หน่วยที่ 2 -...

การวเคราะหคาสถตเบองตน

สาระการเรยนร 1 การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1.1 คาเฉลยเลขคณต 1.2 มธยฐาน 1.3 ฐานนยม 2 การวดการกระจายของขอมล 2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ 2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ

จดประสงคการเรยนร 1. หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทก าหนดใหได 2. หาคามธยฐานของขอมลทก าหนดใหได 3. หาคาฐานนยมของขอมลทก าหนดใหได 4. เลอกใชคากลางทเหมาะสมกบขอมลไดถกตอง 5. หาคาการกระจายของขอมลทก าหนดใหได 6. เปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละชดไดถกตอง

แนวคด

1. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนการหาคาทเปนตวแทนทดของขอมลทงหมด เพออธบายลกษณะของเรองราวตางๆ ของขอมลนนๆ สามารถท าไดหลายวธ แตละวธขนอยกบลกษณะของขอมลและวตถประสงคของการน าขอมลไปใช คากลางทจะกลาวถงทส าคญม 3 คาดงน

1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) 2. มธยฐาน (Median) 3. ฐานนยม (Mode)

หนวยท 2



2. การวดการกระจายของขอมล เปนคาทบอกใหทราบวาขอมลชดนนเขาใกลคากลาง หรอแตกตางจากคากลางมากนอยเพยงใด การวดกระจายของขอมล ม 2 แบบดงน

1. การวดการกระจายแบบสมบรณ (Absolute Variation) 2. การวดการกระจายแบบสมพทธ (Relative Variation)

2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ เปนการจดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยวทตองการทราบวาขอมลชดนนมการกระจายมากนอยเพยงใด ซงสามารถท าได 4 วธดงน

1. พสย (Range) 2. สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile Deviation) 3. สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation) 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ส าหรบในหนวยนจะกลาวถง การวดการกระจายแบบสมบรณเพยง 2 วธ คอพสยและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ เปนการวดการกระจายของขอมลตงแตสองชดขนไป เพอใชเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละชดวาขอมลชดใดมการกระจายมากนอยกวากน โดยหาจาก อตราสวนของคาทไดจากการวดการกระจายแบบสมบรณกบคากลางของขอมลชดนน คาทค านวณไดเรยกวา สมประสทธของการกระจาย แบงออกเปน 4 วธดงน

1. สมประสทธของพสย (Coefficient of Range) 2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล (Coefficient of Quartile

Deviation) 3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of Mean Deviation) 4. สมประสทธการแปรผน (Coefficient of Variation)

แตในหนวยน จะกลาวถงการวดการกระจายสมพทธ เพยง 2 วธ คอสมประสทธพสย และสมประสทธการแปรผน

26


ค าชแจง ขอสอบปรนยมจ านวน 10 ขอ ใหนกศกษาเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว

1. ถา nn332211

xf.....xfxfxf เขยนเปนสญลกษณไดดงขอใด

ก.

n

1iixif

ข.

n

1inn xf

ค.

n

1n ni

xf

ง.

4

1inn xf

จ. i

4

1iixf

2. คนกลมหนงมอายแตกตางกนดงน 26, 34, 40, 26, 32, 22 ป จงหาวาอก 5 ปขางหนาอาย เฉลยของคนกลมนจะเปนเทาใด ก. 45 ข. 40 ค. 35 ง. 30 จ. 25 3. สวนสงของเดก 8 คน วดเปนเซนตเมตรไดดงน 110, 120, 110, 108, 112, 110, 118, 112 ขอ ใดถกตอง ก. คาเฉลยเลขคณตมคานอยกวามธยฐาน ข. คาเฉลยเลขคณตมคามากกวามธยฐาน ค. ฐานนยมมคามากกวามธยฐาน ง. ฐานนยมมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต จ. ไมมฐานนยม

27

แบบทดสอบกอนเรยน


4. จากการศกษาคณภาพของอาหารเสรมชนดหนงกบหนทดลอง 4 กลม เปนเวลา 1 เดอน ปรากฏผล ดงน กลมท 1 หนจ านวน 5 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 7.7 กก. กลมท 2 หนจ านวน 12 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 8.3 กก. กลมท 3 หนจ านวน 20 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 11.2 กก. กลมท 4 หนจ านวน 8 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 4.6 กก. จงหาน าหนกเพมโดยเฉลยจากหนทใชทดลองทงหมด ก. 6.42 ข. 7.53 ค. 8.86 ง. 9.35 จ. 10.14 5. บรษทตวแทนจ าหนายรถจกรยานยนตมยอดจ าหนายในรอบ 6 เดอน ดงน 25, 30, 20, 18, 27, 30 คน ตามล าดบ คาเฉลยเลขคณตของยอดขายเปนเทาใด ก. 20 ข. 22 ค. 25 ง. 27 จ. 30 6. จากโจทยขอ 5. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเทากบขอใด ก. 4.26 ข. 4.62 ค. 4.72 ง. 4.82 จ. 4.86

28


7. นายประโยชน ไดน าขอมลรายไดจากการขายหลอดไฟฟาในแตละวนของเดอนมถนายน ซงมยอด การขายแตละวนทใกลเคยงกน เพอมาค านวณหาจ านวนเงนรายไดทอยตรงกลางทเหมาะสม นายประโยชนควรค านวณคาสถตใด ก. คาเฉลยเลขคณต ข. มธยฐาน ค. ฐานนยม ง. สมประสทธการแปรผน จ. สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8. ตารางแสดงน าหนกของนกศกษาเปนกโลกรม

น าหนก (กโลกรม) จ านวน (คน) 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60

6 10 12 8 4

จงพจารณาวาขอความใดตอไปนถกตอง ก. ชนทมความถสะสมเปน 16 มจดกงกลางชนเทากบ 47.5 ข. มธยฐานอยในชนทมน าหนกระหวาง 41-45 ค. คาเฉลยเลขคณตของน าหนกมคาเทากบ 47.25 ง. ฐานนยมอยในชนทมน าหนกเดยวกนกบมธยฐาน จ. ชนทมความถสงสด มขดจ ากดบนเทากบ 50

ขอมลน ตอบค าถามขอ 9-10

คาจางของพนกงานในบรษท 3 แผนก มคาเฉลยและความแปรปรวน ดงตารางขางลางน

แผนก คาเฉลย (บาท) ความแปรปรวน A 3,500 225 B 5,000 400 C 4,500 900

29


9. คาจางของแผนก B มการกระจายเทาใด ก. 0.004 ข. 0.08 ค. 12.5 ง. 250 จ. 8% 10. อยากทราบวาคาจางของพนกงานแผนกใดมการกระจายมากทสด ก. แผนก A ข. แผนก C ค. แผนก B ง. แผนก A และ B จ. แผนก A และ C

