คณิตศำสตร มacademic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1550141485... ·...

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศำสตร ม.5

ผเรยบเรยง

Dr.Yeap Ban Har Asst. Prof. Dr.Choy Ban Heng Dr.Joseph Yeo Boon WooiMr.Teh Keng Seng นายทวศกด จนทรมณ

ผตรวจ

นางจนดา อยเปนสขนายรณชย มาเจรญทรพยนางสาวบรนาถ เฉยฉน

บรรณำธกำร

นางสาวจนทรเพญ ชมคช

5ชนมธยมศกษาปท

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2562

พมพครงท 1 จานวนพมพ 15,000 เลมISBN : 978-616-203-827-3รหสสนคา 3516004

Investigationกจกรรมเพอใหผเรยนไดคนหา concept ทส�าคญทางคณตศาสตร

Performance Task“Mini project” เพอใหผเรยน ไดฝกทกษะในศตวรรษท 21

Journal Writingค�าถามใหผเรยนไดสะทอน ความรทไดเรยนมา เพอใชประเมนตนเองเบองตน

QR Codeรองรบการเรยนร ผานสอดจทล

IT CORNER

ความรเกยวกบการใชเทคโนโลยเปนเครองมอเพอชวยตรวจสอบ ค�าตอบ

นกเรยนสามารถหาผลลพธโดยคณตามลกศร ดงรป

(3 + 2)(4 - 2)

PROBLEM SOLVING TIP

ใหหำผลลพธของ 1) (3 + 2)(4 - 2) 2) ( 3 + 1) 2

วธท�ำ 1) (3 + 2)(4 - 2) = 12 - 3 2 + 4 2 - 2

= 10 + 2

2) ( 3 + 1) 2 = 3 + 2 3 + 1

= 4 + 2 3

ตวอยางท 9

ใหหาผลลพธของ 1) (7 + 2 3)(5 - 3) 3) (3 + 2 5)(3 - 2 5)

2) (4 - 3 2) 2 4) (3 6 + 4 2) 2

ลองทาด

ฝกทาตอแบบฝกทกษะ 1.2 ขอ 5(9)-(12)

ลองทาด

ใหนกเรยนจบค แลวชวยกนตอบค�ำถำมตอไปน

1. จากลองท�าดใตตวอยางท 9 ขอ 1), 2) และ 4) ผลคณของจ�านวนอตรรกยะ 2 จ�านวน

เปนจ�านวนอตรรกยะหรอไม และจากขอ 3) ผลคณของจ�านวนอตรรกยะ 2 จ�านวน

เปนจ�านวนตรรกยะหรอไม และมรปแบบของผลคณเปนอยางไร

2. จากรปแบบในขอ 1. นกเรยนคดวาเงอนไขใดทท�าใหผลคณของจ�านวนอตรรกยะ

2 จ�านวน เปนจ�านวนตรรกยะ

Class Discussion

จาก Class Discussion จะเหนวา ผลคณของจ�านวนอตรรกยะ 2 จ�านวน ทอยในรปการคณ

ของ (p + q a)(p - q a) จะไดผลลพธเปนจ�านวนตรรกยะ ซงจะเรยก p + q a วาเปน สงยค

(conjugate) ของ p - q a และจะไดวา p - q a เปนสงยคของ p + q a ดวย

ให p, q และ a เปนจ�านวนตรรกยะ โดยท a > 0 จะไดวา (p + q a) และ (p - q a)

เปนสงยคซงกนและกน

จากสงยคทกลาวมาขางตน ถา a = 0 แลวจะไดจ�านวนตรรกยะ

จ�านวนเดยว คอ p นนคอ p + q 0 = p หรอ p - q 0 = p

ATTENTION

เลขยกก�าลง 17

ในระดบชนมธยมศกษาตอนตน นกเรยนทราบมาแลววา การหารากทสองของศนยและ

จ�านวนจรงบวกใด ๆ คอ การหาจ�านวนจรงทยกก�าลงสองแลวไดจ�านวนจรงนน ในท�านองเดยวกน การหารากทสามของจ�านวนจรงใด ๆ คอ การหาจ�านวนจรงทยกก�าลงสาม

แลวไดจ�านวนจรงนน เชน การหารากทสามของ 27 ท�าไดโดยการหาจ�านวนจรงทยกก�าลงสาม

แลวได 27 ซงจ�านวนนน คอ 3 จงไดวา 3 เปนรากทสามของ 27 ในระดบชนนนกเรยนจะไดศกษา

เกยวกบรากท n ในระบบจ�านวนจรง1. รำกทnของจ�ำนวนจรง(nth Root of Real Number)

จาก Investigation จะเหนวา จ�านวนจรงใด ๆ เขยนในรปเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปน

จ�านวนเตมบางจ�านวนสามารถจดไดทงฐานทเปนจ�านวนบวกและฐานทเปนจ�านวนลบ เชน 81 = 34

หรอ 81 = (-3)4 ซงจะเรยก 3 และ -3 วาเปนรากท 4 ของ 81 แตบางจ�านวนจดไดเฉพาะฐาน

ทเปนจ�านวนบวกหรอฐานทเปนจ�านวนลบอยางใดอยางหนงเทานน เชน 27 = 33 เรยก 3 วา

เปนรากท 3 ของ 27 หรอ -27 = (-3)3 ซงจะเรยก -3 วาเปนรากท 3 ของ -27

1.2 รำกทnของจ�ำนวนจรง (nth Root of Real Number)

Investigation ใหนกเรยนเตมค�ำตอบลงในชองวำงใหถกตอง 1. 62 = ..........................................................................................................................................................

2. (-6)2 = ..........................................................................................................................................................

3. 33 = ..........................................................................................................................................................

4. (-3)3 = ..........................................................................................................................................................

5. 34 = ..........................................................................................................................................................

6. (-3)4 = ..........................................................................................................................................................

7. 25 = ..........................................................................................................................................................

8. 26 = ..........................................................................................................................................................

9. (-2)6 = ..........................................................................................................................................................

10. 17 = ..........................................................................................................................................................

36 ดงนน 6 เปนรากท 2 ของ 36

8

PROBLEM SOLVING TIP

ชแนะวธการแกโจทยปญหาและเทคนคตาง ๆ ทางคณตศาสตร

ลองท�ำด

ค�าถามทคลายตวอยาง เพอเนนใหผเรยนไดฝกท�าจนเกด ความช�านาญ

ฝกท�ำตอ

ระบขอค�าถามใน แบบฝกทกษะ ทคลายกบตวอยาง เพอใหผเรยนสะดวกในการคนหา

Thinking Timeค�าถามกระตนใหผเรยนได คดตอยอดจากเนอหาทเรยน

ใหหาคาประมาณของ 3 8.1ลอง

ทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.2 ขอ 2

ลองทาด

นกเรยนสามารถใชเครองคดเลข

วทยาศาสตรตรวจสอบ

คาประมาณ 3 63 โดยกดปม

IT CORNER

3 6 3 =

ตะวนแสดงวธหาค�าตอบจากตวอย

างท 5 ดงน

เนองจาก 3 27 = 3 แ

ละ 3 64 = 4

ดงนน 3 63 มคาประมาณมากกวา 3 แตไมถง 4

เนองจาก (3 + 42

)3 = (3.5)

3 = 42.875

ดงนน 3 63 มคาประมาณมากกวา 3.5 แตไมถง 4

เนองจาก (3.5 + 4

2)3 = (3.75)

3 ≈ 52.734

ดงนน 3 63 มคาประมาณมากกวา 3.75 แตไม

ถง 4

เนองจาก (3.75 + 4

2)3 = (3.875

)3 ≈ 58.186

ดงนน 3 63 มคาประมาณมากกวา 3.875 แตไม

ถง 4

เนองจาก (3.875 + 4

2)3 = (3.937

5)3 ≈ 61.047

ดงนน 3 63 มคาประมาณมากกวา 3.9375 แต

ไมถง 4

เนองจาก (3.9375 +

42

)3 = (3.968

75)3 ≈ 62.512


ไมถง 4

เนองจาก (3.96875 +

42

)3 = (3.984

375)3 ≈ 63.253


ไมถง 3.984375

เนองจาก (3.96875 +

3.984375

2)3 = (3.976

5625)3 ≈ 62.882

ดงนน 3.9765625 ≈ 3.98 เปนคาประมาณของ

3 63

นกเรยนเหนดวยกบวธการหาค�าตอบของตะวนหรอไม เพราะเหตใด

Journal Writing

12

ก�ำหนด f(x) = 2x - 1 โดยท -1 ≤ x ≤ 3 ใหหำเรนจของฟงกชนวธท�ำ จาก f(x) = 2x - 1 พจารณาท x = -1 จะได f(-1) = 2(-1) - 1 = -3

พจารณาท x = 3 จะได f(3) = 2(3) - 1 = 5 เขยนกราฟของฟงกชนได ดงน

จากกราฟ จะไดคาของฟงกชนอยในชวง -3 ≤ y ≤ 5 ดงนน R

f = { y � y∊R และ -3 ≤ y ≤ 5 } หรอ [-3, 5]


ก�าหนด f(x) = 3x - 4 โดยท -5 ≤ x ≤ 0 ใหหาเรนจของฟงกชน

ลองทาด

ฝกทาตอแบบฝกทกษะ 2.1 ขอ 16, 25-26, 28

ลองทาด

ปราโมทยแสดงวธหาค�าตอบจากตวอยางท 20 ดงน จากเงอนไข -1 ≤ x ≤ 3 จะได -2 ≤ 2x ≤ 6

-3 ≤ 2x -1 ≤ 5 -3 ≤ f(x) ≤ 5 นกเรยนเหนดวยกบวธหาค�าตอบของปราโมทยหรอไม เพราะเหตใด

Thinking Time

การหาโดเมนและเรนจของฟงกชนจากกราฟทสรางโดยใชโปรแกรม GeoGebra

1 3 4

1

4

5

2

3

-3-42 5

0-2 -1-1

-2

-3

-5X

Y

ฟงกชน 71

Performance Task

การหาล�าดบบรรพบรษของผงเพศผ 1 ตว สามารถหาไดจากแผนภาพ ดงน

โดยก�าหนด M แทนผงตวผ และ F แทนผงตวเมย

M

F

M

F

F

M F

ใหนกเรยนสบคนเรองล�ำดบบรรพบรษของผงเพมเตมจำกอนเทอรเนตวำ บรรพบรษของผง

ในแตละรนมควำมสมพนธเปนล�ำดบแบบใด จำกนนเขยนล�ำดบบรรพบรษของผงรนท 1 ถงรนท 20

รนท 1

รนท 2

รนท 3

รนท 4

และ 2 5 10 17 26

+3 +5 +7 +9

+2 +2 +2

จากล�าดบทก�าหนดให จะเหนวา ผลตางครงท 2 มคาคงตวเทากบ 2

ใหพจนทวไปอยในรป an = an

2 + bn + c

แทน n = 1 จะได a1 = 2 = a + b + c ……➊

แทน n = 2 จะได a2 = 5 = 4a + 2b + c ……➋

แทน n = 3 จะได a3 = 10 = 9a + 3b + c ……➌

น�า ➋ - ➊ จะได 3 = 3a + b ……➍

น�า ➌ - ➋ จะได 5 = 5a + b ……➎

น�า ➎ - ➍ จะได 2 = 2a

a = 1

แทน a ใน ➍ ดวย 1 จะได b = 0

แทน a และ b ใน ➊ ดวย 1 และ 0 ตามล�าดบ จะได c = 1

ดงนน an = n

2 + 1

178

Class Discussionค�าถามอภปรายในชนเรยน เพอกระตนใหผเรยนไดความรใหม และฝกทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร การใหเหตผลและการสอสาร

