ACTIVIDADES DE RECUPERACION DE MATEMATICAS DEL PRIMER PERIODO- NOVENO GRADO-

2021

Para realizar la recuperación del primer periodo el estudiante debe resolver en hojas

cuadriculadas y a mano las siguientes actividades, estas deben ser entregadas por tarde

el día 30 de Abril-2021 en el pizarrón de tareas de la plataforma institucional.

Desarrollo de los talleres propuestos en el periodo, el taller 1, el taller 2 y el taller 3,

recibiendo la asesoría por parte de la docente, usando encuentros virtuales, videos

explicativos, y los distintos medios de comunicación para la elaboración de los mismos.

Anexo Las guías y dentro de cada guía están los talleres, las autoevaluaciones y problemas en

familia que debe entregar.

GUIA 1: CONJUNTOS DE NUMEROS

ACTIVIDAD 1

Responda las siguientes preguntas:

a) Qué entiendes por numero natural? Qué significa para ti el símbolo 3? Qué diferencia hay entre el número 3 y el símbolo 3?

b) Qué entiendes por número entero? Todo número natural es entero? Justifica tus respuestas.

c) Qué significa la expresión 2/5? d) Que es un número racional? Todo número entero es racional? Por qué? e) Qué es un número irracional? f) Qué es un número real? Para qué sirve?

ACTIVIDAD 2

Lee con atención el siguiente texto y desarrolla los ejercicios y problemas propuestos.

LOS NUMEROS NATURALES (N)

Los números utilizados para contar como 1,2,3,4,5,…,etc. Forman el conjunto de los números naturales, denotado con la letra N. Esto es N = {1,2,3,4,…}

CARACTERISTICAS DE LOS NUMEROS NATURALES

N es un conjunto infinito que posee primer elemento.

Cada número natural tiene uno que le sigue.

N es un conjunto discreto, es decir, entre dos números naturales existe un número finito de números naturales.

A excepción de 1, todos los demás tienen un número natural que los precede.

El siguiente de un número natural n es n+1.

Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún número natural.

Si a,b Є N, una y sola una de las siguientes afirmaciones es cierta: a < b, a=b. o. a > b. ( la Є significa pertenece).

N está totalmente ordenado por la relación <.

El cero: En el siglo VI, los hindúes ya tenían conocimiento del cero como un número. Algunas atribuyen el descubrimiento del cero a la filosofía hindú en la que se relaciona el universo vacío con el papel de Dios en la cultura occidental.

Al conjunto N ̥= {0,1,2,3,4,5,…} se le conoce también con el nombre de ENTEROS NO NEGATIVOS.

En el conjunto de los números naturales están definidas las operaciones de adición (+) y multiplicación (.), las cuales cumplen las siguientes propiedades:

1. Clausurativa: Para todo a, b Є N, a+b Є N y a.b Є N. 2. Conmutativa: Para todo a,b Є N, a+b = b+a y a.b = b.a 3. Asociativa: Para todo a,b,c Є N, a + (b+c) = (a+b) +c y a.(b.c) = (a.b).c 4. Modulativa: El número natural 1 es el módulo de la multiplicación y para todo a Є N,

1 * a = a*1 = a

Ejercicio 1: Justifique por qué la adición de naturales no cumple la propiedad Modulativa.

LOS NUMEROS ENTEROS (Z)

Algunas ecuaciones como x + 5 = 0 no tienen solución en los naturales, por lo que se hizo necesario ampliar el conjunto de los números naturales y aparecieron los números negativos -1, -2, -3, -4,… a los que se les llama enteros negativos.

Los números naturales, el cero y los enteros negativos forman el conjunto de los NUMEROS ENTEROS, que se denotan por Z. Luego Z = {…, -3,-2,-1,0, 1, 2,3,…}

Ejercicio 2: Cuáles de las características de los números naturales son válidas para los enteros? Escríbalas.

En Z también están definidas las operaciones de adición (+) y multiplicación (.), las cuales cumplen las siguientes propiedades:

1. Clausurativa 2. Asociativa 3. Conmutativa 4. Modulativa: Existe el entero 0 (cero) tal que para todo a Є Z. a + 0 = 0 +a = a

El cero es llamado módulo de la adición o elemento neutro. El módulo de la multiplicación de enteros es el 1. Por qué?

