การเคลื่อนที่แบบต่างๆ · ใบพัดลม...

กลมสาระการเรยนรวทยาศาสตร โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ ประสานมตร (ฝายมธยม) ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2557

24 การเคลอนทแบบตางๆ

การเคลอนทของวตถตางๆ รอบตวเรา อาจจะเปนการเคลอนทแนวตรง หรออาจเปนแนวโคง เชน ลกบาสเกต - บอลทก าลงลอยเขาหวง สายน าทพงออกจากหวฉด ลกบอลทถกเตะลอยไปในอากาศ การเลยวของรถเมอเขาทางโคง การหมนของใบพดลม เปนตน ในบทนเราจะไดศกษาการเคลอนทแบบตางๆ ไดแก การเคลอนทแบบโพรเจกไทล การเคลอนทแบบวงกลม และการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย 1. การเคลอนทแบบโพรเจกไทล (projectile motion) การเคลอนทแบบโพรเจกไทล เปนการเคลอนทของวตถอยางอสระโดยมแรงเนองจากแรงดงดดของโลกมา กระท าเพยงแรงเดยวเทานน เปนการเคลอนททมวถการเคลอนทแบบวถโคง เชน การขวางหรอยงวตถออกไป

รป 4.1 ภาพแสดงเสนทางการเคลอนทแบบโพรเจกไทล (ภาพจาก Halliday Resnick Walker - Fundamentals of Physics 9th Edition)

การศกษาปรมาณตางๆ ของการเคลอนทแบบโพรเจกไทลโดยการปลอยวตถใหตกอยางอสระพรอมกบดดวตถอก อนหนง ซงเหมอนวตถแรกทกประการออกไปในแนวระดบ จากจดเดยวกนซงอยสงจากพนระยะหน ง แลวบนทกภาพ อยางตอเนองนบตงแตเรมเคลอนท ดงรป

รป 4.2 ภาพแสดงวตถทตกในแนวดง และถกดดในแนวระดบ (ภาพจาก Halliday Resnick Walker - Fundamentals of Physics 9th Edition)

จากการเปรยบเทยบการเคลอนทของวตถทงสองจากรป 4.2 พบวา 1. วตถทตกในแนวดงมการกระจดในแนวดงเพยงแนวเดยว วตถทถกดดมการกระจดทงในแนวดงและแนวระดบ 2. ในชวงเวลาเดยวกน วตถทงสองมการกระจดในแนวดงเทากน เพราะตกถงพนพรอมกน 3. วตถทงสองถกแรงดงดดของโลกกระท าเพยงแรงเดยว (โดยไมค านงถงแรงตานอากาศ) มความเรงในแนวดง

เทากนนนคอ 4. วตถทตกในแนวดงเคลอนทเปนเสนตรง วตถทถกดดเคลอนทเปนทางโคงในระนาบดงแบบพาราโบลา เรยก “การ

เคลอนทแบบโพรเจกไทล” 1.1 เงอนไขการเคลอนทแบบโพรเจกไทล การเคลอนทแบบโพรเจกไทล ประกอบดวยการเคลอนท 2 แนวพรอมกน คอ แนวระดบ และแนวดง ซงพบวา ความเรวเรมตนทางแนวระดบ ไมมผลตอการเคลอนทในแนวดง โดยดจากการตกของวตถทปลอยและวตถทถกดด


25 ถาดดแรงตกไกล ดดคอยตกใกล แตจะตกถงพนพรอมกบวตถทปลอยใหตกในแนวดง ณ จดเรมตนเดยวกน แสดงวา การเคลอนทในแนวระดบไมมผลตอการเคลอนทในแนวดง ดงนน จงแยกคดการเคลอนทเปนอสระตอกน 2 แนว ดงรป 4.3

รป 4.3 แสดงการเคลอนทของวตถแบบโพรเจกไทล

(ภาพจาก Halliday Resnick Walker - Fundamentals of Physics 9th Edition)

1.2 การเคลอนทในแนวระดบของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล ขณะทวตถเคลอนทอยในอากาศจะมแรงดงดดของโลก กระท าเพยงแรงเดยวเทานน โดยในแนวระดบ แรงกระท าตอวตถมคาเปนศนย 𝑥 0 จาก 𝑥 𝑎𝑥

เมอ 𝑥 0

ดงนน 𝑎𝑥 0

ผลคอวตถเคลอนทดวยความเรวคงท 𝒙 𝒖𝒙𝒕

ดงนน สตรการเคลอนทในแนวระดบของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล

𝒙 𝒖𝒙𝒕

โดยท 𝑥 การกระจดในแนวระดบ (m) 𝑥 ความเรวในแนวระดบ (m/s) เวลาทใชในการเคลอนท 1.3 การเคลอนทในแนวดงของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล เนองจากขณะวตถเคลอนทอยในอากาศ จะมแรงดงดดของโลก กระท าเพยงแรงเดยว ความเรงของวตถในแนวดง คอ ความเรงโนมถวง g

1.4 การหาการกระจด และความเรว ณ ต าแหนงตางๆ ของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล

รป 4.4 แสดงการกระจดของวตถในแนวระดบและแนวดง


26 จากรปตองการหาการกระจดจาก A ถง B

การกระจดของวตถในแนวระดบ การกระจดของวตถในแนวดง

จะไดวา 𝑨𝑩 𝑿𝟐 𝒚𝟐

รป 4.5 แสดงความเรวของวตถในแนวระดบและแนวดง จากรป 4.5 ตองการหาความเรว ณ จด B ซงอยในแนวเสนสมผสกบสวนโคง ณ จด B 𝑥 = ความเรวทางแนวแนวระดบ ณ จด B = ความเรวทางแนวดง ณ จด B

