บทที ่1 ความรูท้างคณติศาสตรแ์ละสมรรถนะพืน้ฐาน

หลักสูตรการศึกษาข้ันพื้นฐาน กรมวิชาการ กระทรวงศึกษาธิการ (2551) ได้ก าหนดให้มี

การจัดการศึกษาแก่ผู้เรียนดังนี้

1.1 วิสัยทัศน์

หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน มุ่งพัฒนาผู้เรียนทุกคน ซึ่งเป็นก าลังของชาติให้มนุษย์ที่มีความสมดุลทั้งด้านร่างกาย ความรู้ คุณธรรม มีจิตส านึกในความเป็นพลเมืองไทยและเป็นพลโลก ยึดมั่นในการปกครองตามระบอบประชาธิปไตยอันมีพระมหากษัตริย์ทรงเป็นประมุข มีความรู้และมีทักษะพ้ืนฐาน รวมทั้งเจตคติที่จ าเป็นต่อการศึกษา ต่อการประกอบอาชีพ และการศึกษาตลอดชีวิต โดยมุ่งเน้นผู้เรียนเป็นส าคัญพ้ืนฐานความเชื่อว่าทุกคนสามารถเรียนรู้และพัฒนาตนได้เต็มศักยภาพ

1.2 หลักการ

หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน มีหลักการที่ส าคัญดังนี้

- เป็นหลักสูตรการศึกษาเพ่ือความเป็นเอกภพของชาติ มีจุดหมายและมาตรฐานการเรียนรู้ เป็นเป้าหมาย ส าหรับ พัฒนาเด็กและเยาวชนให้มีความรู้ ทักษะ เจตคติ และคุณธรรม บนพื้นฐานของ ความเป็นไทยควบคู่กับความเป็นสากล

- เป็นหลักสูตรการศึกษาเพ่ือปวงชน ที่ประชาชนทุกคนมีโอกาสได้รับการศึกษาอย่างเสมอภาคและมีคุณภาพ - เป็นหลักสูตรการศึกษาที่สนองการกระจายอ านาจ ให้สังคมมีส่วนร่วมในการจัดการศึกษาให้ สอดคล้องกับสภาพและความต้องการของท้องถิ่น - เป็นหลักสูตรการศึกษาที่มีโครงสร้างยืดหยุ่นทั้งด้านสาระการเรียนรู้ เวลา และการจัดการเรียนรู้ - เป็นหลักสูตรการศึกษาที่เน้นผู้เรียนเป็นส าคัญ - เป็นหลักสูตรการศึกษาส าหรับการศึกษาในระบบ นอกระบบ และตามอัธยาศัย ครอบคลุมทุก กลุ่มเป้าหมาย สามารถเทียบโอนผลการเรียนรู้ และประสบการณ์

1.3 จุดหมาย

หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน มุ่งพัฒนาผู้ เรียนให้เป็นคนดี มีปัญญา มีความสุข มีศักยภาพในการศึกษาต่อ และประกอบอาชีพ จึงก าหนดเป็นจุดหมาย เพ่ือให้เกิดกับผู้เรียนเมื่อจบการศึกษาข้ันพื้นฐาน ดังนี้

- มีคุณธรรม จริยธรรม และค่านิยมที่พึงประสงค์ เห็นคุณค่าของตนเอง มีวินัยและปฏิบัติตนตาม หลักธรรมของพระพุทธศาสนา หรือศาสนาที่ตนนับถือ ยึดหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง - มีความรู้อันเป็นสากลและมีความสามารถในการสื่อสาร การคิด การแก้ปัญหา การใช้เทคโนโลยี และมีทักษะชีวิต - มีสุขภาพกายและสุขภาพจิตที่ดี มีสุขนิสัย และรักการออกก าลังกาย - มีความรักชาติ มีจิตส านึกในความเป็นพลเมืองไทยและพลโลก ยึดมั่นวิถีชีวิตและการปกครองตาม ระบอบประชาธิปไตยอันมีพระมหากษัตริย์ทรงเป็นประมุข - มีจิตส านึกในการอนุรักษ์วัฒนธรรมและภูมิปัญญาไทย การอนุรักษ์และพัฒนาสิ่งแวดล้อม มีจิต สาธารณะที่มุ่งท าประโยชน์และสร้างสิ่งที่ดีงามในสังคม และอยู่ร่วมกันในสังคมอย่างมีความสุข

1.4 สมรรถนะส าคัญของผู้เรียน

นอกจากนี้ หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน ยังมุ่งพัฒนาผู้เรียนให้มีคุณภาพตามมาตรฐานการเรียนรู้ ซึ่งการพัฒนาผู้เรียนให้บรรลุมาตรฐานการเรียนรู้ที่ก าหนดนั้น จะช่วยให้ผู้เรียนเกิดสมรรถนะส าคัญ 5 ประการ ดังนี้

1. ความสามารถในการสื่อสาร เป็นความสามารถในการรับและส่งสาร มีวัฒนธรรมในการใช้ภาษา ถ่ายทอดความคิด ความรู้ความเข้าใจ ความรู้สึก และทัศนะของตนเองเพ่ือแลกเปลี่ยนข้อมูลข่าวสาร และประสบการณ์อันจะเป็นประโยชน์ต่อการพัฒนาตนเองและสังคม รวมทั้งการเจรจาต่อรองเพ่ือขจัดและลดปัญหาความขัดแย้งต่างๆ การเลือกรับหรือไม่รับข้ อมูลข่าวสารด้วยหลักเหตุผล และความถูกต้องตลอดจนการเลือกใช้วิธีการสื่อสารที่มีหลักประสิทธิภาพโดยค านึงถึงผลกระทบที่มีต่อตนเองและสังคม

2. ความสามารถในการคิด เป็นความสามารถในการคิดวิเคราะห์ การคิดสังเคราะห์ การคิดอย่างสร้างสรรค์ การคิดอย่างมีวิจารณญาณ และการคิดเป็นระบบ เพ่ือน าไปสู่การสร้างองค์ความรู้หรือสารสนเทศเพ่ือการตัดสินใจเกี่ยวกับตนเองและสังคมได้อย่างเหมาะสม

ความสามารถทางด้านการคิดมีความจ าเป็นส าหรับผู้เรียนอย่างยิ่ง ในที่นี้จะขอกล่าวถึงความหมายของและความส าคัญของการคิดพอสังเขป

การคิดวิเคราะห์(Critical Thinking) หมายถึง ความสามารถในการแยกแยะเพ่ือหาส่วนย่อยของ เหตุการณ์เรื่องราวหือเนื้อหาต่างๆว่าระกอบด้วยอะไร มีความส าคัญอย่างไร อะไรเป็นเหตุอะไรเป็นผลและเป็นอย่างนั้นอาศัยหลักการของอะไรบ้าง

การคิดสังเคราะห์ (Synthesis) หมายถึง ความสามารถในการคิดที่ดึงองค์ประกอบต่างๆ มารวมกัน ภายใต้โครงสร้างใหม่อย่างเหมาะสม ตรงตามวัตถุประสงค์ เป็นการค้นคว้ารวบรวมข้อมูล เพ่ือสรุปความสัมพันธ์ของข้อมูลย่อยๆ เป็นหลักการหรือแนวคิดใหม่ที่มีคุณค่าและคุณภาพสูงกว่าเดิม องค์ประกอบของการคิดสังเคราะห์

การคิดอย่างสรา้งสรรค์ หรือการคิดอย่างมีวิจารณญาณ (Critical Thinking) หมายถึง กระบวนการคิดของสมองซึ่งมีความสามารถในการคิดได้หลากหลายและแปลกใหม่จากเดิม โดยสามารถน าไปประยุกต์ทฤษฎี หรือหลักการได้อย่างรอบคอบและมีความถูกต้อง จนน าไปสู่การคิดค้นและสร้างสิ่งประดิษฐ์ที่แปลกใหม่หรือรูปแบบความคิดใหม่

การคิดเป็นระบบ (System Thinking) หมายถึง วิธีการคิดอย่างมีขั้นตอน แบบแผน มีเหตุมีผล ท าให้ผลของการคิด หรือผลของการแก้ปัญหาที่ได้นั้นมีความถูกต้อง แม่นย า และรวดเร็ว

3. ความสามารถในการแก้ปัญหา เป็นความสามารถในการแก้ปัญหาและอุปสรรคต่างๆ

ที่เผชิญได้อย่างถูกต้องและเหมาะสมบนพ้ืนฐานของหลักเหตุและผล คุณธรรมและข้อมูลสารสนเทศ เข้าใจความสัมพันธ์และการเปลี่ยนแปลงของเหตุการณ์ต่าง ๆในสังคม แสวงหาความรู้ ประยุกต์ความรู้มาใช้ในการป้องกันและแก้ไขปัญหาและมีการติดสินใจที่มีประสิทธิภาพโดยค านึงถึงผลกระทบที่ เกิดข้ึนต่อตนเอง สังคมและสิ่งแวดล้อม

4. ความสามารถในการใช้ทักษะชีวิต เป็นความสามารถในการน ากระบวนการต่าง ๆไปใช้ในการด าเนินชีวิตประจ าวัน การเรียนรู้ด้วยตนเอง การเรียนรู้อย่างต่อเนื่อง การท างาน และการอยู่ร่วมกันในสังคมด้วยการสร้างเสริมความสัมพันธ์อันดีระหว่างบุคคล การจัดการปัญหาและขจัดความขัดแย้งต่างๆ อย่างเหมาะสม การปรับตัวให้ทันกับการเปลี่ยนแปลงของสังคมและสภาพแวดล้อม และการรู้จักหลีกเลี่ยงพฤติกรรมไม่พึงประสงค์ที่ส่งผลกระทบต่อตนเองและผู้อื่น

5. ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี เป็นความสามารถในการเลือกและใช้เทคโนโลยีด้านต่าง ๆ และมีทักษะกระบวนการทางเทคโนโลยี เพ่ือการพัฒนาตนเองและสังคม ในด้านการเรียนรู้ การสื่อสาร การท างาน การแก้ปัญหาอย่างสร้างสรรค์ ถูกต้องเหมาะสม และมีคุณธรรม

1.5 คุณลักษณะอันพึงประสงค์

หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน มุ่งพัฒนาผู้เรียนให้มีคุณลักษณะอันพึงประสงค์ เพ่ือให้สามารถอยู่ร่วมกับผู้อ่ืนในสังคมได้อย่างมีความสุข ในฐานะเป็นพลเมืองไทยและพลโลก ดังนี้

1. รักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ 2. ซื่อสัตย์สุจริต 3. มีวินัย 4. ใฝ่เรียนรู้ 5. อยู่อย่างพอเพียง 6. มุ่งม่ันในการท างาน 7. รักความเป็นไทย 8. มีจิตสาธารณะ

1.6 มาตรฐานการเรียนรู้

การพัฒนาผู้เรียนให้เกิดความสมดุล ต้องค านึงถึงหลักพัฒนาการทางสมองและพหุปัญญา หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน จึงก าหนดให้ผู้เรียนรู้ 8 กลุ่มสาระการเรียนรู้ ดังนี้

1. ภาษาไทย 2. คณิตศาสตร์ 3. วิทยาศาสตร์ 4. สังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรม 5. สุขศึกษาและพลศึกษา 6. ศิลปะ 7. การงานอาชีพและเทคโนโลยี 8. ภาษาต่างประเทศ

ในแต่ละกลุ่มสาระการเรียนรู้ได้ก าหนดมาตรฐานการเรียนรู้ เป็นเป้าหมายส าคัญของการพัฒนาคุณภาพผู้เรียน มาตรฐานการเรียนรู้ ระบุสิ่งที่ผู้เรียนพึงรู้และปฏิบัติได้ มีคุณธรรม จริยธรรม และค่านิยมที่พึงประสงค์ ที่ต้องการให้เกิดแก่ผู้เรียนเมื่อจบการศึกษาขั้นพ้ืนฐานนอกจากนั้น

มาตรฐานการเรียนรู้ ยังเป็นกลไกส าคัญ ในการขับเคลื่อนพัฒนาการศึกษาทั้งระบบ เพราะมาตรฐาน การเรียนรู้จะสะท้อนให้ทราบว่า ต้องการอะไร ต้องสอนอะไร จะสอนอย่างไร และประเมินอย่างไร รวมทั้งเป็นเครื่องมือในการตรวจสอบเพ่ือการประกันคุณภาพการศึกษา โดยใช้ระบบการประเมินคุณภาพภายใน และการประเมินคุณภาพภายนอก ซึ่งรวมถึงการทดสอบระดับเขตพ้ืนที่การศึกษา และการทดสอบระดับชาติ ระบบการตรวจสอบเพ่ือประกันคุณภาพดังกล่าวเป็นสิ่งส าคัญที่ช่วยสะท้อนภาพการจัดการศึกษาว่าสามารถพัฒนาผู้เรี ยนให้มีคุณภาพตามท่ีมาตรฐานการเรียนรู้ก าหนดเพียงใด

1.7 คุณภาพผู้เรียนเมื่อจบชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

หลักสูตรได้ก าหนดว่าผู้เรียนที่จบชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายควรมีคุณภาพดังนี้

- มีความคิดรวบยอดเก่ียวกับระบบจ านวนจริง ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนจริง จ านวนจริงที่อยู่ในรูป กรณฑ์ และจ านวนจริงที่อยู่ในรูปเลขยกก าลังที่มีเลขชี้ก าลังเป็นจ านวนตรรกยะ หาค่าประมาณของ จ านวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ และจ าวนจริงที่อยู่ในรูปเลขยกก าลังโดยใช้วิธีการค านวณที่เหมาะสม และสามารถน าสมบัติของจ านวนจริงไปใช้ได้ - น าความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้คาดคะเนระยะทาง และใช้ความรู้เกี่ยวกับแผนภาพเวนน์- ออยเลอร์แสดงเซตไปใช้แก้ปัญหา และตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการใช้เหตุผล - เข้าใจและสามารถใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยได้ - มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับความสัมพันธ์และฟังก์ชั่น สามารถใช้ความสัมพันธ์และฟังก์ชั่นแก้ปัญหา ในสถานการณ์ต่างๆได้ - เข้าใจความหมายของล าดับเลขคณิต ล าดับเรขาคณิต และสามารถหาพจน์ทั่วไปได้ เข้าใจความหมาย ของผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิตโดยใช้สูตรและน าไปใช้ได ้- รู้และเข้าใจการแก้สมการ และอสมการตัวแปรตัวเดียวดีกรีไม่เกินสอง รวมทั้งใช้กราฟของสมการ อสมการ หรือฟังก์ชั่นในการแก้ปัญหา - เข้าใจวิธีการส ารวจความคิดเห็นอย่างง่าย เลือกใช้ค่ากลางได้เหมาะสมกับข้อมูลและวัตถุประสงค์

สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ เปอร์เซ็นไทล์ของ ข้อมูล วิเคราะห์ข้อมูล และน าผลจากการวิเคราะห์ข้อมูลไปช่วยในการตัดสินใจ 1.8 มาตรฐานการเรียนรู้สาระคณิตศาสตร์ สาระที่ 1 จ านวนและการด าเนินการ มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจถึงความหลากหลายของการแสดงจ านวนและการใช้จ านวนในชีวิตจริง มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจถึงผลที่เกิดขึ้นจากการด าเนินการของจ านวนและความสัมพันธ์ระหว่างการ ด าเนินการต่าง ๆและใช้การด าเนินการในการแก้ปัญหา มาตรฐาน ค 1.3 ใช้การประมาณค่าในการค านวณและแก้ปัญหา มาตรฐาน ค 1.4 เข้าใจระบบจ านวนและน าสมบัติเกี่ยวกับจ านวนไปใช้ สาระที่ 2 การวัด มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับการวัด วัดและคาดคะเนขนาดของสิ่งที่ต้องการวัด มาตรฐาน ค 2.2 แก้ปัญหาเกี่ยวกับการวัดสาระที่ 3 เรขาคณิต สาระที่ 3 เรขาคณิต มาตรฐาน ค 3.1 อธิบายและวิเคราะห์รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ มาตรฐาน ค 3.2 ใช้การนึกภาพ (visualization) ใช้เหตุผลเกี่ยวกับปริภูมิ (spatial reasoning) และใช้ แบบจ าลองทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแก้ปัญหา สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.1 เข้าใจและวิเคราะห์รูปแบบ (pattern) ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical

model) อ่ืน ๆ แทนสถานการณ์ต่าง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าไปใช้แก้ปัญหา

สาระที่ 5 การวิเคราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น มาตรฐาน ค 5.1 เข้าใจและใช้วิธีการทางสถิติในการวิเคราะห์ข้อมูล มาตรฐาน ค 5.2 ใช้วิธีการทางสถิติและความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์ได้อย่าง สมเหตุสมผล มาตรฐาน ค 5.3 ใช้ความรู้เกี่ยวกับสถิติและความน่าจะเป็นช่วยในการตัดสินใจและแก้ปัญหา สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย

ทาง คณิตศาสตร์ และการน าเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

จากการศึกษาและวิเคราะห์หลักสูตรการศึกษาขั้นพ้ืนฐานท าให้สามารถตั้งวัตถุประสงค์และเป้าหมายของการจัดการเรียนการสอนได้อย่างมีทิศทาง ทั้งนี้ผู้วิจัยได้ก าหนดเนื้อหาสาระ ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ตรงตามสาระและมาตรฐานการเรียนรู้ที่ก าหนดไว้อย่างชัดเจน

บทที ่2

ความหมายและความส าคญัของทกัษะและกระบวนการทางคณติศาสตร์

2.1 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์มีบทบาทส าคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดมนุษย์ ท าให้มนุษย์มีความคิด

สร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วน รอบคอบ ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา และน าไปใช้ในชีวิตประจ าวันได้อย่างถูกต้อง เหมาะสม นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและศาสตร์อ่ืน ๆ คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการด าเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีขึ้น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อ่ืนได้อย่างมีความสุข การเรียนคณิตศาสตร์ให้มีความหมายและเกิดคุณค่ากับผู้เรียนนั้น ผู้เรียนจ าเป็นต้องได้รับการพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสาระหนึ่งในกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ คือ ความสามารถที่จะน าความรู้ไปประยุกต์ใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ เพ่ือให้ได้มาซึ่งความรู้และประยุกต์ใช้ในชีวิตประจ าวันได้อย่างมีประสิทธิภาพ เน้นที่ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ คือ การแก้ปัญหา การเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์กับศาสตร์อ่ืน การแสดงเหตุผล การน าเสนอและการสื่อสาร ความคิดสร้างสรรค ์

1. ทักษะการแก้ปัญหา เป็นกระบวนการที่ผู้เรียนควรจะรู้ ฝึกฝน และการพัฒนาให้เกิดทักษะขึ้นในตัวนักเรียนปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์ที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ซึ่งเผชิญอยู่และต้องการค้นหาค าตอบโดยที่ยังไม่รู้วิธีการหรือขั้นตอนที่จะได้ค าตอบของสถานการณ์นั้นในทันท ี

รปูแบบกระบวนการแกป้ญัหาตามแนวคดิของโพลยา (Polya)

ขั้นที่ 1 ขั้นท าความเข้าใจปัญหาเป็นการคิดเกี่ยวกับปัญหาและตัดสินว่าอะไรที่ต้องการค้นหา โดยผู้เรียนต้องท าความเข้าใจปัญหาและระบุส่วนที่ส าคัญของปัญหา

ขั้นที่ 2 ขั้นวางแผนแก้ปัญหา เป็นการค้นหาความเชื่อมโยงหรือความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลและตัวไม่รู้ค่า น าความสัมพันธ์ที่ได้มาผสมผสานกับประสบการณ์ ก าหนดแนวทางหรือแผนในการแก้ปัญหา

ขั้นที่ 3 ขั้นด าเนินการตามแผน เป็นการลงมือปฏิบัติตามแผนหรือแนวทางที่วางไว้ อาจตรวจสอบความเป็นไปได้ของแผน เพ่ิมเติมรายละเอียด แล้วลงมือปฏิบัติจนได้ความส าเร็จ ถ้าไม่

ส าเร็จต้องค้นหาและท าการแก้ปัญหาจนสามารถแก้ปัญหาได้

ขั้นที่ 4 ขั้นตรวจสอบผล เป็นการมองย้อนกลับไปยังค าตอบที่ได้มา เริ่มจากการตรวจสอบความถูกต้อง ความสมเหตุสมผลของค าตอบและยุทธวิธีแก้ปัญหาที่ใช้ มีค าตอบหรือยุทธวิธีอ่ืนในการแก้ปัญหานี้อีกหรือไม่