5. Invertiva: Para cada número entero a, existe un único entero llamado opuesto o inverso aditivo de a y denotado por –a, tal que a + (-a) = 0 = (-a) + a

Ejercicio 3

A. Qué se obtiene al efectuar la operación de un número con su inverso? B. La multiplicación de enteros cumple la propiedad Invertiva? Por qué? C. Para los enteros a y b, que puede concluir a partir de cada una de las siguientes

proposiciones: i) a.b=0 ii) a.b = 1 iii) a.b= 15 iv) a.b = 9 v) a.b = 18

LOS NUMEROS RACIONALES (Q)

Dados dos números enteros n y k, no siempre existe un número entero x tal que k.x = n

Para resolver este tipo de ecuaciones fue necesario ampliar el conjunto de los números enteros y se idearon los números Racionales, denotados por Q. El conjunto de los números racionales se define de la siguiente manera:

Q = { a/b : a Є Z, b Є Z, b≠0}

Todo entero se puede considerar como un racional de denominador 1, es decir que si a Є Z, a/1 = a Є Q, de lo que se concluye que Z C Q (los enteros están contenidos en los racionales).

Los números racionales se caracterizan porque se pueden representar mediante una expresión decimal PERIÖDICA, es decir, en la que hay un grupo de cifras decimales que se repiten indefinidamente, (periodo)

Ejemplos:

a) 3 = 3,0000… =

b) 1/3 = 0,33333… = c) 3/2 = 1,50000… = 1,50

d) 602/495 = 1,216161616… = (observe que se le pone una raya o un arco encima del periodo)

OTRAS CARACTERISTICAS DE Q

Q es un conjunto DENSO, es decir, entre dos números racionales dados siempre existe al menos otro número racional. El procedimiento para averiguarlo es muy sencillo, pues para a y b racionales, a < b, su semisuma es racional y está ubicada entre a y b o sea que a <(a + b)/2 < b

a/b es equivalente a c/d si y solo si a.d = b.c

Si a/b es racional, entonces a/b no tiene sucesor ni antecesor.

Q está totalmente ordenado por la relación ≤.

Ejercicio 4

Resolver:

1) Cuál de los números 5/7 y 34 es mayor? Cuánto le lleva el mayor al menor?

2) ( 1- 1

2)(1 -

1

3 )(1 -

1

4)…(1 -

1

100)= ???

3) Qué condiciones debe cumplir el racional a/b para que (a + n) / ( b + n) sea equivalente a a/b?

LOS NUMEROS IRRACIONALES (Q´ o I )

Existen también números decimales que NO SON PERIODICOS, como:

3,1415926… ( y más) =

2,7182818… ( y sigue)=

1,61803398874989484820… (y sigue) =

1,41421356…= √𝟐

1,7320508… = √𝟑

0,101001000100001…

32,87945657803…

Estos números se llaman IRRACIONALES y no se pueden escribir en la forma a/b, con a y b enteros y b diferente de cero.

El conjunto de los números irracionales se denota por Q´, observe que es una Q con una coma encima o por la letra I. Entre Q y Q´ no existen elementos comunes, es decir: Q ∩ Q´ = ф (la intersección de racionales e Irracionales es vacío)

LOS NUMEROS REALES ( R )

La unión de los números racionales con los irracionales forman el conjunto de los números Reales, que se denota por R, así que R = Q ᴗ Q´

Un número real es entonces el que puede escribirse como un decimal de infinito número de cifras decimales.

De los números reales se puede decir:

R es un conjunto DENSO.

A todo número real le corresponde un punto sobre la recta numérica y a todo punto de la recta le corresponde un número real.

Si a Є R, entonces a no tiene antecesor ni sucesor.

R está totalmente ordenado por la relación ≤ (menor o igual)

Si a.b = 0 entonces a= 0 o b= 0

Ejercicio 5

a. Averigua las propiedades de la potenciación y radicación. b. Consulta las propiedades de la logaritmación c. Hala al menos 5 racionales entre 1/2 y 2/3. Describe el procedimiento utilizado.

d. Utilice regla y compas y ubique sobre la recta numérica los números √5, √7, √13, √15, √16 e. Explique por qué unos números reales son racionales y otros irracionales.

