Math1 By พทรตวเตอร

1

Chapter 4

อนพนธ 4.1 การใชสตรและกฎลกโซ

4.2 อนพนธอนดบสง

4.3 การหาอนพนธของฟงชนกโดยปรยาย

4.4 การหาอนพนธของสมการองตวแปรเสรม

4.5 การหาอนพนธโดยการใชเทคนคการใส ln ( take ln )

…………………………………………………………………………………..

อนพนธของ y = f (x) ทจด x = a เขยนแทนดวย 𝑑𝑦

𝑑𝑥|

𝑥=𝑎 , 𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥|

𝑥=𝑎 , 𝑓(𝑎)′

𝑓′(𝑎) = limx→𝑎

f(x) − 𝑓(𝑎)x − a

Ex. จาก 𝑦 = 𝑥2 − 4 จงหา 𝑑𝑦

𝑑𝑥|

𝑥=2

วธท า

จาก 𝑓′(𝑎) = limx→𝑎

f(x)−𝑓(𝑎)

x−a

𝑓′(2) = limx→2

(x2−4)−(22−4)

x−2 = lim

x→2

(x2−4)

x−2

= limx→2

(x − 2)(𝑥 + 2)x − 2

= lim

x→2 (𝑥 + 2)

= 4

บทนยาม

ให f เปนฟงกชนใด ๆ เราสามารถหา 𝑓′ โดย

𝑓′(𝑥) = 𝑑𝑦𝑑𝑥

= limΔ𝑥→0

Δ𝑦Δ𝑥

= limΔ𝑥→0

f(x + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥)

Δ𝑥

และเรยกฟงกชน 𝑓′ วาเปนอนพนธ (derivative) ของฟงกชน f

Math1 By พทรตวเตอร

2

Ex2. 𝑓(𝑥) = {𝑥2 , 𝑥 ≤ 12𝑥 , 𝑥 > 1

จงหา 𝑓′(1) และ f ตอเนองทจด x = 1 ไหม

วธท า

𝑓′(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥)−𝑓(1)

𝑥−1

พจารณา

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1−

𝑥2 − 12

𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1−

(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1)

𝑥 − 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1− (𝑥2 + 1) = 2

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

𝑓(𝑥)−𝑓(1)

𝑥−1 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+

2𝑥−1

𝑥−1 =

2−1

0 = ∞ = หาคาไมได

ดงนน 𝑓′(1) หาคาไมได

..................................................................................................................

วธท 2

พจารณา ความตอเนองของ f(x) ท x = 1

1. 𝑓(1) = 𝟏𝟐 = 𝟏

2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥) โดยพจารณาทางซายและขวา

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

𝑓(𝑥) = 2𝑥 = 2

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑓(𝑥) = 𝑥2 = 1

𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥) หาคาไมได

ดงนน 𝑓(1) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑓(𝑥) จะไดวา f(x) ไมตอเนองท x = 1

จากทบ.กลบ 𝒇′(𝟏) หาคาไมได

ทบ : ถา 𝑓′(𝑎) หาคาได แลว f จะตอเนองท x = a

ทบ.กลบ : ถา f ไมตอเนองท x = a แลว 𝑓′(𝑎) หาคาไมได

ถา f ตอเนองท x = a แลว 𝑓′(𝑎) หาคาได หรอไม

Math1 By พทรตวเตอร

3

4.1 การใชสตรและกฎลกโซ

กฏการหาอนพนธ

ให u และ v เปนฟงกชนของตวแปร x นนคอ ( u = u(x) และ v = v(x) ) ซงหาอนพนธได

และ c เปนคาคงตวใด ๆ

1. d𝑐

dx= 0

2. d

dx(𝑢 ± 𝑣) =

d𝑢

dx±

d𝑣

dx

3. d

dx(𝑐𝑢) = 𝑐

d𝑢

dx

4. d

dx(𝑢𝑣) = 𝑢

d𝑣

dx+ 𝑣

d𝑢

dx

5. d

dx(

𝑢

𝑣) =

𝑣d𝑢

dx− 𝑢

d𝑣

dx

𝑣2

กฏลกโซ

ถา y เปนฟงกชนของ u คอ ( y = f(u) ) ทหาอนพนธได และ u เปนฟงกชนของ x คอ ( u = f(x) )

ทหาอนพนธไดเชนกน แลว y เปนฟงกชนของ x ทหาอนพนธได โดยท

dy

dx =

𝑑𝑦

𝑑𝑢 ∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

สตรการหาอนพนธ

1. d

dx𝑥𝑛 = 𝑛xn−1 , เมอ 𝑛 = จ านวนจรง 2.