ค�ำแนะน�ำในกำรใชสอ

องคประกอบตาง ๆ ในแตละหนวย

หนำเปดหนวยกำรเรยนร

เนนเชอมโยงความรทางคณตศาสตรไปใชในชวตจรง

1คารบอน-14 (C-14) เปนธาตกมมนตรงสท

พบไดในวตถตาง ๆ เกอบทกชนดบนโลก ซงม

ประโยชนทางดานธรณวทยา สามารถน�ามา

ค�านวณหาอายของวตถโบราณ และอายของ

ซากฟอสซลตาง ๆ ได โดยการใชคาครงชวต

ซงค�านวณไดจากสตร

Nเหลอ =

Nเรมตน

2Tt12

เมอ Nเหลอ = ปรมาณของกมมนตรงสทเหลอ

Nเรมตน = ปรมาณของกมมนตรงสเรมตน

T = เวลาทใชในการสลายตว

t 12 = ครงชวต

เลขยกก�ำลง

หนวยกำรเรยนรท

ตวชวด

• เขาใจความหมายและใชสมบตเกยวกบการบวก การคณ

การเทากน และการไมเทากนของจ�านวนจรงในรปกรณฑ

และจ�านวนจรงในรปเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปน

จ�านวนตรรกยะ (ค 1.1 ม.5/1)

สำระกำรเรยนรแกนกลำง

•รากท n ของจ�านวนจรง

เมอ n เปนจ�านวนนบทมากกวา 1

• เลขยกก�าลงทมเลขชก�าลง

เปนจ�านวนตรรกยะ

Recall

INFORMATIONเครองคดเลขวทยาศาสตรทยหอหรอร นตางกน จะมปมค�านวณ และวธการใชทแตกตางกน เชน 23 สามารถกดปมบนเครองคดเลขไดเปน2 x 3 =

หรอ 2 ∧ 3 = หรอ 2 xy 3 =

นกเรยนสามารถค�านวณหาคาตาง ๆ ของเลขยกก�าลง โดยใชเครองคดเลขวทยาศาสตร ดงรป

ใหหำคำของจ�ำนวนตอไปน โดยใชเครองคดเลข 1) 314

2) 2 - 64 3) 3 71

4) 4 8วธท�ำ 1) 314

กดปม 3 x 14 = จะปรากฏผลลพธ 4782969


สวนประกอบหลกบนเครองคดเลข1. หนาจอแสดงผลการท�างาน2. ปมเปดเครอง3. ปม MODE/SETUP ใชส�าหรบเลอกโหมดหรอตงคาเครอง4. ปม SHIFT ส�าหรบเรยกใชค�าสงทเปนสเหลอง แลวตามดวยปมค�าสงนน ๆ

5. ปม ALPHA ส�าหรบเรยกใชค�าสงทเปนตวอกษรสแดง แลวตามดวยปมค�าสงนน ๆ6. ปมควบคมทศทาง ใชเลอนดค�าตอบหรอแกไขการค�านวณ7. ปมฟงกชนและสตรการค�านวณ8. ปมตวเลข/เครองหมายการด�าเนนการ

1

2

8

7

5

3

6

4

32

INFORMATION

ขอมลทนาสนใจ หรอขอสงเกต ทไดจากเนอหา

ATTENTION

ขอมลทส�าคญท ผเรยนควรรเพมเตม

ตวชวด

ตวชวดทสอดคลองกบเนอหาในหนวยการเรยนร

สำระกำรเรยนรแกนกลำงขอบขายเนอหาในหนวยการเรยนร

Recallแบบทดสอบเพอตรวจสอบความรพนฐานกอนเขาสบทเรยน

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 จดท�าขน

ส�าหรบใชประกอบการเรยนการสอนชนมธยมศกษาปท 5 โดยด�าเนนการจดท�าใหสอดคลองตามมาตรฐาน

การเรยนร ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลาง กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ.

2560) ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ทกประการ สงเสรมทกษะท

จ�าเปนส�าหรบการเรยนรในศตวรรษท 21 ทงทกษะดานการคดวเคราะห การคดอยางมวจารณญาณ

การแกปญหา การคดสรางสรรค การใชเทคโนโลย การสอสาร และการรวมมอ เพอใหผเรยนรเทาทน

การเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจ สงคม วฒนธรรม และสภาพแวดลอม สามารถแขงขนและอยรวม

กบประชาคมโลกได

การเรยบเรยงหนงสอเลมน เปนความรวมมอระหวาง บรษท อกษรเจรญทศน อจท. จ�ากด กบ

Shing Lee Publishers Pte Ltd. ประเทศสงคโปร ซงภายในเลมนมองคประกอบตาง ๆ ในแตละหนวย ดงน

ATTENTION

นกเรยนจะเห

นวา คาหลกขอ

งรากท n ขอ

งจ�านวนจรงใ

ด ๆ มเพยงหนงคาเทานน ซ

งอาจจะ

เปนจ�านวนบ

วกหรอจ�านวนลบ

ดงบทนยาม

ตอไปน

จากบทนยาม

อาจกลาวไดว

า ถา y เปน

คาหลกของรากท

n ของ x

แลว xy จะม

ผลคณ

เปนจ�านวนบ

วกหรอศนย

เชน คาหลกขอ

งรากท 3 ขอ

ง -8 คอ

3 -8 หรอ -2

เพราะวา (-8)

× (-2) > 0


4 ของ 81

คอ 4 81 ห

รอ 3

เพราะวา 81 ×

3 > 0


5 ของ -15

คอ 5 -15

เพราะวา -15

× 5 -15 > 0

ในกรณทวไปมขอสร

ปเกยวกบคา

หลกของรากท

n ของจ�านว

นจรง x หรอ

n x ดงน

1. ถา x = 0 แล

ว n x = 0

2. ถา x > 0 แล

ว n x เปนจ�า

นวนจรงบวก

3. ถา x < 0 แล

ะ n เปนจ�าน

วนค แลว

n x เปนจ�านวน

จรงลบ

ให x เปนจ�ำน

วนจรง

ทมรำกท

n กล

ำววำ จ

�ำนวน

จรง y

เปนคำหลก

ของรำ

กท n

ของ x

ทเขยนแทนดวย

n x กตอเม

อ

1) y เ

ปนรำกท n

ของ x

2) xy ≥ 0

ส�ำหรบ

n x อำนวำ

กรณฑท n

ของ x ห

รอ คำห

ลกขอ

งรำกท

n ขอ

ง x

บทนยาม

1. สญลกษณ เร

ยกวา เครอง

หมายกรณฑ (radi

cal sign)

2. รากท n เม

อ n เปนจ�า

นวนเตมทมากกวา

1 เขยนแท

นดวย n แ

ละเรยก n ว

า อนดบท

หรอดชน (ind

ex) ของกรณ

ฑ

3. กรณ กรณ

ฑท 2 (n = 2)

เขยนแทนดวย

x

10

สำรบญ คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5

เลขยกกาลง 21.1 เลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปนจ�านวนเตม 41.2 รากท n ของจ�านวนจรง 81.3 เลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปนจ�านวนตรรกยะ 24 สรปแนวคดหลก 38 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 40

3 ลาดบและอนกรม 1303.1 ล�าดบ 1323.2 อนกรม 1543.3 การหาพจนทวไปของล�าดบ 175 สรปแนวคดหลก 180 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 182

หนวยการเรยนรท

4 ดอกเบยและมลคาของเงน 1844.1 ดอกเบย 1864.2 มลคาของเงน 2004.3 คารายงวด 207 สรปแนวคดหลก 212 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 4 215


2 ฟงกชน 422.1 ความสมพนธและฟงกชน 442.2 ฟงกชนเชงเสน 772.3 ฟงกชนก�าลงสอง 862.4 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 1122.5 ฟงกชนขนบนได 119 สรปแนวคดหลก 123 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 127


1หนวยการเรยนรท

Math in Real Life 216อภธานศพท 218บรรณานกรม 220

QR Code หนา 71, 141

Self-Check

แบบประเมนเพอใหผเรยน

สามารถตรวจสอบความร

ความเขาใจของตนเอง

สรปแนวคดหลก

สรปเนอหาโดยรวมของ

หนวยการเรยนร เพอทบทวน

ความรใหแกผเรยน

Math in Real Life

เชอมโยงเนอหาคณตศาสตรไปใช

ในการแกปญหาในชวตจรง

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนร

เพอวดความรความเขาใจของผเรยน

ตามเนอหาประจาหนวยการเรยนร

เลขยกกาลง


n ตว

1. กาหนด a เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนเตมบวก

an = a • a • a • ... • a a0 = 1 เมอ a ≠ 0

a -n = 1

an เมอ a ≠ 0 2. กาหนด x, y เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1

y เปนรากท n ของ x กตอเมอ yn = x 3. คาหลกของรากท n ของ x เขยนแทนดวย n x อานวา กรณฑท n ของ x

4. ให x และ y เปนจานวนจรง และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 y เปนคาหลกของรากท n

ของ x เขยนแทนดวย n x กตอเมอ y เปนรากท n ของ x และ xy ≥ 0

5. สมบตของรากท n ให a และ b เปนจานวนจรงทมรากท n เมอ n เปนจานวนเตมทมากกวา 1

1) ( n a )n = a เมอ n a เปนจานวนจรง

a เมอ a ≥ 0

2) n an = a เมอ a < 0 และ n เปนจานวนคบวก

∙ a ∙ เมอ a < 0 และ n เปนจานวนคบวก

3) n ab = n a • n b

4) n ab =

na n b

เมอ b ≠ 0 6. การหาผลบวกและผลตางของจานวนทมเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกน จะตองมจานวน

ภายในกรณฑเปนจานวนเดยวกน เชน p n a + q n a = (p + q) n a

p n a - q n a = (p - q) n a

38

7. การหาผลคณและผลหารของจานวนทมเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกน จะตองมอนดบ

ของกรณฑทเทากน 8. (p + q a ) และ (p - q a ) เปนสงยคซงกนและกน โดยท p, q และ a เปนจานวนตรรกยะ

และ a > 0 9. ถา a เปนจานวนจรง n เปนจานวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท n

a1n = n a 10. ถา a เปนจานวนจรง m, n เปนจานวนเตมท n > 1 และ m

n เปนเศษสวนอยางตา

และ a1n เปนจานวนจรง จะไดวา

amn = (a

1n )m = ( n a )m

amn = (am)