Este año estaremos estudiando los Números Complejos, pero antes de verlos estudiaremos algunos temas que nos ayudarán a comprenderlos.

Observe el siguiente video explicativo: https://www.youtube.com/watch?v=lsoFP2YApvs

https://www.youtube.com/watch?v=rtNC7g1h_JA

TALLER 1

1. Halle todas las parejas de números enteros (x, y) que satisfacen la condición x + y = 10 2. Halle todas las parejas de números enteros que satisfacen la condición x.y + 1= 21 3. Halle todas las parejas de números enteros ( x. y) que satisfacen la condición X + Y es

impar y menor que 20. 4. Determine el número racional que representa cada una de las siguientes expansiones

decimales: a. 4,12 b. 0,325 c. 1,622222… d. 1,3455555…

5. Si a < b entonces /a/ < /b/ ¿verdadero o falso? Justifique. 6. Hallar los valores de x que satisfacen la ecuación / x + 5 / = 8 7. Para x= 7 de las siguientes fracciones ¿cuál es de menor valor?

a. 6

𝑥 b.

𝑥

6 c.

6

𝑥+1 d.

𝑥+1

6 e.

6

𝑥−1

8. Cuándo se ubican los puntos correspondientes a los números 1

6 y

1

4 en la recta real, el

número que corresponde al punto medio entre ellos es:

a.1

24 b.

1

5 c.

5

24 d.

2

9

9. Antes que Amalia saliera a dar un paseo de dos horas, el kilometraje de su carro mostraba el número 27972, que es un número palíndromo, (un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). Cuando llego a su destino, la lectura del kilometraje era otro palíndromo. Si Amalia jamás excedió el límite de velocidad de 75 km/hr. ¿cuál de los siguientes números representa el promedio de velocidad de Amalia en el paseo?

a. 50 b. 55 c. 60 d. 65 e. 70 10. Sí a.b = 17 qué puede decirse de los enteros a y b?

11. Juego Interactivo: A continuación vamos a jugar con los números Reales. Entra al

siguiente enlace:

https://view.genial.ly/5bb134df0c96e06f5f3852d3/interactive-content-numeros-reales

Solo hay que jugar, no debe enviar evidencia de este punto.

GUIA 2: POTENCIACION DE NUMEROS REALES Y SU PROPIEDADES

REPASEMOS LO VISTO ANTERIORMENTE…

¿Qué es una potencia?

Una potencia cuya base es un número entero y cuyo exponente es un número natural, es un

producto de factores iguales.

La base, a, es el factor que se repite. El exponente, n, indica el número de veces que se repite

la base y el resultado es la potencia.

Ejemplos:

𝟑𝟓 = 3. 3. 3. 3. 3 = 243

(−𝟐)𝟒= -2.-2.-2.-2 = 16

𝟎𝟐 = 0.0 = 0

𝟒𝟎 = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí mismo 0

veces)

Signos de una potencia

Al calcular potencias de base de un número entero, preste atención al signo de la base y al exponente. También debe distinguir a qué número exactamente está afectando la potencia.

En general cualquier potencia de un número positivo será positiva y el opuesto de esa potencia será siempre negativo.

Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo.

Pero si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo.

Ejemplos:

𝟑𝟒 = 81

𝟑𝟑 = 27

(−𝟐)𝟖 = 256

𝟐𝟖 = 256

−𝟐𝟖 = -256 (se trata del opuesto de la potencia anterior)

-

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION DE NUMEROS REALES

1. Producto de potencias de igual base: El producto de potencias de igual base es otra

potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los

factores. Ejemplos:

2. Cociente de potencias de igual base: El cociente de potencias de igual base es otra

potencia cuyo exponente es la diferencia del exponente del dividendo y el exponente

del divisor. Ejemplos:

3. Potencia de potencia: La potencia de potencias es otra potencia de la misma base cuyo

exponente es el producto de los exponentes de las potencias.