30


การวเคราะหขอมลทางสถตเปนวธการศกษาขอมลพนฐาน กอนน าขอมลไปใชประโยชน ทางดาน ตาง ๆ เชน การเปรยบเทยบขอมล การแกปญหาขอมล หรอตดสนใจบางอยางเกยวกบขอมลอยางมหลกการและเหตผล และสามารถน าขอมลทไดจากการวเคราะห ไปใชในการคาดคะเนหรอพยากรณเหตการณตางๆ ไวลวงหนาได สถตทใชในการวเคราะหขอมลเบองตน ไดแก รอยละ การวดแนวโนมเขาสสวนกลางของขอมล การวดต าแหนงของขอมล การวดการกระจายของขอมล การเปรยบเทยบคากลางของขอมล เปนตน

ส าหรบการวเคราะหขอมลโดยใชรอยละ เปนการวเคราะหทไมสามารถบอกรายละเอยดเกยวกบลกษณะของขอมลได ดงนน จงจ าเปนตองใชสถตตวอนในการอธบายลกษณะของขอมล ดงรายละเอยดในหวขอตอไปน

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนการค านวณหาคากลาง ทเปนตวแทนทดของขอมล เพออธบายลกษณะของเรองราวตางๆ ของขอมลนนๆ ไดอยางรวดเรว การวดแนวโนมเขาสสวนกลางสามารถท าไดหลายวธ แตละวธขนอยกบลกษณะของขอมลและวตถประสงคของการน าขอมลไปใช คากลางของขอมลม 5 คาดงน

1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) 2. มธยฐาน (Median) 3. ฐานนยม (Mode) 4. มชฌมเรขาคณต (Geometric Mean) 5. มชฌมฮารโมนก (Harmonic Mean)

แตคากลางทนยมน าไปใชมากทสดในทางธรกจม 3 คา คอคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและ ฐานนยม ดงนนในหนวยการเรยนน จะกลาวถงเฉพาะคากลาง 3 คาน

1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) คาเฉลยเลขคณต เปนการวดแนวโนมเขาสสวนกลางทนยมใชมากทสด ใชกบขอมลเชง

ปรมาณและตวแปรทใชจะอยในระดบมาตรการวดอนตรภาค (Interval Scale) ขนไป การหาคาเฉลยเลขคณต แบงการหาได 4 กรณ


31


1. กรณทขอมลไมแจกแจงความถ การหาคาเฉลยท าไดโดยน าขอมลทงหมดมารวมกนแลวหารดวยจ านวนขอมลทงหมด คาเฉลยเลขคณตทไดจะใชสญลกษณ μ (อานวา มว) หรอ x (อานวา เอกซบาร) การค านวณคาเฉลยแสดงดงสตร

ถา x1 , x2 , x3 , ….., xN เปนขอมล N จ านวน

N

N

1ii

μ

x (กรณขอมลมาจากทกหนวยของประชากร)

N

xN

1ii

μ = N

x...xxxN321

หรอ n

xx

n

1ii

(กรณขอมลมาจากกลมตวอยาง)

n

xx

n

1ii

= n

x...xxxn321

ตวอยางท 1 จากการทดสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลอง นกศกษาสาขาสถาปตยกรรมจ านวน 15 คน ไดคะแนนดงน 15 ,18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10 จงหาคาเฉลยของคะแนนการสอบในครงน วธท า ก าหนดให xi แทน คะแนนสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองของคนท 1,2,3,….15 x แทน คาเฉลยของคะแนนการสอบ

n

xx

n

1ii

= n

x...xxxn321

15

10...........910121815x

= 15181

= 12.067

ดงนน คาเฉลยเลขคณต เทากบ 12.067

32


2. กรณทขอมลแจกแจงความถ การหาคาเฉลยเลขคณต หาไดดงสตร

ถา x1 , x2 , x3 , ….., xk เปนขอมล k จ านวน และ f1 , f2 , f3 , ….., fk เปนจ านวนความถของขอมล k จ านวน

จะได N

xf

f

xfk

1iii

k

1ii

k

1iii

μ

(กรณขอมลมาจากทกหนวยของประชากร)

μ = k321

kk332211f....fff

xf.....xfxfxf

หรอ n

xfx

n

1i ii (กรณขอมลมาจากกลมตวอยาง)

ตวอยางท 2 จงหาคาเฉลยเลขคณตของคาใชจายของนกศกษาทงหมด

คาใชจาย (บาท) 100 120 150 200 250 300 จ านวนนกศกษา (คน) 10 12 15 20 8 5

วธท า ก าหนดให xi แทน คาใชจายของนกเรยน x แทน คาใชจายเฉลยของนกเรยนทงหมด

คาใชจาย (xi) จ านวนนกศกษา (fi) fixi

100 120 150 200 250 300

10 12 15 20 8 5

1,000 1,440 2,250 4,000 2,000 1,500

70 12,190

μ = N

xfk

1iii

33


= 70

12,190

= 174.143

ดงนน คาเฉลยเลขคณตของการใชจายของนกศกษากลมนคอ 174.143 บาท

ตวอยางท 3 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาคาเฉลยน าหนกของพนกงานบรษทแหงน

น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

6 5 7 8 10 5 3 1

วธท า ก าหนดให xi แทน จดกงกลางของขอมลน าหนกแตละชน fi แทน จ านวนพนกงานทมน าหนกในแตละชน x แทน คาเฉลยของน าหนกพนกงาน

น าหนก จ านวนคน (fi) จดกงกลางชน (xi) fi xi 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

6 5 7 8 10 5 3 1

42 47 52 57 62 67 72 77

252 235 364 456 620 335 216 77

N = 45 2555

34


n

xfx

n

1i ii

= 45

2555

= 56.778

ดงนน น าหนกเฉลยของพนกงานบรษทแหงนเทากบ 56.778 กโลกรม

กรณท 3 การหาคาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก ใชในกรณทขอมลมคาน าหนกหรอความส าคญไมเทากน เชน การค านวณเกรดเฉลยทางการเรยน การหาคาเฉลยเลขคณตของราคาสนคาชนดเดยวกนแตมน าหนกหรอปรมาณขายตางกน จะใชการหาคาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก (Weighted Arithmetic Mean) ดงน ถา x1 , x2 , x3 , ….., xN เปนคาขอมลแตละคา และ w1 , w2 , w3 , ….., wN เปนคาถวงน าหนกของขอมลหรอคาความส าคญของขอมลแตละคา ตามล าดบ แลว

คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก )(x = N321

NN332211w....www

xw.....xwxwxw

หรอ x =

N

1ii

N

1iii

w

xw

ตวอยางท 4 สมหญงมผลการเรยนแตละวชาของภาคเรยนท 1 เปนดงน

วชา หนวยกต ระดบผลการเรยน 1. เศรษฐศาสตร 2. ภาษาไทย 3. ภาษาองกฤษ 4. วทยาศาสตร 5. สถตและการวางแผนการทดลอง 6. การเปนผประกอบการ

2 2 3 3 3 2

3 3.5 4

2.5 2.5 4

จงหาผลการเรยนเฉลยของสมหญงในภาคเรยนน

35


วธท า ก าหนดให xi แทน ระดบผลการเรยนวชาท 1,2,3,….6 wi แทน จ านวนหนวยกตทเรยนของแตละวชา x แทน เกรดเฉลย

x = N321

NN332211w....www

xw.....xwxwxw

x = 233322

2(4)3(2.5)3(2.5)3(4)2(3.5)2(3)