จะไดวา 𝒗𝑩 𝒗𝒙𝟐 𝒗𝒚

𝟐

1.5 ลกษณะการเคลอนทแบบโพรเจกไทล แบงออกเปน 2 ประเภท

1.1 มเฉพาะความเรวตนในแนวระดบเพยงแนวเดยว ดงรป 4.5 (ก) 1.2 มความเรวทงแนวระดบและแนวดง ดงรป 4.5 (ข) และ 4.5 (ค)

รป 4.5 แสดงการเคลอนทแบบโพรเจกไทลแบบตางๆ

สรปเงอนไขของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล

1. วตถตองมการเคลอนทอยางอสระ มแรงดงดดของโลก mg กระท าเพยงแรงเดยว

2. ตองมความเรวเรมตนในแนวระดบ 𝑥 สวนในแนวดง จะมหรอไมมกไดโดยความเรวใน แนวระดบคงทเสมอ

สรป การหาการกระจดของวตถตองร 𝒙 𝒚 ซงหาไดจากสมการการเคลอนทในแตละแนวดงกลาวมาแลว

สรป การหาความเรวของวตถตองร 𝒗𝒙 𝒗𝒚 ซงหาไดจากสมการการเคลอนทในแตละแนว

1. การเคลอนทแบบโพรเจกไทล แบบทวไปๆ


27 3. เวลาทใชในการเกดการกระจดจากจดหนงถงจดหนงในแนวระดบ (x) เทากบในแนวดง (y) 4. ณ จดสงสดของโพรเจกไทล จากรป 4.5 (ค) คอ จด B 0 แต 𝑥 𝑥 ดงนนความเรว ณ

จดสงสดเทากบ 𝑥 5. การพจารณาปรมาณในแนวดงถามรทศลงเพยงทศเดยว 𝑎 แตถามการเคลอนท 2 ทศทาง มขน

และมลง 𝑎 6. สมการการค านวณเหมอนการเคลอนทในแนวเสนตรงทกประการ

มลกษณะแนวการเคลอนทเปนรปพาราโบลาเตมรป

รป 4.6 แนวทางเดนของวตถ ท ามม 𝜃 กบแนวระดบ

เมอปาวตถจากจด A ดวยความเรว u ท ามม 𝜃 กบแนวระดบดงรป 4.6 โจทยก าหนดคามมปา 𝜃 และความเรวตน u ใหสงทโจทยถามหา คอ

1. เวลาทวตถเคลอนทจาก A ถง B ซงอยในแนวเดยวกน (T) 2. ความสงของโพรเจกไทล CD (H) 3. ระยะตกไกลตามแนวราบ AB (SX)

การหามมปาโพรเจกไทล ทท าใหวตถตกไกลทสด คา SX จะมากทสด เมอ sin 2𝜃 มากทสด เพราะวา u, g คงท sin 2𝜃 มากทสด = 1 จาก sin 0 1 2𝜃 0 𝜃 45 แสดงวา เมอมม 𝜃 45 วตถจะเคลอนทตามแนวราบไดไกลทสด หรอถาตองการปาวตถใหถงทหมาย โดยใชความเรวนอยทสด หรอถาตองการปาวตถใหถงทหมายโดยใชความเรวนอยทสด มม 𝜃 ตองเทากบ 45

เมอมมปาท ามม 45 กบแนวระดบตกไกลทสด เมอมมปา 𝜃 45° วตถตกถงทหมาย u นอยทสด

2. การเคลอนทแบบโพรเจกไทล เมอจดเรมตนและจดสดทายอยในแนวระดบเดยวกน


28 ตวอยางท 1 A และ B เปนทรงกลมทมรศมเทากน แตมวลของ A เปนสองเทาของมวลของ B ถาปลอย A ใหตกลง ในแนวดงพรอมๆ กบทขวาง B ออกไปในแนวระดบดงรป ขอใดตอไปนถกตอง ฃถาไมค านงถงความตานทานของ อากาศ

แนวค าตอบ วตถ A และ B เคลอนทอยางอสระปรมาณการเคลอนทในแนวดงเหมอนกน ไดวาเวลาเทากน (tA = tB) แต VB > VA เพราะ VB = VX + VY แต VA = Vy

ค าตอบทถกตองคอขอ 4

ตวอยางท 2 ขวางวตถกอนหนงขนไปในอากาศท ามม 𝜃 กบแนวระดบ ดงรป วตถลอยอยในอากาศนาน t วนาท กอนตกกระทบพน

แนวค าตอบ จากตวเลอก 1, 2 และ 4 กลาวถก ขอ 3 ผด เนองจากความเรวเปนปรมาณเวกเตอร ทศทางการ เคลอนทของวตถทจด A และจด B มทศทางตางกน ความเรวจงไมเทากน


ตวอยางท 3 วตถชนดเดยวกน 2 กอน A และ B วตถ A ถกขวางออกไปในแนวระดบ สวนวตถ B ถกปลอยให ตกลง ในแนวดง พรอมกน ณ ระดบสงเดยวกน จงพจารณาขอความตอไปน ก. วตถ A ตกถงพนหลงวตถ ข. วตถ A และ B ตกถงพนพรอมกน ค. ขณะตกถงพนวตถ A มอตราเรวสงกวาวตถ B ง. ขณะตกถงพนวตถ B มอตราเรวสงกวาวตถ A ขอใดถกทสด 1. ก และ ง 2. ข และ ค 3. ข และ ง 4. ก และ ค แนวค าตอบ 1. วตถ A และ B มความเรวตนในแนวดงเทากน จะเคลอนทลงในแนวดงพรอมๆ กน ขอ ก ผด ขอ ข ถก 2. วตถ B มความเรวแนวดงแนวเดยว สวนวตถ A มความเรวทงแนวดงและแนวระดบ อตราเรว ณ จดใดๆ ของวตถ A จงมากกวาวตถ B ขอ ค ถก, ขอ ง ผด