1n = n a m 11. การแกสมการเลขยกกาลงสามารถทาไดโดยเปลยนฐานของเลขยกกาลงใหเทากน

นนคอ

ถา ax = an แลว x = n เมอ a, n เปนจานวนจรง โดยท a > 0 และ a ≠ 1 12. สมบตของเลขยกกาลง ให m, n เปนจานวนตรรกยะ และ a, b เปนจานวนจรงทไมเทากบ 0 และ am, an และ bn

เปนจานวนจรง จะไดวา

1) am • an = am + n

2) am

an = am - n

3) (am)n = amn

4) an • bn = (ab)n5) an

bn = ( ab) n

เลขยกก�ำลง 39ค�ำชแจง : ใหนกเรยนตอบค�ำถำมตอไปน

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1

h

1. ใหหาคาของ

1) 4 10000 2) 3 -216

3) 161.5

4) 1024- 35

2. ใหประมาณคา 5 1022

3. ใหหาคาของจานวนตอไปน โดยใชเครองคดเลข

1) 416 - 2

16 2)

10 + 3 10 10

3) 3π - 4 18 4) (1 + 5 5 )

2

4. กาหนดสมการ p + q 7 =

5 (3 - 7 )

2 เมอ p และ q เปนจานวนตรรกยะใด ๆ

ใหหาคาของ p และ q

5. กาหนดสมการ x 5 = 27 - x 3 มคาตอบของสมการ คอ

a + b 15 2

เมอ a และ b เปนจานวนเตมใด ๆ ใหหาคาของ a และ b

6. ทรงกระบอกตรงมปรมาตร 8 + 3 6 ลกบาศกเซนตเมตร

มพนทฐานเทากบ 1 + 6 ตารางเซนตเมตร ใหหาความสง

ของทรงกระบอกน และตอบในรป p + q 6 เซนตเมตร เมอ

p และ q เปนจานวนตรรกยะใด ๆ

7. ใหเขยนจานวนตอไปนในรปอยางงาย เมอ x และ y เปนจานวนจรงบวก

1) (3x)-4

2) 3 ÷ x-3

3) (27x3

8y6 )

23

4) (16x-4y-2

81y6 )

14

5) (x16 y

- 34

x- 13 y

14)4

6) (32x

-4y12

243x )25

40

7) 5 x3 • 3 8x 8) (x-3 y

35)-

23 (x

45 y-

23)3

9) x23 y-

25

(x2 y- 15)-2

10) (x-

13 y2)

5 • 3 27x-3 y2


1) 5 + 20 + 45

2) 2 27 - 12 + 3 75

3) 3 2

( 98 - 32 ) 4) 3 20 • 3 50 +

5 16 • 5 2

5) ( 7 - 3 )( 7 + 3 )

6) (2 3 + 3 2 )(2 3 - 3 2 )

7) ( 5 - 2 )2

8) (2 7 - 10 )2

9. ใหหาคา x จากสมการตอไปน

1) 4-6 • 4

x = 1 2) 512 ÷ 5x = 25

3) 16x = 8

4) 2018x = 1

5) 10x - 2

10 = 0.0001

6) 2x - 6

2 = 2

9

10. ถา x-3 = 7 แลว x

3 มคาเทาใด

11. ถา ( 2 - 1 )x = ( 2 + 1 )

2 แลว x + 1 มคาเทาใด

12. พระมดฐานสเหลยมจตรสมปรมาตร 27 ลกบาศกเซนตเมตร และมความสงเปน 3 เทาของ

ความยาวของฐานแตละดาน ใหหาความยาวรอบฐานของพระมด

เลขยกก�ำลง 41

อตรำคำโดยสำร

Math in Real Life คณตศำสตรในชวตจรง

A B C( )

อตรำคำโดยสำรรถแทกซมเตอรระยะทำง(กโลเมตร)คำโดยสำร(บำท)

กโลเมตรแรก

35เกนกวา 1 กโลเมตรถง 10 กโลเมตร กโลเมตรละ 5.50เกนกวา 10 กโลเมตรถง 20 กโลเมตร กโลเมตรละ 6.50เกนกวา 20 กโลเมตรถง 40 กโลเมตร กโลเมตรละ 7.50เกนกวา 40 กโลเมตรถง 60 กโลเมตร กโลเมตรละ 8เกนกวา 60 กโลเมตรถง 80 กโลเมตร กโลเมตรละ 9เกนกวา 80 กโลเมตรขนไป

กโลเมตรละ 10.50

ในปจจบนกรงเทพมหำนคร มระบบการขนสงสาธารณะทไดมาตรฐานและทนสมยมทงเสนทางบกและเสนทางนา ไดแก รถแทกซมเตอร รถโดยสารประจาทาง รถจกรยานยนตรบจาง รถสามลอ รถไฟ รถไฟฟาบทเอส (BTS) รถไฟฟาใตดน (MRT) และเรอดวน ซงในการเดนทางตางกมอตราคาโดยสารทแตกตางกนขนอย กบความสะดวกของผ ใชบรการ เชนอตราคารถแทกซมเตอรและอตราคาโดยสารรถประจาทางปรบอากาศ

ทมา : www.thaipublic.org

216

อตรำคำโดยสำรรถประจ�ำทำงปรบอำกำศในเขตกรงเทพมหำนครและจงหวดทมสำยตอเนองหมวดท 1 สำยท 80 ชอเสนทำง โรงเรยนศกษำนำรวทยำ–สนำมหลวงสาหรบการเดนรถชวง วดศรนวลธรรมวมล-สนามหลวง

อตราคาโดยสารรถประจาทางปรบอากาศใหม (ชนด EURO I และ EURO II) ดงน

จากขอมลขางตน1. ถานกเรยนโดยสารรถประจาทางปรบอากาศสาย 80 เปนระยะทางทงหมด 30 กโลเมตร และ

โดยสารดวยรถแทกซมเตอรตอไปอก 12 กโลเมตร นกเรยนจะตองจายคาโดยสารทงหมดเทาใด2. ถานกเรยนตองการเดนทางซงมระยะทางทงหมด 22 กโลเมตร อยากทราบวาถาโดยสารดวย

รถแทกซมเตอรจะตองจายคาโดยสารมากกวารถประจาทางปรบอากาศสาย 80 เทาใด3. ในการเดนทางทมระยะทางทงหมด 56 กโลเมตร นกเรยนโดยสารดวยรถประจาทางปรบอากาศ

สาย 80 เปนระยะทาง 1 ใน 4 ของระยะทางทงหมด โดยระยะทางทเหลอจะโดยสารดวยรถแทกซมเตอร นกเรยนจะตองจายคาโดยสารรวมทงหมดเทาใด4. บานของนกเรยน A และ นกเรยน B มระยะทางหางจากโรงเรยน 24 กโลเมตร เปนระยะทาง

เทากน โดยมเสนทางในการเดนทาง ดงนเสนทำงท1 15กโลเมตรแรกโดยสำรดวยรถประจ�ำทำงปรบอำกำศสำย80และระยะทำงทเหลอโดยสำรดวยรถแทกซมเตอรเสนทำงท2 7กโลเมตรแรกโดยสำรดวยรถแทกซมเตอรและระยะทำงทเหลอโดยสำรดวยรถประจ�ำทำงปรบอำกำศสำย80 ถานกเรยน A เลอกเสนทางท 1 และนกเรยน B เลอกเสนทางท 2 นกเรยนคนใดจะตองจาย

คาโดยสารมากกวากน และมากกวาอยเทาใด

อตรำคำโดยสำรรถประจ�ำทำงปรบอำกำศระยะทำง(กโลเมตร) คำโดยสำร(บำท)4 กโลเมตรแรก13ทก ๆ 4 กโลเมตรตอไป เกบเพมอก 2 บาทเกน 26 กโลเมตรขนไป

25ทมา : www.bmta.co.th

217

แบบฝกทกษะ 3.3

ระดบพนฐำน

1. ใหหำพจนทวไปของ

ล�ำดบจ�ำกดตอไปน

1) 1, 6, 11, 16, 21

2) 1, 8, 27, 64, 125

3) 3 , 3, 3 3 , 9, 9

3 4) 0, 1, 3, 7

, 15


ล�ำดบตอไปน

1) 7, 11, 15, 19, 23,

... 2) 15, 8, 1,

-6, -13, ...

3) 5, 8, 13, 20, 29, ...

4) 60, 50, 4

2, 36, 32, ...

ระดบกลำง


ล�ำดบตอไปน

1) - 13 , 16

, - 19 , 112

, - 115

, ... 2)

24 , 49

, 814 , 1

619

, 3224

, ...

3) 23 , -

49 , 827

, - 1681

, 32

243 , ...

4) 1, 35 , 15

, 7125

, 9625

, ...

ระดบทำทำย


ล�ำดบ7,77,777,

7,777,…

✓

ดพอใช

ควรปรบปรง

1. สามารถหาพจนทวไปของลาดบทกาหนดได

2. สามารถหาพจนทวไปของลาดบเลขคณตและ

ลาดบเรขาคณตได

3. สามารถหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตได

4. สามารถหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณตได

5. สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบอนกรมเลขคณตได

6. สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบอนกรมเรขาคณตได

หลงจำกเรยนจบหนว

ยนแลวใหนกเรยนบ

อกสญลกษณทตรงกบร

ะดบควำมสำมำรถข

องตนเอง

Self-Check

ล�ำดบและอนกรม 179

1คารบอน-14 (C-14) เปนธาตกมมนตรงสท

พบไดในวตถตาง ๆ เกอบทกชนดบนโลก ซงม

ประโยชนทางดานธรณวทยา สามารถน�ามา

ค�านวณหาอายของวตถโบราณ และอายของ

ซากฟอสซลตาง ๆ ได โดยการใชคาครงชวต

ซงค�านวณไดจากสตร

Nเหลอ = Nเรมตน

2Tt12

เมอ Nเหลอ = ปรมาณของกมมนตรงสทเหลอ

Nเรมตน = ปรมาณของกมมนตรงสเรมตน

T = เวลาทใชในการสลายตว

t 12 = ครงชวต

เลขยกก�ำลง

หนวยกำรเรยนรท

ตวชวด• เขาใจความหมายและใชสมบตเกยวกบการบวก การคณ

การเทากน และการไมเทากนของจ�านวนจรงในรปกรณฑ

และจ�านวนจรงในรปเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปน

จ�านวนตรรกยะ (ค 1.1 ม.5/1)