d

dx𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

3. d

dx𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 4.

d

dxln 𝑥 =

1

𝑥

5. d

dxsin 𝑥 = cos 𝑥 6.

d

dxcos 𝑥 = − sin 𝑥

7. d

dxtan 𝑥 = sec2 𝑥 8.

d

dxcot 𝑥 = − ccsec2 𝑥

9. d

dxsec 𝑥 = sec 𝑥 tanc 𝑥 10.

d

dxcsc 𝑥 = − cosec 𝑥 cot 𝑥

11. d

dxsin−1 𝑥 =

1

√1− 𝑥2 12.

d

dxtan−1 𝑥 =

1

1 + 𝑥2

Math1 By พทรตวเตอร

4

จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

Ex1. 𝑦 = 4𝑥5 + 5𝑥 −5

𝑥+

𝑥

5+ 5 − 𝑒𝜋 + 4 sin 𝑥 จงหา

dy

dx

Ex2. 𝑦 = 𝑥2 ln 𝑥 จงหา dy

dx

Ex3. 𝑦 = 2𝑥+1

5𝑥2 จงหา dy

dx

Ex4. 𝑦 = (3𝑥2 + 2𝑥 + 5)(2𝑥 + 1) จงหา dy

dx

Ex5. 𝑦 = (𝑥2 + 2𝑥 + 2)3 จงหา dy

dx

Math1 By พทรตวเตอร

5

Ex 6. 𝑦 = (√1 + 𝑥2 + 5)3

จงหา dy

dx

Ex 6.1 𝑦 = arctan(𝑒𝑥 + 1) จงหา dy

dx

Ex 7. 𝑦 = sin2 𝑥 จงหา dy

dx

Ex 7.1 𝑦 = cos(tan3 𝑥) จงหา dy

dx

Math1 By พทรตวเตอร

6

Ex 8. 𝑦 = tan3(𝑥2) + tan−1 √1 − 𝑥2 จงหา dy

dx

Ex 9. 𝑦 = 𝑒tan−1 √𝑥2+1 จงหา dy

dx

Ex 10. 𝑦 = sin3(2𝑥) + cos (𝑥

3) จงหา

dy

dx

Ex 11. 𝑦 = ln(cos(3𝑥2 + 5)) จงหา dy

dx

Math1 By พทรตวเตอร

7

ขอสอบ ป 58 เทอม 2

ขอ 1 (12 คะแนน) จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1 𝑦 = 7

√𝑥3 + 7𝑥𝑥7 + 77 (4 คะแนน)

1.2 𝑦 =arctan 𝑥

𝑒𝑥 (3 คะแนน)

1.3 𝑦 = arcsin(ln 𝑥 + 1) (2 คะแนน)

1.4 𝑦 = tan(cos3 𝑥) (3 คะแนน)

Math1 By พทรตวเตอร

8

ขอสอบ ป 58 เทอม 2

ขอ 2 (13 คะแนน) จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1 𝑦 = 𝑥88𝑥 + 88 +8

√𝑥8 (5 คะแนน)

1.2 𝑦 =arcsin 𝑥

ln 𝑥 (3 คะแนน)

1.3 𝑦 = arctan(𝑒𝑥 + 1) (2 คะแนน)

1.4 𝑦 = cos(𝑡𝑎𝑛3 𝑥) (3 คะแนน)

Math1 By พทรตวเตอร

9

ขอสอบ ป 57 เทอม 1

ขอ 3 (13 คะแนน) จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1 𝑦 =√𝑥8

𝑥2+ 𝜋33𝑥 + 𝑒𝜋/2 +

1

tan 𝑥 (5 คะแนน)

1.2 𝑦 = 𝑥2 cos 𝑥 + arcsin(3𝑥2) (4 คะแนน)

1.3 𝑦 = log3(𝑒2𝑥 + 3) −arctan 𝑥

𝑥2+1 (4 คะแนน)

Math1 By พทรตวเตอร

10

1.4 อนพนธอนดบสง

ถา 𝑦 = 𝑓(𝑥) แลว 𝑌 = dydx

จะไดวา dY

dx =

d

dx(

dy

dx) =

𝑑2y

d𝑥2 คออนพนธอนดบ 2 ของ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

EX1. จงหาอนพนธอนดบสองของ 𝑦 = 4𝑥2 +7

𝑥+

5

𝑥2

EX2. 𝑦 = 1

√𝑥 จงหา

𝑑2y

d𝑥2

EX3. 𝑦 = 1

𝑥 จงหา

𝑑𝑛y

d𝑥𝑛

Math1 By พทรตวเตอร

11

ขอ 1 ก าหนดให 𝑦 =1

5𝑥+1 (ใบงาน LMS)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ………………………………………………………..

