ab2 bijeenkomst6 2015
TRANSCRIPT
7.4.1e
Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen n geldt dat 1. De bewering is waar voor n = 1 want
2. Kies een willekeurig natuurlijk getal k en veronderstel
{Nu te bewijzen: }
Er geldt dat:
Uit 1. en 2. volgt dat de bewering waar is voor alle natuurlijke getallen.
1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ n ⋅2n = 2 + (n −1)2n+1
1⋅21 = 2
2 + (k −1) ⋅2k+1 + (k +1) ⋅2k+1
= 2 + (1−1)21+1
1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ k ⋅2k = 2 + (k −1)2k+1
1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ k ⋅2k + (k +1) ⋅2k+1
= 2 + 2k+1 ⋅ (k −1+ k +1)
= 2 + 2k+1 ⋅ (2k)= 2 + k ⋅2k+1 ⋅2 = 2 + k ⋅2k+2
1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ k ⋅2k + (k +1) ⋅2k+1 = 2 + k ⋅2k+2
§7.6 Ladenprincipe
Ik vroeg me opeens af: hoeveel haren heeH een mens eigenlijk op zijn hoofd? Even zoeken op internet leverde snel een antwoord op. Het hangt een beetje af van je haarkleur, maar gemiddeld ligt het aantal haren op een hoofd rond de 100 duizend. Roodharigen hebben de minste haren, ongeveer 90 duizend, en blonde mensen de meeste, ongeveer 150 duizend.
Dat betekent dat in een stad als Amsterdam, waar iets meer dan 750 duizend mensen wonen, in ieder geval twee mensen wonen met precies evenveel haren op hun hoofd!
Dat kun je laten zien met een wiskundig principe dat het ladenprincipe heet.
Het ladenprincipe zegt het volgende. Als je Ten laden hebt en je stopt elf balletjes in die laden, dan is er alTjd minstens één la waarin meer dan één balletje zit, hoe je de balletjes ook over de laden verdeelt. In het algemeen: als je n laden hebt, en je verdeelt n+1 of meer balletjes over die n laden, dan is er minstens één la met meer dan één balletje. Dat klinkt tamelijk voor de hand liggend, en dat is het ook, maar toch is het soms nuWg als je voor de laden en de balletjes handige vertalingen kiest.
Laten we aannemen dat het maximale aantal haren op een hoofd 200 duizend is, wat een beetje aan de hoge kant is, maar dat geeH niet. Dus de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben zijn 0, 1, 2, …, 200 duizend.
Nu bekijken we de iets meer dan 750 duizend inwoners van Amsterdam. Die kunnen we verdelen over deze mogelijke aantallen haren: elke inwoner wordt gekoppeld aan het aantal haren op zijn hoofd. OHewel: de inwoners van Amsterdam corresponderen met de balletjes, en de mogelijke aantallen haren die een mens kan hebben corresponderen met de (labels van de) laden.
Omdat er meer inwoners zijn dan mogelijke aantallen haren, zijn er minstens twee inwoners met precies evenveel haren op hun hoofd.
In dit geval zijn er trouwens zoveel meer balletjes dan laden dat we zelfs kunnen concluderen dat er minstens drie inwoners zijn met evenveel haren op hun hoofd.
Hieruit volgt natuurlijk niet dat er in Amsterdam zeker iemand woont met evenveel haren op zijn hoofd als u! En ook zijn het niet perse steeds dezelfde mensen die evenveel haren op hun hoofd hebben: het aantal haren op een hoofd verandert als er haren uitvallen. Maar wel weten we zeker dat er op elk moment drie Amsterdammers zijn met precies evenveel haren, al weten we niet wie dat zijn.
§7.6 Ladenprincipe
Ladenprincipe. Als je m knikkers verdeelt over n laden en als m > n, dan komt er in minstens één lade méér dan één knikker terecht. Bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel van niet, dus stel dat er in geen enkele lade meer dan één knikker terecht komt. In dat geval maximaal n knikkers, terwijl m > n
Toon aan dat in een groep van 15 personen er alTjd of minstens twee mannen of minstens twee vrouwen op dezelfde dag van de week jarig zijn. Stel we maken lades met als labels de dagen van de week. Er zijn dan dus 7 lades. [ma], [di], …. [zo] Aan te tonen dat er in een lade tenminste twee mannen of twee vrouwen komen. Wanneer we 15 mensen verdelen over 7 lades is er een lade met tenminste 3 personen. Dat zijn of twee mannen en een vrouw, of juist andersom, twee vrouwen en één man (of drie mannen of vrouwen) Er zifen dus tenminste twee personen van hetzelfde geslacht in een zelfde lade. Het zijn dus die twee personen die op dezelfde dag van de week jarig zijn.
