ใด ๆ ได้ 26 y y ถ้าให้ a = 999…99 (มีทั้งหมด 81...
TRANSCRIPT
25ภาคขอสอบ : พชคณตและจ�ำนวนเตม
การพสจน
กรณของเลขคยกก�าลงสอง จะหารดวย 4 ลงตวเสมอ ในกรณทเปน
เลขคยกก�าลงสองนน จากโจทยขอทแลวจะหารดวย 8 ไมลงตวและเหลอเศษ 1
เสมอ ดงนนเมอน�าเลขยกก�าลงสองหารดวย 8 จะตองเหลอเศษ 0, 1, 4 เทานน
แตเนองจากชดตวเลข 21, 221, 2221, 22221, … ทใหมา ลวนหารดวย 8
แลวเหลอเศษ 5 ทงสน ตวเลขชดนจงไมสามารถเปนเลขยกก�าลงสองของเลข
ใด ๆ ได
ถาให A = 999…99 (มทงหมด 81 หลก) จงหาผลบวกของตวเลข
แตละหลกของ A2
ขอแนะน�า กระจายพจน A2 โดยใชสตรการกระจายพหนาม (ดหนา 135 ประกอบ)
วธท�า
จาก A = 1081 – 1
ดงนน A2 = (1081 – 1)2 = 10162 – 2 ⋅ 1081 + 1
= 99 …… 98 00 …… 01 80 ตว 80 ตว
ดงนนผลบวกของเลขทกหลกรวมกนจะไดเทากบ
9 ⋅ 80 + 8 + 1 = 729
26 y y (จำกขอสอบรอบคดเลอกของ JMO ป ค.ศ. 1991 ขอ 1)
31ภาคขอสอบ : พชคณตและจ�ำนวนเตม
32 y y
ขายบตรคอนเสรตไปทงหมด 140 ใบ ไดเงนมา 2001 เหรยญ ใน
จ�านวนบตรทงหมดนมสวนหนงทขายไปในราคาเตม และสวนทเหลอ
ขายครงราคา จงหาวา ราคาบตรเตมราคาคอเทาไร
วธท�า
ใหราคาบตรเตมราคาเปน p เหรยญ และจ�านวนบตรทขายไปในราคา
เตมเปน f ใบ จะสามารถสรางสมการจากโจทยไดดงน
fp + (140 – f) ⋅ p 2
= 2001
หรอ (140 + f)p = 4002
นนคอ (140 + f) จะตองเปนตวประกอบของ 4002 นอกจากนน f
ตองเปนจ�านวนนบทนอยกวา 140 จงไดเงอนไขวา 140 + f จะตองมากกวา
140 แตนอยกวา 280 เมอแยกตวประกอบของ 4002 จะได 4002 = 2 × 3 ×
23 × 29 ผลคณของตวประกอบทท�าใหเปนไปตามเงอนไขคอ 2 × 3 × 29 =
174 เพราะฉะนน 140 + f = 174 ท�าใหได p = 4002 174
= 23 เหรยญ
ให N เปนจ�านวนเตมทม 4 หลก และมหลกหนวยไมเทากบ 0 และ
ให R(N) แสดงตวเลขทเกดจากการเรยงกลบทศของ N เชน R(3275)
= 5723 จงหาคา N ภายใตเงอนไขตอไปน R(N) = 4N + 3
33 y y y
(จำกขอสอบของ AMC ป ค.ศ. 2001 ส�ำหรบ Grade 10 ขอ 14)
32 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009
วธท�า
ให N = 1000a + 100b + 10c + d
(โดยท a, b, c, d เปนเลขจ�านวนเตมหลกเดยว)
จะได R(N) = 1000d + 100c + 10b + a
จากโจทยจะได 4N + 3 = R(N) ≤ 9999 ซงท�าใหได N ≤ 2499 และ
ท�าให a เปน 1 หรอ 2 นอกจากนน R(N) = 4N + 3 เปนเลขค ดงนน a จง
ตองเปน 1 จากนนพจารณาวา 4N ตองมหลกหนวยเปน 8 จงท�าใหคา d เปน
ไดเพยง d = 2, 7 แตเนองจากในขณะท a = 1 จะได 4000 ≤ R(N) < 8000
เพราะฉะนนจะได d = 7
เมอแทนคา a = 1, d = 7 ลงในเงอนไขตามโจทยจะได
7000 + 100c + 10b + 1 = 4(1000 + 100b + 10c + 7) + 3