= 15

8771276

= 1547

= 3.133

ดงนน สมหญงมผลการเรยนเฉลยในภาคเรยนนเทากบ 3.133

ตวอยางท 5 พอคาขายผลไม ซอสมเขยวหวานมาสามขนาด โดยซอสมขนาดใหญ มา 8 กโลกรม ราคากโลกรมละ 70 บาท ซอสมขนาดกลางมา 12 กโลกรม ราคากโลกรมละ 50 บาท และซอสมขนาดเลกมา 6 กโลกรม ราคากโลกรมละ 35 บาท เพอมาคละและขายรวมกนอยากทราบวาพอคาตองขายสมราคากโลกรมละเทาไรจงจะไมขาดทน

วธท า ก าหนดให xi แทน ราคาสมเขยวหวานแตละขนาด wi แทน จ านวนสมเขยวหวานแตละขนาดทซอ x แทน ราคาเฉลย

x = N321

NN332211w....www

xw.....xwxwxw

x = 6128

35(6)50(12)70(8)

= 26

210600560

= 26

1370

= 53.69 บาท

ดงนน พอคาตองขายสมในราคาไมต ากวา 53.69 บาท จงจะไมขาดทน

36


กรณท 4 การหาคาเฉลยเลขคณตรวม

ใชส าหรบการวเคราะหขอมลเดยวกนแตมหลายๆ ชดและแตละชดกมคาเฉลยเลขคณตไวแลว เชน ผลการเรยนเฉลยในแตละภาคเรยน เมอตองการทราบผลการเรยนเฉลยทกภาคเรยน หรอผลการเรยนเฉลยรวม สามารถท าได ดงน ถา 1x , 2x , 3x , ….., kx เปนคาเฉลยของผลการเรยน k ภาคเรยน และ n1 , n2 , n3 ,……, nk เปนจ านวนหนวยกตทเรยนในแตละภาคเรยน ดงนน

คาเฉลยเลขคณตรวม )(x = k321

kk332211n....nnn

xn.....xnxnxn

หรอ x =

k

1ii

k

1iii

n

Xn

ตวอยางท 6 นกศกษาระดบ ปวส1. แผนกเทคนคอตสาหกรรม จ านวน 5 หอง ในแตละหองมจ านวนนกศกษา ดงน 38 40 42 35 37 คน ในการสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลอง ผลปรากฏวา มคะแนนเฉลยแตละหอง ดงน 67 78.5 69 82 และ 74 ตามล าดบ จงหาคะแนนเฉลยรวมของการสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองในครงน

วธท า คาเฉลยเลขคณตรวม )(X =

k

N

XN

1ii

k

1iii

= 3735424038

37(74)35(82)42(69)40(78.5)38(67)

= 192

2,7382,8702,8983,1402,546

= 192

14,192

= 73.92 ดงนน คะแนนเฉลยรวมของการสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองเทากบ 73.92 คะแนน

37

รวม

รน


สมบตของคาเฉลยเลขคณต 1. ผลรวมของขอมลทงหมด มคาเทากบ จ านวนของขอมลทงหมดคณกบคาเฉลยเลขคณต นนคอ

N

XN

1ii

μ จะไดวา

N

1ii

x = Nμ

2. ผลรวมของผลตางระหวางคาของขอมลแตละตวกบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนนจะมคาเทากบศนยเสมอ นนคอ

N

1iμix = 0

3. ถาน าคาคงทไปบวกหรอลบกบขอมลแตละตว แลวน าไปคาหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขทคณตทไดใหม จะมคาเทากบคาเฉลยเลขคณตชดเดมบวกกบคาคงทนนเสมอ นนคอ μ ใหม = μ เดม ± c ; c = คาคงท

4. ถาน าคาคงทไปคณหรอหารกบขอมลแตละตว แลวน าไปคาหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขทคณตทไดใหม จะมคาเทากบคาเฉลยเลขคณตชดเดมคณหรอหารดวยคาคงทนนเสมอ นนคอ

μ ใหม = cμ เดม หรอ μ ใหม = c1μ เดม

5. คาเฉลยเลขคณตของขอมลจะมคาอยระหวางคาทนอยทสดและคาทมากทสดของขอมล นนคอ Xmin < X < Xmax

2. คามธยฐาน (Median) มธยฐาน เปนการน าขอมลมาจดเรยงอนดบ จากนอยไปหามาก หรอจากมากไปหานอย

แลวหาต าแหนงของขอมลทอยตรงกลางของขอมลทงหมด การค านวณมธยฐาน ขอมลจะอยในมาตราเรยงอนดบ (Ordinal Scales)

การหาคามธยฐานของขอมล แบงการหาออกเปน 2 กรณ 1. กรณขอมลไมแจกแจงความถ

การหาคามธยฐานของขอมลไมแจกแจงความถ ขนตอนการหาท าไดดงน 1. น าขอมลทมอยทงหมดมาจดเรยง อาจจะเรยงจากนอยไปหามากหรอจากมากไปหานอย

2. หาต าแหนงของคามธยฐานจาก 2

1n ( n คอจ านวนขอมลทงหมด)

3. พจารณาต าแหนงของมธยฐาน จากขอมลทจดเรยง แลวอานคามธยฐาน

38


ตวอยางท 7 จากการทดสอบวชาสถตเพองานอาชพของนกศกษาปรญญาตร สาขาวชาอเลกทรอนกส จ านวน 15 คน ไดคะแนนดงน 15 , 18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10 จงหามธยฐานของขอมลชดน วธท า ขนตอนการหา น าขอมลมาจดเรยงล าดบจากนอย ไปหามาก จะได 6 , 9 , 9, 10 , 10 ,10 , 11 , 12 , 12 , 13 , 14 , 15 , 15 , 17 , 18

หาต าแหนงของขอมล จาก 2

1n = 2

115 = 8

จะเหนวาคะแนนทเปนมธยฐานอยในต าแหนงท 8 ซงจากขอมลทเรยงไวต าแหนงท 8 ตรงกบคะแนนเปน 12

สรปวา คะแนนทเปนมธยฐานคอ 12

ตวอยางท 8 จากวดสวนสงของนกเรยนอนบาล 1 โรงเรยนในจงหวดอดรธานจ านวน 20 คน เปนดงน 78 , 88 , 62 , 60 , 80 , 67 , 60 , 55 , 50 , 49 , 61 , 53 , 62 , 74 , 70 , 55 , 71 , 48 , 61 , 40 มหนวยเปนเซนตเมตร จงหามธยฐานของขอมลชดน วธท า ขนตอนการหา น าขอมลมาจดเรยงล าดบจากนอย ไปหามาก จะได 40 , 48 , 49 , 50, 53 , 55 ,55 , 60 , 60 , 61 , 61 , 62 , 62 , 67 , 70 , 71 , 74 , 78 , 80 , 88