ขอใดกลาวผด

1. เวลาจาก A ถง C เทากบเวลาตาก C ถง B

2. ณ จด C มความเรวนอยทสด cos 𝜃 3. ความเรว ณ จด A มคาเทากบความเรว ณ จด B 4. ตลอดการเคลอนทความเรงมขนาดคงทเสมอ

1. A ตกถงพนกอน B

2. A และ B ตกถงพนดวยอตราเรวเทากน

3. A ตกถงพนพรอมกน B แต A มอตราเรวกระทบพนมากกวา B

4. A ตกถงพนพรอมกน B แต A มอตราเรวกระทบพนนอยกวา B


29 2. การเคลอนทแบบวงกลม (Circular motion) การเคลอนทหลายอยางรอบตวเรา เชน รถยนตหรอรถจกรยานยนตก าลงเลยวโคง หรอ ดาวเทยมโคจรรอบโลก เปนการเคลอนททมแนวการเคลอนทเปนวงกลมหรอสวนของวงกลม เรยกการเคลอนทนวา การเคลอนทแบบวงกลม (circular motion) รถยนต รถจกรยานยนต และดาวเทยม เคลอนทในแนววงกลมหรอสวนของวงกลมไดอยางไร หรอ ท าไมการเคลอนทจงเปนแบบนนเราจะไดท าการศกษาตอไป เพอความเขาใจการเคลอนทแบบวงกลม เราจะเรมศกษาการเคลอนทแบบวงกลมทมอตราเรวคงตว ซงเรยกวา การเคลอนทแบบวงกลมสม าเสมอ (uniform circular motion) นนคอการเคลอนททมขนาดของความเรวเทาเดม สม าเสมอแตทศทางเปลยนไปทละนอย

รป 4.7 การแกวงวตถใหเคลอนทในแนววงกลมในระนาบระดบ

จากการศกษาผลของแรงทมตอทศทางการเคลอนทของวตถพบวา

1. เมอแรงมทศทางขนานกบความเรวของวตถ วตถจะมแนวทางการเคลอนทเปนเสนตรง 2. เมอแรงท ามมกบความเรวโดยมมมเปลยนแปลงตลอดเวลาระหวาง 0° ถง 1 0° วตถจะมการเคลอนทเปน ทางโคง

แบบโพรเจกไทล แตถาแรงททศทางตงฉากกบความเรวตลอดเวลา แนวทางการเคลอนทของวตถจะเปนรปโคงแบบวงกลมซงจะได ศกษา

รายละเอยดตอไป ถาเราน าเชอกผกเขากบวตถ แลวแกวงใหวตถเคลอนทไปรอบๆ มอ พบวาวตถมแนวการเคลอนทเปนแนวโคงของ

วงกลมดงรป 4.7 (ก) การเคลอนทของลกกลมโลหะซงถกดดใหเคลอนทไปตามรางโคงวงกลมดงรป 4.7 (ข) จากรป 4.7 ก. เปนการเคลอนทของวตถทตดกบเชอกแลวถกเหวยงใหเคลอนทในระนาบระดบ พบวาแรงตงเชอก

กระท าตอวตถตลอดเวลามทศพงเขาหาจด O ซงเปนจดทถกมอจบวตถจะอยหางจากจด O คงท ตลอดเวลาทางเดน ของวตถจงเปนรปวงกลม และพบวา ทศทางของแรง ตงฉากกบความเรว 𝒗 ของวตถตลอดเวลา

จากรป 4.7 ข. เปนการเคลอนทของลกกลมโลหะทถกดดใหเคลอนทบนรางโคงครงวงกลมในแนวราบพบวาทศทาง ของลกกลมเปนทางโคงวงกลม เนองจากแรงทรางดนลกกลมทกต าแหนงมทศทางตงฉากกบเสนสมผสของวงกลม หรอ ตงฉากกบความเรว 𝒗 ขอลลกกลมทกขณะนนเอง มผลท าใหทศทางของลกกลมเปลยนตลอดเวลา ทงจากรป 4.7 ก. และ 4.7 ข. แรง 𝑅 มทศพงเขาหาจดศนยกลางของทางเดนของวตถตลอดเวลาจงเรยกแรง 𝑅 วา แรงสศนยกลาง 𝑪

ดงนน อาจสรปไดวา วตถจะเคลอนทแบบวงกลมไดตองมแรงลพธกระท าตอวตถในทศตงฉากกบความเรว ของวตถตลอดเวลา


30 2.1 วตถเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงท การเคลอนทของวตถแบบวงกลมมหลายลกษณะ แตลกษณะทเราศกษาในบทเรยนนเปนการเคลอนทแบบ- วงกลมดวยอตราเรวคงท ดงรป 4.8 รป 4.8 วตถเคลอนทในแนววงกลมในระนาบระดบดวยอตราเรวคงตว

เมอวตถเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงท คาบ และความถคงท โดยคาบและความถสมพนธกนโดยคาบ และ ความถสมพนธกนโดย

1

𝑓

2.2 ความสมพนธระหวาง 𝒗 𝒇

จากรป 4.8 วตถเคลอนทเปนวงกลมรอบจด O มรศม r ดวยอตราเรวคงทเมอพจารณาการเคลอนทครบ 1 รอบ

จาก

𝑓

ครบ 1 รอบ 2𝜋𝑟 (คาบ)

ดงนน 2𝜋𝑟

หรอ 2𝜋𝑟𝑓

2.3 ความเรงสศนยกลาง 𝒄 วตถเคลอนทในแนวกลม ดวยอตราเรวคงทโดยมแรงกระท ากบวตถในทศเขาสศนยกลางท าใหความเรวของ วตถเปลยนไปตลอดเวลาโดยมความเรงตามกฎขอสองของนวตน ถาพจารณาวตถเคลอนทจาก A ไป B ในชวงเวลา สนๆ 2.4 การหาแรงทท าใหวตถเคลอนทแบบวงกลม จากกฎการเคลอนททขอทสองของนวตนและการเคลอนทแบบวงกลม แรงลพธทมากระท าตอวตถ กบความ- เรงของวตถจะมทศทางเดยวกน คอพงเขาหาจดศนยกลาง ซงเขยนเปนสมการไดวา