และจะได 13b = 2c + 99 เนองจากทง b และ c ตองเปนเลขจ�านวน
เตมหลกเดยว เพราะฉะนนจะได b = 9, c = 9 ดงนนค�าตอบคอ N = 1997
1.2.3 โจทยเกยวกบจ�านวนเตมอนๆ
ในบรรดาจ�านวนตอไปนคอ 21, 22, … , 2100 เมอเขยนใหอยในรปของเลข
ฐาน 10 จงหาวามกจ�านวนทมหลกสงสดเปนเลข 1 ทงน 2100 ม 31 หลก
ขอแนะน�า เลขอะไรกตามทคณดวย 2 แลวท�าใหมจ�านวนหลกเพมขน ตวเลขของหลกท
เพมขนนตองเปน 1 เสมอ
34 y y y
73ภาคขอสอบ : เรขาคณต
วธท�ำ
กอนอนใหคลทรงสหนานออกมาเปนแผนราบ จดกงกลางของ
ดานทอยตรงขามนน กจะเปนจดกงกลางของดานทอยตรงขามของสเหลยม
ขนมเปยกปนทมความยาวดานเทากบ 1 หนวย ดงนนระยะทางทสนทสด
คอระยะทางตามแนวเสนตรงทเชอมระหวาง 2 จดน เพราะฉะนนระยะทาง
ทสนทสดคอ 1 หนวย
มทรงสหนาดานเทาอนหนง ใหหาอตราสวนระหวางปรมาตรของทรงกลม
ทสมผสภายในและสมผสภายนอกกบทรงสหนาน (ดหนา 169 ประกอบ)
วธท�ำ
กอนอน ก�าหนดใหทรงสหนาดานเทานเปน T จากนนหาจดศนยถวง
ของแตละหนาใหครบทงสหนา แลวลากเสนเชอมจดทงสเขาดวยกน เพอสราง
ทรงสหนาดานเทาขนาดเลกอกอนหนงคอ T′ ขนมา โดยทรงกลมทสมผสภายใน
กบ T จะเปนทรงกลมทสมผสภายนอกกบ T′
68 y y y
74 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009
A AB B
MM
AʹBʹ Bʹ Aʹ
ใหพจารณาหนาตดของทรงสหนา T ทตดผานดาน AB และผานจด
กงกลางของดานทอยตรงขาม M (ตามแนวเสนประดงรป) จะพบวาเสนตรง
MA และ MB จะผานจด B′ และ A′ ตามล�าดบ และจากวธการสราง T′ จะได
MA : MB′ = MB : MA′ = 3 : 1
ดงนนจะได AB : B′A′ = 3 : 1 นนคอ อตราสวนระหวางความ
ยาวดานของ T และ T′ เปน 3 : 1 ดงนนสามารถหาอตราสวนของปรมาตร
ทรงกลมทสมผสภายในและสมผสภายนอกไดดงน
(ปรมาตรทรงกลมทสมผสภายใน) : (ปรมาตรทรงกลมทสมผสภายนอก)
= (ปรมาตรของ T′) : (ปรมาตรของ T)
= 13 : 33 = 1 : 27
ทรงสหนา ABCD มดานทอยตรงขามยาวเทากน คอ AB = CD = a,
AC = BD = b, AD = BC = c จงหาความยาวของเสนผานศนยกลาง
ของทรงกลมทสมผสภายนอกทรงสหนาน
69 y y y y
80 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009
ตอไปพจารณาหาจ�านวนรปแบบทสมมาตรซายขวา โดยพจารณาวา
4 ชองทางซายมอนน เมอน�ามาระบายดวยสแดงและสขาวอยางละ 2 ชอง จะ
ท�าไดทงหมดกแบบ ซงกรณนจ�านวนรปแบบทท�าไดคอ 4C2 แบบ (ดรปประกอบ)
นนคอ ในจ�านวนรปแบบทกลาวมาน
• แบบทซายขวาสมมาตรกน ม 4C2 แบบ
• แบบทซายขวาไมสมมาตรกนและถกนบซ�า 2 ครง ม 8C4 – 4C2 แบบ
ดงนนจ�านวนรปแบบทตองการหาคอ
8C4 – 4C2 + 4C2 = 38 แบบ 2
มลกหนสขาว 5 ลก และสด�า 10 ลก น�ามาเรยงตอกนเปนเสนตรง โดย
ใหหนสขาวทกลกจะตองมหนสด�าวางอยตดกนเสมอ จงหาวาจะมวธ
