หน�วยท�� 7อน�พ นธ� และการ

ประย�กต�• ล�ม�ต และความต�อเน��อง• อน�พ นธ� • การประย�กต�อน�พ นธ�

ล�ม�ต และความต�อเน��องของฟ งก�ช นพ�จารณาค�าของฟ งก�ช น f

ซ%�งม�เง��อนไข ด งน�( f(x) =1x

1x2

f

-1

-2

1 2 3O X

Y

321

x 0.9

0.99

0.999

0.9999

1.0001

1.001

1.01

1.1

f(x)

1.9

1.99

1.999

1.9999

2.0001

2.001

2.01

2.1

เราสามารถค+านวณหาค�า f(x) ท�� x ม�ค�าใกล-ๆ 1 เพ�ยงใดก/ได- ด งต วอย�างในตาราง

ขอให-ส งเกตว�า 1 ไม�อย0�ในโดเมนของ f และจากส0ตรของ f จะเห/นว�า f = = x + 1 ส+าหร บท�กๆ x ≠ 1

1x

1)1)(x(x

จากการค+านวณจะเห/นว�า ถ-า x ย��งเข-าใกล- 1 ทางซ-ายของ 1 (หร�อ x<1) และ x ย��งเข-าใกล- 1 ทางด-านขวาของ 1 (หร�อ x>1) แล-วค�า f(x) ก/จะเข-าใกล-ค�า 2 เราเร�ยกค�า 2 ว�าเป3นค�าของ “ล�ม�ตของ f(x) เม��อ x เข-าใกล- 1 แสดงด-วยส ญล กษณ�

2xflim1x

หร�

อ2

1x

1x 2

1xlim

“ x เข-าใกล- 1 ทางด-านซ-ายของ 1 ซ%�ง x<1 ” แทนด-วย x → 1-

และ “ค�าของ f(x) เข-าใกล- 2เม��อ x→1-”

แทนด-วย อ�านว�า ล�ม�ตทางซ-ายของ f(x) เท�าก บ 2 เม��อ x เข-าใกล- 1

2xflim1x

ในท+านองเด�ยวก นส+าหร บ“x เข-าใกล- 1 ทางด-านขวาของ 1 ซ%�ง x>1”

แทนด-วย x>1+

และ ค�าของ“ f(x) เข-าใกล- 2เม��อ x → 1+ ”

