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ESCOLA DE ENGENHARIAR DA UFMG
DEPARTAMENTODEENGENHARIA DE ESTRUTURAS – DEEs
CONCRETO ARMADO I
Prof. Ney Amorim Silva
Março de 2005
Para todo professor de concreto é uma tarefa gratificante escrever sobre o assunto de sua aula,
principalmente nesse momento de mudança de norma em que existe uma carência natural de
livros e apostilas contemplando as mudanças da nova NB 1, NBR-6118 de Março de 2003.
Essa é a terceira edição da apostila destinada aos alunos do curso de graduação em
Engenharia Civil, disciplina Concreto Armado I. Peço a gentileza que me informem todos os
erros encontrados para serem consertados edições posteriores.
Os capítulos de flexão simples e fissuração seguem as mesmas formulações das apostilas do
Professor José de Miranda Tepedino, de saudosa memória, adaptadas para as mudanças
inseridas pela nova norma. No caso da flexão simples essa adaptação foi feita pelo Pof
Sebastião Salvador Real Pereira e já utilizada pelos alunos desde o segundo semestre de 2003.
Nesses capítulos os trechos entre “aspas”, quando não referenciados de forma diferente, são
transcrições das suas apostilas originais.
Para o curso completo de Concreto Armado I, essa apostila deve ser complementada com a
apostila de Domínios de Deformação, do Professor. José Celso da Cunha, além naturalmente
das notas de aula.
Gostaria de agradecer a todos os professores de concreto do DEEs, que me ajudaram na troca
de idéias e nas correções, e com certeza continuarão a contribuir nas próximas edições desta
apostila.
Março de 2005
Índice
ASSUNTOS Página
Capítulo 1 – Materiais 01
Capítulo 2 – Flexão Normal Simples 29
Capítulo 3 – Laje 55
Capítulo 4 – Controle da Fissuração 94
Capítulo 5 – Cisalhamento 113
Capítulo 6 – Verificação da Aderência 141
Capítulo I – MATERIAIS
I.1 – Histórico O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se transformou neste período no material de construção mais utilizado no mundo, devido principalmente ao seu ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo são citadas algumas datas históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do concreto armado e protendido, conforme Rusch(1981). 1824 – O empreiteiro escocês Josef ASPDIM desenvolveu um processo industrial para fabricação do cimento portland, assim chamado devido à semelhança com a cor das pedras calcáreas encontradas na ilha de Portland. 1849/1855 – O francês Joseph Louiz LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde passava suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa de cimento e areia entremeados por fios de arame. O processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando estar revolucionando a industria naval, patenteou o novo produto, apresentando-o na feira internacional de Paris em 1855. 1861 – O paisagista e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade o único a se interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo neste produto a solução para os seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais durante o inverno parisiense. O ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao apodrecimento precoce dos vasos feitos até então de madeira. O novo produto além de bem mais durável apresentava uma característica peculiar: se o barco era feito para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria também a sua saída, o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier, que a partir desta data começou a produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçadas com uma malha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um forte tino comercial e viu no novo produto grandes possibilidades passando a divulgar o concreto inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e em toda a Europa. Ele é considerado por muitos como o pai do concreto armado. Em 1865 construiu nos arredores de Paris uma ponte de concreto armado com 16,5 m de vão por 4m de largura. 1867 – Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com armaduras de aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes e pontes. Construções construídas de forma empírica mostram que o inventor não possuía uma noção clara da função estrutural das armaduras de aço no concreto. 1877 – O advogado americano Thaddeus HYATT publicou sobre seus ensaios com construções de concreto armado. Hyatt já reconhecia claramente o efeito da aderência aço-concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da sua perfeita localização na peça de concreto.
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1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que dão origem a introdução do concreto
armado em outros países.
1884 – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN &
JOSSEAUX , compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam-
se o direito de revenda para toda a Alemanha.
1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A WAISS, que
funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o “Sistema Monier”.
Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de provas de carga as vantagens
econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publicando estes resultados em 1887.
Nesta mesma publicação o construtor oficial Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo
governo Prussiano, desenvolve baseado nos ensaios, um método de dimensionamento empírico
para alguns tipos de “Construções Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito
estrutural das armaduras de aço. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta
para o cálculo das armaduras de aço.
1888 – O alemão DOHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno
porte tem sua resistência aumentada através da protensão da armadura, constituída de fios de
aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a idéia da protensão deliberada.
1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de sistemas
distintos, geralmente patenteados. O alemão E. MORSH desenvolve a teoria iniciada por
Koenen e a sustenta através de inúmeros ensaios realizados sobre a incumbência da firma
WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Morsh e publicados
em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de
dimensionamento de peças de concreto armado.
1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras conduzia a
peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas.
Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 1910. Os ensaios
mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram eliminados com a protensão. Entretanto
Koenen e Morsh reconheceram já em 1912 uma perda razoável de protensão devido à retração
e deformação lenta do concreto.
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1928 - O francês FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só em 1928 é
o primeiro engenheiro projetista a reconhecer a importância bem maior da protensão na
construção civil. Estuda as perdas devido a retração e deformação lenta do concreto e registra
várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai do concreto
protendido.
I.2 – Viabilidade do concreto armado
As três propriedades abaixo em conjunto é que viabilizam o material concreto armado:
• Aderência aço-concreto – esta talvez seja a mais importante das propriedades uma vez que
é a responsável pela transferência das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para
as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois
materiais.
• Coeficiente de dilatação térmica do aço e do concreto são praticamente iguais – esta
propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a situação
extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de comprometer a perfeita
aderência aço-concreto.
• Proteção da armadura contra a corrosão – Esta proteção que está intimamente relacionada
com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteção física
e a proteção química. A primeira é garantida quando se atende os requisitos de cobrimento
mínimo preconizado pela NBR 6118(2003) que protege de forma direta as armaduras das
intempéries. A proteção química ocorre devido a presença da cal no processo químico de
produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada
passivadora cujo ph se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão.
Quando a frente de carbonatação, que acontece devido a presença de gás carbônico (CO2)
do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é despassivada
pela reação química do (CO2) com a cal, produzindo ácidos que abaixam o ph desta
camada para níveis iguais ou inferiores a 11,5 , criando condições favoráveis para o
processo eletro-químico da corrosão se iniciar. A corrosão pode acontecer
independentemente da carbonatação, na presença de cloretos (íons cloro Cl-), ou sulfatos
(S--).
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I.3 – Vantagens do concreto armado
• Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram o
concreto em um século e meio no material para construção mais usado no mundo.
• Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução – a produção do
concreto não requer mão de obra especializada e com relativa facilidade se consegue
qualquer tipo de forma propiciada por uma fôrma de madeira.
• Estrutura monolítica – (monos – única, litos – pedra) esta propriedade garante à estrutura
de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau de
hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de concreto. Além
disso quando a peça está submetida a um esforço maior que a sua capacidade elástica
resistente, a mesma ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, transferindo às
peças adjacentes a responsabilidade de absorver os mesmos.
• Manutenção e conservação praticamente nulas – a idéia que a estrutura de concreto armado
é eterna não é mais aceita no meio técnico, uma nova mentalidade associa à qualidade de
execução do concreto, em todas as suas etapas, um programa preventivo de manutenção e
conservação. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construção esta
manutenção e conservação acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo no entanto
da vida útil das obras de concreto armado.
• Resistência a efeitos térmicos-atmosféricos e a desgaste mecânicos.
I.4 – Desvantagens do concreto armado
• Peso próprio – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu grande peso
próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto protendido ou
mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente mais viáveis. A sua
massa específica é dada pela NBR 6118(2003) como 2500 Kg/m3;
• Dificuldade de reformas e demolições (hoje amenizada com tecnologias avançadas e
equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolições);
• Baixo grau de proteção térmica – embora resista normalmente à ação do fogo a estrutura de
concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos
para proporcionar um conforto térmico adequado a construção.
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• Fissuração – a fissuração que é um fenômeno inevitável nas peças de concreto armado
tracionadas, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto, foi por muitas
décadas considerado uma desvantagem do material. Já a partir do final da década de
setenta, este fenômeno passou a ser controlado, baseado numa redistribuição das bitolas da
armadura de tração, em novos valores de cobrimentos mínimos e até mesmo na diminuição
das tensões de serviço das armaduras, pelo acréscimo das mesmas. Cabe salientar que a
fissuração não foi eliminada, apenas controlada para valores de aberturas máximas na face
do concreto de tal forma a não comprometer a vida útil do concreto armado.
I.5 - Concreto
I.5.1 – Propriedades mecânicas do concreto
Resistência à compressão
A resistência mecânica do concreto a compressão devido a sua função estrutural assumida no
material composto concreto armado é a principal propriedade mecânica do material concreto a
ser analisada e estudada. Esta propriedade é obtida através de ensaios de compressão simples
realizados em corpos de provas (CPs), com dimensões e procedimentos previamente
estabelecidos em normas nacionais e estrangeiras.
A resistência a compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do corpo de prova e a
duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabelecendo-se um corpo de prova
cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, que é recomendado pela
maioria das normas do mundo, inclusive as brasileiras.
Em outros paises, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de prova cúbico de
aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistência a compressão
ligeiramente superior ao obtido pelo cilíndrico. Isto se deve a sua forma, onde o efeito do atrito
entre as faces do corpo de prova carregadas e os pratos da máquina de ensaio, confina de forma
mais efetiva o CP cúbico que o cilíndrico, devido a uma maior restrição ao deslocamento
transversal das faces carregadas.
Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85 , que quando aplicado ao CP cúbico
transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, podendo assim ser
usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto.
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Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração e sabe-se a partir
dos ensaios realizados pelo alemão Rusch, que este valor é ligeiramente superior ao obtido
quando o ensaio é de longa duração. Isto se deve a microfissuração interna do concreto, que se
processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito
ampliado devido a interligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade
resistente do CP a compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma
estrutura é de longa duração deve-se corrigir os resultados do ensaio de curta duração por um
fator, denominado coeficiente de Rusch, igual a 0,85.
Resistência característica do concreto a compressão (fck)
Quando os resultados dos ensaios a compressão de um determinado número de CPs são
colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as resistências obtidas e nas
ordenadas a freqüência com que as mesmas ocorrem, o gráfico final obedece a uma curva
normal de distribuição de freqüência, ou curva de Gauss.
Observa-se neste gráfico que a resistência que apresenta a maior freqüência de ocorrência é a
resistência média fcj, aos “j” dias, e que o valor eqüidistante entre a resistência média e os
pontos de inflexão da curva é o desvio-padrão “s” (ver fig. 1.1), cujos valores são dados
respectivamente por:
nf
f cicj
∑= (1.1)
( )
1nff
s2
cjci
−
−= ∑ (1.2)
onde n é o número de CPs e fci é a resistência à compressão de cada CP “i”.
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Frequência
Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações
probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial: a resistência característica (fck) do lote
de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos resultados
obtidos (ou seja um valor com 95% de probabilidade de ocorrência)(ver fig. 1.2).
5% 95%
fck
Frequência
Figura 1.2 – Resistência característica do concreto à compressão
s s
Freq,max
Resist. média fcj Resistência do concreto fc
Figura 1.1 – Curva normal de distribuição de freqüências (Curva de Gauss)
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Para um quantil de 5% obtem-se a partir da curva de Gauss:
fck = fcj – 1,65 s (1.3)
A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em todo o mundo
percebe-se que o desvio-padrão “s” é principalmente dependente da qualidade de execução e
não da resistência do concreto. A NBR-12655(1996) que trata do preparo, controle e
recebimento do concreto, define baseada na sua expressão (2.3) que o cálculo da resistência
de dosagem deve ser feito segundo a equação:
fcj = fck + 1,65 sd (1.4)
onde sd representa o desvio-padrão de dosagem.
De acordo com a NBR-12655(1996) o cálculo da resistência de dosagem do concreto
depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a seguir:
• Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os agregados são medidos
em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo
dosador e corrigida em função da umidade dos agregados;
• Condição B
• Aplicável às classes C10 até C25 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento
é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa
combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3;
• Aplicável às classes C10 até C20 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento
é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A
umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do
mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é corrigido através da curva de
inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado;
• Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido
em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em
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Ainda de acordo com a NBR-12655(1996), no início da obra ou em qualquer outra
circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o
cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a
condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Mesmo
quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor
que 2,0 MPa.
Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto
Condição Desvio-padrão MPa
A 4,0 B 5,5
C1) 7,0
1) Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se para os
concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico.
Módulo de elasticidade longitudinal
O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama σxε (tensão x
deformação) é obtido pela derivada dσ/dε no ponto considerado, que representa a inclinação
da tangente à curva no ponto..De todos os módulos tangentes possíveis o seu valor na origem
tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço na estrutura não devem superar a
40% da tensão de ruptura do concreto, e neste trecho inicial o diagrama σxε é praticamente
linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-6118(2003) o módulo de elasticidade ou módulo
de deformação tangente inicial é dado por:
Eci = 5600 (fck)1/2 (1.5)
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com Eci e fck dados em MPa.
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto,
principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos estados limites
de serviço, deve ser calculado por:
Ecs = 0,85 Eci (1.6)
Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal
De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118(2003) para tensões de compressão inferiores a
0,5.fc e para tensões de tração inferiores a fct, o coeficiente de Poisson e o módulo de
elasticidade transversal são dados respectivamente por:
ν = 0,2 (1.7)
Gc = 0,4 Ecs (1.8)
Diagramas tensão-deformação (σxε)
Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118(2003) o diagrama σxε na compressão para tensões
inferiores a 0,5 fc pode ser adotado como linear e as tensões calculadas com a lei de Hooke,
com o módulo de elasticidade igual ao secante Ecs.
Para os estados limites últimos o diagrama σxε na compressão é dado pela figura (1.3) abaixo,
onde se nota dois trechos distintos, o primeiro curvo segundo uma parábola de segundo grau,
com deformações inferiores a 0,2%, e o segundo constante, com deformações variando de
0,2% a 0,35%. Para o trecho curvo a tensão no concreto é dada por:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=
2c
cdc 0,002ε
110,85fσ (1.9)
10
fck 0,85fcd
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=
2c
cdc 0,002ε110,85fσ
Na equação (1.9) fcd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 da
NBR-6118(2003).
Na tração o diagrama σxε é bilinear conforme a figura (1.4) abaixo:
2‰ 3,5‰ εc Figura 1.3 – Diagramas tensão-deformação do concreto na compressão
Eci
σct fct 0,9fct
0,15‰ εct
Figura 1.4 – Diagrama tensão-deformação bi-linear do concreto à tração
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Resistência à tração
Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118(2003) a resistência a tração direta do concreto (fct) é
dado por:
fct = 0,9 fct,st (1.10)
ou
fct = 0,7 fct,f (1.11)
onde fct,st é a resistência a tração indireta e fct,f é a resistência a tração na flexão. Na falta
desses valores pode-se obter a resistência média a tração dada por:
fct,m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) (1.12)
Os valores inferior e superior para a resistência característica a tração (fctk) são dados por:
fctk,inf = 0,7 fct,m (1.13a)
fctk,sup = 1,3 fct,m (1.13b)
I.5.2 – Características reológicas do concreto
Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da física que investiga as propriedades e o
comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos”.
Retração (shrinkage)
A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento (e, portanto, de
direção, sendo, pois, uma deformação volumétrica) que ocorre devido à perda de parte da
água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando este “seca” em
contato com o ar.
A deformação específica de retração do concreto εcs pode ser calculada conforme indica o
anexo A da NBR 6118(2003). Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada
simplificadamente através da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior da
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deformação específica de retração entre os instantes to e t∞, εcs(t∞, to), em função da umidade
relativa do ar e da espessura equivalente ou fictícia em , dada por:
em = (2 Ac) /u (1.14)
onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera.
Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC e 20 oC,
podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Esses valores são válidos
para concretos plásticos e de cimento Portland comum.
Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do
concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na NBR-6118(2003), o
valor de εcs(t∞, to) pode ser adotado igual a –15x10-5. Esse valor admite elementos estruturais
de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%.
O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo.
Fluência (creep)
A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento
da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada.
Devido a esta deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça, provocando
este fato uma expulsão de água quimicamente inerte, de camadas mais internas para regiões
superficiais da peça, onde a mesma já tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao
longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se desta forma um crescimento da
deformação inicial, até um valor máximo no tempo infinito, mesmo sob tensão constante.
Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do concreto podem
ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118(2003). Nos casos em que a
tensão σc(to) não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas
simplificadamente pela expressão:
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⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∞
∞ (28)E)t(t
)(tE1)(tσ)tε(t
ci
0,
0ci0c0,
ϕ (1.15)
onde: - εc(t∞, to) é a deformação específica total do concreto entre os instantes to e t∞;
- σc(to) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em to;
- ϕ(t∞, to) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por
carregamento aplicado em to.
O valor de ϕ(t∞, to) pode ser calculado por interpolação da tabela 1.2. Esta tabela fornece o
valor característico superior do coeficiente de fluência ϕ(t∞, to). O seu valor característico
inferior é considerado nulo.
Tabela 1.2 - Valores característicos superiores da deformação especifica de retração εcs(t∞,to) e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to)
Umidade Ambiente % 40 55 75 90
Espessura fictícia 2 Ac/u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60
ϕ(t∞, to) to
dias
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4
εcs(t∞, to) %o
5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09
I.6 – Aço de armadura passiva
Armadura passiva é a armadura usada nas peças de concreto armado.
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I.6.1 – Categoria
Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela
NBR-7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto
armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço em
kN/cm2. Os valores nominais dos diâmetros, das seções transversais e da massa por metro são
os estabelecidos pela NBR-7480(1996), cujos valores mais usados estão na tabela 1.3.
Tabela 1.3 – Valores nominais para fios e barras de aço
Diâmetro nominal
(mm)
Massa
Nominal
(kg/m)
Área nominal
da seção
(cm2) Fios Barras
5,0 5,0 0,154 0,196
6,0 0,222 0,283
6,3 0,245 0,312
6,4 0,253 0,322
7,0 0,302 0,385
8,0 8,0 0,395 0,503
9,5 0,558 0,709
10,0 10,0 0,617 0,785
- 12,5 0,963 1,227
- 16 1,578 2,011
- 20,0 2,466 3,142
- 22,0 2,984 3,801
- 25,0 3,853 4,909
- 32,0 6,313 8,042
- 40,0 9,865 12,566
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I.6.2 – Tipo de superfície
Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de
aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo, ηb , deve atender ao indicado na
NBR-6118(2003).
Para os efeitos desta norma, a conformação superficial é medida pelo coeficiente η1 , cujo
valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial ηb , como estabelecido na
tabela 1.3, conforme tabela 8.2 da NBR-6118.
.
Tabela 1.3 - Relação entre η1 e ηb
Tipo de Barra Coeficiente de conformação superficial
ηb η1 Lisa (CA-25) 1 1
Entalhada (CA-60) 1.2 1.4 Alta aderência (CA-50) ≥ 1,5 2.25
Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o valor 7850 kg/m3. O
valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de temperatura entre 20 oC e 150 oC
pode ser adotado como 10-5/ oC. O módulo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores
fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 GPa.
I.6.3 – Diagrama tensão-deformação
O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos da resistência ao escoamento
fyk , da resistência a tração fstk e da deformação última de ruptura εuk devem ser obtidos de
ensaios de tração realizados segundo a NBR-6152. O valor de fyk para os aços sem patamar de
escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 ‰.
Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama tensão-
deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços com ou sem patamar
de escoamento.
16
Fig. 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras
passivas
Es
σs
εsεyd 10‰
I.7 – Definições da NBR 6118(2003)
Concreto estrutural – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto
como material estrutural
Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos com concreto
sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores aos mínimos
estabelecidos nesta norma.
Elementos de concreto armado – elementos estruturais produzidos com concreto cujo
comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde não se aplicam
deformações iniciais nas armaduras.
Elementos de concreto protendido – elementos estruturais produzidos com concreto onde
parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a
finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da
estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU( estado
limite último).
17
Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de
protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado.
Armadura ativa (de protensão) – armadura constituída por barras, fios isolados ou
cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-alongamento
inicial.
Estados limites
• Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.
1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como
corpo rígido;
2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no
seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais;
3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no
seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;
4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas;
5. estado limite último de colapso progressivo;
6. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos
especiais.
• Estados limites de serviço (ELS)
1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado que se inicia a formação
de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão máxima
de tração na seção transversal for igual a fct,f , já definida anteriormente como a
resistência característica à tração do concreto na flexão.
2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissuras se
apresentam com aberturas iguais aos m´ximos estabelecidos nesta norma.
3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) – estado em que as
deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal especificados
nesta norma.
4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) – estado em que as vibrações
atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção.
18
I.8 – Ações
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir
efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os
possíveis estados limites últimos e os de serviços. As ações são classificadas conforme a
NBR-8681(2003) em permanente, variáveis e excepcionais.
I.8.1 – Ações permanentes
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a
vida da construção. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores
representativos mais desfavoráveis para a segurança.
I.8.1.1 – Ações permanentes diretas
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos
construtivos fixos e das instalações permanentes.
• Peso próprio
• Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes NBR 6120(1980)
• Empuxos permanentes
I.8.1.2 – Ações permanentes indiretas
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e
fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão.
• Retração do concreto
• Fluência do concreto
• Deslocamentos de apoio
• Imperfeições geométricas
1. Imperfeições globais
2. Imperfeições locais
• Momento mínimo
• Protensão
19
I.8.2 – Ações variáveis
I.8.2.1 – Ações variáveis diretas
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da
construção, pela ação do vento e da chuva.
• Cargas acidentais previstas para o uso da construção
• Ação do vento
• Ação da água
• Ações variáveis durante a construção
I.8.2.2 – Ações variáveis indiretas
• Variações uniformes de temperatura
• Variações não uniformes de temperatura
• Ações dinâmicas
I.8.3 – Ações excepcionais
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não
podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os
valores definidos, em caso particular, por Normas Brasileiras específicas.
I.8.4 – Valores das ações
I.8.4.1 – Valores característicos
Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-6118 (2003) em função da
variabilidade de suas intensidades.
Para as ações permanentes Fgk , os valores característicos devem ser adotados iguais aos
valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos
superiores ou inferiores. Esses valores são aqui definidos ou em normas específicas, como a
NBR-6118(2003).
20
Os valores característicos das ações variáveis Fqk , estabelecidos por consenso em Normas
Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de
serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores
são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6118(2003).