2. ทักษะการให้เหตุผล หมายถึง กระบวนการการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ต้องอาศัยการคิดวิเคราะห์และ/หรือ ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ในการรวบรวมข้อเท็จจริง/ข้อความ/แนวคิด/สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ แจกแจงความสัมพันธ์หรือการเชื่อมโยงเพ่ือท าให้เกิดข้อเท็จจริงหรือสถานการณ์ใหม ่

3.ทักษะการสื่อสาร และการน าเสนอ เป็น กระบวนการถ่ายทอดข่าวสารจากผู้ส่งสารไปยังผู้รับสารโดยน าเสนอผ่านช่องทางการสื่อสารต่าง ๆ ได้แก่ การฟัง การพูด การอ่าน การเขียน การดู การแสดงท่าทาง โดยมีการใช้สัญลักษณ์ ตัวแปร ตาราง กราฟ สมการ อสมการ ฟังก์ชันและแบบจ าลอง ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์มาช่วยในการสื่อความหมาย

4. ทักษะการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ เป็น กระบวนการที่ต้องอาศัยการคิด วิเคราะห์และความคิดสร้างสรรค์ ในการน าความรู้ เนื้อหาสาระและหลักการทางคณิตศาสตร์มาสร้างความสัมพันธ์อย่างเป็นเหตุเป็นผลระหว่างความรู้และทักษะ/กระบวนการที่มีเนื้อหาคณิตศาสตร์กับงานท่ีเกี่ยวข้องเพ่ือน าไปสู่การแก้ปัญหาและการเรียนรู้แนวคิดใหม่ที่ซับซ้อนหรือสมบูรณ์ขึ้น

5. ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ เป็น กระบวนการคิดท่ีอาศัยความรู้พ้ืนฐาน จินตนาการและวิจารณญาณ ในการพัฒนาหรือคิดค้นองค์ความรู้หรือสิ่ งประดิษฐ์ใหม่ ๆ ที่มีคุณค่าและเป็นประโยชน์ต่อตนเองและสังคม ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์มีหลายระดับ ตั้งแต่ระดับพ้ืนฐานที่สูงกว่าความคิดพ้ืนๆ เพียงเล็กน้อย ไปจนกระทั่งเป็นความคิดที่อยู่ในระดับสูงมาก องค์ประกอบของความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ความคิดคล่อง ความคิดยืดหยุ่น ความคิดริเริ่ม ความคิดละเอียดลออ

บทที ่3 กิจกรรมพฒันาทกัษะและกระบวนการทางคณติศาสตร ์

กิจกรรมกิจกรรมพัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์จัดท าขึ้นตาม

วัตถุประสงค์หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน มุ่งเน้นพัฒนาผู้เรียนให้มีคุณภาพตามมาตรฐานการเรียนรู้ ซึ่งเนื้อหาภายในจะน าเสนอการจัดกิจกรรมเพ่ือเสริมสร้างทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ให้แก่ผู้เรียน ท าให้ผู้เรียนมีความคิดสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างรอบคอบ ท าให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ และแก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม

หนแูดงจา่ยตลาด

ปญัหา

ภาพประกอบ

หมู 1 ตัว ราคา 20 บาท

เป็ด 1 ตัว ราคา 1 บาท

ไก่ 5 ตัว ราคา 1 บาท

พ่อมีเงิน 100 บาท ให้หนูแดงไปจ่ายตลาด ซึ่งหมูตัวละ 20 บาท เป็ดตัวละ 1 บาท และไก่ 5 ตัว 1 บาท จงช่วยหนูแดงคิดว่าต้องซื้ออะไรบ้างถึงจะได้ 100 ตัว (จุดประสงค์พ่อคือใช้เงินหมด 100 บาท แล้วได้หมู เป็ด และไก่รวมกันได้ 100 ตัวพอดี)

วนั เดอืน ป ี

ปญัหา

เรื่องของเมือ่วาน

ถ้าเม่ือวานของเมื่อวานซืนเป็นวันอังคาร แล้ว 100 วันที่แล้วของวันนี้เป็นวันอะไร

เจา้ชายกบ

ปญัหา

เจ้าชายกบอาศัยอยู่ในบ่อน้ าศักดิ์สิทธิ์ซึ่งขุดลึกลงไปใต้พ้ืนดินลึก 21 เมตร วันหนึ่งเจ้าชายกบต้องการออกไปดูโลกภายนอกจึงตัดสินใจเริ่มปีนออกจากบ่อน้ าแห่งนี้ในเวลา 6 โมงเช้า เนื่องจากผนังของบ่อน้ าเต็มไปด้วยโคลนที่สุดแสนลื่นท าให้เจ้าชายกบต้องใช้เวลาถึง 15 นาที จึงจะปีนบ่อน้ าขึ้นมาได้ระยะทาง 3 เมตร แล้วเจ้าชายกบก็หมดแรงจึงหยุดพัก 5 นาที แต่ในขณะที่เจ้าชายกบหยุดพัก ความลื่นของโคลนก็ท าให้เจ้าชายกบไถลกลับลงมา 1 เมตร หลังจากพักเสร็จเจ้าชายกบก็หายเหนื่อยปีนต่อไปได้ ซึ่งเจ้าชายกบก็ปีนขึ้นสลับกับลื่นลงด้วยอัตราเช่นนี้อยู่ซักพัก จนในที่สุดความมุมานะของเจ้าชายกบก็ปีนออกจากบ่อน้ าแห่งนี้ได้ส าเร็จ อยากทราบว่าเจ้าชายกบปีนออกจากบ่อน้ าแห่งนี้ได้ส าเร็จเวลาใด

อฐูกนิขา้ว

ปญัหา

ชายคนหนึ่งเช่าอูฐสองตัว เพ่ือขนข้าวจ านวน 3,000 กิโลกรัม จากหมู่บ้านของเขา เพ่ือไปขายที่ตลาดของหมู่บ้านอีกแห่งหนึ่งโดยต้องข้ามทะเลทราย ระยะทาง 1,000 กิโลเมตร ทุกๆระยะทาง 250 กิโลกรัม จะมีโกดังส าหรับเก็บข้าวไว้ ถ้าอูฐสองตัวสามารถขนข้าวได้ครั้งละ 1,000 กิโลกรัม และอูฐทั้งสองตัวจ าเป็นต้องกินข้าวเป็นอาหารจ านวน 1 กิโลกรัม ต่อระยะทาง 1 กิโลเมตร อยากทราบว่าเมื่อถึงตลาดของหมู่บ้านอีกแห่งหนึ่งชายคนนี้จะเหลือข้าวไว้ขายกี่กิโลกรัม

ไปยงัไงดนีะ

ปญัหา

ปัญหาตรรกศาสตร์ข้อนี้ปรากฏอยู่ในงานเขียนชิ้นหนึ่งในสมัยศตวรรษที่ 18 ชาวนาคนหนึ่งต้องการพาแพะ สุนัขป่า และกะหล่ าปลีข้ามแม่น้ า แต่เรือสามารถบรรทุกได้แต่เพียงตัวเขากับแพะ หรือสุนัขป่า หรือกะหล่ าปลี อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้าพาสุนัขป่าลงเรือไปด้วย แพะจะกินกะหล่ าปลี ถ้าน ากะหล่ าปลีไปด้วย สุนัขป่าจะกินแพะ กะหล่ าปลีกับแพะจะปลอดภัยก็ต่อเมื่อมีชาวนาอยู่ด้วยเท่านั้น

ชาวนาจะพาแพะ สุนัขป่า และกะหล่ าปลีข้ามแม่น้ าไปได้อย่างไร

จราจรอจัฉรยิะ

ปญัหา

เนื่องจากมีผู้ป่วยอาการหนักอยู่ในรถพยาบาล(A) จึงต้องรีบน าไปส่งโรงพยาบาลโดยด่วน ขอให้ช่วยกันน ารถพยาบาลออกจากที่จอดรถภายในเวลาไม่เกิน 5 นาที ซึ่งที่จอดรถมีรถทั้งหมด 12 คัน (ไม่รวมรถพยาบาล) หมายเหตุ : รถทุกคันมีเฉพาะเกียร์เดินหน้ากับถอยหลังเท่านั้น

Game Over

ปญัหา

เกมนี้ ใช้เล่นระหว่างผู้เล่นสองฝ่าย โดยเล่นบนกระดานขนาด 4×4 ช่อง แต่ละฝ่ายมีหมากรูปตัว L ขนาด 3×2 ฝ่ายละ 1 ตัว และมีหมากรูปสามเหลี่ยมวางอยู่บนกระดาน 2 ตัว ผู้เล่นผลัดกันเลื่อนหมากของตนไปในต าแหน่งใดก็ได้ และสามารถเลือกท่ีจะเลื่อนหมากรูปสามเหลี่ยมได้ 1 ตัว ผู้ที่ไม่สามารถเลื่อนหมากต่อได้เป็นฝ่ายแพ้

ปรศินาของหอคอยแหง่ฮานอย

ปญัหา

เคลื่อนย้ายกองจานทั้งหมดจากหมุด A ไปไว้ที่หมุด C โดยการเคลื่อนย้ายจานจะต้องเป็นไปตามกฎดังนี้คือ ย้ายแผ่นจานได้ทีละแผ่นเท่านั้น ห้ามย้ายออกไปที่อ่ืนนอกจากในหลัก 3 ต าแหน่งนี้ไม่สามารถน าแผ่นจานที่ใหญ่กว่าทับแผ่นจานที่เล็กกว่าได้

คดิในใจ

ปญัหา

มีตารางตัวเลขเรียงล าดับอยู่ตารางหนึ่ง โดยแต่ละแถวจะเรียงกัน 7 ตัว (ดังรูป) ถ้าเราเอากรอบมุมฉากครอบตัวเลขทั้งสามที่อยู่ในกรอบดู (เช่น ในรูปจะได้ผลบวกเท่ากับ 8 + 9 + 15 = 32) ปรากฏว่าผลบวกได้เท่ากับ 328

จงหาว่าต้องการวางกรอบนี้ในต าแหน่งใดและทิศทางอย่างไร โดยกรอบสามารถวางครอบได้ 4 แบบ คือ