Ejemplos:

4. Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de las

potencias de cada factor con el mismo exponente. Ejemplos:

5. Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es otro cociente entre la potencia

del dividendo y la potencia del divisor con el mismo exponente. Ejemplos:

6. Potencia con exponente cero: La potencia de una cantidad con exponente cero es igual

a la unidad. Ejemplos:

7. Potencia con exponente negativo: Toda potencia con exponente negativo es igual a la

inversa de la base con exponente positivo. Ejemplos:

8. Potencia con exponente 1: Toda potencia con exponente negativo es igual a la inversa

de la base con exponente positivo. Ejemplos:

1) 𝟏𝟐𝟏 = 12 2) 𝟕𝟎𝟏 = 70

Puede reforzar este tema viendo el video:

https://www.youtube.com/watch?v=fCiQKJP5BlQ

TALLER 2

1. Escriba cada expresión con exponente positivo

a. 𝟏

𝟖.𝟖.𝟖 = b. 2y. 2y. 2y. 2y = c.

𝟏

𝒛.

𝟏

𝒛 =

2. Simplifique y elimine cualquier exponente negativo

a. 𝒙𝟔𝒙−𝟐 b. 𝟐−𝟏𝟎𝟐𝟏𝟐 c. (𝟕𝒙𝟒)(−𝟑𝒙𝒚−𝟐)

d. 𝟔−𝟐𝒂−𝟏𝒃𝟑𝒄−𝟓

𝟐−𝟑𝒂𝟐𝒃−𝟏𝒄−𝟐

3. Determine si el número dado es positivo o negativo al simplificarlo, usando las leyes de los exponentes.

a. (−𝟒)−𝟑(𝟐−𝟒)

b. (−𝟏)−𝟏(−𝟏)𝟎(−𝟏)𝟏 c. [𝟏𝟎−𝟓(−𝟏𝟎)𝟓(−𝟏𝟎)−𝟓] d. [(−𝟏)−𝟐]−𝟑

e. 4. Simplifique la expresión usando las leyes de los exponentes:

a.

b.

5. Hallar el valor del exponente o de la base según corresponda:

a. (𝟐)𝒏 = 64

b. (𝒚)𝟑 = -27

c. (𝒛)𝟓. (𝒛)𝟑= 256

d. (−𝟓)𝒏 = 625e.

6. Hallar una expresión para el área de cada figura

7. Resuelva los siguientes problemas

a. Una bacteria colocada en cierto medio, se reproduce cada hora. Se sabe que en

la primera hora dio origen a 2 bacterias, en la segunda a 4 y en la tercera a 8

¿Cuántas reproduce cada hora? ¿Cuántas horas han transcurrido cuando llega a

reproducir 512 bacterias?

b. Una bacteria colocada en cierto medio se triplica cada hora. ¿Cuántas horas han

transcurrido cuando llega a reproducir 81 bacterias? ¿Cuántas horas han

trascurrido cuando llega a reproducir 243 bacterias?

AUTOEVALUACION

1. Simplifica las siguientes expresiones

a. ( 222 )yx ( 3)yx

b. 2

52

4

44

c. 3

5

3

5

b

a/

4

3

9

10

b

a

d. 2

222

2

23

a

aaa

e. ((52)0)3

f. 2

2

2

2·26

52

2. Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los exponentes:

a.

b. 2x 22 = 29

c. xa

a 25a

d. 41

*3

2

x

x

3. Efectúa las operaciones y exprese el resultado sin exponentes negativos.

a. ()4(

)2(3

32

yx

yx

b. ( 2223 ) pnm

c. 32

213

4

2

ba

ba

PROBLEMAS EN FAMILIA

1. Partiendo de cualquier casilla blanca de la fila inferior, buscar un camino, realizando

el movimiento de la dama sabiendo que el movimiento en el sentido de esta flecha

divide y el movimiento en el sentido de esta flecha multiplica, hasta salir por

una de las casillas superiores con el resultado igual a 1.

Escriba las operaciones que realizo para llegar a 1

2. De la misma manera realícelo con el siguiente cuadrado

GUIA 3: RADICALES Y OPERACIONES

Observe los siguientes videos: Simplificación de Radicales

https://www.youtube.com/watch?v=2HachLBuoZo&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn

https://www.youtube.com/watch?v=-EMjsWjPDLM&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=2

https://www.youtube.com/watch?v=qSRMjsanmuU&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=3

Es importante observar los videos propuesto en este taller, entre otros.