หาต าแหนงของขอมล จาก 2

1n = 2

120 = 10.5

จะเหนวา ไมมขอมลในต าแหนงท 10.5 ดงนนจงเอาขอมลในต าแหนงท 10 และ 11 มา

รวมกนแลวหารสอง ดงน 2

6161 = 61

สรปวา ขอมลทเปนมธยฐานคอ 61

2. กรณขอมลแจกแจงความถ การหาคามธยฐานของขอมลแจกแจงความถ ขนตอนการหาท าไดดงน

1. หาความถสะสม

2. หาต าแหนงของคามธยฐานจากสตร 2n

3. พจารณาต าแหนงมธยฐานตามขอ 2 เทยบกบความถสะสม วาอยในชนใด แลวน าไปหาคามธยฐาน ซงการหาคามธยฐานอาจใชวธการเทยบบญญตไตรยางศ การค านวณตามสตร หรอหาจากกราฟความถสะสมกได ดงรายละเอยดตอไปน

39


สตรการค านวณหาคามธยฐาน

มธยฐาน =

m

Lf

f2N

IL

L = ขอบลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย I = ความกวางของอนตรภาคชน N = จ านวนขอมลทงหมด ∑FL = ความถสะสมกอนถงชนมธยฐานอย (ขอมลเรยงจากนอยไปมาก) fm = ความถในชนมธยฐานอย

ตวอยางท 9 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาน าหนกทเปนมธยฐาน

น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

3 4 7 8 10 5 4 4

วธท า จากขอมลตองหาความถสะสม น าหนก (กก) จ านวนคน (fi) ความถสะสม

40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

3 4 7 8 10 5 4 4

3 7 14 22

32 *** 37 41 45

40


หาต าแหนงของมธยฐาน 245

2N = 22.5

ค านวณหาคามธยฐานไดโดยวธ ดงน 1. การเทยบบญญตไตรยางค

ความถสะสมตางกน (32 – 22) = 10 น าหนกตางกน (64.5 – 59.5) = 5

ถาความถสะสมตางกน (22.5 – 22) = 0.5 น าหนกจะตางกน 10

0.5x5 = 0.25

ดงนน น าหนกทเปนมธยฐาน เทากบ 59.5 + 0.25 = 59.75 กโลกรม

2. การใชสตร ต าแหนงของมธยฐานอยในชนทมความถสะสมเทากบ 22.5

(อยในชนท 5 ตรงกบชนน าหนก 60-64 )

จากสตร มธยฐาน =

m

Lf

f2N

IL

จะได =

102222.5559.5

= 59.5 +0.25 = 59.75

ดงนน น าหนกทเปนมธยฐานคอ 59.75 กโลกรม

ตวอยางท 10 ขอมลตอไปนเปนชวงอายของผชายทดดบหร แลวเปนมะเรงในโรงพยาบาลแหงหนง ทมาตรวจพบในรอบเดอน 3 เดอน จงหาอายทเปนมธยฐานของชายทดดบหรและเปนมะเรง

อาย (ป) จ านวนคน 14-23 24-33 34-43 44-53 54-63 64-73

5 7 4 8 12 4

41


วธท า หาความถสะสม อาย (ป) จ านวนคน ความถสะสม 14-23 24-33 34-43 44-53 54-63 64-73

5 7 4 8 12 4

5 12 16 24 36 40

หาต าแหนงของมธยฐาน 240

2N = 20

ค านวณหาคามธยฐานไดโดยวธ ดงน 1. การเทยบบญญตไตรยางค

ความถสะสมตางกน (24 – 16) = 8 อายตางกน (53.5 – 43.5) = 10

ถาความถสะสมตางกน (20 – 16) = 4 อายจะตางกน 8

4x10 = 5

ดงนน อายทเปนมธยฐาน เทากบ 43.5 + 5 = 48.5 ป

2. การใชสตร ต าแหนงของมธยฐานอยในชนทมความถสะสมเทากบ 20

(อยในชนท 4 ตรงกบชวงอาย 44-53 )

จากสตร มธยฐาน =

m

L

f

f2N

IL

จะได =

816201043.5

= 43.5 + 5 = 48.5 ดงนน อายทเปนมธยฐานคอ 48.5 ป

การหาคามธยฐาน สามารถหาไดจากกราฟแสดงความถสะสม ดงน 1. เขยนความเสนโคงความถสะสม (Ogive curve)

2. ลากเสนตรงจากแกน y ตรงจด 2N ใหขนานแกน x เพอตดเสนกราฟ

42


3. ลากเสนตรง ณ. จดตดของกราฟใหขนานแกน y ตงฉากกบแกน x จดตดบนแกน x จดนนเปนคามธยฐาน

ความถสะสม y

2N

คามธยฐาน ขอมล x

3. คาฐานนยม (Mode) ฐานนยม เปนคากลางของขอมลทเลอกจากขอมลทมความถมากทสด หรอชนของ

ขอมลทมความถสงทสด ขอมลทหาฐานนยมจะอยในมาตรนามบญญต (Nominal Scale) การหาฐานนยม แบงการหาได 2 กรณ 1. กรณขอมลไมแจกแจงความถ การหาฐานนยาม จะเลอกเอาขอมลทเกดซ าๆ บอยทสด

มาเปนฐานนยม ซงฐานนยมอาจจะมคาเดยว หลายคา หรอบางขอมลอาจจะไมมฐานนยมกได

ตวอยางท 11 จากการวดสวนสงของนกเรยนอนบาล 1 โรงเรยนในจงหวดอดรธานจ านวน 20 คน เปนดงน 78 , 88 , 62 , 60 , 80 , 67 , 60 , 55 , 50 , 49 , 61 , 53 , 62 , 74 , 70 , 55 , 71 , 48 , 61 , 40 มหนวยเปนเซนตเมตร จงหาฐานนยมของขอมลชดน

จดเรยงขอมลเพอใหดงายขน 40 , 48 , 49 , 50, 53 , 55 ,55 , 60 , 60 , 61 , 61 , 62 , 62 , 67 , 70 , 71 , 74 , 78 ,

80 , 88 จะเหนวาขอมลทเกดซ าจ านวนเทากนมจ านวน 4 คา คอ 55 , 60 , 61 , 62 ดงนน ฐานนยม คอ 55 , 60 , 61 , 62

43


ตวอยางท 12 จากการทดสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลอง ของนกศกษาระดบประกาศนยบตรวชาชพชนสงสาขาเทคโนโลยสารสนเทศ จ านวน 15 คน ไดคะแนนดงน 15 , 18 ,12 , 10 , 9 , 17 , 6 ,15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 ,10 จงหาฐานนยมของขอมลชดน จดเรยงขอมลเพอใหดงายขน

6 , 9 , 9, 10 , 10 ,10 , 11 , 12 , 12 , 13 , 14 , 15 , 15 , 17 , 18 จะเหนวาขอมลทเกดซ าบอยทสด คอ 10 ดงนน ฐานนยม คอ 10