รกัพีร่อไมน่าน

ปญัหา

ชายคนหนึ่งต้องขับรถเพ่ือไปรับแฟนสาวของเขา แต่เขาต้องเจอกับการจารจรที่ซับซ้อน เราจึงต้องคิดหาเส้นทางเพ่ือช่วยให้เขาไปรับแฟนสาวได้ทันเวลา กติกา ผู้เล่นต้องไปรับแฟนสาว โดยสามารถเคลื่อนที่ได้ตามลูกศรเท่านั้น และใช้เวลาไม่เกิน 5 นาที

NIM

ปญัหา

กตกิาในการเลน่

1. มีกองฝาขวด 3 กอง แต่ละกองมีฝาอยู่ 3, 4, 5 ฝา ตามล าดับผู้เล่นจะผลัดกันหยิบฝาขวด

2. ในการหยิบแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องหยิบฝาขวดออกจากกองฝาขวดกองใดกองหนึ่ง และต้องหยิบอย่างน้อย 1 ฝา และมากสุด 3 ฝา

3. ผู้เล่นที่หยิบฝาขวด ฝาสุดท้าย จะเป็นผู้ชนะ (ผู้ที่หยิบต่อไม่ได้ เป็นผู้แพ้)

ปรศินากลไมข้ดีไฟ

ปญัหา

ลักษณะการเรยีงไมข้ดีไฟ

วธิกีารเลน่

1. โจทย์จะก าหนดสมการที่ไม่เป็นจริงมาให้ และให้ผู้เล่นเรียงไม้ขีดไฟตามโจทย์

เช่น 1 + 5 = 4

2. ย้ายไม้ขีดไฟ 1 ก้าน ที่ท าให้สมการเป็นจริง

ปรศินาแทนแกรม

ปญัหา

รูปแบบแทนแกรมฉบับดั้งเดิมที่ประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสมาตรฐาน จะพบรูปหลายเหลี่ยมทั้ง 7 ชิ้นส่วน ประกอบด้วย รูปสามเหลี่ยมมุมฉากขนาดเล็ก 2 ชิ้น รูปสามเหลี่ยมมุมฉากขนาดกลาง 1 ชิ้น รูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ 2 ชิ้น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 ชิ้น และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอีก 1 ชิ้น ซึ่งรูปสามเหลี่ยมขนาดกลาง รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ล้วนแต่มีพ้ืนที่เป็นสองเท่าของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขนาดเล็ก และสามเหลี่ยมมุมฉากขนาดใหญ่แต่ละชิ้นมีพ้ืนที่เป็น 4 เท่าของสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดเล็ก กติกามาตรฐานสากลในการต่อแทนแกรม คือการเลื่อน หมุน และพลิกชิ้นส่วนทั้งเจ็ดนั้นให้เป็นภาพต่างๆ โดยอาจจะเป็น คน สัตว์ หรือสิ่งของก็ได้ การต่อภาพแทนแกรมแบบมาตรฐานนั้น จะต้องไม่มีชิ้นส่วนใดเสริมขึ้นมา หรือขาดไปจากเจ็ดชิ้นส่วนมาตรฐานจึงจะสมบูรณ์

เรอืรบประจญับาน ปญัหา

ค ำส่ัง ใหน้ ำเรือไปวำงไวใ้นช่องต่ำงๆจนครบตำมท่ีก ำหนด ช่องท่ีเหลือจึงเป็นน ้ำทะเล โดยกำรวำงเรือนั้นสำมำรถไดท้ั้งแนวตั้ง หรือแนวนอน เรือแต่ละล ำจะตอ้งเวน้ดว้ยน ้ำทะเลอยำ่งนอ้ย 1 ช่อง น ้ำทะเล ใช ้1 ช่อง เติมลงในช่องวำ่งท่ีไม่มีเรือ

เรือขนส่งเคร่ืองบิน ใชล้ ำละ 4 ช่อง จะตอ้งวำง 1 ล ำ เรือรบ ใชล้ ำละ 3 ช่อง จะตอ้งวำง 2 ล ำ

เรือเดินสมุทร ใชล้ ำละ 2 ช่อง จะตอ้งวำง 3 ล ำ

เรือด ำน ้ำ ใชล้ ำละ 1 ช่อง จะตอ้งวำง 4 ล ำ ** หมำยเหตุ Hint แสดงจ ำนวนช่องท่ีวำงเรือในแต่ละแนวตั้ง/แนวนอน

1) เร่ิมจำกแบบง่ำยกนัก่อน เติมใหแ้ลว้หลำยช่อง

2) เพิ่มควำมยำกอีกนิด เติมใหบ้ำงช่อง

ปรศินาค าไขว ้(จ านวน)

ปญัหา

เติมปริศนาลงในช่องตัวอักษรที่ได้ก าหนดไว้ในตาราง

แนวนอน แนวตัง้

ก. 3 เท่าของ 8 ข. มากกว่า 33 อยู่เท่ากับ 8

ค. ผลบวกของ 12 กับ 18 ค. 8 เท่าของ 4

จ. ผลคูณของ 48 กับ 4 ง. 4 เท่าของ 4

ซ. 28 + 33 ฉ. น้อยกว่า 100 อยู่ 1

ญ. 87 หักออกจาก 100 ช. 3 เท่าของ 21

ฎ. 4 เท่าของ 9 ฌ น้อยกว่า 140 อยู่ 1

ฏ. ผลต่างของ 122 กับ 57 ญ. มากกว่า 150 อยู่ 2

ฐ. ผลบวกของ 18, 16 และ 15 ฐ. 4 เท่าของ 10

ฒ. จ านวนสตางค์ใน 1 สลึง ฑ. 1 โหล

ด. ผลบวกของ 76 และ 47 ณ. สองสลึงมี่ก่ีสตางค์ ถ. น้อยกว่า 100 อยู่ 2 ด. 9 คู่ ท. 2 เท่าของ 32 ต. 3 โหล

0 - 9 บวก ลบ ได้ หนึง่รอ้ย

ปญัหา

จากตัวเลขบนเครื่องคิดเลข 0-9 ให้น าตัวเลขทุกตัวบนเครื่องคิดเลขมาใช้ วิธีการด าเนินการ บวก ลบ โดยห้ามใช้ตัวเลขซ้ ากัน มาบวกกันหรือลบกันให้ได้ 100 พอดี

LED Miracle

ปญัหา

ตัวเลข 0-9 ที่ปรากฏบนเครื่องคิดเลขท่ีใช้ตัว LED นั้น โดยแต่ละตัวจะแสดงดังนี้

ทีนี้เราจะสังเกตเห็นว่า เมื่อเรามองตัวเลขกลับหัว ก็จะมีบางตัวเห็นเป็นตัวเลขได้ เมื่อสร้างเลขสองหลักด้วยชิ้นส่วนนี้ขึ้นมา ปรากฏว่าผลต่างระหว่างค่าของมันกลับค่าท่ีมองกลับหัวเป็นดังนี้

จงหาค่าเหล่านี้ ส าหรับตัวแรกท่ีผลต่างเท่ากับ 6 จะมีค่าเป็นได้สองค่าเท่านั้น (สมมติให้ 1 เมื่อมองจากทางด้านกลับหัวก็ยังคงเป็น1 ถึงต าแหน่งที่ปรากฏจะต่างกัน)

ท าไดไ้หม.....ดาว

ปญัหา

มีตัวเลขอยู่ 10 ตัว คือ 1-12 ยกเว้น 7 และ 11 จัดตัวเลขให้ผลบวกท่ีอยู่ในเส้นตรงเดียวกันแต่ละแนวมีค่าเท่ากับ 24 (โดยแต่ละช่องตัวเลขไม่ซ้ ากัน)

Ken Ken

ปญัหา

Ken Ken ประกอบด้วยตารางหลายขนาด เช่น , , และ ตารางขนาด 3 x3 มีวิธีการแก้ปัญหาดังนี้

1.เติมเลขโดดตั้งแต่ 1 ถึง 3 ลงในตารางโดยที่ทุกแถวและทุกหลักมีเลขโดดตั้งแต่ 1 ถึง 3 ครบทุกตัว

2.เลขโดดที่เติมจะต้องใช้ตัวด าเนินการตามที่ก าหนดให้ และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจ านวนตามท่ี ก าหนดไว้

3.ส าหรับกรอบที่มีเพียงช่องเดียว / มีตัวเลขก ากับไว้ ให้ใส่เลขโดดที่ก ากับไว้ลงไปได้

ตัวอย่าง ตารางขนาด

ตารางขนาด จะมีวิธีการเล่นในท านองเดียวกับตารางขนาด แต่ผู้เล่นจะต้องเติมเลขโดดตั้งแต่ 1 ถึง 4 ลงในตารางโดยที่ทุกแถวและทุกหลักมีเลขโดดตั้งแต่ 1 ถึง 4 ครบทุกตัว และถ้าตารางมีขนาด และ หรือขนาดอ่ืนๆ วิธีการเล่นก็จะเป็นไปในท านองเดียวกันกับตารางขนาด

ตัวอย่าง ตารางขนาด

ตัวอย่าง ตารางขนาด

มหศัจรรยพ์รีะมดิ

ปญัหา

จงเติมตัวเลขท่ีมีความสัมพันธ์ลงในรูปสามเหลี่ยมที่ว่างไว้ หลักการคือ ตัวเลขที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยมแต่ละช่อง เป็นผลรวมของตัวเลขท่ีอยู่ในรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่อยู่ด้านล่างของมัน

ตัวอย่าง

ข้อ 1)

ข้อ 2)

ข้อ 3)

ตอ่ฉนัส ิ

ปญัหา

ค าชีแ้จง ให้นักเรียนน าชิ้นส่วนจิ๊กซอว์มาต่อกันลงในตารางต่อไปนี้ โดยให้ตัวเลข 1 อยู่ติดกับ 2

ตัวเลข 3 อยู่ติดกับ 4 และ ตัวเลข 5 อยู่ติดกับ 6

ปรมิาตรที่ใหญท่ีส่ดุ

ปญัหา

กระดาษกราฟหนึ่งแผ่นขนาด 20 × 25 หน่วย ให้สร้างรูปสี่เหลี่ยมที่มีปริมาตรมากที่สุด

25 หน่วย

20 หน่วย

ลกูเตา๋มหาสนกุ

ปญัหา

ค าชีแ้จง จงหาว่าต้องตัดส่วนใดออกบ้าง เพ่ือที่จะให้ส่วนที่เหลือสามารถประกอบโดยพับตามเส้นตาราง ให้เป็นลูกเต๋า 1 ลูกได้ โดยที่ลูกเต๋านั้นเมื่อรวมค่าของหน้า 2 หน้าตรงข้ามกัน ค่าท่ีได้จะเท่ากับ 7 เสมอ

