a σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása
DESCRIPTION
A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása. Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László Lamm Éva Eckert János Pap Máté Réti Norbert. Témavezető: dr. Katz Sándor. Fogalmak. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/1.jpg)
A A σσ(n)-n = s(n)(n)-n = s(n) számelméleti függvény számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati vizsgálata és gyakorlati
alkalmazásaalkalmazása
Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek:Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek:
Győrffy Lajos Szudi LászlóGyőrffy Lajos Szudi László
Lamm ÉvaLamm Éva Eckert János Eckert János
Pap Máté Réti NorbertPap Máté Réti Norbert
Témavezető: dr. Katz SándorTémavezető: dr. Katz Sándor
![Page 2: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/2.jpg)
FogalmakFogalmak
• Egy Egy nn pozitív egész szám esetén s( pozitív egész szám esetén s(nn)-nel )-nel jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét.jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét.
pl.: s(18)=1+2+3+6+9=21pl.: s(18)=1+2+3+6+9=21
s(16)=1+2+4+8=15s(16)=1+2+4+8=15
• σσ((nn)-nel jelöljük egy az )-nel jelöljük egy az nn szám összes szám összes osztójának összegét. osztójának összegét.
• σσ((nn) értéke ) értéke nn-nel nagyobb a s(-nel nagyobb a s(nn)-nél. )-nél.
pl.: pl.: σσ(18)=1+2+3+6+9+18=39 (18)=1+2+3+6+9+18=39
σσ(16)=1+2+4+8+16=31(16)=1+2+4+8+16=31
![Page 3: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/3.jpg)
s(n) függvény
![Page 4: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/4.jpg)
• Az s(n) és n viszonya alapján 3 csoportra oszthatjuk a számokat:
• Ha s(n) < n, akkor a szám hiányos,
pl.: s(9)=1+3=4 < 9
• Ha s(n) > n, akkor a szám bővelkedő
pl.: s(12)=1+2+3+4+6=16 > 12
• Ha s(n) = n, akkor a szám tökéletes
pl.: s(6)=1+2+3=6.
![Page 5: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/5.jpg)
Tökéletes számokTökéletes számok
A páros tökéletes számok ma már ismert alakja:
Ahol prím.
Az ilyen alakú prímeket Mersenne prímeknekMersenne prímeknek nevezzük. Ezekből mindössze 4747 darabot ismerünk. Továbbá minden Mersenne prímhez tartozik tökéletes szám és fordítva.
n =2n =2p-1p-1 (2 (2pp –1)–1)
22pp –1–1
![Page 6: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/6.jpg)
Már Euklidesz (i. e. 365-300) megmutatta, hogy ha n = (2p-1) · 2p-1 alakú, ahol p és 2p-1 prímszám, akkor n tökéletes szám.
Pl: p=2-re: (22-1) · 22-1 = 3 · 2=6
p=3-ra: (23-1) · 23-1 = 7 · 4=28
![Page 7: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/7.jpg)
Marin Mersenne, francia szerzetes több olyan p prímet adott meg, amelyekre (2p-1) is prím. Az ilyen alakú prímeket azóta is Mersenne-prímeknek nevezzük.
Marin Mersenne(1588-1648)
![Page 8: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/8.jpg)
Leonhard Euler(1707-1783)
Leonard Euler
megmutatta, hogy páros tökéletes szám csak n=(2p-1) ·2p-1 alakú lehet. És ő találta a 8. tökéletes számot, ami 19 jegyű.
![Page 9: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/9.jpg)
Derrick Lehmer
(1905-1991)
Derrick Lehmer kidolgozott olyan eljárást, amivel nagyobb tökéletes számokat is lehet keresni.
Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk.
Ez mind páros.
![Page 10: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/10.jpg)
Az első 15 Mersenne-prím és tökéletes szám## p (exponent) digits in Mp digits in Pp year discoverer
1 2 1 1 ---- ----
2 3 1 2 ---- ----
3 5 2 3 ---- ----
4 7 3 4 ---- ----
5 13 4 8 1456 anonymous
6 17 6 10 1588 Cataldi
7 19 6 12 1588 Cataldi
8 31 10 19 1772 Euler
9 61 19 37 1883 Pervushin
10 89 27 54 1911 Powers
11 107 33 65 1914 Powers
12 127 39 77 1876 Lucas
13 521 157 314 1952 Robinson
14 607 183 366 1952 Robinson
15 1279 386 770 1952 Robinson
![Page 11: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/11.jpg)
PrímszámrekordPrímszámrekord
A mai rekord 12 978 189 jegyből áll.
