ACTIVIDADES PARA ESTUDIANTES DE OCTAVO GRADO 2010-2011

MATEMÁTICA DE OCTAVO GRADO

GUIA DE MATEMÁTICA -8º

1. IDENTIFICACACIÓN: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO

ASIGNATURA: MATEMÁTICA PERIODO: 1

TEMAS: MAGNITUDES INCONMENSURABLES- NÚMEROS IRRACIONALES- NÚMEROS REALES

DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ GÓMEZ

LOGROS: Identifica las propiedades del conjunto de los números reales, su utilidad, su representación gráfica y orden,

mediante situaciones determinadas.

2. SITUACION INICIAL

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz

de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir

como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen

valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, tiraron a

Hipaso por la borda y se ahogó!

¿Qué piensas de la historia anterior? ¿ Por qué crees que se dio la situación anterior?

3. ACTIVIDAD

Construye 4 cuadrados de diferentes dimensiones. Mide sus lados y diagonales.

Con la información anterior completa la tabla:

Medida

Figura

L

Lado

D

Diagonal r=

𝐷

𝐿 r como

decimal

1

2

3

4

Ahora verifica si la medida de la diagonal que obtuviste corresponde al valor que se determina con el teorema de

Pitágoras.

El valor obtenido de r, ¿lo puedes expresar como un número racional? ¿Es decimal exacto? ¿Es decimal periódico, puro o

mixto?

4. ORIENTACION TEMÁTICA

Números Irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3.1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22

/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras

decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han

calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los

primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1.61803398874989484820... (y más...)

REPRESENTACIÓN DE LOS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA

En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos

que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos geométricos que permiten representar algunos

números irracionales en la recta numérica.

Veamos como se puede representar, por ejemplo, :

hay que tener claro que =1,414...,es decir, 1< < 2

Observa el cuadrado del dibujo, si ampliamos el teorema de Pitágoras para hallar su diagonal comprendemos esto:

Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente en la recta numérica. Sabemos que es un número

irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por ningún otro número irracional.

En esta recta representamos los números irracionales y -

5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

a. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales:

Radicales

Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical.

Ejemplo: √2 (la raíz cuadrada de 2) no se puede simplificar más así que es un radical.

Pero √4 (la raíz cuadrada de 4) sí se puede simplificar (queda 2), así que no es un radical.

Fíjate en estos:

Número Simplificado En decimal ¿Radical

o no?

√2 √2 1.4142135(etc) Radical

√3 √3 1.7320508(etc) Radical

√4 2 2 No es radical

√(1/4) 1/2 0.5 No es radical

3√(11)

3√(11) 2.2239800(etc) Radical

3√(27) 3 3 No es radical

5√(3)

5√(3) 1.2457309(etc) Radical

Como ves, los radicales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, y por eso son números irracionales.

Conclusión

Si es una raíz e irracional, es un radical. Pero no todas las raíces son radicales.

OPERACIONES CON RADICALES

1. Sumas y restas

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo

radicando.

Ejemplos:

a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.

b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5.

Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:

Ahora si son semejantes y podemos sumarlos

c) No son semejantes

Se suman los que son semejantes

y ya no podemos hacer nada más

2. Multiplicaciones y divisiones

Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.

Ejemplos:

d) e)

f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.

Ahora si se pueden multiplicar

g)

Ejercicios de aplicación.

Sumar los siguientes radicales indicados:

Multiplicar los Siguientes radicales indicados:

DIVIDIR

LOS NÚMEROS REALES (R)

El conjunto de los números reales corresponde al conjunto de todos los números que pueden escribirse como

decimales.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Los números no son un invento artificial destinado a fastidiar a los escolares de todos los tiempos, sino que han ido

surgiendo como una necesidad. Los números reales son los que usamos para contar o medir: 1, 2, 3, 250, – 12, – 100,

1.85, 34.95, , etc. No son números reales los siguientes: etc. Observa

que los números negativos que están

dentro de raíces cuadradas NO son considerados números reales, sino números imaginarios, que estudiaremos en otro

curso.

Los Números Irracionales.- son todos aquellos números que NO se pueden expresar como una fracción común. En

palabras sencillas son los números que resultan de sacar la raíz cuadrada o cúbica o cuarta, etc. y que no es exacta.

