vM~�º ß:}�^ad�|Hn{����~{� l¼z{u�v:|Hna}cr���vM~È����~adÉr�v§b·��~{��b·��¸mdÉb@lGpH��bDn{b r�lou�|H��~ad�k�kPº]Td�}�^{~{��}mlo��u�dcz#vMu�rm� L�~{����dcu�k���rÅs�vo¨ !_lo���¶¨ªvMu�~{��lH�Te6]2Y2YHº«hgdcz�vMu�r��<�Hº

Áõ�GÂ��aº hDº:à�vMu�}�^�lo~a|qÌ�º �"ºHß®b·��r�^�º�xÅb·z{u�vm�:��~{�·|Hs®~"lob·��}g��vM��r�lo��dKk�}mlo����~{�·lo����vMu���r�^{b9k_²���r�^z"lM}�d�º«x�~ � ��� � � � � � 0 � � � � � #�# � �,���?��������� $/� �{z"lo��d�k Y��P�:�He��������He�º

Á\]GÂ�á�ºFOVv�k�k�`��3T Ì,sH|H��~�� SKº !À^{����|{dcu�kP�,lo~a|\hDº O§dc��^adcb�º !¹vMb·z{����dcu)¬ÅlMk�k���k�r�d�| |Hs:~"lob·��}z�vP²Àdcu)¬Ål�²_lou�d¼k�}�^ad�|Hn{����~{�Ö¨ªvMu�u�dmlo�¶¬­r���b9d�loz{z{����}mlor���vM~akPº½xÅ~ � ��� 46" �%�/. �����,��� . ��� ����� & � .A��� ������)� � 5 "`�Z��� ",�`�����F��*,� 7 ��* ��� �"�������Hº

Á�em�G RºPSgn"lo~(lo~a|��º T�n�º R~adcu���sÍd�B@}c��dc~®r �{p{d�|:¬­z{u���vMu���r�sXk�}�^ad�|Hn{����~{�µ¨ªvMu@u�dmlo�¶¬­r���b9dk�s:k�r�dcb9k´vM~��Mlou���lo�{��dÀ��vM��r�lo��d¹z{u�v®}�d�k�k�vMu�kmº:x�~ � �/"�� �2� � '%� ��� 2�����2� �,���6�6������� $ � �Mz"lo��d�k�����P�:�����H�������He�º

Á�e�e3Â�á�º�ß®^{��~��"�aº WK��b���lo~a|Vß�º�à�d�d�ºÀxÅ~<r�u�lG¬­r�lMk�¯���vM��r�lo��dDk�}�^ad�|Hn{����~{�@¨ªvMu ��vm²_¬�dc~adcu���s¼^"lou�|u�dmlo�¶¬­r���b9d�loz{z{����}mlor���vM~akmº � � ��� � �/"�� �2�� 0 �/"`� � � �,�2�D.0'(�Z���/" �Tem�{°ª��±3�"�����He�º

Á�em�GÂD¿RºGß®^{��~Rlo~a|#W·º�!À^avM�­º®t´vP²Àdcu,}�vM~ak�}c��vMnak �{pHd�|Dz{u���vMu���r�s�k�}�^ad�|Hn{����~{��¨ªvMu�^"lou�|�u�dmlo�¶¬­r���b9dk�s:k�r�dcb9kmº,x�~ � �/"/� ���I� '%� ��� 2�����2� �,���?��������� $/� �{z"lo��d�kDem�o�o��em�2]H�´e6]2]2]Hº

Á�em�GÂ��aº Ì�º�ß®r�lo~{¯�vP�®��}�� O º¦ß®z{n{u��­� W·º1hglob@lob·u���r�^"lob��9lo~a| Rº !1º S¹n{r�r�lo¸mv{º � ���&%�����0��0$��%�&2')�����(� �`�2� � ����� 0 ���!� �=5K"��Z��� " � ��� � �� & � �`� 2�Z��&!� � �����/������� " º WK��n®²ÀdcuKÌ�}mlG¬|{dcb·��}�tn{�{����k�^adcum�´e6]2]��Hº

� �»ê2^Hï`_/_3ð

Page 31: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

��� ����� �'��`2��� � ��K��� ��� ��� 2� "/�

Á�ec�MÂ�³¹ºm¿ÀlMv{�MÌ�ºmáKdcb9dcu�km��lo~a|Rß�ºoß®^adc~{¯�dcumº:Ì k�}�^ad�|Hn{����~{�Kb9v®|{dc�<¨IvMu´u�d�|Hna}�d�| !¹tML dc~adcu���s�ºx�~ 7 ��6$ � �&����)�K"-� �1� � ��� � �A�A' �� � ��'(� &���������A" �� �,��� . '(�Z�`� �0$`� ��� $ � �Tz"lo��d�k�� � �o������H��e6]2]2YHº

Á�e6YG T1lo~H¬�ßHlMdcb�¿«n{~Rlo~a|�����^avM~{� WK��b�ºHyg~�dc~adcu���s<¬�vMz{r���b@lo�{��vM��r�lo��d¹k�}�^ad�|Hn{����~{�g¨ªvMu �{p{d�|:¬z{u���vMu���r�s ^"lou�|\u�dmlo�¶¬­r���b9d�k�s:k�r�dcb9kPº � ��� 0 � 2� "`�$6�������A" ��� �P�]����&�&��& �,��� . '%�����(��=5K"��Z��� " �a�{°ª��±��õ�2]��P�<�<���H��Ì�n{��nak�r��������Hº

Á�em�GÂ�³¹º���^"lo~{�7lo~a|µß�º ]¦º !À^"lo~ak�vM~�º�tu�v:}�d�k�k�vMuD��vM��r�lo��d�k�}�^ad�|Hn{����~{�¼¨ªvMuDu�dmlo�¶¬­r���b9d@r�lMk�¯Hk²���r�^Ö~avM~H¬­z{u�d�dcb·z{r����{��d�k�d�}cr���vM~akPº�xÅ~ � �2��� 0 ���!� �=5K"��Z��� " �=5��D. �K"/��')� �Bz"lo��d�k����2YP��o��YH�"�������Hº

ìFå��TìIñ

Page 32: A Linear Algorithm for Real-Time Scheduling with Optimal Energy … · 2020. 4. 15. · ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME 1 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot-St-Martin (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399