2008. augusztus 23. - Edson SmithEdson Smith
Mersenne-képlet alapján a rekordszám:
(2 (2 43 112 60943 112 609)-1)-1
(GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search)
![Page 12: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/12.jpg)
A legnagyobb ismert prímek
1. 243 112 609-1 12 978 189 jegyű Aug 2008 M47??
2. 242 643 801-1
12 837 064 jegyű Jun 2009 M46??
3 237 156 667-1
11 185 272 jegyű Sep 2008 M45??
4 232 582 657-1
9 808 358 jegyű Sep 2006 M44??
![Page 13: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/13.jpg)
Nem tudjuk, hogy van-e, de ha van, ilyen N, akkor
•N-nek legalább 75 törzstényezője van – pl.:53 3-nak számít. (Kevin Hare 2005.)
•A legnagyobb prímtényezője 100 milliónál nagyobb (Takeshi Goto és Yasuo Ohno, 2006)
•Minimum 9 prímosztója van (Nielsen, 2006)
•Maga szám 10500 –nál is nagyobb. (2006)
Létezik-e páratlan tökéletes szám?
![Page 14: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/14.jpg)
Aliquot sequencesAliquot sequences
Hogyan viselkedik ez a sorozat?Hogyan viselkedik ez a sorozat?
n n → → s(n) s(n) → → s(s(n)) s(s(n)) →→ s(s(s(n))) s(s(s(n))) → …→ …
pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1.pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1.
Milyen lehetőségek vannak?
![Page 15: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/15.jpg)
Aliquot sequencesAliquot sequences
- Lehet, hogy a sorozatban prímet, majd 1-et kapunk, ezzel a sorozat véget ér.
- Lehet, hogy ciklusok ismétlődnek a sorozatban.
Hány eleműek lehetnek ezek a ciklusok?
- Lehet, hogy a sorozat sosem ér véget?
![Page 16: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/16.jpg)
Hány elemű ciklusok lehetnek?- Egy eleműek a tökéletes számok
pl. 6 → 6 → 6 → … 47 ismert.
- Két eleműek a barátságos számokpl. 220→284→220→284
több, mint 12 000 000 ismert
- Három eleműt nem ismerünk
- Négy, vagy annál több eleműPl.: 1 264 460 → 1 547 860 → 1 727 636 → 1 305 1840
12496 →14288 →15472 →14536 → 14264 2009 márciusig 152 ilyen ciklus ismert.
(28 elemű a leghoszabb.)
![Page 17: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/17.jpg)
Barátságos számok- A görörgök egy párt ismertek: 220-284
- 1300 körül Al Banna arab matematikus találta a következő párt: 17 296 - 18 410.
(Ezt Európában nem ismerték és csak 1636-ban találta meg ezt a párt Fermat.)
- 1638-ban Descartes talált egy újabb párt:
9 363 584 – 9 437 056.
A következő?
![Page 18: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/18.jpg)
Barátságos számok
- Euler 1742-től 1750-ig újabb 61 párt talált, köztük olyat is, amely páratlan számokból áll: 69 615 – 87 633.
- 1946- ban még csak 390 párt ismertek,
2009-ben már több, mint 12 000 000 ismert.
![Page 19: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/19.jpg)
Barátságos számok
Néhány nyitott kérdés: • Van-e páros - páratlan pár?
• Van-e olyan pár, amelyben az egyik szám sokkal nagyobb a másiknál?
(Az eddig ismert párok elemei közel vannak egymáshoz, vagyis ha az (a;b) barátságos párban a< b, akkor az eddig ismert párokra az arány egy elég szűk intervallumban helyezkedik el:
0,697893577 ≤ a/b ≤ 0,999852518
![Page 20: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/20.jpg)
Egy hosszú sorozat:
1. 2. 3. 4. 5.
138 →150 → 222 → 234 → 312→…
113.
… → 179 931 895 322 →…
169. 170. 171. 172.
200 → 265 → 59 → 1
276 → ?
![Page 21: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/21.jpg)
Nem ismert végű ciklusok
Lehmer five
Sequenz / sequence 276 552 564 660 966
last index 1567 881 3119 626 770
last update ) 26-08-2008
26-08-2008
26-08-2008
26-08-2008
26-08-2008
Größe in Dezimalstellen C149/ C139/ C134/C132
C152
![Page 22: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/22.jpg)
Lehmer five grafiikonja
![Page 23: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/23.jpg)
Milyen értékeket vesz fel az s(n) függvény?