𝑎 (เนองจาก คอ 𝐶 )

ไดวา 𝐶 𝑎𝑥 ; 𝑎

หรอ 𝑚

2.5 อตราเรวเชงมม (Angular speed) อตราเรวของวตถทเคลอนทแบบวงกลมทกลาวมาแลวนนคอ ความยาวของเสนโคงทวตถเคลอนทไดในเวลา 1 วนาท ซงเราอาจเรยกอกอยางหนงวา อตราเรวเชงเสน 𝒗

ปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงท 1. คาบ (period) “ T ” คอ เวลาทวตถเคลอนทครบ 1 รอบ

หนวยเปนวนาท/รอบ หรอวนาท 2. ความถ (Frequency) “ f ” คอ จ านวนรอบทวตถเคลอนท

ไดภายในเวลา 1 วนาท หนวยเปน รอบ/วนาท หรอ เฮรตซ (Hz)


31 แตในทนยงมอตราเรวอกประการหนง ซงเปนการบอกอตราการเปลยนแปลงของมมทจดศนยกลาง เนองจาก การกวาดไปของรศมใน 1 วนาท เรยกวา อตราเรวเชงมม 𝝎 อานวา โอเมกา

การบอกมมนอกจากจะมหนวยเปนองศาแลวยงอาจใชหนวยเรเดยน (radian) โดยมนยามวา มม 1 เรเดยน มคาเทากบมมทจดศนยกลางของวงกลม ซงมสวนโคงรองรบมมยาวเทากบรศม หรอกลาวไดวา มมในหนวย เรเดยน คอ อตราสวนระหวางสวนเสนโคงทรองรบมมกบรศมของวงกลม ถา s คอ ความยาวของสวนโคงทรองรบมม r คอ รศมของสวนโคง 𝜃 คอ มมทจดศนยกลางเปนเรเดยน

จะไดวา 𝜃

=

และจากนยมอตราเรวเชงมมจะไดวา 𝜔

=

เมอพจารณาวงกลม พบวามมรอบจดศนยกลางของวงกลมเทากบ 360 องศา โดยสวนโคงทรองรบมมกคอ เสนรอบวงนนเอง ดงนน สรปไดวามม 360 องศา เทยบเทากบมม 𝟐𝝅 เรเดยน 2.6 การเคลอนทบนทางโคง 1) รถวงบนทางโคงราบ รป 4.10 แรงกระท าตอรถขณะเลยวบนถนนโคงราบ ดงนน แรงเสยดทาน = แรงสศนยกลาง 𝑓 𝐶

µmg 𝑚

𝑅

นยามอตราเรวเชงมม 𝝎 คอ มมทรศมกวาดไปไดใน 1 วนาท มหนวยเปนเรดยนตอ วนาท จากรป 4.9 วตถเคลอนทแบบวงกลม รศม r ดวยอตราเรวคงท จาก A ไป B ใน เวลา t วนาท โดยมรศม r กวาดไปเปนมม 𝜃 เรเดยน ณ จดศนยกลางของวงกลมพบวา ทกๆ จดบนรศม OA จะมการเคลอนทไปยง OB ในเวลาเดยวกนมอตราเรวเชงเสน 𝒗 ไมเทากน (ระยะทางตางกนในเวลาเดยวกน) แตมอตราเรวเชงมม ω เทากน (มมทเกดขนเทากนในเวลาเดยวกน)

รป 4.9 การเคลอนทแบบวงกลมท าใหมมท จดศนยกลางเปลยนแปลง

ขณะรถเลยวโคงบนถนนโคงราบซงมแนวทางการเคลอนทเปน สวนโคงของวงกลมดงรป 4.10 ดงนน ตองมแรงสศนยกลางมา กระท าตอรถในแนวระดบพบวาขณะเลยวรถพยายามไถลออก จากโคงจงมแรงเสยดทานจงมแรงเสยดทานทพนกระท าตอลอรถ ในทศทางพงเขาในแนวผานจดศนยกลางความโคง


32 2) รถเลยวบนทางโคงเอยงลน

ตวอยางท 4 วตถเคลอนทเปนวงกลมในระนาบระดบดวยอตราเรวคงท ผลคอ 1. ความเรงเปนศนย 2. ความเรงอยในแนวเสนสมผสกบวงกลม 3. ความเรงอยในแนวพงออกจากจดศนยกลาง 4. ความเรงอยในแนวพงเขาหาจดศนยกลาง แนวค าตอบ เมอวตถเคลอนทเปนวงกลมในระนาบระดบดวย v คงตวจะมความเรงพงเขาหาจดศนยกลาง

ค าตอบทถกตองคอขอ 4 ตวอยางท 5 มวลกอนหนงเคลอนทเปนวงกลม รศม 1 หนวยในแนวราบ จะสรปไดวาขอความตอไปน ขอใดไมเปนจรง

1. ขนาดของความเรวเฉลยของวตถมคาคงท 2. ขนาดของความเรวทเวลาใดๆ ของวตถมคาคงท 3. ความเรวเชงมมทเวลาใดๆ ของวตถจะตองมคาคงท 4. ความเรงทเวลาใดๆ ของวตถจะตองคงท แนวค าตอบ พจารณาจากตวเลอกขอทผดคอขอ 4 เพราะความเรงเปนปรมาณเวกเตอร ทศทางของวงกลม ความเรงมทศพงหาจดศนยกลางตลอดเวลาตลอดเวลาและตงฉากกบทศทางการเคลอนท จงมทศทางเปลยนแปลง