Ejemplo: . Este conjunto se representa con I. Otros números

irracionales que vas a tratar frecuentemente o que ya usas, son π (que indica las veces que la circunferencia es más

grande que el diámetro, 3.14159265359…), e (que aparece en cualquier problema donde hay crecimiento continuo, y

su valor es 2.71828182846…), φ (llamado número áureo (llamado así porque indica la relación perfecta que debe

haber en lo que a los ojos se ve armonioso; su valor es 1.6180…) Para identificar un racional de un

irracional

cuando se escriben en forma decimal, al final de la parte decimal del número irracional se escriben tres puntos

decimales para indicar que siguen más decimales pero que no podemos predecir cuáles son los siguientes.

El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales.

Así, el conjunto de los números reales que se le simboliza con la letra R se origina como la unión del conjunto de los

números racionales y el conjunto de los irracionales, es decir el nombre de número real se propuso

como

antónimo de número imaginario.

Se presenta mediante una gráfica todo el conjunto de los números reales y los conjuntos de números que los forman.

CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRE LOS NÚMEROS REALES

Los números reales se definen de manera intuitiva como el conjunto de números que completan la recta

numérica, es decir, para todo punto de la recta le corresponde un número real y recíprocamente.

Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de los números racionales, y éste a su vez

contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sigue que el conjunto de los números

reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números

reales contiene al de los números irracionales.

Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales,

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Si es falsa escribe un ejemplo.

a. No todos los enteros son racionales ( ).

b. Algunos números irracionales son números enteros ( ).

c. Los números racionales tienen expresión decimal periódica ( ).

d. Los números naturales son números reales ( ).

e. Los números reales forman un conjunto infinito ( ).

f. Todo número racional es real ( ).

g. Cualquier número decimal es irracional ( ).

h. Ningún número entero es irracional ( ).

i. Cualquier número real es racional o irracional ( ).

j. tiene infinitas cifras decimales no periódicas ( ).

k. La raíz impar de un número negativo no es real ( ).

2. Completar la tabla con (PERTENECE) o (NO PERTENECE).

3. Escribir un número que cumpla cada condición.

a. Es un entero pero no es natural

b. Es real pero no es racional.

c. Es racional, entero y natural.

d. Es real pero no irracional.

e. Es real y natural.

4. Representa en la recta: ,

5. Encuentra dos números reales comprendidos entre:

1. IDENTIFICACION: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO

AREA: MATEMÁTICA ASIGNATURA: MATEMÁTICA

UNIDAD 2 : POLINOMIOS GRADO: OCTAVO DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ

LOGRO 4: identifica las propiedades de las expresiones algebraicas y su utilidad en situaciones determinadas.

2. SITUACION INICIAL

La figura muestra un cuadrado de lado b.

Determina el perímetro y el área de la figura.

Determina la diagonal en función de b.

¿Cuál es el área del cuadrado, si la medida del

lado se duplica?

3. INTRODUCCIÓN

En el tiempo transcurrido del año hemos

trabajado con números reales; ahora en

adelante, utilizaremos los mismos números, ya

no escritos explícitamente, sino que los

representaremos mediante números y letras,

así:

El doble de una cantidad o número: 2 X,

El triple de un número es igual a 12: 3 X = 12.

Cada letra representa un número real, y por lo

tanto se comporta como tal, obedeciendo a

las mismas propiedades y operaciones de los

reales; en esto, consiste el trabajo del álgebra.

Para representar cantidades en álgebra, se

utilizan números y letras, que se relacionan

por medio de operaciones matemáticas

(adición, sustracción, multiplicación y división).

Se puede concluir diciendo que el álgebra es

una generalización de la aritmética.

4. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA

Ingenio matemático 8. Ed Voluntad.

Matemáticas soluciones 8. Ed Futuro.

Matemática Nova 8. Ed. Voluntad.

http://maralboran.org/wikipedia/inde

x.php/Expresiones_algebraicas

http://www.sectormatematica.cl/educ

media.htm

5. METODOLOGIA

Para desarrollar esta guía los estudiantes

deberán profundizar acerca de los contenidos

teóricos que aquí se exponen y desarrollar las

actividades individuales y grupales, cuentan

con una hora de asesoría del docente y

posteriormente socializaran las actividades en

el día previsto.