เรยงลกหนไดทงหมดกแบบ
ขอแนะน�ำ เนองจากโจทยก�าหนดใหตองมหนสด�าวางตดกบหนสขาวเสมอ เพราะฉะนน
ใหจบคไวเลยตงแตตน ยกตวอยางเชน การเรยงแบบในรป จะพบวาเปนการ
เรยงของลกหน 5 ค กบหนสด�า 5 ลก
73 y y y (จากขอสอบรอบคดเลอกของ JMO ป ค.ศ. 1996 ขอ 2)
81ภาคขอสอบ : การเรยงสบเปลยนและการจดหม
วธท�ำ
เมอจบคหนสขาวและสด�า 5 ค ทเหลอเปนหนสด�าอก 5 ลก วธการ
เรยงสงเหลานจงเปนการเรยงแบบการจดหม ดงนนจ�านวนรปแบบทเปนไปได
คอ 10C5 = 252 แบบ
(1) มรปแปดเหลยมดานเทา ABCDEFGH ถาตองการสรางรป
สามเหลยมดานเทา โดยมจดยอดมมอยางนอย 2 จด เปนจดยอด
มมของรปแปดเหลยมดานเทาน ใหหาวาจะสามารถท�าไดทงหมด
กแบบ
(2) ถามรปเกาเหลยมดานเทา ABCDEFGHI ใหหาจ�านวนรปแบบ
ของการสรางสามเหลยมดานเทาตามเงอนไขเดยวกบขอ (1)
ขอแนะน�ำ (1) เมอเลอกจดยอดของรปแปดเหลยมดานเทามา 2 จด แลวเขยนรป
สามเหลยมดานเทาโดยมจดยอด 2 จดเปนจดทเลอกมานน จะเขยนได
2 แบบ
(2) กรณของรปเกาเหลยมดานเทา จะมสามเหลยมดานเทาทสามารถเขยนให
ซอนกบมมยอด 3 มมของรปเกาเหลยมไดดวย
74 y y y (จากขอสอบของ AMC ป ค.ศ. 2001 ส�าหรบ Grade 12 ขอ 14)
97ภาคขอสอบ : การเรยงสบเปลยนและการจดหม
ดงนนถาไพทมคาเทากบหรอมากกวา 8 ถกดงออกมากอนไพเบอร
7 ไพเหลานกจะถกวางอยกอนแลว ถงแมจะดงไพเบอร 7 ออกมากตองทงไป
ในทางกลบกน ถาไพทมคาสงกวาเบอร 7 ทงหมดถกดงออกมา
หลงไพเบอร 7 แสดงวาตอนทไพเบอร 7 ถกดงออกมา ไพทอยทางขวามอสด
บนโตะจะตองเปนไพทต�ากวาเบอร 6 ซงกรณนไพเบอร 7 กจะไมถกทง
ดงนนความนาจะเปนทจะไดวางไพเบอร 7 บนโตะ จะหาไดจาก
ความนาจะเปนของการดงไพเบอร 7 ออกมากอนไพทมคาเทากบและสงกวา
เบอร 7 ซงมอย 7 ใบ ดงนนความนาจะเปนในกรณนคอ 17
ในระบบคอมพวเตอรทวไปจะแสดงคาสญญาณตาง ๆ ในรปของเลขฐาน
2 นนคอใชเลข 0 กบ 1 เทานน
ถาสงสญญาณจากเครองคอมพวเตอรบนพนโลกไปยงดวงจนทร
ดวยคลนแมเหลกไฟฟา ปรากฏวาในการสงตวเลขแตละตว มความ
นาจะเปนของการรบสญญาณถกตองเปน 23
และความนาจะเปนของการ
รบสญญาณผดพลาด (คอ จาก 0 เปน 1 หรอ จาก 1 เปน 0) เปน 13
ถาท�าการสงสญญาณ 2 ชด ชดแรกคอ “00” และชดตอไปคอ “11”
เมอเครองรบบนดวงจนทรรบสญญาณเขามาแลวตความสญญาณนน
แบบเลขฐาน 2 จงหาความนาจะเปนทเครองรบสญญาณบนดวงจนทร
จะตความวาสญญาณชดแรกมคานอยกวาสญญาณชดทสอง
86 y y y
98 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009
ขอแนะน�ำ จากเงอนไขของโจทยทวา “สญญาณชดแรกมคานอยกวาสญญาณชดทสอง”
ถาวเคราะหดจะพบวา ท�าใหสามารถใชกฎการบวกและกฎการคณได (ดหนา
176 ประกอบ)
วธท�ำ
ให P(X) แสดงความนาจะเปนของเหตการณ X