ค าตอบทถกตองคอขอ 4 ตวอยางท 6 การเคลอนทของวตถเปนวงกลมดวยอตราเรวสม าเสมอ ถารศมของการเคลอนทเพมขนเปน 2 เทา โดยทอตราเรวยงคงเทาเดม จะตองใชแรงเขาสศนยกลาง 1. เทากบครงหนงของคาเดม 2. เทาเดม 3. เพมขนเปน 2 เทา 4. เพมขนเปน 4 เทา แนวค าตอบ เมอ m, v คงตว R2 = 2R1 ตองการหา FC

จาก 𝑚

𝑅

𝐶

𝐶

𝑅

𝑅

1

2

𝐶

𝐶 ค าตอบทถกตองคอขอ 1

ตวอยางท 7 อนภาคตวหนงเคลอนทเปนวงกลมในระนาบดวยอตราเรวเชงมมคงท ค ากลาวตอไปน ขอใดผด

1. ณ จดใดๆ ทตรงขามกนบนวงกลม อนภาคจะมความเรวเทากน 2. ททกๆ จดบนวงกลม อนภาคมอตราเรวเทากน 3. ททกๆ จดบนวงกลม ความเรงสศนยกลางของอนภาคมขนาดเทากน 4. ททกๆ จดบนวงลกม แรงเขาสศนยกลางของอนภาคมขนาดเทากน 5. คาบการโคจรของอนภาคมคาคงท

แนวค าตอบ พจารณาทละตวเลอก พบวาขอทผดคอขอ 1 ณ จดใดๆ ทตรงขามกน บนวงกลมความเรวมขนาด เทากนแตทศทางตรงขามกน จงไมเทากน ค าตอบทถกตองคอขอ 1

จากการเลยวรถบนถนนโคงราบพบวารถเลยวโคงเรว หรอชาอยางปลอดภย ขนอยกบคาสมประสทธของความเสยดทานระหวางพนกบลอ ถามมากรถเลยว ไดดวยความเรวสง แตถามนอยรถตองเลยวดวยอตราเรวต า และ สมประสทธ ของความเสยดทานระหวางพนกบลอเปนศนย รถจะไมสามารถเลยวโคงไดเลย ดงนน จงมการแกไขโดยการเอยงพนถนนเพออาศยแรงปฏกรยาทพนกระท า ตอรถเปนแรงสศนยกลางโดยไมตองอาศยแรงเสยดทานดงรป 4.11 รป 4.11 แรงกระท าตอรถขณะเลยวบนถนนโคง

เอยงกบมม 𝜃 กบพนระดบ


33 ตวอยางท 8 รถเลยวโคงไดเนองจากแรงใด

1. แรงเสยดทานสถตยระหวางยางกบถนนในแนวเดยวกบการเคลอนท 2. แรงเสยดทานจลนระหวางยางกบถนนในแนวเดยวกบการเคลอนท 3. แรงเสยดทานสถตยระหวางยางกบถนนในแนวดานขาง 4. แรงเสยดทานจลนระหวางยางกบถนนในแนวดานขาง

แนวค าตอบ รถเลยวโคงทางเดนเปนรปวงกลม แรงเสยดทานสถตยประพฤตตวเปนแรงสศนยกลางกระท าตอ ตานขางของยางรถยนตพงเขาหาจดศนยกลาง


ตวอยางท 9 ในการเลยวรถจกรยานบนทางโคงราบ เพอไมใหรถลมผขตองเอยงตวและรถใหพอเหมาะ กบแนวดงเพอ

1. หนายางสมผสพนมากทสด แรงเสยดทานจะไดมคามากทสด 2. แนวแรงลพธทพนกระท าตอรถและคนผานศนยกลางมวลของรถและคน 3. ใหเกดแรงลพธในแนวผานศนยกลางมากทสด 4. ใหแรงลพธเปนศนย โมเมนตลพธจะไดเปนศนยดวย

แนวค าตอบ ในการเลยวรถจกรยานบนทางโคงราบ ผข ตองเอยงตวและรถเพอแรงลพธทพนกระท าตอรถและ คนผานศนยกลางมวลของรถและคน ซงเปนจดหมน โมเมนตรวมจงมคาเปนศนย รถจะไดไมคว า


2.8 การเคลอนทของดาวเคราะห, ดาวเทยม จากการศกษาการเคลอนทของเคราะหตางๆ ของนกดาราศาสตร หรอการเคลอนทของดาวเทยมตางๆ รอบโลก พบวาทางโคจรเปนรปโคงแบบวงรและแบบวงกลม ซงในทนเราจะศกษาดาวเคราะหและดาวเทยมทมวงโคจรเปนรป วงโคจรโคงแบบวงรและแบบวงกลม ซงในทนเราจะศกษาดาวเคราะหและดาวเทยมทมวงโคจรเปนรปวงกลมอยางเดยว จากความรเรองการเคลอนทแบบวงกลม ดาวเคราะหหรอดาวเทยมขณะเคลอนท จะมแรงสศนยกลางกระท าและจาก ความรเรองแรงดงดดระหวางมวลของนวตน ขณะดาวเคราะหหรอดาวเทยมก าลงเคลอนทแรงดงดดระหวางมวลท าหนา ทเปนแรงสศนยกลางดงรป 4.12

รป 4.12 แรงสศนยกลางทโลกกระท ากบดาวเทยม จากกฎแรงดงดดระหวางมวลของนวตนกบการเคลอนทในแนววงกลม ไดวา

𝐺

𝑟

𝑟

𝑟

เมอ mE และ m เปนมวลของโลก และดาวเทยม V เปนอตราเรวของดาวเทยมทโคจรรอบโลก r เปนรศมวงโคจรของดาวเทยม


