Bijeenkomst  5    

             

§7.4  Bewijzen  met  volledige  induc6e    

Volledige  induc3e  is  een  manier  van  redenen  welke  je  gebruikt  om  beweringen  voor  alle  natuurlijke  (of  gehele)  getallen  te  bewijzen.        Principe  van  volledige  induc3e.  1.  Onderzoek  of  de  bewering  geldt  voor  een  zekere  startwaarde  2.  Toon  aan  dat  als  de  bewering  waar  is  voor  een  willekeurig  natuurlijk  getal  k,  

de  bewering  ook  waar  is  voor  zijn  opvolger  (k  +  1)  

           De  bewering  geldt  voor  alle  natuurlijke  getallen.            (bewezen  met  een  bewijs  uit  het  ongerijmde)  

                                           

⇓

7.4.1c      

Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt:            is  deelbaar  door  90  

     Bewijs  met  volledige  induc3e.      1.  Kies  n  (=  startwaarde)  =  1  en  laat  zien  dat  de  bewering  waar  is.  2.  Kies  n  =  k    willekeurig  (neem  aan  dat  de  bewering  waar  is  voor  deze  zekere  

k)  en  toon  de  juistheid  van  de  bewering  aan  voor  n  =  k +  1                

                                                                 

5 ⋅ 3n+1 + 45

7.4.1d      

Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt  dat      1.  Kies  n  =  1  en  ga  na  dat  voor  deze  startwaarde  de  bewering  waar  is.    2.  Kies  n  =  k    willekeurig.    Veronderstel  dat  de  bewering  waar  is  voor  deze  

zekere  k  (  =    induc3ehypothese).      Dus  neem  aan:  

   Toon    vervolgens  de  juistheid  van  de  bewering  aan  voor  n  =  k +  1                                

 Uit  1.  en  2.  volgt,  vlgs  principe  van  volledige  induc3e,  dat  de  bewering  waar  is  

voor  alle  natuurlijke  getallen.                                                          

1+ 3+ 32 + 33 + ......+ 3n = 12 (3

n+1 −1)

1+ 3+ 32 + 33 + ......+ 3k = 12 (3

k+1 −1)

7.4.2      

Bedenk  zelf  een  gesloten  formule  voor      en  toon  aan  dat  die  formule  juist  is  voor  alle  natuurlijke  getallen.                Wanneer  je  naar  de  elementen  kijkt,  krijg  je  het  vermoeden  dat  geldt:                

11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ ............+ 1n(n +1)

S(1) = 11 ⋅2

= 12

S(2) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

= 23

S(3) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

= 34

S(n) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1n(n +1)

=n

(n +1)

7.4.2      

Dus  aan  te  tonen  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt  dat      1.  Bewering  bekijken  voor  het  eerste  natuurlijke  getal.  Kies  n  =  1  

               is  juist.    2.  Kies  een  willekeurig  natuurlijk  getal n =  k  en  toon  aan  

 S(k)  =  waar,  dus        Nu  S(k  +  1)  onderzoeken.  Gebruik  de  induc3ehypothese!  

       Uit  1.  en  2.  volgt  dat  de  bewering  geldt  voor  alle  natuurlijke  getallen.                  

S(k) ⇒ S(k +1)

S(n) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1n(n +1)

=n

(n +1)

S(1) = 11 ⋅2

= 12 =

1(1+1)

S(k) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1k(k +1)

=k

(k +1)

S(k +1) = 11 ⋅2

+12 ⋅ 3

+13 ⋅ 4

+ .......+ 1k(k +1)

+1

(k +1)(k + 2)= S(k) + 1

(k +1)(k + 2)k

(k +1)+

1(k +1)(k + 2)

=k(k + 2) +1(k +1)(k + 2)

=k2 + 2k +1(k +1)(k + 2)

=(k +1)2

(k +1)(k + 2)=(k +1)(k + 2)

7.4.4      

Toon  aan  dat  voor  ieder  natuurlijk  getal  n  geldt  dat  de  afgeleide  van  de  func3e          wordt  gegeven  door  

   Bewijs  met  volledige  induc3e.  1.  Kijk  of  de  bewering  geldt  voor  het  eerste  natuurlijke  getal  n  =  1.      2.  We  nemen  aan  dat  de  bewering  waar  is  voor  een  zeker  willekeurig  natuurlijk  

 getal  k,  dus  de  afgeleide  van              is        Hiervan  maken  we  gebruik  wanneer  we  aantonen  dat  de  bewering  dan  ook  geldt  voor  z’n  opvolger,  het  natuurlijk  getal  k  +  1    dus  wanneer  we  laten  zien  dat  de  afgeleide  van          dan  ook  gelijk  is  aan      

           

f (x) = xn f '(x) = nxn−1

f (x) = x1 = x ⇒ f '(x) = 1 = 1 ⋅ x1−1

f (x) = xk

f (x) = xk+1

f '(x) = kxk−1

f '(x) = (k +1)xk

   

 Er  geldt  namelijk  dat            Uit  de  productregel  voor  het  differen3ëren  volgt  dat  de  afgeleide  van  deze  func3e  gelijk  is  aan:          Dus  zegt  het  principe  van  volledige  induc3e  ons  dat  de  bewering  geldt  voor  alle  natuurlijke  getallen.          

f (x) = xk+1 = x ⋅ xk

f '(x) = 1 ⋅ xk + x ⋅ (k ⋅ xk−1) = xk + k ⋅ xk = (k +1) ⋅ xk

Hoeveel  zeXen/handelingen  zijn  minstens  nodig  om  de  puzzel  met  vijf  schijven  op  te  lossen?    ‘Verzin’  een  directe  formule  waarmee  het  minimale  aantal  zeXen  bij  een  zeker  aantal    schijven  is  te  berekenen.    Bewijs  met  behulp  van  volledige  induc3e  dat  het  door  jou  gevonden  voorschri\  juist  is.  

§7.5  Volledige  induc6e  en  rijen.    

§7.5  Volledige  induc6e  en  rijen.    

7.4.3      

Toon  aan  dat  het  volgende  geldt:  Het  aantal  deelverzamelingen  van        is  gelijk  aan        1.  Bewering  bekijken  voor  het  eerste  geval.  

           hee\  twee  deelverzamelingen  nl.            Dus  is  de  bewering  hiervoor  juist.  

   2.  Bekijk  de  implica3e  

         hee\        deelverzamelingen.    Toon  aan  dat                    deelverzamelingen  hee\.  

                     

1,2,3,4,.....n{ }

B(1) : 1{ }

2n

∅ , 1{ }

B(k) ⇒ B(k +1)

1,2,3,4.....,k{ }1,2,3,4.....,k,k +1{ }

2k

2k+1

7.4.3      

   Bekijk  een  aantal  verzamelingen  en  bestudeer  de  rela3es  tussen  de  aantalen  deelverzamelingen.              Je  ziet  dat  het  aantal  deelverzamelingen  steeds  wordt  vermenigvuldigd  met  twee.    Dus          hee\    deelverzamelingen  betekent  hee\    Bewering  is  dus  waar!              

1{ } ∅ , 1{ }

1,2,3,4.....,k{ } 1,2,3,4.....,k,k +1{ }2k

2 ⋅2k = 2k+1

1,2{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }

1,2,3{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }3{ } , 1, 3{ }, 2, 3{ }, 1,2, 3{ }