I.8.4.2 – Valores representativos
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:
1. os valores característicos conforme definido acima;
2. valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações
excepcionais;
3. valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como:
• verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se combina
com a ação principal.Os valores reduzidos são determinados a partir da expressão
ψoFk , que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos
valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes;
• verificação de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são determinados
a partir de ψ1Fk , que estima um valor freqüente e ψ2Fk , que estima valor quase
permanente, de uma ação que acompanha a ação principal.
I.8.4.3 – Valores de cálculo
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos,
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf definidos a seguir.
I.8.5 – Coeficientes de ponderação das ações
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente γf dado por:
γf = γf1 . γf2 . γf3 (1.16)
onde:
21
• γf1 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a variabilidade das
ações
• γf2 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a simultaneidade de
atuação das ações
• γf3 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera os desvios gerados
nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações
I.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU
Os valores-base são os apresentados na tabela 1.4 para γf1 . γf3 e na tabela 1.5 para γf2 .
Tabela 1.4 – Valores de γf1 . γf3
Combinações de
ações
AçõesPermanentes
(g) Variáveis
(q) Protensão
(p) Recalques de
apoio e retração
D1) F G T D F D F
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 Especiais ou de
construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temporária. 1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.
I.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS
Em geral , o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela
expressão:
γf = γf2 (1.17)
onde γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.5)
• γf2 = 1 para combinações raras
• γf2 = ψ1 para combinações freqüentes
22
• γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes.
I.8.6 – Combinações de ações
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não
desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período
preestabelecido.
Tabela 1.5 – Valores do coeficiente γf2
Ações
γf2
ψ0 ψ11) ψ2
Cargas acidentais
de edifícios
Locais em que não há predominância de peso de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas 2)
0,5 0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 3)
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3
1) Para os valores ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23. 2) Edifícios residenciais 3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos
23
I.8.6.1 – Combinações últimas
1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas as ações
permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais
ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores reduzidos de combinação,
conforme NBR-8681(2003).
2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação devem estar
presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus
valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-
8681(2003)
3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar presentes as
ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores
representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-
8681(2003). Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso
progressivo.
4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão
listadas na tabela 11.3 da NBR-6118(2003)
I.8.6.2 – Combinações de serviço
São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como:
1. Quase permanente – podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e
sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações
excessivas (ELS-DEF);
2. Freqüentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua
consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de
fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser
consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que
possam comprometer as vedações;
3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração
pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras.
24
4. Combinações de serviço usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão
listadas na tabela 11.4 da NBR 6118(2003)
I.8.7 – Resistências
I.8.7.1 – Valores característicos
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material , têm uma
determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança.
Pode ser de interesse determinar a resistência característica inferior fk,inf e a superior fk,sup ,
que são respectivamente menor e maior que a resistência média fm . Para efeito da NBR-6118
(2003), a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5%
de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material.
I.8.7.2 – Valores de cálculo
1. Resistência de cálculo
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão:
fd = fk / γm (1.18)
onde γm é o coeficiente de ponderação das resistências.
2. Resistência de cálculo do concreto
A resistência de cálculo do concreto fcd é obtida em duas situações distintas:
• quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias
fcd = fck / γc (1.19)
• quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias
25
fcd = fckj / γc = (β1).(fck / γc) (1.19)
sendo β1 a relação (fckj / fck ) dada por:
β1 = exp{s{1-(28/t)1/2]} (1.20)
onde: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI
t é a idade efetiva do concreto, em dias.
I.8.7.3 – Coeficientes de ponderação das resistências
As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente:
γm = γm1 . γm2 . γm3 (1.21)
onde:
γm1 é a parte o coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera a
variabilidade da resistência dos materiais envolvidos.
γm2 é a parte do coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera a
diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura.
γm3 é a parte co coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera os
desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das
resistências.
Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite último (ELU)
Os valores para verificação no ELU estão indicados na tabela 1.6
26
Tabela 1.6 – Valores dos coeficientes γc e γs
Combinações Concreto γc
Aço γs
Normais 1.4 1.15 Especiais ou de
construção 1.2 1.15
Excepcionais 1.2 1
Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite de serviço (ELS)
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço não necessitam de minoração,
portanto γm= 1.
I.9 – Referências Bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 6118 – Projeto de
estruturas de concreto
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1980) – NBR 6120 – Cargas para
cálculo de estruturas de edificações – Procedimento
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1987) – NBR 6123 – Forças
devidas ao vento em edificações – Procedimento
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 7480 – Barras e
fios de aço destinados a armadura para concreto armado – Especificação
27
28
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 8681 – Ações e
segurança nas estruturas – Procedimento
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 12655 – Concreto
– Preparo, controle e recebimento – Procedimento
RUSCH, H. (1981) – Concreto armado e protendido, propriedades dos materiais e
dimensionamento – Editora Campus, Rio de Janeiro
Capítulo 2 - FLEXÃO NORMAL SIMPLES 2.1 - Introdução Dentre os esforços solicitantes o momento fletor M é em condições normais o esforço preponderante no dimensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seção transversal, a flexão é dita normal . Se simultaneamente atua uma força normal N ela é dita normal composta e na ausência desta, flexão normal simples. Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, podendo no entanto em situações especiais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso tem-se a flexão pura, situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simétricas P, quando se despreza o peso próprio da viga. Segundo o o item 16.1 da NBR 6118 (2003), o objetivo do dimensionamento, da verificação e do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurança exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo:
Sd ≤ Rd MS,d ≤ MR,d (2.1) Onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo. Na figura 2.1, designou-se por Rcc a resultante de compressão no concreto e por Rst a resultante de tração na armadura (aço = steel), na seção em que atua o momento solicitante de cálculo Md. Como é flexão simples, Nd = 0, tem-se que o momento interno resistente é equivalente a ação do binário:
Rcc . z = Rst . z = Md (2.2) Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o concreto um material menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a barra seja submetida a um momento
Md Rcc
z Rst Nd=0
Seção Transversal
Figura 2.1 – Esforços externos e internos na seção transversal
29
P P As Figura 2.2 – Fissuras de flexão fletor capaz de produzir tensões de tração superiores às que o concreto possa suportar, surgem fissuras de flexão transversais, conforme mostrado na figura 2.2. A “costura” dessas fissuras pela armadura de flexão As impede que as mesmas cresçam indefinidamente ocasionando a ruptura total da peça. Conforme será visto no capítulo 4, a abertura dessas fissuras dependerá substancialmente das características e do detalhamento final da armadura de flexão. A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido basicamente a
complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. Portanto para que essa
tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma seção à flexão é alcançada quando,
pelo aumento da solicitação, é atingido a ruptura do concreto à compressão ou da armadura à
tração. Para seções parcialmente comprimidas, admite-se que ocorra a ruptura do concreto
quando o mesmo atinge na sua fibra mais comprimida o encurtamento limite (último)
εcc,u=3,5 ‰. Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um
alongamento limite (último) εs,u = 10 ‰. O alongamento máximo de 10 ‰ se deve a uma
limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alongamento real de
ruptura do aço, que é bem superior a esse valor.
Atinge-se, então, o estado limite último - ELU, correspondente a ruptura do concreto
comprimido ou a deformação plástica excessiva da armadura.O momento fletor Md é o
momento de ruptura, enquanto o momento de serviço será o de ruptura dividido pelo
coeficiente de ponderação das ações γf, ou seja:
Msev = Md / γf (2.3)
30
Conforme o item 17.2 da NBR 6118, na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga
ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas:
1. As seções transversais se mantêm planas após a deformação; os vários casos possíveis são
ilustrados na figura 2.3;
2. a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do
concreto em seu entorno;
3. as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas,
obrigatoriamente no ELU;
4. Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções parcialmente comprimidas
considera-se o valor convencional de 3,5 ‰ (domínios 3,4 e 4a da figura 3). Nas seções
inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais
comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 3,5 ‰ a 2 ‰, mantendo-se inalterado e igual
a 2 ‰ a deformação a 3/7 da altura da seção, a partir da borda mais comprimida.
5. Para o alongamento máximo de ruptura do aço considera-se o valor convencional de 10 ‰
(domínios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformação plástica excessiva.
6. A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagrama
parábola-retângulo da figura 2.4. Permite-se a substituição desse por um diagrama
retangular simplificado de altura y=0,8 x (x é a profundidade da linha neutra), com a
seguinte tensão:
0,85 . fcd = 0,85 . fck / γc = σcd = fc (2.4)
no caso em que a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminua a
partir desta para a borda comprimida;
0,80 . fcd = 0,80 . fck / γc = σcd = fc (2.5)
no caso contrário.
7 A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformações usando os
diagramas tensão-deformação, com seus valores de cálculo.
31
Alongamento Encurtamento 2.2 - Seção subarmada, normalmente armada e superarmada
No caso particular de flexão simples, dos domínios existentes ficam eliminados os de número
1 (seção totalmente tracionada), 4a e 5 (seção totalmente comprimida), restando pois os
domínios possíveis 2,3 e 4.
Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção sub-armada (a armadura escoa
antes da ruptura do concreto à compressão: εsd ≥ εyd). O domínio 4 corresponde ao que se
2,0%o
3,5%o 2,0%o d’ B
h73 a
d
b C 2 1
h 5 3 4 A
4aεyd 10,0%
Figura 2.3 – Domínios de deformação (Tepdino/NBR-6118)
σcd=0,85fcd ou 0,80fcd 3,5%o σcd=0,85fcd
y =
0.8x
x
h
Figura 2.4 – Diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado do concreto (Tepedino)
32
denomina seção superarmada (o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura
antes da armadura escoar: εsd < εyd).
Costuma-se chamar normalmente armada uma seção que funciona no limite entre as duas
situações acima, isto é, no qual, teoricamente, o esmagamento convencional do concreto
comprimido e a deformação de escoamento do aço ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a
situação de peças normalmente armadas ocorre no limite entre os domínios 3 e 4.
Segundo Tepedinio “em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser,
talvez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No entanto, a
superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do aço. Por isto
mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas ou normalmente armadas,
sendo a mesma desaconselhável pela NBR 6118”.
A NBR 6118 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de momentos e condições
de dutilidade:
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no
ELU. Quanto menor é x/d, maior é essa capacidade.
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoios das vigas ou de ligações com
outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços
solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:
a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou
b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa;”
E no item 17.2.3, dutilidade de vigas:
“Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é
importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de
compressão que garante a posição adequada da linha neutra (x), conforme 14.6.4.3
33
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores de
x (posição da linha neutra), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos
estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está
associada a posição da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.”
2.3 - Seção retangular à flexão simples
Segundo Tepedino “no caso da seção retangular, pode-se, sem erro considerável e obtendo-se
grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (seção subarmada ou normalmente
armada), o diagrama retangular para as tensões no concreto, permitido pela NBR 6118,
representado na figura 2.5.”
Para que a tensão σsd na armadura tracionada seja igual a fyd, é necessário e suficiente que a
profundidade relativa da linha neutra (x/d) seja menor ou igual à profundidade relativa limite
do domínio 3, dada por:
0,035ε
0,035dxξ
ydlim3,lim3, +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (2.6)
com εyd, deformação de cálculo ao escoamento da armadura, dada por:
b
h
Asfyd
Rcc = fc.b.y
A’sσ’
s
εc ≤ 0,0035 fc = σcd = 0,85fcd
Md
εs≥εyd
ε’s
y = 0.8x
d
x
Figura 2.5 – Seção retangular à flexão simples
d’
A’s
As
34
εyd = fyd / Es (2.7)
De acordo a figura 2.5 pode-se escrever as seguintes equações de equilíbrio:
∑ MAs = 0 ⇒ Md = Rcc . (d – y/2) + A’s . σ’sd . (d – d’) (2.8)
∑ Fh = 0 ⇒ Nd = 0 = Rcc + A’s . σ’sd – As . fyd (2.9)
Ao dividir todos os termos da equação (2.8), de equilíbrio em termos de momentos, por uma
quantidade que tem a mesma dimensão de um momento, como o termo fc.b.d2, obtém-se uma
equação de equilíbrio em termos adimensionais, que depois de substituído o valor de
Rcc=fc.b.y e cancelados os valores iguais no numerador e denominador fica:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
dd'1
bdfσ'A'
K'Kc
sds (2.10)
Onde:
2c
d
bdfM
K = (2.11)
é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor solicitante (externo)
de cálculo;
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=2ααα
2dy1
dy
bdf2ydbyf
K' 2c
c
(2.12)
é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de
cálculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.10) mede a intensidade do
momento fletor resistente (interno) de cálculo, devido à armadura A’s comprimida.
Na equação (2.12), α é o valor da profundidade relativa da linha neutra referente ao diagrama
retangular simplificado de tensões no concreto, ou seja:
α = (y/d) = 0,8 . (x/d) = 0,8 . ξ (2.13)
35
A equação (2.12) representa uma equação do segundo grau em α e ,portanto, conforme (2.13),
em função da incógnita x (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece
entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível:
(2.14) 2K'11α −−=
Voltando-se à equação (2.10), multiplicando-se e dividindo-se o último termo
simultaneamente por fyd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A’s:
φ
dd'1
K'Kfbdf
A'yd
cs ÷
−
−= (2.15)
Onde φ representa o nível de tensão na armadura comprimida, dada por:
φ = σ’sd / fyd ≤ 1 (2.16)
A partir da equação de equilíbrio (2.9) determina-se a armadura de tração As dada por:
yd
sds
yd
cs f
σ'A'fbyf
A += (2.17)
Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.17) por d e
substituindo a relação σ’sd / fyd do terceiro termo pela equação (2.16), obtém-se:
φA'dy
fbdf
A syd
cs += (2.18)
De (2.13) e (2.14) sabe-se que (y/d) = α = 1 – (1 – 2.K’)1/2 que levado em(2.18) fornece:
As = As1 + As2 (2.19)
com
36
( 2K'11fbdf
Ayd
cs1 −−= ) (2.20)
dd'1
K'Kfbdf
φA'Ayd
css2
−
−== (2.21)
Uma vez calculada a armadura As, com sua parcela As2 pode-se obter a armadura A’s dada
por:
A’s = As2 / φ (2.22)
As expressões (2.19) a (2.22) são as utilizadas para o cálculo à flexão de vigas com seção
retangular.
A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo
Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente
apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por
K’). A única possibilidade matemática de se ter armadura A’s nula e conseqüentemente
também As2, é fazer em (2.15) ou em (2.21) K = K’. Essa igualdade tem uma explicação
física coerente com a situação de armadura simples (sem armadura de compressão), ou seja:
- quando o momento externo Md, (K), for equilibrado pelo momento interno devido ao
concreto comprimido, (K’), isto é K = K’, não é necessário armadura de compressão.
Conforme visto anteriormente na equação (2.6), a máxima profundidade relativa da linha
neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a correspondente ao limite do
domínio 3. Com essa profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente
K’L, que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a
partir da equação (2.12), obtém-se:
KL = K’L = αL (1 - αL / 2) (2.23)
Com
αL = (y/d)L = 0,8.(x/d)L = 0,8 . ξ3,lim (2.24)
37
O valor de ξ3,lim depende do tipo de aço empregado, assim como as outras grandezas da tabela
2.1 abaixo.
Tabela 2.1 – Valores de KL sem a consideração da dutilidade
Aço fyd (kN/cm2)
εyd (‰)
ξ3,lim (x/d)3,lim
αL KL
CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427 CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376 CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358
A relação ξ = (x/d), além de satisfazer ao limite estabelecido em (2.6), que gerou a tabela 2.1,
deve também atender aos limites fixados pela NBR 6118 em 14.6.4.3, para melhoria da
dutilidade, que fixa a profundidade relativa limite em:
ξlim = (x/d)lim ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa
(2.25)
ξlim = (x/d)lim ≤ 0,40 para concretos com fck ≤ 35 MPa
Observando-se a tabela 2.1 nota-se que todos os valores de ξ3,lim são superiores aos das
equações (2.25) e que, portanto, para se atender às prescrições de melhoria de dutilidade das
vigas deve-se ter os seguintes valores de KL da tabela 2.2, que agora não mais dependem do
tipo de aço, mas sim apenas se a resistência fck do concreto é inferior ou não a 35 MPa.
Tabela 2.2 – Valores finais de KL, com a consideração da dutilidade
fck
KL
≤ 35 MPa 0,320
> 35 MPa 0,269
A partir da equação (2.11) e considerando os valores limites da tabela 2.2, obtém-se: Md,L = KL . (fc.b.d2) (2.26)
38
bfK
Md
cL
dL = (2.27)
onde:
• Md,L é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples
• dL é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura simples
Caso o momento de cálculo atuante seja maior que Md,L ou ainda que a altura útil seja menor
que dL,o que significa em ambos, K > KL, torna-se necessário para o equilíbrio a armadura de
compressão A’s. Essa situação, com a utilização simultânea de armadura de tração As e de
compressão A’s, caracteriza seções dimensionadas à flexão com armadura dupla.
Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser
antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.2, caso se pretenda
absorver um momento solicitante superior ao Md,L apenas com armadura de tração, isso não
significa necessariamente peças superarmadas. Já com os valores da tabela 2.1, caso a mesma
situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), essa seção
será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.1 referem-se ao final
do domínio 3.
Na situação de armadura dupla K > KL (Md > Md,L), basta fazer nas equações de
dimensionamento à flexão em seções retangulares, equações (2.19) a (2.22), K’ = KL. Essa
igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto
comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples
KL. Essa parcela do momento total será resistida pelo concreto comprimido e pela armadura
tracionada As1. A diferença (Md – Md,L), que em termos adimensionais fica (K – KL), será
absorvida pela parcela da armadura de tração As2 e pela armadura de compressão A’s.
No cálculo da armadura A’s aparece o nível de tensão φ na armadura comprimida, que
normalmente vale 1, ou seja σ’sd = fyd. A tensão na armadura comprimida σ’sd é função da
deformação ε’sd, que por sua vez depende da profundidade relativa da linha neutra ξ = (x/d).
Na situação de armadura dupla (onde A’s ≠ 0) essa profundidade relativa é constante e igual a
ξlim = (x/d)lim dado na equação (2.25), para cada uma das duas faixas de resistência do
concreto (fck≤ 35 MPa ou fck> 35 MPa).
39
Considerando os valores limites da equação (2.25) nota-se que ambos, (x/d)=0,4 e (x/d)=0,5,
são menores que os valores de ξ3,lim = (x/d)3,lim da tabela 2.1, para as três categorias de aço
CA-25, CA-50 e CA-60. Além disso, o valor da profundidade relativa do domínio 2 é dado
por ξ2,lim = (x/d)2,lim = (3,5 / 13,5) = 0,259. Pode-se concluir, portanto, que para as três
categorias de aço empregados em peças de concreto armado, a profundidade relativa limite
que define a armadura dupla estará no domínio 3, ou seja:
ξ2,lim = 0,259 < ξlim = (x/d)lim < ξ3,lim (2.28)
A definição do ELU para o domínio 3 é εc,max = 3,5 ‰, conforme indicado na figura 2.6. A
deformação ε’s pode ser calculada a partir da seguinte equação, retirada por semelhança de
triângulos na figura 2.6:
limlim
s
x0,035
d'xε'
=−
(2.29)
0,035
dx
dd'
dx
0,035x
d'xε'
lim
lim
lim
lims ×
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=×−
= (2.30)
Caso ε’s seja menor que o valor da deformação de cálculo correspondente ao escoamento εyd,
a tensão σ’sd é obtida pela aplicação da Lei de Hooke, σ’sd = Es . ε’s, o que implica em valor
εs
εc,max=0,035 d’
xlimε’s
d
Figura 2.6 – Diagrama de deformação na armadura dupla
40
de φ menor que 1. Caso contrário σ’sd = fyd, o que implica em φ = 1. Fazendo ε’s ≥ εyd em
(2.30) obtém-se a inequação (2.31) que expressa a relação (d’/d) abaixo da qual se tem φ = 1:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
0,035ε
1dx
dd' yd
lim
(2.31)
O aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente usado para flexão em lajes,
onde não se usa armadura dupla, restando, pois o aço CA-50, que é o mais utilizado para
flexão em vigas. Para esse aço εyd = 2,07 ‰, e considerando (x/d)lim = 0,5 (fck≤35 MPa) a
equação (2.31) fica:
(d’/d) ≤ 0,204 ou (d/d’) ≥ 4,896 (2.32)
Esse valor expresso por (2.32), assim como para outros tipos de aço e (x/d)lim, estão indicados na tabela 2.3. Tabela 2.3 – Valores das relações entre d e d’, para se ter φ = 1(nível de tensão em A’s)
Aço
fck ≤ 35 MPa (x/d)lim = 0,5
fck > 35 MPa (x/d)lim = 0,40
(d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550
CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121
CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616
Os valores da tabela 2.3 são as relações usuais para vigas de concreto armado, ou seja, geralmente o nível de tensão na armadura comprimida é igual a 1. No entanto, para situações pouco comuns, não contempladas na tabela 2.3, o valor de φ = σ’sd / fyd ≤ 1, pode ser obtido com σ’sd = Es . ε’s ≤ fyd, a partir da equação (2.30):
1f
E0,035
dx
dd'
dx
φyd
s
lim
lim ≤×
×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= (2.33)
Todo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples encontra-se de forma resumida na próxima página.
41
Valores de KL
fck KL
≤ 35 MPa 0,320
> 35 MPa 0,269
Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1
Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616
A’s d’
As
b
d
y=0,8x
Md
σcd=fc=0,85fcd
A’s.σ’s
Rcc=fcby
Asfyd d-y/
2
d-d
’
FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO RETANGULAR (TEPEDINO)
K ≤ KL ⇒ K’ = K
2c
d
bdfMK =
> KL ⇒ K’ = KL
K
( )2K'11fbdf
Ayd
cs1 −−=
s2s1s AAA +≥
dd'1K'K
fbdf
Ayd
cs2
−
−=
0,8αdx =2K'11α −−=φAA' s2s ÷=
yd
sd
fσ'
φ =
( ) ( )
( )lim
lim
yd dx
dd'
dx
f735φ
−=
2 fyd em kN/cm
42
2.4 – Seção T ou L à flexão simples
“Nas estruturas de concreto armado são muito freqüentes as seções em T ou L, uma vez que
as nervuras das vigas são normalmente solidárias às lajes, que colaboram na resistência à
compressão, conforme mostrado na figura 2.7.