6. ORIENTACION TEMÁTICA

EXPRESION ALGEBRAICA

Una expresión algebraica es una combinación

de letras, números y signos de operaciones.

Las letras suelen representar cantidades

desconocidas y se

denominan variables o incógnitas. Las

expresiones algebraicas nos permiten traducir

al lenguaje matemático expresiones del

lenguaje habitual. Ejemplos de Expresiones algebraicas

El perímetro y el área de un terreno

rectangular que mide X metros de

largo e Y metros de ancho, es:

Perímetro = 2X + 2Y

Área = X. Y

ELEMENTOS DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA:

PARTES LITERALES: Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.

COEFICIENTES O PARTES NUMÉRICAS: Son los números que aparecen multiplicando a las variables.

EXPONENTES: Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.

−7X´yµ → Coeficiente: − 7 Variables: X, Y Exponentes: 4, 5

TÉRMINO ALGEBRAICO: Es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no separados entre sí por operadores + ó −.

1. - 5 x

2. 4 x²

3. x y

GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN TÉRMINO.

El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de cada una de las letras que conforman la parte literal.

El grado relativo de un término está indicado por los exponentes del término con relación a cada letra.

En el término 9X´YµZ², el grado absoluto es 11, porque 4 + 5 + 2 = 11. El grado relativo respecto a X es 4, a Y es 5 y a Z es 2.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA

MONOMIOS: Son las expresiones algebraicas que constan de un solo término algebraico.

BINOMIO: Expresión algebraica que consta de dos términos algebraicos.

TRINOMIO: Expresión algebraica que consta de tres términos algebraicos.

2X + 3Y + 4Z; Xµ − 3X´− 8

POLINOMIOS: Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos más términos algebraicos.

BB POLINOMIOS: Son todas aquellas expresiones

algebraicas que están formadas por dos más términos algebraicos.

BB, SEPARADOS POR EL SIGNO De

ahora en adelante toda expresión algebraica se llamará polinomio a excepción de los monomios o términos algebraicos.

GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN POLINOMIO

El grado absoluto de un polinomio está indicado por el mayor exponente entre todos los términos del polinomio.

El grado relativo, está indicado por el mayor exponente de cada literal.

En el polinomio ⅞ X²Y´ + 8X´Yµ - 11XY + 4, el grado absoluto es 9 y el grado relativo a X es

4, para Y es 5.

ORDEN DE UN POLINOMIO

Ordenar un polinomio es escribir sus términos consecutivamente, teniendo en cuenta una letra escogida, de tal manera que sus exponentes estén ubicados de mayor a menor o de menor a mayor.

VALOR NÚMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El valor numérico de una expresión algebraica es la cantidad que se obtiene al reemplazar las letras o

variables por una cantidad dada, y luego efectuar las operaciones indicadas en la expresión.

Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, entonces el valor

numérico de las expresión 3a²b´ es

3a²b´ = 3. (1)². (2)´ = 3. (1).

(16)

= 48 7. ACTIVIDADES

A. Calcula el valor numérico de cada

polinomio

a. X² + 3 Xµ – 9X ; si X = − 1

b. 3XY² − X³Y³ + ⅖XY ; si X = 2 , Y = 1 C. ⅞ X²Y´ + 8X´Yµ - 11XY + 4 ; si X = 1, Y

= 1

d. ( X + Y )³ ; si X = ⅙ , Y = ⅖

B. Completa la siguiente tabla

Expresión Grado

absoluto

Coeficiente. Parte.

Literal

-x

-987xy

43 yx

0365 yx

y

23723 xyz

233 xz

y

x24

0003 xyz

58

7

9

5

z

x

jah

52

65

yw

xywz3

C. Escribe la expresión simbólica de cada enunciado

a. El triple de un número disminuido en 2 b. la quinta parte de la diferencia entre un

número y 8 c. la cuarta parte de un número aumentado

en p d. el sucesor de un número X

D. Escribe expresiones algebraicas que satisfagan las siguientes condiciones:

a. Un polinomio de tres términos que tenga grado absoluto de 8

b. Un monomio que tenga grado relativo

respecto a m de 4. c. Una expresión que tenga grado

absoluto 0 d. Un binomio de grado 1 e. Un polinomio ordenado que tenga 5

términos algebraicos y que su grado absoluto sea 12.

f. Un término que tenga parte numérica 1, cuyas partes literales sean W,Z.