Taller 3

1. Resuelva las siguientes simplificaciones de radicales

a. √64 2

𝑏. √−8𝑥3 3 𝑐. √−32 𝑥10𝑦205

d. √81𝑥4𝑦122 𝑒. √4𝑥7𝑦12𝑧114

𝑓. √𝑚3

𝑚−2

5

𝑔. √𝑎−4𝑏−6

𝑎3𝑏2

6

ℎ. √𝑎6𝑏8𝑐216 (Continua abajo…)

Observe los siguientes videos que le clarificarán los temas, obsérvelos en el orden que están, pues se va explicando desde el caso uno:

https://www.youtube.com/watch?v=PUjZCFUzlUQ

https://www.youtube.com/watch?v=pqdgom7q44A

Lee el siguiente texto y busca el significado de las palabras que no entiendes y anéxalas al diccionario matemático. Radicales semejantes: Dos radicales son semejantes si son del mismo índice y la expresión

subradical es también la misma. Ejemplo: los radicales 2√3 , −5√3 y 12√3 son semejantes,

mientras que los radicales 3√5 y −8√3 no son semejantes. En consecuencia, sumar radicales es tener en cuenta los radicales que son semejantes.

Ejemplo 1: 3√7 + 10√7 − 15√7 = −2√7

Ejemplo 2: 4√3 − 8√5 − √3 + 12√5 = 3√3 + 4√5 Para multiplicar radicales del mismo índice, solo habrá que tener en cuenta la siguiente

propiedad de los radicales: √𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

= √𝑎𝑏𝑛

y luego simplificar, es decir se multiplica lo que este dentro del radical con lo que este dentro del otro radical y lo que este fuera del radical con lo que este fuera del otro radical. Pero, cómo se hace cuando los radicales tienen distinto índice? Recordemos otra de las

propiedades de los radicales: √𝑎𝑛

= √𝑎𝑡𝑛𝑡. Aprovechando esta “ganga” podemos reducir

los radicales a un índice común y solucionado el problema, es decir, es necesario escribirlos con el mismo índice y luego procedemos como en el caso anterior.

Ejemplo: √𝑥23 √𝑥 = √(𝑥2)26

√𝑥36= √𝑥46

√𝑥36= √𝑥76

= √𝑥6𝑥6

= √𝑥66 √𝑥

6= 𝑥 √𝑥

6

Continuación Taller 3

2. Con base en la lectura responda lo siguiente: a. Explica con tus palabras el procedimiento para multiplicar radicales que tienen diferente

índice. Da ejemplos. b. Que quiere decir que dos radicales sean semejantes?

c. Los radicales √50 y √18, serán semejantes? o, podrán serlo? Cómo?

d. √245

√12 = ?

3. Resuelva los siguientes ejercicios y simplifique el resultado 𝑎. 6√18 − 4√200 + 7√32 − 2√50 = ? 𝑏. √16𝑥 − 4√36𝑥 + 2√9𝑥 = ? 𝑐. 3√20 − 7√45 + 10√80 + 9√48 = ? e. 5√12 + 2√27 − 7√48 − 3√75 + 6√108 = ¿ ? f. 2√14 * √21=

g. √𝑎4𝑏2𝑐3

√𝑎𝑏𝑐33 = ?

h. √𝑥3𝑦2 4

√𝑥2𝑦5 3

=?

i. √2 √33

√44

= ¿ ?

j. (√𝑥 − √𝑦)2

=¿ ?

k. (√2 + √5)2

= ?

AUTOEVALUACION

Efectúe las operaciones indicadas y simplifique los resultados:

1. Reducir a términos semejantes y resolver 24427312548

2. Simplificar

5 12151032 cba

3. Al multiplicar yx4

2 * y6 * x512

4. Al multiplicar *2ab 3 3b

5. La expresión 53 102427 es igual a:

Cordialmente,

Ana Lucia Reina L.

Docente Matemática

Teléfono- WhatsApp 3163912388

“El hombre feliz no es el hombre que ríe, sino aquel cuya alma, llena de alegría y confianza, se sobrepone y es superior a los acontecimientos” - Séneca.