สำระกำรเรยนรแกนกลำง•รากท n ของจ�านวนจรง

เมอ n เปนจ�านวนนบทมากกวา 1

• เลขยกก�าลงทมเลขชก�าลง

เปนจ�านวนตรรกยะ

Recall

ใหเขยนจานวนตอไปนในรปอยางงาย เมอ a, b และ c เปนจานวนจรงทไมเทากบศนย

1) (ab2c-1)2 2) (a-2b4c-1

a3b2 )-3

3) (a2c-3

b4 )4

( c-1

a3b4)-5 4) a-2 - 2a-1 + 1

a-2 - a-1

วธทา 1) (ab2c-1)2 = a2(b2)2(c-1)2

= a2b4c-2

= a2b4

c2

2) (a-2b4c-1

a3b2 )-3 = (a-2 - 3b4 - 2c-1)-3

= (a-5b2c-1)-3

= (a-5)-3(b2)-3(c-1)-3

= a15b-6c3

= a15c3

b6

3) (a2c-3

b4 )4

( c-1

a3b4)-5 = (a2)4(c-3)4

(b4)4 •

(c-1)-5

(a3)-5 (b4)-5

= a8c-12

b16 • c5

a-15 b-20

= a8 + 15 c-12 + 5

b16 - 20

= a23 c-7

b-4

= a23 b4

c7


ATTENTION

รปอยางงาย เปนการจดรป

ของผลลพธทไดจากการ

ดาเนนการของเลขยกกาลง

ใหอย ในรปเลขยกกาลงท

มเลขชกาลงเปนจานวน

เตมบวก และฐานทเปน

จานวนเดยวกน จะมแค

นพจนเดยว เชน a-3 × a

เขยนใหอยในรปอยางงาย

ไดเปน 1a2

เลขยกกาลง 5

ในระดบชนมธยมศกษาตอนตน นกเรยนเคยศกษาเรองเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปน

จ�านวนเตมมาแลว ในหวขอนนกเรยนจะไดทบทวนความรเรองเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปน

จ�านวนเตมซงมบทนยามและสมบตของเลขยกก�าลงดงตอไปน

จากบทนยาม เรยก an วาเลขยกก�าลง

เรยก a วาฐาน

และเรยก n วาเลขชก�าลง

เลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปนจ�านวนเตมมสมบตดงน

1.1 เลขยกก�ำลงทมเลขชก�ำลงเปนจ�ำนวนเตม (Integer Indice)

ก�ำหนด a เปนจ�ำนวนจรง และ n เปนจ�ำนวนเตมบวก

an = a • a • a • ... • a

a0 = 1 เมอ a ≠ 0

a-n = 1

an เมอ a ≠ 0

บทนยาม

nตว

ก�ำหนด a, b เปนจ�ำนวนจรงทไมเทำกบศนย และ m, n เปนจ�ำนวนเตม

1) am • a

n = a

m + n

2) (am)n = a

mn

3) (ab)n = a

nb

n

4) (ab )n

= an

bn

5) am

an

= am - n

สมบต

4

แบบฝกทกษะ1.1

ระดบพนฐาน

1. ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำย เมอ a, b และ c เปนจ�ำนวนจรงทไมเทำกบศนย

1) 25 • 30 • 2-4 2) 37 • 2-1

35 • 2-3

3) 324 • 128-2 4) 277 • 81-5

35 • 9-2

5) a2b4a-4b-2 6) (ab-7c5a-4b11c-3)-1

7) ( c-2

a-2b-1)3 8) (a

-3b-5

a-5c6 )-4

9) (a-3b-1c8

b2c2 )5

(a-1b4

a2c-1)-3 10) b-2 + 4b-1 + 4

b-2 + 2b-1

2. ใหหำคำของเลขยกก�ำลงตอไปน

1) 53 • 24 • 10-2 2) 492 • 272 • 21-5

3) 166 • 256-4

128-5 4) 1257 • 35-20

2401-5

3. ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำย เมอ a, b และ c เปนจ�ำนวนจรงทไมเทำกบศนย

1) a6 - a4 + a3

a4 - a2 + a 2) a-3 + 3a-2 + 3a-1 + 1

a-3 + a-2

3) (a + 1)5(a - 1)4

(a4 - 1)2 4) (a + b)n + 2

a-3b2 • ab-1c3

(a + b)n - 2

ระดบทาทาย

4. ใหพจำรณำวำขอควำมตอไปนเปนจรงหรอเทจ เพรำะเหตใด

1) am • an = am + n

2) am

an = am - n

3) (ab)-n = (ba)

n

4) ถา ax > 1 และ 0 < a < 1 แลว x > 0


ระดบกลาง

4) a-2 - 2a-1 + 1a-2 - a-1 = (a-2 - 2a-1 + 1)(a2)

(a-2 - a-1)(a2)

= a-2 + 2 - 2a-1 + 2 + a2

a-2 + 2 - a-1 + 2

= 1 - 2a + a2

1 - a

= a2 - 2a + 1-(a - 1)

= (a - 1)2

-(a - 1)

= -(a - 1)2 - 1 เมอ a ≠ 1 = -(a - 1) เมอ a ≠ 1 = 1 - a เมอ a ≠ 1

ใหเขยนจ�านวนตอไปนในรปอยางงาย เมอ a, b และ c เปนจ�านวนจรง

ทไมเทากบศนย

1) (a3b-2c4)3

3) (a3c-5

a-1b2 )3

( b2c5

a-2b-3)-4

2) ( a3b5c-7

a5b3 )-2

4) a-2 - 6a-1 + 9a-2 - 3a-1

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.1 ขอ 1, 3, 4

ลองทาด

ใหหำคำของ 816 • 644 • 6-23

วธท�ำ 816 • 644 • 6-23 = (34)6 • (26)4 • (2 • 3)-23

= 324 • 224 • 2-23 • 3-23

= 324 - 23 • 224 - 23

= 3 • 2

= 6


ใหหาคาของ 1255 • 274 • 15-13

ลองทาดฝกทาตอ


ลองทาด

6

2.คำหลกของรำกทnของจ�ำนวนจรง (Principle nth Root of Real Numbers)

พจารณาเลขยกก�าลงทก�าหนด

• (-4)3 = -64 รากทสามของ -64 มเพยงหนงคา คอ -4

เรยก -4 วาเปนคาหลกของรากทสามของ -64

• (-2)4 = 16 และ 24 = 16 รากทสของ 16 มสองคา คอ -2 กบ 2

เรยก 2 วาเปนคาหลกของรากทสของ 16

• (-1)5 = -1 รากทหาของ -1 มเพยงหนงคา คอ -1

เรยก -1 วาเปนคาหลกของรากทหาของ -1

ในกรณทวไป การหาคารากอนดบทตาง ๆ ของจ�านวนจรงใด ๆ ไดมการก�าหนดบทนยามไว

ดงน

ก�ำหนด x, y เปนจ�ำนวนจรง และ n เปนจ�ำนวนเตมทมำกกวำ 1

y เปนรำกท n ของ x กตอเมอ yn = x

บทนยาม

ใหหำคำของ

1) รำกท 5 ของ -32

2) รำกท 6 ของ 64

วธท�ำ 1) เนองจาก -32 = (-2)5

ดงนน รากท 5 ของ -32 คอ -2

2) เนองจาก 64 = 26 และ 64 = (-2)6

ดงนน รากท 6 ของ 64 คอ 2 และ -2


ใหหาคาของ

1) รากท 5 ของ 243

2) รากท 6 ของ 729

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.2 ขอ 1(1)-(2)

ลองทาด


ในระดบชนมธยมศกษาตอนตน นกเรยนทราบมาแลววา การหารากทสองของศนยและ

จ�านวนจรงบวกใดๆ คอการหาจ�านวนจรงทยกก�าลงสองแลวไดจ�านวนจรงนน

ในท�านองเดยวกนการหารากทสามของจ�านวนจรงใดๆ คอการหาจ�านวนจรงทยกก�าลงสาม

แลวไดจ�านวนจรงนน เชนการหารากทสามของ27ท�าไดโดยการหาจ�านวนจรงทยกก�าลงสาม

แลวได27ซงจ�านวนนนคอ3จงไดวา3เปนรากทสามของ27ในระดบชนนนกเรยนจะไดศกษา

เกยวกบรากทnในระบบจ�านวนจรง

1. รำกทnของจ�ำนวนจรง(nth Root of Real Number)

จาก Investigation จะเหนวา จ�านวนจรงใดๆ เขยนในรปเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปน

จ�านวนเตมบางจ�านวนสามารถจดไดทงฐานทเปนจ�านวนบวกและฐานทเปนจ�านวนลบเชน81=34

หรอ81=(-3)4ซงจะเรยก3และ-3วาเปนรากท4ของ81แตบางจ�านวนจดไดเฉพาะฐาน

ทเปนจ�านวนบวกหรอฐานทเปนจ�านวนลบอยางใดอยางหนงเทานน เชน 27= 33 เรยก 3 วา

เปนรากท3ของ27หรอ-27=(-3)3ซงจะเรยก-3วาเปนรากท3ของ-27

1.2 รำกทnของจ�ำนวนจรง (nth Root of Real Number)

Investigation ใหนกเรยนเตมค�ำตอบลงในชองวำงใหถกตอง

1. 62 = ..........................................................................................................................................................

2. (-6)2 = ..........................................................................................................................................................

3. 33 = ..........................................................................................................................................................

4. (-3)3 = ..........................................................................................................................................................

5. 34 = ..........................................................................................................................................................

6. (-3)4 = ..........................................................................................................................................................

7. 25 = ..........................................................................................................................................................

8. 26 = ..........................................................................................................................................................

9. (-2)6 = ..........................................................................................................................................................

10. 17 = ..........................................................................................................................................................

36ดงนน6เปนรากท2ของ36

8

ใหหำคำของ

1) 4 16 2) 5 -243

วธท�ำ 1) เนองจาก 24 = 16 และ 2 × 16 > 0

ดงนน 4 16 = 2

2) เนองจาก (-3)5 = -243 และ (-3) × (-243) > 0

ดงนน 5 -243 = -3

ใหหำคำประมำณของ 3 63

วธท�ำ ขนท 1 หาจ�านวนเตมทยกก�าลงสามแลวใกลเคยงกบ 63 มากทสด

เนองจาก 33 < 63 < 43

3 27 = 3 และ 3 64 = 4

ดงนน 3 63 มคาประมาณมากกวา 3 แตไมถง 4

ขนท 2 ประมาณคาของ 3 63

พจารณาจาก 3.1, 3.2, 3.3, ..., 3.9 จะไดวา (3.9)3 = 59.319

ดงนน 3 63 มคาประมาณมากกวา 3.9 แตไมถง 4

พจารณาจาก 3.91, 3.92, 3.93, ..., 3.99

เนองจาก (3.95)3 ≈ 61.630

(3.96)3 ≈ 62.099

(3.97)3 ≈ 62.571

(3.98)3 ≈ 63.045

ดงนน 3.98 เปนคาประมาณของ 3 63



ใหหาคาของ

1) 4 625 2) 5 32243

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.2 ขอ 1(3)-(6), 6

ลองทาด


ATTENTION

นกเรยนจะเหนวาคาหลกของรากทnของจ�านวนจรงใดๆ มเพยงหนงคาเทานนซงอาจจะ

เปนจ�านวนบวกหรอจ�านวนลบดงบทนยามตอไปน

จากบทนยามอาจกลาวไดวา ถา y เปนคาหลกของรากท n ของ x แลว xy จะมผลคณ

เปนจ�านวนบวกหรอศนย

เชน คาหลกของรากท3ของ-8คอ3 -8หรอ-2

เพราะวา(-8) × (-2) > 0

คาหลกของรากท4ของ81คอ4 81หรอ3

เพราะวา81 × 3 > 0

คาหลกของรากท5ของ-15คอ5 -15

เพราะวา-15 × 5 -15 > 0

ในกรณทวไปมขอสรปเกยวกบคาหลกของรากทnของจ�านวนจรงxหรอn xดงน

1. ถาx=0แลวn x = 0

2. ถาx >0แลวn xเปนจ�านวนจรงบวก

3. ถาx <0และnเปนจ�านวนคแลวn xเปนจ�านวนจรงลบ

ให x และ y เปนจ�ำนวนจรง และ n เปนจ�ำนวนเตมทมำกกวำ 1 y เปนคำหลกของรำกท n

ของ x ทเขยนแทนดวย n x กตอเมอ

1) y เปนรำกท n ของ x

2) xy ≥ 0

ส�ำหรบ n x อำนวำ กรณฑท n ของ x หรอ คำหลกของรำกท n ของ x

บทนยาม

1.สญลกษณ เรยกวาเครองหมายกรณฑ(radicalsign)

