เมทรกซ(Matrix)

Computer Science, Burapha University 1

1. นยามของเมทรกซ

นยามท 1 เมทรกซคอ กลมของจ านวนจรง หรอ จ านวนเชงซอน มาจดเรยงเปนรปสเหลยมผนผาเปน แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตง (Vertical) ซงมแถวตามแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และตาม แนวตงเรยกวา หลก (Column)

2

โดยทวไปนยมใชในรปตอไปนแทน

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

ใชสญลกษณ เปน หรอ ij m nA a

nmA

3

เมทรกซทม 1 แถวและ n หลก เรยก เมทรกซ แถว เชน เมทรกซทม m แถวและ 1 สดมภ เรยก เมทรกซ หลก เชน

835

8

3

5

4

เมทรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมทรกซทม จ านวนแถวเทากบจ านวนหลก (m=n) หรอเรยกวา เมทรกซอนดบ n มรปทวไปคอ

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

สมาชกทอยในต าแหนง i=j เรยก เสนทแยงมมหลก 5

เมทรกซศนย (Zero Matrix หรอ Null Matrix) คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด เชน

O = หรอ 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

6

เมทรกซทแยงมม(Diagonal Matrix) คอเมทรกซ จตรสทมสมาชกทกตวทไมไดอยบนเสนทแยงมมหลก มคาเปนศนยทงหมด เชน

2 0 0 0 3 0 0 0 4

4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1

หรอ

7

เมทรกซเชงสเกลาร(Scalar Matrix) คอเมทรกซ ทแยงมมทมสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากน ทงหมด เชน

4 0 0 0 4 0 0 0 4

5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5

หรอ

8

เมทรกซเอกลกษณ (Identity Matrix หรอ Unit Matrix) คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกทกตวบน เสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 1 ทงหมด ใชสญลกษณ I หรอ In แทนเมทรกซเอกลกษณอนดบ n เชน

I3 = หรอ I4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

9

Ex. A =

3 2 0 1 7 1 6 4

เปนเมทรกซขนาด _________ แถว _________ หลก เขยนดวยสญลกษณ _____________

2

4

42A

10

Ex. จงบอกประเภทและอนดบของเมทรกซลกษณะ พเศษตอไปน

1. O = 0 0 0 0 0 0

2. A = 1 8

เมทรกซศนย อนดบ 32

เมทรกซหลกอนดบ 12

11

Ex. จงบอกประเภทและอนดบของเมทรกซลกษณะ พเศษตอไปน

3. B = 2 4 6 8 0

4. C = 2 0 0 0 3 0 0 0 4

เมทรกซแถว อนดบ 51

เมทรกซทแยงมม อนดบ 3

12

การเทากนของเมทรกซ (Equal Matrix)

ถา และ

จะได A = B กตอเมอ m = p และ n = q

และ aij = bij ทกคาของ i และ j

ij m nA a

ij p q

B b

พชคณตของเมทรกซ

13

Ex.

235.01

25.00,

65.1

5.00BA

ดงนน BA

Ex.

54

92,

54

32BA

ดงนน BA

14

การบวกลบเมทรกซ (Matrix Addition or Subtraction)

ให และ

แลว A + B = C

โดยท

ij ij ijm n m n

C c a b

nmijbB ][nmijaA ][

ซงมคณสมบตการบวกดงน 1. A+B = B+A (Commutative law) 2. A+(B+C) = (A+B)+C (Associative law) 3. A+(-A) = (-A)+A = 0 (Inverse law) 4. A+0 = A (Identity law)

15

Ex. A = -1 2 4 3 -6 10

และ B = 4 2 -3 1 7 9

จงหา C = A + B และ D = A B

วธท า

9107613

342241C

1914

143

9107613

)3(42241D

1132

705

16

การคณเมทรกซ การคณเมทรกซดวยสเกลาร (Scalar Multiplication)

ให และ k เปนสเกลาร ดงนน นนคอ เปนการน า k คณกบสมาชกทกตวในเมตรกซ เชน a b

c d ka kb kc kd k =

ijm n

A a

ijm n

kA ka

ซงมคณสมบตการคณสเกลารดงน 1. k(A + B) = kA + kB 2. (k + k’)A = kA + k’A 3. (kk’)A = k(k’A) 4. 1A = A 17