1. IDENTIFICACION: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO

AREA: MATEMÁTICA ASIGNATURA: MATEMÁTICA

UNIDAD 2 : POLINOMIOS GRADO: OCTAVO DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ

TEMA: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS.

LOGRO 5: Plantea y resuelve situaciones aditivas de expresiones algebraicas

2. SITUACIÓN INICIAL

El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un

lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?

3. INTRODUCCIÓN

En esta guía operaremos con expresiones algebraicas,

relacionaremos el álgebra con muchos elementos

estudiados en cursos anteriores de la geometría, y

descubriremos que el álgebra es una herramienta

poderosa para llegar a la solución de problemas.

4. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA

Ingenio matemático 8. Ed. Voluntad.

Matemáticas soluciones 8. Ed. Futuro.

Matemática Nova 8. Ed. Voluntad.

http://www.disfrutalasmatematicas.co

m/algebra/polinomios- sumar-

restar.html

http://www.sectormatematica.cl/

educmedia.html

http://www.slideshare.net/lacienciama

tematica/o4-operaciones-con-

polinomios

5. METODOLOGIA

Para desarrollar esta guía los estudiantes deberán

profundizar acerca de los contenidos teóricos que aquí

se exponen y desarrollar las actividades individuales y

grupales, cuentan con una hora de asesoría del docente

y posteriormente socializaran las actividades en el día

previsto.

6. ORIENTACION TEMÁTICA

TÉRMINOS SEMEJANTES

Los términos son semejantes cuando tienen la misma

parte literal y sus exponentes coinciden. Los Términos

Semejantes se pueden sumar o restar, sumando o

restando sus coeficientes numéricos y conservando la

parte literal.

Ejemplo:El término 3x2y y el término 2x2y , son

semejantes. (Tiene partes literales iguales con sus

respectivos exponentes) y al sumarlo da 5x2y.

EXPLORANDO A TRAVÉS DE MODELOS

Usemos mosaicos (Rectángulos que puedes construir

con cartulinas de diferentes colores).

Los términos semejantes están representados por

mosaicos de la misma forma y tamaño.

Veamos

−x² x²

−xy 3xy

−y² 2y²

7. ACTIVIDAD GRUPAL

A. Para cada modelo escribe su expresión algebraica.

MODELOS PLINOMICOS

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

B. Usa los rectángulos para construir el

modelo que representa cada expresión

polinominal.

Expresión Polinominal

Modelo

3x2

4xy

2xy + y2

5x2 - 2y2

-3x2 - xy - 2y2

-5xy + 3y2

C. Reduce los términos semejantes en cada

una de las expresiones siguientes:

8. ACTIVIDAD INDIVIDUAL

A. Representa el polinomio 2x² + 3xy + y².

Construye tus propios rectángulos.

B. Representa el polinomio − x² −y²

C. Si se tiene el siguiente modelo

¿A qué polinomio corresponde?

D. Con los rectángulos que construiste, forma

modelos polinómicos.

E. ¿Cómo harías para sumar estos modelos

polinomicos del punto anterior? Escribe las

expresiones algebraicas correspondientes

en cada caso.

9. ADICIÓN DE POLINOMIOS

La suma de dos o más polinomios es el polinomio que se

obtiene adicionando los términos semejantes de los

sumandos.

Puedes adicionar los polinomios en forma horizontal o

vertical.

En forma horizontal puedes proceder así :

Se eliminan los paréntesis, si los hay.

Se identifican los términos semejantes y se

asocian.

Luego, reducen los términos semejantes.

Ejemplo:

(2x2 + x - 1) + ( 3x

3 + 4x

2 - 5 )

2x2 + x – 1 + 3x

3 + 4x

2 - 5

3x3 + 2x

2 + 4x

2 + x – 1 – 5

3x3 + 6 x

2 + x –6

En forma vertical

Se ordenan los polinomios de modo que los

polinomios que los términos semejantes

queden ubicados en columnas.