ตวอยางท 13 จงหาฐานนยมจากขอมล 10 , 11 , 12 , 14 , 16 , 9 , 8 ขอมลชดนไมมฐานนยม เนองจากไมมขอมลตวใดเกดซ ามากกวาหนงครง

จากตวอยางท 11, 12, และ 13 จะเหนไดวาฐานนยมในบางขออาจจะมคามากกวาหนงคาหรอบางขออาจจะไมมฐานนยมกได

2. กรณขอมลแจกแจงความถ การหาฐานนยมท าไดโดยเลอกชนขอมลทมความถสงสดมาค านวณหาฐานนยม การค านวณหาคาฐานนยมได ตามสตรค านวณดงน

ฐานนยม =

21

1 IL

L = ขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมอย I = ความกวางของอนตรภาคชน

1Δ = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนต ากวาทตดกน

2

Δ = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนสงกวาทตดกน

ตวอยางท 14 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานในบรษทแหงหนง จงหาฐานนยม

น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69

3 4 7 8

10 *** 5

44


วธท า เลอกชนทมความถสงสดมาค านวณหาฐานนยม ดงนน ชนทมความถสดสดคอ ชนทมน าหนก 60-64 จงเลอกชนนมาค านวณฐานนยม

ฐานนยม =

21

1 IL

=

522 559.5

= 59.5 + 1.43

= 60.93 ดงนน น าหนกทเปนฐานนยม คอ 60.93 กโลกรม

การหาฐานนยม สามารถหาไดจากกราฟฮสโตรแกรม 1. เขยนกราฟฮสโตรแกรมลากเสนเชอมทแยงขอบแทงของฮสโตรแกรมทสงสดกบขอบ

แทงทตดกนทง 2 ดาน 2. ลากเสนตรงไปตงฉากกบแกน x จากจดตดกนของเสนทแยงมมทงสอง 3. อานคาบนแกน x เปนคาฐานนยม ดงรป

ความถ

อนตรภาคชน ฐานนยม

การจะเลอกใชคากลางของขอมลแตละชนดนน ขนอยกบลกษณะของขอมลและประโยชนทจะน าไปใช แตคากลางทนยมน าไปใชมากทสดคอ คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) และเปนคากลางทน าขอมลทกตวในชดมารวมค านวณ และมคณสมบตทจะโยงไปสการอนมานสถตตอไปไดด

คากลางของขอมลทงสามคา เมอน ามาแจกแจงความถ และน ามาเขยนกราฟเสนโคงความถ จะไดกราฟทมลกษณะตางๆ กน ดงแผนภาพตอไปน

45


1. กราฟสมมาตร (Normal of Bell-Shaped Curve) คอกราฟทมคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม อยทจดเดยวกน ดงกราฟ

MeanMode

Median

กราฟรปโคงปกต (Normal curve)

2. กราฟเบทางซายหรอทางลบ (Negatively Skewed Curve) คอกราฟทมเสนโคงความถชนนอยอยทางดานซายมอ ฐานนยมจะมคามากทสด รองลงมาเปนคามธยฐาน และคาเฉลยเลขคณตมคานอยทสด ดงกราฟ

Mean Mode

Median

กราฟรปโคงเบทางลบ (Negatively skewed)

3. กราฟเบทางขวาหรอทางบวก (Positively Skewed Curve) คอกราฟทมเสนโคงความถชนนอยอยทางดานขวามอ คาเฉลยเลขคณตจะมคามากทสด รองลงมาเปนคามธยฐาน และฐานนยมมคานอยทสด ดงกราฟ

MeanMode

Median

กราฟรปโคงเบทางลบ (Positively skewed)

การวดแนวโนมเขาสสวนกลางของขอมลเพยงอยางเดยว ยงไมท าใหทราบถงลกษณะของขอมลชดนน จงตองมการวดการกระจายของขอมลควบคกบคากลางของขอมลไปดวย จงจะเหนลกษณะของขอมลนนๆ ทชดเจนยงขน

46


2. การวดการกระจายของขอมล การวดการกระจายของขอมล เปนคาทบอกใหทราบวาขอมลชดนนเขาใกลคากลาง หรอแตกตางจากคากลางมากนอยเพยงใด การวดกระจายของขอมล ม 2 แบบดงน

2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ (Absolute Variation) 2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ (Relative Variation)

2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ เปนการจดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยวทตองการทราบวาขอมลชดนนมการกระจายมากนอยเพยงใด ซงสามารถท าได 4 วธดงน

1. พสย (Range) 2. สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile Deviation) 3. สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation) 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ส าหรบในหนวยนจะกลาวถงการวดการกระจายแบบสมบรณเพยง 2 วธคอ พสยและสวนเบยงเบนมาตรฐาน

2.1.1 พสย (Rang) พสย เปนคาการวดการกระจายทหางาย และคาทไดมความหยาบ ไมละเอยด

เพราะในการหาจะใชขอมลสงสดกบขอมลต าสดเทานน การหาพสยสามารถท าได 2 กรณดงน

กรณทขอมลไมแจกแจงความถ

พสย = คาสงสด – คาต าสด

ตวอยางท 15 คะแนนการสอบของนกเรยน 15 คนเปนดงน 15 , 18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10 จงหาพสย

วธท า จากขอมล 15 , 18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10

พสย = คาสงสด – คาต าสด = 18 – 6 = 12

47


กรณขอมลแจกแจงความถ

พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนสงสด – ขอบลางของอนตรภาคชนต าสด

ตวอยางท 16 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาพสย

น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69

3 4 7 8 10 5

พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนสงสด – ขอบลางของอนตร = 69.5 – 39.5 = 30

ขอสงเกต

1. การหาพสยสามารถหาไดอยางรวดเรว เพราะใชคาของขอมลเพยงสองคาเทานน 2. ถาขอมลบางตวมคามากหรอนอยผดปกตจากขอมลตวอนๆ จะท าใหพสยทค านวณไดม

คาสงมาก 3. ถาขอมลมการแจกแจงความถเปนอนตรภาคชนเปด จะไมสามารถค านวณหาพสยได 4. พสยมคามาก แสดงวาขอมลมการกระจายจากคากลางมาก และถาพสยมคานอยแสดง

วาขอมลมการกระจายจากคากลางนอย

2.1.2 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) สวนเบยงเบนมาตรฐาน เปนคาทน าไปใชวดการกระจายของขอมล ทนยมมากทสด

ทแสดงใหเหนวาขอมลนนมการกระจายหางออกจากคาเฉลยเลขคณตมากนอยเพยงใด สวนเบยงเบนมาตรฐาน ใชสญลกษณ ( ) อานวา ซกมา (sigma) แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร และใชสญลกษณ S หรอ S.D. แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง เพอใหทราบถงลกษณะของ

48


ขอมลอยางชดเจน เมอมคาเฉลยเลขคณตตองมคาเบยงเบนมาตรฐานควบคในขอมลชดนนเสมอ การหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ท าได 2 กรณดงน

1. กรณทขอมลไมแจกแจงความถ

สตร1

N

x2N

1ii

μ

σ หรอ S.D.

n

xx2n

1ii

สตร 2 2

N

1i

2i

N

xμσ

หรอ S.D. 2

n

1i

2i

xn

x

สวนเบยงเบนมาตรฐานมความสมพนธกบความแปรปรวน (Variance) สญลกษณ ( 2σ ) แทนความแปรปรวนของประชากร และ S2 หรอ (S.D.)2 แทนความแปรปรวนของตวอยาง หมายถง ความเบยงเบนของขอมลแตละตวกบคาเฉลยนนจะมคาทงบวกและลบ แตเมอน าขอมลเบยงเบนนมาบวกกนจะไดคาเทากบ 0

ความแปรปรวนของประชากร

N

iX2

N

1i

2

μ

σ หรอ

2

N

1

2

Ni

ix2 μσ

ความแปรปรวนของตวอยาง

n

xix(S.D.)

n

1i

2

2

หรอ

2

n

1i

2i

2 xn

x(S.D.)