34 จากสมการทไดเราสามารถค านวณหาอตราเรวของดาวเทยมทโคจรรอบโลก ณ ต าแหนงวงโครตางๆ ได การสงดาวเทยมขนไปสวงโคจรตางๆ รอบโลกนนไดมการก าหนดรศมวงโคจรไวกอนแลวค านวณหาแรงสศนย กลางทกระท ากบดาวเทยมและอตราเรวเชงเสนในวงโคจรนนๆ เมอยงดาวเทยมขนไปจนมความสงหรอรศมของการ โคจรตามตองการแลวจงปรบทศทางและอตราเรวของดาวเทยมตามทก าหนดไวเพอใหเขาสวงโคจรรอบโลก ในขณะทดาวเทยมโคจรรอบโลก ดาวเทยมจะมความเรงในแนวเขาสจดศนยกลางของโลกตลอดเวลาซงความเรง 𝑎 นจะมคาเทากบความเรงเนองจากแรงโนมถวง ′ มนษยอวกาศทอยในดาวเทยมกเชนกน ดงนน จงไมมแรง ทเทากระท าตอพน ในขณะนนมนษยอวกาศจะอยในสภาพไรน าหนกซงมลกษณะท านองเดยวกบคนทตกลงมาพรอม กบลฟตทขาด (ความเรงคนเทากบลฟต) ปจจบนดาวเทยมทโคจรรอบโลกเปนจ านวนมากดาวเทยมแตละดวงจะท าหนาทตางกนเชนเปนดาวเทยม อตนยมบาง ส ารวจทรพยากรบาง ใชประโยชนดานการสอสารบาง ใชเปนดาวเทยมจารกรรมบาง ดาวเทยมแตละดวง จะมรศมวงโคจรตางกน อตราเรวของการโคจรจงแตกตางกน ยกเวนดาวเทยมทมอตราเรวเชงมมเทากบโลก ดาวเทยม เหลาน จะมต าแหนงแนนอนเมอเทยบกบผวโลก ปจจบนมดาวเทยมเชนนหลายดวงเพอการสอสารตดตอไดรอบโลก ตวอยางท 10 ดาวเทยมดวงหนง เมอใชกลองโทรทรรศนสองดปรากฏวาเหนลอยอยนงๆ แสดงวา

1. ดาวเทยมไมไดโคจรรอบโลก 2. ดาวเทยมมคาบมากจนหาคาไมได 3. ดาวเทยมมอตราเรวเชงเสนเทากบวตถทอยนงบนผวโลก 4. ดาวเทยมมอตราเรวเชงมมเทากบโลกหมนรอบตวเอง

แนวค าตอบ ดาวเทยมทโคจรรอบโลกเมอมองเหนอยนงเมอเทยบกบโลก แสดงวามคาบ (T), ความถ (f) และอตราเรวเชงมม 𝜔 เทากบโลก


ตวอยางท 11 ดวงจนทรโคจรรอบโลกโดยหนดานเดยวเขาหาโลกตลอด เมอดวงจนทรโคจรรอบโลกครบ 1 รอบ จะหมนรอบจดศนยกลางตวเองกรอบ

1. 0 รอบ 2. 1/2 รอบ 3. 1 รอบ 4. 2𝜋 รอบ

แนวค าตอบ เมอดวงจนทรโคจรรอบโลก 1 รอบ โดยหนดานเดยวเขาหาโลกตลอด จะไดวาดวงจนทรหมนรอบ จดศนยกลางตวเอง 1 รอบดวย

ค าตอบทถกตองคอขอ 3 3. การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย การเคลอนทของสงตางๆ เชน การแกวงของชงชา การแกวงของลกตม การเคลอนทของมวลทตดกบปลายแผน สปรง การเคลอนทข นลงของน าขณะเกดคลนผวน า การเคลอนทของสงเหลานแตกตางจากการเคลอนทท เคยทราบ มาแลวอยางไร การเคลอนทของชงชา ลกตม และมวลทปลายแผนสปรงมลกษณะทเหมอนกน นนคอถาเราเรมสงเกตวตถดง- กลาวจะเคลอนทผานต าแหนงสมดลไปในทศทางหนง และอตราเรวจะลดลงเรอยๆ จนหยดแลวเคลอนทยอนกลบมา ตามแนวทางเดมโดยอตราเรวเพมขนเรอยๆ และมอตราเรวสงสดเมอผานต าแหนงสมดล จากนนอตราเรวจะลดลงจน หยดอกครงหนง


35 3.1 การเคลอนทของวตถตดสปรง

หลงจากรถทดลองมความเรวเปนศนยแรง F3 จะดนรถทดลองใหเคลอนทกลบไปทางขวาเขาหาต าแหนงสมดล ดวยความเรง การกระจดจะลดลงจนเปนศนยเมอถงต าแหนงสมดลดงรป 4.13 ซ. ณ ต าแหนงนรถทดลองจะมความเรว สงสดไปทางขวา หลงจากนนลวดสปรงจะยดออก ท าใหเกดแรงดงในสปรง F4 ตานการเคลอนทของรถทดลองท าใหรถ ทดลองเคลอนทชาลดลงจนความเรวเปนศนย เมอเคลอนทถงต าแหนงขวาสด (จดปลาย) ดงรป 4.13 ญ. จากการศกษาการเคลอนทแบบสนของรถทดลอง เมอไมมแรงเสยดทานภายนอกมากระท าตอรถทดลอง รถทดลองจะเคลอนทกลบไปกลบมาตลอดไปดวยแรงจากขดลวดสปรงเพยงอยางเดยว

ให เปนแรงทลวดสปรงกระท าตอรถทดลอง ณ ต าแหนงทการกระจดของรถทดลองเทากบ X จะไดวา

𝑘𝑥

และ 𝑎 (กฎการเคลอนทขอสองของนวตน)