Luego, se reducen los términos semejantes

y se obtiene la suma.

2x2 + x – 1

3x3 + 4x

2 – 5

3x3 + 6 x

2 + x – 6

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

La sustracción de polinomios es equivalente a la adición

del minuendo con el polinomio opuesto del sustraendo.

Ejemplo: Sustraer los polinomios

( -3a2 - 4a + 2) - (5a

3 + 2a - 6)

( -3a2 - 4a + 2) es el polinomio minuendo.

(5a3 + 2a - 6) es el polinomio sustraendo.

Y el polinomio opuesto al sustraendo es:

- 5a3 - 2a + 6

Luego, se procede a realizar la adición del polinomio

minuendo con el polinomio opuesto como se trabajo

en la operación adición vertical u horizontal.

Esto es, en forma vertical.

-3a2 - 4a + 2

-5a3 - 2a + 6

-5a³ -3a² - 6a + 8

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos

y separar operaciones. Para suprimirlos debes tener

presente:

Si un paréntesis es precedido por el signo

positivo (+), éste se puede suprimir sin

cambiar o variar los signos de los términos

que estén dentro del paréntesis.

2yz + (m - n)

2yz + m – n

Si un paréntesis es precedido de un signo (-)

negativo, se puede suprimir cambiando los

signos de los términos que están dentro del

paréntesis.

18x -(2r + k –n)

18x – 2r – k + n

Si una expresión algebraica tiene términos

agrupados entre paréntesis y ellos a su vez

se encuentran dentro de otros paréntesis,

se pueden resolver las operaciones que

anteceden a los paréntesis desde dentro

hacia fuera.

Ejemplo:

{[(2x+1) - (xy-1)]+2xz}=

{(2x+1) - (xy-1)+2xz}=

{2x+1 – xy +1+2xz}=

2x+1 – xy + 1+ 2xz

10. ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Efectúa las adiciones en cada caso

a) - (3x +2) + (-2x +3) =

b) - ( 5x2 + 6x +1) + (-7x +2)=

c) (-4x2 +6x –3) + (-7x2 – 4x + 5)=

Resuelve las sustracciones:

a) - (b2 – 2b +4) - (b2 –4b –3)=

b) (-7y +2y2 +5) – (y2 –6-5y) =

c) (5x2 +4) –(2x2 –1)=

d) (5p2 –3p +6) – (9p2 – 5p –3)=

Dados los polinomios

A: 2b2c –3b + 6c

B: 4b - c2b + 12 b2c

C: 4 – 2c

Efectúa las siguientes operaciones:

a) A + B=

b) A - C=

c) B - A=

d) A + B + C

Eliminar paréntesis y reducir términos

semejantes en los siguientes polinomios

a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=

b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=

Calcular el perímetro de las siguientes

figuras:

a)

x2 + x

2x2 +x x

3x2 + x –3

b) 2mn

4m +n

c)

X + y ⅓y

Yy y

X

d) 2a

0,7a

1,4 a

0,5a

3b

4/3b 4/3 b

e)

b

5/3 b

5/2 b

EL Club de los ñeros del LUPARO convierte

m goles en su primer partido, m-5 en el

segundo y m+10 en el tercero. ¿Cuántos

goles convierte en el cuarto partido si en

total hizo 4m goles?

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES. LOGROS 6 Y 7

Para estudiar estos temas puede acceder a la siguiente BIBLIOGRAFIA:

Soluciones matemáticas 8. Editorial Futuro

Desafíos Matemáticos 8. Editorial Norma.

CIBERGRAFIA:

http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html

http://docente.ucol.mx/elizabeth_daz/productos%20pdf/PRODUCTOS%20Y%20COCIENTES%20NOTABLES.pdf

http://www.slideshare.net/lacienciamatematica/06-multiplicacin-y-divisin-de-polinomios

GUIA DE MATEMÁTICA -8º - LOGRO 9

1. IDENTIFICACACIÓN: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO

ASIGNATURA: MATEMÁTICA PERIODO: 4

TEMA: CASOS DE FACTORIZACIÓN

DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ GÓMEZ

LOGROS: Plantea y resuelve situaciones donde aplique los distintos casos de factorización.