2 5 5 4

1 3 6 3

2 6 1 4

Modular Origami Cube

ขัน้ตอนการท า

1. การพับกระดาษเป็นรูปเรขาคณิตทรงลูกบาศก์แบบนี้ จะใช้วิธีการพับแบบแยกชิ้นประกอบ โดยเราจะต้องใช้กระดาษสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด หกแผ่น ขนาดที่เหมาะสมคือตั้งแต่ 3x3 นิ้วขึ้นไป

2. น ากระดาษในแต่ละแผ่นมา จากนั้นพับครึ่งกระดาษทางขนาน สร้างรอยพับให้คม

3. จะได้รอยพับกระดาษตามรูป

4. ให้พับขอบขนานเข้ามาจรดกันตรงกลางที่รอยพับ ตามรูป สร้างรอยพับ รีดให้คมแล้วคลี่ออก

5. จะได้ตามรูป

6. จากนั้นที่ปลายบนซ้าย และล่างขวา พับมุมกระดาษเข้ามาให้จรดกับรอยพับตามภาพ

7. พับกระดาษกลับเข้ามา

8. ใช้ขอบของมุมที่พับเอาไว้เป็นแนว พับกระดาษตามแนวเฉียงเข้ามาตามรูป

9. จากนั้นคลี่ออก

10. เอากระดาษมุมบนขวาสอดเข้ามาในช่องของแผ่นล่างตามภาพ

11. เสร็จแล้วรีดกระดาษให้เรียบ จะได้ดังรูป

12. มุมด้านล่างเอากระดาษสอดขึ้นไประหว่างคู่ของแผ่นบน

13. รีดกระดาษให้เรียบ จะได้ตามภาพ

14. พลิกกระดาษกลับหลัง จากนั้นพับโดยเอามุมจรดมุม ตามที่แสดงโดยลูกศรในภา

15. จะได้ดังรูป

16. เสร็จแล้วให้คลี่ออกมา

17. วางรอไว้ แล้วให้ท าชิ้นส่วนประกอบแบบเดี ยวกันนี้ อี กห้ าชิ้ น รวมเป็ นทั้งหมดหกชิ้น

18. เมื่อได้ครบหกชิ้นตามรูป ก็จะเริ่ม

ประกอบ

19.เอาแผ่นแรกขึ้นมา จากนั้นเอาปลายของแผนที่ สองสอดเข้ า ไประหว่ า งกระดาษของแผ่นแรกตามภาพ

20. ดันเข้าไปให้สุด

21. เอาแผ่นที่สามมาสอดทางซ้าย

22. ดันเข้าไปให้สุดเช่นกัน

23. จากนั้นน าแผ่นที่สี่มาเอาปลายล่างของแผ่นแรกสอดเข้าไปในแผ่นที่สี่ตามรูป เอ

24. เอามุมว้ายและขวาของแผ่นที่สี่สอดเข้าไปในแผ่นที่สองและสาม เหมือนกับรูปแบบที่เคยท ามา

25. มุมขวาของแผ่นที่สี่ สอดเข้าไปในช่องของแผ่นที่สอง

26. มุมซ้ายของแผ่นที่สี่เสียบเข้าไปใน

ช่องของแผ่นที่สาม

27. เมื่อเสร็จแล้วจะได้ดังรูป

28. วางตามภาพ

29. เอาแผ่นที่ห้ามาวาต่อ

30. เอามุมของกระดาษแผ่นแรก สอด

เข้าไปในแผ่นที่ห้า

บทที ่3 เฉลยกจิกรรมพฒันาการคดิดว้ยคณติศาสตร ์

หนแูดงจ่ายตลาด

ขั้นตอนที ่1 เราต้องคิดหาจ านวนสัตว์ที่ซื้อว่าสัตว์ชนิดใดที่ซื้อแล้วจ่ายเงินน้อยที่สุด แล้วได้ปริมาณมากที่สุด นั่นคือ ไก่ ซึ่งไก่ 5 ตัว ราคา 1 บาท

จะได้ว่า...

ไก่ 5 ตัว ราคา 1 บาท

จ านวนหม ู ราคา (บาท) 5 1 10 2 15 3 : :

95 19 100

*ซื้อไก ่20 บาทไม่ไดเ้พราะได ้100 ตวั 20

ขั้นตอนที ่2 เราต้องซื้อไก่ 19 บาท ได้ไก่ 95 ตัว เหลือเงิน 81 บาท เหลือหมูและเป็ดรวมกันอีก 5 ตัว ดังนั้นเราต้องพิจารณาว่าจะต้องซื้อหมูและเป็ดอย่างละกี่ตัว ส าหรับเงิน 81 บาท

จะได้ว่า...

หมู 1 ตัว ราคา 20 บาท

เป็ด 1 ตัว ราคา 1 บาท

ขั้นตอนที ่3 เรารู้แล้วว่าจะต้องซื้อหมู 4 ตัว ราคา 80 บาท และเหลือเงินอีก 1 บาท ซึ่งต้องซื้อเป็ด 1 ตัว ราคา 1 บาท

สรปุ

หนูแดงจะต้องซื้อ หมู + เป็ด + ไก่ เป็นจ านวน 4 + 1 + 95 = 100 ตัว

และ หนูแดงจะต้องจ่ายเงิน ค่าหมู + ค่าเป็ด + ค่าไก่

เป็นจ านวนเงิน 80 + 1 +19 = 100 บาท

ดังนั้น จะได้ว่า ซื้อหมู 4 ตัว ราคา 80 บาท

ซื้อเป็ด 1 ตัว ราคา 1 บาท

ซื้อไก่ 95 ตัว ราคา 19 บาท

รวมสัตว์ทั้ง 3 ชนิดได้ 100 ตัว และใช้เงินหมด 100 บาท

จ านวนหม ู ราคา (บาท) จ านวนเปด็ ราคา (บาท) 1 20 1 1 2 40 2 2 3 60 3 3 4 80 4 4

5 100

*เงนิไม่พอ 5 5

วัน เดอืน ป ี

จากโจทย์ “ถ้าเม่ือวานของเมื่อวานซืนเป็นวันอังคาร แล้ว 100 วันที่แล้วของวันนี้เป็นวันอะไร”

ขั้นตอนที ่1 จากโจทย์ “ถ้าเม่ือวานของเมื่อวานซืนเป็นวันอังคาร”จะได้ว่า วันนี้เป็นวันศุกร์

ขั้นตอนที ่2 จากโจทย์ “แล้ว 100 วันที่แล้วของวันนี้เป็นวันอะไร” ทราบว่า 100 วันที่แล้วของวันนี้ เท่ากับ 14 สัปดาห์กับอีก 2 วันที่แล้วของวันนี้ (100 = 7(14) + 2 )

ขั้นตอนที ่3 14 สัปดาห์ที่แล้วของวันนี้ คือ วันศุกร์

ขั้นตอนที ่4 14 สัปดาห์กับอีก 2 วันที่แล้วของวันนี้ ก็คือ วันพุธ

ดังนั้น 14 สัปดาห์กับอีก 2 วันที่แล้วของวันนี้ ก็คือ วันพุธ

ตอบ วันพุธ

เจา้ชายกบ

กระบวนการแก้ปัญหาตามข้ันตอนของโพลยา (Polya’s Process) ขั้นตอนที ่1 ท าความเข้าใจปัญหา Understand the problem (Analysis)

สิ่งที่โจทย์ก าหนดให้ - บ่อน้ าศักดิ์สิทธิ์ลึก 21 เมตร - เจ้าชายกบเริ่มปีนบ่อน้ าเวลา 6 โมงเช้า - เจ้าชายกบใช้เวลา 15 นาที ในการปีนบ่อน้ าขึ้นมา 3 เมตร - เมื่อเจ้าชายกบปีนบ่อน้ า 15 นาที จะเหนื่อยและต้องหยุดพัก 5 นาที จึงจะปีนต่อได้

ซึ่งขณะหยุดพัก เจ้าชายกบก็ลื่นไถลลงไป 1 เมตร - เจ้าชายกบต้องการปีนออกจากบ่อน้ าศักดิ์สิทธิ์

สิ่งที่โจทย์ต้องการ - เจ้าชายกบปีนออกจากบ่อน้ าแห่งนี้ได้ส าเร็จเวลาใด

ขั้นตอนที ่2 วางแผนการแก้ปัญหา Devise a plan (Planning)

เมื่อพิจารณาโจทย์พบว่าโจทย์ข้อนี้มีลักษณะเป็นการพรรณนายาวเหยียด แต่เนื้อหาที่พรรณนาพอจะสามารถน ามาเขียนเป็นแผนภาพเพ่ือสรุปสาระส าคัญของปัญหาได้ รวมถึงท าให้เข้าใจโจทย์ได้อย่างถ่องแท้มากยิ่งข้ึนอีกด้วย ดังนั้นเราจึงใช้ ‘‘ยุทธวิธีสร้างภาพ’’ ในการแก้ปัญหา

ขั้นตอนที ่3 ด าเนินการตามแผน Carry out the plan (Implementation) จากโจทย์สามารถน ามาเขียนเป็นแผนภาพได้ดังนี้

จากแผนภาพเปนการเขียนเสนโคงดานบนซึ่งแทนการปนขึ้นบอไดระยะทาง 3 เมตร ในเวลา 15 นาที สลับกับเสนโคงดานลางซึ่งแทนการลื่นไถลกลับลงมา 1 เมตรในระหวางการพัก 5 นาทีจะเห็นไดวาแผนภาพนี้ ประกอบดวยเสนโคงดานบนจ านวน 10 โคง และเสนโคงดานลางจ านวน 9 โคง (จุดสิ้นสุดของเสนโคงดานบน คือเส้นโคงที่ 10 แสดงต าแหนง 21 เมตร ซึ่งแสดงวาเจาชายกบสามารถปนออกจากบอน้ าศักดิ์สิทธิ์ไดส าเร็จ แลวเจาชายกบจึงสามารถไปนั่งพักดานบนโดยไมลื่นไถลกลับลงไปอีก) ดังนั้นเจาชายกบใชเวลาในการปนทั้งสิ้น