É necessário salientar que uma viga de concreto armado com seção geométrica em T ou L,
isto é, composta de uma nervura e uma mesa, somente pode ser considerada como tal no
cálculo, quando a mesa estiver comprimida; caso contrário a seção se comportará como
retangular de largura bw”(Tepedino).
Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular
simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (y ≤ hf), a seção será tratada como
retangular, de largura bf.
Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do diagrama
parábola-retângulo pelo retangular simplificado.
hf
bf
d’ =f
bw
d x
Figura 2.7 – Seção T à flexão simples
εs
ε’s
εc
y=0,8x
Md
σcd c=0,85fcd
A’sσ’sd
Rcc
A fs yd
43
Para seções normalmente armadas ou subarmadas (εs ≥ εyd ⇒ σs = fyd), podem ser montadas
as seguintes equações de equilíbrio:
( ) ( )d'dσ'A'2
hdhbbf2ydybfM sds
ffwfcwcd −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= (2.34)
(2.35) ( ) 0fAσ'A'hbbfybfN ydssdsfwfcwcd =−+−+=
Transformando-se a equação (2.34) conforme procedimento análogo ao da seção retangular e
lembrando-se que α = y/d e φ = σ’sd/fyd obtém-se:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
dd'1
bdfφfA'
2dh
1dh
1bb
2α1α
bdfM
c
ydsff
w
f2
c
d (2.36)
Fazendo-se
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
2dh1
dh1
bb
bdfM
K ff
w
f2
c
d (2.37)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2α1αK' (2.38)
Nota-se pelo valor de K em (2.37), que ao diminuir do momento total solicitante de cálculo
Md o momento resistido apenas pelas laterais da mesa comprimida - fc(bf-bw)hf(d-hf/2), o
problema se transforma na flexão de uma seção retangular de largura bw.
Levando-se (2.37) e (2.38) em (2.36) obtém-se:
φ
dd'1
KK'f
dbfA'
yd
wcs ÷
−
−= (2.39)
44
Os critérios para limitação do valor de K são os mesmos da seção retangular, portanto:
K ≤ KL ⇒ K’ = K
K > KL ⇒ K’ = KL
Da equação (2.35) obtém-se:
sf
w
f
yd
wcs φA'
dh
1bb
αf
dbfA +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= (2.40)
O valor de α pode ser obtido de (2.38) resultando como na seção retangular a expressão
(2.14), que levada em (2.40) fica:
As = As1 + As2 (2.41)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−=
dh
1bb
2K'11f
dbfA f
w
f
yd
wcs1 (2.42)
dd'1
K'Kf
dbfA
yd
wcs2
−
−= (2.43)
Da mesma forma que na seção retangular
(2.44) φAA' s2s ÷=
Fazendo-se bf = bw nas equações (2.41) a (2.44) elas se transformam nas equações (2.19) a
(2.22) para a seção retangular, como era de se esperar.
Analisando-se a equação (2.37) nota-se que quando K = 0, o momento externo de cálculo Md
é igual ao momento interno resistido apenas pelas laterais comprimidas da mesa. Como nesse
caso o trecho da mesa de largura bw ainda está comprimido, a profundidade da linha neutra
45
será menor que hf, para se ter o equilíbrio. Isso significa que mesmo para pequenos valores de
K positivos, a linha neutra cortará a mesa e o dimensionamento se fará como seção retangular
de largura bf. O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estará parcialmente comprimida é
encontrado fazendo-se em (2.37) K = K’,uma vez que para pequenos valores de K a armadura
comprimida é igual a zero. Como K’ = α(1-α/2) e nesse caso y = hf, tem-se:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
2dh1
dh
2α1αK'K ff
0 (2.45)
Para valores de K ≤ K0 o dimensionamento deve ser feito como seção retangular bf x h.
Embora esse seja o valor correto, sabe-se que usando o limite do Prof. Tepedino, K ≤ 0, a
armadura calculada como seção T com 0 ≤ K ≤ K0, dá o mesmo resultado que como seção
retangular bf x h nesse mesmo intervalo. Portanto, para efeito dessa publicação será tomado
como o limite para se ter a mesa parcialmente comprimida o estabelecido pelo Prof.
Tepedino, K ≤ 0.
Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguinte) conduz a
valores de momentos resistentes internos, que dificilmente precisam de uma profundidade da
linha neutra superior a hf. Nessa situação o melhor seria, determinar o máximo momento
interno de cálculo resistido pela mesa inteiramente comprimida, denominado Md,referência e
dado por:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2hdhbfM f
ffcrefd, (2.46)
Md ≤ Md,ref ⇒ y ≤ hf ⇒ seção retangular bf x h
Md > Md,ref ⇒ y > hf ⇒ seção T ou L
2.4.1 – Determinação da largura colaborante da mesa - bf
Quando uma viga submetida à flexão deforma, ela traz consigo a laje que lhe é solidária, que
se estiver comprimida auxiliará na absorção do momento fletor atuante. Adotando-se o
46
diagrama retangular simplificado da NBR-6118, a tensão na mesa comprimida
correspondente ao trecho comum com a nervura (bw), deve ser igual a σcd = fc = 0,85fcd.
Afastando-se desse trecho nos dois sentidos, conforme mostrado na figura 2.8, a tensão de
compressão deve diminuir até zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa
distribuição de tensões na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR-
6118 ela é substituída por uma distribuição uniforme simplificada, com tensão igual a fc, e
com uma largura total igual a bf, de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as
distribuições sejam estaticamente equivalentes.
Segundo a NBR-6118, no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura
bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para
cada lado da viga em que houver laje colaborante.
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado,como se
apresenta a seguir:
fc
bf
Distribuição simplificada equivalente
Distribuição real de tensões na mesa
bw
Figura 2.8 – Distribuição real e simplificada de tensões na mesa
47
• viga simplesmente apoiada a = 1,00 l,
• tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75 l;
• tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 l;
• tramo em balanço a = 2,00 l.
Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos
diagramas de momentos fletores na estrutura.
Devem ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 2.9.
b1 ≤ 0,5 b2 b1 ≤ 0,1 a
(2.47)
b3 ≤ b4 b3 ≤ 0,1 a
bfbf
c b3 b1 b1 b1
b4
c b2
bw bw
Figura 2.9 – Largura da mesa colaborante
48
K ≤ KL K’ = K
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
2dh
1dh
1bb
dbfM
K ff
w
f2
wc
d K ≤ 0 seção retangular bf x h
K > KL K’ = KL
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−=
dh
1bb
2K'11f
dbfA f
w
f
yd
wcs1
s2s1s AAA +≥
dd'1K'K
fdbf
Ayd
wcs2
−
−=
φAA' s2s ÷= 2K'11α −−= 0,8αdx =
Valores de KL
fck KL
≤ 35 MPa 0,320
> 35 MPa 0,269
Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1
Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616
FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO T OU L (TEPEDINO)
hf
bf d’ σcd=fc=0,85fcd
A’sσ’sd Rcc
A’s d Md
As Asfyd
bw
yd
sd
fσ'
φ =
( ) ( )
( )lim
lim
yd dx
dd'
dx
f735φ
−=
fyd em kN/cm2
49
2.5 – Prescrições de norma referente às vigas
2.5.1 – Armadura longitudinal mínima de tração
De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118, a armadura mínima de tração, em elementos
estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a
um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta
de 0,15 %.
Md,min = 0,8 .W0 . fctk,sup (2.48)
Onde:
• W0 é o modulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à
fibra mais tracionada;
• fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (item 8.2.5 da
NBR-6118).
De 8.2.5 sabe-se que:
fctk,sup = 1,3 . fctm = 0,39 . (fck)2/3 (MPa) (2.49)
O dimensionamento para Md,min deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas
de armadura da tabela 2.4 abaixo.
A taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, ωmin, que aparece na
tabela 2.4, é dada por:
cd
ydmin
cdc
ydmins,min f
fρ
fAfA
ω == (2.50)
De (2.50) pode-se obter ρmin a partir do valor dado de ωmin:
minyd
cdmin ω
ff
ρ = (2.51)
50
Tabela 2.4 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas
Forma da
seção
Valores de ρmin1) = (As,min / Ac) - %
fck
ωmin
20 MPa
25 MPa
30 MPa
35 MPa
40 MPa
45 MPa
50 MPa
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T – (Mesa comprimida)
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T – (Mesa tracionada)
0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575
1) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser calculado com base no valor de ωmin dado. NOTA –Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.
Os valores da tabela 2.4 foram obtidos para aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15. Como exemplo para
esses valores, a taxa mínima para seção retangular com concreto fck=30 MPa, fica:
ρmin = (30/1,4) x 0,035 / (500/1,15) = 0,00173 = 0,173 %
Para outros valores de tipo de aço ou de coeficientes de ponderações dos materiais, não se
pode usar a tabela 2.4, devendo-se calcular a taxa mínima pela equação (2.51), que é o caso
por exemplo, das lajes, onde se usa normalmente aço CA-60.
2.4.2 – Armadura de pele
Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR-6118, a armadura mínima lateral deve ser 0,10 % Ac,alma
em cada face da viga e composta por barras de alta aderência (η1≥2,25) com espaçamento não
maior que 20 cm ou d/3 (18.3.5), respeitado o disposto em 17.3.3.2 (toda armadura de pele
tracionada deve manter um espaçamento menor ou igual a 15φ).
Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização de armadura
de pele.
51
2.4.3 – Armaduras de tração e compressão
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que
4%Ac, calculada na região fora da zona de emendas.
2.4.4 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da
seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
• na direção horizontal (ah)
- 20 mm;
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado;
• na direção vertical (av)
- 20 mm
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado.
Na figura 2.10 estão indicados os espaçamentos mínimos na direção horizontal (ah) e vertical
(av). Com base nessa figura obtém-se a largura útil (bútil) da viga dada por:
bútil = bw – 2 . (c + φtransv) (2.52)
onde:
• c é o cobrimento nominal da armadura
• φtransv é o diâmetro da armadura transversal (estribo)
O número máximo de barras longitudinais com diâmetro φlong que cabem em uma mesma
camada, atendendo ao espaçamento horizontal ah especificado acima, fica:
longh
hútiladabarras/cam φa
abn
++
≤ (2.53)
52
bútil
c φtransv
ah
av
φlong
bw
Figura 2.10 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais
Adota-se como valor final do número de barras por camada, a parcela inteira do número
calculado em (53).
2.4.5 – Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma
Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118, os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e
alma devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de
tensões normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do
concreto, quanto das armaduras necessária para resistir às trações decorrentes desses efeitos.
As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como
parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A
53
54
seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na
alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro.
Capítulo 3 -LAJE
3.1 – Definição
Placa é um elemento estrutural laminar, uma dimensão (espessura) bem menor que as outras
duas em planta, solicitada predominantemente por cargas normais ao seu plano. Quando a
placa é de concreto armado ela normalmente é chamada de laje. Como exemplo pode-se citar
lajes de piso e forro dos edifícios, lajes de reservatórios, muros de contenção.
3.2 – Histórico
As placas devido a sua importância como elemento de vedação, piso e de transferência de
cargas para as vigas, tem merecido ao longo dos tempos grande destaque dos pesquisadores e
constitui ainda hoje um tema inesgotável de pesquisas.
As placas podem ser classificadas segundo a sua espessura h, comprada com a sua menor
dimensão em planta a como:
• Placas muito esbeltas, quando (h/a) ≤ (1/100)
• Placas esbeltas, quando (1/100) < (h/a) ≤ (1/5)
• Placas espessas, quando (h/a) < (1/5)
As placas de concreto, chamadas de lajes, se situam normalmente na faixa de variação das
placas esbeltas, cujo teoria clássica ou de Kirchhoff, interpreta razoavelmente os seus
resultados, que são baseados na solução da seguinte equação diferencial de quarta ordem:
(∂4w / ∂x4) + 2 . (∂4w / ∂x2∂y2) + (∂4w / ∂y4) = p/D (3.1)
onde:
• w é o deslocamento transversal (vertical) da placa;
55
• p é a carga normal distribuída, aplicada a placa;
• D é a rigidez da placa à flexão, dada por:
D = Ec . h3 / 12(1 - ν2) (3.2)
Onde Ec e ν são respectivamente, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do
concreto.
A solução analítica da equação (3.1) só é possível para situações particulares de condições de
contorno e de carregamento. Para a maioria dos casos recorre-se a soluções numéricas para a
solução da placa baseada nos Métodos das Diferenças Finitas (MDF), Método dos Elementos
Finitos (MEF) e Método dos Elementos de Contorno (MEC).
Normalmente as lajes de concreto dos edifícios residenciais são retangulares e para essas
foram produzidas desde o início tabelas para cálculo de reações de apoio e de momentos
fletores. Estas tabelas foram elaboradas baseadas na teoria da elasticidade usando-se
integração numérica ou séries duplas de Fourier para a solução da equação (3.1).
As primeiras tabelas utilizadas foram produzidas por Marcus, que resolveu o problema,
substituindo a placa por uma grelha, com vigas ou faixas unitárias perpendiculares e
independentes entre si, introduzindo coeficientes semi-empíricos para levar em conta a torção
entre as mesmas, contemplada na equação (3.1) pela derivada cruzada, ou seja em x e y. O
processo de cálculo desprezando-se a torção entre as faixas perpendiculares é normalmente
conhecido como teoria da grelha ou dos quinhões de carga para cálculo de lajes retangulares.
Para o entendimento desse processo simples e normalmente utilizado para a solução de lajes
nervuradas, seja a figura 3.1 onde uma laje retangular axb, simplesmente apoiada em todos os
quatro lados e submetida a uma carga total p, que será distribuída em pa e pb, parcelas ou
quinhões da carga total que atuarão nas direções a e b respectivamente. Trata-se de um
problema estaticamente indeterminado cuja única equação de equilíbrio é dada por:
p = pa + pb (3.3)
56
Para a solução desse problema cujas incógnitas são as parcelas ou quinhões de carga pa e pb
deve-se lançar mão de uma equação de compatibilidade geométrica, que nesse caso consiste
em igualar as flechas δa e δb no centro da placa, correspondente às flechas máximas nas
direções a e b, respectivamente (figura 3.1).
384EI
b5pδ
384EIa5p
δ4
bb
4a
a === (3.4)
De (3.4) obtém-se:
pa = pb . (b / a)4 (3.5)
Levando-se (3.5) em (3.3) obtém-se a expressão da parcela de carga na direção b:
pk
ab1
pp b4b =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
= (3.6)
1
pa
a
p b
b
δb
1
δa
Figura 3.1 – Quinhões de cargas
57
4b
ab1
1k
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
= ka = 1 - kb (3.7)
Onde ka e kb são os coeficientes para se determinar os quinhões de cargas nas direções a e b
respectivamente.
Para a determinação das reações e momentos fletores da laje basta calcular isoladamente as
vigas nas direções a e b, utilizando-se as parcelas ou quinhões de carga obtidos.
Pela equação (3.7) para uma relação (b/a) = 2 o valor de kb = 1 / 17 ≈ 0,06 e
conseqüentemente ka ≈ 0,94, indicando que a laje funciona praticamente na direção menor a.
Conforme será visto adiante, a partir da relação (b/a) > 2 a laje será considerada armada em
uma direção, ou seja a dimensão menor, sendo que para relações menores, a laje será
considerada armada em duas direções ou em cruz.
Outras tabelas para o cálculo de reações e momentos bastante utilizadas são as tabelas de
Kalmanock, que integrou numericamente a equação diferencial (3.1) e tabelou para diversos
tipos de lajes retangulares e de relações (b/a), variando de 0,5 a 2. Estas tabelas, como outras
baseadas na teoria da elasticidade, são utilizadas no cálculo de lajes em regime elástico.
Existem também as tabelas baseadas no regime rígido-plástico, ou das linhas de ruptura, ou
das charneiras plásticas (Ingerslev -1923 e Johansen -1932), onde o diagrama tensão-
deformação do material constituinte da laje é elasto-plástico perfeito, com um trecho linear
elástico seguido por um trecho perfeitamente plástico. Este processo extremamente simples de
cálculo pode ser visto na apostila de lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino,
que originou tanto as tabelas para cálculo de momentos fletores no regime rígido-plástico,
quanto no elástico, mostradas adiante.
3.3 – Laje retangular armada em uma direção
Conforme visto no item anterior as lajes retangulares cuja relação entre lados for maior que 2,
será calculada como laje armada em uma direção, no caso, a direção menor. Estas lajes são
calculadas supondo vigas unitárias com o comprimento correspondente ao vão menor da laje e
58
com as condições de contorno iguais às do lado maior. Desta forma as configurações
possíveis para lajes retangulares armadas em uma direção estão indicadas na figura 3.2.
As reações e os momentos para as três lajes da figura 3.2 estão apresentados na tabela 3.1
abaixo, para o cálculo no regime elástico e no regime rígido-plástico, com a carga total p
atuando na faixa unitária.
Os valores das reações e dos momentos da coluna correspondente ao regime elástico são os
valores conhecidos da análise das estruturas, já os valores do regime rígido–plástico são
obtidos a partir da relação entre o momento negativo e do positivo atuantes numa mesma
direção, que no caso da tabela 3.1 foi adotado igual a 1,5. Assim para a laje apoiada-engastada
o momento máximo positivo é dado por:
M = (Ra)2 / 2 . p (3.8)
com
Ra = p.l / 2 – X / l = p.l / 2 – 1,5.M / l (3.9)
M = Ra2 / 2.p = (p.l / 2 – 1,5.M / l)2 / 2.p (3.10)
a a a
b 1
M M M
X X X
R R Ra Re R R
Figura 3.2 – Lajes armadas em uma direção
59
Resolvendo-se a equação de segundo grau em M, equação (3.10), chega-se ao valor possível
de M dado por:
M = p.l2 / 13,33 (3.11)
Tabela 1 – Reações e momentos para laje armada em uma direção
Tipo da laje Regime Elástico Regime rígido-plástico
Apoiada-apoiada
R = 0,5 . p.a R = 0,5 . p.a
M = pa2/8 M = pa2/8
Apoiada-engastada
Rapoio = 0,375 p.a Rapoio = 0,387 p.a
Rengaste = 0,625 p.a Rengaste = 0,613 p.a
M = p .a2/14,22
X = p.a2/8
M = p.a2/13,33
X = 1,5 . M
Engastada-engastada
R = 0,5 p.a R = 0,5 p.a
M = p.a2/24
X = p.a2/12
M = p.a2/20
X = 1,5 . M
Para a placa engastada-engastada com o momento negativo X igual a 1,5 vez o momento
positivo M, tem-se:
M = Ra2 / 2.p – X = (pl/2)2 / 2.p – 1,5.M = pl2 / 8 –1,5.M (3.12)
De (3.12) obtém-se o valor de M:
M = p.l2 / 20 (3.13)
60
3.4 – Laje retangular armada em duas direções ou armada em cruz
Conforme visto anteriormente, quando a relação entre os lados de uma laje retangular é menor
ou igual a 2, considera-se a mesma armada em duas direções ou em cruz
3.4.1 – Tipos de lajes retangulares
Os tipos possíveis de lajes retangulares estão mostrados na figura 3.3, onde a é o vão cuja
direção tem o maior número de engastes. Caso nas duas direções o número de engaste seja o
mesmo, a será considerado o menor vão.
a a ≤ b
b
a
D E F
Figura 3.3 – Tipos de lajes retangulares armadas em cruz
a ≤ b
C b A B
a a ≤ b
61
3.4.2 – Reações de apoio
As reações de apoio para lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas de
acordo com o item 14.7.6 da NBR 6118, seguindo as aproximações:
1. as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou
trapézios determinados através das charneiras plásticas, sendo que essas reações podem
ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos
estruturais que lhes servem de apoio;
2. quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas
inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:
• 45o entre dois apoios do mesmo tipo;
• 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
• 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
A partir dos ângulos definidos acima são produzidas tabelas para os 6 tipos de lajes
retangulares da figura 3.3, para as diversas relações b/a (tabela 3.8,adiante). Nessas tabelas a
reação em cada lado é obtida multiplicando-se os coeficientes tabelados sempre pelo produto
p.a.
62
3.4.3 – Momentos fletores
Os momentos fletores em lajes retangulares são calculados também através de tabelas
produzidas tanto para o regime elástico como para o regime rígido-plástico. No regime
elástico, para a obtenção dos valores dos momentos atuantes nas duas direções, basta
multiplicar os valores tabelados tanto para os momentos positivos (armadura de flexão na
parte inferior da laje) quanto para os momentos negativos (idem para a parte superior) pelo
60o45o
3
45o
1
4 30o
2
R”b
b ≥ a
R’a = pA1 / a R”a = pA2 / a R’b = pA4 / b R”b = pA3 / b
R’b
R’a R”a a
Figura 3.4 – Reações de apoio para lajes retangulares
60o 45o
90o90o
1 2 3
Rb
b
R’a R”a
Bordo livre
R’a = pA2 / a R”a = pA3 / a a Rb = pA1
63
produto p.a2. Já para o regime rígido-plástico apenas são tabelados os coeficientes para os
momentos positivos nas duas direções, que são obtidos multiplicando-se esses coeficientes
pelo produto p.a2. Caso exista, o momento negativo em uma determinada direção será obtido
multiplicando-se por 1,5 o momento positivo da mesma direção.
As tabelas 3.8 a 3.11 mostradas adiante, são as mesmas da apostila sobre lajes retangulares do
Prof. José de Miranda Tepedino, salientando que as do regime rígido-plástico foram
produzidas para uma variação contínua do índice de ortotropia (relação entre os momentos de
plastificação nas duas direções ortogonais da laje) e para uma relação constante entre os
momentos negativo e positivo em uma mesma direção, adotada igual a 1,5.
3.5 – Cálculo da flecha em lajes retangulares
O cálculo da flecha em lajes retangulares deve naturalmente obedecer ao estado limite de
serviço – ELS, nesse caso denominado ELS-DEF, ou seja, de deformações excessivas,
definido no item 3.2.4 da NBR-6118.
As cargas para o cálculo em serviço devem ser afetadas pelo coeficiente de ponderação, no
caso minoração, das ações no ELS, correspondente às combinações quase permanentes (ELS-
DEF):
γf = γf2 = ψ2 (3.14)
Conforme a tabela 11.2 da NBR-6118 para cargas acidentais de edifícios, ψ2 = 0,3 para
edifícios residenciais, ψ2 = 0,4 para edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios
públicos e ψ2 = 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.