ตวอยางท 17 จากขอมล 10 , 12 , 11 , 15 , 8 ,16 , 14 , 13 , 15 , 16 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

วธท า x = 10

16........111210

= 10130

= 13

49


ค านวณตามสตร 1

10

1i

2i

xx = (10-13)2+(12-13)2+(11-13)2+(15-13)2+(8-13)2+(16-13)2+(14-13)2+(13- 13)2

+(15-13)2+(16-13)2

= 9 + 1 + 4 + 4 + 25 + 9 + 1 + 0 + 4 + 9 = 66

ดงนน S.D. = 1066

= 6.6 = 2.57

และ (S.D.)2 = 1066

= 2.57 ค านวณตามสตร 2

10

1i

2ix = 102 + 122 + 112 + 152 + 82 + 162 + 142 + 132 + 152 + 162

= 100 + 144 + 121 + 225 + 64 + 256 + 196 + 169 + 225 + 256 = 1,756

S.D. = 2

n

1i

2i

xn

x

= 2(13)10

1756

= 169175.6 = 6.6 = 2.57

และ (S.D.)2 = 2(13)10

1756

= 175.6 – 169 = 6.6 ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลเทากบ 2.57 และ 6.6 ตามล าดบ

50


ตวอยางท 18 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนความสงของพนกงานบรการบนสายการบนของบรษทหนง จ านวน 5 คน ดงน 165 174 158 160 และ 154 เซนตเมตร

วธท า

x = 5

154160158174165

= 5

811

= 162.2

5

1i

2i

xx = (165-162.2)2+(174-162.2)2+(158-162.2)2+(160-162.2)2+(154-162.2)2

= 7.84 + 139.24 + 17.64 + 4.84 + 67.24 = 236.8

ดงนน S.D. = 5

236.8

= 47.36 = 6.88

และ (S.D.)2 = 5

236.8

= 47.36 ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของความสงเทากบ 6.88 และ 47.36 เซนตเมตร

2. กรณทขอมลแจกแจงความถ

สตร 1

N

xfN

1i

2ii

μ

σ หรอ

n

xxfS.D.

n

1i

2ii

สตร 2

2μ

N

1i

2ii

N

xfσ

หรอ

2

n

1i

2ii

xn

xfS.D.

51


ความแปรปรวนของประชากร

N1i

Xif2

N2

i

μ

σ หรอ 2μN

N

1i2)i(xif2

σ

ความแปรปรวนของตวอยาง

n

xixf(S.D.)

n

1i

2i

2

หรอ

21i2 xn

n 2ixif

(S.D.)

ตวอยางท 19 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน

น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69

3 4 7 8 10 5

วธท า น าหนก (กก) จ านวนคน

(fi) จดกงกลาง

(xi) (fixi) xx

i 2

ixx fi 2

ixx

40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69

5 7 6 9 8 5

42 47 52 57 62 67

210 329 312 513 496 335

-12.88 -7.88 -2.88 2.12 7.12 12.12

165.89 62.09 8.29 4.49 50.69 146.89

829.45 434.63 49.74 40.41 405.52 734.45

40 2,195 438.34 2,494.2

52


x = 40

2,195

= 54.88

S.D. =

n

nxxf

1i

2ii

= 40

2,494.2

= 62.355 = 7.897

ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานของน าหนกเทากบ 7.897 กโลกรม

ตวอยางท 20 ขอมลตอไปนเปนผลการเรยนเฉลยของนกศกษา จ านวน 30 คน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนผลการเรยนของนกเรยนกลมน

ผลการเรยนเฉลย จ านวน(คน) 1.51 – 2.00 2.01 – 2.50 2.51 – 3.00 3.01 – 3.50 3.51 – 4.00

3 8 7 9 3

วธท า เกรดเฉลย จ านวนคน

(fi) จดกงกลาง

(xi) (fixi) xx

i 2

ixx fi 2

ixx

1.51 – 2.00 2.01 – 2.50 2.51 – 3.00 3.01 – 3.50 3.51 – 4.00

3 8 7 9 3

1.755 2.255 2.755 3.255 3.755

5.265 18.04 19.285 29.295 11.265

-1.017 -0.517 -0.017 0.483 0.983

1.034 0.267 0.0003 0.233 0.966

3.102 2.136 0.002 2.099 2.898

N = 30 83.15 10.24

x = 30

83.15

53


= 2.772

S.D. =

n

xxfn

1i

2ii

= 30

10.24

= 0.341

= 0.584

(S.D.)2 = 30

10.24

= 0.341 ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของผลการเรยนเทากบ 0.584 และ 0.341 ตามล าดบ

สมบตทส าคญบางประการของสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ 2 ถาน าคาคงทไปบวกหรอลบกบทกๆ คาของขอมล สวนเบยงเบนมาตรฐานชดใหมจะมคา

เทากบสวนเบยงเบนมาตรฐานชดเดม 3. ถาน าคาคงทไปคณหรอหารกบทก ๆ คาของขอมล แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานใหม จะ

เทากบสวนเบยงเบนมาตรฐานเดม คณหรอหารกบคาสมบรณของคาคงท 4. ถาขอมลแตละตวมคาเทากนหมด แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนนจะ

เทากบศนย

2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ การวดการกระจายแบบสมพทธ เปนการวดการกระจายของขอมลตงแตสองชดขนไป เพอใชเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละชด วาขอมลชดใดมการกระจายมากนอยกวากน โดยหาจาก อตราสวนของคาทไดจากการวดการกระจายแบบสมบรณกบคากลางของขอมลชดนน คาทค านวณไดเรยกวา สมประสทธของการกระจาย

54


สมประสทธของการกระจาย แบงออกเปน 4 วธดงน 1. สมประสทธพสย (Coefficient of Range) 2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล (Coefficient of Quartile

Deviation) 3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of Mean Deviation) 4. สมประสทธการแปรผน (Coefficient of Variation)

แตในหนวยน จะกลาวถงการวดการกระจายสมพทธ เพยง 2 วธ คอ สมประสทธพสย และสมประสทธการแปรผน