ดงนน 𝑎 𝑘𝑥

หรอ 𝑎 𝑘𝑥

𝑚

จากสมการ 𝑎 𝑘𝑥

𝑚 แสดงวา ความเรงมขนาดแปรผนตรงกบขนาดขนาดของการกระจดแตมทศตรง- ขาม

เราอาจเรยกการเคลอนทแบบนวา การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายหรอซมเปลฮารมอนก (simple harmonic motion) การทใชค าวาอยางงายเพราะการเคลอนทแบบนบรรยายไดดวยฟงกชนไซนและความถเดยวซงจะไดศกษา ตอไป ปรมาณตางๆ ของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก 1) แอมพลจด (A) คอ ขนาดการกระจดของวตถทวดจากต าแหนงสมดลถงจดปลายทงสองขาง ซงมคามากทสด และมคาคงทเสมอ

2) คาบ (T) คอ ชวงเวลาทวตถเคลอนทครบหนงรอบ มหนวยเปนวนาทตอรอบหรอวนาท

จากการพจารณาเมอน าปลายขางหนงของขดลวดสปรงยดตดกบรถทดลอง สวนปลายอกขางหนงยดแนนกบผนงโดยรถทดลอง วางบนพนราบซงไมมแรง เสยดทานจดใหลวดสปรงขนานกบพน ดงรป 4.13 ก. ต าแหนงเรมตนเมอ สปรงยงไมยดหรอหด เรยกต าแหนงนวา ต าแหนงสมดล ออกแรง F1 ดงรถทดลองเพอใหสปรงยดออกจากต าแหนงเรมตนไปทาง ขวาเปนระยะ X ดงรป 4.13 ข. X เปนการกระจดของรถทดลองมทศจาก ต าแหนงสมดลไปยงรถทดลอง เมอปลอยมอแรง F1 จะหมดไป เหลอแรง F2 ซงเปนแรงดงกลบ (restoring force) เนองจากสปรงท าใหรถทดลองเคลอนท ไปทางซายดวยความเรง ดงรป 4.13 ค. เขาหาต าแหนงสมดลการกระจดลดลงเรอยๆ จนกระทงเปนศนยเมอ ผานต าแหนงสมดล ดงรป 4.13 จ. ซง ณ ต าแหนงสมดลรถทดลองมความเรว สงสด และมทศไปทางซายพรอมกบอดลวดสปรงใหหดสนเขาลวดสปรงจะออก แรง F3 ตานการเคลอนทท าใหความเรวของรถทดลองลดลงเรอยๆ จนกระทง ความเรวเปนศนยเมอเคลอนทไปถง จดซายสด (จดปลาย) ดงรป 4.13 ข.

รป 4.13 การเคลอนทแบบสนของรถทดลองทตดกบปลายลวดสปรง


36 3) ความถ (f) คอ จ านวนทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลามหนวยเปนรอบตอวนาท หรอ เฮรตซ (Hz)

การหาคาบและความถของการสนของวตถทตดสปรง

อตรเรวเชงมม ; 𝝎 𝐤

𝐦

คาบของการสนของวตถทตดสปรง ; 𝟐𝛑 𝐦

𝐤

ความถของการสนของวตถทตดสปรง ; 𝒇 𝟐𝛑 𝐤𝐦

3.2 การเคลอนทแบบลกตมนาฬกา พจารณาจากรป 4.14 เปนการเคลอนทแบบลกตมนาฬกา (simple pendulum) ซงเปนการเคลอนทแบบ ซมเปลฮารมอนกอกลกษณะหนงโดยน าวตถมวล m ผกเชอกยาว l เมอวตถแกวงเปนมมแคบๆ (𝜃 มคานอยๆ) ซงถอ ไดวาแรงลพธทท าใหวตถเคลอนทมทศทางขนานกบเสนทางการเคลอนทของวตถ และสวนโคงของวงกลมจากต าแหนง สมดลถงต าแหนงตางๆ ของวตถเปนเสนตรง

รป 4.14 การแกวงของลกตมนาฬกา

- การหาคาบและความถของการแกวงลกตมนาฬกา

อตรเรวเชงมมของการแกวงลกตมนาฬกา ; 𝝎 𝒈

𝐥

คาบของการแกวงลกตมนาฬกา ; 𝟐𝛑 𝐥

𝐠

ความถของการแกวงลกตมนาฬกา ; 𝒇 𝟐𝛑

𝐠𝐥


37 ตวอยางท 12 การเคลอนทของวตถแบบซมเปลฮารมอนก ขอสรปทถกตองทสด คอ

1. วตถมความเรวและความเรงแปนผนตรงกบการกระจดโดยแอมพลจดคงท 2. วตถมความเรวแปรผนตรงกบการกระจด แตความเรงเปนศนยเมอมการกระจดมากทสด โดยมแอมพลจดคงท 3. วตถมความเรงแปรผนตรงกบการกระจด แตความเรวเปนศนยเมอมการกระจดมากทสด โดยมแอมพลจดคงท 4. วตถมความเรงแปรผนตรงกบการกระจด แตความเรวแปรผนกบการกระจดนน และมแอมพลจดไมคงท

แนวค าตอบ พจารณาทละขอความ 1. ความเรวไมไดแปรผนตรงกบการกระจด (ผด) 2. เหมอนกบขอ 1 (ผด) 3. ความเรงแปรผนตรงกบการกระจด เมอการกระจดมากทสดความเรวเปนศนย โดยแอมพลจดคงท (ถก) 4. ความเรวไมไดแปรผกผนกบการกระจด (ผด)


ตวอยางท 13 วตถหนงก าลงมการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก ขอความใดถกตอง ก. แรงสทธทกระท าตอวตถมทศทางตรงขามกบการกระจดของวตถจากต าแหนงสมดล ข. เมอวตถมความเรวสงสด วตถมความเรงสงสดดวย ค. ความเรงของวตถมขนาดแปนผนตรงกบขนาดของการกระจดจากต าแหนงสมดลแตมทศทางตรง กนขาม ง. ถาวตถนนสนดวยแอมพลจดทเลกลง วตถนจะสนดวยความถมากขน ค าตอบคอ 1. ก, ข และ ค 2. ก และ ข 3. ขอ ง เทานน 4. ค าตอบเปนอยางอน