Mserv = Mg + ψ2 . Mq (3.15)
Caso o momento de serviço dado em (3.15) seja menor que o momento de fissuração Mr
determinado conforme o item 17.3.1 da NBR-6118 a laje está trabalhando no estádio I
(concreto trabalhando simultaneamente à tração e compressão – concreto não fissurado), caso
64
contrário, no estádio II (concreto trabalhando à compressão no regime elástico enquanto as
tensões de tração são desprezadas – concreto fissurado). O momento de fissuração pode ser
calculado pela seguinte expressão aproximada:
Mr = α . fct . Ic / yt (3.16)
Onde:
• α é o fator que relaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a
resistência à tração direta, sendo igual a 1,5 para seções retangulares (caso da laje);
• yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
• Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
• fct é a resistência à tração direta do concreto, conforme o item 8.2.5 da NBR-6118,sendo
considerada igual a fctm no estado limite de deformação excessiva.
Para o cálculo de lajes, cuja seção transversal retangular é dada por 100xh, o valor de yt no
estádio I é aproximadamente igual a h/2, onde h é a altura da laje, ficando a relação Ic/yt ≈ W0
(módulo de resistência à flexão) dada por:
W0 = 100 . h2 / 6 (cm3) (3.17)
O valor correto de yt é obtido do cálculo da seção homogeneizada, mas tendo em vista a
pequena quantidade de armadura das lajes, esse valor é muito próximo ao da seção plena de
concreto, justificando-se pois adotar yt = h/2.
Levando-se os valores de α, fct = fctm, e W0 em (3.16) obtém-se finalmente o momento de
fissuração para lajes maciças dado por:
Mr = 150.fctm . h2 / 6 (3.18)
Para o valor de fctm dado em KN/cm2, a unidade de Mr será KN.cm. Deve-se salientar que a
equação (3.18) refere-se a uma faixa de laje de largura b = 100 cm = 1 m.
65
3.5.1 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em uma direção
Para essas lajes as flechas são calculadas com as expressões obtidas da resistência dos
materiais para os três tipos possíveis de condições de contorno ilustrados na figura 3.2. Assim
essas três flechas podem ser agrupadas em uma única expressão genérica dada por:
( )eq
4i
i EI384apKf = (3.19)
com K = 5 para laje apoiada-apoiada
K = 2* para laje apoiada-engastada
K = 1 para laje engastada-engastada * o valor inteiro 2 foi adotado por ser aproximadamente igual ao valor correto 2,079...
onde
• fi é a flecha imediata;
• pi = g + ψ2 . q é a carga de serviço;
• a é o vão da laje armada em uma direção;
• (E.I)eq é a rigidez equivalente.
Normalmente as lajes em edifícios residenciais armadas em uma direção têm vãos pequenos e
conseqüentemente momentos solicitantes em situação de serviço menores que o momento de
fissuração (equação 3.18), trabalhando, portanto no estádio I. Nesse caso a rigidez equivalente
é obtida considerando-se a seção homogeneizada, utilizando-se a relação entre os módulos de
elasticidade do aço e do concreto. Devido à pequena quantidade de armação utilizada nessas
lajes, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta de concreto em substituição ao da
seção homogeneizada. Isso se justifica pela pequena diferença entre as duas.
Caso o momento em serviço supere o momento de fissuração, deve ser considerado o estádio
II. O item 19.3.1 da NBR-6118, estado limite de deformação em lajes, estabelece que devem
ser usados os mesmos critérios dados para as vigas (item 17.3.2), tanto para o estádio I quanto
para o estádio II.
66
Os critérios para a flecha imediata em vigas se baseiam no cálculo da rigidez equivalente pela
formulação de Branson, dada na NBR-6118 no item 17.3.2.1.1. Para lajes maciças usuais dos
edifícios residenciais armadas em uma ou duas direções, geralmente o momento máximo é
menor que o momento de fissuração, ou quando isso não ocorre, apenas uma pequena área da
laje, próxima ao momento máximo, encontra-se no estádio II. A maior parte da laje estará
sempre no estádio I. Mesmo a região que se encontra fissurada, segundo alguns autores, tem
uma contribuição mais efetiva para a rigidez equivalente que no caso das vigas, portanto não
seria muito correto usar o mesmo modelo para vigas e lajes. No entanto, para efeito dessa
publicação, deve-se considerar:
Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.20)
Estádio II - ( ) ccsII
3
a
rc
3
a
rcseq IEI
MM
1IMM
EEI ≤⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (3.21)
Onde:
• Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto;
• Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
• III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II,
calculada com αe=Es/Ecs;
• Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo
no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em
balanço, para a combinação de ações considerada nessa avaliação;
• Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural.
3.5.2 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em duas direções
O valor da flecha imediata para essas lajes é obtido usando-se tabelas para cálculo de flechas
em lajes retangulares, baseadas nas tabelas de Bares. Segundo Tepedino, por meio de
regressão polinomial, ajustou-se para a flecha imediata fi, a seguinte expressão:
67
fi = f1 . pi.a4 / (Ecs . h3 ) (3.22)
com pi o mesmo dado em (3.19) e
f1 = [K1.(b/a)3 + K2.(b/a)2 + K3. (b/a) + K4] / 1000 (3.23)
onde K1, K2, K3 e K4 estão mostrados na tabela 3.2 abaixo, não se adotando para o cálculo
valores de (b/a) inferiores a 0,5, nem superiores a 2.
Com os valores de K1 a K4 tabelados abaixo, organizou-se a tabela 3.9, mostrada adiante, para
o cálculo de flechas nos seis tipos de lajes retangulares da figura 3.3. Nessa tabela, a partir do
tipo de laje e da relação (b/a), extrai-se o coeficiente f1 que permite o cálculo da flecha com o
emprego da equação (3.22).
Tabela 3.2 – Valores dos coeficientes para cálculo das flechas (Tepedino)
LAJE K1 K2 K3 K4
0,4
-29,6
156,8
-79,8
-1,0
-16,0
79,3
-29,9
14,4
-84,3
182,1
-87,9
7,2
-42,1
83,8
-26,6
1,9
-21,2
60,9
-23,3
2,0
23,0
69,2
-33,3
A
B
C
D
E
F
68
A discussão sobre rigidez equivalente, feita anteriormente, é mais acentuada nas lajes armadas
em duas direções, tendo em vista que para as lajes armadas em uma, o modelo estrutural
aproxima-se mais do comportamento de vigas, onde se aplica efetivamente a formulação de
Branson (equação 3.21). Para efeito dessa publicação, quando o momento em serviço for
menor que o de fissuração, ou seja, estádio I, deve-se adotar para a rigidez equivalente a
mesma dada pela equação (3.20). Quando ocorrer o estádio II, deve-se adotar um valor médio
aproximado para a rigidez equivalente, sem utilizar, no entanto a equação (3.21). Assim para
lajes armadas em duas direções tem-se:
Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.24)
Estádio II - (EI)eq = 0,7 . Ecs.Ic (3.25)
O valor 0,7 da equação (3.25) pode ser justificado como sendo o mesmo fator utilizado no
item 15.7.3 da NBR-6118, para consideração aproximada da não-linearidade física do
concreto.
A equação (3.22), que calcula a flecha em lajes retangulares, apresenta apenas o valor do
módulo de elasticidade Ecs e não a rigidez à flexão EI. Portanto para levar em conta a rigidez
equivalente, conforme equações (3.24) e (3.25), basta somente substituir pelo valor 0,7.Ecs
quando se tiver estádio II, ficando inalterada a equação (3.22) para o estádio I.
3.5.3 – Flecha diferida no tempo para lajes de concreto armado
Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR-6118, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de
longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela
multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:
αf = Δξ / (1 + 50.ρ’) (3.26)
onde:
ρ’ = A’s / (b.d) (3.27)
69
ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 3.3, ou ser
calculado pelas expressões seguintes:
Δξ = ξ(t) - ξ(t0) (3.28)
ξ(t) = 0,68.(0,996)t.t0,32 para t ≤ 70 meses (3.29)
ξ(t) = 2 para t > 70 meses (3.30)
sendo t o tempo dado em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida, t0 a idade em
meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso das parcelas de cargas
de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para t0 o valor
ponderado a seguir:
t0 = Σ Pi . t0i / Σ Pi (31)
onde Pi representa as parcelas de carga e t0i é a idade em que se aplicou cada parcela Pi, em
meses.
Tabela 3.3 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo
Tempo(t)
meses
0
0,5
1
2
3
4
5
10
20
40
≥ 70
Coeficiente
ξ(t)
0
0,54
0,68
0,84
0,95
1,04
1,12
1,36
1,64
1,89
2
O valor da flecha total (flecha imediata fi mais a parcela adicional diferida αf . fi) deve ser
obtido multiplicando-se a flecha imediata por (1 + αf). Assim para situações normais em que
se deseja a flecha no tempo infinito, para cargas aplicadas a partir dos 14 dias,
aproximadamente t0 = 0,5 mês, com ρ’ = 0 (não se tem armadura dupla em lajes), obtém-se
para αf o seguinte valor:
αf = ξ(∞) - ξ(0,5) = 2 – 0,54 = 1,46 (3.32)
70
portanto, a flecha total será dada por:
ftotal = (1 + αf) . fi = 2,46 . fi (3.33)
A expressão (3.33) se refere à carga de serviço pi = g + ψ2.q (parcela permanente mais a
parcela quase permanente da carga acidental da laje), ou seja, as parcelas afetadas pela
fluência do concreto. Portanto, pode-se obter a flecha total no tempo infinito usando-se a
equação (3.22), para os valores tabelados f1, em condições normais descritas acima, da
seguinte forma:
f∞ = (1+αf).fi = f1 . [p∞ . a4 / (Ecs . h3)] (3.34)
com
p∞ = (1 + αf) . (g + ψ2 . q) (3.35)
Para o valor (1 + αf) = 2,46 e considerando-se edifícios residenciais ψ2 = 0,3, obtém-se:
p∞ = 2,46.(g + 0,3.q) = 2,46.g + 0,738.q (3.36)
3.6 – Prescrições de normas referentes às lajes
3.6.1 – Espessura mínima das lajes maciças
Segundo o item 13.2.4.1 da NBR-6118, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes
limites mínimos para a espessura h:
1. 5 cm para lajes de forro não em balanço;
2. 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;
3. 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 KN;
4. 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 KN;
5. 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, (l/42) para lajes de piso biapoiadas e
(l/50) para lajes de piso contínuas;
71
6. 16 cm para lisas e 14 cm para lajes-cogumelo (segundo o item 14.7.8 lajes-cogumelo são
lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas
nos pilares sem capitéis).
3.6.2 – Deslocamentos limites
Segundo o item 13.3 da NBR-6118, deslocamentos limites são valores práticos para
verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura. Esses valores
devem obedecer aos limites estabelecidos na tabela 13.2 da NBR-6118. Para o caso das lajes,
a flecha máxima em serviço quando atuar a totalidade das cargas deve ser l / 250, onde l é o
menor vão da laje retangular. Quando atuar apenas a carga acidental esse limite deve ser
considerado igual a l / 350. Para lajes em balanço o vão equivalente a ser considerado deve
ser o dobro do comprimento do balanço.
Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas,
entretanto a sua atuação isolada não pode ocasionar um desvio do plano da laje maior que
l / 350.
3.6.3 – Cobrimento nominal mínimo
Segundo o item 7.4.7.2 da NBR-6118, cobrimento nominal cnom é o cobrimento mínimo cmin
acrescido da tolerância de execução Δc, que para obras correntes deve ser maior ou igual a 10
mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da
variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor Δc = 5 mm, mas a
exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Nesse caso
permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais dados abaixo em 5 mm.
Segundo a tabela 7.2 da NBR-6118 a correspondência entre a classe de agressividade
ambiental (CAA) e o cobrimento nominal para lajes, com Δc = 10 mm, é dada a seguir:
CAA I cnom = 20 mm
CAA II cnom = 25 mm
CAA III cnom = 35 mm
CAA IV cnom = 45 mm
72
Para a face superior de lajes que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com
revestimentos finais secos do tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e
acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e
outros tantos, os cobrimentos acima podem ser substituídos pelo item 7.4.7.5 da NBR-6118,
respeitado um cobrimento nominal cnom ≥ 15 mm. Esse item da norma estabelece que o
cobrimento nominal de uma barra deve sempre ser maior que o diâmetro da barra (cnom ≥
φbarra).
3.6.4 – Vãos efetivos de lajes
Segundo o item 14.7.2.2 da NBR-6118, quando os apoios puderem ser considerados
suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela
seguinte expressão:
lef = l0 + a1 + a2 (3.37)
onde:
• l0 é o vão livre, ou seja, distância entre as faces dos apoios;
• a1 e a2 são em cada extremidade do vão o menor entre os valores: 0,3.h e t1/2
ou t2/2, com h a espessura da laje e ti o comprimento do apoio i.
3.6.5 – Aproximações para diagramas de momento fletor
Este é o item 14.7.6.2 da NBR-6118, que trata da compensação de negativos entre lajes
contíguas.
• Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas
podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos
momentos sobre os apoios de forma aproximada.
73
Na figura 3.5 está indicado esquematicamente o diagrama de momentos fletores de duas lajes
contíguas calculadas isoladamente no regime elástico e representado pelo diagrama tracejado
descontínuo. Os valores máximos dos momentos fletores sobre o apoio central são
respectivamente X1 e X2 para as lajes L1 e L2. Depois da compensação dos negativos o
diagrama final contínuo apresenta sobre o apoio central o valor Xfinal dado pelo maior entre os
valores:
0,8 . Xi,max
Xfinal ≥ (3.38)
Xmed = (X1 + X2) / 2
No caso de análise plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante alteração
das razões entre momentos de engaste e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de
valores equilibrados nos engastes;
Permite-se, simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo ao invés
de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre um apoio comum.
Devido a dificuldade de se fazer o procedimento iterativo nas lajes calculadas no regime
rígido-plástico, adota-se para essas o maior valor entre os dois sobre um mesmo apoio. Já
para as lajes calculadas no regime elástico deve-se adotar o valor Xfinal dado em (3.38).
No caso da laje L1 o momento positivo deve ser acrescido de ΔM ≈ 0,3.ΔX (fig. 3.5)
X2
X1 ΔX
Xfinal
Laje 1 Laje 2 Figura 3.5 – Compensação de negativos - regime elástico
ΔM ≈ 0,3.ΔX
74
3.6.6 – Armadura longitudinal mínima
Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras mínimas para lajes são os mesmos
dados para elementos estruturais lineares (item 17.3.5.1) da NBR-6118. Como as lajes
armadas em duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos
das armaduras positivas são reduzidos em relação aos dados para elementos lineares (vigas).
Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção, assim como controlar a
fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva, dados na tabela 3.4. Essa
armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas
soldadas.
Tabela 3.4 – Valores mínimos para armadura passivas em lajes
Tipo de armadura
Elementos estruturais sem armaduras ativas
Armaduras negativas
ρs ≥ ρmin
Armaduras positivas de lajes
armadas em duas direções
ρs ≥ 0,67 . ρmin
Armadura positiva (principal) de
lajes armadas em uma direção
ρs ≥ ρmin
Armadura positiva (secundária)
de lajes armadas em uma direção
As,séc ≥ 0,20 . As,princ
As,séc ≥ 0,9 cm2/m ρs ≥ 0,5 . ρmin
Onde:
ρs = As/(bw.h) (3.39)
Os valores de ρmin constam da tabela 17.3 da NBR-6118 (armadura mínima para vigas)
75
Tabela 3.5 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tab. 17.3 NBR-6118)
Seção
Valores de ρmin = As,min / Ac - %
(Superior CA-50 Inferior CA-60*)
fck
ωmin
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
0,150* 0,150* 0,150* 0,168* 0,192* 0,216* 0,240*
Os valores de ρmin estabelecidos na tabela 3.5 pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs =
1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor da taxa
mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, ωmin, dada por:
ωmin = As,min . fyd / (Ac . fcd) = (ρmin / 100) . (fyd / fcd) (3.40)
De (3.40) obtém-se o valor de ρmin em função da taxa mecânica mínima de armadura
longitudinal de flexão para vigas ωmin, dado por:
ρmin = 100 . ωmin . (fcd / fyd) ≥ 0,15% (3.41)
Para aço CA-60, γc = 1,4 e γs = 1,15, situação comum no dimensionamento de lajes, os
valores de ρmin são os mostrados na parte inferior da tabela 3.5. O valor mínimo da equação
(3.41) refere-se às vigas, ou seja, 0,15%, podendo-se no caso de momentos positivos em lajes
armadas em duas direções reduzir esse valor conforme a tabela 3.4 (0,67x0,15%=0,10%).
3.6.7 – Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes
• As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu
posicionamento durante a concretagem;
• Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a
h/8;
76
• As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no
máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desse dois valores na
região dos maiores momentos fletores;
• A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da
armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no
máximo 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de
emenda de barras da armadura principal.
3.6.8 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR-6120)
Quando forem previstas paredes divisórias,cuja posição não esteja definida no projeto, o
cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal de carga, quando não
for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, além dos demais carregamentos, uma
carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso
por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 KN/m2.
77
78
Tabela 3.6 – Peso específico de alguns materiais de construção
Materiais
Peso específico aparente
KN/m3
Rochas
Arenito
Basalto
Gneiss
Granito
Mármore e calcáreo
26
30
30
28
28
Blocos
artificiais
Blocos de argamassa
Cimento amianto
Lajotas cerâmicas
Tijolos furados
Tijolos maciços
Tijolos sílico-calcáreos
22
20
18
13
18
20
Revestimentos
e concretos
Argamassa de cimento, cal e areia
Argamassa de cimento e areia
Argamassa de gesso
Concreto simples
Concreto armado
19
21
12,5
24
25
Madeiras Pinho, cedro
Angico, cabriúva, ipê róseo
5
10
Metais
Aço
Alumínio e ligas
Bronze
Chumbo
78,5
28
85
114
Tabela 3.7 – Valores mínimos de carga vertical
Local Carga
KN/m2
1- Arquibancadas 4
2- Balcões Mesma carga da peça com a qual se comunica e as previstas para
parapeitos e balcões (ver adiante)
-
3- Bancos Escritórios e banheiros
Salas de diretoria e de gerência
2
1,5
4- Bibliotecas
Sala de leitura
Sala para depósito de livros
Sala com estantes de livro, a ser determinada em cada caso ou 2,5
kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de
2,5
4
6
5- Casa de
máquinas
(incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em caso, porém
com o valor mínimo de
7,5
6- Cinemas
Platéia com assentos fixos
Estúdio e platéia com assentos móveis
Banheiro
3
4
2
7- Clubes
Sala de refeição e assembléia com assentos fixos
Sala de assembléia com assentos móveis
Salão de danças e salão de esportes
Sala de bilhar e banheiro
3
4
5
2
8- Corredores Com acesso ao público
Sem acesso ao público
3
2
9- Cozinhas não
residenciais
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3
10- Depósitos A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais
conforme a tabela 1 da NBR-6120
-
11- Edifícios
residenciais
Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro
Despensa, área de serviço e lavanderia
1,5
2
12- Escadas Com acesso ao público 3
79
Sem acesso ao público 2,5
13- Escolas Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula
Outras salas
3
2
14- Escritório Salas de uso geral e banheiro 2
15- Forros Sem acesso a pessoas 0,5
16- Galerias de
arte
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3
17- Galeria de
lojas
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3
18- Garagens e
estacionamento
Para veículos de passageiros ou semelhante com carga máxima de
25 kN. Valores de φ indicados adiante
3
19- Ginásio de
esporte
5
20- Hospitais
Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, saal de cirurgia, sala
de raio X e banheiro
Corredor
2
3
21- Laboratórios Incluindo equipamentos, a ser determinada em cada caso, porém
com o mínimo de
3
22- Lavanderias Incluindo equipamentos 3
23- Lojas 4
24- Restaurantes 3
25- Teatros Palco
Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas
5
-
26- Terraços
Sem acesso ao público
Com acesso ao público
Inacessível a pessoas
Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas
pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica
3
2
0,5
-
27- Vestíbulo Sem acesso ao público
Com acesso ao público
1,5
3
80
• Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser considerados aplicadas, uma carga horizontal de
0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m.
• O valor do coeficiente ϕ de majoração das cargas acidentais a serem consideradas no projeto de
garagens e estacionamentos de veículos deve ser determinado do seguinte modo:
ϕ = 1,00 quando l ≥ l0
ϕ = l0 / l quando l ≤ l0
sendo l o vão de uma viga ou o menor vão de uma laje, com l0 = 3 m para o caso das lajes e l0 =
5m para o caso das vigas. O valor de ϕ não precisa ser considerado no cálculo das paredes e
pilares.
3.7 – Tabelas para cálculo de reações de apoio e momentos fletores
Tabela 8 – Coeficientes para cálculo das reações de apoio, conforme figura 3.4
R = r . (p.a)
Tabela 9 – Coeficientes para cálculo dos momentos fletores, regime rígido-plástico
M = (p.a2)/m X = 1,5 . M (se tiver!)
Tabela 10 – Coeficientes para cálculo da flecha elástica (Bares)
f = f1 . (p.a4) / (Ecs . h3)
Tabela 11 – Coeficientes para cálculo dos momentos fletores, regime elástico
M = (p.a2) / m X = (p.a2) / n
As tabelas 3.8 a 3.11 foram transcritas da apostila de Lajes do Prof. Tepedino.