2.รากท n เมอn เปนจ�านวนเตมทมากกวา1 เขยนแทนดวย n และเรยกnวาอนดบท

หรอดชน(index)ของกรณฑ3.กรณกรณฑท2(n=2)เขยนแทนดวย

10

Investigation ใหนกเรยนตอบค�ำถำมตอไปน

1. ใหพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอเทจ

1) 16 + 9 = 16 + 9

3) 16 × 9 = 16 × 9

2) 16 - 9 = 16 - 9

4) 169 = 16

9 2. จากขอ 1. ใหนกเรยนพสจนขอความทเปนจรงส�าหรบกรณจ�านวนจรงใด ๆ

3. ใหหาคาของ a × a

จาก Investigation นกเรยนสามารถสรปเปนสมบตได ดงน

จากสมบตขางตน สามารถน�ามาเขยนเปนสมบตของรากท n ในกรณทวไปได ดงน

ATTENTION

a + b ≠ a + b a - b ≠ a - bเมอ a และ b > 0

ให a ≥ 0 และ b ≥ 0 จะได

1. ab = a • b กรณท a = b จะไดวำ a • a = a หรอ ( a )2 = a2

= a

2. a

b

= a

b

เมอ b ≠ 0

สมบต

สมบตของรากท n

ให a และ b เปนจ�ำนวนจรงทมรำกท n และ n เปนจ�ำนวนเตมทมำกกวำ 1

1. (n a )n = a เมอ

n a

เปนจ�ำนวนจรง

2. n a

n =

a เมอ a ≥ 0

a เมอ a < 0 และ n เปนจ�ำนวนคบวก

∙a∙ เมอ a < 0 และ n เปนจ�ำนวนคบวก

3. n ab = n

a • n b

4. n a

b

=

n a

n b

เมอ b ≠ 0

สมบต


ใหหาคาประมาณของ3 8.1



ลองทาด

นกเรยนสามารถใชเครองคดเลขวทยาศาสตรตรวจสอบคาประมาณ 3 63 โดยกดปม

IT CORNER

3 6 3 =

ตะวนแสดงวธหาค�าตอบจากตวอยางท5ดงน

เนองจาก3 27=3และ3 64 = 4 ดงนน3 63มคาประมาณมากกวา3แตไมถง4

เนองจาก(3 + 42 )3 = (3.5)3 = 42.875

ดงนน3 63มคาประมาณมากกวา3.5แตไมถง4

เนองจาก(3.5 + 42 )3 = (3.75)3 ≈ 52.734


เนองจาก(3.75 + 42 )3 = (3.875)3 ≈ 58.186


เนองจาก(3.875 + 42 )3 = (3.9375)3 ≈ 61.047


เนองจาก(3.9375 + 42 )3 = (3.96875)3 ≈ 62.512


เนองจาก(3.96875 + 42 )3 = (3.984375)3 ≈ 63.253

ดงนน3 63มคาประมาณมากกวา3.96875แตไมถง3.984375

เนองจาก(3.96875 + 3.9843752 )3 = (3.9765625)3 ≈ 62.882

ดงนน3.9765625≈3.98เปนคาประมาณของ3 63 นกเรยนเหนดวยกบวธการหาค�าตอบของตะวนหรอไมเพราะเหตใด

Journal Writing

12

ATTENTION

p a + q a = (p + q) ap a - q a = (p - q) a

ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำย

1) 32 + 50 2) 49x + 16x 3) 3 16 - 3 2 4) 4 81x + 4 16x5

วธท�ำ 1) 32 + 50 = 16 × 2 + 25 × 2

= 16 • 2 + 25 • 2

= 4 2 + 5 2

= 9 2

2) 49x + 16x = 49 • x + 16 • x

= 7 x + 4 x

= 11 x

3) 3 16 - 3 2 = 3 8 × 2 - 3 2

= 3 23 × 2 - 3 2

= 2 3 2 - 3 2

= 3 2

4) 4 81x + 4 16x5 = 4 34x + 4 (2x)4x = 3 4 x + 2x 4 x = (3 + 2x) 4 x


ใหเขยนจ�านวนตอไปนในรปอยางงาย

1) 75 + 108

3) 10 4 768 + 4 243

2) 3 1458x - 3 54x4) 5 32x - 5 243x6

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด


นกเรยนสามารถน�าสมบตของรากท n ไปใชในการจดรปของกรณฑใหอยในรปอยางงาย

ดงตวอยางตอไปน


1) 2 • 8 2) 18

3) 3 81 • 4 81 4) 5 64 ÷ 5 2

วธท�ำ 1) 2 • 8 = 2 × 8 = 16 = 4

2) 18 = 9 × 2 = 9 • 2 = 3 2

3) 3 81 • 4 81 = 3 27 × 3 • 4 34

= 3 33 × 3 • 4 34

= 3 3 3 × 3

= 9 3 3

4) 5 64 ÷ 5 2 = 5 32 × 2 ÷ 5 2

= 5 25 × 2 ÷ 5 2

= 2 5 2 ÷ 5 2

= 2



1) 27 • 3

3) 5 32 • 3 32

2) 12

4) 4 10000 ÷ 3 1000

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

3.กำรหำผลบวกและผลตำงของจ�ำนวนจรงทอยในรปกรณฑ (Addition and Subtraction of Radicals)

นกเรยนสามารถหาผลบวกและผลตางของจ�านวนทมเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกน

และมจ�านวนภายในกรณฑเปนจ�านวนเดยวกนไดดงตวอยางตอไปน

14

นกเรยนสามารถหาผลลพธโดยคณตามลกศร ดงรป

(3 + 2)(4 - 2)

PROBLEM SOLVING TIP

ใหหำผลลพธของ

1) (3 + 2)(4 - 2) 2) ( 3 + 1)2

วธท�ำ 1) (3 + 2)(4 - 2) = 12 - 3 2 + 4 2 - 2

= 10 + 2

2) ( 3 + 1)2 = 3 + 2 3 + 1

= 4 + 2 3


ใหหาผลลพธของ

1) (7 + 2 3)(5 - 3)

3) (3 + 2 5)(3 - 2 5)

2) (4 - 3 2)2

4) (3 6 + 4 2)2

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

ใหนกเรยนจบค แลวชวยกนตอบค�ำถำมตอไปน

1. จากลองท�าดใตตวอยางท 9 ขอ 1), 2) และ 4) ผลคณของจ�านวนอตรรกยะ 2 จ�านวน

เปนจ�านวนอตรรกยะหรอไม และจากขอ 3) ผลคณของจ�านวนอตรรกยะ 2 จ�านวน

เปนจ�านวนตรรกยะหรอไม และมรปแบบของผลคณเปนอยางไร

2. จากรปแบบในขอ 1. นกเรยนคดวาเงอนไขใดทท�าใหผลคณของจ�านวนอตรรกยะ

2 จ�านวน เปนจ�านวนตรรกยะ

ClassDiscussion

จาก Class Discussion จะเหนวา ผลคณของจ�านวนอตรรกยะ 2 จ�านวน ทอยในรปการคณ

ของ (p + q a)(p - q a) จะไดผลลพธเปนจ�านวนตรรกยะ ซงจะเรยก p + q a วาเปน สงยค

(conjugate) ของ p - q a และจะไดวา p - q a เปนสงยคของ p + q a ดวย

ให p, q และ a เปนจ�านวนตรรกยะ โดยท a > 0 จะไดวา (p + q a) และ (p - q a)

เปนสงยคซงกนและกน

จากสงยคทกลาวมาขางตน ถา a = 0 แลวจะไดจ�านวนตรรกยะ

จ�านวนเดยว คอ p นนคอ p + q 0 = p หรอ p - q 0 = p

ATTENTION


4.กำรหำผลคณและผลหำรของจ�ำนวนจรงทอยในรปกรณฑ (Multiplication and Division of Radicals) กรณฑทจะน�ามาหาผลคณและผลหาร จะตองมอนดบของกรณฑทเทากนกอน โดยใชสมบต

ของรากท n ดงตวอยางตอไปน


1) 2 • 3 • 6 2) 3 15 • 3 25 • 3 9

3) 3 -1603 20

4) 5 1285 4

วธท�ำ 1) 2 • 3 • 6 = 2 × 3 × 6

= 6 × 6

= 6

2) 3 15 • 3 25 • 3 9 = 3 3 × 5 • 3 5 × 5 • 3 3 × 3

= 3 5 × 5 × 5 • 3 3 × 3 × 3

= 5 × 3

= 15

3) 3 -1603 20

= 3 -16020 = 3 -8

= -2

4) 5 1285 4

= 5 1284 = 5 32

= 2



1) 15 • 5 • 3

3) 3 2703 10

2) 3 6 • 3 4 • 3 9

4) 5 2048

5 2

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

16

จดรป (2 + 5)2 + 83 - 5

ใหอยในรปของ a + b 5

ก�าหนดสมการ x 8 = x 6 + 2 มค�าตอบของสมการ คอ p + q

เมอ p และ q เปนจ�านวนเตมใด ๆ ใหหาคาของ p และ q

ลองทาด

ลองทาด

ฝกทาตอ


ฝกทาตอ


ลองทาด

ลองทาด

รปสำมเหลยมรปหนงมพนท 3 - 2 ตำรำงเมตร มควำมยำวฐำน

2 - 1 เมตร ใหหำควำมสงของรปสำมเหลยมน และตอบในรป

ของ a + b 2 เมตร เมอ a และ b เปนจ�ำนวนตรรกยะใด ๆ


2 - 1 ม.