(15 x จ านวนเสนโคงบน) + (5 x จ านวนเสนโคงลาง) = (15 x 10) + (5 x 9) = 150 + 45 = 195 นาท ี = 3 ชั่วโมง 15 นาที

นั่นคือเจาชายกบปนออกจากบอน้ าศักดิ์สิทธิ์ไดส าเร็จเมื่อเวลาผานไป 3 ชั่วโมง 15 นาที ซึ่งหากเริ่มนับจากเวลา 6 โมงเชาตอไปอีก 3 ชั่วโมง 15 นาที ก็จะเปนเวลา 9 นาฬิกา 15 นาที เราจึงสรุปวาเจาชายกบปนออกจากบอน้ าศักดิ์สิทธิ์ไดส าเร็จในเวลา 9 นาฬิกา 15 นาที

ขั้นตอนที ่4 ตรวจสอบผล Look back (Reflection) หากพิจารณาโดยตรง คือ ณ เวลา 6:00 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 0 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 6:15 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 3 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 6:20 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 2 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 6:35 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 5 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 6:40 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 4 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 6:55 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 7 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 7:00 น. เจาชายกบจะอยูทีค่วามสูง 6 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 7:15 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 9 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 7:.20 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 8 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 7:.35 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 11 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 7:40 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 10 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 7:55 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 13 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 8:00 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 12 เมตรจากกนบอ

ณ เวลา 8:15 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 15 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 8:20 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 14 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 8:35 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 17 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 8:40 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 16 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 8:55 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 19 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 9:00 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 18 เมตรจากกนบอ ณ เวลา 9:15 น. เจาชายกบจะอยูที่ความสูง 21 เมตรจากกนบอ จะเห็นไดอยางชัดเจนวาสอดคลองกับแผนภาพที่เราไดสรางขึ้น ดังนั้นค าตอบที่เราไดมา จึงมีความสมเหตุสมผล

อูฐกนิขา้ว

ขั้นตอนที ่1 ท าความเข้าใจปัญหา Understand The problem (Analysis) ท าความเข้าใจกับปัญหาว่าปัญหานั้นบอกอะไรบ้าง และต้องการให้หาอะไร สิ่งที่โจทย์ก าหนดให้

- มีข้าว 3,000 กิโลกรัม ขนข้าวระยะทาง 1,000 กิโลกรัม - อูฐสองตัวขนข้าวได้ครั้งละ 1,000 กิโลกรัมเท่านั้น - อูฐสองตัวกินข้าว 1 กิโลกรัม ต่อการเดินทาง 1 กิโลเมตร - ทุกๆ 250 กิโลกรัม จะมีโกดังส าหรับเก็บข้าว

สิ่งที่โจทย์ต้องการ เมื่อเดินทางครบตามระยะทางที่ก าหนดจะเหลือข้าวไว้ขายกี่กิโลกรัม

ขั้นตอนที ่2 วางแผนการแก้ปัญหา Devise a plan (Planning) ทดลองหาวิธีการแก้ปัญหา เช่น วาดภาพแสดงเส้นทางประกอบเพ่ือให้มองเห็นภาพมากยิ่งขึ้น

ขั้นตอนที ่3 ด าเนินการตามแผน Carry out the plan (Implementation)

ด าเนินการหาค าตอบ จะเห็นว่าเมื่อเริ่มเดินทางอูฐสองตัวขนข้าว 1,000 กิโลกรัม จึงเหลือข้าวที่ต้นทาง 2,000 กิโลกรัม ระยะทางที่อูฐทั้งสองตัวเดินไปถึงโกดังแรกระยะทาง 250 กิโลเมตร อูฐก็กินข้าวไป 250 กิโลกรัม และอูฐทั้งสองตัวจะต้องเดินทางกลับไปขนข้าวที่ต้นทางอีก จึงต้องเก็บข้าวไว้กิน 250 กิโลกรัม ดังนั้นจึงเก็บข้าวไว้ที่โกดังแรก 500 กิโลกรัม เมื่ออูฐทั้งสองตัวกลับมาขนข้าวที่ต้นทาง 1,000 กิโลเมตร จะเหลือข้าวที่ต้นทางอีก 1,000 กิโลกรัม อูฐก็จะกินข้าวอีก 250 กิโลกรัม และเก็บไว้กินตอนกลับอีก 250 กิโลกรัม และเหลือข้าวเก็บที่โกดังที่ 1 อีก 500 กิโลกรัม กลับไปเอาข้าวที่เหลือ 1,000 กิโลกรัม และเมื่อถึงโกดังอูฐก็จะกินข้าว 250 กิโลกรัม จะเหลือเก็บ 750 กิโลกรัม รวมกับของเดิมเป็น 1,750 กิโลกรัม จากโกดังที่ 1 อูฐสองตัวขนข้าว 1,000 กิโลกรัม เดินทางต่อไปโกดังที่ 2 ระยะทาง 250 กิโลเมตร กินข้าวไป 250 กิโลกรัม และต้องกลับไปเอาข้าวที่โกดังที่ 1 จึงเก็บข้าวไว้กิน 250 กิโลกรัม เหลือข้าวเก็บโกดังที่ 2 500 กิโลกรัม กลับมาเอาข้าวที่โกดังที่ 1 750 กิโลกรัม และเมื่อถึงโกดังที่ 2 อูฐกินข้าวอีก 250 กิโลกรม จึงเหลือข้าวเก็บในโกดังที่ 2 500 กิโลกรัม รวมของเดิมเป็น 1,000 กิโลกรัม

จากโกดังที่ 2 อูฐสองตัวขนข้าว 1,000 กิโลกรัม เดินทางระยะทางที่เหลือ 500 กิโลเมตร และอูฐกินข้าวไป 500 กิโลกรัม จึงเหลือข้าวไว้ขายที่ตลาด 500 กิโลกรัม การแก้ปัญหาโจทย์เพื่อให้มองเห็นภาพง่ายขึ้นสามารถวาดภาพแสดงเส้นทางของอูฐได้ดังนี้

ต้นทาง ปลายทาง

2,000 กก. 500 กก.

250 กก. 250 กม. 500 กม. 750 กม. 1,000 กม.

250 กก.

1,000 กก. 1,000 กก.

250 กก. 250 กม. 500 กม. 750 กม. 1,000 กม.

250 กก.

1,750 กก.

250 กก. 250 กม. 500 กม. 750 กม. 1,000 กม.

750 กก. 500 กก.

250 กม. 500 กม. 750 กม. 1,000 กม.

250 กก.

1000 กก. 250 กก.

250 กม. 500 กม. 750 กม. 1,000 กม.

250 กก.

500 กก.

250 กม. 500 กม. 750 กม. 1,000 กม.

500 กก.

ขั้นตอนที ่4 ตรวจสอบผล Look back (Reflection) ตรวจสอบโดยการจ าลองเหตุการณ์และลองคิดวิธีที่หลากหลาย

ไปยงัไงดนีะ

ชาวนาต้องน าแพะข้ามไปก่อน จากนั้นกลับมารับสุนัขป่า ปล่อยสุนัขป่าไว้ และน าแพะกลับมาปล่อยไว้ที่เดิม แล้วน ากะหล่ าปลีขึ้นเรือข้ามฝั่งไปไว้กับสุนัขป่า จากนั้นชาวนาก็กลับไปรับแพะ แล้วน ามาปล่อยไว้อีกฝั่งซึ่งมีสุนัขป่าและกะหล่ าปลีรออยู่

จราจรอจัฉริยะ

1. เลื่อนรถคัน K ลงมาด้านล่าง 1 หน่วย 2. เลื่อนรถคัน J ไปด้านซ้าย 1 หน่วย

3. เลื่อนรถคัน H และ L ขึ้นด้านบน 1 หน่วย 4. เลื่อนรถคัน B และ M ไปด้านขวาให้ชิดกับรถคัน G

A

B

C

D

E

F

G

H I

J

K

L

M

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D

E

F

G

H I

J

K

L

M

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

M

L ทางออก

ลานจอดรถ

5. เลื่อนรถคัน L ลงมาด้านล่าง 1 หน่วย 6. เลื่อนรถคัน F ไปด้านซ้าย 2 หน่วย

7. เลื่อนรถคัน E ลงมาด้านล่าง 2 หน่วย 8. เลื่อนรถคัน C และ I ไปด้านซ้าย 1 หน่วย

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D E F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D E F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

9. เลื่อนรถคัน D และ G ขึ้นด้านบน 2 หน่วย 10. เลื่อนรถคัน B และ M ไปด้านขวา 1 หน่วย

11. เลื่อนรถคัน L ลงมาด้านล่าง 1 หน่วย 12. เลื่อนรถคัน A ไปด้านขวา 1 หน่วย

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

13. เลื่อนรถคัน K ลงมาด้านล่าง 3 หน่วย 14. เลื่อนรถคัน A และ F ไปด้านซ้าย 1 หน่วย

15. เลื่อนรถคัน H ลงมาด้านล่าง 2 หน่วย 16. เลื่อนรถคัน I ไปด้านซ้าย 3 หน่วย

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E

F

G H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E

F

G H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

17. เลื่อนรถคัน H และ E ขึ้นด้านบน 2 หน่วย และ 1 หน่วย ตามล าดับ

18. เลื่อนรถคัน A ไปด้านขวา 3 หน่วย

19. เลื่อนรถคัน L ขึ้นด้านบน 2 หน่วย 20. เลื่อนรถคัน M และ B ไปด้านซ้าย 2 หน่วย และ 3 หน่วย ตามล าดับ

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L

ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L ทางออก

ลานจอดรถ

21. เลื่อนรถคัน G ลงมาด้านล่าง 2 หน่วย 22. เลื่อนรถคัน A ไปด้านขวา 2 หน่วย ก็จะสามารถออกจากลานจอดรถได้

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L ทางออก

ลานจอดรถ

A

B

C D

E F

G

H

I

J

K

M

L ทางออก

ลานจอดรถ

Game Over

ถ้ามองในมุมมองสีแดง ฝ่ายที่เล่นหมากตัวแดงสีแดงจะเป็นคนแพ้ เพราะไม่สามารถเลื่อนหมากไปต่อได้แล้วสีน้ าเงินจึงเป็นฝ่ายชนะ