2. SITUACION INICIAL

Observa los siguientes rectángulos

¿Cuál es el polinomio que representa el área de todos los rectángulos anteriores?

Si se organizan los rectángulos, obtenemos un cuadrado. ¿Cual es el área del cuadrado que se forma?

Compara los dos resultados obtenidos. ¿Qué puedes concluir?

3. INTRODUCCIÓN

La factorización es muy importante en el álgebra. No sólo la aprendemos para expresar un polinomio como un

producto de factores también la utilizamos para: simplificar expresiones racionales, efectuar operaciones (suma,

resta, multiplicación y división) de expresiones racionales y resolver ecuaciones que contienen expresiones

racionales, ecuaciones e inecuaciones cuadráticas.

Practica mucho la factorización, puesto que es una herramienta esencial en el desarrollo de tu formación

matemática. La práctica te ayudará a factorizar los ejercicios con mayor rapidez y aplicarlos en la solución de las

diferentes situaciones que lo requieran.

4. ORIENTACION TEMÁTICA

La factorización consiste en transformar una expresión polinómica en un producto de varios factores.

Es el proceso inverso al desarrollo de un producto notable.

EJEMPLO:

a) ab + b² = b(a + b);

b) a² ₋ b² = (a + b)(a – b)

CASOS DE FACTORIZACIÓN

1º CASO: Factor Común.

Toda expresión algebraica es susceptible de tener un factor común. El factor común de una expresión algebraica

está formado por:

1) El M.C.D. de los coeficientes, si lo hay

2) El producto de las letras comunes con su menor exponente.

REGLA: Para factorizar un polinomio con un factor común, dejamos el factor común fuera de un paréntesis y

dentro del paréntesis los resultados de dividir cada término del polinomio por el factor común.

Ejemplo 1:

X² Y²

XY XY

Factorizar: 3t³ – 6t²+ 12𝑡4

Factor común: 3t²

Luego: 3t³– 6t² + 12𝑡4 = 3t² (t – 2 + 4t²)

Ejemplo 2:

Factorizar: 4x³ + 8x⁸ – 16x¶ - 12x

Factor común: 4x

Luego: 4x³ + 8x⁸ – 16x¶ - 12x = 4x(x² + 2𝑥7- 4𝑥5- 3)

2º CASO: Factor común por agrupación de términos.

Se procede agrupando los términos del polinomio dado y luego sacando factor común de cada uno de los

grupos formados. Luego se agrupan los resultados.

Ejemplo1:

Factorizar: 6am – 4ac – 3bm + 2bc

Agrupamos los términos: (6am – 4ac) – (3bm - 2bc) Nótese que el último término cambia de signo.

Sacamos factor común de cada paréntesis:

2a (3m – 2c) – b (3m – 2c)

Se agrupan los resultados:

(2a – b)(3m – 2c)

Ejemplo 2:

Factorizar: m + n – am – an

Agrupamos los términos: (m + n) – (am + an)

Sacamos factor común de cada paréntesis:

1(m + n) – a (m + n)

Agrupamos los resultados: (1 – a) (m + n)

5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

1) 21m2n2 + 24mn2 – 15mn3 =

2) a2 + ab + ac + bc =

3) (x + a)(x - 1) – 2a (x - 1) =

4) bx2 – b – x2 + 1

5) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =

6) x2 + xy + xz + yz =

7) 21ax + 35ay + 20y + 12x

8) 2x2 + 6x + 8x

3 - 12x

4 =

9) a2 + ab + ax + bx

10) ab - 2a - 5b + 10 =

11) ac - a - bc + b + c2 - c =

12) 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

13) am - bm + an - bn

14) 3x2 - 3bx + xy - by

15) ac - a - bc + b + c2 - c =

16) 6x - 12 =

17) 14m2n + 7mn =

18) 10x2y - 15xy

2 + 25xy

19) 3ab + 6ac - 9ad =

20) 10p2q

3 + 14p

3q

2 - 18p

4q

3 - 16p

5q

4

21) babaabba 3322

25

16

15

8

5

12

35

4

22) 6ab + 4a - 15b - 10

CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un Trinomio cuadrado Perfecto es el resultado de desarrollar El Cuadrado de un Binomio. Un trinomio es cuadrado perfecto cuando cumple lo siguiente: a) El primer término tiene raíz cuadrada exacta. b) El tercer término tiene raíz cuadrada exacta. c) El segundo término es igual al doble producto de las dos raíces. Así, X²+ 2XY + Y² es un trinomio cuadrado perfecto porque: ↓ ↑ ↓