• Végtelen sok olyan érték van, amit nem vesz fel. (Erdős P. 1936.)
• Minden páratlan értéket felvesz, ha a páros számokra vonatkozó Goldbach-sejtés igaz.
![Page 24: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/24.jpg)
A h(n)=h(n)=s(s(nn)/)/nn hányadosról hányadosról• h(n) akármilyen kis poztív értéket felvehet, ha n
elegendően nagy prímszám• Belátható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket
felvehet. Legyen n=a!
( )( )
s nh n
n
Ebből látható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet.
Gombos László A sorozatról című, a POLYGON 1998. 2. számában megjelent cikkében bebizonyította, hogy h(n) értékei a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el.
aaa
aaaa1
...3
1
2
11
!
!...
3
!
2
!
1
!
( )n
n
![Page 25: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/25.jpg)
Egy sejtésEgy sejtés "n" amíg vizsgáltuk a számokat n -ig a bővelkedő számok "k" száma k/n arány
10 0 0100 22 0,22
1000 246 0,24610000 2488 0,249
100000 24795 0,2481000000 247545 0,247
10000000 2476744 0,24767
A problémát Marc Deléglise a közelmúltban már megoldotta.
A keresett határérték a ] 0,2474; 0,2480[ intervallumba esik.
![Page 26: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/26.jpg)
Nyitott kérdések az s(n) Nyitott kérdések az s(n) függvénnyel kapcsolatbanfüggvénnyel kapcsolatban
• van-e bármilyen van-e bármilyen nn szám, amelyre szám, amelyre s(n)= n-1s(n)= n-1??
A kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más?van-e más?
• van-e bármilyen van-e bármilyen nn szám, amelyre szám, amelyre s(n)= n+1s(n)= n+1??Tudjuk, hogy páros Tudjuk, hogy páros n-ren-re nem teljesül. nem teljesül.
![Page 27: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/27.jpg)
A S(n) és s(n) függvények egy A S(n) és s(n) függvények egy összehasonlításaösszehasonlítása
n p p pk krkr 1 2
1 2 ...Az szám pozitív osztóinak összege:
1 22 2 21 1 1 2 2 21 ... 1 ... ... 1 ... rk k k
n r r rp p p p p p p p p
A szorzat tényezőit felírhatjuk mértani sorozatok összegeként:
121 111 2
1 2
( 1)( 1) ( 1)( ) .....
( 1) ( 1) ( 1)
k mkkm
m
pp pn
p p p
A képlet segítségével σ(n)-ből meg tudjuk határozni n-t!
![Page 28: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/28.jpg)
1( 1)
( 1)
iki
i
p
p
gyorsan nő .Tetszőleges pi esetén ki értékeit növelve
Pl.: Pl.: σσ(n) = 8736(n) = 8736 Tekintsük a d = képletet! Legyen p1 = 2,
k1 = 1 esetén d = 3, mivel 3| 8736, ezért 2| n;k1 = 2 esetén d = 7, mivel 7| 8736, ezért 22| n;k1 = 3 esetén d = 15, mivel 15 nem osztója 8736-nak, ezért 23 sem osztója n-nek;Ugyanezen gondolatmenet alapján kiszámítható,hogy n osztói lesznek még 53 és 7.Vagyis n = 22 · 53 ·7 = 3500
1( 1)
( 1)
iki
i
p
p
![Page 29: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/29.jpg)
Az s(Az s(nn) függvénynél nincsenek ) függvénynél nincsenek ilyen gyors eljárások. ilyen gyors eljárások.
Nem tudjuk ilyen egyszerűen Nem tudjuk ilyen egyszerűen eldönteni s(eldönteni s(nn) értékének ) értékének ismeretében,hogy egy prím ismeretében,hogy egy prím szerepel-e szerepel-e nn-ben vagy nem.-ben vagy nem.
![Page 30: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/30.jpg)
Egy adott s(Egy adott s(nn) esetén milyen határok ) esetén milyen határok között kereshetjük között kereshetjük nn értékét? értékét?