แนวค าตอบ พจารณาทละขอความ ก. แรงสทธทกระท าตอวตถมทศตรงกนขามกบการกระจด (ถก) ข. เมอวตถมความเรวสงสด ความเรงเปนศนย (ผด) ค. ขนาดความเรงแปรผนตรงกบการกระจดแตทศตรงขามกน (ถก) ง. ความถของการสนไมขนกบแอมพลจด (ผด)

ค าตอบทถกตองคอ 2

ตวอยางท 14 ในการศกษาการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก ถามลกทรงกลมเบาบรรจน าภายในแขวน ไวดวยเชอกท าใหเกดการแกวงแบบลกตมนาฬกา ปรากฏวาทรงกลมเลกนมรร วตรงสวนลางท าใหน าร วออก ไดอยางชาๆ ถามนาฬกาทจบคาบของการแกวงไดอยางละเอยดแลว จะพบวา

1. คาบของการแกวงจะคงทเสมอ 2. คาบของการแกวงจะมคามากทสดในตอนทน ารวหมด 3. คาบของการแกวงตอนทน ารวหมดจะมคานอยกวาคาบของการแกวงตอนทก าลงรว 4. คาบของการแกวงจะเพมขนจนกระทงน าหมด คาบของการแกวงจงจะคงท แนวค าตอบ เมอน าเตมและน าหมด L เทากน ตอนน ารว L เพมขนเลกนอย


38 ตวอยางท 15 ในการทดลองเรองลกตมอยางงาย ให T เปนคาบของการแกวง L เปนความยาวของเชอก g

เปนความเรงเนองจากความโนมถวงกราฟระหวางปรมาณในขอใดจะเปนเสนตรง 1. T กบ 2. T กบ L 3. T กบ L2 4. T2 กบ

แนวค าตอบ ตองการหาความสมพนธ T, L

จาก 2𝜋

ไดวา เมอเขยนกราฟระหวาง T กบ จะเปนกราฟเสนตรง ค าตอบทถกตองคอขอ 1

สรปสาระส าคญ

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล (projectile motion) เปนการเคลอนทของวตถในแนวเสนโคงพาราโบลา ถาไมคดแรง ตานของอากาศ การเคลอนทแบบโพรเจกไทลประกอบดวยการเคลอนทในแนวดงและแนวระดบทเปนอสระตอกน การ เคลอนทในแนวดงเปนอสระตอกน การเคลอนทในแนวดงเปนการเคลอนททมความเรวคงตว การเคลอนทแบบวงกลมดวยอตราเรวคงตว (uniform circular motion) เปนการเคลอนทของวตถในแนววงกลมดวย

อตราเรวคงตวแตความเรวเปลยนตลอดเวลาซงท าใหเกดความเรงสศนยกลางทมขนาด 𝑎

โดยมทศทางส

ศนยกลางทมของวงกลมและตงฉากกบความเรวขณะหนง แรงทท าใหวตถเคลอนทเปนวงกลมมทศทางสศนยกลางของวงกลม ทศเดยวกบความเรงสศนยกลาง เรยกวา แรงส

ศนยกลาง (centripetal force) ซงมขนาด 𝑚

แรงนอาจเปนแรงโนมถวง แรงดงในเชอก แรงเสยดทาน หรอแรง

ชนดอน รถทก าลงเลยวโคงจะมแรงเสยดทานทมทศทางเขาสศนยกลางของทางโคง ท าหนาทเปนแรงสศนยกลางซงตองม ขนาดเพยงพอทจะท าใหรถไมไถลออกนอกทางโคง การเลยวโคงดวยอตราเรวทมคามาก พนถนนบรเวณทางโคงจะถกสรางใหเอยงท ามมกบพนระดบโดยขอบนอกสง กวา

ขอบใน ดงสมการ tan 𝜃

วตถทเคลอนทแบบวงกลมสม าเสมอมอตราเรวเชงมม 𝜔 ทสมพนธกบอตราเรวเชงเสน ดงสมการ 𝜔𝑟 โดย

𝜔 2𝜋𝑓

จงสามารถเขยนแรงสศนยกลางเปน

𝑚

ดาวเทยมสอสารมวล m มการเคลอนทแบบวงกลมรอบโลกโดยมแรงดงดดทโลกกระท าตอดาวเทยมเปนแรงส -

ศนยกลาง 𝐺𝑚𝑚𝑒

เมอ เปนมวลของโลก

การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (simple harmonic motion) เปนการเคลอนทของวตถกลบไปมาซ าทาง เดมผานต าแหนงสมดลโดยมขนาดของการกระจดสงสดคงตว เรยกวา แอมพลจด ชวงเวลาทวตถเคลอนทครบหนง รอบเรยกวา คาบ T และจ านวนรอบทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา เรยกวา ความถ f การเคลอนทของรถทดลองมวล m ทตดกบปลายลวดสปรงทมคาคงตว k จะเปนการเคลอนทแบบฮารมอนกอยาง งาย

โดยความเรงมขนาดแปรผนตรงกบขนาดของการกระจด แตมทศทางตรงขาม หรอ 𝑎 𝑘

𝑚𝑥 และการแกวง ของลกตม

อยางงาย โดยความเรงของลกตมแปรผนตรงกบการกระจดและมทศทางตรงขามกน หรอ 𝑎

𝑙𝑥 และคาบการแกวง

ของลกตมอยางงาย 2𝜋 𝑙

การเคลื่อนที่แบบต่างๆ · ใบพัดลม...

Documents