81
Tabela 3.8 – Reações de apoio em lajes retangulares (Tepedino)
Tipo
de
laje
ra=0,25
r’a = 0,183
r’’a = 0,317
ra = 0,144
b/a rb ra r’b r’’b r’b r’’b rb r’a r’’a rb
0,50 - 0,165 0,125 0,217 - - 0,217 0,125 0,217 0,158 0,55 - 0,172 0,138 0,238 - - 0,238 0,131 0,227 0,174 0,60 - 0,177 0,150 0,260 - - 0,259 0,136 0,236 0,190 0,65 - 0,181 0,163 0,281 - - 0,278 0,140 0,242 0,206 0,70 - 0,183 0,175 0,302 - - 0,294 0,143 0,247 0,222 0,75 - 0,183 0,187 0,325 - - 0,308 0,144 0,249 0,238 0,80 - 0,183 0,199 0,344 - - 0,320 0,144 0,250 0,254 0,85 - 0,183 0,208 0,361 - - 0,330 0,144 0,250 0,268 0,90 - 0,183 0,217 0,376 - - 0,340 0,144 0,250 0,281 0,95 - 0,183 0,225 0,390 - - 0,348 0,144 0,250 0,292 1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303 1,05 0,262 0,183 0,238 0,413 0,192 0,332 0,363 0,144 0,250 0,312 1,10 0,273 0,183 0,244 0,423 0,200 0,346 0,369 0,144 0,250 0,321 1,15 0,283 0,183 0,250 0,432 0,207 0,358 0,374 0,144 0,250 0,329 1,20 0,292 0,183 0,254 0,441 0,214 0,370 0,380 0,144 0,250 0,336 1,25 0,300 0,183 0,259 0,448 0,220 0,380 0,385 0,144 0,250 0,342 1,30 0,308 0,183 0,263 0,455 0,225 0,390 0,389 0,144 0,250 0,348 1,35 0,315 0,183 0,267 0,462 0,230 0,399 0,393 0,144 0,250 0,354 1,40 0,321 0,183 0,270 0,468 0,235 0,408 0,397 0,144 0,250 0,359 1,45 0,328 0,183 0,274 0,474 0,240 0,415 0,400 0,144 0,250 0,364 1,50 0,333 0,183 0,277 0,479 0,244 0,423 0,404 0,144 0,250 0,369 1,55 0,339 0,183 0,280 0,484 0,248 0,429 0,407 0,144 0,250 0,373 1,60 0,344 0,183 0,282 0,489 0,252 0,436 0,410 0,144 0,250 0,377 1,65 0,348 0,183 0,285 0,493 0,255 0,442 0,413 0,144 0,250 0,381 1,70 0,353 0,183 0,287 0,497 0,258 0,448 0,415 0,144 0,250 0,384 1,75 0,357 0,183 0,289 0,501 0,261 0,453 0,418 0,144 0,250 0,387 1,80 0,361 0,183 0,292 0,505 0,264 0,458 0,420 0,144 0,250 0,390 1,85 0,365 0,183 0,294 0,509 0,267 0,463 0,422 0,144 0,250 0,393 1,90 0,368 0,183 0,296 0,512 0,270 0,467 0,424 0,144 0,250 0,396 1,95 0,372 0,183 0,297 0,515 0,272 0,471 0,426 0,144 0,250 0,399 2,00 0,375 0,183 0,299 0,518 0,275 0,475 0,428 0,144 0,250 0,401
O valor da reação é dado por: R = r . p.a a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.
C
A D
E B F
82
Tabela 3.9 – Momentos fletores, regime rígido-plástico (Tepedino)
Tipo
de
laje
b/a ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb
0,50 - - 122,1 50,9 - - 103,2 64,5 215,6 80,8 - - 0,55 - - 92,2 46,5 - - 81,4 61,6 161,2 73,2 - - 0,60 - - 72,6 43,6 - - 66,9 60,2 125,6 67,8 - - 0,65 - -- 59,2 41,7 - - 56,9 60,1 101,4 64,2 - - 0,70 - - 49,7 40,6 - - 49,7 60,8 84,2 61,9 - - 0,75 - - 42,7 40,1 - - 44,3 62,3 71,8 60,6 - - 0,80 - - 37,6 40,1 - - 40,3 64,5 62,5 60,0 - - 0,85 - - 33,6 40,5 - - 37,2 67,2 55,5 60,1 - - 0,90 - - 30,5 41,2 - - 34,8 70,4 50,0 60,8 - - 0,95 - - 28,1 42,3 - - 32,8 74,0 45,7 61,8 - - 1,00 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0 1,05 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2 1,10 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7 1,15 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6 1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7 1,25 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4 1,30 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6 1,35 14,8 27,0 19,2 58,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4 1,40 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4 1,45 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6 1,50 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9 1,55 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,8 76,4 1,60 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0 1,65 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8 1,70 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7 1,75 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8 1,80 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0 1,85 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 24,7 126,6 27,6 94,3 1,90 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7 1,95 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3 2,00 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0
O valor do momento fletor positivo é dado por: M = (pa2)/m
O momento fletor negativo na direção a ou b, se tiver, será dado por: Xi = 1,5 . Mi a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.
A
B
C
D
E F
83
Tabela 3.10 – Flecha elástica em lajes retangulares (Tepedino)
Tipo
de
laje
b/a f1 f1 f1 f1 f1 f1
0,50 - 0,0068 - 0,0062 0,0033 - 0,55 - 0,0090 - 0,0080 0,0045 - 0,60 - 0,011 - 0,0098 0,0058 - 0,65 - 0,014 - 0,012 0,0073 - 0,70 - 0,017 - 0,014 0,0090 - 0,75 - 0,020 - 0,015 0,011 - 0,80 - 0,022 - 0,017 0,012 - 0,85 - 0,025 - 0,019 0,014 - 0,90 - 0,028 - 0,020 0,015 - 0,95 - 0,030 - 0,021 0,017 - 1,00 0,048 0,033 0,025 0,023 0,018 0,015 1,05 0,053 0,035 0,027 0,024 0,020 0,016 1,10 0,057 0,037 0,029 0,024 0,021 0,018 1,15 0,062 0,039 0,032 0,025 0,022 0,019 1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020 1,25 0,071 0,043 0,036 0,027 0,024 0,021 1,30 0,075 0,044 0,038 0,027 0,025 0,022 1,35 0,079 0,046 0,040 0,028 0,026 0,023 1,40 0,083 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024 1,45 0,087 0,049 0,043 0,029 0,027 0,025 1,50 0,090 0,050 0,045 0,029 0,027 0,026 1,55 0,094 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027 1,60 0,097 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027 1,65 0,100 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027 1,70 0,103 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028 1,75 0,106 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028 1,80 0,109 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028 1,85 0,112 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029 1,90 0,114 0,056 0,052 0,030 0,029 0,029 1,95 0,116 0,057 0,054 0,030 0,029 0,029 2,00 0,119 0,058 0,055 0,030 0029 0,029
O valor da flecha é dada por: f = f1 . (p.a4) / (Ecs . h3) a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.
84
A
B
C
D
E
F
Tabela 3.11 – Momentos fletores, regime elástico (Tepedino)
Tipo
de
laje
b/a ma mb ma mb na ma mb na nb ma mb na ma mb na nb ma mb na nb
0,50 - - 119,0 44,1 32,8 - - - - 113,6 47,9 33,7 222,2 72,7 49,3 35,2 - - - - 0,55 - - 91,7 40,0 27,6 - - - - 88,5 44,8 28,6 161,3 64,3 40,5 30,7 - - - - 0,60 - - 74,1 37,2 23,8 - - - - 73,0 42,9 25,0 123,5 58,4 34,4 27,2 - - - - 0,65 - - 61,7 35,3 20,9 - - - - 60,2 42,0 22,2 99,0 54,3 29,8 24,6 - - - - 0,70 - - 52,1 34,1 18,6 - - - - 53,5 41,7 20,1 82,0 51,3 26,2 22,5 - - - 0,75 - - 45,2 33,4 16,8 - - - - 47,2 42,0 18,5 69,0 49,5 23,4 21,0 - - - - 0,80 - - 40,2 33,1 15,4 - - - - 42,9 43,0 17,3 59,2 48,4 21,2 19,7 - - - - 0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - - 0,90 - - 32,9 33,5 13,3 - - - - 36,5 45,7 15,5 47,4 48,0 18,1 18,7 - - - - 0,95 - - 30,3 33,9 12,5 - - - - 34,2 47,8 14,8 43,1 48,6 17,1 18,4 - - - - 1,00 23,6 23,6 28,2 34,4 11,9 37,2 37,2 14,3 14,3 32,4 49,8 14,3 39,7 49,5 16,2 18,3 49,5 49,5 19,4 19,41,10 20,0 23,6 25,1 36,2 10,9 31,3 37,4 12,7 13,6 29,9 54,7 13,5 34,8 52,3 14,8 17,7 41,3 50,4 17,1 18,41,20 17,4 23,7 22,8 38,6 10,2 27,4 38,2 11,5 13,1 28,0 61,5 13,0 31,6 56,5 13,9 17,4 34,8 53,0 15,6 17,91,30 15,5 24,2 21,2 41,4 9,7 24,6 40,0 10,7 12,8 26,7 67,2 12,6 29,4 61,6 13,2 17,4 32,7 56,4 14,5 17,61,40 14,1 25,0 20,0 44,4 9,3 22,6 41,8 10,1 12,6 25,8 75,0 12,3 27,9 68,0 12,8 17,4 30,1 60,7 13,7 17,51,50 13,0 25,7 19,1 47,3 9,0 21,1 44,4 9,6 12,4 25,3 83,9 12,3 26,7 74,1 12,5 17,5 28,3 67,3 13,2 17,51,60 12,1 26,8 18,4 51,4 8,8 20,0 48,2 9,2 12,3 24,8 93,0 12,1 25,9 81,4 12,3 17,7 27,1 73,7 12,8 17,51,70 11,4 27,9 17,8 55,8 8,6 19,2 52,4 9,0 12,3 24,4 101,8 12,0 25,3 88,7 12,1 17,9 26,1 82,4 12,5 17,51,80 10,9 28,8 17,4 59,4 8,4 18,5 56,1 8,7 12,2 24,2 110,2 12,0 24,9 99,6 12,0 18,0 25,5 88,2 12,3 17,51,90 10,5 30,4 17,1 63,0 8,3 18,0 60,2 8,6 12,2 24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,52,00 10,1 31,6 16,8 67,6 8,2 17,5 62,5 8,4 12,2 24,0 131,6 12,0 24,3 113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5
O valor do momento positivo e dado por:, M = pa2/m e do negativo por X = pa2/n
a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
A B C D E F
85
8 – Exemplos
Para a fôrma abaixo pede-se:
a) Calcular as reações de apoio e os momentos fletores (regime rígido-plástico) das lajes,
indicando-os em planta
b) Calcular a flecha final nas lajes L1 e L2
c) Calcular as armaduras e fazer o detalhamento das lajes
d) Fazer as letras a e c considerando o regime elástico
Dados:
Concreto fck = 20 MPa Aço CA-60 para as lajes
Edifício residencial
Revestimento = 1 kN/m2 sobrecarga = 2 kN/m2
Adotar φ = 5 mm para os momentos positivos e φ = 6,3 mm para os negativos
Solução
Peso próprio da laje: pp = (1 m)x(1 m)x(0,1 m)x(25 kN/m3) = 2,5 kN, ou seja, cada m2 de
laje pesa 2,5 kN. Portanto o pp da laje por m2 é pp = 2,5 kN/m2.
P1-20x20 -a- P2-20x20 V1b-20x40 P3-20x20
20
L1 L2 h=10
600
V4-
20x6
0
V5-
20x6
0
V3-
20x6
0
P4-20x20 P5-20x20 P3-20x20 V2b-20x40 -a-
20
20 200 20 400 20
Figura 3.6 – Fôrma do exemplo (planta – unidade - cm)
86
pp ⇒ 2,5 kN/m2 Carga acidental q = 2,0 kN/m2
Rev. ⇒ 1,0 kN/m2
Carga permanente g = 3,5 kN/m2 Carga total p = g+q = 5,50 kN/m2
a)Reações e momentos
Laje L1 6,2/2,2 > 2 ⇒ laje armada em uma direção
2,20 m
,20
m
6
De acordo a tabela 3.1, para laje apoiada-engastada no regime rígido plástico tem-se:
Ra = 0,387 x p.a = 0,387 x 5,5 x 2,2 ≈ 4,68 kN/m]
Re = 0,613 x p.a = 0,613 x 5,5 x 2,2 ≈ 7,42 kN/m
M = p.a2 / 13,33 = 5,5 x (2,2)2 / 13,33 ≈ 2,00 kN.m
X = 1,5.M = 1,5 x 2,00 ≈ 3,00 kN.m
Laje L2 laje tipo A (teoricamente essa laje poderia ser tipo B,
ou seja, engastada na continuidade com L1. Por nor-
ma a armadura negativa estende-se para cada lado
do apoio comum, 0,25 x 420 = 105 cm, que é menor
que o vão de L1 = 220 cm. Fazendo-se uma análise
numérica desse exemplo observa-se que o diagrama
de momentos fletores negativos de L2 para L1
estende-se praticamente à viga de contorno V3, o que justifica considerá-la como tipo A)
b/a = 6,2/4,2 = 1,48 p.a = 5,5 x 4,2 = 23,1 p.a2 = 5,5 x 4,22 = 97,02
Reações de apoio Na tabela 3.8 para laje tipo A, interpolando-se linearmente para
b/a=1,48, obtém-se:
ra = 0,250 rb = 0,331
Ra= 0,250 x 23,1 = 5,78 kN/m Rb= 0,331 x 23,1 = 7,65 kN/m
Momentos fletores Na tabela 3.9 para laje tipo A, interpolando-se linearmente para
b/a=1,48, obtém-se:
ma = 13,3 mb = 29,2
Ma = 97,02 / 13,3 = 7,29 kN.m Mb = 97,02 / 29,2 = 3,32 kN/m
a = 4,2 m
b =
6,2
m
87
Xa = Xb = 0 (não há engaste nas direções a e b)
Os valores das reações de apoio e dos momentos fletores estão indicados na figura 3.7. Os
valores dos momentos foram indicados em planta na direção correspondente a armadura a ser
calculada para combatê-los.
b) Cálculo da flecha
Laje L1
Como a laje é armada em uma direção, segundo a equação (3.19), para K=2 (laje apoiada-
engastada) tem-se para a flecha imediata:
fi = K .pi . a4 / 384 . (E.I)eq com pi = g + ψ2 . q
o valor de (E.I)eq vai depender se em situação de serviço a laje L1 estará no estádio I ou no
estádio II. Para isso, deve-se calcular o valor de Mserv dado pela equação (3.15), lembrando-se
que para obras residenciais ψ2 = 0,3:
Mserv = Mg + ψ2 . Mq = (3,5 + 0,3 x 2) x 2,22/13,33 = 1,49 kN.m = 149 kN.cm
Pela equação (3.18) determina-se o valor do momento de fissuração para as lajes:
Mr = 150.fctm . h2 / 6 fctm = 0,3 x (20)2/3 = 2,21 MPa = 0,221 kN/cm2
4,68
7,42
5,78
7,65
7,6
5
2,00
3,00
7,293,
32
5,78
Figura 3.7 – Reações e momentos indicados em planta
88
Mr = 150 x 0,221 x 102 / 6 = 553 kN.cm
Mr > Mserv = 149 kN.cm ⇒ estádio I, portanto:
EIeq = Ecs . Ic Ecs = 0,85 x 5600 x (20)1/2 = 21287 MPa = 2129 kN/cm2
EIeq = 2129 x 100 x 103 / 12 = 1,774 x 107 kN.cm2
fi = 2 x (3,5 x 10-2 + 0,3 x 2 x 10-2) x (220)4 / (384 x 1,774 x 107) = 0,03 cm
De acordo equação (3.34), com αf = 1,46 obtém-se para a flecha no tempo infinito:
f∞ = (1+αf).fi = 2,46 x (0,03) = 0,074 cm
Laje L2
Ma,serv = Mg + ψ2 . Mq = (3,5 + 0,3 x 2) x (4,2)2 / 13,3 = 5,44 kN.m = 544 kN.cm
Mr = 553 kN.cm > Ma,serv = 544 kN.cm estádio I
De (3.36) p∞ = 2,46 . (g + 0,3 . q) = (2,46 x 3,5 + 0,738 x 2) x 10-4 = 10,09 x 10-4 kN/cm2
De (3.34) com f1 = 0,089 obtido interpolando-se na tabela 3.10, para laje tipo A e relação
b/a = 1,48 , obtém-se:
f∞ = 0,089 x 10,09 x 10-4 x (420)4 / (2129 x 103) = 1,31 cm < l/250 = 420/250 = 1,68 cm ok!
c) Cálculo das armaduras e detalhamento
seção retangular bw.h = 100 x 10 cm2, com d = h – 2,5 = 7,5 cm
fc=σcd = 0,85 x 2 / 1,4 = 1,21 kN/cm2, fyd = 60/1,15 = 52,17 kN/cm2 ,K = Md / fc . b . d2) ⇒ As
M (kN.cm) K
(Kl = 0,211)*
As (cm2/m) φ a c/
729 0,149 2,84 φ 6,0 c/ 10 cm
332 0,068 1,23** φ 5,0 c/ 16 cm
300 0,061 1,11 (1,50)*** φ 6,0 c/ 16 cm****
200 0,041 0,73 (1,50)*** φ 5,0 c/ 13 cm
* De acordo o item 14.7.4 da NBR 6118, quando a análise dos esforços no ELU for realizada
através da teoria das charneiras plásticas (caso do regime rígido-plástico), para garantia de
89
condições apropriadas de dutilidade, dispensa-se a verificação explícita da capacidade de
rotação plástica, se a posição da linha neutra for limitada em (x/d) ≤ 0,30, o que implica em
um valor de Kl = 0,211.
As,min = ρs x 100 x 10
De (3.41) ρmin = 100 . ωmin . (fcd / fyd) = 100 x 0,035 x [(2/1,4) / (60/1,15)] = 0,096%
Como deu menor, adota-se ρmin = 0,15% (valor dado na tab. 3.5)
** Para momento positivo em laje armada em duas direções ρs = 0,67 . ρmin = 0,10%
As,min** = 0,10% x 100x 10 = 1,0 cm2/m 1,23 > 1,00
*** Para momentos, negativo em geral e positivo em laje armada em uma direção, ρs = ρmin =
0,15%
As,min*** = 0,15% x 100x 10 = 1,5 cm2/m
**** Optou-se por uma bitola de 6,0 mm por ser armadura negativa
espaçamento máximo smax = 2h = 20 cm
As,sec = 0,2 x As,princ = 0,2 x 0,73 = 0,15 cm2/m < 0,9 cm2/m (tab. 4) φ 5,0 c/ 22 cm <
33 cm ok!
N1 – 47 φ 5,0 c/ 13 - 235
N3 – 60 φ 6,0 c/10 - 435
N4 – 34 φ 6,0 c/18 - 125 8
Figura 3.8 – Desenho de armação, regime rígido-plástico
N2
-10 φ
5,0
c/22
- 63
5
25 N
2 c/
16
8
109
55
90
O detalhamento da posição N4 é feito da seguinte forma:
Comprimento reto l1 / 4 para cada lado do eixo do apoio, onde l1 é o vão da laje L1.
l1 / 4 = 220/4 = 55 cm
Dobras o comprimento da dobra é h-c = 10 – 2 = 8 cm
O comprimento total é: 2 x (55 + 8) = 126 cm.Adotou-se 125 cm por ser múltiplo
de 5 cm.
Lista de ferros
N φ (mm) Quant. Comp. (cm)
1 5 47 235
2 5 35 635
3 6 60 435
4 6 34 125
Resumo CA-60
φ Comp. (m) Peso (kgf)
5 333 53
6,3 304 68
Total 121
Consumo 121/4,22 = 29 kg/m3
d) Regime elástico
As lajes são as mesmas das letras a e c, mudando-se apenas para a tabela 3.11, no cálculo da
laje L2.
Laje L1 pela tabela 3.1, para laje apoiada-engastada no regime elástico tem-se:
M = p.a2./.14,22 = 5,5 x 2,22 / 14,22 = 1,87 kN.m
X = p.a2 / 8 = 5,5 x 2,22 / 8 = 3,33 kN.m
Ra = 0,375 . p.a = 0,375 x 5,5 x 2,2 = 4,54 kN/m
Re = 0,625 . p.a = 0,625 x 5,5 x 2,2 = 7,56 kN/m
Laje L2 As reações de apoio são as mesmas já calculadas
Ra= 0,250 x 23,1 = 5,78 kN/m Rb= 0,331 x 23,1 = 7,65 kN/m
Para os momentos fletores deve-se usar a tabela 3.11, para a relação b/a = 1,48 e laje tipo A,
que depois de interpolado fornece:
ma = 13,9 com pa2 = 97,02 tem-se: Ma = 97,02/13,9 = 6,98 kN.m
mb = 25,6 Mb = 97,02/25,6 = 3,79 kN.m
91
Compensação de negativos entre L1 e L2
Como só L1 está engastada bastaria apenas considerar 0,8 Xmax
Xmed = (3,33 + 0,00) / 2 = 1,67 kN.m
0,8 . Xmax = 0,8 x 3,33 = 2,66 kN.m X = 2,66 kN.m
Compensação do positivo da L1
M = 1,87 + 0,3 x (3,33 – 2,66) = 2,07 kN.m
Para o dimensionamento de lajes no regime elástico, Kl = 0,32 para fck ≤ 35 MPa
Kl = 0,269 para fck >35 MPa
M (kN.cm) K As (cm2/m) φ a c/
698 0,143 2,71 > 1,00 φ 6,0 c/ 10 cm
379 0,078 1,41 > 1,00 φ 5,0 c/ 14 cm
266 0,055 0,98 < (1,50)*** φ 6,0 c/ 18 cm****
207 0,042 0,76 <(1,50)*** φ 5,0 c/ 13 cm
N1 – 47 φ 5,0 c/ 13 - 235
N3 – 60 φ 6,0 c/10 - 435
N4 – 34 φ 6,0 c/18 - 125
N2
-10 φ
5,0
c/22
- 63
5
8 8
109
29 N
2 c/
14
55
Figura 9 – Desenho de armação, regime elástico
92
A posição N4 ficou a mesma do regime rígido-plástico.
Lista de ferros
N φ (mm) Quant. Comp. (cm)
1 5 47 235
2 5 39 635
3 6 60 435
4 6 34 125
Resumo CA-60
φ Comp. (m) Peso (kgf)
5 606 96
6 132 30
Total 126
Consumo = 125/4,22 = 30 kg/m3
Obs.: Tanto no regime rígido-plástico quanto no plástico a ferragem negativa pode ser
alternada. Já as positivas nunca poderão ser alternadas no regime plástico, pois pressupõe-se
momento de plastificação positivo constante. No regime elástico as armaduras positivas podem
também ser alternadas, usando-se em termos práticos os valores 0,85 . L, 0,80 . L e 0,75 . L
para lajes respectivamente engastadas-engastadas, engastadas-apoiadas e apoiadas-apoiadas,
onde L é o vão da laje onde se está alternando a armação. Pode-se simplificadamente adotar
um valor médio único de 0,80 . L para as três condições de contorno acima.
93
Capítulo 4 - CONTROLE DA FISSURAÇÃO
4.1 – Introdução
A fissuração é um fenômeno inevitável no concreto armado (não protendido), devido à baixa
resistência do concreto à tração, normalmente desprezada no projeto. Mesmo sob as ações de
serviço (utilização), valores críticos de tensões de tração no concreto são atingidos e visando
um melhor desempenho na proteção das armaduras contra a corrosão e uma aceitabilidade
sensorial dos usuários, devem-se controlar adequadamente as aberturas das fissuras, dentro de
valores pré-estabelecidos de acordo com a classe de agressividade ambiental – CAA (tabela
4.1).