แทนด-วย

อ�านว�า ล�ม�ตทางขวาของ f(x) เท�าก บ 2 เม��อ x เข-าใกล- 1

2xflim1x

ต�อไปน�(พ�จารณากราฟของฟ งก�ช น gY

จะเห/นว�า และ เรากล�าวว�า ไม�ม�ค�า

1xglim0x

xglim0x

3xglim0x

1X

32

O

g

จะส งเกตเห/นว�า

ถ-า แล-วย�อมได-ว�า

และ Lxflimax

Lxflimax

Lxflim

ax

ถ-า ≠

จะกล�าวว�า ไม�ม�ค�า

xflimax

xflimax

xflimax

และกล บก น

ถ-าท (ง และย�อมได-ว�า

Lxflimax

Lxflimax

Lxflimax

กฎการหาล�ม�ต (c เป3นค�าคงต ว)cclim

ax

55lim-2x

เช�น

; n เป3นจ+านวนบวกnn

axaxlim

773x

3xlim เช�น

เช�น 3

2x2x3

2xxlim4limx4lim

= 4 + x3

xglimxflimxgxflimaxaxax

เช�น 5

1-x1x5

1-xxlim2limx2lim

= 2 – (-1)3

xglimxflimxgxflimaxaxax

= 2 + 1= 3

xglimxflimxgxflimaxaxax

41x1x

41x

xlim3limx3lim

= 3(1)-4

เช�น

= 3 1( )= 3

เม��อ

xglim

xflim

xg

xflim

ax

ax

ax

0)x(glimax

เช�น

24x x3

lim

422

4x

4x 323

xlim

3lim

จงหาล�ม�ต x3xlim 22x

x3limxlimx3xlim2x2x

222-x

= (-2)2 + 3(-2)= 4 – 6= -2

จงหาล�ม�ต เม��อ xflim2x

2x

6xxxf

2

2x

6xxlimxflim

2

2x2x

2x)2x)(3x(

lim2x

)3x(lim

2x

2x)2x)(3x(

lim2x

532

จงหาล�ม�ต

4x6xx

lim2

2

2x

)2x)(2(x2)x)(3(x

lim2x

4x6xx

lim2

2

2x

)2x)(2(x2)x)(3(x

lim2x

)2(x)3(x

lim2x

45

45

)2(-2

)3(-2

พ�จารณากราฟของฟ งก�ช น f ซ%�งก+าหนดโดย

f (x) =

x

1

X

Y

O

x1

)x(f

จากกราฟของฟ งก�ช น f จะเห/นว�า )x(flim

0x

)x(flim0x

)x(flimx 0

x

1lim)x(flimxx

f(x) =

x

1

X

Y

O

x1

lim)x(flim0x0x

x

1lim)x(flim

0x0x

x1

lim)x(flimxx

x1

lim)x(flimxx

x

1lim)x(flim

0x0x

ความต�อเน��องของฟ งก�ช น

a X

Y g(x)

ภาพท�� 2

a X

Yr(x)

ภาพท�� 4

ภาพท�� 1

a X

Yf(x)

ภาพท�� 3

a X

Y h(x)

ในกรณ�ท �วไป จะกล�าวว�า ฟ งก�ช น f ต�อเน��องท�� x = a ก/ต�อเม��อ (1 ) f(a) น�ยามและ (2 ) ม�ค�า xflim

ax

และ (3 ) afxflimax

สมมต�ว�ารถค นหน%�งเคล��อนท��ไปได- S(t) ก�โลเมตรในเวลา t ช �วโมง โดยท�� S(t) = 12t2 + 58 ความเร/วเฉล��ยจาก t = 1 ถ%ง t = 3 เท�าก บ

�ต�างก�นระยะเวลาท�ช��วโมง1��ในรถเคล��อนทระยะทางท��ช� �วโมง3��ในรถเคล��อนทระยะทางท��

อน�พ นธ�

ความเร/วเฉล��ยจาก t = 1 ถ%ง t = 3 เท�าก บ

13)1(S)3(S

2]58)1(12[]58)3(12[ 22

= 48

เม��อ S(t) = 12t2 + 58

24)2(S)4(S

2]58)2(12[]58)4(12[ 22

= 72

ความเร/วเฉล��ยจาก t = 2 ถ%ง t = 4 เท�าก บ

จะเห/นได-ช ดว�าในช�วงเวลาท��แตกต�างก น ความเร/วเฉล��ยของรถก/แตกต�างก นด-วยถ-าเราสนใจความเร/วในขณะใดขณะหน%�งมากกว�าความเร/วเฉล��ยในช�วงเวลาใดเวลาหน%�ง จะเร�ยกความเร/วในช �วขณะเวลาใดเวลาหน%�งว�า ความเร/วช �วขณะ

ในกรณ�ท �วไป ถ-าว ตถ�เคล��อนท��ไปได-ระยะทางว S(t) หน�วย ในเวลา t หน�วยเวลา แล-วความเร/วเฉล��ยจากเวลา t0 จนถ%ง t เท�าก บ

........... (1 )

0

0tt

)t(S)t(S

จะเห/นว�า ถ-า t ม�ค�าเข-าใกล- t0 แล-วความเร/วเฉล��ยใน

1( ) จะม�ค�าเข-าใกล-ความเร/วช �วขณะ ณ เวลา t0 ย��ง t ม�ค�าเข-าใกล- t0 มากเท�าใด ความเร/วเฉล��ยใน (

