Bijeenkomst  7    

§7.6  Ladenprincipe    

     Ladenprincipe.  Als  je  m  knikkers  verdeelt  over  n  laden  en  als  m  >  n,  dan  komt  er  in  minstens  één  lade  méér  dan  één  knikker  terecht.        Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Veronderstel  van  niet,  dus  stel  dat  er  in  geen  enkele  lade  meer  dan  één  knikker  terecht  komt.  In  dat  geval  maximaal  n  knikkers,  terwijl  m  >  n  

                             

Ladenprincipe  Hoe  zit  dat  nu?  Of  ….  bestaat  er  zoiets  als  een  stappenplan?    Aandachtspunten:  •  Zorg  voor  minder  lades  dan  knikkers!  •  Kies  als  label  voor  een  lade  juist  die  elementen  die  voldoen  aan  de  

 voorwaarde.  •  Stop  knikkers  in  de  lades  (of  haal  in  gedachten  de  elementen  eruit!)  en  

 constateer  dat  je  meerdere  malen  met  één  en  dezelfde  lade  moet  werken.  •  Noteer  ePkeQen/labels  van  de  verschillende  lades.  Gebruik  woorden  om  

je  redenering  uit  te  leggen.          

7.6.5    Toon  aan:  als  25  mensen  gaan  ziQen  in  een  rij  met  30  stoelen,  dan  raken  er    

ergens  minstens  5  stoelen  naast  elkaar  bezet.    Verkenning:    Probeer  te  voorkomen  dat  wanneer  er  30  stoelen  beschikbaar  zijn  voor  25  mensen,  er  tenminste  vijf  stoelen  naast  elkaar  bezet  raken.  Deze  verkenning  gee[  een  idee  voor  de  ePkeQen  van  de  lades.    Je  kiest  voor  de  labels:    [1,2,3,4,5]  

               [6,7,8,9,10]                  [11,12,13,14,15]                  [16,17,18,19,20]                        [21,22,23,24,25]                  [26,27,28,29,30]  

 Nu  ga  je  25  ‘knikkers’  verdelen.  Je  kunt  er  24  kwijt.  De  25ste  knikker  maakt  dat  een  lade  vol  zit.  En  dus  tenminste  vijf  stoelen  naast  elkaar  bezet.        

                             

7.6.8    

Toon  aan:  als  je  vijf  roosterpunten  tekent  in  een  assenstelsel,  dan  zijn  er  alPjd  twee  punten  P  en  Q  bij  waarvoor  geldt  dat  het  midden  van  het  lijnstuk  PQ  weer  een  roosterpunt  is.    Als  je  een  roosterpunt  R  tekent,  kunnen  zich  de  volgende  vier  situaPes  zich  voordoen:        

 Wanneer  je  nu  vijf  punten  tekent,  zijn  daar  minstens  twee  punten  (Zeg:  P  en  Q)  bij  uit  dezelfde  categorie  (lade).    Voor  deze  beide  punten  geldt  dat  het  midden  van  het  bijbehorende  lijnstuk  een  roosterpunt  is,  want  de  som  van  de  x-­‐coördinaten  is  even  en  de  som  van  de  y-­‐coördinaten  is  even.                        

xR   yR  Even   Even  

Even   Oneven  

Oneven   Even  

Oneven   Oneven  

7.6.9    

Toon  aan:  Als  je  16  verschillende  getallen  kiest  uit  de  verzameling    dan  ziQen  daar  minstens  twee  getallen  tussen  waarvan  de  één  een  deler  is  van  de  andere.    Maak  bijvoorbeeld  de  volgende  15  lades:  [30,  15,  5]      [23]        [16,  8,  4,  1]  [29]          [22,  11]  [28,  14,  7]      [21]  [27]          [20,  10]  [26,  13]        [19]  [25]          [18,  9,  3]  [24,  12,  6,  2]      [17]  Zorg  ervoor  dat  in  een  lade  enkel  elementen  ziQen  waarvan  de  één  deler  is  van  de  ander!  Dus  het  cijfer  4  mag  niet  in  de  lade  [24,  12,  6,  4]  Wanneer  je  16  getallen  uit  de  verzameling  moet  kiezen,  komen  er  dus  tenminste  twee  uit  één  en  dezelfde  lade  (of  in  dezelfde  lade).      

                             

1,2,3,4, ........., 30{ }

Gemengde  opgaven    

     

   Bekijk  de  staartdeling            

 Dus    Wil  n  +  1  deler  zijn  van              dan  moet  n  +  1  dus  deler  zijn  van  3.      Dat  is  enkel  zo  als  n  =  0  of  als  n  =  2.      (Wij  hebben  de  verzameling  van  natuurlijke  getallen  gedefinieerd  zonder  element  0)    Blij[  alleen    n  =  2    over.  

                         

(n +1) / n2 − n +1 \ n − 2n2 + n

− 2n +1−2n − 2

3

n2 − n +1 = (n +1)(n − 2) + 3n2 − n +1

Info  bekend  maken  cijfers.    Tentamen  AB2:  dinsdag  30  juni.  Resultaten  bekend  (op  z’n  vroegst)  vrijdag  3  juli.  Erik  Kruijs  verzorgt  vrijdag  Progress  en  evt.  mailing.  Inkijken  tentamens  vanaf  maandag  6  juli  bij  Jeroen  en/of  Erik  Herkansing  AB2:  dinsdag  7  juli.  Bij  onduidelijkheden:  mailto  aaoehuub@me.com