ก�ำหนดสมกำร x 12 = x 7 + 3 มค�ำตอบของสมกำร คอ p + q5เมอ p และ q เปนจ�ำนวนเตมใด ๆ ใหหำคำของ p และ q

วธท�ำ x 12 = x 7 + 3 x 12 - x 7 = 3

x ( 12 - 7) = 3

x = 3 12 - 7

x = 3 12 - 7

• 12 + 7 12 + 7

x = 3 ( 12 + 7)( 12)2 - ( 7)2

x = 36 + 21 12 - 7

x = 6 + 21 5

ดงนน จะได p = 6 และ q = 21



2 + 3 และ 2 - 3เปนสงยคซงกนและกน

PROBLEM SOLVING TIP

ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำยและตวสวนไมตดกรณฑ

1) 6 2

2) 72 + 3

วธท�ำ 1) 6 2

= 6 2

• 2 2

= 6 22 = 3 2

2) 72 + 3

= 72 + 3

• 2 - 32 - 3

= 7(2 - 3)22 - ( 3)2

= 14 - 7 34 - 3

= 14 - 7 3

จดรป (4 - 6)2 - 63 - 6

ใหอยในรปของ a + b 6

วธท�ำ (4 - 6)2 - 63 - 6

= [42 - 2(4)( 6) + ( 6)2] - 63 - 6

• 3 + 63 + 6

= (22 - 8 6) - 6(3 + 6)32 - ( 6)2

= (22 - 8 6) - 6(3 + 6)9 - 6

= (22 - 8 6) - 6(3 + 6)3 = (22 - 8 6) - 2(3 + 6)

= 16 - 10 6

ใหเขยนจ�านวนตอไปนในรปอยางงายและตวสวนไมตดกรณฑ

1) 12 3

2) 224 + 5

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.2 ขอ 4, 7, 11, 12

ลองทาด

จากทกลาวมาขางตน นกเรยนสามารถเขยนจ�านวนใหอยในรปทตวสวนไมตดกรณฑได

ดงตวอยางตอไปน



18

ATTENTION

คาของตวแปรทไดจากการ

ยกก�าลงสองบางคาอาจจะ

ไมเปนค�าตอบของสมการ

ดงนน จงจ�าเปนตอง

ตรวจค�าตอบเสมอ

ใหหำเซตค�ำตอบของสมกำร x2 + 3 = 2x

วธท�ำ เนองจากสมการทก�าหนดมอนดบกรณฑ คอ 2 จงตองน�าสมการมายกก�าลงสอง

จะได ( x2 + 3)2 = (2x)2

x2 + 3 = 4x2

x2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

x = 1, -1

ตรวจสอบค�าตอบของ x ใน x2 + 3 = 2x โดยการแทนคา x ดวย 1 และ -1 ดงน

เมอ x = 1 จะได (1)2 + 3 = 2(1)

2 = 2

สมการเปนจรง แสดงวา 1 เปนค�าตอบของสมการ

เมอ x = -1 จะได (-1)2 + 3 = 2(-1)

2 = -2

สมการไมเปนจรง แสดงวา -1 ไมเปนค�าตอบของสมการ

ดงนน เซตค�าตอบของสมการ คอ { 1 }


ใหหาเซตค�าตอบของสมการ 40 - x2 = 3x



ลองทาด

แบบฝกทกษะ1.2


1. ใหหำคำของ

1) รากท 4 ของ 2401 2) รากท 5 ของ -3125

3) 4 1 4) 5 32

5) 3 -125 6) 3 343

2. ใหหำคำประมำณของจ�ำนวนตอไปน

1) 3 28 2) 4 14

3) 3 -124 4) 5 0.99 เลขยกก�าลง 21

วธท�ำ ใหรปสามเหลยมมความสง h เมตร

และพนทของรปสามเหลยม = 12 × ฐาน × สง

3 - 2 = 12 × ( 2 - 1) × h

6 - 2 2 = ( 2 - 1) × h

h = 6 - 2 2 2 - 1

= 6 - 2 2 2 - 1

• 2 + 1 2 + 1

= 6 2 + 6 - 2 4 - 2 2( 2)2 - 12

= 2 + 4 22 - 1

= 2 + 4 2

ดงนน รปสามเหลยมรปนมความสง 2 + 4 2 เมตร

รปสเหลยมผนผารปหนงมพนท 7 - 3 ตารางเมตร

ถารปสเหลยมรปนมดานยาวเปน 5 + 3 เมตร ใหหา

ดานกวางของรปสเหลยมรปน และตอบในรปของ

a + b 3 เมตร เมอ a และ b เปนจ�านวนตรรกยะใด ๆ

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.2 ขอ 10, 14

ลองทาด

5 + 3 ม.

ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

1. นกเรยนจะแกสมการ x2 - 3x + 2 = 0 โดยใชวธใด และค�าตอบทไดเปนจ�านวนตรรกยะ

หรอจ�านวนอตรรกยะ

2. นกเรยนจะแกสมการ x2 + 2x - 1 = 0 โดยใชวธใด และค�าตอบทไดเปนจ�านวนตรรกยะ

หรอจ�านวนอตรรกยะ

3. จากสตรค�าตอบของสมการก�าลงสอง x = -b ± b2 - 4ac2a

ใหอธบายวาค�าตอบ

ของสมการทไดจะเปนจ�านวนตรรกยะหรอจ�านวนอตรรกยะกรณใด

4. ค�าตอบทเปนจ�านวนอตรรกยะทงสองค�าตอบของสมการจะเปนสงยคซงกนและกนหรอไม

เพราะเหตใด

ThinkingTime

20

7) 2 3

( 4 12

+ 273 ) 8) 6 2

( 3 8

- 1283 ) 9) 1

3 2 ( 2

3 4 -

4 23 32 ) 10) 2

4 50(4 800 + 4 200)

8. ก�ำหนดh=3+2ใหหำคำของh2+1h-2 และตอบในรปp+q2โดยทpและq

เปนจ�ำนวนเตมใดๆ

9. ใหแกสมกำรตอไปน

1) 11x2 + 45 = 4x 2) 3x + 2 = 3x

10. กรอบรปสเหลยมอนหนงมพนทดำนใน 24 ตำรำงฟต

ถำดำนในของกรอบรปสเหลยมรปนมควำมกวำง3- 6 ฟต

ใหหำควำมยำวดำนในของกรอบรปสเหลยมนและตอบในรป

a+b6 ฟตเมอaและbเปนจ�ำนวนเตมใดๆ


11. ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำยและตวสวนไมตดกรณฑ

1) 13( 3 + 4)2

2) 3( 2 + 6)2

+ 5( 2 - 6)2

3) 3 2 - 66 + 3 2

4) 48 - 50 27 - 8

12. ก�ำหนดa= 12

และb=1+a1-aใหหำคำตอไปน

1) b 2) b-1b

13. ใหแกสมกำรx7=x2+32และตอบในรปa+b145 เมอaและbเปนจ�ำนวนเตม

ใดๆ

14. กระปองทรงกระบอกมปรมำตร (6 + 2 3)π ลกบำศกเซนตเมตร

มรศมทฐำนยำว1+3เซนตเมตรใหหำควำมสงของทรงกระบอก

และตอบในรปa+b3เซนตเมตรเมอaและbเปนจ�ำนวนเตม

ใดๆ

3 - 6

h



3. ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำย

1) 2 • 32 2) 3 4 • 3 64

3) 5 1024 ÷ 4 16 4) 4 2 • 4 4 • 4 32

5) 5 27 • 5 27 • 5 81 6) 4 5184 ÷ 4 4


1) 3 5

2) 43 8

3) 72 + 3

4) 48 - 2 6

5. ใหหำผลลพธของ

1) 112 + 28 2) 48 + 12 - 27

3) 81x + 25x 4) 50x + 18x - 2x

5) 3 250 - 3 2 6) 5 729 + 5 486

7) 240 - 12 • 45 8) 245 - 20 500

9) (5 + 2)(6 - 3 2) 10) (3 + 2 6)2

11) (9 - 2 5)(9 + 2 5) 12) (2 7 + 3 5)(2 7 - 3 5)

6. ใหหำคำของ

1) 3 0.001 2) 5 13125


1) 54 3 - 2

2) 42 6 + 7

3) 32 5 + 8

4) 82 5 + 3

- 42 5 - 3

5) 3 8

+ 5 2

- 323 6) 4 27

- 184 + 4 3

22

จาก Investigation จะเหนวา 523 สามารถเขยนใหอยในรปกรณฑไดเปน 3 52 หรอ ( 3 5 )2

ส�าหรบในกรณทวไปเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปนจ�านวนตรรกยะซงมบทนยาม ดงน

ถำ a เปนจ�ำนวนจรง m, n เปนจ�ำนวนเตมท n > 1 และ m

n เปนเศษสวนอยำงต�ำ

และ a 1

n เปนจ�ำนวนจรง จะไดวำ

a

m

n = (a

1

n)m = (

n a )m

a

m

n = (am)

1

n = n a m

บทนยาม

ใหหาคาของเลขยกก�าลงตอไปน

1) 3612 2) 8- 13 3) (-125)-

13

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

ใหหำคำของเลขยกก�ำลงตอไปน

1) 1612 2) 27 -

13

วธท�ำ 1) 1612 = 16

= 4

2) 27 - 13 = 1

2713

= 13 27

= 13


Investigation ใหนกเรยนจบค แลวชวยกนเตมค�ำตอบลงในชองวำง และตอบค�ำถำมทก�ำหนด

1. 523 = 5

2 × 1 2. 5

23 = 5

1 × 2

= (52) 1 = (5

1 )2

= 52 = ( 5 )2

3. นกเรยนคดวา การเขยน 523 ใหอยในรปกรณฑ ในขอ 1. และ 2. มความสมพนธกนหรอไม

อยางไร


นกเรยนเคยศกษาเลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปนจ�านวนเตมมาแลว ในหวขอนจะกลาวถง

เลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปนจ�านวนตรรกยะ นนคอ มเลขชก�าลงเปน ab โดยท a, b เปน

จ�านวนเตมและb ≠ 0

1.3 เลขยกก�ำลงทมเลขชก�ำลงเปนจ�ำนวนตรรกยะ (Rational Indice)

ถำ a เปนจ�ำนวนจรง n เปนจ�ำนวนเตมทมำกกวำ 1 และ a มรำกท n แลว

a

1

n = n a

บทนยาม

จาก Class Discussion จะเหนวา เลขยกก�าลงทมเลขชก�าลงเปนเศษสวน โดยมตวเศษ

เทากบ1สามารถเขยนใหอยในรปกรณฑไดตามบทนยามดงน

จากบทนยามจะเหนวาa1nเปนคาหลกของรากทnของaและจะไดวา(a

1n)n=a

เชน 912 = 9 และ (9

12)2 = 9

(-8)13 = 3 -8 และ [(-8)

13 ] 3 = -8

ใหนกเรยนพจารณาคาของa1n = n aตามเงอนไขทก�าหนดตอไปน

1. เมอa< 0 2. เมอa=0

Thinking Time

ใหนกเรยนจบคแลวชวยกนเตมค�ำตอบลงในชองวำงตอไปน

ก�าหนดp = 513

จะได p3 = 3

= 5 × 3 (ใชสมบต(am)n=amn)