1) จะม�ค�าเข-าใกล-ความเร/วช �วขณะมากข%(นเท�าน (น

ถ-าให- V(t0) แทนความเร/วช �วขณะ ณ เวลา t0 จะได-ว�า

0

0

0tt0 tt

)t(S)t(Slim)t(V

t)t(S)tt(S

lim)t(V 000t

0

ถ-าให- t = t – t0 จะเห/นว�า t ค�อการเปล��ยนแปลงจาก t0 ไปเป3น t จะได-

ถ-า y = f(x) เป3นฟ งก�ช นใดๆ อ ตราการเปล��ยนแปลงของฟ งก�ช น f โดยเฉล��ยในช�วง x ถ%ง x + x ค�อ

อ ตราการเปล��ยนแปลงช �วขณะของฟ งก�ช น f ค�อ

x

xfxxf

x

xfxxflim

0x

ถ-าล�ม�ต ม�ค�า

จะเร�ยกล�ม�ตน�(ว�า อน�พ นธ�ของ f ท�� x และเข�ยนแทนด-วยส ญล กษณ� f(x) หร�อ y หร�อ

xfdx

d

x

xfxxflim

0x

x

xfxxflim)x(f

0x

กรณ�ท��เราต-องการระบ�ค�าของอน�พ นธ�ของ f ท�� x = a จะเข�ยนแทนด-วย f(a) หร�อ y(a)และเร�ยกส ญล กษณ� f(x) หร�อ y ว�าอน�พ นธ�ของ f เม��อเท�ยบก บ x น �นค�อ

ก+าหนดให- f(x) = x2 จงหา f(x)

x

xfxxflim)x(f

0x

เน��องจาก

x

xxxx2xlim

222

0x

x

xxxlim

22

0x

จะได-ว�า

xx2lim0x

= 2x

x

xx2xlim

0x

เราอาจพ�จารณาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นในเช�งเรขาคณ�ตได-ด งต�อไปน�(ถ-า P(x0, f(x0)) และ Q(x, f(x)) เป3นจ�ดบนกราฟ y = f(x) แล-วอ ตราส�วน

0

0

xx

xfxf

จะแทนความช นของส�วนของเส-นตรง PQ (ด0ภาพ)

X

Y

O

y = f(x)

f(x0

) x0

x

L

P(x0,

f(x0))

Q(x, f(x))

จะเห/นว�าเม��อเราเล��อน x ให-เข-าใกล- x0 จ�ด Q ก/จะเล��อนตามแนวเส-นโค-ง y = f(x) เข-าใกล-จ�ด P มากข%(น ส�วนของเส-นตรง PQ ก/จะเคล��อนเข-าหาเส-นตรง L ซ%�งเป3นเส-นส มผ สกราฟ y = f(x) ท��จ�ด P

ด งน (น ความช นของเส-นส มผ ส L ท��จ�ด P จะเท�าก บความช นของส�วนของเส-นตรง PQ เม��อ x เข-าใกล- x0

น �นค�อ ความช นของเส-นส มผ สกราฟ y = f(x) ท��จ�ด P ค�อ

0

0

xx xx

xfxflim

0

ถ-าให- x = x - x0 แล-วค�าล�ม�ตค�อ

ซ%�งม�ค�าเท�าก บ f(x0)

x

xfxxflim 00

0x

ด งน (น ความช นของเส-นตรงท��ส มผ สกราฟของฟ งก�ช น f ท��จ�ด x0 จะเท�าก บ f(x0)

L

x0

f(x0

)

ความช นของเส-นตรงท��ส มผ สกราฟของฟ งก�ช น f ท��จ�ด x0 จะเท�าก บ f(x0)f

f(x0) X

Y

O

f(x0)