Tabela 4.1 – Classes de agressividade ambiental
Classe de
agressividade
ambiental
Agressividade Classificação geral do tipo de
ambiente para efeito de projeto
Risco de
deterioração da
estrutura
I
Fraca
Rural Insignificante
Submersa
II
Moderada
Urbana
Pequeno
III
Forte
Marinha
Grande Industrial
IV
Muito forte
Industrial
Elevado Respingos de maré
Segundo o Prof. Tepedino, “De uma maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que
respeitem os limites dados na tabela 4.2, em estruturas bem projetadas, construídas e
submetidas às cargas previstas na normalização, não denotam perda de durabilidade ou perda
de segurança quanto aos estados limites últimos.
94
As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica ou devido a
reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo ser evitadas ou limitadas
por cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço e na cura do concreto”.
A fissuração inevitável não deve prejudicar a estética (sensibilidade sensorial dos usuários),
nem sua estanqueidade, quando requerida, além de não comprometer a proteção da armadura
contra a corrosão.
Segundo Tepedino “as aberturas máxima das fissuras, que se pode admitir sem detrimento à
aparência de uma peça e sem acarretar sentimentos de alarma, depende da posição,
profundidade, textura superficial e condições de iluminação das mesmas. Fatores tais como o
tipo e a finalidade da estrutura, bem como o próprio ponto de vista dos usuários e seu
condicionamento psicológico face ao problema, influem decisivamente na fixação de limites
de aceitabilidade das fissuras, sob o aspecto estético.A máxima abertura que em quaisquer
condições jamais causaria impacto psicológico está provavelmente compreendida entre 0,2
mm a 0,4 mm.”
Segundo a NBR-6118 (2003),desde que a abertura máxima característica wk das fissuras não
exceda valores da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, conforme a tabela 4.2 sob ação das
combinações freqüentes, isso não contribui significativamente na corrosão das armaduras
passivas.
Tabela 4.2 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e proteção da
armadura, em função das classes de agressividade ambiental.
Tipo de concreto
estrutural
Classe de
agressividade
ambiental (CAA)
Exigências relativas à
fissuração
Combinações de
ações em serviço a
utilizar
Concreto simples CAA I a CAA IV Não há -
Concreto armado
CAA I ELS-W wk ≤ 0,4 mm
Combinação
freqüente CAA II a CAA III ELS-W wk ≤ 0,3 mm
CAA IV ELS-W wk ≤ 0,2 mm
95
Embora as estimativas de abertura de fissuras feitas a seguir devam respeitar os limites da
tabela 4.2, não se deve esperar que as aberturas de fissuras reais correspondam aos valores
estimados, ou seja, fissuras reais podem ultrapassar eventualmente esses limites.
A estanqueidade é dos aspectos mais importantes nos projetos de reservatórios. Ela pode ser
bastante prejudicada por fissuração além de certo limite, além disso, a percolação de água
acarreta corrosão da armadura. Neste caso pode até ser necessário verificar-se o estado limite
de formação de fissuras.
Segundo a NBR-6118 (2003) entende-se controle da fissuração quanto a aceitabilidade
sensorial, a situação em que as fissuras passa a causar desconforto psicológico aos usuários,
sem entretanto comprometer a segurança da estrutura. Limites mais severos de abertura de
fissuras podem ser adotados, de comum acordo com o contratante, devendo-se, porém o
mesmo ser alertado do possível aumento significativo do custo da estrutura.
4.2 – Tipos de fissuras
As fissuras podem ser classificadas em dois grupos conforme elas sejam ou não produzidas
pela ação de cargas:
4.2.1 – Fissuras não produzidas por cargas
• Fissuras devidas ao abatimento do concreto ainda plástico.
• Fissuras devidas a alterações volumétricas (retração e efeitos térmicos),
desde que a peça esteja restrita.
• Fissuras devidas à corrosão das armaduras.
4.2.2 – Fissuras produzidas por cargas
96
4.3 – Estado limite de fissuração
4.3.1 - Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das fissuras
O item 17.3.3 da NBR-6118 estabelece as condições necessárias para a verificação dos
valores limites para abertura das fissuras (tabela 4.2) nos elementos estruturais lineares,
analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme o item 11, dessa
mesma norma.
O valor final da abertura das fissuras pode sofrer a influência de fatores de difícil
determinação, como por exemplo, as restrições às variações volumétricas e também a das
condições de execução da estrutura. Por essas razões os critérios definidos a seguir, devem ser
encarados como uma avaliação aceitável para o comportamento geral da estrutura, mas não
garantem com precisão a abertura específica de uma fissura.
Para cada elemento isolado ou grupo de elementos da armadura passiva que controlam a
fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de
envolvimento, formada por um retângulo cujos lados não distam mais que 7,5φ do eixo do
elemento da armadura, conforme mostrado na figura 4.2.
Tração
Flexão
Cisalhamento
Figura 4.1 – Fissuras produzidas por cargas
97
A abertura estimada da fissura, w, determinada para cada parte da área de envolvimento, é a
menor entre as obtidas pelas expressões abaixo:
ctm
si
si
si
1
i
f3σ
Eσ
12,5ηφw = (4.1)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 45
ρ4
Eσ
12,5ηφ
wrisi
si
1
i (4.2)
7,5φi
Onde:
• φi, σsi , Esi são definidos para cada área de envolvimento em exame;
• Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;
• Esi é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada;
• ρri é a taxa de armadura passiva em relação à área da região de envolvimento Acri;
• σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no
estádio II;
• η1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada.
• fctm é o valor da resistência média ou característica do concreto à tração daa por:
fctm = 0,3 . fck(2/3) (4.3)
Linha neutra
Região de envolvimen- to de φi com área Acri
φi
7,5φi
Figura 4.2 – Concreto de envolvimento da armadura
98
O coeficiente de conformação superficial η1 é dado na NBR6118 na seção 8.3,cujos valores
estão apresentados na tabela 4.3 abaixo:
Tabela 4.3 – Coeficientes de conformação superficial
Tipo de barra Coeficiente de conformação superficial
ηb η1
Lisa (CA 25) 1,0 1,0
Entalhada (CA 60) 1,2 1,4
Alta aderência (CA 50) ≥ 1,5 2,25
4.3.1.1 – Cálculo da tensção σsi de forma aproximada (Tepedino)
A tensão σsi deve ser calculada no estádio II, ou seja, o diagrama de tensões de compressão no
concreto linear, desprezando-se as tensões de tração. Uma maneira de se obter de forma
simples e aproximada essa tensão é segundo o prof. Tepedino:
se
cals,
f
ydsi A
Aγf
σ = (4.4)
onde fyd é a tensão de cálculo ao escoamento da armadura, As,cal e Ase são respectivamente, as
armaduras de tração calculada e efetivamente colocada ou existente na seção transversal que
se está verificando a fissuração. O coeficiente γf de ponderação das ações pode ser obtido de
forma aproximada (combinação freqüente, obra residencial ψ1=0,4) como:
1,70,82S1,4S
0,3S0,40,7S0,4SS1,4S)S1,4(S
SqkψS1,4S1,4S
SS
γqkgk
qkgk
11gk
qkgk
serv
df ≅=
×+=+
=+=
+
+==
1
(4.4a)
A área total interessada na fissuração Acr pode ser obtida pelo somatório das áreas de
envolvimento Acri de cada barra tracionada e, portanto a taxa total ρr pode também ser dada
como o somatório das taxas da armadura ρri envolvida em cada área Acri. Assim:
Acr = ∑ Acri (4.5)
99
ρr = ∑ ρri = Ase / Acr (4.6)
Analogamente
ρr,cal = As,cal / Acr (4.7)
Como conseqüência a equação 4.4 pode ser reescrita:
r
calr,
f
ydsi ρ
ργf
σ = (4.8)
Levando-se a equação (4.8) nas expressões das aberturas w estimadas de fissuras, equações
(4.1) e (4.2), e substituindo w por wk (aberturas limites de fissuras), obtém-se duas novas
equações onde a única incógnita será a relação (ρrcal / ρr), ou inversamente (ρr /ρrcal) = (As
/As,cal). Como para calcular a abertura estimada, adota-se o menor valor de w, agora para
atender a fissuração para o valor limite wk, será adotada a menor relação (As /As,cal),
lembrando-se que em nenhuma hipótese essa relação poderá ser menor que 1. Do exposto
vem:
ctm
r
calr,
f
yd
si
r
calr,
f
yd
1
ik f
ρρ
γf
3
Eρρ
γf
12,5ηφw
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= (4.9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 45
ρ4
Eρρ
γf
12,5ηφw
rsi
r
calr,
f
yd
1
ik (4.10)
Reescrevendo-se a equação (4.9) para (ρr /ρr,cal) = (As /As,cal) e fazendo-se conforme
Tepedino:
ksif1
ydiw wEγ12,5η
fφa = (4.11)
tem-se:
100
2
s
cals,
ctmf
ydw
AA
fγf3a
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (4.12)
Portanto a primeira relação entre as áreas efetivamente colocada e calculada fica:
1fγf3a
AA
ctmf
ydw
cals,
s ≥= (4.13)
Analogamente reescrevendo-se a equação 4.10 em função de aw, obtém-se:
( )r2r
calr,w
rr
calr,w 45ρ4
ρρ
a45ρ4
ρρ
a1 +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= (4.14)
Resolvendo-se a equação acima do segundo grau em ρr, obtém-se o valor possível para ρr:
( ) calr,w2
calr,wcalr,wr ρ4aρ22,5aρ22,5aρ ++= (4.15)
ou
( ) 1ρ4a22,5a22,5a
AA
ρρ
calr,
w2ww
cals,
s
calr,
r ≥++== (4.16)
Para atender a fissuração deve-se adotar a menor relação obtida nas equações (4.13) e (4.16).
Caso uma delas inicialmente dê um número menor que 1, significa que a armadura já
calculada à flexão As,cal, atende à fissuração e portanto naturalmente não precisa achar a outra
relação. Não se pode adotar uma relação menor que 1, o que significaria usar uma armadura
inferior àquela calculada à flexão, atendendo aos requisitos do estado limite último.
Particularizando a verificação da fissuração para aço CA 50, o valor de aw dado na equação
(4.11) fica:
kf
i5w Wγ
φ107,361a −×= (4.17)
As equações (4.15) e (4.16) são as mesmas da formulação do Prof. Tepedino, com o valor de
101
aw atualizado pelas novas prescrições da NBR-6118.
4.3.1.2 – Cálculo da tensção σsi no Estádio II
A tensão de serviço σsi, foi calculada no item anteriore com o valor aproximado dado pela
equação (4.4). Essa tensão será calculada agora, como recomenda a NBR-6118, ou seja, no
estádio II. Para isso seja a figura 4.3, onde uma seção transversal está apresentada com sua
armadura de compressão A’s e de tração As, assim como a profundidade da linha neutra no
estádio II, xII.
αeA’s
Da Resistência dos Materiais deve-se inicialmente homogeneizar a seção, normalmente pelo
material com menor módulo de elasticidade, no caso o concreto, usando a seguinte relação
entre os módulos:
αe = Es / Ecs (4.18)
Em seguida obtém-se a profundidade da linha neutra xII, que passa pelo centro geométrico da
seção homogeneizada, igualando-se por definição de CG, o momento estático das áreas acima
da LN (b.xII e αeA’s) com o da área abaixo (αeAs).
d’ xII
d
αeAs b
Figura 4.3 – Seção fissurada (estádio II)
102
Dessa forma vem:
(b.xII).xII / 2 - A’s.(xII-d’) + αe.A’s.(xII-d’) = αe.As.(d-xII) (4.19)
O segundo termo de (4.19) refere-se ao momento estático da área A’s que está sendo retirado
do momento estático da área de concreto comprimido, que já o contempla. O terceiro termo é
o momento estático da área homogeneizada αe.A’s em relação a LN. Esses dois termos
reunidos dão:
(αe – 1).(xII – d’) = α’e . (xII – d’) com α’e = αe – 1 (4.20)
Levando-se (4.20) em (4.19) obtém-se a seguinte equação do segundo grau em xII:
(b/2)xII2 + (αeAs + α’eA’s)xII – (αeAsd + α’eA’sd’) = 0 (4.21)
que depois de resolvida fornece:
BAAx 2II ++−= (4.22)
Com
A = (αeAs + α’eA’s) / b (4.23)
B = 2 . (αeAsd + α’eA’sd’) / b (4.24)
( ) ( 2IIse
2IIse
3II
II xdAαd'xA'α'3
bxI −+−+= ) (4.25)
As fórmulas (4.22) a (4.25) são as mesmas, deduzidas de forma análoga, encontradas na
apostila de Deformações do Prof. Tepedino.
As tensões no concreto e nas armaduras são as tensões no estádio II, dadas por:
IIII
c xIMσ = (4.26)
103
( d'xIMασ' II
IIes −= ) (4.27)
( IIII
esi x-dIMασ = ) (4.28)
4.3.2 – Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras
Para dispensar a avaliação da grandeza da abertura de fissuras e atender ao estado limite de
fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o concreto armado e
0,2mm para o concreto com armaduras ativas), um elemento estrutural deve ser dimensionado
respeitando as restrições da tabela 4.4 quanto ao diâmetro máximo (φmax) e ao espaçamento
máximo (smax) das armaduras, bem como as exigências de cobrimento e de armadura mínima.
A tensão σs deve ser determinada no estádio II.
Tabela 4.4 – Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência.
Tensão na
barra
Valores máximos
Concreto sem armaduras ativas Concreto com armaduras ativas
σs (MPa) φmax (mm) smax (cm) φmax (mm) smax (cm)
160 32 30 25 20
200 25 25 16 15
240 16 20 12,5 10
280 12,5 15 8 5
320 10 10 6 -
360 8 6 - -
104
4.4 – Exemplos
4.4.1 – Exemplo 1
Estimar o valor da abertura de fissura para uma viga de seção retangular 20X40 cm2, fck = 20
MPa, aço CA 50, momento fletor solicitante M = 4000 kN.cm, obra urbana, para as seguintes
bitolas:
a) φ = 16 mm
b) φ = 12,5 mm
c) φ = 10 mm
Cálculo da armadura de flexão
Para fck = 20 MPa, σcd = fc = 1,21 kN/cm2 ⇒ k = 4000X1,4 / (1,21 . 20 . 362) = 0,178
Como k< kl = 0,32 ⇒ Ascal = 3,97 cm2 2 φ 16 mm (4,0 cm2)
4 φ 12,5 mm (5,0 cm2)
5 φ 10 mm (4,0 cm2)
• * o valor correto para essa distância seria o cobrimento c do concreto, mais
o diâmetro do estribo, mais a metade do diâmetro da barra longitudinal. Como para o cálculo
12 4*
Acr Acr
9,375 4*
7,5 4*
4* 6** 4* 4** 4* 3** Figura 4.4 – Detalhamento da seção transversal para as 3 opções do exemplo 1
105
• ** caso houvesse espaço esses valores seriam 7,5 .φ, respectivamente 12
cm, 9,375 cm e 7,5 cm para os diâmetros φ=16 mm, φ=12,5 mm e φ=10 mm.
Os valores de Acr, ρr e σs (aproximado) para as 3 opções de detalhamento são:
para φ = 16 mm Acr = 20x16 = 320 cm2 ρr = 4/320 = 0,0125
σs = (43,5/1,7)x(3,97 /4) = 25,40 kN/cm2
para φ = 12,5 mm Acr = 20x13,375 = 267,5 cm2 ρr = 5/267,5 = 0,0187
σs = (43,5/1,7)x(3,97 /5) = 20,32 kN/cm2
para φ = 10 mm Acr = 20x11,5 = 230 cm2 ρr = 4/230 = 0,0174
σs = (43,5/1,7)x(3,97 /4) = 25,40 kN/cm2
Assim para fctm = 0,3x(20)(2/3) = 2,21 MPa = 0,221 kN/cm2 tem-se:
a) φ = 16 mm
w1 = (16/(12,5x2,25))x(3x25,402)/(21000x0,221) = 0,237 mm
w2 = (16/(12,5x2,25))x(25,40/21000)x(4/0,0125+45) = 0,251 mm
Adota-se o menor, portanto a abertura estimada de fissura para φ = 16 mm é de 0,237 mm.
b) φ = 12,5 mm
w1 = (12,5/(12,5x2,25))x(3x20,322)/(21000x0,221) = 0,119 mm
w2 = (12,5/(12,5x2,25))x(20,32/21000)x(4/0,0187+45) = 0,111 mm
Adota-se o menor, portanto a abertura estimada de fissura para φ = 12,5 mm é de 0,111 mm.
106
c) φ = 10 mm
w1 = (10/(12,5x2,25))x(3x25,402)/(21000x0,221) = 0,148 mm
w2 = (10/(12,5x2,25))x(25,40/21000)x(4/0,0174+45) = 0,118 mm
Adota-se o menor, portanto a abertura estimada de fissura para φ = 10 mm é de 0,118 mm.
Como a obra é urbana, CAA II ⇒ wk ≤ 0,3 mm, todas as 3 bitolas verificam a fissuração.
Caso esse exemplo fosse feito com γf=1,4, os valores estimados das aberturas de fissuras
seriam wk=0,305 mm, wk=0,135 mm wk=0,143 mm, respectivamente para as bitolas de
16mm, 12,5 mm e 10 mm.
4.4.2 – Exemplo 2
Com os mesmos dados do exemplo 1, verificar a fissuração para a bitola φ = 12,5 mm, usando
agora as fórmulas (4.13) e (4.16).
Como foi visto no exemplo 1, a bitola de 12,5 mm atende à fissuração para uma abertura
limite de 0,3 mm para as duas equações de cálculo estimado de fissuras. Portanto ao se fazer a
verificação pelas fórmulas (4.13) e (4.16), em ambas, a relação de áreas calculada e existente
tem que dar menor que 1, embora não se possa adotar finalmente esta relação menor que 1,
para atender ao ELU de flexão.
Para γf = 1,7, aço CA 50 ⇒ aw = 7,361x10-5.φi/γf.wk = 7,361x10-5x12,5/1,7x0,3 = 1,804 x 10-3
ρr,cal = As,cal / Acr = 3,97 / 267,5 = 0,0148 = 1,48 %
(As/As,cal) = (3.aw . fyd /(γf . fctm))(1/2) = ( 3 x 1,804x10-3 x 43,5 /(1,7 x 0,221))(1/2)
(As/As,cal) = 0,79 ⇒ (As/As,cal) = 1
A verificação poderia parar aqui, sem precisar usar a segunda equação (4.16), uma vez que se
deve adotar a menor relação (As/As,cal). Com o intuito apenas de checar a outra relação que
devido aos resultados do exemplo anterior sabe-se que também tem que dar menor que 1, será
usada agora a equação (4.16). Assim:
107
(As/As,cal) = 22,5 . aw + ((22,5 . aw)2 + 4.aw / ρrcal)(1/2)
(As/As,cal) = 22,5 x 1,804 x 10-3 + ((22,5 x 1,804 x 10-3)2 + 4 x 1,804x10-3 / 0,0148)(1/2)
(As/As,cal) = 0,74 ⇒ (As /Ascal) = 1
Portanto As = As,cal = 3,97 cm2 ⇒ 4 φ 12,5 mm = 5 cm2
4.4.3 – Exemplo 3
Verificar a fissuração para uma viga bi-apoiada com 6m de vão, carga total p = 40 kN/m,
sendo a carga permanente g = 28 kN/m e a acidental q = 12 kN/m, seção de 20x60 cm2,
concreto fck = 20 MPa, aço CA 50, destinada a edifício residencial com revestimento de
argamassa e pintura. Adotar φ = 20 mm.
Obra urbana (CAA II) ⇒ wk = 0,3 mm Cobrimento ⇒ c = 3 cm
Como é ambiente interno e seco e ,além disso, ainda tem revestimento, pode-se de acordo
com a tabela 6.1 da NBR-6118 admitir um micro clima com uma classe de agressividade mais
branda (um nível acima) ou seja CAA I, e portanto o cobrimento nominal a ser adotado será
2,5 cm, conforme a tabela 7.2 da NBR-6118. Assim para o cálculo à flexão será adotada uma
altura útil:
d = h –c - φestribo - (0,5 . φlongitudinal) = 60 - 2,5 – 0,5 – 0,5 x 2 = 56 cm
Cálculo à flexão
σcd = fc = 0,85 x 2 / 1,4 = 1,21 kN / cm2
M = 40 x 62 / 8 = 180 kN.m = 126 (Mg) + 54 (Mq)
k = 18000 x 1,4 / (1,21 x 20 x 562) = 0,331 > kl = 0,32
As1 = (1,21 x 20 x 56 / 43,5) x (1 – 2 x 0,32)(1/2) = 12,51 cm2
As2 = (1,21 x 20 x 56 / 43,5) x (0,331 – 0,32) / (1 – 4 / 56) = 0,37 cm2
________
As = 12,88 cm2
108
n barras = 12,88 / 3,142* = 4,1 ⇒ 5 φ 20 mm Ase = 15,71 cm2
* valor da área nominal do φ = 20 mm em cm2, segundo a NBR 7480(ver tabela 1.3
dessa publicação, pág. 15)
A’s = As2 = 0,37 cm2 2 φ 5 mm (0,392 cm2) ⇒ (tabela 1.3)
Cálculo do valor γf
γf = Fd / Fd,serv = Md / Md,serv
Segundo as tabelas 11.1 (tabela 1.4, pág. 22) e 11.3 da NBR-6118 a combinação última
normal no ELU é dada por:
Md = γg . Mgk + γq . Mqk = 1,4 x 126 + 1,4 x 54 = 252 kN.m
Para combinação freqüente (ELS – w ,estado limite de serviço correspondente à abertura de
fissuras) segundo a tabela 11.4 da NBR 6118, tem-se:
Md,serv = Mg,k + ψ1 . Mq1k = 126 + 0,4 x 54 = 147,6 kN.m
Portanto γf = 252 / 147,6 = 1,707 ≈ 1,71
De qualquer forma o valor final de Md é sempre 252 kN.m, ou seja:
Md = 1,4 x 180 = 1,71 x 147,6 = 252 KN.m
Verificação da fissuração
cálculo de Acr
bútil = b – 2.(c + φest.) = 20 – 2 x (2,5 + 0,5) = 14 cm
109
De acordo ao item 2.4.4, página 52 dessa publicação, o espaçamento mínimo livre entre as
faces das barras longitudinais desse exemplo ah = av = 2 cm, portanto o número máximo de
barras de 20 mm em uma só camada será:
n barras/camada ≤ ( bútil + ah ) / ( ah + φlong. ) = (14 + 2) / (2 + 2) = 4 ⇒ 4 barras/camada
av
2 φ 5 mm
5 φ 20 mm
Acr
A armadura conforme detalhada na fig. 4.5 mostra que o valor correto de d é:
dcor = h – d``, com d`` = (4 x 4 + 1 x 8) / 5 = 4,8 cm ⇒ dcor = 60 – 4,8 = 55,2 cm
Δd = d-dcor = 56-55,2 = 0,8 cm < 5%h = 3 cm ⇒ não é necessário redimensionar
Conforme a fig. 4.5, tem-se:
Acr = 20 x (8 + 15) = 460 cm2 ⇒ ρr,cal = 12,88 / 460 = 0,028 = 2,8 %
15 4 4
ah
4 12 4
Figura 4.5 – Detalhamento da seção transversal
110
Verificação para σsi aproximado
aw = (φi . fyd / 12,5 . η1 . γf . Esi . wk) = 20 x 43,5 / (12,5 x 2,25 x 1,71 x 21000 x 0,3) =
2,871x10-3
(As /As,cal) = 22,5 . aw + ((22,5 . aw)2 + 4.aw / ρrcal)(1/2) = 0,708 (As /As,cal) = 1*
Portanto As = As,cal = 12,88 cm2 ⇒ 5 φ 20 mm
* como uma das relações já deu 1, não precisa fazer a outra (começa-se a verificação por essa
relação porque normalmente ela fornece a menor relação).