Ex. A = 1 -5 3 4 1 0

จงค านวณหา 4A , -3A

วธท า

)0(4)1(4)4(4

)3(4)5(4)1(44A

0416

12204

)0(3)1(3)4(3

)3(3)5(3)1(33A

0312

9153

18

ให และ

แลว C = AB จะมขนาดเทากบ mp

โดยท

การคณเมทรกซดวยเมทรกซ (Matrix Multiplication)

pnijbB ][nmijaA ][

n

k

kiikij bac1

ซงมคณสมบตการคณเมทรกซมดงน 1. (AB)C = A(BC) (Associative law) 2. A(B+C) = AB+AC (Left Distributive law) 3. (B+C) A = BA+CA (Right Distributive law) 4. k(AB) = (kA)B = A(kB)

19

Ex. จงหาผลคณของเมทรกซ AB เมอ

วธท า

37

14

02

,

325

110

321

BA

)3)(3()1)(2()0)(5()7)(3()4)(2()2)(5(

)3)(1()1)(1()0)(0()7)(1()4)(1()2)(0(

)3)(3()1)(2()0)(1()7)(3()4)(2()2)(1(

AB

73

23

1131

20

ชนดของเมทรกซ

ถา แลว เมทรกซสลบเปลยนของ A

คอ

ijm n

A a

เมทรกซสลบเปลยน (Transposed Matrix)

mnji

T aA ][

ซงเมทรกซสลบเปลยนมคณสมบตดงน 1. (A+B)T = AT + BT 2. (AT)T = A 3. (kA)T = kAT

4. (AB)T = BTAT

21

A = เชน a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43 43

A T =

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43 3 4

22

Ex. จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน

A =

B =

C =

4 4 -1 2 3 -4 -7 2 3

1 2 3 0 -4 7

2 8 2

AT = 1 3 4

2 0 7

BT = 4 2 7

4 3 2

1 4 3

CT = 2 8 2

23

เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix) เมทรกซสามเหลยมบน (Upper Triangular Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยใตเสนทแยงมมหลก เปนศนยหมด

เมทรกซสามเหลยมลาง (Lower Triangular Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยเหนอเสนทแยงมมหลก เปนศนยหมด

24

เมทรกซสมมาตร (Symmetric Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมคณสมบต A = AT

เมทรกซเสมอนสมมาตร (Skew Symmetric Matrix) คอ เมทรกซจตรสใดๆ ทมคณสมบต A = AT

100

310

572

630

012

004

เชน

เปนเมทรกซสามเหลยมบน

เปนเมทรกซสามเหลยมลาง

25

เมทรกซเอกฐาน (Singular Multiplication)

คอ เมทรกซจตรสทไมสามารถหาเมทรกซอนมาคณ ใหเปนเมทรกซเอกลกษณได

26

เมทรกซไมเอกฐาน (Non-Singular Multiplication)

คอ เมทรกซจตรสทสามารถหาเมทรกซอนมาคณแลวได เมทรกซเอกลกษณ ซงจะเรยกวา Invertible Matrix

เมทรกซจตรส A ขนาด nn จะเปน Invertible Matrix ถามเมทรกซ B ขนาด nn ทมคณสมบตวา AB = BA = In ซงในกรณนจะเรยกเมทรกซ B วาเปน inverse ของ A แทนดวยสญลกษณ A-1

27

คณสมบตของ Invertible matrix มดงน

1. (A-1)-1 = A 2. (kA)-1 = k-1A-1 ส าหรบจ านวนสเกลาร k ทไมเทากบศนย 3. (AT)-1 = (A-1)T

4. (AB)-1 = B-1A-1

ดเทอรมแนนท(Determinant)ของเมทรกซ

ดเทอรมแนนทของเมทรกซ คอ คาสเกลารทไดจากเมทรกซจตรสแทนดวยสญลกษณ det(A) หรอ ซงวธค านวณหาดเทอรมแนนทมหลายวธดงน