จงหาความช นของเส-นส มผ สกราฟ f(x) = x2 ท�� x = -1

x1fx1f

lim)1(f0x

เน��องจาก

x1)1x2)x((

lim2

0x

x

)1(1xlim

22

0x

จะได-ว�า

2xlim0x

= 2

x

2xxlim

0x

)1(f f(x) = x2 ท�� x = -1

ให- f(x) = x จงแสดงว�า f ไม�ม�อน�พ นธ�ท�� x = 0พ�จารณา f(0)

x0fx0f

lim0x

x0x

lim0x

x0fxf

lim0x

xx

lim0x

0x,x0x,x

x

1xx

limและ1xx

lim0x0x

แต�

ไม�ม�ค�า

อน�พ นธ�ท�� x

= 0

X

Y

OL2

f(x)= a

L1

กราฟของฟ งก�ช น f(x) = a

จะเห/นว�าท�� x = 0 เราอาจลากเส-นส มผ สกราฟ f(x) ได-มากกว�า 1 เส-น ค�อ L

1แล

ะ L2 รวมท (งแกน X และแกน Y ความช น

ของเส-นตรง L1 และ L2 ไม�เท�าก น และ f(0) หาค�าไม�ได-

X

Y

O a X

Y

O a

X

Y

O a X

Y

O a

ฟ งก�ช นของกราฟแต�ละร0ปไม�ม�อน�พ นธ�ท�� x = a

ถ-า f เป3นฟ งก�ช นท��หาอน�พ นธ�ได-ท�� x = a แล-ว f ต�อเน��องท�� x = aแต�บทกล บของข-อความด งกล�าวไม�จร�ง กล�าวค�อ ถ-า f เป3นฟ งก�ช นต�อเน��องท�� x = a แล-วไม�จ+าเป3นว�า f จะต-องม�อน�พ นธ�ท�� x = a เสมอไป

การกล�าวถ%งส ญล กษณ�ท��ใช-แทนอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นอ�กแบบหน%�ง ซ%�งส ญล กษณ�น�(เก��ยวข-องก บเร��องด�ฟเฟอเรนเช�ยล จะให-ความหมายด งน�(ถ-า y = f(x) เป3นฟ งก�ช นท��หาอน�พ นธ�ได- เราจะน�ยาม ด�ฟเฟอเรนเช�ยลของ x ให-ม�ค�าเท�าก บ x เข�ยนแทนด-วย dx

น �นค�อ dx = xและน�ยาม ด�ฟเฟอเรนเช�ยลของ y ให-ม�ค�าเท�าก บ f(x)dx เข�ยนแทนด-วย dyน �นค�อ dy = f(x)dxเห/นได-ว�า dy และ dx ต�างก/เป3นปร�มาณอ นหน%�ง ในกรณ�ท�� dx ≠ 0 จากสมการ จะได-ว�า

)x(fdxdy

น �นค�อ ผลหารของด�ฟเฟอเรนเช�ยลของ y ก บด�ฟเฟอเรนเช�ยลของ x เท�าก บ อน�พ นธ�ของฟ งก�ช น จ%งใช-ส ญล กษณ� หร�อ แทนอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นอ�กด-วย

dx

dy

dx

df

ส ญล กษณ� f(x), y, ,หร�อ เป3นส ญล กษณ�ท��ใช-แทนอน�พ นธ�ของฟ งก�ช น

xfdx

d

dx

df

dx

dy

และ f(a), y(a), , แทนค�าของอน�พ นธ�ของ f ท�� x = a

axdx

dyax

dx

df

(c เป3นค�าคงต ว)0dxdc

ส0ตรเบ�(องต-นส+าหร บการหาอน�พ นธ�

0dxd5

จงหาอน�พ นธ�ของ f(x) = 5

เม��อ n เป3นจ+านวนเต/มใดๆ

1nn nxxdx

d

จงหาอน�พ นธ�ของ f(x) = x7 7x

dxd

=

7x6

=

7x7-

1

xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

จงหาอน�พ นธ�ของ f(x)

= x15 + 6 6xdxd 15

dx6d

)x(dxd 15

0x151414x15

xfdx

dcxcf

dx

d

x4dxd

จงหาอน�พ นธ�ของ f(x)