σsi = [(50 / 1,15) / 1,71].(12,88 / 15,71) = 20,85 kN/cm2
Verificação para σsi no estádio II
Para o cálculo de σsi no estádio II tem-se:
αe = 21000/2129 = 9,86 α’e = 8,86
A = (9,86 x 12,88 + 8,86 x 0,37) / 20 = 6,52
B = 2 x (9,86 x 12,88 x 56 + 8,86 x 0,37 x 4) / 20 = 712,77
xII = - 6,52 + [(6,52)2 + 712,77]1/2 = 20,97 cm
III = 20 x 20,973 / 3 + 8,86 x 0,37 x (20,97 – 4)2 + 9,86 x 12,88 x (56-20,97)2
III = 218318 cm4 = 0,61 Ic
σsi = 9,86 x (14760 / 218318)(56-20,97) = 23,36 kN/cm2
Os valores acima foram obtidos para as armaduras calculadas, caso sejam obtidos para as
armaduras existentes ( As=15,71 cm2 e A’s = 0,4 cm2), que é o mais natural, obtém-se os
seguintes valores:
xII = 22,59 cm III = 250968 cm2 σsi = 19,37 kN / cm2
A diferença quando se considera armaduras existentes, comparado com a forma aproximada,
fica em torno de 7%.
111
112
Estimando-se a abertura de fissura pelo menor valor obtido pela s equações (4.1) e (4.2), vem:
σsi,aproximado = 20,85 kN/cm2 wk1 = 0,20 mm
wk2 = 0,11 mm
σsi,Ase = 19,37 kN/cm2 wk1 = 0,17 mm
wk2 = 0,12 mm
A diferença nesse exemplo quando se usa o valor aproximado da tensão de serviço σsi,
comparado com o valor calculado no Estádio II, ficou abaixo de 10% tanto no cálculo da
tensão quanto na abertura estimada de fissuras (valores em negrito acima). Do exposto nota-se
que ao trabalhar com o valor simplificado, obtido com γf,real > 1,4 , obtém-se valores
satisfatórios, com bem menos trabalho.
Capítulo 5 - CISALHAMENTO
5.1 – Tensões de cisalhamento
Considere-se apenas por simplicidade, uma seção retangular submetida à flexão simples e
inicialmente com o concreto ainda não fissurado, ou seja estádio I (fig. 5.1). Conforme as
hipóteses da Resistência dos Materiais, o diagrama de tensões de cisalhamento (ou
tangenciais) e o diagrama de tensões normais estão indicados respectivamente nas fig. 5.1b e
fig.5.1c. Na fig. 5.1b, τ representa a tensão de cisalhamento para pontos distantes y da linha
neutra LN dada por:
τ = V.Q / (bw . I) (5.1)
onde V é a força cortante atuante na seção transversal, Q e I são, respectivamente, o momento
estático da área A1 acima de y e o momento de inércia da seção, ambos em relação à linha
neutra LN.
z
A1 τ
h
bw
τo
LN
Rcc
y M
Rtc
a) seção transversal b) diagrama de tensões c) diagrama de tensões tangenciais τ normais σ Figura 5.1 – Viga de seção retangular submetida à flexão simples (estádio I)
113
O valor de τ atinge o seu valor máximo τo, quando y = 0, ou seja, na linha neutra. Nessas
condições, para um diagrama linear de tensões normais, conforme a fig. 5.1c, a relação (I /
Qo) representa o braço de alavanca z, entre as resultantes de compressão Rcc e de tração Rtc
no concreto, podendo a equação (5.1) ser reescrita como:
τo = V.Qo / (bw . I) = V / bw.(I/Qo) = V / (bw . z) (5.2)
As equações (5.1) e (5.2) foram obtidas com as hipóteses da Resistência dos Materiais
considerando-se material homogêneo, ou seja, concreto não fissurado, sendo portanto só
aplicáveis no estádio I, situação de ocorrência pouco comum para peças de concreto armado.
Considerando-se agora o concreto já fissurado, funcionando no estádio II, as equações (5.1) e
(5.2) serão válidas desde que se despreze a resistência do concreto tracionado abaixo da LN,
considere distribuição linear de tensões de compressão no concreto e, além disso, que a
armadura de tração As seja homogeneizada para uma nova área equivalente em concreto igual
a (αeAs), com αe igual a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Nesse
caso, ainda conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais compostos, a
determinação da LN, que coincide com a profundidade da área comprimida, é obtida pela
igualdade entre os momentos estáticos dessa área e da área tracionada (αe As) em relação à
LN.
O dimensionamento no estado limite último para flexão simples, estádio III, pressupõe
diagrama parabólico (simplificado em retangular) de tensões de compressão no concreto
oriundas do momento fletor de cálculo Md, de modo que não valem mais as equações (5.1) e
(5.2), caso se pretenda obter com as mesmas o braço de alavanca z, como relação entre I e Qo.
No entanto a equação (5.2) continua válida desde que se adote para z no estado limite último,
o mesmo valor já obtido no dimensionamento à flexão, ou seja:
z = d – 0,4.x = Kz . d (5.3)
114
No intuito de simplificar o cálculo adota-se um valor médio para Kz conforme a NBR 6118
(2003) igual a 0,9, ficando portanto a tensão máxima de cisalhamento, equação (5.2), agora na
situação de cálculo, dada por:
τod = Vd / (bw . 0,9.d) = 1,11 . Vd / (bw . d) (5.4)
onde τod e Vd são, respectivamente a tensão máxima de cisalhamento e a força cortante de
cálculo.
Define-se a partir da equação (5.4) uma tensão convencional de cisalhamento de cálculo, dada
por:
τwd = Vd / (bw . d) (5.5)
que não tem significado físico, apenas servirá de referência para verificações futuras da
resistência da peça ao cisalhamento. Já a tensão dada pela equação (5.4) tem significado
físico, representando a máxima tensão de cisalhamento na seção transversal, que pode ser
reescrita conforme (5.5) como:
τod = 1,11 . τwd (5.6)
5.2 – Elementos lineares sujeitos à força cortante (Item 17.4 da NBR 6118)
5.2.1 – Hipóteses básicas
• As prescrições que se seguem aplicam-se a elementos lineares, armados ou
protendidos, submetidos à força cortante, eventualmente combinados com outros esforços.
• Não se aplicam portanto a elementos de volume (ex.: bloco de fundação), lajes
(tratada separadamente), vigas parede e consolos curtos.
115
As condições fixadas pela NBR-6118 admitem dois modelos de cálculo em função da
inclinação das “bielas” de compressão, conforme fig. 5.4, que pressupõem a analogia com o
modelo em treliça de banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares
desenvolvidos no interior do elemento estrutural, representado por uma componente
adicional denominada Vc.
5.2.2 – Condições gerais
Todos os elementos lineares submetidos à força cortante, com exceção dos casos indicados no
item seguinte, devem conter armadura transversal mínima Asw,min constituída por estribos com
taxa geométrica dada por:
h
l < 2 h
Figura 5.2 – Viga-parede isostática Figura 5.3 – Consolo curto
biela com s (espaçamento das barras tracionadas) primida
banzo comprimido
zcotgθ zcotgα Vsd
z(cotgθ+cotgα)
α θ h h d
banzo tracionado
Figura 5.4 – Modelo de funcionamento de viga como treliça
116
ρsw = (Asw,min / bw . s . senα) > 0,2 . fctm / fywk (5.7)
onde bw é a largura média da alma, s é o espaçamento longitudinal dos estribos inclinados de
um ângulo α, fctm é a resistência média à tração do concreto e fywk é resistência ao escoamento
do aço da armadura transversal.
A resistência média à tração fctm é dada no item 8.2.5 da NBR 6118. A resistência à tração
indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios realizados de
acordo as normas NBR 7222 e NBR 12142, respectivamente.
A resistência à tração direta fct pode ser dada por:
fct = 0,9 . fct,sp (5.8a)
fct = 0,7 . fct,f (5.8b)
ou na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f , pode ser avaliado o seu valor médio ou
característico por meio das seguintes equações:
fctm = 0,3 . fck(2/3) (5.9a)
fctk,inf = 0,7 . fctm (5.9b)
fctk,sup = 1,3 . fctm (5.9c)
onde fck e fctm são expressos em MPa.
A resistência ao escoamento do aço da armadura transversal Asw é dada por:
117
fywk = fyk => estribos (5.10a)
≤ 500 MPa
fywk = 0,7.fyk => barras dobradas (5.10b)
fywd = fyd => estribos (5.10c)
≤ 435 MPa
fywd = 0,7.fyd => barras dobradas (5.10d)
A partir das equações (5.7) e (5.9a) para espaçamento s = 100 cm e estribos verticais, α = 90o,
obtém-se:
Asw,min ≥ (bw . 100 . 1) . (0,2 . 0,3 .fck2/3) / 500 = ρw,min . bw (5.11)
onde ρw,min é a taxa mínima de armadura transversal, constituída por estribos, dada por:
ρw,min = 0,012 . fck (2/3) (5.12)
A partir da equação (5.12) , com fck expresso em MPa pode-se tabelar o valor de ρw,min :
TABELA 5.1 – Valores de ρw,min
fck (MPa) ρw,min
15 0,073
20 0,088
25 0,103
30 0,116
35 0,128
118
5.2.3 – Fazem exceção ao item anterior:
- Os elementos estruturais lineares com bw > 5.d (em que d é a altura útil da seção), caso que
deve ser tratado com laje (ver item 19.4 da NBR 6118)]
- As nervuras de lajes nervuradas, quando espaçadas de menos de 60 cm, também podem ser
verificadas como lajes.
- Os pilares e elementos estruturais de fundação submetidos predominantemente à
compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável das ações no
ELU, calculada a seção em estádio I, as seguintes condições:
σc ≤ fctk
(5.13)
VSd ≤ Vc
em que VSd é a força cortante solicitante de cálculo.
5.2.4 – Verificação do estado limite último
5.2.4.1 – Cálculo da resistência
A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser
considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as ruínas por esmagamento da
biela comprimida (eq. 5.14) e a ruptura da armadura transversal tracionada (eq. 5.15),
traduzidas pelas seguintes condições:
VSd ≤ VRd2 (5.14)
VSd ≤ VRd3 = Vc +Vsw (5.15)
Onde
VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais
comprimidas, obtida de acordo o modelo de cálculo I ou II descritos adiante.
119
VRd3 = Vc +Vsw é a força cortante de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal,
onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça
e Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal, ambas obtidas de acordo o modelo de
cálculo I ou II descritos adiante.
5.2.4.2 – Modelo de cálculo I
O modelo de cálculo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ =45o em relação ao
eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha
valor constante, independente de VSd.
a) verificação da compressão diagonal do concreto:
VRd2 = 0,27 . αv2 . fcd . bw . d = τwd2 . bw . d (5.16)
onde:
αv2 = ( 1 – fck / 250 ) (fck em MPa) (5.17)
τwd2 = 0,27 . αv2 . fcd (5.18)
obs.: - embora para o cálculo de αv2 a unidade utilizada seja o MPa , para a obtenção do
esforço VRd2 em kN, deve-se transformar o τwd2 para kN/cm2.
Analogamente a tensão convencional de cisalhamento τwd ,equação (5.5), τwd2 representa a
tensão máxima convencional de cisalhamento, de tal forma que para se verificar a resistência
da diagonal comprimida, equação (5.14), escrita em termos de esforços, basta atender a
seguinte expressão, escrita em termos de valores convencionais de tensão de cisalhamento:
120
τwd ≤ τwd2 (5.19)
TABELA 5.2 – Valores de τwd2 (Modelo I)
fck (MPa) τwd2 (MPa)
15 0,181.fck = 2,72
20 0,177.fck = 3,55
25 0,174.fck = 4,34
30 0,170.fck = 5,09
35 0,166fck = 5,81
Da fig. 5.5 nota-se que a resistência máxima na diagonal comprimida, Rcc,max, pode ser dada
por:
Rcc,max = σcc,max . bw . z . (1 + cotgα) . senθ (5.20)
onde σcc,max é a tensão normal máxima na diagonal comprimida de concreto.
θ = 45o
Rcc,max
VRd2 = Rcc,Max . senθ z(1+cotgα)senθ
z =
0,9d
α
z(1+cotgα)
FIGURA 5.5 – Diagonal comprimida do concreto
121
Vsd = VRd2 = Rcc,max . senθ = σcc,max . bw . 0,9.d . (1 + cotgα) . sen2θ (5.21)
De (5.16) e (5.21) com θ = 45o , obtém-se:
τwd2 . (bw . d) = σcc,max . 0,45. (1 + cotgα) .(bw .d) (5.22)
σcc,max = τwd2 / 0,45. (1 + cotgα) (5.23a)
2,22 . τwd2 para α = 90o
σcc,max = (5.23b)
1,11 . τwd2 para α = 45o
com os valores de τwd2 dados na tabela 5.2, obtém-se os valores da tensão máxima de
compressão na diagonal comprimida para α = 90o e α = 45o.
Dividindo-se a equação 5.21 por (bw.d) chega-se ao valor da tensão convencional de
cisalhamento τwd2 . Para a situação de compressão da biela de concreto em que
transversalmente tem-se uma região tracionada, a tensão σcc,max deve ser obtida, segundo o
CEB, por σcc,max = 0,6 . αv2 . fcd . Para θ = 45o e α = 90o chega-se a expressão (5.18), dada
pela NBR 6118.
b) cálculo da armadura transversal
Da equação (5.15) VRd3 = Vc +Vsw, a primeira parcela correspondente à força cortante
resistente absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, que é dada no modelo I
por:
Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora da seção
Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção
Vc = Vc0 . (1 + M0 / MSd,max) ≤ 2 . Vc0 na flexo-compressão
122
com
Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d = τc0 . bw . d (5.24)
para
fctd = fctk,inf / γc (5.25)
onde fctk,inf é dada na eq. (5.9b) e tomando-se para o coeficiente de ponderação do concreto
γc=1,4, a tensão convencional de cisalhamento correspondente aos mecanismos
complementares, τc0, pode ser dada pela seguinte expressão:
τc0* = 0,6 . fctd = 0,6 . 0,7 .0,3 . fck
2/3 . / 1,4 (MPa) (5.26)
com
τc0 = τc0* / 10 = 0,009 . fck
2/3 (kN/cm2) (5.27)
onde τc0* e τc0 representam a mesma tensão convencional expressa em MPa e kN/cm2,
respectivamente. Na equação (5.27) deve-se usar fck em MPa, para se obter τc0 em kN/cm2.
TABELA 5.3 – Valores de τc0
fck (MPa) τc0 (kN/cm2)
15 0,0547
20 0,0663
25 0,0769
30 0,0869
35 0,0963
123
Da equação (5.15) a parcela resistida pela armadura transversal tracionada Vsw é determinada
conforme o esquema mostrado na fig. 5.6.
z(cotgθ + cotgα) s
θ α
RSt
VRd3 = Vc + Vsw = Vc + RSt senα Asw
z
VSd
Figura 5.6 – Diagonal tracionada da armadura transversal
Para θ = 45o estabelecido no modelo I, obtém-se:
Vsw = RSt . senα = (Asw / s) . z . (1 + cotgα) . fywd . senα (5.28)
De (5.28) com z=0,9.d, considerando-se estribos verticais (α = 90o) para vigas submetidas à
flexão simples (Vc = Vc0) , a equação (5.15), VSd ≤ Vc + Vsw , dividida por (bw .d) para
transformar esforços em tensões convencionais de cisalhamento fica:
τwd ≤ τc0 + (Asw / s) . 0,9.d .43,5 / (bw .d) (5.29)
com
(Asw / s) ≥ [ (τwd - τc0) / 39,15] . bw = ρw* . bw (cm2 / cm) (5.30)
Para s=100 cm a taxa ρw* se transforma na taxa ρw dada por :
124
ρw = 100 . ρw* = 100 . (τwd - τc0) / 39,15 (5.31)
e finalmente
Asw ≥ ρw . bw (cm2 / m) (5.32)
Fazendo na equação 5.31 ρw = ρw,min = 0.012.fck2/3 obtém-se um valor mínimo de τwd ,para o
modelo I, abaixo do qual a colocação da armadura mínima Asw,min = ρw,min.bw, absorve a
totalidade do esforço de cisalhamento. Assim substituindo-se o valor de τc0 pela equação 5.27,
obtém-se:
τwd,min = (39,15/100) . 0.012.fck2/3 +0,009 . fck
2/3 = 0,0137 . fck2/3 (5.33)
Tabela 5.4 – Valores de τwd,min para o Modelo I
Fck (MPa) τwd,min (kN/cm2)
15 0,083
20 0,101
25 0,117
30 0,132
c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado
Quando a armadura longitudinal de tração (flexão) for determinada através do equilíbrio de
esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela
fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no
banzo tracionado, dada pela expressão:
( )( ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−= cotgα1
VV2V
dacmaxSd,
maxSd,l ) (5.34)
125
onde:
al ≥ 0,5 . d no caso geral
al ≥ 0,2 . d para estribos inclinados a 45º
Essa decalagem do diagrama de esforços do banzo tracionado pode ser substituída,
aproximadamente, pela correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores.
Alternativamente essa decalagem pode também ser obtida simplesmente aumentando-se a
força de tração, em cada seção, pela expressão:
RSd,cor = MSd / z + ⎮VSd⎮ . ( cotgθ - cotgα ) . (1/2) (5.35)
5.2.4.3 – Modelo de cálculo II
O modelo de cálculo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ, em relação ao eixo
longitudinal da peça, variando livremente entre 30o e 45o. Admite ainda que a parcela
complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.
a) verificação da compressão diagonal do concreto:
VRd2 = 0,54 . αv2 . fcd . bw . d . sen2θ .(cotgα + cotgθ) = τwd2 . bw . d (5.36)
Com αv2 dado na equação (5.17) e τwd2 dado por:
τwd2 = 0,54 . αv2 . fcd . sen2θ .(cotgα + cotgθ) (5.37)
126
Para estribos verticais, ou seja α = 90o, os valores de τwd2 são dados na tabela 5.5
TABELA 5.5 – Valores de τwd2 (Modelo II)
fck
(MPa)
τwd2 (MPa)
θ = 30o θ = 45o
15 0,157.fck = 0,181. fck = 2,72
20 0,154.fck = 3,08 0,177. fck = 3,55
25 0,150.fck = 3,75 0,174 fck = 4,34
30 0,147.fck = 0,170. fck = 5,09
b) – cálculo da armadura transversal
VRd3 = Vc +Vsw (5.38)
Onde:
Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora da seção
Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção
Vc = Vc1 . (1 + M0 / MSd,max) < 2 . Vc1 na flexo-compressão
Com
Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0
Vc1 = 0 quando VSd = VRd2, interpolando-se linearmente para valores
intermediários
Definindo-se analogamente uma tensão convencional de cisalhamento proveniente de Vc1,
tem-se:
127
τc1 = Vc1 / (bw . d) (5.39)
Os valores de Vc1, ou os correspondentes valores de τc1, podem ser representados no gráfico
seguinte:
τc1
τc1 = τc0 [ 1 – (τwd - τc0) / (τwd2 - τc0) ]
A parcela de tração absorvida pela armadura transversal Vsw é dada por:
Vsw = (Asw / s) . z . (cotgθ + cotgα) . fywd . senα (5.41)
De (5.15),VSd ≤ Vc + Vsw , dividindo-se por bw . d, fazendo-se em (5.41) z = 0,9 . d, α = 90o e
s = 100 cm, obtém-se a equação para a armadura transversal Asw.
Asw ≥ = ρw . bw (cm2 / m) (5.42)
ρw = 100 . (τwd - τc1) / (39,15 . cotgθ) (5.43)
com τc1 dado de acordo a figura 5.6.
c) – deslocamento do diagrama de momentos fletores:
São mantidas as condições estabelecidas no modelo I, sendo o deslocamento do diagrama de
momentos fletores no modelo II, dado por:
τco τwd2 τwd
τc1=τc0 τc0
(5.40)
FIGURA 5.6 – Valores de τc1
128
al = 0,5 . d . (cotgθ -cotgα) (5.44)
onde
al ≥ 0,5 . d, no caso geral
al ≥ 0,2 . d, para estribos inclinados de 45º.
5.2.5 – Cargas próximas aos apoios
Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (quando a carga e a reação de
apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural), valem as seguintes
prescrições:
a) – a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio
e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção;
d/2
d
c
Vs,max Vp S,Red = VS,Max – p.(c+d)/2 (5.45)
Figura 5.7 – Redução do cortante devido à carga p
b) – a força cortante devida a uma carga concentrada a uma distância a ≤ 2.d do eixo teórico
do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a / (2.d).