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = ………………………………………………………..

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 = ………………………………………………………..

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 = ………………………………………………………..

ขอ 2 ก าหนดให 𝑦 =1

(1−2𝑥)2 ขอสอบ ป 58 เทอม 2 (5 คะแนน)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ………………………………………………………..

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = ………………………………………………………..

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 = ………………………………………………………..

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 = ………………………………………………………..

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 = ………………………………………………………..

ขอ 4 ก าหนดให y = ln(2 − x) ขอสอบ ป 52 (5 คะแนน)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = ………………………………………………………..

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = ………………………………………………………..

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 = ………………………………………………………..

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 = ………………………………………………………..

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 = ………………………………………………………..

Math1 By พทรตวเตอร

12

1.5 การหาอนพนธของสมการองตวแปรเสรม

ให y = f(t) และ 𝑥 = 𝑔(𝑡) จะไดวา

𝑑2y

dx2 =

𝑑

𝑑𝑥(

dy

dx) =

ddt

( dydx

)

dxdt

………………………………………………………………………………………………………..

Ex1. 𝑥 = 𝑡2 + 𝑒𝑡 , 𝑦 = 𝑡 + 𝑒𝑡 จงหา dy

dx และ

𝑑2y

dx2

dy

dt =

dy

dx ∙

dx

dt

dy

dx =

dy

dt

dx

dt

Math1 By พทรตวเตอร

13

Ex2. (6 คะแนน) ก าหนดสมการองตวแปรเสรม ขอสอบป 58 เทอม 2

𝑥(𝑡) = sec2 𝑡 , 𝑦(𝑡) = ln(tan 𝑡)

จงหา

dx

dt = …………………………………………………………………………………

dy

dt = …………………………………………………………………………………

dy

dx = …………………………………………………………………………………

d2y

dx2 = …………………………………………………………………………………

Ex2. (4 คะแนน) ก าหนดสมการองตวแปรเสรม ขอสอบป 58 เทอม 1

𝑥(𝑡) = sin(𝜋𝑒𝑡) , 𝑦(𝑡) = cos( 𝜋𝑒𝑡)

จงหา

dx

dt = …………………………………………………………………………………

dy

dt = …………………………………………………………………………………

dy

dx = …………………………………………………………………………………

d2y

dx2 = …………………………………………………………………………………

Ex2. (4 คะแนน) ก าหนดสมการองตวแปรเสรม ขอสอบป 57 เทอม 1

𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑡 cos 𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝑒𝑡 sin 𝑡

dx

dt = …………………………………………………………………………………

dy

dt = …………………………………………………………………………………

dy

dx = …………………………………………………………………………………

d2y

dx2 = …………………………………………………………………………………

Math1 By พทรตวเตอร

14

4.2 การหาอนพนธของฟงชนกโดยปรยาย ( Implicit Differentiation )

อยในรปของ f(x, y) = C

Ex1 .จงหา dy

dx เมอ 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦3 = 7

ขนท 1 หาอนพนธทงสองขางของสมการ f(x, y) = C เทยบกบ x

ขนท 2 เขยนพจนตาง ๆ ทม dy

dx ไวขางหนงของสมการ และ

เขยนพจน ทเหลอไวอกขางของสมการ

ขนท 3 แกสมการทไดในขนท 2 เพอหา dy

dx

จ ำ

Math1 By พทรตวเตอร

15

Ex2 . จงหา dy

dx เมอ (𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥3 + 𝑦3

Ex3 .จงหา dy

dx เมอ cos(𝑥 + 𝑦) = tan−1(

𝑦

𝑥 )

Math1 By พทรตวเตอร

16

4.3 การหาอนพนธโดยการใชเทคนคการใส ln ( take ln )

Ex1. 𝑥𝑦 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥+𝑦) จงหา dy

dx

Ex2. 𝑦sin 𝑥 = 𝑥cos 𝑦 จงหา dy

dx

โจทยตองอยในรป

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

Math1 By พทรตวเตอร

17

Ex3. 𝑥√𝑦+1 = (𝑦 + 1)√𝑥 จงหา dy

dx