= 4x dxdx

414

4

1 ก+าหนดให- f(x) = x4

จงหา f(x) หร�อ dx

df

f(x) =

= 4x3

4xdxd

2. ก+าหนดให- y = 3x5 7+

จงหา

dx

dy

dx

dy )7x3(dxd 5

7dxd

)x3(dxd 5

0x154

1nn nxxdx

d

0cdx

d

1nn nxxdxd

4x15

3 . ก+าหนดให- f(x) = 3 + x2

– 7x4 จงหา f(x) f(x)

)x7x3(dxd 42

42 x7dxd

xdxd

dxd3

4xdxd

7x20

1nn nxxdx

d

0cdx

d

3x28x2

xfdx

dcxcf

dx

d

dx

dy

4 . ก+าหนดให- y =

จงหา

x

dx

dy xdxd

21

)x(dxd

21

xx

121

)x(21

1nn nxxdx

d

21

)x(21

x21

21

x2

1

nn

x1

x

5 . ก+าหนดให- y =

จงหา

dx

dy2x

4

dx

dy

2x4

dxd

)x4(dxd 2

nn

x1

x

2xdxd

4

12x)2(4

3x1

8

1nn nxxdx

d

3x)2(4

3x8

6 . ก+าหนดให- f(x) = 3x2–

2x4 จงหา f(x) และ f(2) f(x)

)x2x3(dxd 42

42 xdxd

2xdxd

3

= 6x – 8x3

f(2) = 6(2 ) –8 (2)3

= 12 – 64 = -52

อน�พ นธ�อ นด บส0งถ-า y = f(x) เป3นฟ งก�ช นท��หาอน�พ นธ�ได- กล�าวค�อ f(x) หาค�าได- และถ-า f(x) ก/เป3นฟ งก�ช นท��หาอน�พ นธ�ได- เร�ยกอน�พ นธ� f(x) ว�า อน�พ นธ�อ นด บท��สองของ f(x) และเข�ยนแทนด-วย f(x) หร�อ y หร�อ f(2)(x) หร�อ

2

2

dx

yd

อน�พ นธ�อ นด บสามของ f(x) เข�ยนแทนด-วย f(3)

(x) หมายถ%งอน�พ นธ�ของ f(x) ในท+านองเด�ยวก น อน�พ นธ�ล+าด บท�� n ของ f(x) เข�ยนแทนด-วย f(n)(x) หร�อ หมายถ%งอน�พ นธ�ของ f(n-1)(x)

n

n

dx

yd

จงหาอน�พ นธ�อ นด บท��สองของฟ งก�ช นf(x) = 3x – 2x3 + 5x4

43 x5dxd

x2dxd

x3dxd

32 x20x63

32 x20dxd

x6dxd

3dxd

f(x)

)x20x63(dxd 32

f(x)

)x5x2x3(dxd 43

2x60x120 2x60x12

จากส0ตรการหาอน�พ นธ� เราสามารถหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นต�อไปน�(ได-หร�อไม� f(x) = 5(x2–x3)7

f(x) = f(x) =

4)2x(x3

1x2

กฎล0กโซ�

f(x) = g(u)h(x) = g(h(x)h(x)

จากกฎล0กโซ�จะได-

เม��อ n เป3นจ+านวนจร�งใดๆ

dxdu

nuudxd 1nn

จงหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นของ f(x) = 5(x2 – 4x3)7

จาก f(x) = 5(x2 – 4x3)7 จะได-ว�า

= 35(x2 – 4x3)62( x –12x2)

f(x)

732 )x4x(5dxd

dxdu

nuudxd 1nn

)x4x(dxd

)x4x(75 321732

u=(x2

- 3x3)

การหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นท��อย0� ในร0ปผล

ค0ณและผลหาร

2)x(g

)x(gdxd

)x(f)x(fdxd

)x(g

)x(g)x(f

dxd

)x(fdxd

)x(g)x(gdxd

)x(f)x(g)x(fdxd

25243 x3)1x2()1x2(dxd

)1x2(5x

จงหาอน�พ นธ�ของ f(x) =

x3·(2x – 1)5f(

x

)