= 51

= 5

ดงนน p =

ในกรณนจะมคาpทเปนไปไดเพยงคาเดยว

ดงนน 513 =

Class Discussion

24

PROBLEM SOLVING TIP

ใหหำคำของเลขยกก�ำลงตอไปน

1) (-125)23 2) 32

35

วธท�ำ 1) (-125)23 = (-125

13)2

= (3 -125)2

= (3 (-5)3 )2

= (-5)2

= 25

2) 3235 = (32

15)3

= (5 32)3

= (5 25)3

= 23

= 8

ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปเลขยกก�ำลง เมอ x เปนจ�ำนวนจรงบวก

1) 5 x3 2) 1 x-3

วธท�ำ 1) 5 x3 = x35 2) 1

x-3 = 1

x- 32

= x32



ใหหาคาของเลขยกก�าลงตอไปน

1) 6423 2) 32- 25 3) 1001.5

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

ใหเขยนจ�านวนตอไปนในรปเลขยกก�าลง เมอ x เปนจ�านวนจรงบวก

1) 3 x4 2) 15 x-2

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

(-125)23 ราก

ตวสวนของเลขชก�าลง

จะเปนคารากเสมอ


ATTENTION

จากบทนยามของ amn ถา m < 0 แลว a ตองไมเปน 0 เชน

ให a = 0, m = -1 และ n = 3

จะได amn = 0

-13 = (0

13)-1 = (0)-1 = 10

ซง 10 ไมมความหมายทางคณตศาสตร

ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปเลขยกก�ำลง

1) 5 2) 3 22 3) 4 165

วธท�ำ 1) 5 เขยนในรปเลขยกก�าลงไดเปน 5 12

2) 3 22 เขยนในรปเลขยกก�าลงไดเปน 2 23

3) 4 165 เขยนในรปเลขยกก�าลงไดเปน 16 54

ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปกรณฑ

1) 48 13 2) (-32)

35 3) 15

32

วธท�ำ 1) 48 13 = 3 48

2) (-32) 35 = 5 (-32)3

3) 15 32 = 153 = ( 15 )3



ใหเขยนจ�านวนตอไปนในรปกรณฑ

1) 5413 2) (-75)

35 3) 39

32

ใหเขยนจ�านวนตอไปนในรปเลขยกก�าลง

1) 7 2) 3 32 3) 4 245

ลองทาด

ลองทาด

ฝกทาตอ


ฝกทาตอ


ลองทาด

ลองทาด

26


1) 6413 • 16

34 2) (27

13 • 243

35 )3

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

วธท�ำ 1) 3212 • 8

56 = (25)

12 • (23)

56

= 252 • 2

156

= 252 • 2

52

= 252 +

52

= 25

2) (913 • 81

16 )6 = [(32)

13 • (34)

16]6

= (323 • 3

46 )6

= (323 )6 • (3

46)6

= 34 • 34

= 34 + 4

= 38

ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำย เมอ m และ n เปนจ�ำนวนจรงบวก

1) (m13 n-2)

35 2) (mn)

23

(m34 n

13)2

วธท�ำ 1) (m13 n-2)

35 = (m

13)

35 (n-2)

35

= m15 n- 65

= m15

n65

2) (mn)23

(m34 n

13)2

= m23 n

23

(m34 )2 (n

13)2

= m23 n

23

m32 n

23



ใหนกเรยนเตมค�าตอบลงในชองวาง แลวตอบค�าถามทก�าหนด

1. ให m, n เปนจ�านวนตรรกยะ และ a, b เปนจ�านวนจรงทไมเทากบ 0 และ am, an, bn

เปนจ�านวนจรง จะไดวา

สมบต 1 am • an = ................................

สมบต 2 am

an = ................................

สมบต 3 (am)n = ................................

สมบต 4 an • bn = ................................

สมบต 5 an

bn = ................................

2. จากสมบต 3 นกเรยนคดวา ถา a = 0 แลวจะไดผลลพธเปนอยางไร

3. จากสมบต 5 นกเรยนคดวา ถา b = 0 แลวจะไดผลลพธเปนอยางไร

4. ใหนกเรยนพจารณาวธพสจนดงตอไปน

1 = 1 = (-1) × (-1) = -1 • -1 = ( -1)2 = (-1)12 × 2 = -1

จากวธพสจนขางตน นกเรยนคดวาขนตอนใดไมถกตอง เพราะเหตใด

ThinkingTime

ใหหำคำของ [(243)15]2

วธท�ำ [(243)15 ]2 = [(35)

15 ]2

= 32

= 9


1) 3212 • 8

56 2) (9

13 • 81

16 )6



ใหหาคาของ [(625)14 ]3

ลองทาด ฝกทาตอ


ลองทาด

28

3) จาก (49)2x = 64

729

[(23)2] 2x = (23)

6

(23)4x = (23)

6

จะได 4x = 6

หรอ x = 32

ใหหาคา x จากสมการตอไปน

1) 5x = 625 2) 49x = 1343

3) (94)3x

= 2187128 4) (52)x

= 0.16

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

จาก Journal Writing จะเหนวา ถาฐานของเลขยกกาลงมคาเปนจานวนจรงบวก แลวคาของ

เลขยกกาลงจะมคาเปนจานวนจรงบวกดวย ซงสามารถเขยนในรปกรณทวไปได ดงน

ถา a > 0 แลว ax > 0 เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ

1. นกเรยนไดศกษามาแลววา ถา ax = an แลว x = n เมอ a, n เปนจานวนจรง โดยท

a > 0 และ a ≠ 1 สาหรบกรณ ax = an เมอ a = 0 หรอ a = 1 นกเรยนคดวา x = n หรอไม

ถาไม ใหยกตวอยางประกอบ

2. กาหนด a > 0 และ x เปนจานวนจรงใด ๆ นกเรยนคดวา ax มคาเปน 0 หรอจานวน

จรงลบหรอไม ใหยกตวอยางประกอบ

Journal Writing


ใหเขยนจ�านวนแตละขอตอไปนในรปอยางงาย เมอ m และ n เปนจ�านวนจรงบวก

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

สมกำรเลขยกก�ำลง

ในกรณทวไป การแกสมการเลขยกก�าลงสามารถท�าไดโดยเปลยนฐานของเลขยกก�าลงให

เทากน ดงน

ถา ax = an แลว x = n เมอ a, n เปนจ�านวนจรง โดยท a > 0 และ a ≠ 1

ใหหำคำ x จำกสมกำรตอไปน

1) 2x = 128 2) 9x = 1243 3) (49)

2x = 64

729วธท�ำ 1) จาก 2x = 128

2x = 27

จะได x = 7

2) จาก 9x = 1243

32x = 135

32x = 3-5

จะได 2x = -5

หรอ x = - 52


= m23 -

32 n

23 -

23

= m- 56

= 1

m56

1) (m-3 n5)- 13 2) m-

13 n-

14

(m2 n- 13)-2

30

ATTENTION

3 เปนค�าสงทเปน

สเหลองดงนนในการเรยก

ใชจะตองกดปม SHIFT

แลวตามดวย

2) 2 - 64

กดปม ( 2 - 6 ) ÷ 4 =

จะปรากฏผลลพธ-0.1123724357

3) 3 71

กดปม SHIFT 7 1 =

จะปรากฏผลลพธ4.140817749

4) 4 8

กดปม SHIFT x 4

▲

8 =

จะปรากฏผลลพธ1.681792831

ใหหาคาของจ�านวนตอไปนโดยใชเครองคดเลข

1) 512 2) 13 - 89

3) 3 46 4) 5 77

ลองทาด

ฝกทาตอ


ลองทาด

กำรเคลอนทของอนภำคหนงมควำมสมพนธระหวำงระยะทำง

ในแนวรำบและควำมสงในแนวดงซงค�ำนวณไดจำกสตร

h=0.3d+1

เมอ h แทนควำมสงจำกพนดนมหนวยเปนเมตร

d แทนระยะทำงในแนวรำบมหนวยเปนเมตร

ถำอนภำคนเคลอนทในแนวรำบเปนระยะทำง5.25เมตรใหหำควำมสงของอนภำคนจำกพนดน

วธท�ำ เนองจาก h = 0.3d+1

จะได h = 0.3 5.25 + 1

= 0.3 6.25

= 0.3(2.5)

= 0.75

ดงนนอนภาคนจะสงจากพนดนในแนวดงเปนระยะทาง0.75เมตร


h

d


INFORMATION

เครองคดเลขวทยาศาสตรทยหอหรอร นตางกน จะมปมค�านวณ และวธการใชทแตกตางกนเชน23สามารถกดปมบนเครองคดเลขไดเปน2 x 3 =

หรอ 2 ∧ 3 =

หรอ 2 xy 3 =

นกเรยนสามารถค�านวณหาคาตางๆ ของเลขยกก�าลงโดยใชเครองคดเลขวทยาศาสตรดงรป

ใหหำคำของจ�ำนวนตอไปนโดยใชเครองคดเลข

1) 314 2) 2-64

3) 371 4) 48

วธท�ำ 1) 314

กดปม 3 x 1 4 =

จะปรากฏผลลพธ4782969


สวนประกอบหลกบนเครองคดเลข

1. หนาจอแสดงผลการท�างาน

2. ปมเปดเครอง

3. ปมMODE/SETUP ใชส�าหรบเลอก

โหมดหรอตงคาเครอง

4. ปม SHIFT ส�าหรบเรยกใชค�าสง

ทเปนสเหลองแลวตามดวยปมค�าสง

นนๆ

5. ปม ALPHA ส�าหรบเรยกใชค�าสง

ทเปนตวอกษรสแดงแลวตามดวย

ปมค�าสงนนๆ

6. ปมควบคมทศทางใชเลอนดค�าตอบ

หรอแกไขการค�านวณ

7.ปมฟงกชนและสตรการค�านวณ

8. ปมตวเลข/เครองหมายการด�าเนนการ

1

2

8

7

5 3

6

4

32


แบบฝกทกษะ 1.3


1. ใหเขยนจานวนตอไปนในรปเลขยกกาลง

1) 1 0 2) 3 52

3) 5 256 4) 8 1217

5) 4 x5 เมอ x > 0 6) 16 x

เมอ x > 0

2. ใหเขยนจานวนตอไปนในรปกรณฑ

1) 2423 2) (-30)

35

3) 8143 4) (23)

54

3. ใหหาคาของเลขยกกาลงตอไปน

1) 8112 2) 512

- 13

3) -216- 13 4) 1024

15

5) 8- 53 6) (-1000)

23

7) [(256)18]2 8) [(10000)