ปรศินาของหอคอยแหง่ฮานอย

ตัวอย่างการเคลื่อนย้ายจานจ านวน 5 จาน 1. ย้ายจานที่ 1 จาก A ไป B 2. ย้ายจานที่ 2 จาก A ไป C 3. ย้ายจานที่ 1 จาก Bไป C 4. ย้ายจานที่ 3 จาก A ไป B 5. ย้ายจานที่ 1 จาก Cไป A 6. ย้ายจานที่ 2 จาก C ไป B 7. ย้ายจานที่ 1 จาก A ไป B 8. ย้ายจานที่ 4 จาก A ไป C 9. ย้ายจานที่ 1 จาก Bไป C 10. ย้ายจานที่ 2 จาก B ไป A 11. ย้ายจานที่ 1 จาก C ไป A 12. ย้ายจานที่ 3 จาก Bไป C 13. ย้ายจานที่ 1 จาก Aไป B 14. ย้ายจานที่ 2 จาก A ไป C 15. ย้ายจานที่ 1 จาก Bไป C 16. ย้ายจานที่ 5 จาก A ไป B 17. ย้ายจานที่ 1 จาก C ไป A 18. ย้ายจานที่ 2 จาก C ไป B 19. ย้ายจานที่ 1 จาก A ไป B 20. ย้ายจานที่ 3 จาก C ไป A 21. ย้ายจานที่ 1 จาก B ไป C 22. ย้ายจานที่ 2 จาก B ไป A 23. ย้ายจานที่ 1 จาก C ไป A 24. ย้ายจานที่ 4 จาก C ไป B 25. ย้ายจานที่ 1 จาก A ไป B 26. ย้ายจานที่ 2 จาก Aไป C 27. ย้ายจานที่ 1 จาก Bไป C 28. ย้ายจานที่ 3 จาก A ไป B 29. ย้ายจานที่ 1 จาก C ไป A 30. ย้ายจานที่ 2 จาก C ไป B 31. ย้ายจานที่ 1 จาก A ไป B หลักการคือ ( n คือจ านวนของจานที่ใช้ )

1. จานใบที่ 1 จะขยับทุก 2 ตา ใบที่ 2 ขยับทุก 2 2 = 4 ตา ใบที่ 3 ขยับทุก 3 2 = 8 ตา ใบที่ n ขยับทุก n2 ตา

2. ทิศทางการย้ายของแต่ละจานต้องมีความตายตัว คือ A -> B -> C-> A หรือ A -> B -> C -> A ตลอดเกม โดยจานที่ 1, 3, 5,... จะมีทิศทางเหมือนกัน ส่วน 2, 4, 6,... จะเป็นทิศตรงกันข้าม

3. ใบที่ n จะขยับครั้งเดียวเท่านั้น และเป็นการขยับตอนกลางเกม และใบที่ n-1 จะขยับแค่ 2 ครั้ง ใบที่ n-2 ขยับ 2 2 = 4 ครั้ง ใบที่ 1 ขยับ 1)-(n 2 ครั้ง

4. จ านวนครั้งที่ขยับรวมทั้งหมดคือ 12n ครั้ง

คดิในใจ

ถ้าให้ตัวเลขในตารางตัวหนึ่งเป็นค่า n ตัวเลขที่อยู่ซ้าย, ขวา, บน, ล่าง จะมีค่า n-1, n+1, n-7, n+7 ตามล าดับ (ดังรูป)

จะเห็นว่าการครอบกรอบแต่ละกรณีจะได้ค่าต่างกันคือ 1) ซ้าย – กลาง – บน จะได้ค่าเท่ากับ n – 1 + n + n – 7 = 3n – 8 2) ขวา – กลาง – บน จะได้ค่าเท่ากับ n + 1 + n + n – 7 = 3n – 6 3) ขวา – กลาง – ล่าง จะได้ค่าเท่ากับ n + 1 + n + n + 7 = 3n + 8 4) ซ้าย – กลาง – ล่าง จะได้ค่าเท่ากับ n – 1 + n + n + 7 = 3n + 6 จากค่า 328 ที่โจทย์บอก เราจะสรุปได้ส าหรับแต่ละกรณีว่า 1) 3n – 8 = 328, 3n = 336 2) 3n – 6 = 328, 3n = 334 3) 3n + 8 = 328, 3n = 320 4) 3n + 6 = 328, 3n = 322 ซึ่งจะเห็นได้ว่ากรณี 1) เพียงกรณีเดียวเท่านั่นที่ n จะเป็นจ านวนเต็มและเท่ากับ 112 และเนื่องจาก 112 หราด้วย 7 ได้ลงตัว เราก็บอกได้ว่า 112 อยู่ทางขวามือสุดของตารางและกรอบที่คร่อมให้ได้ค่า 328 ก็เป็นดังรูป

รักพีร่อไมน่าน

NIM

ผู้เล่นที่เล่นคนแรกจะมีโอกาสชนะเสมอ ถ้าเขาเล่นด้วยกลยุทธ์ที่ถูกต้อง ผู้เล่นที่สามารถท าให้ได้รูปแบบต่อไปนี้จะมีโอกาสเป็นคนผู้ชนะมากกว่า ถ้าเขาเล่นด้วยกลยุทธ์ที่ถูกต้อง

ปรศินากลไมข้ดีไฟ

1. พิจารณาฝั่งซ้ายของสมการว่ามีผลลัพธ์เท่าไรและพิจารณาฝั่งขวาของสมการว่าสามารถย้ายไม้ขีดไฟแล้วได้เท่ากับผลลัพธ์หรือไม่

เช่น

- 4+5=9

-

2. พิจารณาฝั่งขวาของสมการและพิจารณาฝั่งซ้ายของสมการว่าสามารถย้ายไม้ขีดไฟแล้วได้เท่ากับฝั่งขวาหรือไม่

เช่น

- ฝั่งขวา คือ 4

- 1+3 =4 ไม่มีจ านวนเต็มบวกใดที่ 5 เท่ากับ 4

-

3. พิจารณาฝั่งทั้งซ้ายและขวาของสมการ

กรณีท่ี 1 พิจารณาจ านวนฝั่งขวาของสมการว่าถ้าเปลี่ยนตัวด าเนินการแล้วสามารถย้ายไม้ขีดไฟฝั่งขวากับตัวด าเนินการแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากันหรือไม่

เช่น

กรณีท่ี 2 พิจารณาพิจารณาฝั่งทั้งซ้ายและขวาของสมการสามารถย้ายไม้ขีดไฟแล้วสมการเป็นจริงหรือไม่

เช่น

-

*****หมายเหตุ สามารถเปลี่ยนกติกาเป็นย้าย 2 ครั้งได้ เพื่อใช้กับระดับที่สูงขึ้น

ปรศินาแทนแกรม

เรอืรบประจญับาน

ขั้นตอนที ่1 ท าความเข้าใจปัญหา Understand The problem (Analysis) ท าความเข้าใจกับปัญหาว่าปัญหานั้นบอกอะไรบ้าง และต้องการให้หาอะไร

สิ่งที่โจทย์ก าหนดให้

- เงื่อนไขของการเติมเรือแต่ละประเภท และน้ าทะเลลงในช่องว่าง - ตัวเลขของแต่ละช่องในแนวตั้งและแนวนอน คือจ านวนของเรือสามารถเติมลงใน

ช่องว่าง สิ่งที่โจทย์ต้องการ

- ให้น าเรือไปวางไว้ในช่องต่างๆจนครบตามที่ก าหนด

ขั้นตอนที ่2 วางแผนการแก้ปัญหา Devise a plan (Planning) ทดลองหาวิธีกาแก้ปัญหา - ดูว่าจากโจทย์ปัญหานั้นใช้เรืออะไรไปบ้าง และใช้ไปเท่าไหร่ - เลือกเติมน้ าทะเลในแถวหรือปลักท่ีมีจ านวนเรือครบแล้วตามท่ีโจทย์ต้องการ - ลองวาดภาพเพ่ือหาค าตอบ

ขั้นตอนที ่3 ด าเนินการตามแผน Carry out the plan (Implementation)

ด าเนินการหาค าตอบ ยกตัวอย่างข้อที่ 1 จากโจทย์ปัญหา ใช้เรือขนส่งเครื่องบินไป 1 ล า

ใช้เรือรบไป 0 ล า ใช้เรือเดินสมุทรไป 2 ล า ใช้เรือด าน้ าไป 1 ล า ดังนั้น เราจึงเหลือ เรือรบ 2 ล า เรือเดินสมุทร 1 ล า เรือด าน้ า 3 ล า - เลือกเติมน้ าทะเลที่มีเรือครบตามจ านวนที่โจทย์ต้องการ จะสังเกตเห็นว่าในแถวที่ 6 แถวที่ 8 หลักท่ี 5 และหลักท่ี 8 จากตัวเลขในแถวโจทย์ต้องการเพียงเรือ 1 ช่องเท่านั้น ซึ่งจะเห็นว่าในแถวนั้นมีเรืออยู่ 1 ช่องอยู่แล้ว เราจึงเลือกเติมน้ าทะเลในช่องที่เหลือ

- สังเกตแนวนอนแถวที่ 1 จะเห็นว่าโจทย์ต้องการให้มีเรืออยู่ในแถวจ านวน 3 ช่อง แต่ใน

แถวมีเรืออยู่แล้วอยู่ 2 ช่อง แสดงว่ายังขาดเรืออีก 1 ช่อง จากท่ีโจทย์ก าหนดให้เรือที่ใช้เพียงช่องเดียว คือ เรือด าน้ า เราจึงเลือกเรือด าน้ ามาเติมลงในแถวที่หนึ่ง จากนั้นให้สังเกตในหลักที่ 1 โจทย์ต้องการเรือ 2 ช่อง เราจึงเลือกเติมเรือด าน้ าในแถวที่ 1 หลักท่ี 1 จากนั้นเติมน้ าทะเลลงในช่องที่เหลือจนครบของแถวที่ 1 ส่วนหลักท่ี 1 เรายังขาดเรืออีกหนึ่งช่องแต่เราทดไว้ก่อน 1 จากที่โจทย์ก าหนดให้บอกว่าเรือด าน้ าจ าต้องเติมทั้งหมด 4 ช่อง เราใช้ไปแล้ว 1 และแถวที่ 6 ก็มีเรือด าน้ าอยู่ 1 ช่อง ดังนั้นเหลือเรือด าน้ าอีก 2 ช่อง