เมอให x1x2, y1y2 เปนตวเลขทเครองรบบนดวงจนทรรบไดเปนชด
แรกและชดทสอง ตามล�าดบ เนองจากเปนการตความของเลขฐาน 2 ดงนน
การทตวเลขชดแรกมคาต�ากวาตวเลขชดหลงนน จะเกดขนไดในกรณท x1 < y1
กบกรณท x1 = y1 และ x2 < y2 ดงนนจากกฎการบวกและกฎการคณ
สามารถหาคาความนาจะเปน p ตามโจทยไดดงน
p = P(x1 < y1) + P(x1 = y1)P(x2 < y2)
ในทนจะหาแตละพจนไดดงน
P(xi < yi) = P(xi = 0) ⋅ P(yi = 1)
= 23
⋅ 23
= 49
P(xi = yi) = P(xi = yi = 0) + P(xi = yi = 1)
= 23
⋅ 13
+ 13
⋅ 23
= 49
เพราะฉะนนความนาจะเปนทตองการหาคอ
p = 49
+ 4 2( ) 9 = 52
81
276 คณตศาสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009
ของผลการแขงขนทเปนไปไดทงหมด ทงนไมมผลการแขงขนทเสมอกน
เกดขน
7. (a, b, c) เปนชดตวเลขจ�านวนเตมบวก ถา ค.ร.น. ของ a, b, c เปน 720
จงหาวาจะมชดตวเลขทเปนไปตามเงอนไขนไดทงหมดกแบบ ทงนชด
ตวเลขทมตวเลขซ�ากน แตเรยงไมเหมอนกน ถอวาเปนคนละแบบกน
8. ทโรงเรยนมธยมตนแหงหนง ใหนกเรยนปลกตนทวลปโดยแตละคนตอง
ปลกอยางนอย 1 ตน และนกเรยนในชนเดยวกนใหปลกเปนจ�านวนตนท
เทากน เมอท�าเชนนปรากฏวา จ�านวนตนทปลกไดต�ากวา 100 ตน จะมได
6 แบบ และจ�านวนตนทนอยทสด 2 อนดบแรกคอ 52 ตน และ 64 ตน
จงหาจ�านวนนกเรยนในชนมธยมศกษาปท 1, 2, 3 วามชนละกคน
ส�าหรบขอท 9, 10, 11 (2) เปนโจทยทใหพสจน ดงนนถงแมจะหา
ค�าตอบได กตองพสจนใหเหนวาค�าตอบนนถกตองดวย
9. ในงานแลกของขวญทมผเขารวมเปนชาย 2008 คน และหญง 2008 คน
ผเขารวมทเปนชายจะถอชอดอกไม สวนผหญงจะถอชอกโกแลต จากนน
ใหทกคนมารวมตวกนเปนรปวงกลมโดยหนหนาเขาหากน วธการแลก
ของขวญจะท�าโดยการใหสญญาณ 1 ครง แลวทกคนจะสงของขวญไปให
ผทอยทางดานขวามอของตนเอง เมอใดทผชายไดรบชอกโกแลตและ
ผหญงไดรบชอดอกไมแลว กใหออกจากวงได จงหาวา กอนททกคน
จะหลดออกจากวงไปได จ�านวนครงสงสดทตองใหสญญาณเปนเทาไร
10. สเหลยมจตรสทมความยาวดานละ 1 จ�านวน 9 รป เรยงตอกนเปนตาราง
ขนาด 3 แถว 3 หลก โดยแตละชองตารางก�าหนดหมายเลขไว ดงรป
277ขอสอบคณตศาสตรโอลมปกระดบจเนยรของประเทศญปน ครงท 6 (ป 2008)
➀ ➁ ➂
➆ ➅ ➄
➇ ➃
ถาใหจด A, B, C, D เปนจดทอยภายในชองสเหลยมจตรสหมายเลข
➀, ➂, ➄, ➆ ตามล�าดบ (โดยไมรวมเสนแบงเขต) และใหพนททบซอน
ระหวางสเหลยม ABCD กบสเหลยมจตรสหมายเลข ➀, ➂, ➄, ➆
เปน X และพนททบซอนระหวางสเหลยม ABCD กบสเหลยมจตรส
หมายเลข ➁, ➃, ➅, ➇ เปน Y จงพสจนวา X < Y
11. ให m, n เปนจ�านวนเตมบวก เมอจดท�าตารางขนาด m × n ชอง แลว
ระบายสลงในชองตาง ๆ ดวยสใดสหนง คอ สแดง สน�าเงน หรอสด�า
โดยใหเปนไปตามเงอนไขดานลางน