X 2(x)(y) Y

Luego, X²+ 2XY + Y² = (X + Y)²

En conclusión: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio elevado al cuadrado y formado por: La raíz cuadrada del

primer término, el signo del segundo término y la raíz cuadrada del tercer término.

Ejemplo 1:

Factorizar: m² – 4m + 4 ↓ ↑ ↓ m 2(m)(2) 2 Luego: m² – 4m + 4 = (m – 2)² Ejemplo 2:

Factorizar: x´ – x² + ¼ ↓ ↑ ↓ X² 2(x²) (1/2) ½ Luego: x´ – x² + ¼ = (X - ½)² CASO 4: Diferencia de Cuadrados:

Una diferencia de cuadrados es el resultado de desarrollar el producto de una suma por la diferencia de dos cantidades. Una diferencia de cuadrados se reconoce cuando cada término tiene raíz cuadrada exacta. Así, X² – Y² es una diferencia de cuadrados. Luego: X² – Y² = (x + y) (x – y) En conclusión: Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces por la diferencia de las mismas raíces. Ejemplo 1:

Factorizar: 25x² – a²b¶ = (5x + ab³) (5x - ab³)

↓ ↓

5X ab³

Ejemplo 2:

Factorizar: 9m² – 16y² = (3m + 4y) (3m - 4y)

ACTIVIDAD

CASO 5: TRINOMIO DE LA FORMA X² + bX + c

Este polinomio tiene su origen en el producto de dos binomios de la forma (x + m) (x + n) = x² + (m+n)x + mn. En este caso la factorización consiste en hallar el valor de n y m, puesto que b = m + n, y c = mn. Ejemplo 1 Factorizar : x² + 8x + 15

En el ejemplo b = 8 y c = 15. Entonces buscamos dos números que sumados den 8 y multiplicados den 15. Estos números son: 5 y 3. Luego x² + 8x + 15 = (x + 5) (x + 3). Ejemplo 2 Factorizar: x² + x ₋ 72 Se buscan dos números cuya diferencia sea 1, su producto -72. Estos son 9 y -8. Luego: x² + x ₋ 72 = (x + 9) (x – 8) Ejemplo 3 Factorizar: a´ - 2a² -24 Se tiene que 4 + (-6) = -2 y (4) (-6) = -24. Luego a´ - 2a² -24 = (a² + 4) (a² - 6)

CASO 6: TRINOMIO DE LA FORMA aX² + bX + c

Para factorizar esta clase de polinomios hacemos transformaciones para reducirlos a expresiones de la forma X² + bX + c, se factorizan como en el caso anterior. El primer paso, consiste en multiplicar y dividir el polinomio por el coeficiente de x², y escribimos el trinomio de la forma x² + bx +c. Se factoriza el numerador de la expresión obtenida como en el caso 5. Al final se factoriza uno de los factores obtenidos (Paréntesis) o ambos y luego se simplifica para eliminar el denominador.

Ejemplo 1 Factorizar 3x² ₋ 5x ₋ 2 El coeficiente de x² es 3. Por lo tanto, 9x² ₋ 5(3x) ₋ 6 = (3x)² ₋ 5(3x) ₋ 6 = (3x –6) (3x + 1) = 3(x – 2) (3x +1) = (x – 2) (3x + 1) 3 3 3 3 Luego: 3x² ₋ 5x ₋ 2 = (x – 2) (3x + 1). Ejemplo 2 Factorizar 4m² + m – 33

16m² + 4m – 132 = (4m)² + 4m -132 = (4m + 12) (4m – 11) = 4 (m + 3) (4m – 11) = (m + 3) (4m – 11)

4 4 4 4 Luego: 4m² + m – 33 = (m + 3) (4m – 11).