เม��อ f(x) = x3,

g(x) =(2x–

1)5

53 )1x2(xdxd

dx)x(df

)x(gdx

)x(dg)x(f)x(g)x(f

dxd

35253 xdxd

)1x2()1x2(dxd

x

52243 )1x2(x3)2()1x2(x5 52243 )1x2(x3)1x2(x10

))1x2(3x10()1x2(x 242 )3x6x10()1x2(x 242

อน�พ นธ�ของฟ งก�ช นลอการ�ท%มและอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นเอกซ�

โปเนนเช�ยลdxdu

u1

ulndxd

)4x3ln(dxd

dxdy 2

จงหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นของ y = ln(3x2+4)

dx)4x3(d

4x31 2

2

)x6(4x3

12

u = 3x2+4

dxdu

alnu1

ulogdxd

a

จงหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นของ y = log5(x2 - 6x) )x6x(log

dxd

dxdy 25

dx)x6x(d

5ln)x6x(1 2

2

)6x2(5ln)x6x(

12

5ln)x6x()3x(2

2

u = x2 - 6x

a = 5

dxdu

u1

ulndxd

1xlndxd 2

จงหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นของ y = lnx2 + 1

dx)1x(d

1x1 2

2

)x2(1x

12

1xx2

2

u = x2+1

1nn nx)x(dxd

dxdu

alnaadxd uu

จงหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นของ y = 5(2x + 3)

เม��อ u = 2x + 3 และ a = 5

)3x2(5dxd )3x2(

dxd

5ln5 )3x2(

)3x2(5)5ln2(

dx3d

dxx2d

5ln5 )3x2(

)02(5ln5 )3x2(

0

dxdx

25ln5 )3x2(

)2)(5(ln5 )3x2(

dxdu

alnaadxd uu

dxdu

eedxd uu

จงหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นของ y = e-3x

x3edxd

dx)x3(d

e x3

)3(e x3

u = -3x

จงหาอน�พ นธ�ของ 2xexf

f(x)

2xedxd

22x xdxd

e

)x2(e2x

เม��อ u = x2dxdu

eedxd uu

2xxe2

xx eedxd

x2exdxd

จงหาอน�พ นธ�ของฟ งก�ช นของ y = x2ex

2xx2 xdxd

eedxd

x

)x2(eex xx2 xx2 xe2ex

)2x(xex

)x(fdxd

)x(g)x(gdxd

)x(f)x(g)x(fdxd

ในทางเรขาคณ�ต อน�พ นธ� f(x) หมายถ%ง ความช นของเส-นส มผ สของกราฟของ y = f(x) ท��จ�ด (x, f(x)) ใดๆ

การประย�กต�ของของอน�พ นธ�

f

x

y

Of(b)

f(a)

a bx0

x1

x2

x3

พ�จารณากราฟของฟ งก�ช น f

พ�จารณาค�าของฟ งก�ช น f(x) ถ-า x เป3นจ+านวนจร�งใดๆ ใน (x0, x1) และ ใน (x2, x3)

ค�าส0งส�ดส มพ ทธ� จ�ดส0งส�ด

ส มพ ทธ�(a, f(a))

(a, f(b))

จ�ดต+�าส�ดส มพ ทธ�ค�าส0งส�ด

ส มพ ทธ�

ฟ งก�ช น f ม�ค�าส0งส�ดส มพ ทธ�ท�� x = a เม��อ f(a) f(x) ส+าหร บท�กๆ x ท��อย0�ในช�วงเป:ด ช�วงใดช�วงหน%�ง โดยท�� a เป3นจ�ดท��อย0�ใน

(b, f(b))

(a, f(a)) (c,

f(c))

x

y

O a cb

เร�ยกค�าส0งส�ดส มพ ทธ� หร�อ ค�าปลายส�ดส มพ ทธ� ของฟ งก�ช นว�า ค�าปลายส�ดส มพ ทธ�

(b, f(b))