14]3


1) 11x = 1331 2) 4x = 1128

3) 10x = 0.01 4) (23)x + 2

= 8116

5. ใหหาคาของจานวนตอไปน โดยใชเครองคดเลข

1) 510 2) 31 + 13 6

3) 3 704 4) 4 22.2

5) 5 -244 6) 9 63 9 9

6. ถา r คอ ความยาวของรศมของทรงกลมมหนวยเปนเซนตเมตร

และ V คอ ปรมาตรของทรงกลมมหนวยเปนลกบาศกเซนตเมตร

โดยท r = (3V4π)13 ถาทรงกลมมปรมาตร 972π ลกบาศกเซนตเมตร

แลวทรงกลมนจะมรศมยาวกเซนตเมตร

r

วตถชนดหนงมน�าหนก (m) เปนกรม แปรผนตามความยาวของวตถ (x) เปนเซนตเมตร

ทสามารถค�านวณไดจากสตร m = 45 5 11x + 1 ใหหาน�าหนกของ

วตถชนดน เมอก�าหนดความยาวของวตถเทากบ 22 เซนตเมตร

สมชายฝากเงนไวกบธนาคารแหงหนงโดยมขอตกลงวา ถาฝากเงนกบธนาคาร

ลองทาด

ลองทาด

ฝกทาตอ

แบบฝกทกษะ 1.3ขอ 6, 12

ฝกทาตอ


ลองทาด

ลองทาด

นธศฝำกเงนไวกบธนำคำรแหงหนงโดยมขอตกลงวำ ถำฝำกเงนจ�ำนวน 500,000 บำท

ธนำคำรใหดอกเบย 3% ตอป ถำนธศฝำกเงนโดยไมมกำรถอนเงนจนครบ 7 ป 6 เดอน

อยำกทรำบวำนธศจะไดรบเงนทงหมดเทำใด โดยก�ำหนดให

A = P(1 + r)t

เมอ A แทนจ�ำนวนเงนตนพรอมดอกเบย

P แทนเงนตน

r แทนอตรำดอกเบยตอป

t แทนจ�ำนวนปทฝำก

วธท�ำ เนองจาก A = P(1 + r)t

P = 500,000

r = 3100 = 0.03

t = 7.5 = 152 จะได A = 500,000(1 + 0.03)

152

= 500,000( 1.03)15

≈ 500,000(1.24819) = 624,095

ดงนน นธศจะไดรบเงนทงหมดประมาณ 624,095 บาท


2,000,000 บาท ธนาคารจายดอกเบยให 2.5% ตอป ถาสมชายฝากเงน

โดยไมมการถอนเงนจนครบ 5 ป 6 เดอน อยากทราบวาสมชายจะไดรบ

เงนทงหมดเทาใด

34

3

ด พอใช ควรปรบปรง

1.สามารถหารากทnของจ�านวนจรงใดๆ ได

2.สามารถหาคาหลกรากทnของจ�านวนจรงใดๆ ได

3.สามารถหาผลบวกและผลตางของจ�านวนจรงทอยในรปกรณฑได

4.สามารถหาผลคณและผลหารของจ�านวนจรงทอยในรปกรณฑได

5.สามารถหาคาของเลขยกก�าลงได

6.สามารถแกสมการเลขยกก�าลงได

7.สามารถค�านวณหาคาตางๆ ของเลขยกก�าลงโดยใชเครองคดเลขได

8.สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบเลขยกก�าลงได

หลงจากเรยนจบหนวยแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง

Self-Check


12. ลกบาศกหนงมปรมาตร a ลกบาศกหนวย ดงรป

ใหหาความยาวของเสนทแยงมม d โดยตอบในรปของ a

d

36



7. ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำย

1) 5413 • 32

12 • 81

23 2) (27

12 • 24

34)

13 • (9

13 • 18

12)

12

3) (1212 • 36

13

9616

)2

4) (1012 • 15

13)3 • (45

13 • 50

12)2

(6016 • 30

13)6

8. ใหเขยนจ�ำนวนตอไปนในรปอยำงงำยเมอxและyเปนจ�ำนวนจรงบวก

1) x45 • x

12

x- 25 2) y

110 • y- 32

y- 15

3) (x-3 y4)- 12 4) (x

23 y- 45)

32

5) (x-2 y3)13 (x4 y-5)

12 6) (x-3 y

35)-2(x

45 y- 25)5

7) x- 13 y- 14

(x2 y- 13)-2 8) (x

-2 y2 25 )

- 12

9) (4x4 y)12 ÷ 2x3 y- 12 10) (x3 y- 14)4 ÷ 5 32x4 y-8

9. วทยำฝำกเงนกบธนำคำรแหงหนงจ�ำนวน5,000บำทถำเขำไปปดบญชกบธนำคำรเมอฝำก

ครบเปนเวลำ5ป6 เดอนจะไดรบเงนทงหมด5,800บำทอยำกทรำบวำธนำคำรจะให

ดอกเบยในอตรำปละเทำใด

10. วโรจนกเงนจำกธนำคำรมำจ�ำนวนหนงโดยจะตองจำยดอกเบยเงนก4.2%ตอปถำวโรจน

ตองจำยเงนทงหมดจ�ำนวน 62,225 บำท เมอครบก�ำหนด 3 ป 6 เดอน ใหหำวำวโรจน

กเงนมำจ�ำนวนเทำใด

11. ใหเขยนจ�ำนวนแตละขอตอไปนในรปอยำงงำยเมอa,b,cและdเปนจ�ำนวนจรงบวก

1) ( a-4 b13 c

12

a- 23 b-1 c16)

3

(a5 b

23 c- 12

a13 b

45 c

35 )

-4

2) (64a23 b

12 c- 43

8a- 13 b54 c- 35 )

3

÷ (8ab-1 c2

a-2 b3 c6)13

3) abn2

bc × cn3 d

cdn2 ÷ b

n + 2

cn + 3เมอn> 0 4) (a + b)n2

bc2 ÷ (a + b)n + 32

abc เมอn> 0

7. การหาผลคณและผลหารของจ�านวนทมเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกน จะตองมอนดบของกรณฑทเทากน

8. (p + q a)และ(p-qa)เปนสงยคซงกนและกนโดยทp,qและaเปนจ�านวนตรรกยะและa> 0

9. ถาaเปนจ�านวนจรงnเปนจ�านวนเตมทมากกวา1และaมรากทn

a1n = n a

10. ถาaเปนจ�านวนจรงm,nเปนจ�านวนเตมทn>1และmn เปนเศษสวนอยางต�า และa

1nเปนจ�านวนจรงจะไดวา

amn = (a

1n )m = ( n a )m

amn = (am)

1n = n a m

11. การแกสมการเลขยกก�าลงสามารถท�าไดโดยเปลยนฐานของเลขยกก�าลงใหเทากน นนคอ

ถาax = anแลวx=n

เมอa,nเปนจ�านวนจรงโดยทa>0และa≠ 1

12. สมบตของเลขยกก�าลง

ใหm,nเปนจ�านวนตรรกยะและa,bเปนจ�านวนจรงทไมเทากบ0และam,anและbn

เปนจ�านวนจรงจะไดวา

1) am • an = am+n

2) am

an = am-n

3) (am)n = amn

4) an •bn = (ab)n

5) an

bn = (ab)

n


เลขยกกาลง


nตว

1. ก�าหนดaเปนจ�านวนจรงและnเปนจ�านวนเตมบวก

an = a•a•a• ... •a

a0 = 1 เมอa≠ 0

a-n = 1an เมอa≠ 0

2. ก�าหนดx,yเปนจ�านวนจรงและnเปนจ�านวนเตมทมากกวา1 yเปนรากทnของxกตอเมอyn = x

3. คาหลกของรากทnของxเขยนแทนดวยn xอานวากรณฑทnของx

4. ใหxและyเปนจ�านวนจรงและnเปนจ�านวนเตมทมากกวา1yเปนคาหลกของรากทnของxเขยนแทนดวยn xกตอเมอyเปนรากทnของxและxy≥ 0

5. สมบตของรากทn ใหaและbเปนจ�านวนจรงทมรากทnเมอnเปนจ�านวนเตมทมากกวา1

1) ( na )n = aเมอnaเปนจ�านวนจรง

a เมอa≥ 0 2) nan = a เมอa<0และnเปนจ�านวนคบวก ∙ a ∙ เมอa<0และnเปนจ�านวนคบวก

3) nab = na • nb

4) n ab = na nb

เมอb≠ 0

6. การหาผลบวกและผลตางของจ�านวนทมเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกน จะตองมจ�านวนภายในกรณฑเปนจ�านวนเดยวกนเชน

pna + q na = (p+q)na

pna - q na = (p-q)na

38

7) 5 x3 • 3 8x 8) (x-3 y35)-

23 (x

45 y- 23)3

9) x23 y- 25

(x2 y- 15)-2 10) (x- 13 y2)5 • 3 27x-3 y2


1) 5 + 20 + 45 2) 2 27 - 12 + 3 75

3) 3 2

( 98 - 32 ) 4) 3 20 • 3 50 + 5 16 • 5 2

5) ( 7 - 3 )( 7 + 3 ) 6) (2 3 + 3 2 )(2 3 - 3 2 )

7) ( 5 - 2 )2 8) (2 7 - 10 )2


1) 4-6 • 4x = 1 2) 512 ÷ 5x = 25

3) 16x = 8 4) 2018x = 1

5) 10x - 210 = 0.0001 6) 2x - 6

2 = 29

10. ถา x-3 = 7 แลว x3 มคาเทาใด

11. ถา ( 2 - 1 )x = ( 2 + 1 )2 แลว x + 1 มคาเทาใด

12. พระมดฐานสเหลยมจตรสมปรมาตร 27 ลกบาศกเซนตเมตร และมความสงเปน 3 เทาของ

ความยาวของฐานแตละดาน ใหหาความยาวรอบฐานของพระมด


ค�ำชแจง : ใหนกเรยนตอบค�ำถำมตอไปน

แบบฝกทกษะประจำ�หนวยก�รเรยนรท 1

h


1) 4 10000 2) 3 -216

3) 161.5 4) 1024- 35

2. ใหประมาณคา 5 1022

3. ใหหาคาของจ�านวนตอไปน โดยใชเครองคดเลข

1) 416 - 216 2) 10 + 3 10 10

3) 3π - 4 18 4) (1 + 5 5 )2

4. ก�าหนดสมการ p + q 7 = 5 (3 - 7 )2

เมอ p และ q เปนจ�านวนตรรกยะใด ๆ

ใหหาคาของ p และ q

5. ก�าหนดสมการ x 5 = 27 - x 3 มค�าตอบของสมการ คอ a + b 15 2

เมอ a และ b เปนจ�านวนเตมใด ๆ ใหหาคาของ a และ b

6. ทรงกระบอกตรงมปรมาตร 8 + 3 6 ลกบาศกเซนตเมตร

มพนทฐานเทากบ 1 + 6 ตารางเซนตเมตร ใหหาความสง

ของทรงกระบอกน และตอบในรป p + q 6 เซนตเมตร เมอ

p และ q เปนจ�านวนตรรกยะใด ๆ

7. ใหเขยนจ�านวนตอไปนในรปอยางงาย เมอ x และ y เปนจ�านวนจรงบวก

1) (3x)-4 2) 3 ÷ x-3

3) (27x3

8y6 )23 4) (16x

-4y-2

81y6 )14

5) (x16 y- 34

x- 13 y14)

4

6) (32x-4y

12

243x )25

40

คณิตศำสตร มacademic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1550141485... ·...

Documents