2.2.1 สมประสทธพสย (Coefficient of Range) สมประสทธพสย เปนการวดการกระจายทใชขอมลเพยงสองคา คอคาสงสดกบขอมลต าสด ซงคาสมประสทธพสย เปนอตราสวนของผลตางระหวางขอมลสงสดกบขอมลต าสด และผลบวกของขอมลสงสดกบขอมลต าสด ดงสตร

สมประสทธพสย = minmax

minmaxX.XXX

ตวอยางท 21 จงเปรยบเทยบคะแนนสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองของนกศกษาสองกลม ในวทยาลยแหงหนง คะแนนสอบกลมท 1 60 75 52 48 80 66 77 72 61 63 75 50 56 คะแนนสอบกลมท 2 80 86 62 50 58 77 66 53 73 81 69 72 60 70 59

สมประสทธพสย = minmax

minmaxX.XXX

สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลม 1 = 48804880

= 12832

= 0.25 สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลมทหนงเทากบ 0.25 หรอ 25 %

55


สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลม 2 = 50865086

= 13636

= 0.26 สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลมทสองเทากบ 0.26 หรอ 26%

ดงนน สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลมทสองสงกวากลมทหนง แสดงวาคะแนนสอบของนกศกษากลมทสองมการกระจายมากกวากลมทหนง

2.2.2 สมประสทธการแปรผน (Coefficient of Variation) สมประสทธการแปรผน เปนการวดการกระจายทนกสถตนยมน าไปใชมากทสด ใช

สญลกษณ C.V. แทนสมประสทธการแปรผน ดงสตร

C.V. ประชากร = μ

σ

C.V. ตวอยาง = x

S.D.

ตวอยางท 22 จงหาสมประสทธของการแปรผนของคะแนนสอบนกศกษา 2 กลม

คะแนนสอบแตละคน กลม 1 8 7 6 4 4 9 7 7 คะแนนสอบแตละคน กลม 2 5 6 8 4 5 6 7 8

สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 1 = 1

1μ

σ

1

μ = 8

7...678

= 852

= 6.5

1σ = 8

6.5)(8.....6.5)(76.5)(8 222

= 822

= 2.75 = 1.658

56


ดงนน สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 1 = 1

1μ

σ

= 6.5

1.658

= 0.255 หรอ 25.5%

สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 2 = 2μ2σ

2μ = 8

8...865

= 849

= 6.125

2σ = 8

6.125)(8.....6.125)(66.125)(5 222

= 8

14.87

= 1.858 = 1.363

ดงนน สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 2 = 2μ2σ

= 6.1251.363

= 0.223 หรอ 22.3% สรป สมประสทธการแปรผนคะแนนสอบนกศกษากลมทหนงสงกวากลมทสอง แสดงวา คะแนนการสอบของนกศกษากลมทหนง มการกระจายคะแนนมากกวากลมทสอง

ตวอยางท 23 จงหาคะแนนการสอบของนกศกษาวาแบบสอบฉบบไหนมคะแนนดกวากน

คะแนนเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐาน แบบสอบฉบบท 1 55 8 แบบสอบฉบบท 2 68 11

สมประสทธการแปรผน = μ

σ

57


สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 1 = 558

= 0.145 สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 1 เทากบ 0.145 หรอ 14.5%

สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 2 = 6811

= 0.162 สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 2 เทากบ 0.162 หรอ 16.2% ดงนน สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 2 สงกวาฉบบท 1 แสดงวา คะแนนการสอบดวยแบบสอบฉบบทสองกระจายมากกวาฉบบทหนง นนคอ คะแนนการสอบดวยแบบสอบฉบบทหนงดกวาฉบบทสอง

58


1. จากขอมล น าหนกของนกเรยนชนประถมศกษาปท 1 จ านวน 15 คน เปนดงน 35 27 19 28 22 27 26 35 30 21 20 17 20 20 28

1.1 หาคาเฉลยของน าหนก

15

XX

15

1ii

= 15

282020172021303526272228192735

= 15

..........

= …………. ดงนนคาเฉลยน าหนกของนกเรยนกลมน เทากบ………………………… กโลกรม

1.2 หาคามธยฐาน ขนตอนการหามธยฐาน 1. จดเรยงขอมลจาก นอยไปหามาก

…………………………………………………………………………………………………………………………หาต าแหนงของมธยฐาน จากขอมลทเรยงไว

ต าแหนง = 2

1n = 2

1........ = ……………………………………………

มธยฐานอยในต าแหนงท…………………ตรงกบตวเลข.............................................. 2. ดงนน คามธยฐานเทากบ ……………………………………………………………………………

1.3 หาคาฐานนยม (เลอกจากขอมลทเกดซ าบอยทสด) ฐานนยมเทากบ………………………………………………………………………………………………….

2. จากขอมลจงเตมค าตอบใหถกตอง ขอมล คาเฉลย มธยฐาน ฐานนยม

1) 5 5 4 5 7 7 9 8 2) 10 11 12 13 14 15 3) 12 12 12 12 12 12 4) 4 4 5 5 6 6 7 7 5) 11 10 10 9 8 6 5

…………………………. …………………………. …………………………. …………………………. …………………………

………………………… ………………………… ………………………… ………………………… …………………………

…………………… …………………… …………………… …………………… ……………………

เอกสารแนะแนวทางท 2.1

59


ขอมลคาจางรายวนของแมบานในโรงพยาบาลแหงหนงเปน ดงน คาจาง จ านวน (คน)

150-199 200.249 250-299 300-349 350-399 400-449 450-499

7 10 12 8 6 4 3

จงหาคาเฉลยของคาจางรายวน คามธยฐาน และคาฐานนยม

คาจาง จ านวน (คน) จดกงกลาง (Xi) fiXi ความถสะสม 150-199 200.249 250-299 300-349 350-399 400-449 450-499

7 10 12 8 6 4 3

…………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………

…………… …………… …………… …………… …………… …………… …………...

…………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………

............xfii

n = ………

1) หาคาเฉลยเลขคณต n

iXf

X

n

1 ii =

.................

................

= ……………………………..


60


2) มธยฐาน หาต าแหนง 2n =

2............

= …………………………………..

ค านวณ หามธยฐาน

m

L

f

f2N

IL

L = …………………… I = ……………………. 2n = …………………………..

................. Lf

mf =……………………

แทนคาตามสตร จะได

.........

...............................

= …………………………………………….. = ……………………………………………… = ……………………………………………..

3. ฐานนยม การหาฐานนยม จะเลอกชนทมความถสงทสด

สตรการหาฐานนยม

21

1 IL

L = ขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมอย =…………………………………. I = ความกวางของอนตรภาคชน =………………………………………………….

1 = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนต ากวาทตดกน =………………….

2 = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนสงกวาทตดกน =…………………

แทนคา =

................

..............................

= .............

.............

ฐานนยม = ………………….

61


1. จากขอมล น าหนกของนกเรยนชนประถมศกษาปท 1 จ านวน 10 คน เปนดงน 35 27 19 28 22 27 26 35 30 21

1.1 จงหาพสย พสย = คาสงสด - คาต าสด = ……………… - …………….. = ………………………..