CASO 7: FACTORIZACIÓN DE CUBOS PERFECTOS

Un cubo perfecto es el que resulta de elevar un binomio al cubo, es decir, el producto de tres binomios iguales. Esto es a³ + 3a²b +

3ab² + b³ = (a + b)³.

Un cubo perfecto tienen las siguientes características:

El primero y el último término de sus cuatro términos, ordenados con relación a una letra, son cubos perfectos.

El segundo término es más o menos tres veces el cuadrado de la raíz cúbica del primer término, multiplicado por la raíz

cubica del último término.

El tercer término es tres veces la raíz cubica del primer termino, multiplicado por el cuadrado de la raíz cubica del último

termino.

Si todos los términos son positivos, la expresión dada es el cubo de una suma, y si los términos son alternados positivos y

negativos, la expresión dada es el cubo de una diferencia.

Para factorizar un cubo perfecto, se conforma un binomio con las raíces cúbicas del primer y cuarto término separados por el signo

del segundo término.

Ejemplo 1 Factorizar: 8 + 36a + 54a² + 27a³ ↓ ↓ Raíz cubica 2 3a 3(2)²(3a) = 36a 3(2)(3a)² = 54a² Luego: 8 + 36a + 54a² + 27a³ = (2 + 3a)³

Ejemplo 2 Factorizar 8x³ - 12x² + 6x – 1 ↓ ↓ 2x 1 3(2x)²(1) = 12x² 3(2x) (1)² = 6x Luego: 8x³ - 12x² + 6x – 1 = (2x – 1)³

CASO 8: FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES.

Teniendo en cuenta los cocientes notables y sus criterios de divisibilidad se factoriza asi:

Si n es impar : (𝑎𝑛+ 𝑏𝑛 ) = ( a + b) (𝑎𝑛−1₋ 𝑎𝑛−2b + 𝑎𝑛−3b²- … + 𝑏𝑛−1)

Si n es par o impar: (𝑎𝑛 - 𝑏𝑛 ) = ( a - b) (𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2b + 𝑎𝑛−3b²+ … + 𝑏𝑛−1)

Si n es par : (𝑎𝑛 - 𝑏𝑛 ) = ( a + b) (𝑎𝑛−1₋ 𝑎𝑛−2b + 𝑎𝑛−3b²- … + 𝑏𝑛−1)

Ejemplo 1

Factorizar: y3 – 27 Como n es impar entonces se tiene: Y³ - 27 = Y³ - 3³ = (Y – 3) (Y² + Y (3) + 3²) = (Y – 3) (Y² + 3Y + 9).

Ejemplo 2 Factorizar : 243 + 32bµ 243 + 32bµ = 3µ + (2b)µ = (3 + 2b) (3´ - 3³(2b) + 3²(2b)² - 3(2b)³ + (2b)´) = (3 + 2b) (81 – 54b + 36b² - 24b³ + 16b´) ACTIVIDAD Factoriza las siguientes expresiones algebraicas

1. m2n2 + 24mn2 – 15mn3 =

2. a2 + ab + ac + bc =

3. y2 – 13y – 14 =

4. x2 + 21x – 100 =

5. 16x2 –24xy + 9y2 =

6. 4a6 – 4b4 =

7. 0,25 – 0,09x2 =

8. 21ax + 35ay + 20y + 12x =

9. b¶- b3 =

10. (x + a)(x - 1) – 2a (x - 1) =

11. 6m2 - 7m - 3 =

12. 3x2 - 5x - 2 =

13. 8y2 - 18 =

14. x4 - 64y4

CIBERGRAFIA

http://recursostic.educacion.es/descartes/we

b/materiales_didacticos/Polinomios/polinomi

os2.htm

http://sites.google.com/site/rinconmatematic

oesmauxi/rinconmatematico/math-8o-

2010/estudiemos-expresiones-

algebraicas/factorizando-ando/caso-i-

factorizacin-de-polinomios

http://wikieducator.org/Matematicas_GECen

eval286/Algebra/Polinomios/Factorizacion