3

2

4

2

2

1

3

1

2

313211612 Hint

3

2

4

2

2

1

3

1

2

313211612 Hint

- แถวที่ 5 โจทย์ต้องการเรือเพียง 2 ช่อง ซึ่งจากโจทย์มีเรืออยู่แล้ว 1 ช่อง ดังนั้นเราจึงเลือกเติมเรือด าน้ าลงไป เพราะใช้เพียงช่องเดียว เราจึงเลือกเติมในหลักที่ 1 เพราะจากที่ทดไว้หลักท่ี 1 ยังขาดเรืออยู่อีก 1 ช่อง แสดงว่าเราจะเหลือเรือด าน้ าอีก 1 ช่อง ท าให้ในหลักท่ี 1 และแถวที่ 5 มีจ านวนเรือครบแล้ว จึงเติมน้ าทะเลในช่องที่เหลือ - หลักท่ี 6 และหลักที่ 7 นั้นยังขาดเหลืออย่างละหนึ่งช่อง เราจึงเลือกเติมเรือเดินสมุทร จ านวนเรือของทั้ง 2 หลักจึงครบ แล้วเติมน้ าทะเลในช่องที่เหลือ - จะเห็นในแถวที่ 2, 3 และ 4 จะขาดเรืออยู่อย่างละ 1 ช่อง เราจึงเลือกใช้เรือรบ เพราะเรือรบใช้จ านวนช่อง 3 และในหลักท่ี 9 ต้องการเรือ 3 ช่องซึ่งเป็นจ านวนที่เราต้อง จากนั้นจึงเติมน้ าทะเลในช่องที่เหลือ

3

2

4

2

2

1

3

1

2

313211612 Hint

3

2

4

2

2

1

3

1

2

313211612 Hint

- ในแถวที่ 7 ต้องการเรือ 3 ช่อง ซึ่งตอนนี้เราเหลือเรือรบอยู่อีก 1 ล า และจากสังเกตในหลักท่ี 2 กับ 4 ขาดเรืออยู่อย่างละ 1 และถ้าเติมเรือรบลงไป หลักที่ 3 ก็จะเหลืออยู่อีก 1 ล า ถ้าเราเติมเรือด าน้ าลงไปในแถวที่ 9 หลักท่ี 3 เราก็จะได้จ านวนเรือตามที่โจทย์ต้องการ

ขั้นตอนที ่4 ตรวจสอบผล Look back ตรวจสอบโดยการลองคิดหลากหลายวิธี

*** ข้อที่ 2 ท าในท านองเดียวกัน เฉลยข้อที่ 2

3

2

4

2

2

1

3

1

2

313211612 Hint

3

2

4

2

2

1

3

1

2

313211612 Hint

4

2

3

0

3

2

1

1

4

431020505 Hint

ปรศินาค าไขว้(จ านวน)

0 - 9 บวก ลบ ได ้หนึง่รอ้ย

เฉลยค าตอบ 0 + 123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100

วธิที า

จากตัวเลขบนเครื่องคิดเลขตั้งแต่ 0 – 9 น ามา บวก ลบ กันจะได้ดังนี้

1. 0 + 123 = 123 2. 123 + 45 = 168 3. 168 – 67 = 101 4. 101 + 8 = 109 5. 109 – 9 = 100

ดังนั้น เมื่อใช้ตัวเลขครับทุกตัวแล้วสามารถคิดได้ 100 พอดี

LED Miracle

จะเห็นว่าตัวเลขที่เมื่อมองกลับหัวก็ยังเป็นตัวเลข มี 7 ตัว คือ 0, 1, 2, 5, 6, 8 และ 9 และในจ านวนนี้มีเพียง 0, 1, 2, 5, 8 จะมีค่าเท่าเดิม ส่วน 6 และ 9 จะสลับค่ากัน จะได้ค าตอบดังนี้

65 – 59 = 6

52 – 25 = 27 และ 85 – 58 = 27

91 – 16 = 75

ท าไดไ้หม.....ดาว

แนวการคดิ ขั้นตอนที ่1 หาจ านวน 4 จ านวนจากตัวเลขที่ก าหนดให้แล้วมีผลรวมเท่ากับ 24 ขั้นตอนที ่2 จากข้อที่ 1 พิจารณาชุดตัวเลขที่มีตัวเลขซ้ ากัน 1 ตัว เช่น ถ้าใช้ตัวเลข 5 5+3+6+10 = 24 5+8+9+2 = 24 (ตัวเลขทุกตัวจะสามารถใช้ในชุดตัวเลขได้ซ้ ากันเพียง 2 ชุดเท่านั้น) ขั้นตอนที ่3 พิจารณาชุดตัวเลขที่เหลือที่มีความสัมพันธ์กับชุดตัวเลขที่เติมลงในช่องว่างแล้ว เข่น ถ้าใช้ตัวเลข 3 5+3+6+10 = 24 12+3+8+1 = 24 ขั้นตอนที ่4 ท าเช่นนี้ไปจนครบทุกแถว

Ken Ken

เฉลย

มหศัจรรยพ์ีระมดิ

ตอ่ฉนัส ิ

จากกิจกรรมนี้ จะเห็นว่านักเรียนอาจใช้ความรู้เรื่องการแปลงทางเรขาคณิตมาอธิบายระหว่างการท ากิจกรรม โดยนักเรียนจ าเป็นต้องมีทักษะการเชื่อมโยงเพ่ือต่อจิ๊กซอว์ให้สมบูรณ์

ปรมิาตรที่ใหญ่ทีส่ดุ

ตัดออกมุมละ 16 หน่วย กว้าง 12 หน่วย ยาว 17 หน่วย สูง 4 หน่วย ปริมาตร 816 ลบ.หน่วย

ลกูเตา๋มหาสนกุ

เนื่องจากค่ารวมของสองหน้าตรงกันข้ามจะต้องเท่ากับ 7 เราก็จะต้องตรวจดูความสัมพันธ์ระหว่าง 1 กับ 6, 2 กับ 5 และ 3 กับ 4 ก่อนอ่ืนเราจะดูที่ค่า 1 ก่อน ก็จะเห็นว่าค่า 1ในชั้นล่างสุด มีค่า 6 ประกบอยู่ทั้งทางด้านบนและด้านซ้ายแสดงว่าค่า 1 นี้ใช้ไม่ได้ จึงตัดออก

2 5 5 4

1 3 6 3

2 6 1 4

ต่อไปดูค่า 6 ที่เหลือทั้งสองด้าน ก็จะเห็นว่าค่า 6 ที่อยู่ชั้นล่างสุดอยู่ติดกับค่า 1 ที่เหลือ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ก็ตัดออกอีกเช่นกัน ต่อไปดูค่า 3 กับ 4 ก็จะเห็นว่าค่า 3 ในช่องขวาสุดของชั้นกลางมีค่า 4 ติดประกบทั้งด้านบนและด้านล่าง แสดงว่าใช้ไม่ได้ และเม่ือตัดค่า 3 นี้ทิ้ง ก็จะเห็นว่าค่า 4 ชั้นล่างสุดก็หลุดไปด้วย นั่นก็คือไม่ใช่โดยอัตโนมัติ

2 5 5 4

1 3 6 3

2 4

ทีนี้มาดูค่า 4 ก็จะเห็นว่าช่องที่เหลือคือขวาสุดชั้นบน เพราะฉะนั้นในการที่จะตัดค่า 5

ตัวหนึ่งทิ้งไป เราจะต้องตัดค่า 5 ตัวที่สองจากซ้ายมือของชั้นบนสุด เพราะถ้าตัดค่า 5 ตัวที่สามจากซ้ายมือ ค่า 4 ที่เหลือก็จะหลุดไปด้วย

2 5 5 4

1 3 6

2

สุดท้ายก็จะเหลือ 2 เท่านั้น ที่ต้องตัดออกหน้าหนึ่ง ซึ่งเมื่อพิจารณาเพื่อที่จะให้เมื่อพับ

แล้วได้เป็นลูกเต๋า เราก็จะต้องรู้ว่าจะต้องตัดค่า 2 ชั้นบนสุด

สรุปก็คือต้องตัดหน้าต่างๆออกตามรูปข้างล่างนี้

2 5 5 4

1 3 6 3

2 6 1 4

เพ่ือให้ได้ดังนี้รูปนี้

5 4

1 3 6

2

บรรณานกุรม

กรมวิชาการ กระทรวงศึกษาธิการ, 2551, สาระและมาตรฐานการเรียนรู้กลุ่มสาระคณิตศาสตร์หลัก

สูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551, โรงพิมพ์องค์การรับส่งสินค้าและพัสดุภัณฑ์,

กรุงเทพฯ, หน้า 1-91. กิตติกร นาคประสิทธ์. (2553). ปญัหาตรรกศาสตร.์ ส านักพิมพ์สารคดี.กรุงเทพฯ. ธนัศกฤศ แก้วเต็ม. รอบรู้คณติ เกมการศึกษา เกมหอคอยฮานอยแบบสามเหลีย่ม. นิตยสาร

สสวท. ปีที่ 40 ฉบับที่ 176. หน้า 44-47. ปัญญา คลังมนตรี. (2554). ผลการใชช้ดุกจิกรรมคณติศาสตร์พบักระดาษแบบออริกาทีม่ีตอ่

ความคดิรวบยอดทางคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: มหาวิทยาลัยศรีนครินทร์วิโรฒ. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ. (2552).

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์. บริษัท 3-คิวมีเดีย จ ากัด. กรุงเทพฯ. หน้า 6-7.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธิการ. (2552). แทนแกรม. โรงพิมพ์ สกสค. กรุงเทพฯ. หน้า 14-15.

สิริพร ทิพย์คง. (2544). การแก้ปญัหาคณติศาสตร์. โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. กรุงเทพฯ.

อัมพร ม้าคะนอง. (2559). ทกัษะและกระบวนการทางคณติศาสตร์:การพฒันาเพื่อพฒันาการ. โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. กรุงเทพฯ.

อิทธิ ฤทธาภรณ์. (2550). ปัญหาที ่16 Yasuda Joshi. ส านกัพิมพ์ ส.ท.ท. กรุงเทพฯ. หน้า 10-11.

อิทธิ ฤทธาภรณ์. (2550). ปัญหาที ่78 กรอบมมุฉาก. ส านักพิมพ์ ส.ท.ท. กรุงเทพฯ. หน้า 38-39.