Stel we maken de volgende lades Type: lade met het label ‘MAN’ Type: lade met label ‘VROUW’ Omdat de groepsgroofe 15 mensen is, zijn er of minstens 8 mannen of minstens 8 vrouwen. We nemen aan dat er acht mannen (en dus 7 vrouwen) zijn. Dus de lade MAN bevat 8 exemplaren. Ieder is op een zekere dag van de week jarig. Zo ook de acht mannen. Er zijn echter maar zeven dagen in de week.
Ladenprincipe Hoe zit dat nu? Of …. bestaat er zoiets als een stappenplan? Aandachtspunten: • Zorg voor minder lades dan knikkers! • Kies als label voor een lade juist die elementen die voldoen aan de
voorwaarde. • Stop knikkers in de lades (of haal in gedachten de elementen eruit!) en
constateer dat je meerdere malen met één en dezelfde lade moet werken. • Noteer eTkefen/labels van de verschillende lades. Gebruik woorden om
je redenering uit te leggen.
Wanneer je juist probeert te voorkomen dat je twee getallen neemt waarvan de som gelijk is aan 26, constateer je dat dit onmogelijk is. Er zijn namelijk 12 paren waarvan de som 26 is. Naast deze 12 tweetallen is er ook nog het getal 13. Dus: 13 lades [1,25], [2,24] …. [12,14] en [13] Omdat je 14 getallen uit 13 lades moet kiezen, kun je niet voorkomen dat je uit één en dezelfde lade twee getallen neemt. Het zijn juist deze twee getallen die voldoen aan: som = 26.
7.6.5 Toon aan: als 25 mensen gaan zifen in een rij met 30 stoelen, dan raken er
ergens minstens 5 stoelen naast elkaar bezet. Verkenning: Probeer te voorkomen dat wanneer er 30 stoelen beschikbaar zijn voor 25 mensen, er tenminste vijf stoelen naast elkaar bezet raken. Deze verkenning geeH een idee voor de eTkefen van de lades. Je kiest voor de labels: [1,2,3,4,5]
[6,7,8,9,10] [11,12,13,14,15] [16,17,18,19,20] [21,22,23,24,25] [26,27,28,29,30]
Nu ga je 25 ‘knikkers’ verdelen. Je kunt er 24 kwijt. De 25ste knikker maakt dat een lade vol zit. En dus tenminste vijf stoelen naast elkaar bezet.
7.6.9
Toon aan: Als je 16 verschillende getallen kiest uit de verzameling dan zifen daar minstens twee getallen tussen waarvan de één een deler is van de andere. Maak bijvoorbeeld de volgende 15 lades: [30, 15, 5] [23] [16, 8, 4, 1] [29] [22, 11] [28, 14, 7] [21] [27] [20, 10] [26, 13] [19] [25] [18, 9, 3] [24, 12, 6, 2] [17] Zorg ervoor dat in een lade enkel elementen zifen waarvan de één deler is van de ander! Dus het cijfer 4 mag niet in de lade [24, 12, 6, 4] Wanneer je 16 getallen uit de verzameling moet kiezen, komen er dus tenminste twee uit één en dezelfde lade.
1,2,3,4, ........., 30{ }
7.6.8
Toon aan: als je vijf roosterpunten tekent in een assenstelsel, dan zijn er alTjd twee punten P en Q bij waarvoor geldt dat het midden van het lijnstuk PQ weer een roosterpunt is. Als je een roosterpunt R tekent, kunnen zich de volgende vier situaTes zich voordoen:
Wanneer je nu vijf punten tekent, zijn daar minstens twee punten (Zeg: P en Q) bij uit dezelfde categorie (lade). Voor deze beide punten geldt dat het midden van het bijbehorende lijnstuk een roosterpunt is, want de som van de x-‐coördinaten is even en de som van de y-‐coördinaten is even.
xR yR Even Even
Even Oneven
Oneven Even
Oneven Oneven