- Bármely n = prím szám esetén s(n) = 1, és fordítva- n = p2 , ahol p prím, ekkor s(n) = 1+p
A két egyenletből kifejezve: n=(s(n)-1)2
Tehát egy adott s(n) érték esetén
n ≤ (s(n)-1)2
Ez pl. azt jelenti, hogy egy 64 jegyű s(n) esetén n nem lehet nagyobb 128 jegyűnél.
Hol lehet n?
0 s(n) 2s(n) (s(n)-1)2
![Page 31: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/31.jpg)
A próbálkozások csökkentése
• Ha s(n) páros, akkor s(n)=σ(n)-n miatt
- n páratlan négyzetszám, vagy
- n=2km, ahol m nem négyzetszám.
• Ha s(n) páratlan, akkor
- n páratlan nem négyzetszám, vagy
- n=2km, ahol m négyzetszám.
![Page 32: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/32.jpg)
Mindezek a korlátozások azonban alig Mindezek a korlátozások azonban alig csökkentik a próbálkozások számát, csökkentik a próbálkozások számát, idejét.idejét.
Ha a Ha a 128128 jegyűekig jegyűekig minden minden nn-t végig -t végig kellene próbálni, hogy az adott s(kellene próbálni, hogy az adott s(nn) érték ) érték tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartana. Pl. ha egy számítógép minden tartana. Pl. ha egy számítógép minden nn esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené el, hogy hozzá az adott s(el, hogy hozzá az adott s(nn) tartozik-e, ) tartozik-e, akkor ez több, mint akkor ez több, mint 1010100100 évig tartana. évig tartana.
![Page 33: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/33.jpg)
• Minden olyan művelet, ami egyik irányban viszonylag gyorsan kiszámolható, de ez a számítás visszafele nagyon sok ideig tartana alkalmas lehet titkosításra.
• Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az n s(n) függvény is.
![Page 34: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/34.jpg)
Alkalmazhatóság: Alkalmazhatóság: ún. borítékolt üznetek titkosításaún. borítékolt üznetek titkosítása
Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a partner el tudja azt olvasni.partner el tudja azt olvasni.Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését borítékolni akarja.borítékolni akarja.
A kódolás lépései a következők:A kódolás lépései a következők:1.: A szöveget ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá (ez könnyen megtehető, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá). Legyen ez a szám n.2.: n számhoz ezután a program segítségével rendeljük hozzá az s(n)-jét. Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.
![Page 35: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/35.jpg)
Egy példa a borítékolásraEgy példa a borítékolásraKódolandó üzenet:Kódolandó üzenet:
A2rőlB3ra
Torzított üzenet:Torzított üzenet:szeretlek te A2rőlB3ra édes mostoha
ASCII kóddal kódolt alakja:ASCII kóddal kódolt alakja: 1151 221011 1410111 610810 110732 116101 1151 221011 1410111 610810 110732 116101
326550 114245 108665 111497 322331 001011 326550 114245 108665 111497 322331 001011 153210 911111 511611 110497153210 911111 511611 110497
A fenti szám s(A fenti szám s(nn)-je: )-je: 3837 403370 471969 286544 3837 403370 471969 286544 954134 795272 191872 899415 456620 967898 954134 795272 191872 899415 456620 967898 776770 220474 300551 934442 249017 566943776770 220474 300551 934442 249017 566943
![Page 36: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/36.jpg)
Borítékbontás:Borítékbontás:
Elküldjük az n-t, azaz az eredeti szöveget.
A partner könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez a n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e.
(Tehát időközben nem tudunk változtatni az üzeneten.)
![Page 37: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/37.jpg)
Megfejtendő üzenet
www.petofi-bhad.sulinet.hu
s(n) = 11 796 893 749 241 036 845 717 932 775178 816 228 370 307 360 535 662 842 886
n= ?
![Page 38: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/38.jpg)
Felhasznált irodalom:
K. Guy Richard: Unsolved Problems in Number Theory: [1.] B4 Amicable numbers [2.] B6 Aliquot sequence
[3.] B7 Aliquot cycles [4.] B11 Solutions of mσ(m)
[5.] http://www.aliquot.de/lehmer.htm[6.] http://www.aliquot.de/aliquote.htm
[7.] http://amicable.homepage.dk/apstat.htm[8.] Elemente der Mathematik 1973.: (83-87. o.)
Pál Erdős: Über die Zahlen der Form σ(n)-n und n-φ(n) [9.] http://www.wurzel.org: Vollkommenende Zahlen
![Page 39: A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022070406/56814069550346895dabe3b4/html5/thumbnails/39.jpg)
Köszönöm a figyelmet!