129
ll a-PVVVV S(p)(P)SS(p)maxS, +=+= (5.46)
2daa-PVVVV S(p)RedS(P),S(p)
PRedS, l
l+=+= (5.47)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−
2da1a-PVV P
RedS(P),maxS, ll (5.48)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
2da1a-PVV maxS,
PRedS(P), l
l (5.49)
Conforme as figuras 5.7 e 5.8, a força cortante reduzida devido simultaneamente à carga
distribuída e carga concentrada próximas ao apoio é dada por:
2
dcp2da1a-PVV maxS,
pPRedS(P),
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=+
ll (5.50)
5.2.6 – Prescrições complementares da NBR 6118
- diâmetro da armadura transversal Asw θt ≥ 5 mm
θt ≤ bw/10
- espaçamento máximo dos estribos para τwd ≤ 0,67.τwd2 smax = 0,6.d ≤ 30 cm
para τwd > 0,67.τwd2 smax = 0,3.d ≤ 20 cm
l - a a
VS (força cortante solicitante devido p e P)
P p
Figura 5.8 – Redução do cortante devido a uma carga concentrada próxima ao apoio
130
- A armadura transversal Asw pode ser constituída por estribos ou pela combinação de estribos
e barras dobradas, entretanto essas últimas não devem suportar mais do que 60% do esforço
total resistido pela armadura.
5.3 – Exemplos
Exemplo 1
Calcular a armadura de cisalhamento para uma viga de 4 m de vão, carga distribuída p = 25
kN/m, seção de 20X40 cm2, d=36 cm, fck = 20 MPa, aço CA-60.
– Modelo I
a) verificação do concreto
VS,Max = pl/2 = 50 kN τwd = VSd / bw.d = 50 . 1,4 / (20 . 36) = 0,097 kN/cm2
Pela tabela 5.2, para fck = 20 MPa tem-se τwd2 = 0,177.fck = 3,55 MPa = 0,355 kN/cm2
Como τwd = 0,097 KN/cm2 < τwd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá.
b) cálculo da armadura
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd - .τc0)/39,15
τc0 pode ser calculado pela eq. 5.27 ou obtido diretamente da tab. 5.3
para fck = 20 MPa, τc0 = 0,0663 kN/cm2
ρw = 100.(0,097 – 0,0663)/39,15 = 0,0790 < ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
131
Asw = Asw,min = ρw,min . bw = 0,088 . 20 = 1,76 cm2/m
Como τwd = 0,097 kN/cm2 < τwd,min = 0,101 kN/cm2 (tabela 5.4), o cálculo de Asw = Asw,min já
poderia ser feito sem a necessidade de calcular ρw.
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,88 cm2/m φ 5 mm c/ 22 cm
Como τwd / τwd2 = 0,095 / 0,354 = 0,27 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 ≈ 22 cm (OK!)
Modelo II (θ = 30o)
a) verificação do concreto
τwd = VSd / bw.d = 50 . 1,4 / (20 . 36) = 0,097 kN/cm2
Pela tabela 5.5, para θ = 30o e fck = 20 MPa, obtém-se:
τwd2 = 0,154.fck = 0,154 . 2 = 0,308 kN/cm2
Como τwd = 0,097 kN/cm2 < τwd2 = 0,308 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá.
b) cálculo da armadura
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd - .τc1) / (39,15 . cotgθ)
Como τwd = 0,097 kN/cm2 > τc0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de τc1 é dado na eq. 5.40
τc1= τc0 [1 – (τwd - τc0) / (τwd2 - τc0)] =
0,0663 . [1 – (0,097-0,0663) / (0,308 – 0,0663)] = 0,0578 kN/cm2
ρw = 100.(0,097 - .0,0578) / (39,15 . cotg30o) = 0,058 < ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
132
Asw = Asw,min = ρw,min . bw = 0,088 . 20 = 1,76 cm2/m
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,88 cm2/m φ 5 mm c/ 22 cm
Como τwd / τwd2 = 0,097 / 0,308 = 0,32 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 ≈ 22 cm (OK!)
Modelo II (θ = 45o)
a) verificação do concreto
τwd = VSd / bw.d = 50 . 1,4 / (20 . 36) = 0,097 kN/cm2
Pela tabela 5.5, para θ = 45o e fck = 20 MPa, obtém-se:
τwd2 = 0,177.fck = 0,177 . 2 = 0,355 kN/cm2
Como τwd = 0,097 kN/cm2 < τwd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá.
b) cálculo da armadura
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd - .τc1) / (39,15 . cotgθ)
Como τwd = 0,097 kN/cm2 > τc0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .τc1 é dado na eq. 5.40
τc1= τc0 [1 – (τwd - τc0) / (τwd2 - τc0)] =
0,0663 . [1 – (0,097-0,0663) / (0,354 – 0,0663)] = 0,0592 kN/cm2
ρw = 100.(0,095 - .0,0592) / (39,15 . cotg45o) = 0,097 > ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
Asw = ρw . bw = 0,097 . 20 = 1,94 cm2/m
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,97 cm2/m φ 5 mm c/ 20 cm
133
Como τwd / τwd2 = 0,097 / 0,354 = 0,27 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 ≈22 cm (OK!)
Exemplo II
Mesmos dados do exemplo I, com carga distribuída p = 50 kN/m
Modelo I, sem redução do cortante no apoio
a) verificação do concreto
VS,max = pl/2 = 100 kN τwd = VSd,max / bw.d = 100 . 1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2
Pela tabela 5.2, para fck = 20 MPa tem-se τwd2 = 0,355 kN/cm2
Como τwd = 0,194 kN/cm2 < τwd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá.
b) cálculo da armadura
Como τwd = 0,194 kN/cm2 > τwd,min = 0,101 kN/cm2 (tabela 5.4)
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd - .τc0)/39,15 τc0 = 0,0663 kN/cm2
ρw = 100.(0,194 – 0,0663)/39,15 = 0,327 > ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
Asw = ρw . bw = 0,327 . 20 = 6,55 cm2/m
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 3,27 cm2/m φ 6 mm c/ 9 cm, ou
φ 8 mm c/ 15 cm
Como τwd / τwd2 = 0,194 / 0,354 = 0,55 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!)
134
Modelo I, com redução do cortante no apoio
Considera-se que o comprimento do apoio no sentido longitudinal da viga seja c = 20 cm.
verificação do concreto
VS,max = pl/2 = 100 kN, VS,Red = VS,max – p(c+d)/2 = 100 –50.(0.2+0.36)/2 =86 kN
τwd = VSd,max / bw.d = 100.1,4 / (20.36) = 0,194 kN/cm2
τwd,Red = VSd,Red / bw.d = 86 . 1,4 / (20 . 36) = 0,167 kN/cm2
Pela tabela 5.2, para fck = 20 MPa tem-se τwd2 = 0,355 kN/cm2
Como τwd = 0,194 kN/cm2 < τwd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá (obs.: para verificação do concreto não pode ser
usado o τwd,Red)
b) cálculo da armadura
τwd,Red = 0,167 kN/cm2 > τwd,min = 0,101 kN/cm2, então
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd,Red - .τc0)/39,15 τc0 = 0,0663 kN/cm2
ρw = 100.(0,167 – 0,0663)/39,15 = 0,258 > ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
Asw = 0,258 . 20 = 5,16 cm2/m
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,58 cm2/m φ 6 mm c/ 12 cm, ou
φ 8 mm c/ 19 cm
Como τwd / τwd2 = 0,194 / 0,355 = 0,55 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)
135
Modelo II (θ = 30o)
sem redução do cortante próximo ao apoio
a) verificação do concreto
τwd = VSd / bw.d = 100.1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2 < τwd2 = 0,308 kN/cm2
Como τwd = 0,194 kN/cm2 < τwd2 = 0,308 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá.
b) cálculo da armadura
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd - .τc1) / (39,15 . cotgθ)
Como τwd = 0,194 kN/cm2 > τc0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .τc1 é dado na eq. 5.40
τc1= τc0 [1 – (τwd - τc0) / (τwd2 - τc0)] =
0,0663 . [1 – (0,194-0,0663) / (0,308 – 0,0663)] = 0,0313 kN/cm2
ρw = 100.(0,194 - .0,0313) / (39,15 . cotg30o) = 0,240 > ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
Asw = ρw . bw = 0,240 . 20 = 4,80 cm2/m
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,31 cm2/m φ 6 mm c/ 11 cm, ou
φ 8 mm c/ 20 cm
Como τwd / τwd2 = 0,194 / 0,308 = 0,63 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!)
com redução do cortante próximo ao apoio
Considera-se que o comprimento do apoio no sentido longitudinal da viga seja c = 20 cm.
136
a) verificação do concreto
τwd = VSd,max / bw.d = 100.1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2
VS,Red = VS,Max – p(c+d) /2 = 100 - 50(0,2 + 0,36)/2 = 86 kN
τwd,Red = VSd,Red / bw.d = 85,75 . 1,4 / (20.36) = 0,167 kN/cm2 < τwd2 = 0,308 kN/cm2
Como τwd = 0,194 kN/cm2 < τwd2 = 0,308 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá (obs.: para verificação do concreto não pode ser
usado o τwd,Red)
b) cálculo da armadura
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd,Red - .τc1) / (39,15 . cotgθ)
Como τwd,Red = 0,167 kN/cm2 > τc0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .τc1 é dado na eq. 5.40
τc1= τc0[1 – (τwd,Red - τc0) / (τwd2 - τc0)]=
0,0663 . [1 – (0,167-0,0663) / (0,308 – 0,0663)]=0,0387 kN/cm2
ρw = 100.(0,167 - .0,0387) / (39,15 . cotg30o) = 0,189 > ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
Asw = ρw . bw = 0,189 . 20 = 3,78 cm2/m
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 1,89 cm2/m φ 5 mm c/ 10 cm, ou
φ 6 mm c/ 15 cm, ou
φ 8 mm c/ 27 cm, 22 cm
Como τwd / τwd2 = 0,194 / 0,308 = 0,63 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)
137
θ = ângulo qualquer, por exemplo θ = 35o
sem redução do cortante próximo ao apoio
a) verificação do concreto
τwd = VSd / bw.d = 100.1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2
Pela eq. 5.37, para θ = 35o , α = 90o (estribo vertical) e fck = 20 MPa, obtém-se:
τwd2 = 0,54 . αv2 . fcd . sen2θ .(cotgα + cotgθ) =
0,54 . (1 – 20 /250) . (2 / 1,4) .sen235o (0 + cotg35o) = τwd2 = 0,333 kN/cm2
Como τwd = 0,194 kN/cm2 < τwd2 = 0,333 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá.
b) cálculo da armadura
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd - .τc1) / (39,15 . cotgθ)
Como τwd = 0,194 kN/cm2 > τc0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .τc1 é dado na eq. 5.40
τc1= τc0 [1 – (τwd - τc0) / (τwd2 - τc0)] =
0,0663 . [1 – (0,194-0,0663) / (0,333 – 0,0663)] = 0,0346 kN/cm2
ρw = 100.(0,194 - .0,0346) / (39,15 . cotg35o) = 0,285 > ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
Asw = ρw . bw = 0,285 . 20 = 5,70 cm2/m
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,85 cm2/m φ 6 mm c/ 10 cm, ou
φ 8 mm c/ 17 cm
138
Como τwd / τwd2 = 0,194 / 0,333 = 0,58 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)
com redução do cortante próximo ao apoio
Considera-se que o comprimento do apoio no sentido longitudinal da viga seja c = 20 cm.
a) verificação do concreto
τwd = VSd,max / bw.d = 100.1,4 / (20.36) = 0,194 kN/cm2
VS,Red = VS,Max – p(c+d) /2 = 100 - 50(0,2 + 0,36)/2 = 86 kN
τwd,Red = VSd,Red / bw.d = 85,75 . 1,4 / (20.36) = 0,167 kN/cm2
τwd2 = 0,333 kN/cm2 valor calculado no exemplo anterior
Como τwd = 0,194 kN/cm2 < τwd2 = 0,333 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela
comprimida de concreto não romperá (obs.: para verificação do concreto não pode ser
usado o τwd,Red )
b) cálculo da armadura
Asw = ρw . bw com ρw = 100.(τwd,Red - .τc1) / (39,15 . cotgθ)
Como τwd,Red = 0,167 kN/cm2 > τc0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .τc1 é dado na eq. 5.40
τc1=τc0 [1–(τwd,Red - τc0) / (τwd2 - τc0)]=
0,0663 . [1 – (0,167-0,0663) / (0,333 – 0,0663)] = 0,0413 kN/cm2
ρw = 100.(0,162 - .0,0413) / (39,15 . cotg35o) = 0,225 > ρw,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto
Asw = ρw . bw = 0,225 . 20 = 4,50 cm2/m
139
Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,25 cm2/m φ 5 mm c/ 9 cm, ou
φ 6 mm c/ 13 cm, ou
φ 8 mm c/ 23 cm, 22 cm
Como τwd / τwd2 = 0,194 / 0,308 = 0,58 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)
140
Capítulo 6 - VERIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA Segundo a NBR 6118 no capítulo 9, devem ser obedecidas no projeto as exigências estabelecidas
nesse capítulo, relativas a aderência, ancoragem e emendas das armaduras.
6.1 – Posição da barra durante a concretagem Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das
posições seguintes:
a) com inclinação superior a 45o sobre a horizontal (fig. 6.1a);
b) horizontais ou com inclinação menor que 45o sobre a horizontal, desde que:
• para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face
inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (fig. 6.1b);
• para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face
superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (fig. 6.1c).
Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser
consideradas em má situação quanto à aderência.
6.2 – Valor da resistência de aderência A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto de armaduras passivas deve ser
obtida pela seguinte expressão:
30
h<
60
h ≥
60
30
α > 45o
a)h ≤ 30 cm b) c) Figura 6.1 – Zonas de boa e má aderência
141
fbd = η1 . η2 . η3 . fctd (6.1) onde:
• fctd = fctk,inf / γc = 0,7 . fctm / γc = 0,21 . fck(2/3) / γc (MPa) (6.2)
• η1 = 1,0 para barras lisas (CA 25);
• η1 = 1,4 para barras entalhadas (CA 60);
• η1 = 2,25 para barras nervuradas (CA 50);
• η2 = 1,0 para situações de boa aderência;
• η2 = 0,7 para situações de má aderência;
• η3 = 1,0 para φ < 32 mm;
• η3 = (132 - φ) / 100 , para φ > 32 mm , com φ (diâmetro da barra) em mm.
No escorregamento da armadura, em elementos estruturais fletidos, deve ser adotada a tensão de
aderência dada acima multiplicada por 1,75.
6.3 – Ancoragem das armaduras
Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam
submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de
dispositivos mecânicos ou combinação de ambos.
6.3.1 – Ancoragem por aderência
Dá-se quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de
curvatura, seguido ou não de gancho.
A exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem ser
confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto, considerando-se este caso quando
142
o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3φ e a distância entre barras ancoradas for
maior ou igual a 3φ.
6.3,2 – Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos
Acontece quando os esforços a ancorar são transmitidos ao concreto por meio de dispositivos
mecânicos acoplados à barra.
6.3.3 – Ancoragem de armaduras passivas por aderência
As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande
raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as condições seguintes:
• as barras lisas obrigatoriamente devem ter ganchos;
• as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem ter
ganchos
• com ou sem gancho, nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de
φ>32 mm ou para feixe de barras.
As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.
6.3.4 – Ganchos das armaduras de tração
Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser:
• semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ;
• em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ.
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares.
143
O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo
menos igual ao estabelecido na tabela1.
Tabela 6.1 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D)
Bitola mm
Tipo de aço
CA - 25 CA - 50 CA - 60
< 20
4 φ
5 φ
6 φ
≥ 20
5 φ
8 φ
-
6.4 – Comprimento de ancoragem básico
Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura
passiva necessário para ancorar a força limite Fd = As . fyd nessa barra, admitindo-se ao longo desse
comprimento uma tensão de aderência constante e igual a fbd, eq. (6.1).
De (6.3) obtém-se:
l b = (φ / 4) . (fyd / fbd) (6.4)
A partir da equação (6.4) pode-se tabelar os valores do comprimento de ancoragem básico para o
aço CA-50, situação de boa aderência, γs = 1,15, γc = 1,4 e φ < 32 mm (tabela 6.2).
Fd = π . φ2 fyd / 4 = π . φ . lb . fbd (6.3)
concretoφ
fbd
Fd
l b
Figura 6.2 – Barra ancorada no concreto
144
Tabela 6.2 – Valores de l b para aço CA-50, γs = 1,15, γc = 1,4 e φ < 32 mm
Bitola mm
Classe do concreto Valores de l b em função do diâmetro
C 15*
(52,95φ) C 20
(43,71φ) C 25
(37,67φ) C 30
(33,36φ)C 35
(30,10φ) C 40
(27,54φ) C 45
(25,46φ)C 50
(23,73φ) 10 55 cm 50 cm 40 cm 35 cm 35 30 cm 30 cm 25 cm
12,5 70 cm 55 cm 50 cm 45 cm 40 cm 35 cm 35 cm 30 cm 16 85 cm 70 cm 65 cm 55 cm 50 cm 45 cm 45 cm 40 cm 20 110 cm 90 cm 80 cm 70 cm 65 cm 60 cm 55 cm 50 cm 22 120 cm 100 cm 85 cm 75 cm 70 cm 65 cm 60 cm 55 cm 25 135 cm 110 cm 95 cm 85 cm 80 cm 70 cm 65 cm 60 cm
Os valores obtidos na tabela 6.2 foram arredondados para o múltiplo de 5 cm, imediatamente
superior.
6.5 – Comprimento de ancoragem necessário
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:
l b,nec = α1 . l b . (As,cal / As,ef) ≥ l b,min (6.5)
onde:
• α1 = 1,0 para barras sem gancho,
• α1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do
gancho ≥ 3φ,
• lb é calculado conforme equação (6.4);
• l b,min é o comprimento mínimo de ancoragem, dado por:
145
0,3 . lb
l b,min > 10 . φ (6.6)
10 cm
6.6 – Armadura transversal na ancoragem
Para efeito desse item, observado o item 6.3.1, consideram-se as armaduras existentes ao longo do
comprimento de ancoragem, caso a soma das áreas dessas armaduras seja maior ou igual às
especificadas abaixo:
• Barras com φ < 32 mm ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista
armadura transversal capaz de resistir a 25 % da força longitudinal de uma das barras
ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a barra de
maior diâmetro.
• Barras com φ ≥ 32 mm deve ser verificada a armadura em duas direções
transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar
os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo
de 5 φ.
6.7 – Ancoragem de feixes de barras, por aderência
Considera-se o feixe como uma barra de diâmetro equivalente igual a:
φn = φf .( n )(1/2) (6.7)
onde φn é o diâmetro equivalente do feixe constituído de n barras com diâmetro φf.
146
6.8 – Ancoragem de estribos
A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras
longitudinais soldadas.
Os ganchos dos estribos (com diâmetro φt) podem ser:
• Semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 φt,
porém não inferior a 5 cm;
• Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 φt, porém não inferior
a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual aos estabelecidos na tab.
6.3.
Tabela 6.3 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos
Bitola mm
Tipo de aço CA - 25 CA - 50 CA - 60
≤ 10 3 φt 3 φt 3 φt 10 < φ < 20 4 φt 5 φt -
≥ 20 5 φt 8 φt - 6.9 – Emendas das barras
6.9.1 – Tipos
As emendas podem ser:
• Por traspasse (transpasse ou trespasse);
• Por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas;
• Por solda;
• Por outros dispositivos devidamente justificados.
147
6.9.2 – Emendas por traspasse
Esse tipo de emenda não é permitido para barras de bitola maior que 32 mm, nem para tirantes e
pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada).
No caso de emenda de feixe de barras, o diâmetro equivalente não deve ser superior a 45 mm.
6.9.2.1 – Proporção das barras emendadas
Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas
extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20 % do comprimento do trecho do
traspasse.
Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse deve ser calculado pela
barra de maior diâmetro.
l 01 > l 02
l 02 < 0,2 l 01
Figura 6.3–Emendas suposta na mesma seção transversal A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal emendadas por traspasse na
mesma seção transversal do elemento estrutural está indicada na tabela 6.4 abaixo:
148
Tabela 6.4 – Proporção de barras tracionadas emendadas
Tipo de barra
Situação
Tipo de carregamento
Estático Dinâmico
Alta resistência Em uma camada 100 % 100 % Em mais de uma camada 50 % 50 %
Lisa φ < 16 mm 50 % 25 % φ ≥ 16 mm 25 % 25 %
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras
podem ser emendadas na mesma seção.
6.9.2.2 – Comprimento de traspasse para barras tracionadas, isoladas
Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4 φ, o
comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser:
l 0t = α 0t . l b,nec ≥ l 0t,min (6.8)
0,3 . α 0t . l b
onde: l 0t,min > 15 φ (6.9)
20 cm
α 0t é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção,
conforme a tabela 6.3.
Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4 φ, ao comprimento calculado
acima, deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas. A armadura transversal na
emenda deve ser justificada, atendendo ao estabelecido em 6.9.2.4.
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Tabela 6.5 – Valores do coeficiente α 0t
Barras emendadas na mesma seção %
≤ 20
25
33
50
> 50
Valores de α 0t 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
6.9.2.3 – Comprimento por traspasse de barras comprimidas, isoladas
Quando as barras estiverem comprimidas, adota-se a seguinte expressão para o cálculo do
comprimento de traspasse:
l 0c = l b,nec ≥ l 0c,min (6.10)
0,6 . l b
onde: l 0c,min > 15 . φ (6.11)
20 cm
6.9.2.4 – Armadura transversal nas emendas por traspasse, em barras isoladas
6.9.2.4.1 – Emendas de barras tracionadas da armadura principal (ver fig. 6.4)
Quando φ < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 25 %, a
armadura transversal deve satisfazer ao item 6.
Nos casos em que φ ≥ 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas na mesma seção for
maior ou igual a 25 %, a armadura transversal deve:
• Ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emenda, considerando os ramos
paralelos ao plano da emenda;
• Ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais próximas de duas
emendas na mesma seção for < 10 φ (φ = diâmetro da barra emendada);
• Concentrar-se nos terços extremos das emendas.
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6.9.2.4.2 – Emendas de barras comprimidas (ver fig. 6.4)
Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso anterior, com pelo menos uma barra de
armadura transversal posicionada 4 φ além das extremidades da emenda.
Σ Ast/2 Σ Ast/2 Σ Ast/2 Σ Ast/2
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4φ 4φ
l /3l 0/3 l 0/3 l 0/3 0
l 0 l 0
Barras tracionadas Barras comprimidas Figura 6.4 – Armadura transversal nas emendas