การหาโดยตรง (ในกรณของเมทรกซขนาดเลก) เชน

A

cbadAdc

baA

)det(,

เมทรกซขนาด 11 , det(A) = | a11 | = a11 เมทรกซขนาด 22 (หาดเทอรมแนนทไดในกรณของเมทรกซจตรสเทานน)

28

+

การหาดเทอรมแนนทของเมทรกซขนาด 3 3

123123123

321321321)det(

bacacbcba

bacacbcbaA

33

22

11

333

222

111

ba

ba

ba

cba

cba

cba

A

+ + +

- - -

เมทรกซทมขนาดมากกวานจะท าวธนไมได ตองใชวธกระจาย cofactor เทานน

29

การหา Determinant โดยใชวธการกระจาย Cofactor

ไมเนอร (Minor) ของเมทรกซจตรส A เมอขนาด n 2 คอ

ดเทอรมแนนทของเมทรกซยอยของเมทรกซ A ซงตดแถวท i และ

คอลมนท j ออก โดยใชสญลกษณ Mij แทน ไมเนอรของ aij เชน

30

2 1 0

9 4 6

5 3 8

A

หาคา M12 ตองตดแถวท 1 และ Column ท 2 ออก จะได

2 1 0

9 4 6

5 3 8

9 6

5 8M12 = = 9(8) – 5(6) = 42

โคแฟคเตอร(Cofactor) ของเมทรกซจตรส A เมอขนาด n 2 นยามจากคาไมเนอร ดงน

Cij = (-1)i+j Mij

ดงนน คาของ C12 และ C23 หาไดดงน

31

C12 = (-1)1+2 M12 = -1(42) = -42

C23 = (-1)2+3 M23 = -1(1) = -1

2 1 0

9 4 6

5 3 8

2 1

5 3M23 = = 2(3) – 5(1) = 1

การกระจาย Cofactor สามารถเลอกวาจะใชแถวหรอ หลก ใดกได แตการค านวณจะงายขนถาเลอกแถวหรอ หลก ทมสมาชกเปน 0 อยมาก

จากคาไมเนอรและโคแฟคเตอร จะหาคา det(A) ไดจาก

จากตวอยางจะไดวา

det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

= 2C11+1C12+0C13

= 2(14) +1(-42) + 0 = 28-42 = -14

32

n

k

n

k

kjkjikik CaCaA1 1

)det(

คณสมบตของดเทอรมแนนท

33

Inverse Matrix

เมทรกซ B จะเปน Inverse ของเมทรกซ A ถา AB = BA = I

34

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2

1A A I 8 10

3 4A

ให A-1 =

dc

ba

คณเมทรกซเขาดวยกน จะได

10

01

43

108

dc

ba

10

01

4343

108108

dbca

dbca

043

1108

ca

ca

143

0108

db

db

จงแกสมการหาคา A-1?

45.1

521A

AA-1 = I

การหาอนเวอรสเมทรกซโดยอาศยเมทรกซผกพน(Adjoint matrix)

36

1.เมทรกซผกพนของเมทรกซใด ๆ จะมเพยงเมทรกซเดยวเทานน 2.ให A และ B เปน Nonsingular matrix แลว

12.1. det det

2.2.

nadjA A

adj AB adjB adjA

คณสมบตของ Adjoint matrix

หรอสามารถหา inverse matrix ไดโดย

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2

1 1

a bA

c d

d bA

c aad bc

ad-bc แทน det(A) ซงหากมคาเทากบศนยเมทรกซ A จะหา inverse ไมได

วธท า: •จากเมทรกซ A ทก าหนด

•สลบคา a และ d

•เปลยนเครองหมายของ b และ c

•คณเมทรกซทไดเขากบ 1/ det(A)

d -b a -c

1

det( )A

24

410

)4)(4()10)(2(

1

24

410

4

1=

2

11

12

5

Example: จงหา inverse ของ A

104

42A

1A

1A

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2

การหา Inverses matrix ขนาด 2x2

การหาอนเวรสเมทรกซโดยอาศยการแปลงตามแนวแถว

40