1.2 หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน

S.D.

n

xx2n

1ii

10

xx

10

1ii

= 10

.......... = ………………………….

10

1i

2i

xx = ……………………………………………………………………………………………………...........

=………………………………………………………………………………………………………………………….. =…………………………………………………………………………………………………………………………..

S.D.

n

xx2n

1ii

= ...........

...............

= ……………………… = ………………………


62


2. ขอมลคาใชจายรายวนของนกศกษาระดบ ปวส. สาขาการจดการโลจสตกส วทยาลยเทคนคอดรธาน

คาจาง จ านวนนกศกษา (คน) 150 - 159 160 - 169 170 - 179 180 - 189 190 - 199 200 - 209 210 - 219

3 5 12 8 5 4 3

พสย = …………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………….

คาจาง จ านวนนกศกษา (คน)

xi fixi xix 2xix fi 2xix

150 - 159 160 - 169 170 - 179 180 - 189 190 - 199 200 - 209 210 - 219

3 5 12 8 5 4 3

n = …………

S.D. = ...........

...........

= ............. = ……………….

63


1. จากการสอบถามอายของนกเรยนกลมหนงเปนดงน 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17 จงหาคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยนกลมน ( 2 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของยอดขายอาหารตอสปดาหของแตละรานในวทยาลยเทคนคอดรธาน เปนดงน 4,200 5,300 5,800 6,500 5,300 7,600 8,000 6,300 (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกหดทายหนวยท 2

64


3. ขอมลตอไปน เปนน าหนกของนกศกษา ประดบ ปวส. ของวทยาลยแหงหนง น าหนก (กก) จ านวนนกศกษา

45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

8 10 6 7 5 3 1

จงหา คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของนกศกษากลมน (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จงหาคาพสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน ของน าหนกหม 8 ตวทเพมขนตอสปดาห มหนวยเปนกโลกรม ขอมลเปนดงน 5, 5.3 , 6.5 , 4.5 , 7 , 8 , 6.7 , 6 (3 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

65


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… 5. ขอมลตอไปน เปนน าหนกของนกศกษา ประดบ ปวส. ของวทยาลยแหงหนง

น าหนก (กก) จ านวนนกศกษา 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79

8 10 6 7 5 3 1

จงหา พสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน ของน าหนกนกศกษากลมน (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

66


……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………..…………….......... …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… 6. น าหนกของนกศกษา ปวส. จ านวน 15 คน ไดขอมลน าหนก ดงน น าหนกนกศกษาชาย (กก) 60 55 70 53 69 58 77 80 59 น าหนกนกศกษาหญง (กก) 45 40 42 61 45 59 จงเปรยบเทยบการกระจายของน าหนกระหวางนกศกษาชายและนกศกษาหญง (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

67


ค าชแจง ขอสอบปรนยมจ านวน 10 ขอ ใหนกศกษาเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว

1. ถา 3yx...3yx3yx773322 เขยนเปนสญลกษณไดดงขอใด

ก )

7

1iii

y(x

ข.

)3y(x7

1iii

ค. )y(x7

2iii

ง.

)

7

2iii

3y(x

จ. 3 )y(x7

2iii

2. คนกลมหนงมน าหนกแตกตางกนดงน 46, 44, 40, 49, 52, 42 กโลกรม หลงจากนนพบวาเครองชงน าหนกอานคาไดมากกวาความเปนจรง 3 กโลกรม จงหาน าหนกเฉลยจรงของคนกลมน

ก. 43 ข. 42 ค. 42.5 ง. 41 จ. 41.5 3. ถาสวนสงของนกเรยน 10 คน วดเปนเซนตเมตรไดดงน 110, 120, 110, 108, 112, 110, 118,

112 125 138 ขอใดตอไปนถกตอง ก. คาเฉลยเลขคณตมคานอยกวามธยฐาน ข. คาเฉลยเลขคณตมคามากกวามธยฐาน ค. ฐานนยมมคามากกวามธยฐาน ง. ฐานนยมมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต จ. คามธยฐานมคาเทากบฐานนยม

แบบทดสอบหลงเรยน

68


4. สมชายมผลการเรยนของภาคเรยนท 1/2559 แตละวชาเปนดงน วชา หนวยกต เกรด

ภาษาไทย คณตศาสตร ภาษาองกฤษ วทยาศาสตร สงคมศกษา พละศกษา วสดชาง

2 2 2 2

1.5 1 3

3.5 3 4

2.5 3 4 4

อยากทราบวาสมชายไดเกรดเฉลยในภาคเรยนนเทากบเทาใด ก. 3.42 ข. 3.44 ค. 3.45 ง. 3.46 จ. 3.47 5. บรษทตวแทนจ าหนายเครองคอมพวเตอรมยอดจ าหนายในรอบ 6 เดอน ดงน 25, 30, 20, 18, 27, 30 เครองตามล าดบ คาเฉลยยอดขายตอเดอนไดกเครอง ก. 21 ข. 22 ค. 23 ง. 24 จ. 25 6. จากโจทยขอ 5. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเทากบขอใด ก. 4.26 ข. 4.62 ค. 4.72 ง. 4.82 จ. 4.86

69


7. คาใชจายตอเดอนของนกศกษา 5 เปนดงน 3,000 4,500 7,000 70,000 และ 4,000 คา ค านวณรายจายทอยตรงกลางทเหมาะสมควรเปนคาใด ก. คาเฉลยเลขคณต ข. มธยฐาน ค. ฐานนยม ง. สมประสทธการแปรผน จ. สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8. ตารางแสดงน าหนกของนกศกษาเปนกโลกรม

น าหนก (กโลกรม) จ านวน (คน) 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60

4 8 12 10 6

จงพจารณาวาขอความใดตอไปนถกตอง ก. ชนทมความถสะสมเปน 16 มจดกงกลางชนเทากบ 47.5 ข. มธยฐานอยในชนทมน าหนกระหวาง 41-45 ค. คาเฉลยเลขคณตของน าหนกมคาเทากบ 47.25 ง. ฐานนยมอยในชนทมน าหนกเดยวกนกบมธยฐาน จ. ชนทมความถสงสด มจดกงกลางเทากบ 47.50

ขอมลน ตอบค าถามขอ 9-10 คาจางของพนกงานในบรษท 3 แผนก มคาเฉลยและความแปรปรวน ดงตารางขางลางน

แผนก คาเฉลย (บาท) ความแปรปรวน A 4,500 25 B 5,000 81 C 5,500 121

70


9. คาจางของแผนก C มการกระจายเทาใด ก. 0.002 ข. 0.02 ค. 0.022 ง. 45.45% จ. 500 10. อยากทราบวาคาจางของพนกงานแผนกใดมการกระจายมากทสด ก. แผนก A ข. แผนก C ค. แผนก B ง. แผนก A และ B จ. แผนก A และ C

71

หน่วยที่ 2 -...

Documents