(a, f(a)) (c,

f(c))

x

y

O a cb

ฟ งก�ช น f ม�ค�าต+�าส�ดส มพ ทธ�ท�� x = a เม��อ f(a) f(x) ส+าหร บท�กๆ x ท��อย0�ในช�วงเป:ด ช�วงใดช�วงหน%�ง โดยท�� a เป3นจ�ดท��อย0�ใน

(b, f(b))

(a, f(a)) (c,

f(c))

X

Y

O a cb

(b, f(b))

(a, f(a)) (c,

f(c))

X

Y

O a cb

(r, f(r))

X

Y

O r

(d, f(d)) X

Y

O d (s, f(s))

X

Y

O

ค�าส0งส�ดส มพ ทธ�เก�ดข%(นท�� a, c, r

ค�าต+�าส�ดส มพ ทธ�เก�ดข%(นท�� b, d, s

ถ-าลากเส-นส มผ สกราฟท��จ�ด (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) และ (d, f(d)) เส-นส มผ สกราฟจะขนานก บแกน x น �นค�อ ความช นของเส-นส มผ สกราฟท��จ�ดเหล�าน�(เท�าก บ 0

(b, f(b))

(a, f(a)) (c,

f(c))

X

Y

O a cb(d, f(d)) X

Y

O d

น �นค�อ f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 0

(r, f(r))

X

Y

O r(s, f(s))

X

Y

O

แต� f(r) และ f(s) หาค�าไม�ได-

จะส งเกตเห/นว�าพ�ก ด (x, f(x)) ซ%�ง f(x) เป3นค�าปลายส�ดส มพ ทธ� น (น f(x) = 0 หร�อ f(x) หาค�าไม�ได-

x ท��อย0�ในโดเมนของฟ งก�ช น f ซ%�ง f(x) = 0 หร�อ f(x) หาค�าไม�ได- จะเร�ยกว�า จ�ดว�กฤตของฟ งก�ช น

จะส งเกตเห/นว�าค�าปลายส�ดส มพ ทธ�ของจะเก�ดข%(นท��จ�ดว�กฤต แต�จ�ดท��เป3นจ�ดว�กฤตอาจไม�ใช�จ�ดท��ท+าให-เก�ดค�าปลายส�ดส มพ ทธ�เสมอไป

จ�ดท��เป3นจ�ดว�กฤตอาจไม�ใช�จ�ดท��ท+าให-เก�ดค�าปลายส�ดส มพ ทธ�เสมอไป เช�นf(a) = 0 และ f(b) หาค�าไม�ได- แต� f ไม�ม�ค�าปลายส�ดส มพ ทธ�ท��จ�ด a และจ�ด b

f(a) X

Y

O

(a, f(a))

a

f

X

Y

O

f(b)

(b, f(b))b

f

การทดสอบค�าปลายส�ดส มพ ทธ�

โดยใช-อน�พ นธ�อ นด บท��หน%�งให- a ป3นจ�ดว�กฤตของฟ งก�ช น f และ f เป3นฟ งก�ช นท��หาอน�พ นธ�ได-รอบๆ จ�ด a (แต� f(a) อาจหาค�าไม�ได- )ส+าหร บ x ใดๆ รอบๆ จ�ด a ส+าหร บฟ งก�ช น f ซ%�งม�อน�พ นธ�ท�� x จะได-ว�า

1. ถ-า f(x) 0ส+าหร บ x a และ f(x) 0 ส+าหร บ x a แล-ว f(a) จะเป3นค�าส0งส�ดส มพ ทธ�

2. ถ-า f(x) 0ส+าหร บ x a และ f(x) 0 ส+าหร บ x a แล-ว f(a) จะเป3นค�าต+�าส�ดส มพ ทธ�

(c, f(c))

X

Y

O a cb

f(x) 0 f(x)

0

(a, f(a))

(b, f(b))

f(x) = 0

พ�จารณาความช นของเส-นส มผ สกราฟ

f(x) 0

f(x) 0f(x) = 0

3. ถ-า f(x) 0ส+าหร บ x a และ x a หร�อ f(x) 0 ส+าหร บ x a และ x a แล-วในกรณ�น�( f(a) ไม�เป3นท (งค�าส0งส�ดส มพ ทธ�หร�อค�าต+�าส�ดส มพ ทธ�

X

Y

O

f(a)

(a, f(a))a

f

f(a) X

Y

O

(a, f(a))

a

ff(x) 0

f(x) 0

f(x) 0

จงหาค�าปลายส�ดส มพ ทธ�ของฟ งก�ช นf(x) = x2 – 6x 55หาจ�ดว�กฤตของฟ งก�ช นก�อน (หา x จาก f(x) = 0) แล-วแทนค�า x ใน f(x)

เน��องจาก f(x) = x2 – 6x +5

f(x) = 2x – 6 =

2(x – 3) ถ-า f(x) = 0 2(x – 3)

= 0 x =

3

จ�ดว�กฤต

พ�จารณาค�าของ f(x) เม��อ x

3 และ x 3

เน��องจาก f(x) = x2 - 6x +

5, f(x) = 2x – 6ถ-า x 3 แล-ว x – 3

0

ด งน (น f(x) = 2 x –

3) 0

ถ-า x 3 แล-ว x – 3

0

ด งน (น f(x) = 2(x –

3) 0

จะได-ว�า f(3) เป3นค�าต+�าส�ดส มพ ทธ� และจ�ดต+�าส�ดส มพ ทธ�ค�อ (3, f(3)) หร�อ -3( ,

4)

f(3) = 32 –

6(3) + 5

= 9 –

18 +5

= -4

การทดสอบค�าปลายส�ดส มพ นธ�

โดยใช-อน�พ นธ�อ นด บท��สองให- f เป3นฟ งก�ช นซ%�ง f(x) หาค�าได-ส+าหร บท�กๆ x รอบจ�ด a และ f(x) 0 1 ถ-า f(a) 0 แล-ว f(a)

เป3นค�าส0งส�ดส มพ ทธ� 2. ถ-า f(a) 0 แล-ว f(a)

เป3นค�าต+�าส�ดส มพ ทธ� 3. ถ-า f(a) 0 แล-ว เราไม�สามารถสร�ปผลได-

จงหาจ�ดปลายส�ดส มพ ทธ�ของฟ งก�ช นf(x) = 2x3 + 3x2 –36xจะได-ว�า f(x) = 6x2 + 6x –3 6 = 6(x2 + x – 6) = 6(x + 3)(x

– 2 )เห/นได-ว�า f(x) = 0 ก/ต�อเม��อ x = -3 หร�อ x = 2 ด งน (นจ�ดว�กฤตของฟ งก�ช น f ค�อ -3 และ 2

f(x) = 2x3 + 3x2 – 36x,

f(x) = 6x2 + 6x – 36 จ�ดว�กฤตของฟ งก�ช น f ค�อ -3

และ 2

f(x) = 12x + 6พ�จารณา f(x) เม��อ x = - 3 หร�อ x = 2f(-3) = 12(-3) + 6

= -36 + 6 = -30 0f(2) = 12(2) + 6 =

24 + 6 = 30 0

แสดงว�า f ม�ค�าส0งส�ดส มพ ทธ�ท�� x = -3 แสดงว�า f ม�ค�าต+�าส�ดส มพ ทธ�ท�� x = 2

f(x) = 2x3 + 3x2 – 36xค�าส0งส�ดส มพ ทธ�ค�อ f(-3)

เม��อ f(-3) = 2(-3)3 +

3(-3)2 –3 6 (-3)

= 2(-27) +

3(9) + 108

= -54 +27 +

108 = 81

จ�ดส0งส�ดส มพ ทธ�ค�อ - ( 3 ,

81)

f(x) = 2x3 + 3x2 – 36xค�าต+�าส�ดส มพ ทธ�ค�อ f(2)

เม��อ f(2) = 2(2)3 +

3(2)2 –3 6 (2)

= 16 + 12 – 72

= -44

จ�ดต+�าส�ดส มพ ทธ�ค�อ (2 ,

-44)