• ชองสแดงใด ๆ จะตองตดกบชองสน�าเงน 1 ชอง และสด�า 1 ชอง
• ชองสน�าเงนใด ๆ จะตองตดกบชองสด�า 1 ชอง และสแดง 1 ชอง
• ชองสด�าใด ๆ จะตองตดกบชองสแดง 1 ชอง และ สน�าเงน 1 ชอง
ทงน การท 2 ชองตดกนหมายถงการมผนงรวมกน
จงตอบค�าถามตอไปน
(1) กรณท m = 3, n = 4 จงหาวธระบายสทเปนไปตามเงอนไขขางตน
(ใหตอบเฉพาะค�าตอบได)
(2) จงหาชดตาราง (m, n) ทงหมดทสามารถท�าไดตามเงอนไขขางตน
287ขอสอบคณตศาสตรโอลมปกระดบจเนยรของประเทศญปน ครงท 6 (ป 2008)
จงจะท�ำใหทกคนหลดจำกวงได (แตละครงหลดไปทละ 2 คน เปนผหญง
1 คน และผชำย 1 คน)
จำกทกลำวมำนจงสรปไดวำ จ�ำนวนครงสงสดของกำรใหสญญำณท
ตองกำรคอ 2008 ครง
10. ใหพนททสเหลยม ABCD ทบซอนกบสเหลยมจตรสหมำยเลข ➀, ➂,
➄, ➆ เขยนไดเปนสำมเหลยม 8 รป คอ T1, … , T8 ดงรป และใหพนท
รวมของ T1, … , T8 เปน X และใหพนททสเหลยม ABCD ทบซอนกบ
สเหลยมจตรสหมำยเลข ➁, ➃, ➅, ➇ เขยนไดเปนสำมเหลยม 8 รป
คอ S1, … , S8 ดงรป และใหพนทรวมของ S1, … , S8 เปน Y
T3T2T1
T8
T6T7
S1S2
S8S7
S3S4
S5S6 T4T5
จำกรปจะเหนไดวำ ส�ำหรบ 1 £ i £ 8 รปสำมเหลยม Ti กบ Si จะม
ดำนรวมกนเสมอ และถำใหดำนรวมดงกลำวนเปนดำนฐำนของสำมเหลยม
จะพบวำสำมเหลยม Si มควำมสงเปน 1 ทงหมด ในขณะทจด A, B, C,
D ไมมจดใดทอยบนเสนขอบของสเหลยมจตรส ท�ำใหควำมสงของ Ti
นอยกวำ 1 เสมอ ดงนนพนทของ Si จะมำกกวำพนทของ Ti เสมอ และ
288 คณตศำสตรโอลมปกญปน ระดบ Junior ป 2003-2009
ผลบวกของพนท S1, … , S8 กจะมำกกวำผลบวกของพนท T1, … , T8
เสมอ
11. ให (i, j) แสดงชองตำรำงแถวท i หลกท j โดยในแถวเดยวกนจะเรยงจำก
ซำยไปขวำ และในหลกเดยวกนกจะเรยงจำกบนลงลำง
กอนอน พจำรณำกรณท n = 1
เนองจำกชองทตดกบชองบนสดจะมไดเพยงชองเดยว ท�ำใหไม
สำมำรถระบำยสตำมเงอนไขของโจทยได ในกรณ m = 1 กเชนเดยวกน
ตอไปพจำรณำกรณท m ³ 2, n ³ 2 จะมวธระบำยตำมเงอนไขไดอยำงไร
ลองพจำรณำไปทละแบบจำกชองบนสดดำนซำย
ถำก�ำหนดใหชอง (1, 1) เปนสแดง (1, 2) เปนสน�ำเงน (2, 1) เปน
สด�ำ กไมท�ำใหสญเสยคณสมบตทวไป
ครำวนพจำรณำทชอง (2, 2) สของชองนจะตองเปนสน�ำเงนหรอ
สด�ำเทำนน (เพรำะถำเปนสแดง จะท�ำใหชอง (1, 2) ตดกบสแดง 2 ชอง
ซงผดเงอนไข) ในกำรพจำรณำรำยละเอยดตอจำกน เรำจะก�ำหนดใหชอง
นเปนสด�ำ กรณทก�ำหนดใหเปนสน�ำเงนกท�ำได เพยงแตสลบต�ำแหนง
ของแถวกบหลก และสลบระหวำงสน�ำเงนกบสด�ำ ซงกจะเหมอนกน
เนองจำกชอง (2, 1) เปนสด�ำ จงตองตดกบชองสน�ำเงน และหมำยถง
ตองมแถวท 3 และชอง (3, 1) ตองเปนสน�ำเงน ทนพจำรณำสของชอง
(3, 2) ถำเปนสน�ำเงนกจะมปญหำ เพรำะชอง (2, 2) เปนสด�ำ ท�ำใหตดกบ